To, co nazywa się wartością ułamka algebraicznego. Podstawowe koncepcje

Kiedy uczeń rozpoczyna naukę w szkole średniej, matematyka jest podzielona na dwa przedmioty: algebrę i geometrię. Koncepcji jest coraz więcej, zadania są coraz trudniejsze. Niektórzy ludzie mają trudności ze zrozumieniem ułamków zwykłych. Ominąłem pierwszą lekcję na ten temat i voila. ułamki? Pytanie, które będzie dręczyć całe moje szkolne życie.

Pojęcie ułamka algebraicznego

Zacznijmy od definicji. Pod ułamek algebraiczny odnosi się do wyrażeń P/Q, gdzie P jest licznikiem, a Q jest mianownikiem. Pod wpisem litery można ukryć liczbę, wyrażenie numeryczne lub wyrażenie numeryczno-alfabetyczne.

Zanim zaczniesz zastanawiać się, jak rozwiązywać ułamki algebraiczne, musisz najpierw zrozumieć, że takie wyrażenie jest częścią całości.

Z reguły liczbą całkowitą jest 1. Liczba w mianowniku pokazuje, na ile części podzielona jest jednostka. Licznik jest potrzebny, aby dowiedzieć się, ile elementów zostało wziętych. Kreska ułamkowa odpowiada znakowi dzielenia. Dopuszczalne jest zapisanie wyrażenia ułamkowego jako operacji matematycznej „Dzielenie”. W tym przypadku licznik jest dzielną, a mianownik jest dzielnikiem.

Podstawowa zasada ułamków zwykłych

Kiedy uczniowie uczą się tego tematu w szkole, otrzymują przykłady do wzmocnienia. Aby poprawnie je rozwiązać i znaleźć różne wyjścia ze skomplikowanych sytuacji, musisz zastosować podstawową własność ułamków zwykłych.

Wygląda to tak: jeśli pomnożysz licznik i mianownik przez tę samą liczbę lub wyrażenie (inne niż zero), wartość ułamka zwykłego nie ulegnie zmianie. Szczególnym przypadkiem tej reguły jest dzielenie obu stron wyrażenia przez tę samą liczbę lub wielomian. Takie przekształcenia nazywane są równościami identycznymi.

Poniżej przyjrzymy się, jak rozwiązywać dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych, mnożenie, dzielenie i zmniejszanie ułamków.

Działania matematyczne na ułamkach zwykłych

Przyjrzyjmy się, jak rozwiązać, główną właściwość ułamka algebraicznego i jak zastosować go w praktyce. Jeśli chcesz pomnożyć dwa ułamki zwykłe, dodać je, podzielić przez siebie lub odjąć, musisz zawsze przestrzegać zasad.

Zatem do wykonania operacji dodawania i odejmowania należy znaleźć dodatkowy współczynnik, aby sprowadzić wyrażenia do wspólnego mianownika. Jeśli ułamki są początkowo podane z tymi samymi wyrażeniami Q, wówczas akapit ten należy pominąć. Jak po znalezieniu wspólnego mianownika rozwiązuje się ułamki algebraiczne? Musisz dodać lub odjąć liczniki. Ale! Należy pamiętać, że jeśli przed ułamkiem znajduje się znak „-”, wszystkie znaki w liczniku są odwrócone. Czasami nie należy wykonywać żadnych podstawień ani operacji matematycznych. Wystarczy zmienić znak przed ułamkiem.

Pojęcie to jest często używane jako ułamki redukujące. Oznacza to, że jeśli licznik i mianownik podzielimy przez wyrażenie różne od jedności (takie same dla obu części), to otrzymamy nowy ułamek. Dzielna i dzielnik są mniejsze niż poprzednio, ale ze względu na podstawową zasadę ułamków zwykłych pozostają takie same jak w pierwotnym przykładzie.

Celem tej operacji jest uzyskanie nowego nieredukowalnego wyrażenia. Możesz rozwiązać ten problem, redukując licznik i mianownik przez największy wspólny dzielnik. Algorytm działania składa się z dwóch punktów:

1. Znajdowanie gcd dla obu stron ułamka.
2. Dzielenie licznika i mianownika przez znalezione wyrażenie i otrzymanie nieredukowalnego ułamka równego poprzedniemu.

Poniżej znajduje się tabela przedstawiająca wzory. Dla wygody możesz go wydrukować i nosić przy sobie w notatniku. Aby jednak w przyszłości przy rozwiązywaniu testu lub egzaminu nie było trudności w rozwiązywaniu ułamków algebraicznych, należy nauczyć się tych wzorów na pamięć.

Kilka przykładów z rozwiązaniami

Z teoretycznego punktu widzenia rozważa się kwestię rozwiązywania ułamków algebraicznych. Przykłady podane w artykule pomogą Ci lepiej zrozumieć materiał.

1. Zamień ułamki zwykłe i sprowadź je do wspólnego mianownika.

2. Zamień ułamki zwykłe i sprowadź je do wspólnego mianownika.

Po przestudiowaniu części teoretycznej i rozważeniu części praktycznej nie powinny pojawiać się już żadne pytania.

W tej lekcji omówione zostanie pojęcie ułamka algebraicznego. Z ułamkami spotykamy się w najprostszych sytuacjach życiowych: gdy trzeba podzielić jakiś przedmiot na kilka części, na przykład, aby pokroić ciasto po równo na dziesięć osób. Oczywiście każdy dostaje kawałek ciasta. W tym przypadku mamy do czynienia z pojęciem ułamka liczbowego, ale możliwa jest sytuacja, gdy obiekt zostanie podzielony na nieznaną liczbę części, na przykład przez x. W tym przypadku pojawia się koncepcja wyrażenia ułamkowego. Z całymi wyrażeniami (nie zawierającymi podziału na wyrażenia ze zmiennymi) i ich właściwościami zapoznawałeś się już w klasie 7. Następnie przyjrzymy się pojęciu ułamka wymiernego, a także dopuszczalnym wartościom zmiennych.

Temat:Ułamki algebraiczne. Działania arytmetyczne na ułamkach algebraicznych

Lekcja:Podstawowe koncepcje

1. Definicja i przykłady ułamków algebraicznych

Wyrażenia wymierne dzielą się na wyrażenia całkowite i ułamkowe.

Definicja. Ułamek racjonalny jest wyrażeniem ułamkowym postaci , gdzie są wielomianami. - licznik mianownika.

Przykłady wyrażenia racjonalne:- wyrażenia ułamkowe; - całe wyrażenia. Na przykład w pierwszym wyrażeniu licznik to , a mianownik to .

Oznaczający ułamek algebraiczny jak ktokolwiek wyrażenie algebraiczne, zależy od wartości liczbowej zawartych w nim zmiennych. W szczególności w pierwszym przykładzie wartość ułamka zależy od wartości zmiennych i , a w drugim przykładzie tylko od wartości zmiennej .

2. Obliczanie wartości ułamka algebraicznego i dwa podstawowe zagadnienia ułamkowe

Rozważmy pierwsze typowe zadanie: obliczenie wartości ułamek racjonalny Na różne znaczenia zawarte w nim zmienne.

Przykład 1. Oblicz wartość ułamka dla a), b), c)

Rozwiązanie. Podstawmy wartości zmiennych do wskazanego ułamka: a), b) , c) - nie istnieje (ponieważ nie można dzielić przez zero).

Odpowiedź: 3; 1; nie istnieje.

Jak widzimy, są dwa typowe zadania dla dowolnego ułamka: 1) obliczenie ułamka, 2) znalezienie wartości prawidłowe i nieprawidłowe zmienne literowe.

Definicja. Prawidłowe wartości zmiennych- wartości zmiennych, przy których wyrażenie ma sens. Nazywa się zbiór wszystkich możliwych wartości zmiennych OZ Lub domena.

3. Dopuszczalne (ADV) i niedopuszczalne wartości zmiennych w ułamkach z jedną zmienną

Wartość zmiennych literału może być nieprawidłowa, jeśli mianownik ułamka przy tych wartościach wynosi zero. We wszystkich innych przypadkach wartości zmiennych są prawidłowe, ponieważ można obliczyć ułamek.

Przykład 2. Ustal, przy jakich wartościach zmiennej ułamek nie ma sensu.

Rozwiązanie. Aby to wyrażenie miało sens, konieczne i wystarczające jest, aby mianownik ułamka nie był równy zero. Zatem tylko te wartości zmiennej będą nieprawidłowe, dla których mianownik jest równy zero. Mianownik ułamka wynosi , więc rozwiązujemy równanie liniowe:

Dlatego biorąc pod uwagę wartość zmiennej, ułamek nie ma znaczenia.

Z rozwiązania przykładu wynika zasada znajdowania nieprawidłowych wartości zmiennych - mianownik ułamka jest równy zero i znajdują się pierwiastki odpowiedniego równania.

Spójrzmy na kilka podobnych przykładów.

Przykład 3. Ustal, przy jakich wartościach zmiennej ułamek nie ma sensu.

Rozwiązanie. .

Odpowiedź. .

Przykład 4. Ustal, przy jakich wartościach zmiennej ułamek nie ma sensu.

Rozwiązanie..

Istnieją inne sformułowania tego problemu - znajdź domena Lub zakres dopuszczalnych wartości wyrażeń (APV). Oznacza to znalezienie wszystkich prawidłowych wartości zmiennych. W naszym przykładzie są to wszystkie wartości z wyjątkiem . Wygodnie jest przedstawić dziedzinę definicji na osi liczbowej.

Aby to zrobić, wytniemy na nim punkt, jak pokazano na rysunku:

Zatem, dziedzina definicji ułamka będą wszystkie liczby oprócz 3.

Odpowiedź..

Przykład 5. Ustal, przy jakich wartościach zmiennej ułamek nie ma sensu.

Rozwiązanie..

Przedstawmy powstałe rozwiązanie na osi liczbowej:

Odpowiedź..

4. Graficzne przedstawienie obszaru dopuszczalnych (AP) i niedopuszczalnych wartości zmiennych w ułamkach

Przykład 6. Ustal, przy jakich wartościach zmiennych ułamek nie ma sensu.

Rozwiązanie.. Otrzymaliśmy równość dwóch zmiennych, podamy przykłady numeryczne: lub itp.

Przedstawmy to rozwiązanie na wykresie w kartezjańskim układzie współrzędnych:

Ryż. 3. Wykres funkcji.

Współrzędne dowolnego punktu leżącego na tym wykresie nie mieszczą się w zakresie dopuszczalnych wartości ułamków.

Odpowiedź. .

5. Przypadek typu „dzielenie przez zero”.

W omawianych przykładach spotkaliśmy się z sytuacją, w której nastąpiło dzielenie przez zero. Rozważmy teraz przypadek, gdy więcej ciekawa sytuacja z typem podziału .

Przykład 7. Ustal, przy jakich wartościach zmiennych ułamek nie ma sensu.

Rozwiązanie..

Okazuje się, że ułamek nie ma sensu w . Można jednak argumentować, że tak nie jest, ponieważ: .

Może się wydawać, że jeśli końcowe wyrażenie jest równe 8 w , to pierwotne również można obliczyć i dlatego ma sens w . Jeśli jednak podstawimy to do pierwotnego wyrażenia, otrzymamy - nie ma to sensu.

Odpowiedź..

Aby lepiej zrozumieć ten przykład, rozwiążmy następujący problem: przy jakich wartościach wskazany ułamek jest równy zero?

(ułamek ma wartość zero, gdy jego licznik wynosi zero) . Ale konieczne jest rozwiązanie pierwotnego równania za pomocą ułamka i nie ma to sensu , ponieważ przy tej wartości zmiennej mianownik wynosi zero. Oznacza to, że to równanie ma tylko jeden pierwiastek.

6. Zasada wyszukiwania ODZ

W ten sposób możemy sformułować dokładną regułę znajdowania zakresu dopuszczalnych wartości ułamka: znaleźć OZułamki konieczne i wystarczające jest zrównanie jego mianownika z zerem i znalezienie pierwiastków wynikowego równania.

Rozważaliśmy dwa główne zadania: obliczanie wartości ułamka dla określonych wartości zmiennych i znalezienie zakresu dopuszczalnych wartości ułamka.

Rozważmy teraz kilka innych problemów, które mogą pojawić się podczas pracy z ułamkami.

7. Różne zadania i wnioski

Przykład 8. Udowodnij, że dla dowolnych wartości zmiennej ułamek .

Dowód. Licznik jest liczbą dodatnią. . W rezultacie zarówno licznik, jak i mianownik są liczbami dodatnimi, dlatego ułamek jest liczbą dodatnią.

Udowodniony.

Przykład 9. Wiadomo, że znajdź .

Rozwiązanie. Podzielmy ułamek wyraz po wyrazie. Mamy prawo dokonać redukcji o, biorąc pod uwagę jaka jest nieprawidłowa wartość zmiennej dla danego ułamka.

Odpowiedź..

Na tej lekcji omówiliśmy podstawowe pojęcia związane z ułamkami. W następnej lekcji przyjrzymy się główna właściwość ułamka.

Bibliografia

1. Bashmakov M.I. Algebra 8. klasa. - M.: Edukacja, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. i wsp. Algebra 8. - wyd. 5. - M.: Edukacja, 2010.

3. Nikolsky S. M., Potapov M. A., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algebra 8. klasa. Podręcznik dla placówek oświaty ogólnokształcącej. - M.: Edukacja, 2006.

1. Festiwal idei pedagogicznych.

2. Stara szkoła.

3. Portal internetowy lib2.podelise. ru.

Praca domowa

1. nr 4, 7, 9, 12, 13, 14. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. i wsp. Algebra 8. - wyd. 5. - M.: Edukacja, 2010.

2. Zapisz ułamek wymierny, którego dziedziną definicji jest: a) zbiór, b) zbiór, c) cała oś liczbowa.

3. Udowodnij, że dla wszystkich możliwych wartości zmiennej wartość ułamka jest nieujemna.

4. Znajdź dziedzinę wyrażenia. Instrukcje: rozważ osobno dwa przypadki: gdy mianownik dolnego ułamka wynosi zero i gdy mianownik ułamka pierwotnego wynosi zero.

W § 42 powiedziano, że jeśli podziału wielomianów nie można przeprowadzić w całości, to iloraz zapisuje się w postaci wyrażenia ułamkowego, w którym dzielna jest licznikiem, a dzielnik jest mianownikiem.

Przykłady wyrażeń ułamkowych:

Licznik i mianownik wyrażenia ułamkowego mogą same być wyrażeniami ułamkowymi, na przykład:

Spośród ułamkowych wyrażeń algebraicznych najczęściej masz do czynienia z tymi, w których licznik i mianownik są wielomianami (w szczególności jednomianami). Każde takie wyrażenie nazywa się ułamkiem algebraicznym.

Definicja. Wyrażenie algebraiczne będące ułamkiem, którego licznik i mianownik są wielomianami, nazywa się ułamkiem algebraicznym.

Podobnie jak w arytmetyce, licznik i mianownik ułamka algebraicznego nazywane są wyrazami ułamka.

W przyszłości, po przestudiowaniu działań na ułamkach algebraicznych, będziemy mogli przekształcić dowolne wyrażenie ułamkowe na ułamek algebraiczny za pomocą identycznych przekształceń.

Przykłady ułamków algebraicznych:

Zauważ, że całe wyrażenie, czyli wielomian, można zapisać w postaci ułamka zwykłego, wystarczy w tym celu zapisać to wyrażenie w liczniku, a 1 w mianowniku.Na przykład:

2. Dopuszczalne wartości liter.

Litery zawarte wyłącznie w liczniku mogą przyjmować dowolne wartości (chyba że stan zadania wprowadza dodatkowe ograniczenia).

W przypadku liter zawartych w mianowniku obowiązują tylko te wartości, które nie zamieniają mianownika na zero. Dlatego w dalszej części zawsze będziemy zakładać, że mianownik ułamka algebraicznego nie jest równy zero.