Fundament z piwnicą
Jak rozwiązywać ułamkowe równania wymierne. Rozwiązywanie równań wymiernych całkowitych i ułamkowych

Jak rozwiązywać ułamkowe równania wymierne. Rozwiązywanie równań wymiernych całkowitych i ułamkowych

Dzisiaj zastanowimy się, jak rozwiązać ułamkowe równania wymierne.

Zobaczmy: z równań

(1) 2x + 5 = 3(8 – x),

(3)

(4)

Tylko (2) i (4) są ułamkowymi równaniami wymiernymi, a (1) i (3) są równaniami pełnymi.

Proponuję rozwiązać równanie (4) i następnie sformułować regułę.

Ponieważ równanie jest ułamkowe, musimy znaleźć wspólny mianownik. W tym równaniu wyrażenie to 6(x – 12)(x – 6). Następnie mnożymy obie strony równania przez wspólny mianownik:

Po redukcji otrzymujemy całe równanie:

6(x – 6) 2 – 6(x – 12) 2 = 5(x – 12)(x – 6).

Po rozwiązaniu tego równania należy sprawdzić, czy powstałe pierwiastki powodują zanik mianowników ułamków w pierwotnym równaniu.

Rozszerzanie nawiasów:
6x 2 – 72x + 216 – 6x 2 + 144x – 864 = 5x 2 – 90x + 360, uprość równanie: 5x 2 – 162x + 1008 = 0.

Znalezienie pierwiastków równania
D = 6084, √D = 78,
x 1 = (162 – 78)/10 = 84/10 = 8,4 i x 2 = (162 + 78)/10 = 240/10 = 24.

Dla x = 8,4 i 24 wspólnym mianownikiem jest 6(x – 12)(x – 6) ≠ 0, co oznacza, że liczby te są pierwiastkami równania (4).

Odpowiedź: 8,4; 24.

Po rozwiązaniu zaproponowanego równania dochodzimy do następującego wniosku zaprowiantowanie:

1) Znalezienie wspólnego mianownika.

2) Pomnóż obie strony równania przez wspólny mianownik.

3) Rozwiązujemy powstałe całe równanie.

4) Sprawdzamy, które pierwiastki powodują zniknięcie wspólnego mianownika i wykluczamy je z rozwiązania.

Przyjrzyjmy się teraz przykładowi działania wynikających z nich przepisów.

Rozwiązać równanie:

1) Wspólny mianownik: x 2 – 1

2) Mnożąc obie strony równania przez wspólny mianownik otrzymujemy całe równanie: 6 – 2(x + 1) = 2(x 2 – 1) – (x + 4)(x – 1)

3) Rozwiąż równanie: 6 – 2x – 2 = 2x 2 – 2 – x 2 – 4x + x + 4

x 2 – x – 2 = 0

x 1 = - 1 i x 2 = 2

4) Dla x = -1 wspólnym mianownikiem jest x 2 – 1 = 0. Liczba -1 nie jest pierwiastkiem.

Gdy x = 2, wspólny mianownik x 2 – 1 ≠ 0. Liczba 2 jest pierwiastkiem równania.

Odpowiedź: 2.

Jak widać nasze przepisy działają. Nie bój się, odniesiesz sukces! Najważniejsze znajdź poprawnie wspólny mianownik I przeprowadzaj konwersje ostrożnie. Mamy nadzieję, że rozwiązując ułamkowe równania wymierne, zawsze otrzymasz prawidłowe odpowiedzi. Jeśli masz jakieś pytania lub chcesz poćwiczyć rozwiązywanie podobnych równań, zapisz się na lekcje z autorką tego artykułu, korepetytorką Valentiną Galinevską.

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

Rozwiązywanie ułamkowych równań wymiernych

Przewodnik referencyjny

Równania wymierne to równania, w których zarówno lewa, jak i prawa strona są wyrażeniami wymiernymi.

(Pamiętaj: wyrażenia wymierne to wyrażenia całkowite i ułamkowe bez pierwiastków, w tym operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia - na przykład: 6x; (m – n)2; x/3y itp.)

Ułamkowe równania wymierne są zwykle redukowane do postaci:

Gdzie P(X) I Q(X) są wielomianami.

Aby rozwiązać takie równania, pomnóż obie strony równania przez Q(x), co może prowadzić do pojawienia się obcych pierwiastków. Dlatego przy rozwiązywaniu ułamkowych równań wymiernych należy sprawdzić znalezione pierwiastki.

Równanie wymierne nazywa się całością lub algebraicznym, jeśli nie dzieli się przez wyrażenie zawierające zmienną.

Przykłady całego równania racjonalnego:

5x – 10 = 3(10 – x)

3x
- = 2x – 10
4

Jeżeli w równaniu wymiernym następuje dzielenie przez wyrażenie zawierające zmienną (x), wówczas równanie nazywa się wymiernym ułamkowym.

Przykład ułamkowego równania wymiernego:

15
x + - = 5x – 17
X

Ułamkowe równania wymierne są zwykle rozwiązywane w następujący sposób:

1) znajdź wspólny mianownik ułamków i pomnóż przez niego obie strony równania;

2) rozwiązać powstałe całe równanie;

3) wykluczyć z pierwiastków te, które redukują wspólny mianownik ułamków do zera.

Przykłady rozwiązywania równań wymiernych całkowitych i ułamkowych.

Przykład 1. Rozwiążmy całe równanie

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Rozwiązanie:

Znalezienie najmniejszego wspólnego mianownika. To jest 6. Podziel 6 przez mianownik i wynik pomnóż przez licznik każdego ułamka. Otrzymujemy równanie równoważne temu:

3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Ponieważ lewa i prawa strona mają ten sam mianownik, można go pominąć. Otrzymujemy wówczas prostsze równanie:

3(x – 1) + 4x = 5x.

Rozwiązujemy to otwierając nawiasy i łącząc podobne terminy:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

Przykład został rozwiązany.

Przykład 2. Rozwiąż ułamkowe równanie racjonalne

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)

Znalezienie wspólnego mianownika. To jest x(x – 5). Więc:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Teraz ponownie pozbywamy się mianownika, ponieważ jest on taki sam dla wszystkich wyrażeń. Redukujemy podobne wyrazy, przyrównujemy równanie do zera i otrzymujemy równanie kwadratowe:

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3x – 10 = 0.

Po rozwiązaniu równania kwadratowego znajdujemy jego pierwiastki: –2 i 5.

Sprawdźmy, czy te liczby są pierwiastkami pierwotnego równania.

Przy x = –2 wspólny mianownik x(x – 5) nie znika. Oznacza to, że –2 jest pierwiastkiem pierwotnego równania.

Przy x = 5 wspólny mianownik dąży do zera i dwa z trzech wyrażeń tracą znaczenie. Oznacza to, że liczba 5 nie jest pierwiastkiem pierwotnego równania.

Odpowiedź: x = –2

Więcej przykładów

Przykład 1.

x 1 = 6, x 2 = - 2,2.

Odpowiedź: -2,2;6.

Przykład 2.

Prezentacja i lekcja na temat: „Równania wymierne. Algorytm i przykłady rozwiązywania równań wymiernych”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń! Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Pomoce edukacyjne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 8
Podręcznik do podręcznika Makaryczowa Yu.N. Podręcznik do podręcznika Mordkovich A.G.

Wprowadzenie do równań niewymiernych

Chłopaki, nauczyliśmy się rozwiązywać równania kwadratowe. Ale matematyka nie ogranicza się tylko do nich. Dzisiaj nauczymy się rozwiązywać równania wymierne. Pojęcie równań wymiernych jest pod wieloma względami podobne do pojęcia liczb wymiernych. Tylko oprócz liczb wprowadziliśmy teraz zmienną $x$. I tak otrzymujemy wyrażenie, w którym występują operacje dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i podnoszenia do potęgi całkowitej.

Niech $r(x)$ będzie racjonalna ekspresja. Takim wyrażeniem może być prosty wielomian w zmiennej $x$ lub stosunek wielomianów (wprowadza się operację dzielenia, jak dla liczb wymiernych).
Nazywa się równanie $r(x)=0$ racjonalne równanie.
Każde równanie w postaci $p(x)=q(x)$, gdzie $p(x)$ i $q(x)$ są wyrażeniami wymiernymi, również będzie racjonalne równanie.

Spójrzmy na przykłady rozwiązywania równań wymiernych.

Przykład 1.
Rozwiąż równanie: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Rozwiązanie.
Przesuńmy wszystkie wyrażenia na lewą stronę: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Gdyby lewa strona równania była reprezentowana przez liczby zwykłe, wówczas sprowadzilibyśmy oba ułamki do wspólnego mianownika.
Zróbmy tak: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Otrzymaliśmy równanie: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Ułamek jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy licznik ułamka jest równy zero, a mianownik jest niezerowy. Następnie osobno przyrównujemy licznik do zera i znajdujemy pierwiastki licznika.
3 $(x^2+2x-3)=0$ lub $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Sprawdźmy teraz mianownik ułamka: $(x-3)*x≠0$.
Iloczyn dwóch liczb jest równy zero, gdy co najmniej jedna z tych liczb jest równa zero. Następnie: $x≠0$ lub $x-3≠0$.
$x≠0$ lub $x≠3$.
Pierwiastki otrzymane w liczniku i mianowniku nie pokrywają się. Zapisujemy więc oba pierwiastki licznika w odpowiedzi.
Odpowiedź: $x=1$ lub $x=-3$.

Jeśli nagle jeden z pierwiastków licznika pokrywa się z pierwiastkiem mianownika, należy go wykluczyć. Takie korzenie nazywane są obcymi!

Algorytm rozwiązywania równań wymiernych:

1. Przesuń wszystkie wyrażenia zawarte w równaniu na lewą stronę znaku równości.
2. Przekształć tę część równania na ułamek algebraiczny: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Otrzymany licznik przyrównaj do zera, czyli rozwiąż równanie $p(x)=0$.
4. Przyrównaj mianownik do zera i rozwiąż powstałe równanie. Jeżeli pierwiastki mianownika pokrywają się z pierwiastkami licznika, należy je wykluczyć z odpowiedzi.

Przykład 2.
Rozwiąż równanie: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Rozwiązanie.
Rozwiążmy zgodnie z punktami algorytmu.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Przyrównaj licznik do zera: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Przyrównaj mianownik do zera:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ i $x=-1$.
Jeden z pierwiastków $x=1$ pokrywa się z pierwiastkiem licznika, wtedy nie wpisujemy tego w odpowiedzi.
Odpowiedź: $x=-1$.

Równania wymierne wygodnie jest rozwiązywać metodą zmiany zmiennych. Zademonstrujmy to.

Przykład 3.
Rozwiąż równanie: $x^4+12x^2-64=0$.

Rozwiązanie.
Wprowadźmy zamiennik: $t=x^2$.
Wtedy nasze równanie przyjmie postać:
$t^2+12t-64=0$ - zwykłe równanie kwadratowe.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 dolary.
Wprowadźmy odwrotne podstawienie: $x^2=4$ lub $x^2=-16$.
Pierwiastkami pierwszego równania jest para liczb $x=±2$. Po drugie, nie ma korzeni.
Odpowiedź: $x=±2$.

Przykład 4.
Rozwiąż równanie: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Rozwiązanie.
Wprowadźmy nową zmienną: $t=x^2+x+1$.
Wtedy równanie przyjmie postać: $t=\frac(15)(t+2)$.
Następnie będziemy postępować zgodnie z algorytmem.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 dolary.
4. $t≠-2$ - pierwiastki nie pokrywają się.
Wprowadźmy odwrotne podstawienie.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Rozwiążmy każde równanie osobno:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - nie korzenie.
I drugie równanie: $x^2+x-2=0$.
Pierwiastkami tego równania będą liczby $x=-2$ i $x=1$.
Odpowiedź: $x=-2$ i $x=1$.

Przykład 5.
Rozwiąż równanie: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Rozwiązanie.
Wprowadźmy zamiennik: $t=x+\frac(1)(x)$.
Następnie:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ lub $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Otrzymaliśmy równanie: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Pierwiastkami tego równania są pary:
$t=-3$ i $t=2$.
Wprowadźmy odwrotne podstawienie:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Zadecydujemy osobno.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Rozwiążmy drugie równanie:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Pierwiastkiem tego równania jest liczba $x=1$.
Odpowiedź: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Problemy do samodzielnego rozwiązania

Rozwiąż równania:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Równania ułamkowe. OZ.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Nadal doskonalimy równania. Wiemy już, jak pracować z równaniami liniowymi i kwadratowymi. Pozostał ostatni widok - równania ułamkowe. Lub nazywa się je również znacznie bardziej szanowanie - ułamkowe równania wymierne. To jest to samo.

Równania ułamkowe.

Jak sama nazwa wskazuje, równania te koniecznie zawierają ułamki. Ale nie tylko ułamki, ale ułamki, które je mają nieznane w mianowniku. Przynajmniej w jednym. Na przykład:

Przypomnę, że jeśli mianowniki to tylko liczby, są to równania liniowe.

Jak zdecydować równania ułamkowe? Przede wszystkim pozbądź się ułamków! Następnie równanie najczęściej zmienia się w liniowe lub kwadratowe. I wtedy wiemy, co robić... W niektórych przypadkach może to przekształcić się w tożsamość, na przykład 5=5 lub nieprawidłowe wyrażenie, na przykład 7=2. Ale to rzadko się zdarza. Wspomnę o tym poniżej.

Ale jak pozbyć się ułamków!? Bardzo prosta. Stosowanie tych samych identycznych przekształceń.

Musimy pomnożyć całe równanie przez to samo wyrażenie. Aby wszystkie mianowniki zostały zmniejszone! Wszystko od razu stanie się łatwiejsze. Wyjaśnię to na przykładzie. Musimy rozwiązać równanie:

Jak cię uczono w szkole podstawowej? Przesuwamy wszystko na jedną stronę, sprowadzamy do wspólnego mianownika itp. Zapomnij o tym jak o złym śnie! To właśnie musisz zrobić, dodając lub odejmując ułamki zwykłe. Albo pracujesz z nierównościami. A w równaniach natychmiast mnożymy obie strony przez wyrażenie, które da nam możliwość zredukowania wszystkich mianowników (tj. w istocie przez wspólny mianownik). A co to za wyrażenie?

Po lewej stronie zmniejszenie mianownika wymaga pomnożenia przez x+2. A po prawej stronie wymagane jest pomnożenie przez 2. Oznacza to, że równanie należy pomnożyć przez 2(x+2). Zwielokrotniać:

Jest to powszechne mnożenie ułamków zwykłych, ale opiszę je szczegółowo:

Pamiętaj, że jeszcze nie otwieram wspornika (x + 2)! Zatem w całości napiszę:

Po lewej stronie całkowicie się kurczy (x+2), a po prawej 2. To było to, czego potrzebowaliśmy! Po redukcji otrzymujemy liniowy równanie:

I każdy może rozwiązać to równanie! x = 2.

Rozwiążmy inny przykład, trochę bardziej skomplikowany:

Jeśli pamiętamy, że 3 = 3/1 i 2x = 2x/ 1, możemy napisać:

I znowu pozbywamy się tego, czego tak naprawdę nie lubimy - ułamków.

Widzimy, że aby zmniejszyć mianownik przez X, musimy pomnożyć ułamek przez (x – 2). A kilka nie jest dla nas przeszkodą. Cóż, pomnóżmy. Wszystko lewa strona i Wszystko prawa strona:

Znowu nawiasy (x – 2) Nie ujawniam. Pracuję ze wspornikiem jako całością, jakby był jedną liczbą! Należy to zawsze robić, w przeciwnym razie nic nie zostanie zmniejszone.

Z poczuciem głębokiej satysfakcji redukujemy (x – 2) i otrzymujemy równanie bez ułamków, za pomocą linijki!

Teraz otwórzmy nawiasy:

Przynosimy podobne, przesuwamy wszystko na lewą stronę i otrzymujemy:

Ale wcześniej nauczymy się rozwiązywać inne problemy. Na odsetkach. Swoją drogą, to grabie!

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Rozmawiajmy dalej rozwiązywanie równań. W tym artykule omówimy szczegółowo równania racjonalne oraz zasady rozwiązywania równań wymiernych z jedną zmienną. Najpierw dowiedzmy się, jaki typ równań nazywa się racjonalnymi, podamy definicję całych wymiernych i ułamkowych równań wymiernych oraz podamy przykłady. Następnie otrzymamy algorytmy rozwiązywania równań wymiernych i oczywiście rozważymy rozwiązania typowych przykładów ze wszystkimi niezbędnymi wyjaśnieniami.

Nawigacja strony.

W oparciu o podane definicje podajemy kilka przykładów równań wymiernych. Na przykład x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , są równaniami wymiernymi.

Z pokazanych przykładów jasno wynika, że równania wymierne, a także równania innych typów mogą mieć jedną zmienną lub dwie, trzy itd. zmienne. W kolejnych akapitach porozmawiamy o rozwiązywaniu równań wymiernych z jedną zmienną. Rozwiązywanie równań z dwiema zmiennymi i ich duża liczba zasługują na szczególną uwagę.

Oprócz dzielenia równań wymiernych przez liczbę nieznanych zmiennych, dzieli się je również na równania całkowite i ułamkowe. Podajmy odpowiednie definicje.

Definicja.

Równanie racjonalne nazywa się cały, jeśli zarówno jego lewa, jak i prawa strona są całkowitymi wyrażeniami wymiernymi.

Definicja.

Jeżeli przynajmniej jedna z części równania wymiernego jest wyrażeniem ułamkowym, wówczas takie równanie nazywa się częściowo racjonalne(lub ułamkowo racjonalne).

Oczywiste jest, że całe równania nie zawierają podziału przez zmienną; wręcz przeciwnie, ułamkowe równania wymierne koniecznie zawierają dzielenie przez zmienną (lub zmienną w mianowniku). Zatem 3 x+2=0 i (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5– są to całe równania wymierne, obie ich części są wyrażeniami całkowitymi. A i x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 są przykładami ułamkowych równań wymiernych.

Kończąc ten punkt, zwróćmy uwagę na fakt, że znane do tej pory równania liniowe i równania kwadratowe są równaniami całkowicie wymiernymi.

Rozwiązywanie całych równań

Jednym z głównych podejść do rozwiązywania całych równań jest zredukowanie ich do równoważnych równania algebraiczne. Zawsze można to zrobić, wykonując następujące równoważne przekształcenia równania:

najpierw wyrażenie z prawej strony pierwotnego równania całkowitego zostaje przeniesione na lewą stronę z przeciwnym znakiem, aby otrzymać zero po prawej stronie;
następnie po lewej stronie równania wynikowa forma standardowa.

Wynikiem jest równanie algebraiczne, które jest równoważne pierwotnemu równaniu liczby całkowitej. Zatem w najprostszych przypadkach rozwiązywanie całych równań sprowadza się do rozwiązywania równań liniowych lub kwadratowych, a w ogólnym przypadku do rozwiązywania równania algebraicznego stopnia n. Dla jasności spójrzmy na rozwiązanie przykładu.

Przykład.

Znajdź pierwiastki całego równania 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Rozwiązanie.

Sprowadźmy rozwiązanie całego równania do rozwiązania równoważnego równania algebraicznego. Aby to zrobić, najpierw przenosimy wyrażenie z prawej strony na lewą, w wyniku czego dochodzimy do równania 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. Po drugie, przekształcamy wyrażenie utworzone po lewej stronie w wielomian w postaci standardowej, uzupełniając niezbędne: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Zatem rozwiązanie pierwotnego równania liczb całkowitych sprowadza się do rozwiązania równania kwadratowego x 2 −5·x−6=0.

Obliczamy jego wyróżnik D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, jest dodatnia, co oznacza, że równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste, które znajdujemy korzystając ze wzoru na pierwiastki równania kwadratowego:

Aby mieć całkowitą pewność, zróbmy to sprawdzenie znalezionych pierwiastków równania. Najpierw sprawdzamy pierwiastek 6, zastępujemy go zamiast zmiennej x w pierwotnym równaniu całkowitym: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, czyli to samo, 63=63. Jest to prawidłowe równanie numeryczne, dlatego x=6 jest rzeczywiście pierwiastkiem równania. Teraz sprawdzamy pierwiastek −1, mamy 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, skąd, 0=0 . Gdy x=−1, pierwotne równanie również przekształca się w poprawną równość liczbową, dlatego x=−1 jest również pierwiastkiem równania.

Odpowiedź:

6 , −1 .

W tym miejscu należy również zauważyć, że określenie „stopień całego równania” wiąże się z przedstawieniem całego równania w postaci równania algebraicznego. Podajmy odpowiednią definicję:

Definicja.

Potęga całego równania nazywa się stopniem równoważnego równania algebraicznego.

Zgodnie z tą definicją całe równanie z poprzedniego przykładu ma stopień drugi.

To mógłby być koniec rozwiązywania całych równań wymiernych, gdyby nie jedna rzecz…. Jak wiadomo, rozwiązywanie równań algebraicznych stopnia powyżej drugiego wiąże się ze znacznymi trudnościami, a dla równań stopnia powyżej czwartego nie ma w ogóle ogólnych wzorów na pierwiastki. Dlatego, aby rozwiązać całe równania trzeciego, czwartego i więcej wysokie stopnie Często trzeba uciekać się do innych metod rozwiązania.

W takich przypadkach podejście do rozwiązywania całych równań wymiernych opiera się na metoda faktoryzacji. W tym przypadku stosuje się następujący algorytm:

najpierw upewniają się, że po prawej stronie równania znajduje się zero, w tym celu przenoszą wyrażenie z prawej strony całego równania na lewą stronę;
wówczas wynikowe wyrażenie po lewej stronie jest przedstawiane jako iloczyn kilku czynników, co pozwala nam przejść do układu kilku prostszych równań.

Podany algorytm rozwiązywania całego równania poprzez faktoryzację wymaga szczegółowego wyjaśnienia na przykładzie.

Przykład.

Rozwiąż całe równanie (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Rozwiązanie.

Najpierw jak zwykle przenosimy wyrażenie z prawej strony równania na lewą stronę, nie zapominając o zmianie znaku, otrzymujemy (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Tutaj jest całkiem oczywiste, że nie jest wskazane przekształcanie lewej strony powstałego równania w wielomian postaci standardowej, ponieważ da to równanie algebraiczne czwartego stopnia postaci x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, którego rozwiązanie jest trudne.

Z drugiej strony oczywiste jest, że po lewej stronie powstałego równania możemy x 2 −10 x+13 , przedstawiając to jako iloczyn. Mamy (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Powstałe równanie jest równoważne pierwotnemu całemu równaniu i można je z kolei zastąpić układem dwóch równań kwadratowych x 2 −10·x+13=0 i x 2 −2·x−1=0. Znalezienie ich pierwiastków za pomocą znanych wzorów na pierwiastki poprzez dyskryminator nie jest trudne; pierwiastki są równe. Są to pożądane pierwiastki pierwotnego równania.

Odpowiedź:

Przydatne również do rozwiązywania całych równań wymiernych metoda wprowadzania nowej zmiennej. W niektórych przypadkach umożliwia przejście do równań, których stopień jest niższy niż stopień pierwotnego całego równania.

Przykład.

Znajdź rzeczywiste pierwiastki równania wymiernego (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Rozwiązanie.

Sprowadzenie całego tego równania wymiernego do równania algebraicznego jest, delikatnie mówiąc, niezbyt dobrym pomysłem, gdyż w tym przypadku dochodzimy do konieczności rozwiązania równania czwartego stopnia, które nie ma pierwiastków wymiernych. Dlatego będziesz musiał poszukać innego rozwiązania.

Tutaj łatwo zauważyć, że można wprowadzić nową zmienną y i zastąpić nią wyrażenie x 2 +3·x. To podstawienie prowadzi nas do całego równania (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , które po przesunięciu wyrażenia −2·(y−4) na lewą stronę i późniejszej transformacji wyrażenia tam utworzone, sprowadza się do równania kwadratowego y 2 +4·y+3=0. Pierwiastki tego równania y=−1 i y=−3 łatwo znaleźć, można je np. wybrać na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Viety.

Teraz przechodzimy do drugiej części metody wprowadzania nowej zmiennej, czyli do wykonania zamiany odwrotnej. Po wykonaniu odwrotnego podstawienia otrzymujemy dwa równania x 2 +3 x=−1 i x 2 +3 x=−3, które można zapisać jako x 2 +3 x+1=0 i x 2 +3 x+3 =0 . Korzystając ze wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, znajdujemy pierwiastki pierwszego równania. Drugie równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych, ponieważ jego wyróżnik jest ujemny (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Odpowiedź:

Generalnie, gdy mamy do czynienia z całymi równaniami wysokiego stopnia, zawsze musimy być przygotowani na poszukiwanie niestandardowej metody lub sztucznej techniki ich rozwiązywania.

Rozwiązywanie ułamkowych równań wymiernych

Na początek przydatne będzie zrozumienie, jak rozwiązywać ułamkowe równania wymierne w postaci , gdzie p(x) i q(x) są wyrażeniami wymiernymi całkowitymi. A następnie pokażemy, jak sprowadzić rozwiązanie innych równań ułamkowo wymiernych do rozwiązania równań wskazanego typu.

Jedno podejście do rozwiązania równania opiera się na następującym stwierdzeniu: ułamek liczbowy u/v, gdzie v jest liczbą niezerową (w przeciwnym razie napotkamy , które jest nieokreślone), jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy jego licznik jest równy zero, to jest wtedy i tylko wtedy, gdy u=0 . Na mocy tego stwierdzenia rozwiązanie równania sprowadza się do spełnienia dwóch warunków p(x)=0 i q(x)≠0.

Wniosek ten odpowiada następującemu algorytm rozwiązywania ułamkowego równania wymiernego. Aby rozwiązać ułamkowe racjonalne równanie postaci , potrzebujesz

rozwiązać całe równanie wymierne p(x)=0 ;
i sprawdź, czy dla każdego znalezionego pierwiastka spełniony jest warunek q(x)≠0, while

jeśli to prawda, to ten pierwiastek jest pierwiastkiem pierwotnego równania;
jeśli nie jest spełniony, pierwiastek ten jest obcy, to znaczy nie jest pierwiastkiem pierwotnego równania.

Spójrzmy na przykład zastosowania zapowiadanego algorytmu przy rozwiązywaniu ułamkowego równania wymiernego.

Przykład.

Znajdź pierwiastki równania.

Rozwiązanie.

Jest to ułamkowe równanie wymierne o postaci , gdzie p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Zgodnie z algorytmem rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych tego typu, najpierw musimy rozwiązać równanie 3 x−2=0. Ten równanie liniowe, którego pierwiastek wynosi x=2/3.

Pozostaje sprawdzić, czy ten pierwiastek spełnia warunek 5 x 2 −2≠0. Podstawiamy liczbę 2/3 do wyrażenia 5 x 2 −2 zamiast x i otrzymujemy . Warunek jest spełniony, więc x=2/3 jest pierwiastkiem pierwotnego równania.

Odpowiedź:

2/3 .

Do rozwiązania ułamkowego równania wymiernego można podejść z nieco innej pozycji. To równanie jest równoważne równaniu całkowitemu p(x)=0 na zmiennej x pierwotnego równania. Oznacza to, że możesz się tego trzymać algorytm rozwiązywania ułamkowego równania wymiernego :

rozwiązać równanie p(x)=0 ;
znajdź ODZ zmiennej x;
zakorzeniają się w obszarze dopuszczalnych wartości - są to pożądane pierwiastki pierwotnego ułamkowego równania wymiernego.

Na przykład rozwiążmy ułamkowe równanie wymierne za pomocą tego algorytmu.

Przykład.

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie.

Najpierw rozwiązujemy równanie kwadratowe x 2 −2·x−11=0. Jego pierwiastki można obliczyć, korzystając ze wzoru na pierwiastek dla parzystego drugiego współczynnika, który mamy re 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, I .

Po drugie, znajdujemy ODZ zmiennej x dla pierwotnego równania. Składa się ze wszystkich liczb, dla których x 2 +3·x≠0, co jest tym samym, co x·(x+3)≠0, skąd x≠0, x≠−3.

Pozostaje sprawdzić, czy korzenie znalezione w pierwszym etapie są uwzględnione w ODZ. Oczywiście tak. Dlatego oryginalne ułamkowe równanie wymierne ma dwa pierwiastki.

Odpowiedź:

Należy zauważyć, że to podejście jest bardziej opłacalne niż pierwsze, jeśli łatwo jest znaleźć ODZ i jest szczególnie korzystne, jeśli pierwiastki równania p(x) = 0 są na przykład niewymierne lub wymierne, ale mają dość duży licznik i /lub mianownik, na przykład 127/1101 i -31/59. Wynika to z faktu, że w takich przypadkach sprawdzenie warunku q(x)≠0 będzie wymagało dużego wysiłku obliczeniowego, a za pomocą ODZ łatwiej jest wykluczyć pierwiastki obce.

W innych przypadkach przy rozwiązywaniu równania, zwłaszcza gdy pierwiastki równania p(x) = 0 są liczbami całkowitymi, bardziej opłaca się zastosować pierwszy z podanych algorytmów. Oznacza to, że zamiast znajdować ODZ, warto od razu znaleźć pierwiastki całego równania p(x)=0, a następnie sprawdzić, czy jest dla nich spełniony warunek q(x)≠0, a następnie rozwiązać równanie p(x)=0 na tym ODZ. Wynika to z faktu, że w takich przypadkach zwykle łatwiej jest sprawdzić niż znaleźć DZ.

Rozważmy rozwiązanie dwóch przykładów, aby zilustrować określone niuanse.

Przykład.

Znajdź pierwiastki równania.

Rozwiązanie.

Najpierw znajdźmy pierwiastki całego równania (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, złożony przy użyciu licznika ułamka. Lewa strona tego równania jest iloczynem, a prawa strona wynosi zero, zatem zgodnie z metodą rozwiązywania równań poprzez faktoryzację równanie to jest równoważne zbiorowi czterech równań 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Trzy z tych równań są liniowe, a jedno kwadratowe; możemy je rozwiązać. Z pierwszego równania znajdujemy x=1/2, z drugiego - x=6, z trzeciego - x=7, x=−2, z czwartego - x=−1.

Po znalezieniu pierwiastków dość łatwo jest sprawdzić, czy mianownik ułamka po lewej stronie pierwotnego równania znika, ale wręcz przeciwnie, określenie ODZ nie jest takie proste, ponieważ w tym celu trzeba będzie rozwiązać równanie algebraiczne piątego stopnia. Dlatego porzucimy szukanie ODZ na rzecz sprawdzenia korzeni. W tym celu zastępujemy je jeden po drugim zamiast zmiennej x w wyrażeniu x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, otrzymane po podstawieniu i porównaj je z zerem: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15,7 4 +57,7 3 −13,7 2 +26,7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Zatem 1/2, 6 i -2 to pożądane pierwiastki pierwotnego ułamkowego równania wymiernego, a 7 i -1 to pierwiastki obce.

Odpowiedź:

1/2 , 6 , −2 .

Przykład.

Znajdź pierwiastki ułamkowego równania wymiernego.

Rozwiązanie.

Najpierw znajdźmy pierwiastki równania (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Równanie to jest równoważne układowi dwóch równań: kwadratowemu 5 x 2 −7 x−1=0 i liniowemu x−2=0. Korzystając ze wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, znajdujemy dwa pierwiastki, a z drugiego równania mamy x=2.

Sprawdzanie, czy mianownik dąży do zera przy znalezionych wartościach x, jest dość nieprzyjemne. A określenie zakresu dopuszczalnych wartości zmiennej x w pierwotnym równaniu jest dość proste. Dlatego będziemy działać poprzez ODZ.

W naszym przypadku ODZ zmiennej x pierwotnego ułamkowego równania wymiernego składa się ze wszystkich liczb z wyjątkiem tych, dla których spełniony jest warunek x 2 +5·x−14=0. Pierwiastkami tego równania kwadratowego są x=−7 i x=2, z czego wyciągamy wniosek na temat ODZ: składa się on ze wszystkich x takich, że .

Pozostaje sprawdzić, czy znalezione pierwiastki i x=2 mieszczą się w przedziale wartości akceptowalnych. Pierwiastki należą zatem, są pierwiastkami pierwotnego równania, a x=2 nie należy, zatem jest to pierwiastek obcy.

Odpowiedź:

Przydatne będzie również osobne rozważenie przypadków, gdy w ułamkowym równaniu wymiernym postaci znajduje się liczba w liczniku, to znaczy, gdy p(x) jest reprezentowane przez jakąś liczbę. W której

jeśli liczba ta jest różna od zera, to równanie nie ma pierwiastków, ponieważ ułamek jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy jego licznik jest równy zero;
jeśli ta liczba wynosi zero, to pierwiastkiem równania jest dowolna liczba z ODZ.

Przykład.

Rozwiązanie.

Ponieważ licznik ułamka po lewej stronie równania zawiera liczbę niezerową, to dla dowolnego x wartość tego ułamka nie może być równa zeru. Dlatego to równanie nie ma pierwiastków.

Odpowiedź:

żadnych korzeni.

Przykład.

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie.

Licznik ułamka po lewej stronie tego ułamkowego równania wymiernego zawiera zero, więc wartość tego ułamka wynosi zero dla dowolnego x, dla którego ma to sens. Innymi słowy, rozwiązaniem tego równania jest dowolna wartość x z ODZ tej zmiennej.

Pozostaje określić ten zakres dopuszczalnych wartości. Obejmuje wszystkie wartości x, dla których x 4 +5 x 3 ≠0. Rozwiązania równania x 4 +5 x 3 =0 to 0 i −5, ponieważ równanie to jest równoważne równaniu x 3 (x+5)=0, a to z kolei jest równoważne kombinacji dwóch równań x 3 =0 i x +5=0, skąd te pierwiastki są widoczne. Dlatego pożądanym zakresem dopuszczalnych wartości jest dowolny x z wyjątkiem x=0 i x=-5.

Zatem ułamkowe równanie wymierne ma nieskończenie wiele rozwiązań, które są dowolnymi liczbami z wyjątkiem zera i minus pięć.

Odpowiedź:

Wreszcie czas porozmawiać o rozwiązywaniu ułamkowych równań wymiernych o dowolnej formie. Można je zapisać jako r(x)=s(x), gdzie r(x) i s(x) są wyrażeniami wymiernymi i co najmniej jedno z nich jest ułamkowe. Patrząc w przyszłość, powiedzmy, że ich rozwiązanie sprowadza się do rozwiązania równań o znanej nam już postaci.

Wiadomo, że przeniesienie wyrazu z jednej części równania do drugiej o przeciwnym znaku prowadzi do równania równoważnego, zatem równanie r(x)=s(x) jest równoważne równaniu r(x)−s(x )=0.

Wiemy też, że możliwe jest dowolne , identyczne z tym wyrażeniem. Zatem zawsze możemy przekształcić wyrażenie wymierne po lewej stronie równania r(x)−s(x)=0 na identycznie równy ułamek wymierny postaci .

Przechodzimy więc od pierwotnego ułamkowego równania wymiernego r(x)=s(x) do równania, a jego rozwiązanie, jak dowiedzieliśmy się powyżej, sprowadza się do rozwiązania równania p(x)=0.

Ale tutaj należy wziąć pod uwagę fakt, że przy zamianie r(x)−s(x)=0 na , a następnie na p(x)=0 zakres dopuszczalnych wartości zmiennej x może się rozszerzyć .

W rezultacie pierwotne równanie r(x)=s(x) i równanie p(x)=0, do których doszliśmy, mogą okazać się nierówne, a rozwiązując równanie p(x)=0, możemy otrzymać pierwiastki będą to zewnętrzne pierwiastki pierwotnego równania r(x)=s(x) . Możesz zidentyfikować obce pierwiastki w odpowiedzi i nie uwzględniać ich w odpowiedzi, wykonując sprawdzenie lub sprawdzając, czy należą one do ODZ pierwotnego równania.

Podsumujmy te informacje w algorytm rozwiązywania ułamkowego równania wymiernego r(x)=s(x). Aby rozwiązać ułamkowe równanie wymierne r(x)=s(x) , potrzebujesz

Uzyskaj zero po prawej stronie, przesuwając wyrażenie z prawej strony o przeciwny znak.
Wykonuj operacje na ułamkach i wielomianach po lewej stronie równania, przekształcając je w ten sposób na ułamek wymierny postaci.
Rozwiąż równanie p(x)=0.
Zidentyfikuj i wyeliminuj obce pierwiastki, co można zrobić, podstawiając je do pierwotnego równania lub sprawdzając ich przynależność do ODZ pierwotnego równania.

Dla większej przejrzystości pokażemy cały łańcuch rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych:
.

Przyjrzyjmy się rozwiązaniom kilku przykładów ze szczegółowym wyjaśnieniem procesu rozwiązania, aby rozjaśnić dany blok informacji.

Przykład.

Rozwiąż ułamkowe równanie wymierne.

Rozwiązanie.

Będziemy działać zgodnie z otrzymanym właśnie algorytmem rozwiązania. I najpierw przenosimy wyrazy z prawej strony równania na lewą stronę, w wyniku czego przechodzimy do równania.

W drugim kroku musimy przekształcić ułamkowe wyrażenie wymierne po lewej stronie powstałego równania do postaci ułamka zwykłego. Aby to zrobić, redukujemy ułamki wymierne do wspólnego mianownika i upraszczamy powstałe wyrażenie: . Dochodzimy więc do równania.

W następnym kroku musimy rozwiązać równanie −2·x−1=0. Znajdujemy x=−1/2.

Pozostaje sprawdzić, czy znaleziona liczba -1/2 nie jest obcym pierwiastkiem pierwotnego równania. Aby to zrobić, możesz sprawdzić lub znaleźć VA zmiennej x pierwotnego równania. Zademonstrujmy oba podejścia.

Zacznijmy od sprawdzenia. Podstawiamy liczbę −1/2 do pierwotnego równania zamiast zmiennej x i otrzymujemy to samo, −1=−1. Podstawienie daje poprawną równość liczbową, więc x=−1/2 jest pierwiastkiem pierwotnego równania.

Teraz pokażemy jak ostatni punkt algorytmu jest realizowany poprzez ODZ. Zakres dopuszczalnych wartości pierwotnego równania to zbiór wszystkich liczb z wyjątkiem -1 i 0 (przy x=-1 i x=0 mianowniki ułamków znikają). Pierwiastek x=−1/2 znaleziony w poprzednim kroku należy do ODZ, zatem x=−1/2 jest pierwiastkiem pierwotnego równania.

Odpowiedź:

−1/2 .

Spójrzmy na inny przykład.

Przykład.

Znajdź pierwiastki równania.

Rozwiązanie.

Musimy rozwiązać ułamkowe równanie wymierne, przejdźmy przez wszystkie etapy algorytmu.

Najpierw przesuwamy termin z prawej strony na lewą i otrzymujemy .

Po drugie, przekształcamy wyrażenie utworzone po lewej stronie: . W rezultacie dochodzimy do równania x=0.

Jego pierwiastek jest oczywisty – wynosi zero.

W czwartym kroku pozostaje sprawdzić, czy znaleziony pierwiastek jest obcy pierwotnemu ułamkowemu równaniu wymiernemu. Po podstawieniu do pierwotnego równania uzyskuje się wyrażenie. Oczywiście nie ma to sensu, ponieważ zawiera dzielenie przez zero. Stąd dochodzimy do wniosku, że 0 jest obcym pierwiastkiem. Dlatego pierwotne równanie nie ma pierwiastków.

7, co prowadzi do równania. Z tego możemy wywnioskować, że wyrażenie w mianowniku lewej strony musi być równe wyrażeniu prawej strony, czyli . Teraz odejmujemy od obu stron trójki: . Przez analogię skąd i dalej.

Kontrola pokazuje, że oba znalezione pierwiastki są pierwiastkami pierwotnego ułamkowego równania wymiernego.

Odpowiedź:

Bibliografia.

Algebra: podręcznik dla 8 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 8 klasa. Za 2 godziny Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących / A. G. Mordkovich. - wyd. 11, usunięte. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: il. ISBN 978-5-346-01155-2.
Algebra: Klasa 9: edukacyjna. dla edukacji ogólnej instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2009. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-021134-5.