Wyraźmy równanie i zamiast tego podstawmy. Rozwiązywanie układów równań metodą podstawieniową

2. Metoda dodawania algebraicznego.
3. Sposób wprowadzenia nowej zmiennej (metoda zastępowania zmiennej).

Definicja: Układ równań odnosi się do kilku równań dla jednej lub większej liczby zmiennych, które muszą być wykonane jednocześnie, tj. z tymi samymi wartościami zmiennych dla wszystkich równań. Równania w systemie łączy się ze znakiem systemowym – nawiasem klamrowym.
Przykład 1:

- układ dwóch równań z dwiema zmiennymi X I y.
Rozwiązaniem systemu są korzenie. Po podstawieniu tych wartości równania stają się prawdziwymi tożsamościami:

Rozwiązywanie układów równań liniowych.

Najpopularniejszą metodą rozwiązywania układu jest metoda podstawieniowa.

Metoda substytucyjna.

Metoda podstawienia przy rozwiązywaniu układów równań polega na wyrażeniu zmiennej z jednego równania układu za pomocą innych i podstawieniu tego wyrażenia do pozostałych równań układu zamiast wyrażonej zmiennej.
Przykład 2:
Rozwiąż układ równań:

Rozwiązanie:
Dany jest układ równań, który należy rozwiązać metodą podstawieniową.
Wyraźmy zmienną y z drugiego równania układu.
Komentarz:„Wyrażenie zmiennej” oznacza przekształcenie równości w taki sposób, że zmienna ta pozostaje na lewo od znaku równości o współczynniku 1, a wszystkie pozostałe wyrazy przesuwają się na prawą stronę równości.
Drugie równanie układu:

Wyjdźmy tylko po lewej stronie y:

I podstawmy (stąd nazwa metody) do pierwszego równania zamiast Na wyrażenie, któremu jest równe, tj. .
Pierwsze równanie:

Zastąpmy:

Rozwiążmy to banalne równanie kwadratowe. Dla tych, którzy zapomnieli, jak to zrobić, znajduje się artykuł Rozwiązywanie równań kwadratowych. .

Zatem wartości zmiennych X znaleziony.
Podstawmy te wartości do wyrażenia dla zmiennej y. Są tu dwa znaczenia X, tj. dla każdego z nich powinieneś znaleźć wartość y .
1) Niech
Podstawiamy go do wyrażenia.

2) Niech
Podstawiamy go do wyrażenia.

Na wszystko można odpowiedzieć:
Komentarz: W takim przypadku odpowiedź należy zapisać parami, aby nie pomylić, która wartość zmiennej y odpowiada której wartości zmiennej x.
Odpowiedź:
Komentarz: W przykładzie 1 jako rozwiązanie układu wskazana jest tylko jedna para, tj. ta para jest rozwiązaniem systemu, ale nie kompletnym. Zatem rozwiązanie równania lub układu polega na wskazaniu rozwiązania i pokazaniu, że nie ma innych rozwiązań. A oto kolejna para.

Sformalizujmy rozwiązanie tego systemu w stylu szkolnym:

Komentarz: Znak „” oznacza „równoważnie”, tj. następny system lub wyrażenie jest równoważne poprzedniemu.

Powrót do przodu

Uwaga! Podglądy slajdów służą wyłącznie celom informacyjnym i mogą nie odzwierciedlać wszystkich funkcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.

Miejsce lekcji w systemie lekcji: trzecia lekcja studiowania tematu „Systemy dwóch równania liniowe z dwiema zmiennymi”

Typ lekcji: uczyć się nowej wiedzy

Technologia edukacyjna: rozwijanie krytycznego myślenia poprzez czytanie i pisanie

Metoda nauczania: badanie

Cele Lekcji: opanuj inny sposób rozwiązywania układów równań liniowych z dwiema zmiennymi - metodę dodawania

Zadania:

• temat: kształtowanie praktycznych umiejętności rozwiązywania układów równań liniowych metodą podstawieniową;
• metatemat: rozwijać myślenie, świadome postrzeganie materiałów edukacyjnych;
• osobisty: wspieranie aktywności poznawczej, kultury komunikacji i wzbudzanie zainteresowania tematem.

W rezultacie uczeń:

• Zna definicję układu równań liniowych z dwiema zmiennymi;
• Wie, co to znaczy rozwiązać układ równań liniowych przy dwóch zmiennych;
• Potrafi napisać układ równań liniowych z dwiema zmiennymi;
• Rozumie, ile rozwiązań może mieć układ równań liniowych z dwiema zmiennymi;
• Potrafi określić, czy system ma rozwiązania, a jeśli tak, to ile;
• Zna algorytm rozwiązywania układów równań liniowych metodą podstawienia, dodawania algebraicznego i metodami graficznymi.

Problematyczne pytanie:„Jak rozwiązać układ równań liniowych z dwiema zmiennymi?”

Kluczowe pytania: Jak i dlaczego używamy równań w życiu?

Sprzęt: prezentacja; projektor multimedialny; ekran; komputer, zeszyt ćwiczeń z algebry: klasa 7: do podręcznika A.G. Mordkovich i wsp. „Algebra – 7” 2012

Zasoby (skąd pochodzą informacje na dany temat: książki, podręczniki, Internet itp.): podręcznik „Algebra – 7” 2012, A.G. Mordkowicz

Formy organizacji zajęć edukacyjnych uczniów (grupowe, w parach, frontalne itp.): indywidualne, częściowo frontowe, częściowo łaźnia parowa

Kryteria oceny:

• A – wiedza i zrozumienie +
• B – zastosowanie i uzasadnienie
• C – wiadomość +
• D – refleksja i ocena

Obszary interakcji:

• ATL - Potrafić efektywnie wykorzystywać czas, planować swoje działania zgodnie ze swoimi celami i założeniami oraz ustalać najbardziej racjonalną sekwencję działań. Umiejętność odpowiadania na pytania, uzasadniania, argumentowania. Potrafić analizować i oceniać własne działania edukacyjne i poznawcze, znajdować sposoby rozwiązywania problemów.
• Studenci HI badają konsekwencje działalności człowieka

Podczas zajęć

I. Organizacja lekcji

II. Kontrola samodzielnego przygotowania

a) nr 12.2(b, c).

Odpowiedź:(5; 3). Odpowiedź:(2; 3).

Odpowiedź: (4;2)

Wyraź jedną zmienną w kategoriach drugiej:

• p = p /(g*h) – gęstość cieczy
• p = g * p * h - ciśnienie cieczy na dnie naczynia
• h = p /(g * p) – wysokość
• p = m / V - gęstość
• m = V * p -masa
• p = m/V – gęstość

Algorytm rozwiązywania układu dwóch równań z dwiema zmiennymi metodą podstawieniową:

1. Wyraź y jako x z pierwszego (lub drugiego) równania układu.
2. Zastąp wyrażenie uzyskane w pierwszym kroku zamiast y do drugiego (pierwszego) równania układu.
3. Rozwiąż równanie otrzymane w drugim kroku dla x.
4. Zastąp wartość x znalezioną w trzecim kroku wyrażeniem y w odniesieniu do x otrzymanego w pierwszym kroku.
5. Zapisz odpowiedź jako parę wartości (x; y), które znaleziono odpowiednio w trzecim i czwartym kroku.

Niezależna praca:

W zeszycie ćwiczeń s. 46 – 47.

• do „3” nr 6 lit. a);
• do „4” nr 6 lit. b);
• do „5” nr 7.

III. Aktualizacja wiedzy referencyjnej

Co to jest układ równań liniowych z dwiema zmiennymi?

Układ równań to dwa lub więcej równań, dla których konieczne jest znalezienie wszystkich ich wspólnych rozwiązań.

Jakie jest rozwiązanie układu równań z dwiema zmiennymi?

Rozwiązaniem układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi jest para liczb (x,y) taka, że ​​jeśli podstawimy te liczby do równań układu, to każde z równań układu zamieni się w prawdziwą równość.

Ile rozwiązań może mieć układ równań liniowych z dwiema zmiennymi?

Jeśli nachylenia są równe, linie są równoległe i nie ma pierwiastków.

Jeśli współczynniki kątowe nie są równe, wówczas linie przecinają się, jeden pierwiastek (współrzędne punktu przecięcia).

Jeśli nachylenia są równe, linie pokrywają się, a pierwiastek jest nieskończenie duży.

IV. Nauka nowego materiału

Wypełnij puste miejsca: Załącznik 1 (po czym następuje autotest na slajdach)

V. Pracuj nad tematem lekcji

W klasie: Nr 13.2(a, d), 13.3(a, d).

VI. Praca domowa

Paragraf 13 – podręcznik; słownik; Nr 13.2(b, c), 13.3(b, c).

VII. Podsumowanie lekcji

• Brawo!!! Wszystko rozumiem!
• Jest kilka rzeczy, nad którymi muszę popracować!
• Były porażki, ale wszystko przezwyciężę!

VIII. Rozwiązywanie problemów z komponentem wojskowym

Główny czołg bojowy T-80.

Przyjęty do służby w 1976 r. Pierwszy na świecie zbiornik produkcyjny z elektrownią główną opartą na silniku turbinowym gazowym.

Podstawowe dane taktyczno-techniczne (TTD):

Masa, t – 46

Prędkość, km/h – 70

Zasięg przelotowy, km – 335-370

Uzbrojenie: armata gładkolufowa 125 mm (40 sztuk amunicji);

karabin maszynowy 12,7 mm (300 sztuk amunicji);

Karabin maszynowy PKT 7,62 mm (amunicja 2000 szt.)

Jak długo czołg T-80 może pozostawać w ruchu bez tankowania?

W takim przypadku wygodnie jest wyrazić x w postaci y z drugiego równania układu i zastąpić otrzymane wyrażenie zamiast x w pierwszym równaniu:

Pierwsze równanie jest równaniem z jedną zmienną y. Rozwiążmy to:

5(7-3 lata)-2 lata = -16

Podstawiamy otrzymaną wartość y do wyrażenia x:

Odpowiedź: (-2; 3).

W tym systemie łatwiej jest wyrazić y w postaci x z pierwszego równania i zastąpić powstałe wyrażenie zamiast y w drugim równaniu:

Drugie równanie jest równaniem z jedną zmienną x. Rozwiążmy to:

3x-4(-1,5-3,5x)=23

W wyrażeniu na y zamiast x podstawiamy x=1 i znajdujemy y:

Odpowiedź: (1; -5).

Tutaj wygodniej jest wyrazić y w postaci x z drugiego równania (ponieważ dzielenie przez 10 jest łatwiejsze niż dzielenie przez 4, -9 lub 3):

Rozwiążmy pierwsze równanie:

4x-9(1,6-0,3x)= -1

4x-14,4+2,7x= -1

Podstaw x=2 i znajdź y:

Odpowiedź: (2; 1).

Przed zastosowaniem metody substytucyjnej należy uprościć ten system. Obie strony pierwszego równania można pomnożyć przez najniższy wspólny mianownik, w drugim równaniu otwieramy nawiasy i przedstawiamy podobne pojęcia:

Otrzymaliśmy układ równań liniowych z dwiema zmiennymi. Teraz zastosujmy podstawienie. Wygodnie jest wyrazić a do b z drugiego równania:

Rozwiązujemy pierwsze równanie układu:

3(21,5 + 2,5b) – 7b = 63

Pozostaje znaleźć wartość a:

Zgodnie z zasadami formatowania odpowiedź piszemy w nawiasach oddzielonych średnikiem w kolejności alfabetycznej.

Odpowiedź: (14; -3).

Wyrażając jedną zmienną za pomocą drugiej, czasami wygodniej jest pozostawić ją z określonym współczynnikiem.

Układy równań są szeroko stosowane w sektorze gospodarczym do matematycznego modelowania różnych procesów. Na przykład przy rozwiązywaniu problemów związanych z zarządzaniem i planowaniem produkcji, tras logistycznych (problem transportu) lub rozmieszczenia sprzętu.

Układy równań wykorzystuje się nie tylko w matematyce, ale także w fizyce, chemii i biologii przy rozwiązywaniu problemów wyznaczania wielkości populacji.

Układ równań liniowych to dwa lub więcej równań z kilkoma zmiennymi, dla których konieczne jest znalezienie wspólnego rozwiązania. Taki ciąg liczb, dla którego wszystkie równania stają się prawdziwymi równościami lub dowodzą, że ciąg nie istnieje.

Równanie liniowe

Równania w postaci ax+by=c nazywane są liniowymi. Oznaczenia x, y to niewiadome, których wartość należy znaleźć, b, a to współczynniki zmiennych, c to wolny składnik równania.
Rozwiązanie równania poprzez jego wykreślenie będzie wyglądać jak linia prosta, której wszystkie punkty są rozwiązaniami wielomianu.

Rodzaje układów równań liniowych

Za najprostsze przykłady uważa się układy równań liniowych z dwiema zmiennymi X i Y.

F1(x, y) = 0 i F2(x, y) = 0, gdzie F1,2 to funkcje, a (x, y) to zmienne funkcyjne.

Rozwiązać układ równań - oznacza to znalezienie wartości (x, y), przy których układ zamienia się w prawdziwą równość lub ustalenie, że odpowiednie wartości x i y nie istnieją.

Para wartości (x, y), zapisana jako współrzędne punktu, nazywana jest rozwiązaniem układu równań liniowych.

Jeśli systemy mają jedno wspólne rozwiązanie lub nie ma żadnego rozwiązania, nazywa się je równoważnymi.

Jednorodne układy równań liniowych to układy, których prawa strona jest równa zeru. Jeżeli prawa część po znaku równości ma wartość lub jest wyrażona funkcją, to taki układ jest heterogeniczny.

Liczba zmiennych może być znacznie większa niż dwie, wtedy powinniśmy mówić o przykładzie układu równań liniowych z trzema lub więcej zmiennymi.

W obliczu systemów uczniowie zakładają, że liczba równań musi koniecznie pokrywać się z liczbą niewiadomych, ale tak nie jest. Liczba równań w układzie nie zależy od zmiennych, może być ich tyle, ile potrzeba.

Proste i złożone metody rozwiązywania układów równań

Nie ma ogólnej metody analitycznej rozwiązywania takich układów, wszystkie metody opierają się na rozwiązaniach numerycznych. W kurs szkolny Matematyka szczegółowo opisuje takie metody, jak permutacja, dodawanie algebraiczne, podstawienie, a także metody graficzne i macierzowe, rozwiązanie metodą Gaussa.

Głównym zadaniem nauczania metod rozwiązywania problemów jest nauczenie prawidłowej analizy systemu i znalezienia optymalnego algorytmu rozwiązania dla każdego przykładu. Najważniejsze nie jest zapamiętywanie systemu zasad i działań dla każdej metody, ale zrozumienie zasad stosowania określonej metody

Rozwiązywanie przykładów układów równań liniowych programu dla klasy 7 Szkoła średnia dość proste i szczegółowo wyjaśnione. W każdym podręczniku do matematyki tej sekcji poświęca się wystarczająco dużo uwagi. Rozwiązywanie przykładów układów równań liniowych metodą Gaussa i Cramera jest szerzej studiowane na pierwszych latach studiów wyższych.

Rozwiązywanie układów metodą podstawieniową

Działania metody podstawieniowej mają na celu wyrażenie wartości jednej zmiennej za pomocą drugiej. Wyrażenie podstawiamy do pozostałego równania, a następnie sprowadzamy do postaci z jedną zmienną. Czynność powtarza się w zależności od ilości niewiadomych w systemie

Podajmy rozwiązanie przykładowego układu równań liniowych klasy 7 metodą podstawieniową:

Jak widać na przykładzie zmienną x wyrażono poprzez F(X) = 7 + Y. Powstałe wyrażenie, podstawione w miejsce X do 2. równania układu, pozwoliło otrzymać w 2. równaniu jedną zmienną Y . Rozwiązanie tego przykładu jest łatwe i pozwala uzyskać wartość Y. Ostatnim krokiem jest sprawdzenie otrzymanych wartości.

Nie zawsze możliwe jest rozwiązanie przykładowego układu równań liniowych przez podstawienie. Równania mogą być złożone i wyrażenie zmiennej w kategoriach drugiej niewiadomej będzie zbyt kłopotliwe do dalszych obliczeń. Jeżeli w systemie są więcej niż 3 niewiadome, rozwiązywanie przez podstawienie również jest niewłaściwe.

Rozwiązanie przykładowego układu równań liniowych niejednorodnych:

Rozwiązanie wykorzystujące dodawanie algebraiczne

Szukając rozwiązań układów metodą dodawania, równania dodaje się termin po wyrazie i mnoży przez różne liczby. Ostatecznym celem operacji matematycznych jest równanie z jedną zmienną.

Stosowanie tej metody wymaga praktyki i obserwacji. Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą dodawania, gdy występują 3 lub więcej zmiennych, nie jest łatwe. Dodawanie algebraiczne jest wygodne w użyciu, gdy równania zawierają ułamki zwykłe i dziesiętne.

Algorytm rozwiązania:

1. Pomnóż obie strony równania przez określoną liczbę. W wyniku operacji arytmetycznej jeden ze współczynników zmiennej powinien przyjąć wartość 1.
2. Dodaj wynikowe wyrażenie termin po terminie i znajdź jedną z niewiadomych.
3. Podstaw uzyskaną wartość do drugiego równania układu, aby znaleźć pozostałą zmienną.

Metoda rozwiązania poprzez wprowadzenie nowej zmiennej

Nową zmienną można wprowadzić, jeżeli układ wymaga znalezienia rozwiązania nie więcej niż dwóch równań, liczba niewiadomych również nie powinna przekraczać dwóch.

Metodę tę stosuje się w celu uproszczenia jednego z równań poprzez wprowadzenie nowej zmiennej. Nowe równanie rozwiązuje się dla wprowadzonej niewiadomej, a otrzymaną wartość wykorzystuje się do wyznaczenia pierwotnej zmiennej.

Przykład pokazuje, że wprowadzając nową zmienną t, możliwe było sprowadzenie pierwszego równania układu do standardowego trójmianu kwadratowego. Wielomian można rozwiązać, znajdując dyskryminator.

Wartość dyskryminatora należy znaleźć ze znanego wzoru: D = b2 - 4*a*c, gdzie D jest pożądanym wyróżnikiem, b, a, c są współczynnikami wielomianu. W podanym przykładzie a=1, b=16, c=39, zatem D=100. Jeśli dyskryminator jest większy od zera, to są dwa rozwiązania: t = -b±√D / 2*a, jeśli dyskryminator jest mniejszy od zera, to jest jedno rozwiązanie: x = -b / 2*a.

Rozwiązanie dla powstałych układów można znaleźć metodą addycji.

Wizualna metoda rozwiązywania układów

Nadaje się do 3 układów równań. Metoda polega na konstruowaniu wykresów każdego równania wchodzącego w skład układu na osi współrzędnych. Współrzędne punktów przecięcia krzywych i będą decyzja ogólna systemy.

Metoda graficzna ma wiele niuansów. Przyjrzyjmy się kilku przykładom rozwiązywania układów równań liniowych w sposób wizualny.

Jak widać na przykładzie, dla każdej prostej skonstruowano dwa punkty, arbitralnie wybrano wartości zmiennej x: 0 i 3. Na podstawie wartości x znaleziono wartości dla y: 3 i 0. Na wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych (0, 3) i (3, 0) i połączono je linią.

Kroki należy powtórzyć dla drugiego równania. Punkt przecięcia prostych jest rozwiązaniem układu.

Poniższy przykład wymaga znalezienia graficznego rozwiązania układu równań liniowych: 0,5x-y+2=0 i 0,5x-y-1=0.

Jak widać na przykładzie układ nie ma rozwiązania, ponieważ wykresy są równoległe i nie przecinają się na całej długości.

Układy z przykładów 2 i 3 są podobne, ale po zbudowaniu staje się oczywiste, że ich rozwiązania są różne. Należy pamiętać, że nie zawsze można stwierdzić, czy układ ma rozwiązanie, czy nie, zawsze konieczne jest skonstruowanie wykresu.

Macierz i jej odmiany

Macierze służą do zwięzłego pisania układu równań liniowych. Macierz to specjalny rodzaj tabeli wypełnionej liczbami. n*m ma n - wierszy i m - kolumn.

Macierz jest kwadratowa, gdy liczba kolumn i wierszy jest równa. Macierz-wektor jest macierzą jednokolumnową z nieskończenie możliwą liczbą wierszy. Macierz z jedynkami wzdłuż jednej z przekątnych i innymi elementami zerowymi nazywa się tożsamością.

Macierz odwrotna to macierz, po pomnożeniu, przez którą pierwotna zamienia się w macierz jednostkową; taka macierz istnieje tylko dla pierwotnej kwadratowej.

Zasady przekształcania układu równań w macierz

W odniesieniu do układów równań współczynniki i wyrazy wolne równań zapisuje się jako liczby macierzowe; jedno równanie to jeden wiersz macierzy.

Mówi się, że wiersz macierzy jest niezerowy, jeśli przynajmniej jeden element wiersza jest różny od zera. Dlatego jeśli w którymkolwiek z równań liczba zmiennych jest różna, wówczas w miejsce brakującej niewiadomej należy wpisać zero.

Kolumny macierzy muszą ściśle odpowiadać zmiennym. Oznacza to, że współczynniki zmiennej x można zapisać tylko w jednej kolumnie, np. w pierwszej, współczynnik nieznanej y - tylko w drugiej.

Podczas mnożenia macierzy wszystkie elementy macierzy są kolejno mnożone przez liczbę.

Opcje znajdowania macierzy odwrotnej

Wzór na znalezienie macierzy odwrotnej jest dość prosty: K -1 = 1 / |K|, gdzie K -1 jest macierzą odwrotną, a |K| jest wyznacznikiem macierzy. |K| nie może być równe zero, wówczas układ ma rozwiązanie.

Wyznacznik można łatwo obliczyć dla macierzy dwa na dwa, wystarczy pomnożyć elementy przekątne przez siebie. Dla opcji „trzy na trzy” istnieje wzór |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + za 3 b 2 do 1 . Możesz skorzystać ze wzoru lub pamiętać, że musisz wziąć po jednym elemencie z każdego wiersza i każdej kolumny, aby w pracy nie powtarzały się numery kolumn i rzędów elementów.

Rozwiązywanie przykładów układów równań liniowych metodą macierzową

Macierzowa metoda znajdowania rozwiązania pozwala ograniczyć uciążliwe wpisy przy rozwiązywaniu układów duża ilość zmienne i równania.

W przykładzie a nm to współczynniki równań, macierz to wektor. x n to zmienne, a b n to terminy wolne.

Rozwiązywanie układów metodą Gaussa

W matematyce wyższej metodę Gaussa bada się łącznie z metodą Cramera, a proces znajdowania rozwiązań układów nazywa się metodą rozwiązań Gaussa-Cramera. Metody te służą do znajdowania zmiennych układów o dużej liczbie równań liniowych.

Metoda Gaussa jest bardzo podobna do rozwiązań metodą podstawienia i dodawania algebraicznego, ale jest bardziej systematyczna. Na zajęciach szkolnych stosuje się rozwiązanie metodą Gaussa dla układów 3 i 4 równań. Celem metody jest sprowadzenie układu do postaci odwróconego trapezu. Za pomocą przekształceń algebraicznych i podstawień wartość jednej zmiennej znajduje się w jednym z równań układu. Drugie równanie jest wyrażeniem z 2 niewiadomymi, natomiast 3 i 4 z 3 i 4 zmiennymi.

Po doprowadzeniu układu do opisanej postaci dalsze rozwiązanie sprowadza się do sekwencyjnego podstawienia znanych zmiennych do równań układu.

W podręcznikach szkolnych dla klasy 7 przykład rozwiązania metodą Gaussa opisano w następujący sposób:

Jak widać na przykładzie, w kroku (3) otrzymano dwa równania: 3x 3 -2x 4 =11 i 3x 3 +2x 4 =7. Rozwiązanie któregokolwiek z równań pozwoli ci znaleźć jedną ze zmiennych x n.

Twierdzenie 5, o którym mowa w tekście, stwierdza, że ​​jeśli jedno z równań układu zostanie zastąpione równaniem równoważnym, wówczas powstały układ będzie również równoważny pierwotnemu.

Metoda Gaussa jest trudna do zrozumienia dla gimnazjalistów, ale jest jednym z najciekawszych sposobów rozwijania pomysłowości dzieci zapisanych do zaawansowanych programów nauczania na lekcjach matematyki i fizyki.

Aby ułatwić rejestrację, obliczenia zwykle wykonuje się w następujący sposób:

Współczynniki równań i wyrazy wolne zapisuje się w postaci macierzy, gdzie każdemu wierszowi macierzy odpowiada jedno z równań układu. oddziela lewą stronę równania od prawej. Cyfry rzymskie wskazują numery równań w układzie.

Najpierw zapisz macierz, z którą będziesz pracować, a następnie wszystkie czynności wykonane z jednym z wierszy. Otrzymaną macierz zapisuje się po znaku „strzałki” i kontynuuje niezbędne działania algebraiczne aż do uzyskania wyniku.

Wynikiem powinna być macierz, w której jedna z przekątnych jest równa 1, a wszystkie pozostałe współczynniki są równe zeru, to znaczy macierz jest zredukowana do postaci jednostkowej. Nie możemy zapomnieć o wykonaniu obliczeń z liczbami po obu stronach równania.

Ta metoda zapisywania jest mniej uciążliwa i pozwala nie rozpraszać się wypisywaniem wielu niewiadomych.

Swobodne korzystanie z dowolnej metody rozwiązania będzie wymagało ostrożności i pewnego doświadczenia. Nie wszystkie metody mają charakter stosowany. Niektóre metody znajdowania rozwiązań są bardziej preferowane w określonym obszarze działalności człowieka, inne służą celom edukacyjnym.

Stosowanie równań jest szeroko rozpowszechnione w naszym życiu. Wykorzystuje się je w wielu obliczeniach, budowie konstrukcji, a nawet sporcie. Człowiek używał równań w czasach starożytnych i od tego czasu ich użycie tylko wzrosło. Metoda podstawieniowa pozwala w łatwy sposób rozwiązywać układy równań liniowych o dowolnej złożoności. Istota metody polega na tym, że korzystając z pierwszego wyrażenia układu wyrażamy „y”, a następnie powstałe wyrażenie podstawiamy do drugiego równania układu zamiast „y”. Ponieważ równanie zawiera już nie dwie niewiadome, a tylko jedną, możemy łatwo znaleźć wartość tej zmiennej, a następnie na jej podstawie wyznaczyć wartość drugiej.

Załóżmy, że mamy układ równań liniowych o następującej postaci:

\[\left\(\begin(macierz) 3x-y-10=0\\ x+4y-12=0 \end(macierz)\right.\]

Wyraźmy \

\[\left\(\begin(macierz) 3x-10=y\\ x+4y-12=0 \end(macierz)\right.\]

Podstawmy otrzymane wyrażenie do równania 2:

\[\left\(\begin(macierz) y=3x-10\\ x+4(3x-10)-12=0 \end(macierz)\right.\]

Znajdźmy wartość \

Uprośćmy i rozwiążmy równanie, otwierając nawiasy i biorąc pod uwagę zasady przenoszenia terminów:

Teraz znamy wartość \ Użyjmy tego, aby znaleźć wartość \

Odpowiedź: \[(4;2).\]

Gdzie mogę rozwiązać układ równań online metodą podstawieniową?

Na naszej stronie internetowej możesz rozwiązać układ równań. Bezpłatny solwer online pozwoli Ci rozwiązać równania online o dowolnej złożoności w ciągu kilku sekund. Wystarczy, że wprowadzisz swoje dane do solwera. Na naszej stronie internetowej możesz również dowiedzieć się, jak rozwiązać równanie. A jeśli nadal masz pytania, możesz je zadać w naszej grupie VKontakte.