O que é chamado de valor de uma fração algébrica. Conceitos Básicos

Quando um aluno ingressa no ensino médio, a matemática é dividida em duas disciplinas: álgebra e geometria. Há cada vez mais conceitos, as tarefas são cada vez mais difíceis. Algumas pessoas têm dificuldade em entender frações. Perdi a primeira lição sobre esse assunto e pronto. frações? Uma pergunta que atormentará toda a minha vida escolar.

O conceito de fração algébrica

Vamos começar com uma definição. Sob fração algébrica refere-se às expressões P/Q, onde P é o numerador e Q é o denominador. Um número, uma expressão numérica ou uma expressão alfabética numérica podem ser ocultados sob uma entrada de letra.

Antes de se perguntar como resolver frações algébricas, primeiro você precisa entender que tal expressão faz parte do todo.

Via de regra, um número inteiro é 1. O número no denominador mostra em quantas partes a unidade está dividida. O numerador é necessário para descobrir quantos elementos são usados. A barra de fração corresponde ao sinal de divisão. É permitido escrever uma expressão fracionária como uma operação matemática “Divisão”. Neste caso, o numerador é o dividendo, o denominador é o divisor.

Regra básica de frações comuns

Quando os alunos estudam este tópico na escola, eles recebem exemplos para reforçar. Para resolvê-los corretamente e encontrar diferentes saídas para situações complexas, você precisa aplicar a propriedade básica das frações.

É assim: se você multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número ou expressão (diferente de zero), o valor da fração comum não muda. Um caso especial desta regra é a divisão de ambos os lados de uma expressão pelo mesmo número ou polinômio. Tais transformações são chamadas de igualdades idênticas.

A seguir veremos como resolver adição e subtração de frações algébricas, multiplicando, dividindo e reduzindo frações.

Operações matemáticas com frações

Vejamos como resolver a propriedade principal de uma fração algébrica e como aplicá-la na prática. Se precisar multiplicar duas frações, adicioná-las, dividir uma pela outra ou subtrair, você deve sempre seguir as regras.

Assim, para a operação de adição e subtração, deve-se encontrar um fator adicional para trazer as expressões a um denominador comum. Se as frações forem inicialmente dadas com as mesmas expressões Q, este parágrafo deverá ser omitido. Uma vez encontrado o denominador comum, como você resolve frações algébricas? Você precisa adicionar ou subtrair numeradores. Mas! Deve-se lembrar que se houver um sinal “-” antes da fração, todos os sinais do numerador serão invertidos. Às vezes você não deve realizar nenhuma substituição ou operação matemática. Basta mudar o sinal antes da fração.

O conceito é frequentemente usado como reduzindo frações. Isso significa o seguinte: se o numerador e o denominador forem divididos por uma expressão diferente de uma (igual para ambas as partes), obtém-se uma nova fração. O dividendo e o divisor são menores do que antes, mas devido à regra básica das frações eles permanecem iguais ao exemplo original.

O objetivo desta operação é obter uma nova expressão irredutível. Você pode resolver esse problema reduzindo o numerador e o denominador pelo máximo divisor comum. O algoritmo de operação consiste em dois pontos:

1. Encontrar o mdc para ambos os lados da fração.
2. Dividindo o numerador e o denominador pela expressão encontrada e obtendo uma fração irredutível igual à anterior.

Abaixo está uma tabela mostrando as fórmulas. Para maior comodidade, você pode imprimi-lo e carregá-lo em um caderno. Porém, para que no futuro, na resolução de uma prova ou exame, não haja dificuldades na questão de como resolver frações algébricas, essas fórmulas devem ser aprendidas de cor.

Vários exemplos com soluções

Do ponto de vista teórico, é considerada a questão de como resolver frações algébricas. Os exemplos dados no artigo ajudarão você a entender melhor o material.

1. Converta frações e traga-as para um denominador comum.

2. Converta frações e traga-as para um denominador comum.

Depois de estudar a parte teórica e considerar a parte prática, não deverão surgir mais dúvidas.

Esta lição cobre o conceito de fração algébrica. As pessoas encontram frações nas situações mais simples da vida: quando é necessário dividir um objeto em várias partes, por exemplo, cortar um bolo igualmente em dez pessoas. Obviamente, todo mundo ganha um pedaço do bolo. Neste caso, estamos diante do conceito de fração numérica, mas é possível uma situação quando um objeto é dividido em um número desconhecido de partes, por exemplo, por x. Nesse caso, surge o conceito de expressão fracionária. Você já conheceu expressões inteiras (que não contêm divisão em expressões com variáveis) e suas propriedades na 7ª série. A seguir, veremos o conceito de fração racional, bem como os valores aceitáveis ​​​​das variáveis.

Assunto:Frações algébricas. Operações aritméticas em frações algébricas

Lição:Conceitos Básicos

1. Definição e exemplos de frações algébricas

Expressões racionais são divididas em expressões inteiras e fracionárias.

Definição. Fração racionalé uma expressão fracionária da forma , onde estão polinômios. - numerador denominador.

Exemplos expressões racionais:- expressões fracionárias; - expressões inteiras. Na primeira expressão, por exemplo, o numerador é e o denominador é .

Significado fração algébrica como qualquer um expressão algébrica, depende do valor numérico das variáveis ​​​​que estão incluídas nele. Em particular, no primeiro exemplo o valor da fração depende dos valores das variáveis ​​​​e , e no segundo exemplo apenas do valor da variável .

2. Cálculo do valor de uma fração algébrica e dois problemas básicos de frações

Consideremos a primeira tarefa típica: calcular o valor fração racional no Significados diferentes as variáveis ​​nele incluídas.

Exemplo 1. Calcule o valor da fração para a) , b) , c)

Solução. Vamos substituir os valores das variáveis ​​​​na fração indicada: a) , b) , c) - não existe (já que não é possível dividir por zero).

Resposta: 3; 1; não existe.

Como vemos, existem dois tarefas típicas para qualquer fração: 1) calcular a fração, 2) encontrar valores válidos e inválidos variáveis ​​​​de letras.

Definição. Valores de variáveis ​​válidos- valores das variáveis ​​nas quais a expressão faz sentido. O conjunto de todos os valores possíveis de variáveis ​​​​é chamado ODZ ou domínio.

3. Valores aceitáveis ​​(ADV) e inaceitáveis ​​de variáveis ​​em frações com uma variável

O valor das variáveis ​​​​literais pode ser inválido se o denominador da fração nesses valores for zero. Em todos os demais casos, os valores das variáveis ​​são válidos, pois a fração pode ser calculada.

Exemplo 2. Estabeleça em quais valores da variável a fração não faz sentido.

Solução. Para que esta expressão faça sentido é necessário e suficiente que o denominador da fração não seja igual a zero. Assim, apenas serão inválidos aqueles valores da variável cujo denominador seja igual a zero. O denominador da fração é , então resolvemos a equação linear:

Portanto, dado o valor da variável, a fração não tem significado.

Da solução do exemplo segue a regra para encontrar valores inválidos de variáveis ​​​​- o denominador da fração é igual a zero e as raízes da equação correspondente são encontradas.

Vejamos vários exemplos semelhantes.

Exemplo 3. Estabeleça em quais valores da variável a fração não faz sentido.

Solução. .

Responder. .

Exemplo 4. Estabeleça em quais valores da variável a fração não faz sentido.

Solução..

Existem outras formulações para este problema - encontre domínio ou faixa de valores de expressão aceitáveis ​​​​(APV). Isso significa encontrar todos os valores válidos das variáveis. Em nosso exemplo, todos esses valores são exceto . É conveniente representar o domínio de definição em um eixo numérico.

Para isso, vamos recortar nele um ponto, conforme indicado na figura:

Por isso, domínio de definição de fração haverá todos os números, exceto 3.

Responder..

Exemplo 5. Estabeleça em quais valores da variável a fração não faz sentido.

Solução..

Vamos representar a solução resultante no eixo numérico:

Responder..

4. Representação gráfica da área de valores aceitáveis ​​(AP) e inaceitáveis ​​de variáveis ​​em frações

Exemplo 6. Estabeleça em quais valores das variáveis ​​a fração não faz sentido.

Solução.. Obtivemos a igualdade de duas variáveis, daremos exemplos numéricos: ou, etc.

Vamos representar esta solução em um gráfico no sistema de coordenadas cartesianas:

Arroz. 3. Gráfico de funções.

As coordenadas de qualquer ponto neste gráfico não estão incluídas na faixa de valores de fração aceitáveis.

Responder. .

5. Caso do tipo “divisão por zero”

Nos exemplos discutidos, encontramos uma situação em que ocorreu a divisão por zero. Agora considere o caso quando mais situação interessante com tipo de divisão.

Exemplo 7. Estabeleça em quais valores das variáveis ​​a fração não faz sentido.

Solução..

Acontece que a fração não faz sentido em . Mas pode-se argumentar que este não é o caso porque: .

Pode parecer que se a expressão final for igual a 8 em , então a original também pode ser calculada e, portanto, faz sentido em . No entanto, se substituirmos na expressão original, obtemos - não faz sentido.

Responder..

Para entender este exemplo com mais detalhes, vamos resolver o seguinte problema: em quais valores a fração indicada é igual a zero?

(uma fração é zero quando seu numerador é zero) . Mas é necessário resolver a equação original com uma fração, e isso não faz sentido para , pois neste valor da variável o denominador é zero. Isso significa que esta equação tem apenas uma raiz.

6. Regra para encontrar ODZ

Assim, podemos formular uma regra exata para encontrar a faixa de valores permitidos de uma fração: encontrar ODZfraçõesé necessário e suficiente igualar seu denominador a zero e encontrar as raízes da equação resultante.

Consideramos duas tarefas principais: calculando o valor de uma fração para os valores especificados das variáveis ​​​​e encontrar a faixa de valores aceitáveis ​​​​de uma fração.

Consideremos agora mais alguns problemas que podem surgir ao trabalhar com frações.

7. Várias tarefas e conclusões

Exemplo 8. Prove que para qualquer valor da variável a fração .

Prova. O numerador é um número positivo. . Como resultado, tanto o numerador quanto o denominador são números positivos, portanto a fração é um número positivo.

Comprovado.

Exemplo 9. Sabe-se que, encontre.

Solução. Vamos dividir a fração termo por termo. Temos o direito de reduzir em, tendo em conta que este é um valor variável inválido para uma determinada fração.

Responder..

Nesta lição, cobrimos conceitos básicos relacionados a frações. Na próxima lição veremos propriedade principal de uma fração.

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Trabalho de casa

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2. Escreva uma fração racional cujo domínio de definição seja: a) o conjunto, b) o conjunto, c) toda a reta numérica.

3. Prove que para todos os valores possíveis da variável, o valor da fração não é negativo.

4. Encontre o domínio da expressão. Instruções: considere separadamente dois casos: quando o denominador da fração inferior é zero e quando o denominador da fração original é zero.

No § 42 foi dito que se a divisão dos polinômios não puder ser realizada completamente, então o quociente é escrito na forma de uma expressão fracionária em que o dividendo é o numerador e o divisor é o denominador.

Exemplos de expressões fracionárias:

O numerador e o denominador de uma expressão fracionária podem ser expressões fracionárias, por exemplo:

Das expressões algébricas fracionárias, na maioria das vezes você terá que lidar com aquelas em que o numerador e o denominador são polinômios (em particular, monômios). Cada uma dessas expressões é chamada de fração algébrica.

Definição. Uma expressão algébrica que é uma fração cujo numerador e denominador são polinômios é chamada de fração algébrica.

Como na aritmética, o numerador e o denominador de uma fração algébrica são chamados de termos da fração.

No futuro, tendo estudado operações com frações algébricas, seremos capazes de transformar qualquer expressão fracionária em uma fração algébrica usando transformações idênticas.

Exemplos de frações algébricas:

Observe que a expressão inteira, ou seja, um polinômio, pode ser escrita como uma fração, para isso basta escrever esta expressão no numerador e 1 no denominador. Por exemplo:

2. Valores de letras aceitáveis.

As letras incluídas apenas no numerador podem assumir qualquer valor (a menos que quaisquer restrições adicionais sejam introduzidas pela condição do problema).

Para letras incluídas no denominador, apenas são válidos aqueles valores que não zeram o denominador. Portanto, a seguir assumiremos sempre que o denominador de uma fração algébrica não é igual a zero.