Równania

Jak rozwiązywać równania?

W tej części przypomnimy sobie (lub przestudiujemy, w zależności od tego, kogo wybierzesz) najbardziej elementarne równania. Jakie jest więc równanie? W języku ludzkim jest to pewnego rodzaju wyrażenie matematyczne, w którym występuje znak równości i niewiadoma. Co jest zwykle oznaczone literą "X". Rozwiązać równanie- polega to na znalezieniu takich wartości x, które po podstawieniu do oryginalny wyrażenie da nam poprawną tożsamość. Przypomnę, że tożsamość to wyraz nie budzący wątpliwości nawet dla osoby absolutnie nieobciążonej wiedzą matematyczną. Jak 2=2, 0=0, ab=ab itd. Jak zatem rozwiązywać równania? Rozwiążmy to.

Istnieje wiele rodzajów równań (jestem zaskoczony, prawda?). Ale całą ich nieskończoną różnorodność można podzielić tylko na cztery typy.

4. Inny.)

Cała reszta oczywiście przede wszystkim tak...) Obejmuje to sześcienne, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i wszelkiego rodzaju inne. Będziemy z nimi ściśle współpracować w odpowiednich sekcjach.

Od razu powiem, że czasem równania trzech pierwszych typów są tak popierdolone, że nawet ich nie rozpoznacie… Nic. Dowiemy się jak je rozluźnić.

I dlaczego potrzebujemy tych czterech typów? I co wtedy równania liniowe rozwiązać w jeden sposób kwadrat inni, wymierne ułamkowe - trzecie, A odpoczynek Wcale się nie odważą! Cóż, to nie tak, że w ogóle nie mogą się zdecydować, po prostu myliłem się co do matematyki.) Po prostu mają swoje własne specjalne techniki i metody.

Ale dla każdego (powtarzam - dla każdy!) równania zapewniają niezawodną i niezawodną podstawę do rozwiązywania. Działa wszędzie i zawsze. Ten podkład - Brzmi przerażająco, ale jest bardzo prosty. I bardzo (Bardzo!) ważny.

Właściwie rozwiązanie równania składa się z tych właśnie przekształceń. 99% Odpowiedz na pytanie: " Jak rozwiązywać równania?” leży właśnie w tych przekształceniach. Czy podpowiedź jest jasna?)

Identyczne przekształcenia równań.

W dowolne równania Aby znaleźć nieznane, musisz przekształcić i uprościć oryginalny przykład. I tak, gdy zmieni się wygląd istota równania nie uległa zmianie. Takie przekształcenia nazywane są identyczny lub odpowiednik.

Należy pamiętać, że te przekształcenia mają zastosowanie konkretnie do równań. Transformacje tożsamościowe występują także w matematyce wyrażenia. To jest inny temat.

Teraz powtórzymy wszystko, wszystko, wszystko podstawowe identyczne przekształcenia równań.

Podstawowe, bo można do nich zastosować każdy równania - liniowe, kwadratowe, ułamkowe, trygonometryczne, wykładnicze, logarytmiczne itp. i tak dalej.

Pierwsza transformacja tożsamości: możesz dodawać (odejmować) po obu stronach dowolnego równania każdy(ale jedna i ta sama!) liczba lub wyrażenie (w tym wyrażenie z niewiadomą!). Nie zmienia to istoty równania.

Nawiasem mówiąc, ciągle korzystałeś z tej transformacji, po prostu myślałeś, że przenosisz niektóre wyrazy z jednej części równania do drugiej poprzez zmianę znaku. Typ:

Sprawa jest znana, przesuwamy oba w prawo i otrzymujemy:

Właściwie ty zabrany z obu stron równania wynosi dwa. Wynik jest taki sam:

x+2 - 2 = 3 - 2

Przesuwanie terminów w lewo i w prawo wraz ze zmianą znaku jest po prostu skróconą wersją pierwszej transformacji tożsamości. I po co nam tak głęboka wiedza? - ty pytasz. Nic w równaniach. Na litość boską, wytrzymaj. Tylko nie zapomnij zmienić znaku. Ale w przypadku nierówności nawyk przenoszenia może prowadzić w ślepy zaułek...

Druga transformacja tożsamości: obie strony równania można pomnożyć (podzielić) przez to samo niezerowy liczba lub wyrażenie. Tutaj pojawia się już zrozumiałe ograniczenie: mnożenie przez zero jest głupie, a dzielenie jest całkowicie niemożliwe. To jest transformacja, której używasz, gdy rozwiązujesz coś fajnego

Jest jasne X= 2. Jak to znalazłeś? Przez wybór? A może po prostu do ciebie dotarło? Aby nie wybierać i nie czekać na wgląd, musisz zrozumieć, że jesteś sprawiedliwy dzielimy obie strony równania przez 5. Dzieląc lewą stronę (5x), pięć zostało zmniejszone, pozostawiając czyste X. Właśnie tego potrzebowaliśmy. A dzieląc prawą stronę (10) przez pięć, otrzymamy oczywiście dwa.

To wszystko.

To zabawne, ale te dwie (tylko dwie!) identyczne transformacje są podstawą rozwiązania wszystkie równania matematyczne. Wow! Warto przyjrzeć się przykładom tego, co i jak, prawda?)

Przykłady identycznych przekształceń równań. Główne problemy.

Zacznijmy Pierwszy transformacja tożsamości. Przenieś lewo-prawo.

Przykład dla młodszych.)

Załóżmy, że musimy rozwiązać następujące równanie:

3-2x = 5-3x

Przypomnijmy zaklęcie: „z X – w lewo, bez X – w prawo!” To zaklęcie jest instrukcją użycia pierwszej transformacji tożsamości.) Jakie wyrażenie z X znajduje się po prawej stronie? 3x? Odpowiedź jest błędna! Po naszej prawej stronie - 3x! Minus trzy x! Dlatego podczas przesuwania się w lewo znak zmieni się na plus. Okaże się:

3-2x+3x=5

Zatem X zostały zebrane w stos. Przejdźmy do liczb. Po lewej stronie jest trójka. Z jakim znakiem? Odpowiedź „bez żadnego” nie jest akceptowana!) Przed trzema rzeczywiście nic nie jest rysowane. A to oznacza, że ​​​​przed trzema jest plus. Więc matematycy zgodzili się. Nic nie jest napisane, to znaczy plus. Dlatego potrójna zostanie przeniesiona na prawą stronę z minusem. Otrzymujemy:

-2x+3x=5-3

Pozostały już tylko drobnostki. Po lewej stronie - przynieś podobne, po prawej - policz. Odpowiedź przychodzi od razu:

W tym przykładzie wystarczyła jedna transformacja tożsamości. Drugi nie był już potrzebny. No cóż.)

Przykład dla starszych dzieci.)

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Litery służą do wskazania nieznanego numeru. Znaczenia tych liter należy szukać, korzystając z rozwiązań równania.

Pracując nad rozwiązaniem równania, staramy się w pierwszych etapach sprowadzić je do prostszej postaci, co pozwala uzyskać wynik za pomocą prostych manipulacji matematycznych. W tym celu przenosimy terminy z lewej strony na prawą, zmieniamy znaki, mnożymy/dzielimy części zdania przez jakąś liczbę i otwieramy nawiasy. Ale wszystkie te działania wykonujemy tylko w jednym celu - uzyskać proste równanie.

Równania \ - jest równaniem o jednej nieznanej postaci liniowej, w którym r i c są zapisem wartości liczbowych. Aby rozwiązać równanie tego typu, należy przenieść jego wyrazy:

Na przykład musimy rozwiązać następujące równanie:

Rozwiązywanie tego równania zaczynamy od przeniesienia jego wyrazów: z \[x\] - na lewą stronę, resztę - na prawą. Przesyłając pamiętajmy, że \[+\] zmienia się na \[-.\] Otrzymujemy:

\[-2х+3х=5-3\]

Wykonując proste operacje arytmetyczne, otrzymujemy następujący wynik:

Gdzie mogę rozwiązać równanie z x online?

Równanie z X można rozwiązać online na naszej stronie internetowej https://site. Bezpłatny solwer online pozwoli Ci rozwiązać równania online o dowolnej złożoności w ciągu kilku sekund. Wystarczy, że wprowadzisz swoje dane do solwera. Możesz także obejrzeć instrukcje wideo i dowiedzieć się, jak rozwiązać równanie na naszej stronie internetowej. A jeśli nadal masz pytania, możesz je zadać w naszej grupie VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Dołącz do naszej grupy, zawsze chętnie Ci pomożemy.

Rozwiązywanie równań wykładniczych. Przykłady.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Co się stało równanie wykładnicze? Jest to równanie, w którym występują niewiadome (x) i wyrażenia z nimi wskaźniki pewne stopnie. I tylko tam! To jest ważne.

Tutaj jesteś przykłady równań wykładniczych:

3 x 2 x = 8 x +3

Notatka! W podstawach stopni (poniżej) - tylko numery. W wskaźniki stopnie (powyżej) - szeroka gama wyrażeń z literą X. Jeśli nagle w równaniu pojawi się X w innym miejscu niż wskaźnik, na przykład:

będzie to już równanie typu mieszanego. Równania takie nie mają jasnych zasad ich rozwiązywania. Na razie nie będziemy ich rozważać. Tutaj sobie poradzimy rozwiązywanie równań wykładniczych w najczystszej postaci.

W rzeczywistości nawet czyste równania wykładnicze nie zawsze są rozwiązywane w sposób jasny. Istnieją jednak pewne typy równań wykładniczych, które można i należy rozwiązać. To są typy, które rozważymy.

Rozwiązywanie prostych równań wykładniczych.

Najpierw rozwiążmy coś bardzo podstawowego. Na przykład:

Nawet bez teorii, poprzez prosty dobór widać, że x = 2. Nic więcej, prawda!? Żadna inna wartość X nie działa. Przyjrzyjmy się teraz rozwiązaniu tego trudnego równania wykładniczego:

Co my zrobiliśmy? W rzeczywistości po prostu wyrzuciliśmy te same podstawy (potrójne). Całkowicie wyrzucony. I dobra wiadomość jest taka, że ​​trafiliśmy w sedno!

Rzeczywiście, jeśli w równaniu wykładniczym są lewe i prawe ten sam liczby dowolnej potęgi, liczby te można usunąć, a wykładniki można wyrównać. Matematyka pozwala. Pozostaje rozwiązać znacznie prostsze równanie. Świetnie, prawda?)

Pamiętajmy jednak stanowczo: Możesz usuwać bazy tylko wtedy, gdy liczby zasad po lewej i prawej stronie są w doskonałej izolacji! Bez żadnych sąsiadów i współczynników. Powiedzmy w równaniach:

2 x +2 x+1 = 2 3, lub

dwójek nie da się usunąć!

No cóż, najważniejsze już opanowaliśmy. Jak przejść od złych wyrażeń wykładniczych do prostszych równań.

„To są czasy!” - mówisz. „Kto dałby tak prymitywną lekcję na sprawdzianach i egzaminach!?”

Muszę się zgodzić. Nikt nie będzie. Ale teraz wiesz, gdzie celować przy rozwiązywaniu trudnych przykładów. Należy go doprowadzić do postaci, w której po lewej i prawej stronie znajduje się ten sam numer bazowy. Wtedy wszystko będzie łatwiejsze. Właściwie jest to klasyka matematyki. Bierzemy oryginalny przykład i przekształcamy go na pożądany nas umysł. Oczywiście według zasad matematyki.

Przyjrzyjmy się przykładom, które wymagają dodatkowego wysiłku, aby sprowadzić je do najprostszych. Zadzwońmy do nich prosty równania wykładnicze.

Rozwiązywanie prostych równań wykładniczych. Przykłady.

Przy rozwiązywaniu równań wykładniczych obowiązują główne zasady działania ze stopniami. Bez znajomości tych działań nic nie będzie działać.

Do działań mających stopnie trzeba dodać osobistą obserwację i pomysłowość. Czy potrzebujemy tych samych liczb podstawowych? Dlatego szukamy ich w przykładzie w formie jawnej lub zaszyfrowanej.

Zobaczmy jak to się robi w praktyce?

Podajmy przykład:

2 2x - 8 x+1 = 0

Pierwsze bystre spojrzenie jest na fusy. Oni... Oni są inni! Dwa i osiem. Ale jest za wcześnie, żeby się zniechęcać. Czas o tym pamiętać

Dwa i osiem to stopień spokrewniony.) Całkiem możliwe jest napisanie:

8 x+1 = (2 3) x+1

Jeśli przypomnimy sobie wzór z operacji na stopniach:

(a n) m = za nm ,

to działa świetnie:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Oryginalny przykład zaczął wyglądać tak:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Przenosimy 2 3 (x+1) po prawej stronie (nikt nie anulował elementarnych działań matematycznych!), otrzymujemy:

2 2x = 2 3(x+1)

To praktycznie wszystko. Usuwanie podstaw:

Rozwiązujemy tego potwora i otrzymujemy

To jest poprawna odpowiedź.

W tym przykładzie znajomość potęgi dwójki pomogła nam. My zidentyfikowany w ośmiu jest zaszyfrowana dwójka. Ta technika (kodowanie wspólnych zasad pod różnymi liczbami) jest bardzo popularną techniką w równaniach wykładniczych! Tak, także w logarytmach. Musisz umieć rozpoznawać potęgi innych liczb w liczbach. Jest to niezwykle ważne przy rozwiązywaniu równań wykładniczych.

Faktem jest, że podniesienie dowolnej liczby do dowolnej potęgi nie stanowi problemu. Pomnóż, nawet na papierze, i to wszystko. Na przykład każdy może podnieść liczbę 3 do potęgi piątej. 243 zadziała, jeśli znasz tabliczkę mnożenia.) Ale w równaniach wykładniczych znacznie częściej nie jest konieczne podnoszenie do potęgi, ale odwrotnie... Dowiedz się jaka liczba w jakim stopniu kryje się za liczbą 243, albo powiedzmy 343... Żaden kalkulator Ci tu nie pomoże.

Potęgę niektórych liczb trzeba znać z widzenia, prawda… Poćwiczmy?

Określ, jakie potęgi i jakie liczby mają te liczby:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Odpowiedzi (oczywiście w bałaganie!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Jeśli przyjrzysz się uważnie, zobaczysz dziwny fakt. Odpowiedzi jest znacznie więcej niż zadań! No cóż, zdarza się... Na przykład 2 6, 4 3, 8 2 - to wszystko 64.

Załóżmy, że zapoznałeś się z informacją o znajomości liczb.) Przypomnę też, że do rozwiązywania równań wykładniczych używamy Wszystko zasób wiedzy matematycznej. W tym ci z klas młodszych i średnich. Nie poszedłeś od razu do szkoły średniej, prawda?)

Na przykład przy rozwiązywaniu równań wykładniczych często pomaga umieszczenie wspólnego czynnika w nawiasach (witaj siódmoklaso!). Spójrzmy na przykład:

3 2x+4 -11 9 x = 210

I znowu pierwszy rzut oka na fundamenty! Podstawy stopni są różne... Trzy i dziewięć. Ale chcemy, żeby były takie same. Cóż, w tym przypadku pragnienie zostało całkowicie spełnione!) Ponieważ:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Stosowanie tych samych zasad postępowania ze stopniami:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

To świetnie, możesz to zapisać:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Podaliśmy przykład z tych samych powodów. Więc co dalej!? Nie możesz rzucać trójkami... Ślepy zaułek?

Zupełnie nie. Pamiętaj o najbardziej uniwersalnej i potężnej zasadzie decyzyjnej wszyscy zadania matematyczne:

Jeśli nie wiesz, czego potrzebujesz, zrób co możesz!

Spójrz, wszystko się ułoży).

Co kryje się w tym równaniu wykładniczym Móc Do? Tak, po lewej stronie aż się prosi, żeby go wyjąć z nawiasu! Ogólny mnożnik 3 2x wyraźnie na to wskazuje. Spróbujmy, a wtedy zobaczymy:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Przykład jest coraz lepszy!

Pamiętamy, że do eliminacji podstaw potrzebny jest czysty stopień, bez żadnych współczynników. Niepokoi nas liczba 70. Dzielimy więc obie strony równania przez 70 i otrzymujemy:

Ups! Wszystko się poprawiło!

To jest ostateczna odpowiedź.

Zdarza się jednak, że kołowanie na tej samej zasadzie osiąga się, ale ich eliminacja nie jest możliwa. Dzieje się tak w innych typach równań wykładniczych. Opanujmy ten typ.

Zastępowanie zmiennej w rozwiązywaniu równań wykładniczych. Przykłady.

Rozwiążmy równanie:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Po pierwsze – jak zwykle. Przejdźmy do jednej bazy. Do dwójki.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Otrzymujemy równanie:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

I tu właśnie spędzamy czas. Poprzednie techniki nie będą działać, bez względu na to, jak na to spojrzeć. Będziemy musieli wyciągnąć inną potężną i uniwersalną metodę z naszego arsenału. To jest nazwane wymiana zmienna.

Istota metody jest zaskakująco prosta. Zamiast jednej złożonej ikony (w naszym przypadku - 2 x) piszemy inną, prostszą (na przykład - t). Taka pozornie bezsensowna wymiana prowadzi do niesamowitych rezultatów!) Wszystko staje się jasne i zrozumiałe!

Więc pozwól

Wtedy 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

W naszym równaniu wszystkie potęgi x zastępujemy t:

Cóż, przychodzi ci to do głowy?) Czy zapomniałeś już o równaniach kwadratowych? Rozwiązując dyskryminator, otrzymujemy:

Najważniejsze, żeby się nie zatrzymywać, jak to bywa... To jeszcze nie jest odpowiedź, potrzebujemy x, a nie t. Wróćmy do X, tj. dokonujemy odwrotnej zamiany. Najpierw dla t 1:

To jest,

Znaleziono jeden korzeń. Szukamy drugiego z t 2:

Hm... 2 x po lewej, 1 po prawej... Problem? Zupełnie nie! Wystarczy pamiętać (z operacji na potęgach, tak...), że jednostka jest każdy liczbę do potęgi zerowej. Każdy. Cokolwiek będzie potrzebne, zainstalujemy to. Potrzebujemy dwójki. Oznacza:

To tyle. Mamy 2 pierwiastki:

To jest odpowiedź.

Na rozwiązywanie równań wykładniczych na końcu czasem pojawia się niezręczna ekspresja. Typ:

Siedmiu nie można zamienić na dwa za pomocą prostej potęgi. Oni nie są krewnymi... Jak możemy być? Ktoś może być zdezorientowany... Ale osoba, która przeczytała na tej stronie temat „Co to jest logarytm?” , uśmiecha się oszczędnie i twardą ręką zapisuje absolutnie poprawną odpowiedź:

Takiej odpowiedzi nie może być w zadaniu „B” na egzaminie Unified State Examination. Tam wymagany jest konkretny numer. Ale w zadaniach „C” jest to łatwe.

W tej lekcji przedstawiono przykłady rozwiązywania najczęstszych równań wykładniczych. Podkreślmy główne punkty.

Praktyczne porady:

1. Przede wszystkim patrzymy fusy stopni. Zastanawiamy się, czy da się je zrobić identyczny. Spróbujmy to zrobić aktywnie wykorzystując działania ze stopniami. Nie zapominaj, że liczby bez x można również zamienić na potęgi!

2. Próbujemy doprowadzić równanie wykładnicze do postaci, gdy po lewej i po prawej stronie są ten sam liczby w dowolnych potęgach. Używamy działania ze stopniami I faktoryzacja. To, co da się policzyć w liczbach, liczymy.

3. Jeśli druga wskazówka nie zadziała, spróbuj zastosować zamianę zmiennych. Wynikiem może być równanie, które można łatwo rozwiązać. Najczęściej - kwadratowy. Lub ułamek, który również sprowadza się do kwadratu.

4. Aby skutecznie rozwiązywać równania wykładnicze, musisz znać potęgi niektórych liczb z widzenia.

Jak zwykle na koniec lekcji możesz podjąć małą decyzję.) Samodzielnie. Od prostych do złożonych.

Rozwiązuj równania wykładnicze:

Trudniejsze:

2x+3 - 2x+2 - 2x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Znajdź iloczyn korzeni:

2 trójki + 2 x = 9

Stało się?

No więc najbardziej skomplikowany przykład(zdecydowałem jednak w myślach...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Co jest bardziej interesujące? W takim razie mam dla ciebie zły przykład. Dość kuszące dla zwiększonego poziomu trudności. Podpowiem, że w tym przykładzie ratuje Cię pomysłowość i najbardziej uniwersalna zasada rozwiązywania wszelkich problemów matematycznych.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Prostszy przykład dla relaksu):

9 2 x - 4 3 x = 0

A na deser. Znajdź sumę pierwiastków równania:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Tak tak! To jest równanie typu mieszanego! Którego nie rozważaliśmy w tej lekcji. Po co je rozważać, należy je rozwiązać!) Ta lekcja wystarczy, aby rozwiązać równanie. No cóż, trzeba pomysłowości... I niech siódma klasa Ci w tym pomoże (to podpowiedź!).

Odpowiedzi (w nieładzie, oddzielone średnikami):

1; 2; 3; 4; nie ma rozwiązań; 2; -2; -5; 4; 0.

Czy wszystko się udało? Świetnie.

Tam jest problem? Bez problemu! Sekcja specjalna 555 rozwiązuje wszystkie te równania wykładnicze ze szczegółowymi wyjaśnieniami. Co, dlaczego i dlaczego. I oczywiście istnieją dodatkowe cenne informacje na temat pracy z wszelkiego rodzaju równaniami wykładniczymi. Nie tylko te.)

Ostatnie zabawne pytanie do rozważenia. Na tej lekcji pracowaliśmy z równaniami wykładniczymi. Dlaczego nie wspomniałem tutaj ani słowa o ODZ? Swoją drogą, w równaniach jest to bardzo ważna rzecz...

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Równania liniowe. Rozwiązanie, przykłady.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Równania liniowe.

Równania liniowe nie są najtrudniejszym tematem matematyki w szkole. Ale jest tam kilka sztuczek, które mogą zadziwić nawet wytrenowanego ucznia. Rozwiążmy to?)

Zwykle równanie liniowe definiuje się jako równanie postaci:

topór + B = 0 Gdzie a i b– dowolne liczby.

2x + 7 = 0. Tutaj a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Tutaj a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Tutaj a=12, b=1/2

Nic skomplikowanego, prawda? Zwłaszcza jeśli nie zauważysz słów: „gdzie aib są dowolnymi liczbami”... A jeśli zauważysz i beztrosko o tym pomyślisz?) W końcu jeśli a=0, b=0(możliwe są dowolne liczby?), wówczas otrzymujemy zabawne wyrażenie:

Ale to nie wszystko! Jeśli, powiedzmy, a=0, A b=5, Okazuje się, że jest to coś zupełnie niezwykłego:

Co jest denerwujące i podważa zaufanie do matematyki, tak...) Zwłaszcza podczas egzaminów. Ale wśród tych dziwnych wyrażeń musisz także znaleźć X! Które w ogóle nie istnieje. I, co zaskakujące, ten X jest bardzo łatwy do znalezienia. Nauczymy się to robić. W tej lekcji.

Jak rozpoznać równanie liniowe po jego wyglądzie? To zależy od wyglądu.) Sztuczka polega na tym, że równania liniowe to nie tylko równania postaci topór + B = 0 , ale także dowolne równania, które można sprowadzić do tej postaci poprzez przekształcenia i uproszczenia. A kto wie, czy spadnie, czy nie?)

W niektórych przypadkach można wyraźnie rozpoznać równanie liniowe. Załóżmy, że mamy równanie, w którym są tylko niewiadome pierwszego stopnia i liczby. A w równaniu nie ma ułamki podzielone przez nieznany , to jest ważne! I dzielenie przez numer, lub ułamek liczbowy - zapraszamy! Na przykład:

To jest równanie liniowe. Są tu ułamki zwykłe, ale nie ma x w kwadracie, sześcianie itp. i nie ma x w mianownikach, tj. NIE dzielenie przez x. A oto równanie

nie można nazwać liniowym. Tutaj wszystkie X są w pierwszym stopniu, ale są dzielenie przez wyrażenie z x. Po uproszczeniu i przekształceniach możesz otrzymać równanie liniowe, równanie kwadratowe lub cokolwiek chcesz.

Okazuje się, że nie da się rozpoznać równania liniowego w jakimś skomplikowanym przykładzie, dopóki go prawie nie rozwiążesz. To jest denerwujące. Ale w zadaniach z reguły nie pytają o formę równania, prawda? Zadania wymagają równań decydować. To sprawia, że ​​jestem szczęśliwy.)

Rozwiązywanie równań liniowych. Przykłady.

Całe rozwiązanie równań liniowych składa się z identycznych przekształceń równań. Swoją drogą, te przekształcenia (dwa z nich!) stanowią podstawę rozwiązań wszystkie równania matematyczne. Inaczej mówiąc, rozwiązanie każdy równanie zaczyna się od tych właśnie przekształceń. W przypadku równań liniowych (rozwiązanie) opiera się na tych przekształceniach i kończy się pełną odpowiedzią. Warto skorzystać z linku, prawda?) Co więcej, są tam również przykłady rozwiązywania równań liniowych.

Najpierw spójrzmy na najprostszy przykład. Bez żadnych pułapek. Załóżmy, że musimy rozwiązać to równanie.

x - 3 = 2 - 4x

To jest równanie liniowe. Wszystkie X są ujęte w pierwszej potędze, nie ma dzielenia przez X. Ale tak naprawdę nie ma dla nas znaczenia, jakiego rodzaju jest to równanie. Musimy to rozwiązać. Schemat tutaj jest prosty. Zbierz wszystko, co ma X po lewej stronie równania, wszystko bez X (liczby) po prawej stronie.

Aby to zrobić, musisz przenieść - 4x w lewo, oczywiście ze zmianą znaku i - 3 - w prawo. Swoją drogą, to jest to pierwsze identyczne przekształcenie równań. Zaskoczony? Oznacza to, że nie kliknąłeś linku, ale na próżno...) Otrzymujemy:

x + 4x = 2 + 3

Oto podobne, uważamy:

Czego potrzebujemy do pełnego szczęścia? Tak, aby po lewej stronie znajdował się czysty X! Piątka stoi na przeszkodzie. Pozbycie się piątki z pomocą drugie identyczne przekształcenie równań. Mianowicie dzielimy obie strony równania przez 5. Otrzymujemy gotową odpowiedź:

Oczywiście elementarny przykład. To na rozgrzewkę.) Nie jest zbyt jasne, dlaczego zapamiętałem tutaj identyczne transformacje? OK. Weźmy byka za rogi.) Zdecydujmy się na coś solidniejszego.

Oto na przykład równanie:

Gdzie zaczynamy? Z X - w lewo, bez X - w prawo? Może tak być. Małe kroki na długiej drodze. Możesz też zrobić to od razu, w uniwersalny i skuteczny sposób. Jeśli oczywiście masz w swoim arsenale identyczne przekształcenia równań.

Zadam Ci kluczowe pytanie: Co najbardziej nie podoba Ci się w tym równaniu?

95 na 100 osób odpowie: ułamki ! Odpowiedź jest prawidłowa. Pozbądźmy się ich więc. Dlatego zaczynamy od razu druga transformacja tożsamości. Przez co należy pomnożyć ułamek po lewej stronie, aby mianownik został całkowicie zredukowany? Zgadza się, o 3. A po prawej? Przez 4. Ale matematyka pozwala nam pomnożyć obie strony przez ten sam numer. Jak możemy się wydostać? Pomnóżmy obie strony przez 12! Te. do wspólnego mianownika. Wtedy zarówno trzy, jak i cztery zostaną zmniejszone. Nie zapominaj, że musisz pomnożyć każdą część całkowicie. Oto jak wygląda pierwszy krok:

Rozszerzanie nawiasów:

Notatka! Licznik ułamka (x+2) Umieściłem to w nawiasie! Dzieje się tak, ponieważ przy mnożeniu ułamków mnożony jest cały licznik! Teraz możesz skrócić ułamki:

Rozwiń pozostałe nawiasy:

Nie przykład, ale czysta przyjemność!) Przypomnijmy sobie teraz zaklęcie z podstawówki: z X - w lewo, bez X - w prawo! I zastosuj tę transformację:

Oto kilka podobnych:

I podziel obie części przez 25, tj. ponownie zastosuj drugą transformację:

To wszystko. Odpowiedź: X=0,16

Uwaga: aby nadać oryginalnemu mylącemu równaniu odpowiednią formę, użyliśmy dwóch (tylko dwóch!) przemiany tożsamości– tłumaczenie lewo-prawo ze zmianą znaku i mnożeniem-dzieleniem równania przez tę samą liczbę. To uniwersalna metoda! Będziemy pracować w ten sposób z każdy równania! Absolutnie każdy. Dlatego cały czas żmudnie powtarzam o tych identycznych przemianach.)

Jak widać zasada rozwiązywania równań liniowych jest prosta. Bierzemy równanie i upraszczamy je za pomocą identycznych przekształceń, aż otrzymamy odpowiedź. Główne problemy dotyczą tutaj obliczeń, a nie zasady rozwiązania.

Ale... Przy rozwiązywaniu najbardziej elementarnych równań liniowych zdarzają się takie niespodzianki, że potrafią wprawić w silne odrętwienie...) Na szczęście takie niespodzianki mogą być tylko dwie. Nazwijmy je specjalnymi przypadkami.

Szczególne przypadki rozwiązywania równań liniowych.

Pierwsza niespodzianka.

Załóżmy, że natkniesz się na bardzo podstawowe równanie, na przykład:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Lekko znudzeni przesuwamy go z X w lewo, bez X - w prawo... Po zmianie znaku wszystko jest idealne... Otrzymujemy:

2x-5x+3x=5-2-3

Liczymy i... ups!!! Otrzymujemy:

Ta równość sama w sobie nie budzi zastrzeżeń. Zero naprawdę jest zerem. Ale brakuje X! I musimy zapisać w odpowiedzi, ile wynosi x? W przeciwnym razie rozwiązanie się nie liczy, prawda...) Impas?

Spokój! W takich wątpliwych przypadkach uratują Cię najbardziej ogólne zasady. Jak rozwiązywać równania? Co to znaczy rozwiązać równanie? To znaczy, znajdź wszystkie wartości x, które po podstawieniu do pierwotnego równania dadzą nam poprawną równość.

Ale mamy prawdziwą równość już stało się! 0=0, o ile dokładniejsze?! Pozostaje dowiedzieć się, przy którym x to się dzieje. Na jakie wartości X można podstawić oryginalny równanie, jeśli te x czy nadal zostaną zredukowane do zera? Pospiesz się?)

Tak!!! X można zastąpić każdy! Który chcesz? Co najmniej 5, co najmniej 0,05, co najmniej -220. Nadal będą się zmniejszać. Jeśli mi nie wierzysz, możesz to sprawdzić.) Zastąp dowolne wartości X oryginalny równanie i obliczenia. Cały czas będziesz dostawał czystą prawdę: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 i tak dalej.

Oto Twoja odpowiedź: x - dowolna liczba.

Odpowiedź można zapisać różnymi symbolami matematycznymi, istota się nie zmienia. Jest to całkowicie poprawna i pełna odpowiedź.

Druga niespodzianka.

Weźmy to samo elementarne równanie liniowe i zmieńmy w nim tylko jedną liczbę. Oto co zdecydujemy:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Po tych samych identycznych przekształceniach otrzymujemy coś intrygującego:

Lubię to. Rozwiązaliśmy równanie liniowe i otrzymaliśmy dziwną równość. W kategoriach matematycznych mamy fałszywa równość. I mówienie w prostym języku, to nie jest prawda. Zachwycać się. Niemniej jednak ten nonsens jest bardzo dobrym powodem do prawidłowego rozwiązania równania.)

Znowu myślimy w oparciu o ogólne zasady. Co dadzą nam x, po podstawieniu do pierwotnego równania PRAWDA równość? Tak, żaden! Nie ma takich X. Bez względu na to, co włożysz, wszystko zostanie zredukowane, pozostaną tylko bzdury.)

Oto Twoja odpowiedź: nie ma rozwiązań.

To także całkowicie pełna odpowiedź. W matematyce często można znaleźć takie odpowiedzi.

Lubię to. Mam nadzieję, że zniknięcie X w procesie rozwiązywania dowolnego (nie tylko liniowego) równania nie wprawi Cię w żadne zamieszanie. To już znana sprawa.)

Teraz, gdy uporaliśmy się ze wszystkimi pułapkami równań liniowych, sensowne jest ich rozwiązanie.

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Równania są jednym z trudne tematyłatwe do nauczenia, ale jednocześnie są wystarczająco potężnym narzędziem do rozwiązywania większości problemów.

Za pomocą równań opisano różne procesy zachodzące w przyrodzie. Równania są szeroko stosowane w innych naukach: ekonomii, fizyce, biologii i chemii.

Na tej lekcji postaramy się zrozumieć istotę najprostszych równań, nauczyć się wyrażać niewiadome i rozwiązać kilka równań. W miarę uczenia się nowych materiałów równania stają się coraz bardziej złożone, dlatego zrozumienie podstaw jest bardzo ważne.

Umiejętności wstępne Treść lekcji

Co to jest równanie?

Równanie to równość zawierająca zmienną, której wartość chcesz znaleźć. Wartość ta musi być taka, aby po podstawieniu do pierwotnego równania otrzymano poprawną równość liczbową.

Na przykład wyrażenie 3 + 2 = 5 jest równością. Obliczając lewą stronę, uzyskuje się poprawną równość liczbową 5 = 5.

Ale równość wynosi 3 + X= 5 jest równaniem, ponieważ zawiera zmienną X, którego wartość można znaleźć. Wartość musi być taka, aby po podstawieniu tej wartości do pierwotnego równania otrzymano poprawną równość liczbową.

Inaczej mówiąc, musimy znaleźć wartość, przy której znak równości uzasadniałby jego położenie – lewa strona musi być równa prawej stronie.

Równanie 3 + X= 5 jest elementarne. Zmienna wartość X jest równa liczbie 2. Dla każdej innej wartości równość nie będzie przestrzegana

Mówią, że liczba 2 to źródło Lub rozwiązanie równania 3 + X = 5

Źródło Lub rozwiązanie równania- jest to wartość zmiennej, przy której równanie zamienia się w prawdziwą równość liczbową.

Może być kilka korzeni lub wcale. Rozwiązać równanie oznacza odnalezienie korzeni lub udowodnienie, że korzeni nie ma.

Zmienna zawarta w równaniu nazywana jest inaczej nieznany. Masz prawo nazywać to jak chcesz. To są synonimy.

Notatka. Rozmieszczenie "Rozwiązać równanie" mówi samo za siebie. Rozwiązanie równania oznacza „wyrównanie” równania — zrównoważenie go w taki sposób, że lewa strona równa się prawej stronie.

Wyrażaj jedno poprzez drugie

Badanie równań tradycyjnie rozpoczyna się od nauki wyrażania jednej liczby zawartej w równości za pomocą wielu innych. Nie łammy tej tradycji i zróbmy to samo.

Rozważ następujące wyrażenie:

8 + 2

To wyrażenie jest sumą liczb 8 i 2. Wartość tego wyrażenia wynosi 10

8 + 2 = 10

Uzyskaliśmy równość. Teraz możesz wyrazić dowolną liczbę z tej równości za pomocą innych liczb zawartych w tej samej równości. Na przykład wyrażmy liczbę 2.

Aby wyrazić liczbę 2, musisz zadać pytanie: „co należy zrobić z liczbami 10 i 8, aby otrzymać liczbę 2”. Oczywiste jest, że aby uzyskać liczbę 2, należy odjąć liczbę 8 od liczby 10.

To co robimy. Zapisujemy liczbę 2 i poprzez znak równości mówimy, że aby otrzymać tę liczbę 2, od liczby 10 odjęliśmy liczbę 8:

2 = 10 − 8

Wyraziliśmy liczbę 2 z równości 8 + 2 = 10. Jak widać na przykładzie, nie ma w tym nic skomplikowanego.

Rozwiązując równania, w szczególności wyrażając jedną liczbę w kategoriach innych, wygodnie jest zastąpić znak równości słowem „ Jest" . Należy to zrobić mentalnie, a nie samym wyrażeniem.

Zatem wyrażając liczbę 2 z równości 8 + 2 = 10, otrzymaliśmy równość 2 = 10 - 8. Równość tę można odczytać w następujący sposób:

2 Jest 10 − 8

To jest znak = zastąpione słowem „jest”. Co więcej, równość 2 = 10 - 8 można przełożyć z języka matematycznego na pełnoprawny język ludzki. Wtedy można to odczytać następująco:

Numer 2 Jest różnica między liczbą 10 a liczbą 8

Numer 2 Jest różnica między liczbą 10 a liczbą 8.

Ale ograniczymy się jedynie do zastąpienia znaku równości słowem „jest” i nie zawsze będziemy to robić. Wyrażenia elementarne można zrozumieć bez tłumaczenia języka matematycznego na język ludzki.

Przywróćmy wynikową równość 2 = 10 − 8 do stanu pierwotnego:

8 + 2 = 10

Wyraźmy tym razem liczbę 8. Co należy zrobić z pozostałymi liczbami, aby otrzymać liczbę 8? Zgadza się, musisz odjąć 2 od liczby 10

8 = 10 − 2

Przywróćmy wynikową równość 8 = 10 − 2 do stanu pierwotnego:

8 + 2 = 10

Tym razem wyrazimy liczbę 10. Okazuje się jednak, że nie ma potrzeby wyrażania dziesiątki, ponieważ została ona już wyrażona. Wystarczy zamienić lewą i prawą część i otrzymamy to, czego potrzebujemy:

10 = 8 + 2

Przykład 2. Rozważmy równość 8 - 2 = 6

Z tej równości wyrazimy liczbę 8. Aby wyrazić liczbę 8, należy dodać pozostałe dwie liczby:

8 = 6 + 2

Przywróćmy wynikową równość 8 = 6 + 2 do stanu pierwotnego:

8 − 2 = 6

Wyraźmy na podstawie tej równości liczbę 2. Aby wyrazić liczbę 2, należy odjąć 6 od 8

2 = 8 − 6

Przykład 3. Rozważmy równość 3 × 2 = 6

Wyraźmy liczbę 3. Aby wyrazić liczbę 3, potrzebujesz 6 podzielone przez 2

Przywróćmy wynikową równość do jej pierwotnego stanu:

3 × 2 = 6

Z tej równości wyrażmy liczbę 2. Aby wyrazić liczbę 2, potrzebujesz 6 podzielone przez 3

Przykład 4. Rozważ równość

Z tej równości wyrażmy liczbę 15. Aby wyrazić liczbę 15, musisz pomnożyć liczby 3 i 5

15 = 3 × 5

Przywróćmy wynikową równość 15 = 3 × 5 do jej pierwotnego stanu:

Z tej równości wyrażmy liczbę 5. Aby wyrazić liczbę 5, potrzebujesz 15 podzielonego przez 3

Zasady znajdowania niewiadomych

Rozważmy kilka zasad znajdowania niewiadomych. Być może są ci znane, ale nie zaszkodzi je powtórzyć. W przyszłości można o nich zapomnieć, gdy uczymy się rozwiązywać równania bez stosowania tych zasad.

Wróćmy do pierwszego przykładu, który omawialiśmy w poprzednim temacie, gdzie w równości 8 + 2 = 10 musieliśmy wyrazić liczbę 2.

W równości 8 + 2 = 10 liczby 8 i 2 są wyrazami, a liczba 10 jest sumą.

Aby wyrazić liczbę 2, zrobiliśmy co następuje:

2 = 10 − 8

Oznacza to, że od sumy 10 odjęliśmy wyraz 8.

Teraz wyobraźmy sobie, że w równości 8 + 2 = 10 zamiast liczby 2 znajduje się zmienna X

8 + X = 10

W tym przypadku równość 8 + 2 = 10 staje się równaniem 8 + X= 10 i zmienna X nieznany termin

Naszym zadaniem jest znalezienie tego nieznanego wyrazu, czyli rozwiązanie równania 8+ X= 10 . Aby znaleźć nieznany termin, podawana jest następująca reguła:

Aby znaleźć nieznany termin, należy odjąć znany termin od sumy.

Zasadniczo to zrobiliśmy, wyrażając dwa w równości 8 + 2 = 10. Aby wyrazić wyraz 2, od sumy 10 odjęliśmy kolejny wyraz 8

2 = 10 − 8

Teraz znajdź nieznany termin X, musimy odjąć znany wyraz 8 od sumy 10:

X = 10 − 8

Jeśli obliczysz prawą stronę wynikowej równości, możesz dowiedzieć się, czemu zmienna jest równa X

X = 2

Rozwiązaliśmy równanie. Zmienna wartość X równa się 2. Aby sprawdzić wartość zmiennej X wysłane do pierwotnego równania 8 + X= 10 i podstaw X. Zaleca się to zrobić w przypadku każdego rozwiązanego równania, ponieważ nie można być całkowicie pewnym, że równanie zostało rozwiązane poprawnie:

W rezultacie

Ta sama zasada miałaby zastosowanie, gdyby nieznanym terminem była pierwsza liczba 8.

X + 2 = 10

W tym równaniu X to nieznany termin, 2 to znany termin, 10 to suma. Aby znaleźć nieznany termin X, musisz odjąć znany wyraz 2 od sumy 10

X = 10 − 2

X = 8

Wróćmy do drugiego przykładu z poprzedniego tematu, gdzie w równości 8 − 2 = 6 trzeba było wyrazić liczbę 8.

W równości 8 − 2 = 6 liczba 8 jest odjemną, liczba 2 jest odejmowaniem, a liczba 6 jest różnicą

Aby wyrazić liczbę 8, zrobiliśmy co następuje:

8 = 6 + 2

Oznacza to, że dodaliśmy różnicę 6 i odjęliśmy 2.

Teraz wyobraźmy sobie, że w równości 8 − 2 = 6 zamiast liczby 8 znajduje się zmienna X

X − 2 = 6

W tym przypadku zmienna X przejmuje rolę tzw nieznany minusend

Aby znaleźć nieznaną odjemną, podawana jest następująca reguła:

Aby znaleźć nieznaną odjemną, musisz dodać odejmowanie do różnicy.

To właśnie zrobiliśmy, wyrażając liczbę 8 w równości 8 - 2 = 6. Aby wyrazić odjemną liczbę 8, do różnicy liczby 6 dodaliśmy odejmowanie liczby 2.

Teraz znajdź nieznaną odjemną X, musimy dodać odejmowanie 2 do różnicy 6

X = 6 + 2

Jeśli obliczysz prawą stronę, możesz dowiedzieć się, ile wynosi zmienna X

X = 8

Teraz wyobraźmy sobie, że w równości 8 − 2 = 6 zamiast liczby 2 znajduje się zmienna X

8 − X = 6

W tym przypadku zmienna X przejmuje rolę nieznany subtrahent

Aby znaleźć nieznany odjemnik, podawana jest następująca reguła:

Aby znaleźć nieznany odjemnik, musisz odjąć różnicę od odjemnika.

To właśnie zrobiliśmy, wyrażając liczbę 2 w równości 8 - 2 = 6. Aby wyrazić liczbę 2, odjęliśmy różnicę 6 od odjemnika 8.

Teraz znajdź nieznany subtrahend X, ponownie musisz odjąć różnicę 6 od odjemnej 8

X = 8 − 6

Obliczamy prawą stronę i znajdujemy wartość X

X = 2

Wróćmy do trzeciego przykładu z poprzedniego tematu, gdzie w równości 3 × 2 = 6 próbowaliśmy wyrazić liczbę 3.

W równości 3 × 2 = 6 liczba 3 jest mnożnikiem, liczba 2 jest mnożnikiem, liczba 6 jest iloczynem

Aby wyrazić liczbę 3, zrobiliśmy co następuje:

Oznacza to, że iloczyn liczby 6 podzieliliśmy przez współczynnik 2.

Teraz wyobraźmy sobie, że w równości 3 × 2 = 6 zamiast liczby 3 znajduje się zmienna X

X× 2 = 6

W tym przypadku zmienna X przejmuje rolę nieznana mnożność.

Aby znaleźć nieznaną mnożną, podajemy następującą regułę:

Aby znaleźć nieznaną mnożną, musisz podzielić iloczyn przez współczynnik.

To właśnie zrobiliśmy, wyrażając liczbę 3 z równości 3 × 2 = 6. Podzieliliśmy iloczyn 6 przez współczynnik 2.

Teraz znajdź nieznaną mnożną X, musisz podzielić iloczyn 6 przez współczynnik 2.

Obliczanie prawej strony pozwala nam znaleźć wartość zmiennej X

X = 3

Ta sama zasada obowiązuje w przypadku zmiennej X znajduje się zamiast mnożnika, a nie mnożnej. Wyobraźmy sobie, że w równości 3 × 2 = 6 zamiast liczby 2 znajduje się zmienna X.

W tym przypadku zmienna X przejmuje rolę nieznany mnożnik. Aby znaleźć nieznany czynnik, stosuje się tę samą procedurę, co w przypadku znajdowania nieznanej mnożnej, a mianowicie podzielenie iloczynu przez znany czynnik:

Aby znaleźć nieznany współczynnik, musisz podzielić iloczyn przez mnożną.

To właśnie zrobiliśmy, wyrażając liczbę 2 z równości 3 × 2 = 6. Następnie, aby otrzymać liczbę 2, podzieliliśmy iloczyn liczby 6 przez jej mnożność 3.

Teraz znajdź nieznany czynnik X Podzieliliśmy iloczyn 6 przez mnożność 3.

Obliczenie prawej strony równości pozwala dowiedzieć się, ile x jest równe

X = 2

Mnożnik i mnożnik razem nazywane są czynnikami. Ponieważ zasady znajdowania mnożnej i mnożnika są takie same, możemy sformułować główna zasada znalezienie nieznanego czynnika:

Aby znaleźć nieznany współczynnik, należy podzielić iloczyn przez znany współczynnik.

Na przykład rozwiążmy równanie 9 × X= 18. Zmienny X jest nieznanym czynnikiem. Aby znaleźć ten nieznany współczynnik, musisz podzielić iloczyn 18 przez znany współczynnik 9

Rozwiążmy równanie X× 3 = 27. Zmienny X jest nieznanym czynnikiem. Aby znaleźć ten nieznany współczynnik, należy podzielić iloczyn 27 przez znany współczynnik 3

Wróćmy do czwartego przykładu z poprzedniego tematu, gdzie w równości musieliśmy wyrazić liczbę 15. W tej równości liczba 15 to dzielna, liczba 5 to dzielnik, a liczba 3 to iloraz.

Aby wyrazić liczbę 15, zrobiliśmy co następuje:

15 = 3 × 5

Oznacza to, że pomnożyliśmy iloraz 3 przez dzielnik 5.

Teraz wyobraź sobie, że w równości zamiast liczby 15 znajduje się zmienna X

W tym przypadku zmienna X przejmuje rolę nieznana dywidenda.

Aby znaleźć nieznaną dywidendę, podawana jest następująca reguła:

Aby znaleźć nieznaną dywidendę, należy pomnożyć iloraz przez dzielnik.

To właśnie zrobiliśmy, wyrażając liczbę 15 z równości. Aby wyrazić liczbę 15, mnożymy iloraz 3 przez dzielnik 5.

Teraz znajdź nieznaną dywidendę X, musisz pomnożyć iloraz 3 przez dzielnik 5

X= 3 × 5

X .

X = 15

Teraz wyobraź sobie, że w równości zamiast liczby 5 znajduje się zmienna X .

W tym przypadku zmienna X przejmuje rolę nieznany dzielnik.

Aby znaleźć nieznany dzielnik, należy zastosować następującą regułę:

To właśnie zrobiliśmy, wyrażając liczbę 5 z równości. Aby wyrazić liczbę 5, dzielimy dywidendę 15 przez iloraz 3.

Teraz znajdź nieznany dzielnik X, musisz podzielić dywidendę 15 przez iloraz 3

Obliczmy prawą stronę otrzymanej równości. W ten sposób dowiemy się, ile wynosi zmienna X .

X = 5

Aby znaleźć niewiadome, przestudiowaliśmy następujące zasady:

• Aby znaleźć nieznany termin, należy odjąć znany termin od sumy;
• Aby znaleźć nieznaną odjemną, musisz dodać odejmowanie do różnicy;
• Aby znaleźć nieznany odjemnik, musisz odjąć różnicę od odejmowania;
• Aby znaleźć nieznaną mnożną, musisz podzielić iloczyn przez współczynnik;
• Aby znaleźć nieznany współczynnik, musisz podzielić iloczyn przez mnożną;
• Aby znaleźć nieznaną dywidendę, należy pomnożyć iloraz przez dzielnik;
• Aby znaleźć nieznany dzielnik, musisz podzielić dywidendę przez iloraz.

składniki

Składniki będziemy nazywać liczbami i zmiennymi zawartymi w równości

Zatem składniki dodatku są warunki I suma

Składniki odejmowania są odjemna, odjemnik I różnica

Składniki mnożenia to mnożna, czynnik I praca

Składniki dzielenia to dywidenda, dzielnik i iloraz.

W zależności od tego z jakimi komponentami mamy do czynienia, obowiązywać będą odpowiednie zasady znajdowania niewiadomych. Przestudiowaliśmy te zasady w poprzednim temacie. Rozwiązując równania, warto znać te zasady na pamięć.

Przykład 1. Znajdź pierwiastek równania 45 + X = 60

45 - termin, X- termin nieznany, 60 - suma. Mamy do czynienia ze składnikami dodatku. Przypominamy, że aby znaleźć nieznany termin, należy od sumy odjąć znany termin:

X = 60 − 45

Obliczmy prawą stronę i uzyskajmy wartość X równa 15

X = 15

Zatem pierwiastkiem równania jest 45 + X= 60 równa się 15.

Najczęściej nieznany termin trzeba sprowadzić do formy, w której można go wyrazić.

Przykład 2. Rozwiązać równanie

Tutaj, w przeciwieństwie do poprzedniego przykładu, nieznanego terminu nie można wyrazić od razu, ponieważ zawiera współczynnik 2. Naszym zadaniem jest doprowadzenie tego równania do postaci, w której można by je wyrazić X

W tym przykładzie mamy do czynienia ze składnikami dodawania — wyrazami i sumą. 2 X to pierwszy wyraz, 4 to drugi wyraz, 8 to suma.

W tym wypadku termin 2 X zawiera zmienną X. Po znalezieniu wartości zmiennej X termin 2 X będzie inaczej wyglądać. Dlatego termin 2 X można całkowicie uznać za nieznany termin:

Teraz zastosujemy regułę znajdowania nieznanego terminu. Odejmij znany termin od sumy:

Obliczmy prawą stronę otrzymanego równania:

Mamy nowe równanie. Teraz mamy do czynienia ze składnikami mnożenia: mnożną, mnożnikiem i iloczynem. 2 - mnożnik, X- mnożnik, 4 - iloczyn

W tym przypadku zmienna X nie jest tylko mnożnikiem, ale nieznanym mnożnikiem

Aby znaleźć ten nieznany współczynnik, musisz podzielić iloczyn przez mnożną:

Obliczmy prawą stronę i uzyskajmy wartość zmiennej X

Aby to sprawdzić, wyślij znaleziony pierwiastek do pierwotnego równania i podstaw X

Przykład 3. Rozwiązać równanie 3X+ 9X+ 16X= 56

Natychmiast wyraź nieznane X to jest zabronione. Najpierw musisz doprowadzić to równanie do formy, w której można je wyrazić.

Przedstawiamy po lewej stronie tego równania:

Mamy do czynienia ze składnikami mnożenia. 28 - mnożnik, X- mnożnik, 56 - iloczyn. W której X jest nieznanym czynnikiem. Aby znaleźć nieznany współczynnik, musisz podzielić iloczyn przez mnożną:

Stąd X równa się 2

Równania równoważne

W poprzednim przykładzie przy rozwiązywaniu równania 3X + 9X + 16X = 56 , podaliśmy podobne wyrazy po lewej stronie równania. W rezultacie otrzymaliśmy nowe równanie 28 X= 56 . Stare równanie 3X + 9X + 16X = 56 i powstałe nowe równanie 28 X= 56 nazywa się równoważne równania, ponieważ ich korzenie pokrywają się.

Równania nazywane są równoważnymi, jeśli ich pierwiastki są zbieżne.

Sprawdźmy to. Dla równania 3X+ 9X+ 16X= 56 znaleźliśmy pierwiastek równy 2. Najpierw podstawmy ten pierwiastek do równania 3X+ 9X+ 16X= 56 , a następnie do równania 28 X= 56, co otrzymano przez wprowadzenie podobnych wyrazów po lewej stronie poprzedniego równania. Musimy uzyskać prawidłowe równości liczbowe

Zgodnie z kolejnością działań w pierwszej kolejności wykonywane jest mnożenie:

Podstawmy pierwiastek 2 do drugiego równania 28 X= 56

Widzimy, że oba równania mają te same pierwiastki. Zatem równania 3X+ 9X+ 16X= 56 i 28 X= 56 są rzeczywiście równoważne.

Aby rozwiązać równanie 3X+ 9X+ 16X= 56 Zastosowaliśmy jedno z nich – redukcję podobnych terminów. Poprawna transformacja tożsamościowa równania pozwoliła otrzymać równoważne równanie 28 X= 56, co jest łatwiejsze do rozwiązania.

Z identycznych przekształceń w tej chwili wiemy tylko, jak redukować ułamki zwykłe, wprowadzać podobne terminy, usuwać wspólny czynnik z nawiasów, a także otwierać nawiasy. Istnieją inne konwersje, o których powinieneś wiedzieć. Ale dla ogólnej idei identycznych przekształceń równań tematy, które badaliśmy, są wystarczające.

Rozważmy kilka przekształceń, które pozwalają nam otrzymać równoważne równanie

Jeśli do obu stron równania dodasz tę samą liczbę, otrzymasz równanie równoważne podanemu.

i podobnie:

Jeśli odejmiemy tę samą liczbę od obu stron równania, otrzymamy równanie równoważne podanemu.

Innymi słowy, pierwiastek równania nie ulegnie zmianie, jeśli ta sama liczba zostanie dodana (lub odjęta od obu stron) tej samej liczby.

Przykład 1. Rozwiązać równanie

Odejmij 10 od obu stron równania

Otrzymaliśmy równanie 5 X= 10 . Mamy do czynienia ze składnikami mnożenia. Aby znaleźć nieznany czynnik X, musisz podzielić iloczyn 10 przez znany współczynnik 5.

i zastąpić X znaleziona wartość 2

Otrzymaliśmy poprawną równość liczbową. Oznacza to, że równanie zostało rozwiązane poprawnie.

Rozwiązanie równania odjęliśmy liczbę 10 od obu stron równania. W rezultacie otrzymaliśmy równoważne równanie. Pierwiastek tego równania, podobnie jak równanie jest również równe 2

Przykład 2. Rozwiąż równanie 4( X+ 3) = 16

Odejmij liczbę 12 od obu stron równania

Po lewej stronie pozostaną 4 X, a po prawej stronie cyfra 4

Otrzymaliśmy równanie 4 X= 4 . Mamy do czynienia ze składnikami mnożenia. Aby znaleźć nieznany czynnik X, musisz podzielić iloczyn 4 przez znany współczynnik 4

Wróćmy do pierwotnego równania 4( X+ 3) = 16 i podstaw X znaleziona wartość 1

Otrzymaliśmy poprawną równość liczbową. Oznacza to, że równanie zostało rozwiązane poprawnie.

Rozwiązanie równania 4( X+ 3) = 16 odjęliśmy liczbę 12 od obu stron równania. W rezultacie otrzymaliśmy równoważne równanie 4 X= 4 . Pierwiastek tego równania, podobnie jak równanie 4 ( X+ 3) = 16 jest również równe 1

Przykład 3. Rozwiązać równanie

Rozwińmy nawiasy po lewej stronie równości:

Dodaj liczbę 8 do obu stron równania

Przedstawmy podobne wyrazy po obu stronach równania:

Zostaną 2 po lewej stronie X, a po prawej stronie cyfra 9

W otrzymanym równaniu 2 X= 9 wyrażamy nieznany termin X

Wróćmy do pierwotnego równania i zastąpić X znaleziona wartość 4,5

Otrzymaliśmy poprawną równość liczbową. Oznacza to, że równanie zostało rozwiązane poprawnie.

Rozwiązanie równania do obu stron równania dodaliśmy liczbę 8. W rezultacie otrzymaliśmy równanie równoważne. Pierwiastek tego równania, podobnie jak równanie również równa 4,5

Następna reguła, która pozwala nam uzyskać równoważne równanie, jest następująca

Jeśli przeniesiemy wyraz w równaniu z jednej części do drugiej, zmieniając jego znak, otrzymamy równanie równoważne danemu.

Oznacza to, że pierwiastek równania nie ulegnie zmianie, jeśli przeniesiemy wyraz z jednej części równania do drugiej, zmieniając jego znak. Właściwość ta jest jedną z ważnych i często wykorzystywanych przy rozwiązywaniu równań.

Rozważmy następujące równanie:

Pierwiastek tego równania jest równy 2. Podstawmy X ten pierwiastek i sprawdź, czy równość liczbowa jest poprawna

Rezultatem jest poprawna równość. Oznacza to, że liczba 2 jest rzeczywiście pierwiastkiem równania.

Spróbujmy teraz poeksperymentować z warunkami tego równania, przenosząc je z jednej części do drugiej, zmieniając znaki.

Na przykład termin 3 X znajduje się po lewej stronie równania. Przesuńmy go na prawą stronę, zmieniając znak na przeciwny:

Rezultatem jest równanie 12 = 9X − 3X . po prawej stronie tego równania:

X jest nieznanym czynnikiem. Znajdźmy ten dobrze znany czynnik:

Stąd X= 2 . Jak widać, pierwiastek równania się nie zmienił. Zatem równania to 12 + 3 X = 9X I 12 = 9X − 3X są równoważne.

W rzeczywistości ta transformacja jest uproszczoną metodą poprzedniej transformacji, w której do obu stron równania dodano (lub odjęto) tę samą liczbę.

Powiedzieliśmy to w równaniu 12 + 3 X = 9X termin 3 X został przesunięty na prawą stronę, zmieniając znak. W rzeczywistości stało się tak: od obu stron równania odjęto człon 3 X

Następnie podobne wyrazy podano po lewej stronie i otrzymano równanie 12 = 9X − 3X. Następnie ponownie podano podobne wyrazy, ale po prawej stronie i otrzymano równanie 12 = 6 X.

Ale tak zwany „przeniesienie” jest wygodniejszy w przypadku takich równań i dlatego stał się tak powszechny. Rozwiązując równania, często będziemy korzystać z tej konkretnej transformacji.

Równania 12 + 3 są również równoważne X= 9X I 3x− 9X= −12 . Tym razem równanie to 12 + 3 X= 9X termin 12 został przesunięty na prawą stronę, a termin 9 X w lewo. Nie powinniśmy zapominać, że znaki tych terminów zostały zmienione podczas przeniesienia

Kolejna reguła, która pozwala nam otrzymać równoważne równanie, jest następująca:

Jeśli obie strony równania pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę, różną od zera, otrzymamy równanie równoważne podanemu.

Innymi słowy, pierwiastki równania nie zmienią się, jeśli obie strony zostaną pomnożone lub podzielone przez tę samą liczbę. Ta akcja jest często używana, gdy trzeba rozwiązać równanie zawierające wyrażenia ułamkowe.

Najpierw spójrzmy na przykłady, w których obie strony równania zostaną pomnożone przez tę samą liczbę.

Przykład 1. Rozwiązać równanie

Rozwiązując równania zawierające wyrażenia ułamkowe, zwykle najpierw upraszcza się równanie.

W tym przypadku mamy do czynienia właśnie z takim równaniem. Aby uprościć to równanie, obie strony można pomnożyć przez 8:

Pamiętamy, że dla , musimy pomnożyć licznik danego ułamka przez tę liczbę. Mamy dwa ułamki i każdy z nich jest mnożony przez liczbę 8. Naszym zadaniem jest pomnożenie liczników ułamków przez tę liczbę 8

Teraz dzieje się interesująca część. Liczniki i mianowniki obu ułamków zawierają współczynnik 8, który można zmniejszyć o 8. Pozwoli nam to pozbyć się wyrażenia ułamkowego:

W rezultacie pozostaje najprostsze równanie

Cóż, nietrudno zgadnąć, że pierwiastkiem tego równania jest liczba 4

X znaleziona wartość 4

Rezultatem jest poprawna równość liczbowa. Oznacza to, że równanie zostało rozwiązane poprawnie.

Rozwiązując to równanie, pomnożyliśmy obie strony przez 8. W rezultacie otrzymaliśmy równanie. Pierwiastkiem tego równania, podobnie jak równania, jest liczba 4. Oznacza to, że te równania są równoważne.

Współczynnik, przez który mnożone są obie strony równania, jest zwykle zapisywany przed częścią równania, a nie po niej. Zatem rozwiązując równanie, pomnożyliśmy obie strony przez współczynnik 8 i otrzymaliśmy następujący zapis:

Nie zmieniło to pierwiastka równania, ale gdybyśmy zrobili to w szkole, otrzymalibyśmy reprymendę, ponieważ w algebrze zwyczajowo pisze się współczynnik przed wyrażeniem, przez które jest on mnożony. Dlatego wskazane jest przepisanie mnożenia obu stron równania przez współczynnik 8 w następujący sposób:

Przykład 2. Rozwiązać równanie

Po lewej stronie współczynniki 15 można zmniejszyć o 15, a po prawej stronie współczynniki 15 i 5 można zmniejszyć o 5

Otwórzmy nawiasy po prawej stronie równania:

Przesuńmy termin X z lewej strony równania na prawą, zmieniając znak. I przenosimy wyraz 15 z prawej strony równania na lewą stronę, ponownie zmieniając znak:

Otrzymujemy, że przedstawiamy podobne terminy po obu stronach

Mamy do czynienia ze składnikami mnożenia. Zmienny X

Wróćmy do pierwotnego równania i zastąpić X znaleziona wartość 5

Rezultatem jest poprawna równość liczbowa. Oznacza to, że równanie zostało rozwiązane poprawnie. Rozwiązując to równanie, pomnożyliśmy obie strony przez 15. Wykonując dalej identyczne przekształcenia, otrzymaliśmy równanie 10 = 2 X. Pierwiastek tego równania, podobnie jak równanie równa się 5. Oznacza to, że te równania są równoważne.

Przykład 3. Rozwiązać równanie

Po lewej stronie możesz zmniejszyć dwie trójki, a prawa strona będzie równa 18

Pozostaje najprostsze równanie. Mamy do czynienia ze składnikami mnożenia. Zmienny X jest nieznanym czynnikiem. Znajdźmy ten dobrze znany czynnik:

Wróćmy do pierwotnego równania i podstawmy X znaleziona wartość 9

Rezultatem jest poprawna równość liczbowa. Oznacza to, że równanie zostało rozwiązane poprawnie.

Przykład 4. Rozwiązać równanie

Pomnóż obie strony równania przez 6

Otwórzmy nawiasy po lewej stronie równania. Po prawej stronie współczynnik 6 można podnieść do licznika:

Skróćmy to, co można zredukować po obu stronach równań:

Przepiszmy to, co nam zostało:

Skorzystajmy z przeniesienia terminów. Terminy zawierające nieznane X, grupujemy po lewej stronie równania, a wyrazy wolne od niewiadomych - po prawej:

Przedstawmy podobne terminy w obu częściach:

Teraz znajdźmy wartość zmiennej X. Aby to zrobić, podziel iloczyn 28 przez znany współczynnik 7

Stąd X= 4.

Wróćmy do pierwotnego równania i zastąpić X znaleziona wartość 4

Rezultatem jest prawidłowe równanie numeryczne. Oznacza to, że równanie zostało rozwiązane poprawnie.

Przykład 5. Rozwiązać równanie

Tam, gdzie to możliwe, otwórzmy nawiasy po obu stronach równania:

Pomnóż obie strony równania przez 15

Otwórzmy nawiasy po obu stronach równania:

Skróćmy to, co można zredukować po obu stronach równania:

Przepiszmy to, co nam zostało:

Rozwińmy nawiasy tam, gdzie to możliwe:

Skorzystajmy z przeniesienia terminów. Grupujemy wyrazy zawierające niewiadomą po lewej stronie równania, a wyrazy wolne od niewiadomych po prawej stronie. Nie zapominaj, że podczas przenoszenia terminy zmieniają swoje znaki na przeciwne:

Przedstawmy podobne wyrazy po obu stronach równania:

Znajdźmy wartość X

Otrzymaną odpowiedź można podzielić na całą część:

Wróćmy do pierwotnego równania i podstawmy X znaleziona wartość

Okazuje się, że jest to dość kłopotliwe wyrażenie. Użyjmy zmiennych. Umieśćmy lewą stronę równości w zmiennej A, a prawa strona równości do zmiennej B

Naszym zadaniem jest sprawdzenie, czy lewa strona jest równa prawej. Inaczej mówiąc, udowodnij równość A = B

Znajdźmy wartość wyrażenia w zmiennej A.

Zmienna wartość A równa się . Teraz znajdźmy wartość zmiennej B. Oznacza to wartość prawej strony naszej równości. Jeśli jest również równa, równanie zostanie rozwiązane poprawnie

Widzimy, że wartość zmiennej B, podobnie jak wartość zmiennej A równa się . Oznacza to, że lewa strona jest równa prawej stronie. Z tego wnioskujemy, że równanie zostało rozwiązane poprawnie.

Spróbujmy teraz nie mnożyć obu stron równania przez tę samą liczbę, ale podzielić.

Rozważ równanie 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 . Rozwiążmy to zwykłą metodą: wyrazy zawierające niewiadome grupujemy po lewej stronie równania, a wyrazy wolne od niewiadomych po prawej. Następnie, wykonując znane przekształcenia tożsamości, znajdujemy wartość X

Zamiast tego podstawmy znalezioną wartość 2 X do pierwotnego równania:

Spróbujmy teraz oddzielić wszystkie wyrazy równania 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 przez jakąś liczbę. Zauważamy, że wszystkie wyrazy tego równania mają wspólny współczynnik 2. Każdy wyraz dzielimy przez niego:

Dokonajmy redukcji w każdym wyrazie:

Przepiszmy to, co nam zostało:

Rozwiążmy to równanie, korzystając ze znanych przekształceń tożsamościowych:

Mamy root 2. Zatem równania 15X+ 7X+ 7 = 35x− 20X+ 21 I 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 są równoważne.

Dzielenie obu stron równania przez tę samą liczbę pozwala usunąć niewiadomą ze współczynnika. W poprzednim przykładzie, gdy otrzymaliśmy równanie 7 X= 14, musieliśmy podzielić iloczyn 14 przez znany współczynnik 7. Gdybyśmy jednak uwolnili niewiadomą od współczynnika 7 po lewej stronie, pierwiastek zostałby znaleziony natychmiast. Aby to zrobić, wystarczyło podzielić obie strony przez 7

My również będziemy często korzystać z tej metody.

Mnożenie przez minus jeden

Jeśli obie strony równania pomnożymy przez minus jeden, otrzymamy równanie równoważne temu.

Zasada ta wynika z faktu, że pomnożenie (lub podzielenie) obu stron równania przez tę samą liczbę nie powoduje zmiany pierwiastka danego równania. Oznacza to, że pierwiastek nie ulegnie zmianie, jeśli obie jego części zostaną pomnożone przez -1.

Zasada ta pozwala na zmianę znaków wszystkich składników zawartych w równaniu. Po co to jest? Ponownie, aby uzyskać równoważne równanie, które jest łatwiejsze do rozwiązania.

Rozważ równanie. Jaki jest pierwiastek tego równania?

Dodaj liczbę 5 do obu stron równania

Przyjrzyjmy się podobnym terminom:

Teraz pamiętajmy o. Jaka jest lewa strona równania? To jest iloczyn minus jeden i zmiennej X

Oznacza to, że znak minus przed zmienną X, nie odnosi się do samej zmiennej X, ale do jednego, którego nie widzimy, ponieważ współczynnik 1 zwykle nie jest zapisywany. Oznacza to, że równanie faktycznie wygląda następująco:

Mamy do czynienia ze składnikami mnożenia. Znaleźć X, musisz podzielić iloczyn -5 przez znany współczynnik -1.

lub podziel obie strony równania przez -1, co jest jeszcze prostsze

Zatem pierwiastkiem równania jest liczba 5. Aby to sprawdzić, podstawmy to do pierwotnego równania. Nie zapominaj, że w oryginalnym równaniu minus znajduje się przed zmienną X odnosi się do niewidzialnej jednostki

Rezultatem jest prawidłowe równanie numeryczne. Oznacza to, że równanie zostało rozwiązane poprawnie.

Spróbujmy teraz pomnożyć obie strony równania przez minus jeden:

Po otwarciu nawiasów wyrażenie powstaje po lewej stronie, a po prawej stronie będzie równe 10

Pierwiastkiem tego równania, podobnie jak równania, jest liczba 5

Oznacza to, że równania są równoważne.

Przykład 2. Rozwiązać równanie

W tym równaniu wszystkie składniki są ujemne. Wygodniej jest pracować ze składnikami dodatnimi niż z ujemnymi, dlatego zmieńmy znaki wszystkich składników uwzględnionych w równaniu. Aby to zrobić, pomnóż obie strony tego równania przez -1.

Oczywiste jest, że pomnożona przez -1 każda liczba zmieni swój znak na przeciwny. Dlatego procedura mnożenia przez -1 i otwierania nawiasów nie jest opisana szczegółowo, ale od razu zapisywane są składniki równania o przeciwnych znakach.

Zatem mnożenie równania przez -1 można szczegółowo zapisać w następujący sposób:

lub możesz po prostu zmienić znaki wszystkich komponentów:

Wynik będzie taki sam, ale różnica będzie taka, że ​​zaoszczędzimy sobie czasu.

Zatem mnożąc obie strony równania przez -1, otrzymujemy równanie. Rozwiążmy to równanie. Odejmij 4 od obu stron i podziel obie strony przez 3

Po znalezieniu pierwiastka zmienna jest zwykle zapisywana po lewej stronie, a jej wartość po prawej stronie, co też zrobiliśmy.

Przykład 3. Rozwiązać równanie

Pomnóżmy obie strony równania przez -1. Wtedy wszystkie komponenty zmienią swoje znaki na przeciwne:

Odejmij 2 od obu stron wynikowego równania X i podaj podobne warunki:

Dodajmy jeden do obu stron równania i podamy podobne wyrazy:

Równanie do zera

Niedawno dowiedzieliśmy się, że jeśli przeniesiemy wyraz w równaniu z jednej części do drugiej, zmieniając jego znak, otrzymamy równanie równoważne danemu.

Co się stanie, jeśli przejdziesz z jednej części do drugiej nie tylko jednego terminu, ale wszystkich terminów? Zgadza się, w części, w której usunięto wszystkie terminy, pozostanie zero. Innymi słowy, nic nie zostanie.

Rozważmy na przykład równanie. Rozwiążmy to równanie jak zwykle - w jednej części zgrupujemy wyrazy zawierające niewiadome, a w drugiej pozostawimy wyrazy liczbowe wolne od niewiadomych. Następnie wykonując znane przekształcenia tożsamościowe znajdujemy wartość zmiennej X

Spróbujmy teraz rozwiązać to samo równanie, przyrównując wszystkie jego składniki do zera. Aby to zrobić, przenosimy wszystkie terminy z prawej strony na lewą, zmieniając znaki:

Przedstawmy podobne terminy po lewej stronie:

Dodaj 77 do obu stron i podziel obie strony przez 7

Alternatywa dla zasad znajdowania niewiadomych

Oczywiście, wiedząc o identycznych przekształceniach równań, nie trzeba zapamiętywać zasad znajdowania niewiadomych.

Na przykład, aby znaleźć niewiadomą w równaniu, podzieliliśmy iloczyn 10 przez znany współczynnik 2

Ale jeśli podzielisz obie strony równania przez 2, pierwiastek zostanie znaleziony natychmiast. Po lewej stronie równania w liczniku współczynnik 2, a w mianowniku współczynnik 2 zostanie zmniejszony o 2. A prawa strona będzie równa 5

Rozwiązaliśmy równania postaci, wyrażając nieznany termin:

Ale możesz użyć identycznych transformacji, które dzisiaj badaliśmy. W równaniu człon 4 można przesunąć na prawą stronę zmieniając znak:

Po lewej stronie równania dwie dwójki zostaną zniesione. Prawa strona będzie równa 2. Stąd .

Możesz też od obu stron równania odjąć 4. Otrzymasz wówczas:

W przypadku równań postaci wygodniej jest podzielić iloczyn przez znany współczynnik. Porównajmy oba rozwiązania:

Pierwsze rozwiązanie jest znacznie krótsze i schludniejsze. Drugie rozwiązanie można znacznie skrócić, jeśli dokonasz podziału w głowie.

Warto jednak poznać obie metody i dopiero wtedy skorzystać z tej, którą wolisz.

Kiedy jest kilka korzeni

Równanie może mieć wiele pierwiastków. Na przykład równanie X(x+ 9) = 0 ma dwa pierwiastki: 0 i -9.

w równaniu X(x+ 9) = 0 należało znaleźć taką wartość X przy czym lewa strona byłaby równa zeru. Lewa strona tego równania zawiera wyrażenia X I (x+9), które są czynnikami. Z praw mnożenia wiemy, że iloczyn jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero (pierwszy czynnik lub drugi).

To znaczy w równaniu X(x+ 9) = 0 równość zostanie osiągnięta jeśli X będzie równe zeru lub (x+9) będzie równa zeru.

X= 0 lub X + 9 = 0

Przywracając oba te wyrażenia do zera, możemy znaleźć pierwiastki równania X(x+ 9) = 0 . Pierwszy korzeń, jak widać na przykładzie, został znaleziony natychmiast. Aby znaleźć drugi pierwiastek, musisz rozwiązać równanie elementarne X+ 9 = 0 . Łatwo zgadnąć, że pierwiastkiem tego równania jest −9. Sprawdzenie pokazuje, że root jest poprawny:

−9 + 9 = 0

Przykład 2. Rozwiązać równanie

To równanie ma dwa pierwiastki: 1 i 2. Lewa strona równania jest iloczynem wyrażeń ( X− 1) i ( X- 2) . A iloczyn jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero (lub współczynnik ( X− 1) lub współczynnik ( X − 2) ).

Znajdźmy coś takiego X pod którym wyrażenia ( X− 1) lub ( X− 2) stać się zerem:

Podstawiamy znalezione wartości jedna po drugiej do pierwotnego równania i upewniamy się, że dla tych wartości lewa strona jest równa zeru:

Kiedy jest nieskończenie wiele korzeni

Równanie może mieć nieskończenie wiele pierwiastków. Oznacza to, że podstawiając dowolną liczbę do takiego równania, otrzymujemy poprawną równość liczbową.

Przykład 1. Rozwiązać równanie

Pierwiastkiem tego równania jest dowolna liczba. Jeśli otworzysz nawiasy po lewej stronie równania i dodasz podobne wyrazy, otrzymasz równość 14 = 14. Ta równość zostanie uzyskana dla dowolnego X

Przykład 2. Rozwiązać równanie

Pierwiastkiem tego równania jest dowolna liczba. Jeśli otworzysz nawiasy po lewej stronie równania, otrzymasz równość 10X + 12 = 10X + 12. Ta równość zostanie uzyskana dla dowolnego X

Kiedy nie ma korzeni

Zdarza się również, że równanie w ogóle nie ma rozwiązań, to znaczy nie ma pierwiastków. Na przykład równanie nie ma pierwiastków, ponieważ dla dowolnej wartości X, lewa strona równania nie będzie równa prawej stronie. Na przykład niech . Wtedy równanie przyjmie następującą postać

Przykład 2. Rozwiązać równanie

Rozwińmy nawiasy po lewej stronie równości:

Przyjrzyjmy się podobnym terminom:

Widzimy, że lewa strona nie jest równa prawej stronie. I tak będzie w przypadku każdej wartości. y. Na przykład niech y = 3 .

Równania literowe

Równanie może zawierać nie tylko liczby ze zmiennymi, ale także litery.

Na przykład wzór na znalezienie prędkości jest równaniem dosłownym:

Równanie to opisuje prędkość ciała w ruchu jednostajnie przyspieszonym.

Przydatną umiejętnością jest umiejętność wyrażenia dowolnego składnika zawartego w równaniu literowym. Na przykład, aby określić odległość z równania, musisz wyrazić zmienną S .

Pomnóżmy obie strony równania przez T

Zmienne po prawej stronie T skończmy to T

W wynikowym równaniu zamieniamy lewą i prawą stronę:

Mamy wzór na znalezienie odległości, który badaliśmy wcześniej.

Spróbujmy wyznaczyć czas z równania. Aby to zrobić, musisz wyrazić zmienną T .

Pomnóżmy obie strony równania przez T

Zmienne po prawej stronie T skończmy to T i przepisz to, co nam zostało:

W wynikowym równaniu v×t = s podzielić obie części na w

Zmienne po lewej stronie w skończmy to w i przepisz to, co nam zostało:

Mamy wzór na określenie czasu, który badaliśmy wcześniej.

Załóżmy, że prędkość pociągu wynosi 50 km/h

w= 50 km/h

A odległość wynosi 100 km

S= 100 km

Wtedy dosłowne równanie przyjmie następującą postać

Czas można znaleźć na podstawie tego równania. Aby to zrobić, musisz umieć wyrazić zmienną T. Możesz skorzystać z reguły znajdowania nieznanego dzielnika, dzieląc dywidendę przez iloraz i wyznaczając w ten sposób wartość zmiennej T

lub możesz użyć identycznych przekształceń. Najpierw pomnóż obie strony równania przez T

Następnie podziel obie strony przez 50

Przykład 2 X

Odejmij od obu stron równania A

Podzielmy obie strony równania przez B

a + bx = do, wtedy będziemy mieli gotowe rozwiązanie. Wystarczy zastąpić w nim wymagane wartości. Te wartości, które zostaną zastąpione literami a, b, c zwykle tzw parametry. I równania postaci a + bx = do zwany równanie z parametrami. W zależności od parametrów root ulegnie zmianie.

Rozwiążmy równanie 2 + 4 X= 10 . Wygląda jak równanie literowe a + bx = do. Zamiast wykonywać identyczne przekształcenia, możemy skorzystać z gotowego rozwiązania. Porównajmy oba rozwiązania:

Widzimy, że drugie rozwiązanie jest znacznie prostsze i krótsze.

W przypadku gotowego rozwiązania należy poczynić małą uwagę. Parametr B nie może być równe zero (b ≠ 0), ponieważ dozwolone jest dzielenie przez zero przez.

Przykład 3. Podano dosłowne równanie. Wyraź z tego równania X

Otwórzmy nawiasy po obu stronach równania

Skorzystajmy z przeniesienia terminów. Parametry zawierające zmienną X, grupujemy po lewej stronie równania, a parametry wolne od tej zmiennej - po prawej.

Po lewej stronie usuwamy współczynnik z nawiasów X

Podzielmy obie strony przez wyrażenie a - b

Po lewej stronie licznik i mianownik można zmniejszyć o: a - b. W ten sposób ostatecznie wyrażana jest zmienna X

Jeśli teraz natrafimy na równanie postaci a(x - c) = b(x + d), wtedy będziemy mieli gotowe rozwiązanie. Wystarczy zastąpić w nim wymagane wartości.

Załóżmy, że mamy równanie 4(x− 3) = 2(X+ 4) . Wygląda jak równanie a(x - c) = b(x + d). Rozwiążmy to na dwa sposoby: stosując identyczne przekształcenia i korzystając z gotowego rozwiązania:

Dla wygody usuńmy to z równania 4(x− 3) = 2(X+ 4) wartości parametrów A, B, C, D . Dzięki temu nie popełnimy błędu przy podstawieniu:

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, mianownik tutaj nie powinien być równy zero ( a - b ≠ 0) . Jeśli napotkamy równanie postaci a(x - c) = b(x + d) w którym parametry A I B będzie taki sam, możemy powiedzieć, nie rozwiązując go, że to równanie nie ma pierwiastków, ponieważ różnica między identycznymi liczbami wynosi zero.

Na przykład równanie 2(x - 3) = 2(x + 4) jest równaniem postaci a(x - c) = b(x + d). w równaniu 2(x - 3) = 2(x + 4) opcje A I B ten sam. Jeśli zaczniemy go rozwiązywać, dojdziemy do wniosku, że lewa strona nie będzie równa prawej:

Przykład 4. Podano dosłowne równanie. Wyraź z tego równania X

Sprowadźmy lewą stronę równania do wspólnego mianownika:

Pomnóżmy obie strony przez A

Po lewej stronie X wyjmijmy to z nawiasów

Podziel obie strony przez wyrażenie (1 - A)

Równania liniowe z jedną niewiadomą

Równania omówione w tej lekcji nazywane są równania liniowe pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

Jeśli równanie jest podane w pierwszym stopniu, nie zawiera podziału przez niewiadomą, a także nie zawiera pierwiastków z nieznanego, to można je nazwać liniowym. Nie badaliśmy jeszcze mocy i korzeni, więc aby nie komplikować nam życia, słowo „liniowy” zrozumiemy jako „proste”.

Większość równań rozwiązanych w tej lekcji ostatecznie sprowadzała się do prostego równania, w którym trzeba było podzielić iloczyn przez znany współczynnik. Na przykład jest to równanie 2 ( X+ 3) = 16 . Rozwiążmy to.

Otwórzmy nawiasy po lewej stronie równania, otrzymamy 2 X+ 6 = 16. Przesuńmy wyraz 6 na prawą stronę, zmieniając znak. Wtedy otrzymamy 2 X= 16 − 6. Oblicz prawą stronę, otrzymamy 2 X= 10. Aby znaleźć X, podziel iloczyn 10 przez znany współczynnik 2. Stąd X = 5.

Równanie 2( X+ 3) = 16 jest liniowe. Sprowadza się to do równania 2 X= 10, aby znaleźć pierwiastek, którego trzeba było podzielić iloczyn przez znany współczynnik. To najprostsze równanie nazywa się równanie liniowe pierwszego stopnia z niewiadomą w postaci kanonicznej. Słowo „kanoniczny” jest synonimem słów „prosty” lub „normalny”.

Równanie liniowe pierwszego stopnia z niewiadomą w postaci kanonicznej nazywa się równaniem postaci topór = b.

Nasze wynikowe równanie 2 X= 10 jest równaniem liniowym pierwszego stopnia z niewiadomą w postaci kanonicznej. Równanie to ma stopień pierwszy, niewiadomy, nie zawiera dzielenia przez niewiadome i nie zawiera pierwiastków z niewiadomego, i jest przedstawione w postaci kanonicznej, czyli w najprostszej postaci, w której można łatwo wyznaczyć wartość X. Zamiast parametrów A I B nasze równanie zawiera liczby 2 i 10. Ale takie równanie może zawierać także inne liczby: dodatnie, ujemne lub równe zero.

Jeśli w równaniu liniowym A= 0 i B= 0, to równanie ma nieskończenie wiele pierwiastków. Rzeczywiście, jeśli A równe zeru i B równa się zero, to równanie liniowe topór= B przyjmie postać 0 X= 0 . Za dowolną wartość X lewa strona będzie równa prawej stronie.

Jeśli w równaniu liniowym A= 0 i B≠ 0, to równanie nie ma pierwiastków. Rzeczywiście, jeśli A równe zeru i B jest równe jakiejś liczbie, która nie jest równa zeru, powiedzmy liczbę 5, a następnie równanie topór = b przyjmie postać 0 X= 5 . Lewa strona będzie wynosić zero, a prawa strona będzie wynosić pięć. A zero nie równa się pięć.

Jeśli w równaniu liniowym A≠ 0 oraz B jest równa dowolnej liczbie, wówczas równanie ma jeden pierwiastek. Wyznacza się go poprzez podzielenie parametru B na parametr A

Rzeczywiście, jeśli A równy jakiejś liczbie, która nie jest zerowa, powiedzmy liczbę 3 i B równa jakiejś liczbie, powiedzmy liczbę 6, wtedy równanie przyjmie postać .
Stąd.

Istnieje inna forma zapisania równania liniowego pierwszego stopnia z niewiadomą. To wygląda tak: topór-b= 0 . To jest to samo równanie co topór = b

Czy podobała Ci się lekcja?
Dołącz do naszej nowej grupy VKontakte i zacznij otrzymywać powiadomienia o nowych lekcjach