porão com porão
Como resolver equações racionais fracionárias. Resolvendo equações inteiras e fracionárias racionais

Como resolver equações racionais fracionárias. Resolvendo equações inteiras e fracionárias racionais

Hoje vamos descobrir como resolver equações racionais fracionárias.

Vejamos: das equações

(1) 2x + 5 = 3(8 - x),

(3)

(4)

equações racionais fracionárias são apenas (2) e (4), enquanto (1) e (3) são equações inteiras.

Proponho resolver a equação (4) e então formular a regra.

Como a equação é fracionária, precisamos encontrar um denominador comum. Nesta equação, esta expressão é 6 (x - 12) (x - 6). Em seguida, multiplicamos ambos os lados da equação por um denominador comum:

Após a redução, obtemos a equação inteira:

6 (x - 6) 2 - 6 (x - 12) 2 \u003d 5 (x - 12) (x - 6).

Tendo resolvido esta equação, é necessário verificar se as raízes obtidas tornam os denominadores das frações na equação original a zero.

Expandindo os colchetes:
6x 2 - 72x + 216 - 6x 2 + 144x - 864 = 5x 2 - 90x + 360, simplificamos a equação: 5x 2 - 162x + 1008 = 0.

Encontrando as raízes da equação
D=6084, √D=78,
x 1 = (162 - 78) / 10 = 84/10 = 8,4 e x 2 = (162 + 78) / 10 = 240/10 = 24.

Em x = 8,4 e 24, o denominador comum é 6(x - 12)(x - 6) ≠ 0, o que significa que esses números são as raízes da equação (4).

Responda: 8,4; 24.

Resolvendo a equação proposta, chegamos ao seguinte provisões:

1) Encontramos um denominador comum.

2) Multiplique ambos os lados da equação por um denominador comum.

3) Resolvemos a equação inteira resultante.

4) Verificamos quais das raízes transformam o denominador comum em zero e as excluímos da solução.

Vejamos agora um exemplo de como funcionam as posições resultantes.

Resolva a equação:

1) Denominador comum: x 2 - 1

2) Multiplicamos ambas as partes da equação por um denominador comum, obtemos a equação inteira: 6 - 2 (x + 1) \u003d 2 (x 2 - 1) - (x + 4) (x - 1)

3) Resolvemos a equação: 6 - 2x - 2 \u003d 2x 2 - 2 - x 2 - 4x + x + 4

x 2 - x - 2 = 0

x 1 = - 1 e x 2 = 2

4) Quando x \u003d -1, o denominador comum x 2 - 1 \u003d 0. O número -1 não é uma raiz.

Para x \u003d 2, o denominador comum é x 2 - 1 ≠ 0. O número 2 é a raiz da equação.

Responda: 2.

Como você pode ver, nossas provisões funcionam. Não tenha medo, você vai conseguir! O mais importante encontre o denominador comum corretamente e faça as transformações com cuidado. Esperamos que, ao resolver equações racionais fracionárias, você sempre obtenha as respostas corretas. Se você tiver alguma dúvida ou quiser praticar a resolução de tais equações, inscreva-se nas aulas com a autora deste artigo, a tutora Valentina Galinevskaya.

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Solução de equações racionais fracionárias

Guia de ajuda

Equações racionais são equações em que ambos os lados esquerdo e direito são expressões racionais.

(Lembre-se: expressões racionais são expressões inteiras e fracionárias sem radicais, incluindo as operações de adição, subtração, multiplicação ou divisão - por exemplo: 6x; (m - n) 2; x / 3y, etc.)

Equações racionais fracionárias, como regra, são reduzidas à forma:

Onde P(x) e Q(x) são polinômios.

Para resolver tais equações, multiplique ambos os lados da equação por Q(x), o que pode levar ao aparecimento de raízes estranhas. Portanto, ao resolver equações racionais fracionárias, é necessário verificar as raízes encontradas.

Uma equação racional é chamada de inteiro, ou algébrica, se não tiver uma divisão por uma expressão que contenha uma variável.

Exemplos de uma equação racional inteira:

5x - 10 = 3(10 - x)

3x
-=2x-10
4

Se em uma equação racional há uma divisão por uma expressão contendo a variável (x), então a equação é chamada de racional fracionária.

Um exemplo de uma equação racional fracionária:

15
x + - = 5x - 17
x

Equações racionais fracionárias são geralmente resolvidas da seguinte forma:

1) encontre um denominador comum de frações e multiplique ambas as partes da equação por ele;

2) resolva a equação inteira resultante;

3) exclua de suas raízes aquelas que transformam o denominador comum das frações em zero.

Exemplos de resolução de equações racionais inteiras e fracionárias.

Exemplo 1. Resolva a equação inteira

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Solução:

Encontrando o menor denominador comum. Isso é 6. Divida 6 pelo denominador e multiplique o resultado pelo numerador de cada fração. Obtemos uma equação equivalente a esta:

3(x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Como o denominador é o mesmo nos lados esquerdo e direito, ele pode ser omitido. Então temos uma equação mais simples:

3(x - 1) + 4x = 5x.

Resolvemos abrindo colchetes e reduzindo termos semelhantes:

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Exemplo resolvido.

Exemplo 2. Resolva uma equação racional fracionária

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x (x - 5)

Encontramos um denominador comum. Isso é x(x - 5). Então:

x 2 – 3x x – 5x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)

Agora nos livramos do denominador novamente, pois é o mesmo para todas as expressões. Reduzimos termos semelhantes, igualamos a equação a zero e obtemos uma equação quadrática:

x 2 - 3x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3x - 10 = 0.

Tendo resolvido a equação quadrática, encontramos suas raízes: -2 e 5.

Vamos verificar se esses números são as raízes da equação original.

Para x = –2, o denominador comum x(x – 5) não desaparece. Então -2 é a raiz da equação original.

Em x = 5, o denominador comum desaparece e duas das três expressões perdem seu significado. Portanto, o número 5 não é a raiz da equação original.

Resposta: x = -2

Mais exemplos

Exemplo 1

x 1 \u003d 6, x 2 \u003d - 2.2.

Resposta: -2,2; 6.

Exemplo 2

Apresentação e aula sobre o tema: "Equações racionais. Algoritmo e exemplos para resolver equações racionais"

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Introdução às equações irracionais

Pessoal, aprendemos a resolver equações do segundo grau. Mas a matemática não se limita a eles. Hoje vamos aprender a resolver equações racionais. O conceito de equações racionais é em muitos aspectos semelhante ao conceito de números racionais. Apenas além dos números, agora introduzimos algumas variáveis $x$. E assim obtemos uma expressão na qual existem operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e elevação a uma potência inteira.

Seja $r(x)$ expressão racional. Tal expressão pode ser um polinômio simples na variável $x$ ou uma razão de polinômios (a operação de divisão é introduzida, como para números racionais).
A equação $r(x)=0$ é chamada equação racional.
Qualquer equação da forma $p(x)=q(x)$, onde $p(x)$ e $q(x)$ são expressões racionais, também será equação racional.

Considere exemplos de resolução de equações racionais.

Exemplo 1
Resolva a equação: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Solução.
Vamos mover todas as expressões para o lado esquerdo: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Se os números ordinários fossem representados no lado esquerdo da equação, traríamos duas frações para um denominador comum.
Vamos fazer isso: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Temos a equação: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Uma fração é zero se e somente se o numerador da fração for zero e o denominador for diferente de zero. Em seguida, iguale separadamente o numerador a zero e encontre as raízes do numerador.
$3(x^2+2x-3)=0$ ou $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Agora vamos verificar o denominador da fração: $(x-3)*x≠0$.
O produto de dois números é igual a zero quando pelo menos um desses números é igual a zero. Então: $x≠0$ ou $x-3≠0$.
$x≠0$ ou $x≠3$.
As raízes obtidas no numerador e denominador não coincidem. Então, em resposta, escrevemos ambas as raízes do numerador.
Resposta: $x=1$ ou $x=-3$.

Se, de repente, uma das raízes do numerador coincidir com a raiz do denominador, ela deve ser excluída. Tais raízes são chamadas de estranhas!

Algoritmo para resolver equações racionais:

1. Mova todas as expressões contidas na equação para a esquerda do sinal de igual.
2. Converta esta parte da equação para fração algébrica: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Iguale o numerador resultante a zero, ou seja, resolva a equação $p(x)=0$.
4. Iguale o denominador a zero e resolva a equação resultante. Se as raízes do denominador coincidirem com as raízes do numerador, elas devem ser excluídas da resposta.

Exemplo 2
Resolva a equação: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Solução.
Vamos resolver de acordo com os pontos do algoritmo.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Iguale o numerador a zero: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Iguale o denominador a zero:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ e $x=-1$.
Uma das raízes $x=1$ coincidiu com a raiz do numerador, então não a anotamos em resposta.
Resposta: $x=-1$.

É conveniente resolver equações racionais usando o método de mudança de variáveis. Vamos demonstrá-lo.

Exemplo 3
Resolva a equação: $x^4+12x^2-64=0$.

Solução.
Introduzimos uma substituição: $t=x^2$.
Então nossa equação terá a forma:
$t^2+12t-64=0$ é uma equação quadrática ordinária.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4$.
Vamos introduzir uma substituição inversa: $x^2=4$ ou $x^2=-16$.
As raízes da primeira equação são um par de números $x=±2$. A segunda não tem raízes.
Resposta: $x=±2$.

Exemplo 4
Resolva a equação: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Solução.
Vamos introduzir uma nova variável: $t=x^2+x+1$.
Então a equação terá a forma: $t=\frac(15)(t+2)$.
Em seguida, vamos agir de acordo com o algoritmo.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 $.
4. $t≠-2$ - as raízes não coincidem.
Introduzimos uma substituição inversa.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Vamos resolver cada equação separadamente:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - não raízes.
E a segunda equação: $x^2+x-2=0$.
As raízes desta equação serão os números $x=-2$ e $x=1$.
Resposta: $x=-2$ e $x=1$.

Exemplo 5
Resolva a equação: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Solução.
Introduzimos uma substituição: $t=x+\frac(1)(x)$.
Então:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ ou $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Temos a equação: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
As raízes desta equação são o par:
$t=-3$ e $t=2$.
Vamos introduzir a substituição inversa:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Vamos decidir separadamente.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Vamos resolver a segunda equação:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
A raiz desta equação é o número $x=1$.
Resposta: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Tarefas para solução independente

Resolva as equações:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Equações fracionárias. ODZ.

Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito..."
E para aqueles que "muito...")

Continuamos a dominar as equações. Já sabemos trabalhar com equações lineares e quadráticas. A última visão permanece equações fracionárias. Ou eles também são chamados de muito mais sólidos - equações racionais fracionárias. Esse é o mesmo.

Equações fracionárias.

Como o nome indica, essas equações necessariamente contêm frações. Mas não apenas frações, mas frações que têm desconhecido no denominador. Pelo menos em um. Por exemplo:

Deixe-me lembrá-lo, se apenas nos denominadores números, estas são equações lineares.

Como decidir equações fracionárias? Em primeiro lugar, livre-se das frações! Depois disso, a equação, na maioria das vezes, se transforma em linear ou quadrática. E então sabemos o que fazer... Em alguns casos, pode se transformar em uma identidade, como 5=5 ou em uma expressão incorreta, como 7=2. Mas isso raramente acontece. Abaixo vou mencioná-lo.

Mas como se livrar das frações!? Muito simples. Aplicando todas as mesmas transformações idênticas.

Precisamos multiplicar toda a equação pela mesma expressão. Para que todos os denominadores diminuam! Tudo ficará imediatamente mais fácil. Eu explico com um exemplo. Digamos que precisamos resolver a equação:

Como eles foram ensinados na escola primária? Transferimos tudo em uma direção, reduzimos a um denominador comum, etc. Esqueça como sonho ruim! Isso é o que você precisa fazer ao adicionar ou subtrair expressões fracionárias. Ou trabalhar com desigualdades. E nas equações, imediatamente multiplicamos ambas as partes por uma expressão que nos dará a oportunidade de reduzir todos os denominadores (ou seja, em essência, por um denominador comum). E qual é essa expressão?

No lado esquerdo, para reduzir o denominador, você precisa multiplicar por x+2. E à direita, é necessário multiplicar por 2. Então, a equação deve ser multiplicada por 2(x+2). Multiplicamos:

Esta é a multiplicação usual de frações, mas vou escrever em detalhes:

Observe que ainda não estou abrindo o parêntese. (x + 2)! Assim, na íntegra, escrevo:

No lado esquerdo, é totalmente reduzido (x+2), e à direita 2. Conforme necessário! Após a redução obtemos linear a equação:

Qualquer um pode resolver esta equação! x = 2.

Vamos resolver outro exemplo, um pouco mais complicado:

Se lembrarmos que 3 = 3/1, e 2x = 2x/ 1 pode ser escrito:

E novamente nos livramos do que realmente não gostamos - das frações.

Vemos que para reduzir o denominador com x, é necessário multiplicar a fração por (x - 2). E as unidades não são um obstáculo para nós. Bem, vamos multiplicar. Tudo lado esquerdo e tudo lado direito:

Parênteses novamente (x - 2) Eu não revelo. Trabalho com o colchete como um todo, como se fosse um número! Isso deve ser feito sempre, caso contrário nada será reduzido.

Com um sentimento de profunda satisfação, cortamos (x - 2) e obtemos a equação sem frações, em uma régua!

E agora abrimos os colchetes:

Damos semelhantes, transferimos tudo para o lado esquerdo e obtemos:

Mas antes disso, vamos aprender a resolver outros problemas. Por interesse. Esses ancinhos, a propósito!

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Continuamos falando sobre solução de equações. Neste artigo, vamos nos concentrar em equações racionais e princípios para resolver equações racionais com uma variável. Primeiro, vamos descobrir que tipo de equações são chamadas de racionais, dar uma definição de equações racionais inteiras e racionais fracionárias e dar exemplos. Além disso, obteremos algoritmos para resolver equações racionais e, é claro, consideraremos as soluções de exemplos típicos com todas as explicações necessárias.

Navegação da página.

Com base nas definições soadas, damos vários exemplos de equações racionais. Por exemplo, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , são todas equações racionais.

A partir dos exemplos mostrados, pode-se ver que equações racionais, assim como equações de outros tipos, podem ser com uma variável, ou com duas, três, etc. variáveis. Nos parágrafos seguintes, falaremos sobre como resolver equações racionais em uma variável. Resolvendo equações com duas variáveis e seu grande número merecem atenção especial.

Além de dividir as equações racionais pelo número de variáveis desconhecidas, elas também são divididas em inteiras e fracionárias. Vamos dar as definições correspondentes.

Definição.

A equação racional é chamada todo, se ambas as partes esquerda e direita são expressões racionais inteiras.

Definição.

Se pelo menos uma das partes de uma equação racional é uma expressão fracionária, então tal equação é chamada fracionalmente racional(ou racional fracionário).

É claro que equações inteiras não contêm divisão por uma variável; pelo contrário, equações racionais fracionárias necessariamente contêm divisão por uma variável (ou uma variável no denominador). Então 3 x + 2 = 0 e (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0,5 são equações racionais inteiras, ambas as suas partes são expressões inteiras. A e x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 são exemplos de equações racionais fracionárias.

Concluindo este parágrafo, prestemos atenção ao fato de que equações lineares e equações quadráticas conhecidas até este momento são equações racionais inteiras.

Resolvendo equações inteiras

Uma das principais abordagens para resolver equações inteiras é sua redução para equivalentes equações algébricas. Isso sempre pode ser feito executando as seguintes transformações equivalentes da equação:

primeiro, a expressão do lado direito da equação inteira original é transferida para o lado esquerdo com o sinal oposto para obter zero no lado direito;
em seguida, no lado esquerdo da equação, a forma padrão resultante.

O resultado é uma equação algébrica que é equivalente à equação inteira original. Assim, nos casos mais simples, a solução de equações inteiras é reduzida à solução de equações lineares ou quadráticas e, no caso geral - à solução de uma equação algébrica de grau n. Para maior clareza, vamos analisar a solução do exemplo.

Exemplo.

Encontre as raízes de toda a equação 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Solução.

Vamos reduzir a solução de toda esta equação à solução de uma equação algébrica equivalente. Para fazer isso, em primeiro lugar, transferimos a expressão do lado direito para o esquerdo, como resultado chegamos à equação 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. E, em segundo lugar, transformamos a expressão formada do lado esquerdo em um polinômio da forma padrão fazendo o necessário: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Assim, a solução da equação inteira original é reduzida à solução da equação quadrática x 2 −5·x−6=0 .

Calcule seu discriminante D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, é positivo, o que significa que a equação tem duas raízes reais, que encontramos pela fórmula das raízes da equação quadrática:

Para ter certeza, vamos fazer verificando as raízes encontradas da equação. Primeiro, verificamos a raiz de 6, substituindo-a em vez da variável x na equação inteira original: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, que é o mesmo, 63=63 . Esta é uma equação numérica válida, então x=6 é de fato a raiz da equação. Agora verificamos a raiz −1 , temos 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, onde 0 = 0 . Para x=−1, a equação original também se transformou em uma verdadeira igualdade numérica, portanto, x=−1 também é a raiz da equação.

Responda:

6 , −1 .

Aqui também deve-se notar que o termo “potência de uma equação inteira” está associado à representação de uma equação inteira na forma de uma equação algébrica. Damos a definição correspondente:

Definição.

O grau de toda a equação chame o grau de uma equação algébrica equivalente a ele.

De acordo com esta definição, toda a equação do exemplo anterior tem o segundo grau.

Nisto se poderia terminar com a solução de equações racionais inteiras, se não para uma, mas .... Como se sabe, a solução de equações algébricas de grau superior ao segundo está associada a dificuldades significativas e, para equações de grau superior ao quarto, não existem fórmulas gerais para raízes. Portanto, para resolver equações inteiras da terceira, quarta e mais altos graus muitas vezes têm que recorrer a outros métodos de solução.

Nesses casos, às vezes a abordagem para resolver equações racionais inteiras com base em método de fatoração. Ao mesmo tempo, o seguinte algoritmo é seguido:

primeiro procuram ter zero no lado direito da equação, para isso transferem a expressão do lado direito de toda a equação para o esquerdo;
então, a expressão resultante do lado esquerdo é apresentada como um produto de vários fatores, o que permite ir para um conjunto de várias equações mais simples.

O algoritmo acima para resolver toda a equação por meio de fatoração requer uma explicação detalhada usando um exemplo.

Exemplo.

Resolva a equação inteira (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Solução.

Primeiro, como de costume, transferimos a expressão do lado direito para o lado esquerdo da equação, não esquecendo de mudar o sinal, obtemos (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . É bastante óbvio aqui que não é aconselhável transformar o lado esquerdo da equação resultante em um polinômio da forma padrão, pois isso dará uma equação algébrica do quarto grau da forma x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, cuja solução é difícil.

Por outro lado, é óbvio que x 2 −10·x+13 pode ser encontrado no lado esquerdo da equação resultante, representando-a como um produto. Nós temos (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. A equação resultante é equivalente à equação inteira original e, por sua vez, pode ser substituída por um conjunto de duas equações quadráticas x 2 −10·x+13=0 ex 2 −2·x−1=0 . Encontrar suas raízes usando as fórmulas de raízes conhecidas através do discriminante não é difícil, as raízes são iguais. Elas são as raízes desejadas da equação original.

Responda:

Também é útil para resolver equações racionais inteiras. método para introduzir uma nova variável. Em alguns casos, permite passar para equações cujo grau é menor que o grau da equação inteira original.

Exemplo.

Encontrar as raízes reais de uma equação racional (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Solução.

Reduzir toda essa equação racional a uma equação algébrica não é, para dizer o mínimo, uma boa ideia, pois nesse caso chegaremos à necessidade de resolver uma equação de quarto grau que não tenha raízes racionais. Portanto, você terá que procurar outra solução.

É fácil ver aqui que você pode introduzir uma nova variável y e substituir a expressão x 2 +3 x por ela. Tal substituição nos leva a toda a equação (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , que após transferir a expressão −2 (y−4) para o lado esquerdo e posterior transformação da expressão ali formada , reduz a equação y 2 +4 y+3=0 . As raízes desta equação y=−1 ey=−3 são fáceis de encontrar, por exemplo, elas podem ser encontradas com base no teorema inverso do teorema de Vieta.

Agora vamos para a segunda parte do método de introdução de uma nova variável, ou seja, para fazer uma substituição inversa. Após realizar a substituição reversa, obtemos duas equações x 2 +3 x=−1 e x 2 +3 x=−3 , que podem ser reescritas como x 2 +3 x+1=0 e x 2 +3 x+3 =0. De acordo com a fórmula das raízes da equação quadrática, encontramos as raízes da primeira equação. E a segunda equação quadrática não tem raízes reais, pois seu discriminante é negativo (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

Responda:

Em geral, quando estamos lidando com equações inteiras de alto grau, devemos estar sempre prontos para procurar um método não padronizado ou uma técnica artificial para resolvê-las.

Solução de equações fracionárias racionais

Primeiro, será útil entender como resolver equações fracionárias racionais da forma , onde p(x) e q(x) são expressões inteiras racionais. E então mostraremos como reduzir a solução das demais equações fracionárias racionais à solução de equações da forma indicada.

Uma das abordagens para resolver a equação é baseada na seguinte afirmação: a fração numérica u/v, onde v é um número diferente de zero (caso contrário, encontraremos , que não é definido), é igual a zero se e somente se seu numerador é igual a zero, então é, se e somente se u=0 . Em virtude desta afirmação, a solução da equação é reduzida ao cumprimento de duas condições p(x)=0 e q(x)≠0 .

Esta conclusão é consistente com o seguinte algoritmo para resolver uma equação fracionalmente racional. Para resolver uma equação racional fracionária da forma

resolver toda a equação racional p(x)=0 ;
e verifique se a condição q(x)≠0 é satisfeita para cada raiz encontrada, enquanto

se verdadeiro, então esta raiz é a raiz da equação original;
se não, então essa raiz é estranha, ou seja, não é a raiz da equação original.

Vamos analisar um exemplo de uso do algoritmo sonoro ao resolver uma equação racional fracionária.

Exemplo.

Encontre as raízes da equação.

Solução.

Esta é uma equação fracionalmente racional da forma , onde p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 .

De acordo com o algoritmo para resolver equações fracionárias racionais desse tipo, primeiro precisamos resolver a equação 3·x−2=0 . isto equação linear, cuja raiz é x=2/3.

Resta verificar essa raiz, ou seja, verificar se ela satisfaz a condição 5·x 2 −2≠0 . Substituímos o número 2/3 em vez de x na expressão 5 x 2 −2, obtemos . A condição é satisfeita, então x=2/3 é a raiz da equação original.

Responda:

2/3 .

A solução de uma equação racional fracionária pode ser abordada de uma posição ligeiramente diferente. Esta equação é equivalente a toda a equação p(x)=0 na variável x da equação original. Ou seja, você pode seguir este algoritmo para resolver uma equação fracionalmente racional :

resolva a equação p(x)=0 ;
encontre a variável ODZ x ;
pegue as raízes pertencentes à região de valores admissíveis - elas são as raízes desejadas da equação racional fracionária original.

Por exemplo, vamos resolver uma equação racional fracionária usando este algoritmo.

Exemplo.

Resolva a equação.

Solução.

Primeiro, resolvemos a equação quadrática x 2 −2·x−11=0 . Suas raízes podem ser calculadas usando a fórmula da raiz para um segundo coeficiente par, temos D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, e .

Em segundo lugar, encontramos a ODZ da variável x para a equação original. Consiste em todos os números para os quais x 2 +3 x≠0 , que é o mesmo x (x+3)≠0 , de onde x≠0 , x≠−3 .

Resta verificar se as raízes encontradas na primeira etapa estão incluídas na ODZ. Obviamente sim. Portanto, a equação fracionalmente racional original tem duas raízes.

Responda:

Observe que essa abordagem é mais lucrativa do que a primeira se a ODZ for facilmente encontrada, e é especialmente benéfica se as raízes da equação p(x)=0 forem irracionais, por exemplo, ou racionais, mas com um valor bastante grande numerador e/ou denominador, por exemplo, 127/1101 e -31/59 . Isso se deve ao fato de que, nesses casos, a verificação da condição q(x)≠0 exigirá esforços computacionais significativos, sendo mais fácil excluir raízes estranhas da ODZ.

Em outros casos, ao resolver a equação, principalmente quando as raízes da equação p(x)=0 são números inteiros, é mais vantajoso usar o primeiro dos algoritmos acima. Ou seja, é aconselhável encontrar imediatamente as raízes de toda a equação p(x)=0 , e então verificar se a condição q(x)≠0 é satisfeita para elas, e não encontrar a ODZ, e então resolver a equação p(x)=0 nesta ODZ . Isso se deve ao fato de que, nesses casos, geralmente é mais fácil fazer uma verificação do que encontrar a ODZ.

Considere a solução de dois exemplos para ilustrar as nuances estipuladas.

Exemplo.

Encontre as raízes da equação.

Solução.

Primeiro encontramos as raízes de toda a equação (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, compilado usando o numerador da fração. O lado esquerdo desta equação é um produto, e o lado direito é zero, portanto, de acordo com o método de resolução de equações por fatoração, esta equação é equivalente ao conjunto de quatro equações 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Três dessas equações são lineares e uma é quadrática, podemos resolvê-las. Da primeira equação encontramos x=1/2, da segunda - x=6, da terceira - x=7, x=−2, da quarta - x=−1.

Com as raízes encontradas, é bastante fácil verificá-las para ver se o denominador da fração localizada no lado esquerdo da equação original não desaparece, e não é tão fácil determinar a ODZ, pois isso terá que resolver uma equação algébrica do quinto grau. Portanto, nos recusaremos a encontrar a ODZ em favor da verificação das raízes. Para fazer isso, nós os substituímos em vez da variável x na expressão x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, obtido após a substituição, e compare-os com zero: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Assim, 1/2, 6 e −2 são as raízes desejadas da equação fracionalmente racional original, e 7 e −1 são raízes estranhas.

Responda:

1/2 , 6 , −2 .

Exemplo.

Encontre as raízes de uma equação racional fracionária.

Solução.

Primeiro encontramos as raízes da equação (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Esta equação é equivalente a um conjunto de duas equações: o quadrado 5·x 2 −7·x−1=0 e o linear x−2=0 . De acordo com a fórmula das raízes da equação quadrática, encontramos duas raízes, e da segunda equação temos x=2.

Verificar se o denominador não desaparece nos valores encontrados de x é bastante desagradável. E determinar o intervalo de valores aceitáveis da variável x na equação original é bastante simples. Portanto, atuaremos por meio da ODZ.

No nosso caso, a ODZ da variável x da equação racional fracionária original é composta por todos os números, exceto aqueles para os quais a condição x 2 +5·x−14=0 é satisfeita. As raízes desta equação quadrática são x=−7 e x=2, das quais concluímos sobre a ODZ: ela é composta de todos os x tais que .

Resta verificar se as raízes encontradas e x=2 pertencem à região de valores admissíveis. As raízes - pertencem, portanto, são as raízes da equação original, e x=2 não pertence, portanto, é uma raiz estranha.

Responda:

Também será útil nos determos separadamente nos casos em que uma equação racional fracionária da forma contém um número no numerador, isto é, quando p(x) é representado por algum número. Em que

se este número for diferente de zero, então a equação não tem raízes, pois a fração é zero se e somente se seu numerador for zero;
se este número for zero, então a raiz da equação é qualquer número da ODZ.

Exemplo.

Solução.

Como há um número diferente de zero no numerador da fração do lado esquerdo da equação, para nenhum x o valor dessa fração pode ser igual a zero. Portanto, esta equação não tem raízes.

Responda:

sem raízes.

Exemplo.

Resolva a equação.

Solução.

O numerador da fração no lado esquerdo desta equação racional fracionária é zero, então o valor dessa fração é zero para qualquer x para o qual ela faz sentido. Em outras palavras, a solução para essa equação é qualquer valor de x do DPV dessa variável.

Resta determinar essa faixa de valores aceitáveis. Inclui todos esses valores x para os quais x 4 +5 x 3 ≠0. As soluções da equação x 4 +5 x 3 \u003d 0 são 0 e −5, uma vez que esta equação é equivalente à equação x 3 (x + 5) \u003d 0 e, por sua vez, é equivalente à combinação de duas equações x 3 \u003d 0 e x +5=0 , de onde essas raízes são visíveis. Portanto, a faixa desejada de valores aceitáveis é qualquer x , exceto x=0 e x=−5 .

Assim, uma equação fracionalmente racional tem infinitas soluções, que são quaisquer números, exceto zero e menos cinco.

Responda:

Finalmente, é hora de falar sobre a resolução de equações racionais fracionárias arbitrárias. Elas podem ser escritas como r(x)=s(x) , onde r(x) e s(x) são expressões racionais, e pelo menos uma delas é fracionária. Olhando para o futuro, dizemos que sua solução é reduzida a resolver equações da forma já familiar para nós.

Sabe-se que a transferência de um termo de uma parte da equação para outra de sinal oposto leva a uma equação equivalente, então a equação r(x)=s(x) é equivalente à equação r(x)−s (x)=0.

Sabemos também que qualquer pode ser identicamente igual a esta expressão. Assim, podemos sempre transformar a expressão racional no lado esquerdo da equação r(x)−s(x)=0 em uma fração racional identicamente igual da forma .

Então vamos da equação racional fracionária original r(x)=s(x) para a equação , e sua solução, como descobrimos acima, se reduz a resolver a equação p(x)=0 .

Mas aqui é necessário levar em conta o fato de que ao substituir r(x)−s(x)=0 por , e depois por p(x)=0 , o intervalo de valores permitidos da variável x pode se expandir .

Portanto, a equação original r(x)=s(x) e a equação p(x)=0 , à qual chegamos, podem não ser equivalentes, e resolvendo a equação p(x)=0 , podemos obter raízes que serão raízes estranhas da equação original r(x)=s(x) . É possível identificar e não incluir raízes estranhas na resposta, seja verificando, seja verificando sua pertença à ODZ da equação original.

Resumimos essas informações em algoritmo para resolver uma equação racional fracionária r(x)=s(x). Para resolver a equação racional fracionária r(x)=s(x) , deve-se

Obtenha zero à direita movendo a expressão do lado direito com o sinal oposto.
Execute ações com frações e polinômios no lado esquerdo da equação, convertendo-a assim em uma fração racional da forma.
Resolva a equação p(x)=0 .
Identifique e exclua raízes estranhas, o que é feito substituindo-as na equação original ou verificando sua pertença à ODZ da equação original.

Para maior clareza, mostraremos toda a cadeia de resolução de equações racionais fracionárias:
.

Vamos passar pelas soluções de vários exemplos com uma explicação detalhada da solução para esclarecer o bloco de informações fornecido.

Exemplo.

Resolva uma equação racional fracionária.

Solução.

Agiremos de acordo com o algoritmo de solução obtido. E primeiro transferimos os termos do lado direito da equação para o lado esquerdo, como resultado passamos para a equação .

Na segunda etapa, precisamos converter a expressão racional fracionária no lado esquerdo da equação resultante para a forma de uma fração. Para isso, realizamos a redução de frações racionais a um denominador comum e simplificamos a expressão resultante: . Então chegamos à equação.

Na próxima etapa, precisamos resolver a equação −2·x−1=0 . Encontre x=−1/2 .

Resta verificar se o número encontrado -1/2 é uma raiz estranha da equação original. Para fazer isso, você pode verificar ou encontrar a variável ODZ x da equação original. Vamos demonstrar ambas as abordagens.

Vamos começar com um cheque. Substituímos o número −1/2 em vez da variável x na equação original, obtemos , que é o mesmo, −1=−1. A substituição fornece a igualdade numérica correta, portanto, x=−1/2 é a raiz da equação original.

Agora vamos mostrar como é realizado o último passo do algoritmo através da ODZ. A faixa de valores admissíveis da equação original é o conjunto de todos os números, exceto −1 e 0 (quando x=−1 e x=0, os denominadores das frações desaparecem). A raiz x=−1/2 encontrada no passo anterior pertence à ODZ, portanto, x=−1/2 é a raiz da equação original.

Responda:

−1/2 .

Vamos considerar outro exemplo.

Exemplo.

Encontre as raízes da equação.

Solução.

Precisamos resolver uma equação fracionalmente racional, vamos passar por todas as etapas do algoritmo.

Primeiro, transferimos o termo do lado direito para o esquerdo, obtemos .

Em segundo lugar, transformamos a expressão formada do lado esquerdo: . Como resultado, chegamos à equação x = 0 .

Sua raiz é óbvia - é zero.

Na quarta etapa, resta descobrir se a raiz encontrada não é externa para a equação fracionária racional original. Quando é substituído na equação original, a expressão é obtida. Obviamente, não faz sentido, pois contém divisão por zero. Daí concluímos que 0 é uma raiz estranha. Portanto, a equação original não tem raízes.

7 , o que leva à equação . Disso podemos concluir que a expressão no denominador do lado esquerdo deve ser igual a do lado direito, ou seja, . Agora subtraímos de ambas as partes do triplo: . Por analogia, de onde e mais adiante.

A verificação mostra que ambas as raízes encontradas são as raízes da equação racional fracionária original.

Responda:

Bibliografia.

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