Nosakiet, kura plaknes taisne ir dota ar vienādojumu. Taisnes vienādojums, plaknes taisnes vienādojumu veidi
Apsveriet funkciju, kas dota ar formulu (vienādojumu)
Šī funkcija un līdz ar to arī vienādojums (11) plaknē atbilst precīzi noteiktai līnijai, kas ir šīs funkcijas grafiks (sk. 20. att.). No funkcijas grafika definīcijas izriet, ka šī taisne sastāv no tiem un tikai tiem plaknes punktiem, kuru koordinātas apmierina (11) vienādojumu.
Ļaujiet tagad
Līnija, kas ir šīs funkcijas grafiks, sastāv no tiem un tikai tiem plaknes punktiem, kuru koordinātas atbilst (12) vienādojumam. Tas nozīmē, ka, ja punkts atrodas uz norādītās taisnes, tad tā koordinātas atbilst vienādojumam (12). Ja punkts neatrodas uz šīs taisnes, tad tā koordinātas neapmierina (12) vienādojumu.
Vienādojums (12) ir atrisināts attiecībā pret y. Apsveriet vienādojumu, kas satur x un y, kas nav atrisināts attiecībā pret y, piemēram, vienādojumu
Parādīsim, ka šim vienādojumam plaknē atbilst taisne, proti, aplis, kura centrs ir koordinātu sākumpunktā un kura rādiuss ir vienāds ar 2. Pārrakstīsim vienādojumu formā
Tās kreisā puse ir punkta attāluma no sākuma kvadrāts (sk. § 2, 2. punkts, 3. formula). No vienādības (14) izriet, ka šī attāluma kvadrāts ir 4.
Tas nozīmē, ka jebkurš punkts, kura koordinātas atbilst (14) vienādojumam un līdz ar to (13) vienādojumam, atrodas 2 attālumā no sākuma.
Šādu punktu lokuss ir aplis, kura centrs ir sākuma punktā un kura rādiuss ir 2. Šis aplis būs taisne, kas atbilst vienādojumam (13). Jebkura tā punkta koordinātas acīmredzami atbilst (13) vienādojumam. Ja punkts neatrodas uz mūsu atrastā apļa, tad tā attāluma kvadrāts no sākuma būs vai nu lielāks, vai mazāks par 4, kas nozīmē, ka šāda punkta koordinātas neapmierina (13) vienādojumu.
Ļaujiet tagad, vispārīgā gadījumā, ņemot vērā vienādojumu
kuras kreisajā pusē ir izteiksme, kas satur x un y.
Definīcija. Ar vienādojumu (15) definētā taisne ir to punktu lokuss plaknē, kuru koordinātas atbilst šim vienādojumam.
Tas nozīmē, ka, ja taisni L nosaka vienādojums, tad jebkura L punkta koordinātas apmierina šo vienādojumu, un jebkura plaknes punkta koordinātas, kas atrodas ārpus L, neapmierina vienādojumu (15).
Vienādojumu (15) sauc par līnijas vienādojumu
komentēt. Nevajadzētu domāt, ka jebkurš vienādojums definē jebkuru līniju. Piemēram, vienādojums nedefinē nevienu līniju. Patiešām, jebkurām un y reālajām vērtībām šī vienādojuma kreisā puse ir pozitīva, bet labā puse ir vienāda ar nulli, un tāpēc šis vienādojums nevar apmierināt neviena plaknes punkta koordinātas.
Līniju plaknē var definēt ne tikai ar vienādojumu, kas satur Dekarta koordinātas, bet arī ar vienādojumu polārajās koordinātēs. Līnija, ko definē vienādojums polārajās koordinātēs, ir to punktu lokuss plaknē, kuru polārās koordinātas apmierina šo vienādojumu.
Piemērs 1. Izveidojiet Arhimēda spirāli pie .
Risinājums. Izveidosim tabulu dažām polārā leņķa vērtībām un atbilstošajām polārā rādiusa vērtībām.
Mēs veidojam punktu polāro koordinātu sistēmā, kas, acīmredzot, sakrīt ar polu; tad, zīmējot asi leņķī pret polāro asi, uz šīs ass izveidojam punktu ar pozitīvu koordinātu; pēc tam mēs līdzīgi konstruējam punktus ar pozitīvām polārā leņķa un polārā rādiusa vērtībām (šo punktu asis nav norādīti 30. attēlā).
Kā zināms, jebkuru plaknes punktu kādā koordinātu sistēmā nosaka divas koordinātas. Koordinātu sistēmas var būt dažādas atkarībā no bāzes un izcelsmes izvēles.
Definīcija: taisnes vienādojums ir attiecība y = f(x) starp punktu koordinātām, kas veido šo taisni.
Ņemiet vērā, ka līnijas vienādojumu var izteikt parametriskā veidā, tas ir, katra punkta katra koordināta tiek izteikta ar kādu neatkarīgu parametru t. Tipisks piemērs ir kustīga punkta trajektorija. Šajā gadījumā laiks spēlē parametra lomu.
Dažādi taisnes vienādojumu veidi
Vispārīgais taisnes vienādojums.
Jebkuru plaknes līniju var norādīt ar pirmās kārtas vienādojumu
Ah + Wu + C = 0,
turklāt konstantes A, B vienlaikus nav vienādas ar nulli, t.i. A 2 + B 2 ¹ 0. Šo pirmās kārtas vienādojumu sauc par taisnes vispārīgo vienādojumu .
Atkarībā no vērtībām konstante A, B un C, ir iespējami šādi īpaši gadījumi:
C \u003d 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - līnija iet caur sākuma punktu
A \u003d 0, B ¹ 0, C ¹ 0 ( Ar + C \u003d 0) - līnija ir paralēla Vērša asij
B \u003d 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C \u003d 0) - līnija ir paralēla Oy asij
B \u003d C \u003d 0, A ¹ 0 - taisne sakrīt ar Oy asi
A \u003d C \u003d 0, B ¹ 0 - taisne sakrīt ar Vērša asi
Taisnas līnijas vienādojumu var attēlot dažādas formas atkarībā no jebkuriem sākotnējiem nosacījumiem.
Taisnes līnijas vienādojums, kas iet caur diviem punktiem.
Telpā ir doti divi punkti M 1 (x 1, y 1, z 1) un M 2 (x 2, y 2, z 2), tad taisnes vienādojums, kas iet caur šiem punktiem:
Ja kāds no saucējiem ir vienāds ar nulli, atbilstošais skaitītājs ir jāiestata vienāds ar nulli. Plaknē iepriekš uzrakstītais taisnes vienādojums ir vienkāršots:
ja x 1 ¹ x 2 un x \u003d x 1, ja x 1 \u003d x 2.
Daļskaitli = k sauc par taisnes slīpumu.
Taisnes vienādojums ar punktu un slīpumu.
Ja taisnās līnijas Ax + Vy + C = 0 vispārējais vienādojums noved pie formas:
un apzīmē , tad iegūto vienādojumu sauc par taisnes ar slīpumu k vienādojumu.
Taisnas līnijas vienādojums segmentos.
Ja taisnes vispārējā vienādojumā Ah + Vu + С = 0 С ¹ 0, tad, dalot ar –С, iegūstam: vai
Koeficientu ģeometriskā nozīme ir tāda, ka koeficients a ir taisnes krustpunkta koordināte ar x asi, un b- taisnes krustošanās punkta koordinātas ar Oy asi.
Normāls taisnes vienādojums.
Ja abas vienādojuma daļas Ax + Vy + C = 0 dala ar skaitli , ko sauc par normalizējošo koeficientu, tad iegūstam
xcosj + ysinj - p = 0 -
taisnas līnijas normāls vienādojums.
Normalizējošā koeficienta zīme ± jāizvēlas tā, lai m × С< 0.
p ir perpendikula garums, kas nomests no sākuma līdz taisnei, un j ir leņķis, ko šis perpendikuls veido ar Ox ass pozitīvo virzienu.
Leņķis starp līnijām plaknē.
Ja divām līnijām ir dota y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , tad akūto leņķi starp šīm līnijām definē kā
Divas taisnes ir paralēlas, ja k 1 = k 2 .
Divas taisnes ir perpendikulāras, ja k 1 = -1/k 2 .
Teorēma. Taisnes līnijas Ax + Vy + C \u003d 0 un A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ir paralēlas, ja koeficienti A 1 \u003d lA, B 1 \u003d lB ir proporcionāli. Ja arī C 1 = lC, tad līnijas sakrīt.
Divu taisnu krustpunkta koordinātas tiek atrastas kā divu vienādojumu sistēmas risinājums.
Attālums no punkta līdz līnijai.
Teorēma. Ja ir dots punkts M(x 0, y 0), tad attālums līdz līnijai Ax + Vy + C \u003d 0 tiek definēts kā
5. lekcija
Ievads analīzē. Viena mainīgā funkcijas diferenciālrēķins.
FUNKCIJAS IEROBEŽOTS
Funkcijas robeža punktā.
0 a - D a a + D x
1. attēls. Funkcijas robeža punktā.
Lai funkcija f(x) ir definēta kādā punkta x = a tuvumā (tas ir, pašā punktā x = a funkcija var nebūt definēta)
Definīcija. Skaitli A sauc par funkcijas f(x) robežu x®a, ja jebkuram e>0 eksistē tāds skaitlis D>0, ka visiem x ir tāds, ka
0 < ïx - aï < D
nevienādība ïf(x) - Aï< e.
To pašu definīciju var uzrakstīt citā formā:
Ja a - D< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.
Funkcijas robežas ierakstīšana punktā:
Definīcija.
Ja f(x) ® A 1 x ® a tikai x< a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A 2 при х ® а только при x >a, tad to sauc par funkcijas f(x) robežu punktā x = a labajā pusē.
Iepriekš minētā definīcija attiecas uz gadījumu, kad funkcija f(x) nav definēta pašā punktā x = a, bet ir definēta kādā patvaļīgi mazā šī punkta apkārtnē.
Tiek izsaukti arī ierobežojumi A 1 un A 2 vienpusējs ārpus funkcijas f(x) punktā x = a. Runā arī, ka A funkciju ierobežojums f(x).
Taisnes vienādojums plaknē.
Kā zināms, jebkuru plaknes punktu kādā koordinātu sistēmā nosaka divas koordinātas. Koordinātu sistēmas var būt dažādas atkarībā no bāzes un izcelsmes izvēles.
Definīcija. Līnijas vienādojums sauc par attiecību y=f(x ) starp punktu koordinātām, kas veido šo līniju.
Ņemiet vērā, ka līnijas vienādojumu var izteikt parametriskā veidā, tas ir, katra punkta katra koordināta tiek izteikta ar kādu neatkarīgu parametrut.
Tipisks piemērs ir kustīga punkta trajektorija. Šajā gadījumā laiks spēlē parametra lomu.
Taisnes vienādojums plaknē.
Definīcija. Jebkuru plaknes līniju var norādīt ar pirmās kārtas vienādojumu
Ah + Wu + C = 0,
turklāt konstantes A, B vienlaikus nav vienādas ar nulli, t.i. A 2 + B 2¹ 0. Šo pirmās kārtas vienādojumu sauc taisnas līnijas vispārējais vienādojums.
Atkarībā no konstantu A, B un C vērtībām ir iespējami šādi īpaši gadījumi:
C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - līnija iet caur izcelsmi
A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 ( pēc + C \u003d 0) - taisna līnija ir paralēla Vērša asij
B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 ( Ax + C = 0) - taisne, kas ir paralēla Oy asij
B \u003d C = 0, A ¹ 0 - līnija sakrīt ar Oy asi
A = C = 0, B ¹ 0 - līnija sakrīt ar Vērša asi
Taisnas līnijas vienādojumu var attēlot dažādās formās atkarībā no jebkuriem sākotnējiem nosacījumiem.
Attālums no punkta līdz līnijai.
Teorēma. Ja ir dots punkts M(x 0, y 0), tad attālums līdz līnijai Ax + Vy + C \u003d 0 tiek definēts kā
.
Pierādījums. Pieņemsim, ka punkts M 1 (x 1, y 1) ir pamats perpendikulam, kas nomests no punkta M uz doto taisni. Tad attālums starp punktiem M un M 1:
(1)
Koordinātas x 1 un y 1 var atrast kā vienādojumu sistēmas risinājumu:
Otrais sistēmas vienādojums ir taisnes vienādojums, kas iet caur doto punktu M 0 perpendikulāri noteiktai taisnei.
Ja mēs pārveidojam pirmo sistēmas vienādojumu formā:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + pēc 0 + C = 0,
tad, atrisinot, mēs iegūstam:
Aizvietojot šīs izteiksmes vienādojumā (1), mēs atrodam:
.
Teorēma ir pierādīta.
Piemērs. Nosakiet leņķi starp līnijām: y=-3x+7; y = 2 x + 1.
K 1 \u003d -3; k 2 = 2tg j = ; j = p /4.
Piemērs. Parādiet, ka taisnes 3x - 5y + 7 = 0 un 10x + 6y - 3 = 0 ir perpendikulāras.
Atrast: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, līdz ar to līnijas ir perpendikulāras.
Piemērs. Dotas trijstūra A(0; 1) virsotnes, B(6;5),C (12; -1). Atrodiet augstuma vienādojumu, kas novilkts no virsotnes C.
Pēdējā rakstā mēs apskatījām galvenos punktus saistībā ar tēmu par taisnu līniju plaknē. Tagad pāriesim uz taisnes vienādojuma izpēti: apsveriet, kuru vienādojumu var saukt par taisnes vienādojumu, kā arī to, kāda forma ir taisnes vienādojumam plaknē.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Plaknes taisnes vienādojuma definīcija
Pieņemsim, ka ir taisne, kas dota taisnstūrveida Dekarta koordinātu sistēmā O x y.
1. definīcija
Taisne- tas ir ģeometriskā figūra, kas sastāv no punktiem. Katram punktam ir savas koordinātas gar abscisu un ordinātu asīm. Vienādojumu, kas apraksta katra taisnes punkta koordinātu atkarību Dekarta sistēmā O x y, sauc par plaknes taisnes vienādojumu.
Faktiski taisnas līnijas vienādojums plaknē ir vienādojums ar diviem mainīgajiem lielumiem, kurus apzīmē kā x un y. Vienādojums pārvēršas par identitāti, kad tajā tiek aizstātas jebkura taisnes punkta vērtības.
Apskatīsim, kāda forma būs plaknes taisnes vienādojumam. Tas būs mūsu raksta nākamās sadaļas uzmanības centrā. Ņemiet vērā, ka taisnas līnijas vienādojuma rakstīšanai ir vairākas iespējas. Tas izskaidrojams ar vairāku veidu, kā plaknē iestatīt taisnu līniju, un arī ar atšķirīgo uzdevumu specifiku.
Iepazīsimies ar teorēmu, kas definē taisnes vienādojuma formu uz plaknes Dekarta koordinātu sistēmā O x y .
1. teorēma
Formas A x + B y + C = 0 vienādojums, kur x un y ir mainīgie, un A, B un C ir daži reāli skaitļi, no kuriem A un B nav vienādi ar nulli, definē taisni Dekarta koordinātu sistēma O x y . Savukārt jebkuru plaknes taisni var dot ar vienādojumu formā A x + B y + C = 0 .
Tādējādi plaknes taisnes vispārīgajam vienādojumam ir forma A x + B y + C = 0 .
Paskaidrosim dažus svarīgus tēmas aspektus.
1. piemērs
Paskaties uz zīmējumu.
Līniju zīmējumā nosaka vienādojums formā 2 x + 3 y - 2 \u003d 0, jo jebkura punkta, kas veido šo līniju, koordinātas atbilst iepriekšminētajam vienādojumam. Tajā pašā laikā noteikts punktu skaits plaknē, kas definēts ar vienādojumu 2 x + 3 y - 2 = 0, dod mums taisni, ko mēs redzam attēlā.
Taisnas līnijas vispārīgais vienādojums var būt pilnīgs vai nepilnīgs. Pilnajā vienādojumā visi skaitļi A, B un C nav nulle. Visos citos gadījumos vienādojums tiek uzskatīts par nepilnīgu. Formas A x + B y = 0 vienādojums definē taisni, kas iet caur izcelsmi. Ja A ir nulle, tad vienādojums A x + B y + C = 0 definē taisnu līniju, kas ir paralēla x asij O x . Ja B ir vienāds ar nulli, tad taisne ir paralēla ordinātu asij O y .
Secinājums: noteiktai skaitļu A, B un C vērtību kopai, izmantojot vispārējo taisnes vienādojumu, jūs varat uzrakstīt jebkuru taisni uz plaknes taisnstūra koordinātu sistēmā O x y.
Taisnei, kas dota ar vienādojumu formā A x + B y + C = 0, ir normāls taisnes vektors ar koordinātām A , B .
Visus dotos līniju vienādojumus, kurus aplūkosim tālāk, var iegūt no līnijas vispārējā vienādojuma. Ir iespējams arī apgrieztais process, kad jebkuru no aplūkotajiem vienādojumiem var reducēt uz taisnas līnijas vispārējo vienādojumu.
Visas tēmas nianses varat saprast rakstā "Vispārējais taisnes vienādojums". Materiālā sniedzam teorēmas pierādījumu ar grafiskām ilustrācijām un detalizētu piemēru analīzi. Īpaša uzmanība tiek pievērsta pārejām no vispārējā taisnes vienādojuma uz cita veida vienādojumiem un otrādi.
Taisnas līnijas vienādojumam segmentos ir forma x a + y b = 1 , kur a un b ir daži reāli skaitļi, kas nav vienādi ar nulli. Ciparu a un b absolūtās vērtības ir vienādas ar to segmentu garumu, kurus koordinātu asīs nogriež taisna līnija. Segmentu garumu mēra pēc koordinātu sākuma.
Pateicoties vienādojumam, jūs varat viegli novilkt taisnu līniju uz zīmējuma. Lai to izdarītu, ir nepieciešams atzīmēt punktus a, 0 un 0, b taisnstūra koordinātu sistēmā un pēc tam savienot tos ar taisnu līniju.
2. piemērs
Izveidosim taisni, kas tiek dota pēc formulas x 3 + y - 5 2 = 1. Grafikā atzīmējam divus punktus 3 , 0 , 0 , - 5 2 , savienojam tos kopā.
Šie vienādojumi, kuru forma ir y = k · x + b, mums ir labi zināmi no algebras kursa. Šeit x un y ir mainīgie, k un b ir daži reāli skaitļi, no kuriem k ir slīpums. Šajos vienādojumos mainīgais y ir argumenta x funkcija.
Dosim slīpuma definīciju caur taisnes slīpuma leņķa definīciju uz ass O x pozitīvo virzienu.
2. definīcija
Lai apzīmētu taisnes slīpuma leņķi pret ass O x pozitīvo virzienu Dekarta koordinātu sistēmā, ieviešam leņķa α vērtību. Leņķi mēra no x ass pozitīvā virziena līdz taisnei pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Leņķis α tiek uzskatīts par vienādu ar nulli, ja taisne ir paralēla O x asij vai sakrīt ar to.
Taisnas līnijas slīpums ir šīs taisnes slīpuma tangenss. To raksta šādi k = t g α . Taisnei, kas ir paralēla asij O y vai sakrīt ar to, nav iespējams uzrakstīt taisnes vienādojumu ar slīpumu, jo slīpums šajā gadījumā pārvēršas bezgalībā (neeksistē).
Taisne, kas dota ar vienādojumu y = k x + b, iet caur punktu 0, b uz y ass. Tas nozīmē, ka taisnas līnijas vienādojums ar slīpumu y \u003d k x + b nosaka taisni uz plaknes, kas iet caur punktu 0, b un veido leņķi α ar O x ass pozitīvo virzienu, un k \u003d t g α.
3. piemērs
Nozīmēsim taisni, kuru definē vienādojums formā y = 3 · x - 1 .
Šai līnijai jāiziet caur punktu (0 , - 1) . Slīpuma leņķis α = a r c t g 3 = π 3 ir vienāds ar 60 grādiem pret O x ass pozitīvo virzienu. Slīpums ir 3
Lūdzu, ņemiet vērā, ka, izmantojot taisnas līnijas ar slīpumu vienādojumu, ir ļoti ērti meklēt funkcijas grafika pieskares vienādojumu punktā.
Vairāk materiālu par tēmu var atrast rakstā "Līnijas ar slīpumu vienādojums". Papildus teorijai ir liels skaits grafisku piemēru un detalizēta uzdevumu analīze.
Šāda veida vienādojumam ir forma x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y, kur x 1, y 1, a x, a y ir daži reāli skaitļi, no kuriem x un a y nav vienādi ar nulli.
Ar taisnes kanonisko vienādojumu dotā taisne iet caur punktu M 1 (x 1 , y 1) . Skaitļi a x un a y daļskaitļu saucējos ir taisnes virziena vektora koordinātes. Tas nozīmē, ka taisnes x - x 1 a x = y - y 1 a y vienādojums Dekarta koordinātu sistēmā O x y atbilst taisnei, kas iet caur punktu M 1 (x 1 , y 1) un kurai ir virziena vektors. a → = (a x , a y) .
4. piemērs
Novelciet taisni O x y koordinātu sistēmā, ko dod vienādojums x - 2 3 = y - 3 1 . Punkts M 1 (2 , 3) pieder pie taisnes, vektors a → (3 , 1) ir šīs taisnes virziena vektors.
Kanonisko taisnes vienādojumu formā x - x 1 a x = y - y 1 a y var izmantot gadījumos, kad a x vai a y ir nulle. Nulles klātbūtne saucējā padara apzīmējumu x - x 1 a x = y - y 1 a y nosacītu. Vienādojumu var uzrakstīt šādi: a y (x - x 1) = a x (y - y 1) .
Gadījumā, ja a x \u003d 0, taisnes kanoniskais vienādojums iegūst formu x - x 1 0 \u003d y - y 1 a y un nosaka taisnu līniju, kas ir paralēla ordinātu asij vai sakrīt ar šo asi.
Taisnas līnijas kanoniskais vienādojums, ja a y \u003d 0, ir formā x - x 1 a x \u003d y - y 1 0. Šāds vienādojums definē taisnu līniju, kas ir paralēla x asij vai sakrīt ar to.
Vairāk materiālu par taisnes kanoniskā vienādojuma tēmu skatīt šeit. Rakstā mēs piedāvājam vairākus problēmu risinājumus, kā arī daudzus piemērus, kas ļauj labāk apgūt tēmu.
Taisnes līnijas parametriskie vienādojumi plaknē
Šie vienādojumi ir šādi: x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ, kur x 1, y 1, a x, a y ir daži reāli skaitļi, no kuriem x un a y nevar vienlaikus būt vienādi ar nulli. laiks. Formulā tiek ievadīts papildu parametrs λ, kas var iegūt jebkuras reālās vērtības.
Parametriskā vienādojuma mērķis ir izveidot netiešu sakarību starp taisnes punktu koordinātām. Šim nolūkam tiek ieviests parametrs λ.
Skaitļi x , y ir kāda taisnes punkta koordinātas. Tos aprēķina ar taisnas līnijas parametriskiem vienādojumiem kādai parametra λ reālajai vērtībai.
5. piemērs
Pieņemsim, ka λ = 0 .
Tad x \u003d x 1 + a x 0 y \u003d y 1 + a y 0 ⇔ x \u003d x 1 y \u003d y 1, t.i., punkts ar koordinātām (x 1, y 1) pieder līnijai.
Vēršam uzmanību uz to, ka koeficienti a x un a y ar parametru λ šāda veida vienādojumos ir taisnes virzošā vektora koordinātes.
6. piemērs
Aplūkosim parametru taisnes vienādojumus formā x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ . Taisne, kas dota ar vienādojumu Dekarta koordinātu sistēmā, iet caur punktu (x 1 , y 1) un tai ir virzošais vektors a → = (3 , 1) .
Plašāku informāciju skatiet rakstā "Taisnes līnijas parametru vienādojumi plaknē".
Taisnes normālajam vienādojumam ir forma A x + B y + C = 0 , kur skaitļi A, B un C ir tādi, ka vektora n → = (A , B) garums ir vienāds ar vienu un C ≤ 0 .
Taisnes normālvektors, kas dots ar taisnstūra normālu vienādojumu taisnstūra koordinātu sistēmā O x y, ir vektors n → = (A , B) . Šī taisne iet attālumā C no sākuma vektora n → = (A , B) virzienā.
Vēl viens veids, kā uzrakstīt taisnas līnijas normālo vienādojumu, ir cos α x + cos β y - p = 0, kur cos α un cos β ir divi reāli skaitļi, kas ir taisnes vienības garuma normālvektora virziena kosinusi. Tas nozīmē, ka n → = (cos α , cos β) , vienādība n → = cos 2 α + cos 2 β = 1 ir patiesa, vērtība p ≥ 0 un ir vienāda ar attālumu no sākuma līdz taisnei.
7. piemērs
Apsveriet taisnes vispārīgo vienādojumu - 1 2 · x + 3 2 · y - 3 = 0 . Šis vispārīgais taisnes vienādojums ir taisnes normālais vienādojums, jo n → = A 2 + B 2 = - 1 2 2 + 3 2 = 1 un C = - 3 ≤ 0 .
Vienādojums definē taisni Dekarta koordinātu sistēmā 0xy, kuras normālvektoram ir koordinātes - 1 2 , 3 2 . Līnija tiek noņemta no sākuma par 3 vienībām normālvektora virzienā n → = - 1 2 , 3 2 .
Mēs vēršam jūsu uzmanību uz to, ka parastais taisnes vienādojums plaknē ļauj atrast attālumu no punkta līdz taisnei plaknē.
Ja līnijas A x + B y + C \u003d 0 vispārējā vienādojumā skaitļi A, B un C ir tādi, ka vienādojums A x + B y + C \u003d 0 nav normāls līnijas vienādojums, tad to var samazināt līdz normālai formai. Vairāk par to lasiet rakstā "Līnijas normāls vienādojums".
Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter
Apsveriet formas attiecību F(x, y)=0 mainīgo lielumu sasaiste x un plkst. Tiks izsaukta vienlīdzība (1). vienādojums ar diviem mainīgajiem x, y, ja šī vienādība nav patiesa visiem skaitļu pāriem X un plkst. Vienādojumu piemēri: 2x + 3g \u003d 0, x 2 + y 2 - 25 \u003d 0,
sin x + sin y - 1 = 0.
Ja (1) ir patiess visiem skaitļu x un y pāriem, tad to sauc identitāti. Identitātes piemēri: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 \u003d 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 \u003d 0.
Tiks izsaukts vienādojums (1). punktu kopas vienādojums (x; y), ja šo vienādojumu apmierina koordinātas X un plkst jebkuru kopas punktu un neapmierina neviena punkta koordinātas, kas nepieder šai kopai.
Svarīgs jēdziens analītiskajā ģeometrijā ir līnijas vienādojuma jēdziens. Ļaujiet taisnstūra koordinātu sistēma un dažas līnijas α.
Definīcija. Vienādojumu (1) sauc par līnijas vienādojumu α
(izveidotajā koordinātu sistēmā), ja šo vienādojumu apmierina koordinātas X un plkst jebkuru punktu uz līnijas α
, un neatbilst neviena punkta koordinātām, kas neatrodas uz šīs taisnes.
Ja (1) ir līnijas vienādojums α, tad mēs teiksim, ka vienādojums (1) nosaka (nosaka) līniju α.
Līnija α var noteikt ne tikai ar formas vienādojumu (1), bet arī ar formas vienādojumu
F(P, φ) = 0, kas satur polārās koordinātas.
- taisnas līnijas vienādojums ar slīpumu;
Dota kāda taisna līnija, kas nav perpendikulāra asij Ak!. Piezvanīsim slīpuma leņķis dota līnija uz asi Ak! stūrī α pa kuru pagriezt asi Ak! lai pozitīvais virziens sakristu ar vienu no taisnes virzieniem. Taisnas līnijas slīpuma leņķa pieskare pret asi Ak! sauca slīpuma koeficientsšo taisno līniju un apzīmē ar burtu Uz.
|
|||
|
|||
Mēs iegūstam šīs taisnes vienādojumu, ja mēs to zinām Uz un vērtību segmentā OV, kuru viņa nogriež uz ass OU.
|
|
Vienādojumu (2) sauc taisnas līnijas vienādojums ar slīpumu. Ja K=0, tad līnija ir paralēla asij Ak! un tā vienādojums ir y = b.
- taisnes vienādojums, kas iet caur diviem punktiem;
|
|
. Šis ir vienādojums, ja y 1 ≠ y 2, var rakstīt šādi: Ja y 1 = y 2, tad vajadzīgās taisnes vienādojumam ir forma y = y 1. Šajā gadījumā līnija ir paralēla asij Ak!. Ja x 1 = x 2, tad līnija, kas iet caur punktiem M 1 un M 2, paralēli asij OU, tā vienādojumam ir forma x = x 1.
- vienādojums taisnei, kas iet caur noteiktu punktu ar noteiktu slīpumu;
|
|
un, otrādi, vienādojums (5) patvaļīgiem koeficientiem A, B, C (BET un B ≠ 0 vienlaicīgi) definē kādu taisni taisnstūra koordinātu sistēmā Oho.
Pierādījums.
Vispirms pierādīsim pirmo apgalvojumu. Ja līnija nav perpendikulāra Ak, tad to nosaka ar pirmās pakāpes vienādojumu: y = kx + b, t.i. formas (5) vienādojums, kur
A=k, B=-1 un C = b. Ja līnija ir perpendikulāra Ak, tad visiem tā punktiem ir viena un tā pati abscisa, kas vienāda ar vērtību α segmentu nogriež taisna līnija uz ass Ak.
Šīs līnijas vienādojumam ir forma x = α, tie. ir arī formas (5) pirmās pakāpes vienādojums, kur A \u003d 1, B = 0, C = α. Tas pierāda pirmo apgalvojumu.
Pierādīsim apgriezts apgalvojums. Dots vienādojums (5) un vismaz viens no koeficientiem BET un B ≠ 0.
Ja B ≠ 0, tad (5) var uzrakstīt kā . slīpi 
, mēs iegūstam vienādojumu y = kx + b, t.i. formas (2) vienādojums, kas definē taisni.
Ja B = 0, tad A ≠ 0 un (5) ir formā . Apzīmējot cauri α, mēs saņemam
x = α, t.i. vienādojums taisnei, kas ir perpendikulāra Ox.
Tiek izsauktas taisnstūra koordinātu sistēmā ar pirmās pakāpes vienādojumu definētas līnijas pirmās kārtas rindas.
Tipa vienādojums Ah + Wu + C = 0 ir nepilnīga, t.i. viens no koeficientiem ir vienāds ar nulli.
1) C = 0; Ah + Wu = 0 un definē līniju, kas iet caur izcelsmi.
2) B = 0 (A ≠ 0); vienādojums Ax + C = 0 OU.
3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0 un definē paralēlu taisni Ak.
Vienādojumu (6) sauc par taisnas līnijas vienādojumu "segmentos". Skaitļi a un b ir to segmentu vērtības, kuras taisne nogriež uz koordinātu asīm. Šī vienādojuma forma ir ērta taisnas līnijas ģeometriskai konstrukcijai.
- taisnas līnijas normāls vienādojums;
Аx + Вy + С = 0 ir kādas taisnes vispārīgais vienādojums, un (5) x cos α + y sin α – p = 0(7)
tā parastais vienādojums.
Tā kā vienādojumi (5) un (7) definē vienu un to pašu taisni, tad ( A 1x + B 1y + C 1 \u003d 0 un
A 2x + B 2y + C 2 = 0 => 
) šo vienādojumu koeficienti ir proporcionāli. Tas nozīmē, ka reizinot visus (5) vienādojuma nosacījumus ar kādu faktoru M, mēs iegūstam vienādojumu MA x + MB y + MS = 0, kas sakrīt ar (7) vienādojumu, t.i.
MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)
Lai atrastu M koeficientu, pirmās divas no šīm vienādībām mēs kvadrātā un pievienojam:
M 2 (A 2 + B 2) \u003d cos 2 α + sin 2 α \u003d 1
(9)