Lineāras funkcijas, kas satur moduli, attēlošana. Kā atrisināt vienādojumus ar moduli: pamatnoteikumi
, Konkurss "Prezentācija nodarbībai"
Prezentācija nodarbībai
Atpakaļ uz priekšu
Uzmanību! Slaida priekšskatījums ir paredzēts tikai informatīviem nolūkiem, un tas var neatspoguļot visu prezentācijas apjomu. Ja jūs interesē šis darbs, lūdzu, lejupielādējiet pilno versiju.
Nodarbības mērķis:
- atkārtojiet moduļa zīmi saturošu funkciju grafiku konstruēšanu;
- iepazīties ar jaunu lineāras-gabalfunkcijas grafika konstruēšanas metodi;
- salabot jauna metode risinot problēmas.
Aprīkojums:
- multimediju projektors,
- plakāti.
Nodarbību laikā
Zināšanu atjaunināšana
Ekrānā 1. slaids no prezentācijas.
Kāds ir funkcijas y=|x| grafiks ? (2. slaids).
(1 un 2 koordinātu leņķu bisektoru kopa)
Atrodiet atbilstību starp funkcijām un grafikiem, izskaidrojiet savu izvēli (3. slaids).
1. attēls
Pastāstiet algoritmu funkciju grafiku konstruēšanai formā y=|f(x)| funkcijas y=|x 2 -2x-3| piemērā (4. slaids)
Students: lai izveidotu šīs funkcijas grafiku, jums ir nepieciešams
Konstruējiet parabolu y=x 2 -2x-3
2. attēls
3. attēls
Pastāstiet y=f(|x|) formas funkciju grafiku konstruēšanas algoritmu, izmantojot funkcijas y=x 2 -2|x|-3 piemēru (6. slaids).
Uzbūvē parabolu.
Daļa diagrammas pie x 0 tiek saglabāta un parādīta simetrijā attiecībā pret y asi (7. slaids)
4. attēls
Pastāstiet algoritmu funkciju grafiku konstruēšanai formā y=|f(|x|)| funkcijas y=|x 2 -2|x|-3| piemērā (8. slaids).
Students: Lai izveidotu šīs funkcijas grafiku, jums ir nepieciešams:
Jums ir jāveido parabola y \u003d x 2 -2x-3
Mēs veidojam y \u003d x 2 -2 | x | -3, saglabājam daļu grafika un attēlojam to simetriski attiecībā pret OS
Mēs saglabājam daļu virs VĒRŠa un attēlojam apakšējo daļu simetriski attiecībā pret OX (9. slaids)
5. attēls
Nākamais uzdevums ir rakstīts burtnīcās.
1. Uzzīmējiet lineāras gabalos funkcijas grafiku y=|x+2|+|x-1|-|x-3|
Students uz tāfeles komentē:
Mēs atrodam apakšmoduļu izteiksmju nulles x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 3
Ass sadalīšana intervālos
Katram intervālam mēs rakstām funkciju
pie x< -2, у=-х-4
pie -2 x<1, у=х
pie 1 x<3, у = 3х-2
pie x 3, y \u003d x + 4
Mēs veidojam lineāras gabalveida funkcijas grafiku.
Mēs esam izveidojuši funkciju grafiku, izmantojot moduļa definīciju (10. slaids).
6. attēls
Es vēršu jūsu uzmanību uz “virsotnes metodi”, kas ļauj attēlot lineāri pa daļām funkciju (11. slaids). Bērni pieraksta konstruēšanas algoritmu piezīmju grāmatiņā.
Virsotnes metode
Algoritms:
- Atrodiet katras apakšmoduļa izteiksmes nulles
- Izveidosim tabulu, kurā papildus nullēm kreisajā un labajā pusē ierakstām vienu argumenta vērtību
- Noliksim punktus uz koordinātu plaknes un savienosim tos virknē
2. Analizēsim šo metodi uz tās pašas funkcijas y=|x+2|+|x-1|-|x-3|
Skolotājs ir pie tāfeles, bērni savās kladēs.
Virsotnes metode:
Atrodiet katras apakšmoduļa izteiksmes nulles;
Izveidosim tabulu, kurā papildus nullēm kreisajā un labajā pusē ierakstām vienu argumenta vērtību
Noliksim punktus uz koordinātu plaknes un savienosim tos virknē.
Lineāras pa daļām funkcijas grafiks ir lauzta līnija ar bezgalīgām galējām saitēm (12. slaids).
7. attēls
Kāda metode padara grafiku ātrāku un vienkāršāku?
3. Lai labotu šo metodi, es ierosinu veikt šādu uzdevumu:
Kurām x vērtībām funkcija y=|x-2|-|x+1| iegūst vislielāko vērtību.
Mēs sekojam algoritmam; students pie tāfeles.
y=|x-2|-|x+1|
x 1 \u003d 2, x 2 \u003d -1
y(3)=1-4=3, savienojiet punktus virknē.
4. Papildu uzdevums
Kurām a vērtībām vienādojumam ||4+x|-|x-2||=a ir divas saknes.
5. Mājas darbs
a) Kādām X vērtībām ir funkcija y =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| ņem mazāko vērtību.
b) Uzzīmējiet funkciju y=||x-1|-2|-3| .
, Konkurss "Prezentācija nodarbībai"
Prezentācija nodarbībai
Atpakaļ uz priekšu
Uzmanību! Slaida priekšskatījums ir paredzēts tikai informatīviem nolūkiem, un tas var neatspoguļot visu prezentācijas apjomu. Ja jūs interesē šis darbs, lūdzu, lejupielādējiet pilno versiju.
Nodarbības mērķis:
- atkārtojiet moduļa zīmi saturošu funkciju grafiku konstruēšanu;
- iepazīties ar jaunu lineāras-gabalfunkcijas grafika konstruēšanas metodi;
- nostiprināt jauno metodi problēmu risināšanā.
Aprīkojums:
- multimediju projektors,
- plakāti.
Nodarbību laikā
Zināšanu atjaunināšana
Ekrānā 1. slaids no prezentācijas.
Kāds ir funkcijas y=|x| grafiks ? (2. slaids).
(1 un 2 koordinātu leņķu bisektoru kopa)
Atrodiet atbilstību starp funkcijām un grafikiem, izskaidrojiet savu izvēli (3. slaids).
1. attēls
Pastāstiet algoritmu funkciju grafiku konstruēšanai formā y=|f(x)| funkcijas y=|x 2 -2x-3| piemērā (4. slaids)
Students: lai izveidotu šīs funkcijas grafiku, jums ir nepieciešams
Konstruējiet parabolu y=x 2 -2x-3
2. attēls
3. attēls
Pastāstiet y=f(|x|) formas funkciju grafiku konstruēšanas algoritmu, izmantojot funkcijas y=x 2 -2|x|-3 piemēru (6. slaids).
Uzbūvē parabolu.
Daļa diagrammas pie x 0 tiek saglabāta un parādīta simetrijā attiecībā pret y asi (7. slaids)
4. attēls
Pastāstiet algoritmu funkciju grafiku konstruēšanai formā y=|f(|x|)| funkcijas y=|x 2 -2|x|-3| piemērā (8. slaids).
Students: Lai izveidotu šīs funkcijas grafiku, jums ir nepieciešams:
Jums ir jāveido parabola y \u003d x 2 -2x-3
Mēs veidojam y \u003d x 2 -2 | x | -3, saglabājam daļu grafika un attēlojam to simetriski attiecībā pret OS
Mēs saglabājam daļu virs VĒRŠa un attēlojam apakšējo daļu simetriski attiecībā pret OX (9. slaids)
5. attēls
Nākamais uzdevums ir rakstīts burtnīcās.
1. Uzzīmējiet lineāras gabalos funkcijas grafiku y=|x+2|+|x-1|-|x-3|
Students uz tāfeles komentē:
Mēs atrodam apakšmoduļu izteiksmju nulles x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 3
Ass sadalīšana intervālos
Katram intervālam mēs rakstām funkciju
pie x< -2, у=-х-4
pie -2 x<1, у=х
pie 1 x<3, у = 3х-2
pie x 3, y \u003d x + 4
Mēs veidojam lineāras gabalveida funkcijas grafiku.
Mēs esam izveidojuši funkciju grafiku, izmantojot moduļa definīciju (10. slaids).
6. attēls
Es vēršu jūsu uzmanību uz “virsotnes metodi”, kas ļauj attēlot lineāri pa daļām funkciju (11. slaids). Bērni pieraksta konstruēšanas algoritmu piezīmju grāmatiņā.
Virsotnes metode
Algoritms:
- Atrodiet katras apakšmoduļa izteiksmes nulles
- Izveidosim tabulu, kurā papildus nullēm kreisajā un labajā pusē ierakstām vienu argumenta vērtību
- Noliksim punktus uz koordinātu plaknes un savienosim tos virknē
2. Analizēsim šo metodi uz tās pašas funkcijas y=|x+2|+|x-1|-|x-3|
Skolotājs ir pie tāfeles, bērni savās kladēs.
Virsotnes metode:
Atrodiet katras apakšmoduļa izteiksmes nulles;
Izveidosim tabulu, kurā papildus nullēm kreisajā un labajā pusē ierakstām vienu argumenta vērtību
Noliksim punktus uz koordinātu plaknes un savienosim tos virknē.
Lineāras pa daļām funkcijas grafiks ir lauzta līnija ar bezgalīgām galējām saitēm (12. slaids).
7. attēls
Kāda metode padara grafiku ātrāku un vienkāršāku?
3. Lai labotu šo metodi, es ierosinu veikt šādu uzdevumu:
Kurām x vērtībām funkcija y=|x-2|-|x+1| iegūst vislielāko vērtību.
Mēs sekojam algoritmam; students pie tāfeles.
y=|x-2|-|x+1|
x 1 \u003d 2, x 2 \u003d -1
y(3)=1-4=3, savienojiet punktus virknē.
4. Papildu uzdevums
Kurām a vērtībām vienādojumam ||4+x|-|x-2||=a ir divas saknes.
5. Mājas darbs
a) Kādām X vērtībām ir funkcija y =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| ņem mazāko vērtību.
b) Uzzīmējiet funkciju y=||x-1|-2|-3| .
Funkcija formā y=|x|.
Funkcijas grafiks intervālā - ar funkcijas y \u003d -x grafiku.
Vispirms apsveriet vienkāršāko gadījumu - funkciju y=|x|. Pēc moduļa definīcijas mums ir:
Tādējādi, ja x≥0, funkcija y=|x| sakrīt ar funkciju y \u003d x, un x Izmantojot šo skaidrojumu, ir viegli attēlot funkciju y \u003d | x | (1. att.).
Ir viegli redzēt, ka šis grafiks ir tās funkcijas y \u003d x grafika daļas savienība, kas neatrodas zem OX ass, un līnijas, kas iegūta spoguļatstarojumā ap OX asi, tās daļu, kas atrodas zem OX ass.
Šī metode ir piemērota arī funkcijas y=|kx+b| grafika attēlošanai.
Ja funkcijas y=kx+b grafiks ir parādīts 2. attēlā, tad funkcijas y=|kx+b| ir līnija, kas parādīta 3. attēlā.
(!LANG:1. piemērs. Uzzīmējiet funkciju y=||1-x 2 |-3|.
Izveidosim funkcijas y=1-x 2 grafiku un piemērosim tam operāciju "modulis" (grafa daļa, kas atrodas zem OX ass, tiek atspoguļota simetriski attiecībā pret OX asi).
Nobīdīsim diagrammu uz leju par 3.
Pielietosim operāciju "modulis" un iegūsim funkcijas y=||1-x 2 |-3| galīgo grafiku.
2. piemērs Uzzīmējiet funkciju y=||x 2 -2x|-3|.
Transformācijas rezultātā iegūstam y=|x 2 -2x|=|(x-1) 2 -1|. Izveidosim funkcijas y=(x-1) 2 -1 grafiku: izveidosim parabolu y=x 2 un nobīdīsim pa labi par 1 un uz leju par 1.
Piemērosim tam operāciju "modulis" (grafa daļa, kas atrodas zem OX ass, tiek atspoguļota simetriski attiecībā pret OX asi).
Nobīdīsim grafiku uz leju par 3 un pielietosim operāciju "modulis", kā rezultātā iegūsim galīgo grafiku.
3. piemērs Uzzīmējiet funkciju.
Lai paplašinātu moduli, mums ir jāapsver divi gadījumi:
1)x>0, tad modulis tiks atvērts ar zīmi "+" =
2) x =
Izveidosim grafiku pirmajam gadījumam.
Atmetīsim grafa daļu, kur x
Izveidosim grafiku otrajam gadījumam un līdzīgi izmetīsim daļu, kur x>0, kā rezultātā iegūstam.
Apvienosim abus grafikus un iegūstam pēdējo.
4. piemērs Uzzīmējiet funkciju.
Vispirms izveidosim funkcijas grafiku.Tam ir ērti izvēlēties veselu daļu, mēs iegūstam. Balstoties uz vērtību tabulu, mēs iegūstam grafiku.
Pielietosim moduļa darbību (grafa daļa, kas atrodas zem OX ass, tiek atspoguļota simetriski attiecībā pret OX asi). Mēs iegūstam galīgo diagrammu
5. piemērs Uzzīmējiet funkciju y=|-x 2 +6x-8|. Pirmkārt, mēs vienkāršojam funkciju līdz y=1-(x-3) 2 un izveidojam tās grafiku
Tagad mēs izmantojam “moduļa” darbību un atspoguļojam diagrammas daļu zem OX ass attiecībā pret OX asi
6. piemērs Uzzīmējiet funkciju y=-x 2 +6|x|-8. Mēs arī vienkāršojam funkciju līdz y=1-(x-3) 2 un izveidojam tās grafiku
Tagad mēs pielietojam operāciju “modulis” un atspoguļojam diagrammas daļu pa labi no oY ass, kreisajā pusē
7. piemērs Uzzīmējiet funkciju 
. Uzzīmēsim funkciju
Uzzīmēsim funkciju
Veiksim paralēlu pārsūtīšanu pa 3 vienības segmentiem pa labi un 2 uz augšu. Grafiks izskatīsies šādi:
Pielietosim operāciju "modulis" un atspoguļosim grafa daļu pa labi no taisnes x=3 kreisajā pusplaknē.
Moduļu zīme, iespējams, ir viena no interesantākajām parādībām matemātikā. Šajā sakarā daudziem skolēniem rodas jautājums, kā izveidot moduli saturošu funkciju grafikus. Apskatīsim šo jautājumu sīkāk.
1. Grafika funkcijas, kas satur moduli
1. piemērs
Uzzīmējiet funkciju y = x 2 – 8|x| + 12.
Lēmums.
Definēsim funkcijas paritāti. Y(-x) vērtība ir tāda pati kā y(x) vērtība, tāpēc šī funkcija ir pāra. Tad tā grafiks ir simetrisks attiecībā pret Oy asi. Mēs izveidojam funkcijas y \u003d x 2 - 8x + 12 grafiku, ja x ≥ 0, un simetriski attēlojam grafiku attiecībā pret Oy negatīvam x (1. att.).
2. piemērs
Nākamais grafiks ir y = |x 2 – 8x + 12|.
– Kāds ir piedāvātās funkcijas diapazons? (y ≥ 0).
- Kā ir diagrammā? (Virs x ass vai pieskaroties tai).
Tas nozīmē, ka funkcijas grafiks tiek iegūts šādi: tie attēlo funkciju y \u003d x 2 - 8x + 12, atstāj nemainīgu grafika daļu, kas atrodas virs Ox ass, un grafika daļu, kas atrodas zem abscisu ass tiek attēlota simetriski attiecībā pret Ox asi (2. att.).
3. piemērs
Lai attēlotu funkciju y = |x 2 – 8|x| + 12| veikt transformāciju kombināciju:
y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.
Atbilde: 3. attēls.
Aplūkotās transformācijas ir derīgas visu veidu funkcijām. Izveidosim tabulu:
2. Funkcijas, kas satur "ligzdotos moduļus" formulā
Mēs jau esam iepazinušies ar kvadrātfunkcijas, kas satur moduli, piemēriem, kā arī ar vispārīgajiem y = f(|x|), y = |f(x)| formas funkciju grafiku konstruēšanas noteikumiem. un y = |f(|x|)|. Šīs transformācijas mums palīdzēs, apsverot šādu piemēru.
4. piemērs
Aplūkosim funkciju, kuras forma ir y = |2 – |1 – |x|||. Izteiksme, kas definē funkciju, satur "ligzdoti moduļi".
Lēmums.
Mēs izmantojam ģeometrisko transformāciju metodi.
Pierakstīsim secīgu transformāciju ķēdi un izveidosim atbilstošo zīmējumu (4. att.):
y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.
Apskatīsim gadījumus, kad simetrija un paralēlās tulkošanas transformācijas nav galvenais diagrammas paņēmiens.
5. piemērs
Izveidojiet y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2 formas funkcijas grafiku.
Lēmums.
Pirms grafa veidošanas mēs pārveidojam formulu, kas definē funkciju, un iegūstam citu funkcijas analītisko definīciju (5. att.). 
y = (x 2–4)/√(x + 2) 2 = (x– 2) (x + 2)/|x + 2|.
Izvērsīsim moduli saucējā:
Ja x > -2, y = x - 2 un x< -2, y = -(x – 2).
Domēns D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).
Diapazons E(y) = (-4; +∞).
Punkti, kuros grafiks krustojas ar koordinātu asi: (0; -2) un (2; 0).
Funkcija samazinās visiem x no intervāla (-∞; -2), palielinās x no -2 līdz +∞.
Šeit mums bija jāatklāj moduļa zīme un jāatzīmē funkcija katram gadījumam.
6. piemērs
Apsveriet funkciju y = |x + 1| – |x – 2|.
Lēmums.
Paplašinot moduļa zīmi, jāapsver visas iespējamās apakšmoduļa izteiksmju zīmju kombinācijas.
Ir četri iespējamie gadījumi:
(x + 1 - x + 2 = 3, ar x ≥ -1 un x ≥ 2;
(-x - 1 + x - 2 = -3, ar x< -1 и x < 2;
(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, ja x ≥ -1 un x< 2;
(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, ar x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.
Tad sākotnējā funkcija izskatīsies šādi:
(3, ja x ≥ 2;
y = (-3, pie x< -1;
(2x – 1, ar -1 ≤ x< 2.
Mēs ieguvām pa daļām dotu funkciju, kuras grafiks ir parādīts 6. attēlā.
3. Formas funkciju grafiku konstruēšanas algoritms
y = a 1 | x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + cirvis + b.
Iepriekšējā piemērā bija pietiekami vienkārši paplašināt moduļa zīmes. Ja moduļu summas ir vairāk, tad ir problemātiski izskatīt visas iespējamās apakšmoduļu izteiksmju pazīmju kombinācijas. Kā šajā gadījumā var attēlot funkciju grafiku?
Ņemiet vērā, ka grafiks ir polilīnija ar virsotnēm punktos ar abscisēm -1 un 2. Ja x = -1 un x = 2, apakšmoduļa izteiksmes ir vienādas ar nulli. Praktiskā veidā mēs piegājām šādu grafiku veidošanas noteikumam:
Funkcijas grafiks formā y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b ir pārtraukta līnija ar bezgalīgām gala saitēm. Lai izveidotu šādu polilīniju, pietiek zināt visas tās virsotnes (virsotņu abscises ir apakšmoduļu izteiksmju nulles) un pa vienam kontroles punktam kreisajā un labajā bezgalīgajā saitē. 
Uzdevums.
Uzzīmējiet funkciju y = |x| + |x – 1| + |x + 1| un atrodiet tā mazāko vērtību.
Lēmums:
Apakšmoduļu izteiksmju nulles: 0; - viens; 1. Polilīnijas virsotnes (0; 2); (-13); (13). Kontrolpunkts pa labi (2; 6), pa kreisi (-2; 6). Veidojam grafiku (7. att.). min f(x) = 2.
Vai jums ir kādi jautājumi? Vai nezināt, kā attēlot funkciju ar moduli?
Lai saņemtu pasniedzēja palīdzību - reģistrējieties.
vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.