방정식과 부등식으로 좌표 평면에 수치를 지정합니다. 방정식과 부등식을 사용하여 좌표평면에서 도형 정의하기 좌표평면에서 집합을 묘사하는 방법

두 개의 변수가 있는 부등식에 대한 솔루션 세트를 좌표 평면에 표시해야 하는 경우가 종종 있습니다. 두 개의 변수가 있는 부등식에 대한 솔루션은 주어진 부등식을 진정한 수치적 부등식으로 바꾸는 이러한 변수의 값 쌍입니다.

2년+ Zx< 6.

먼저 직선을 그립니다. 이를 위해 부등식을 방정식으로 작성합니다. 2년+ Zx = 6 그리고 표현 와이.따라서 우리는 다음을 얻습니다. y=(6-3엑스)/2.

이 선은 좌표 평면의 모든 점 집합을 위의 점과 아래의 점으로 나눕니다.

각 영역에서 밈 가져 오기 검문소, 예를 들어 A(1; 1) 및 B(1; 3)

점 A의 좌표는 주어진 부등식 2y + 3x를 만족합니다.< 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.

포인트 B 좌표 아니다이 부등식을 만족 2∙3 + 3∙1< 6.

이 부등식은 2y + Zx = 6 라인의 부호를 변경할 수 있으므로 부등식은 점 A가 있는 영역의 점 집합을 만족합니다. 이 영역을 음영 처리하겠습니다.

따라서 우리는 불평등에 대한 일련의 솔루션을 묘사했습니다. 2년 + Zx< 6.

예

좌표 평면에서 부등식 x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 > 0에 대한 솔루션 세트를 묘사합니다.

먼저 방정식 x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 \u003d 0의 그래프를 구성합니다. 이 방정식에서 원 방정식을 나눕니다. (x 2 + 2x + 1) + (y 2 - 4y + 4) \u003d 4, 또는 (x + 1) 2 + (y-2) 2 \u003d 2 2.

이것은 점 0(-1; 2)과 반지름 R = 2를 중심으로 하는 원의 방정식입니다. 이 원을 구성해 봅시다.

이 부등식은 엄격하고 원 자체에 있는 점은 부등식을 만족하지 않으므로 점선으로 원을 구성합니다.

원의 중심 O의 좌표가 이 부등식을 만족하지 않는지 쉽게 확인할 수 있습니다. x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 표현식은 구성된 원에서 부호를 변경합니다. 그런 다음 부등식은 원 외부에 있는 점에 의해 충족됩니다. 이러한 점은 음영 처리됩니다.

예

부등식의 해 집합을 좌표 평면에 묘사합시다.

(y - x 2) (y - x - 3)< 0.

먼저 방정식 (y-x 2) (y-x-3) \u003d 0의 그래프를 구성합니다. 이것은 포물선 y \u003d x 2이고 직선 y \u003d x + 3입니다. 이 선을 작성합니다. 식 (y - x 2) (y - x - 3)의 부호 변경은 이 줄에서만 발생합니다. 점 A(0; 5)에 대해 다음 식의 부호를 결정합니다: (5-3) > 0(즉, 이 부등식이 충족되지 않음). 이제 이 부등식이 충족되는 점 집합을 쉽게 표시할 수 있습니다(이러한 영역은 음영 처리됨).

두 개의 변수로 부등식을 해결하기 위한 알고리즘

1. 부등식을 f(x; y) 형식으로 줄입니다.< 0 (f (х; у) >0; 에프(엑스; 와이) ≤ 0; 에프(엑스; 와이) ≥ 0;)

2. 우리는 평등 f (x; y) = 0을 씁니다.

3. 왼쪽에 기록된 그래프를 인식합니다.

4. 이 그래프를 만듭니다. 불평등이 엄격한 경우 (f (x; y)< 0 или f (х; у) >0) 그런 다음 - 스트로크가있는 경우 불평등이 엄격하지 않은 경우 (f (x; y) ≤ 0 또는 f (x; y) ≥ 0) - 실선으로.

5. 그래픽의 몇 부분이 좌표 평면으로 나누어지는지 결정합니다.

6. 다음 중 하나를 선택하십시오. 검문소. 식 f(x; y)의 부호를 결정합니다.

7. 교대를 고려하여 비행기의 다른 부분에 표지판을 배치합니다 (간격 방법과 같이).

8. 해결하려는 부등식의 부호에 따라 필요한 부분을 선택하고 해칭을 적용합니다.

주어 보자 변수가 두 개인 방정식 F(x; y). 이러한 방정식을 분석적으로 푸는 방법을 이미 배웠습니다. 이러한 방정식의 해 집합은 그래프 형태로도 나타낼 수 있습니다.

방정식 F(x; y)의 그래프는 좌표가 방정식을 만족하는 좌표 평면 xOy의 점 집합입니다.

변수가 두 개인 방정식을 플로팅하려면 먼저 방정식의 x 변수로 y 변수를 표현하십시오.

확실히 당신은 이미 두 변수를 사용하여 다양한 방정식 그래프를 작성하는 방법을 알고 있습니다. ax + b \u003d c는 직선, yx \u003d k는 쌍곡선, (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2는 반지름이 R이고 중심이 점 O(a; b)인 원입니다.

예 1

방정식 x 2 - 9y 2 = 0을 플로팅합니다.

해결책.

방정식의 좌변을 인수분해합시다.

(x - 3y)(x+ 3y) = 0, 즉 y = x/3 또는 y = -x/3.

답변: 그림 1.

절대 값의 부호를 포함하는 방정식으로 평면에 그림을 할당하는 데 특별한 장소가 있습니다. 여기서 자세히 설명하겠습니다. |y| 형식의 방정식을 그리는 단계를 고려하십시오. = f(x) 및 |y| = |에프(엑스)|.

첫 번째 방정식은 시스템과 동일합니다.

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) 또는 y = -f(x).

즉, 그래프는 y = f(x) 및 y = -f(x)의 두 함수 그래프로 구성되며 여기서 f(x) ≥ 0입니다.

두 번째 방정식의 그래프를 그리기 위해 두 함수의 그래프가 그려집니다: y = f(x) 및 y = -f(x).

예 2

방정식을 플로팅 |y| = 2 + 엑스.

해결책.

주어진 방정식은 시스템과 동일합니다.

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 또는 y = -x - 2.

우리는 일련의 포인트를 구축합니다.

답: 그림 2.

예 3

방정식 |y – x|를 플로팅합니다. = 1.

해결책.

y ≥ x이면 y = x + 1이고, y ≤ x이면 y = x - 1입니다.

답: 그림 3.

모듈 기호 아래에 변수를 포함하는 방정식의 그래프를 구성할 때 사용하는 것이 편리하고 합리적입니다. 면적법, 좌표 평면을 각 하위 모듈 표현식이 부호를 유지하는 부분으로 분할하는 것을 기반으로 합니다.

예 4

방정식 x + |x|를 플로팅합니다. + y + |y| = 2.

해결책.

이 예에서 각 하위 모듈 표현식의 부호는 좌표 사분면에 따라 다릅니다.

1) 첫 번째 좌표 분기에서 x ≥ 0 및 y ≥ 0. 모듈을 확장한 후 주어진 방정식은 다음과 같습니다.

2x + 2y = 2, 단순화 후 x + y = 1.

2) 2분기에 x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) 3분기 x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) 4분기에 x ≥ 0이고 y인 경우< 0 получим, что x = 1.

우리는 이 방정식을 4분의 1로 플롯할 것입니다.

답: 그림 4.

실시예 5

좌표가 |x – 1| 등식을 만족하는 점 집합을 그립니다. + |y – 1| = 1.

해결책.

하위 모듈 식 x = 1 및 y = 1의 0은 좌표 평면을 4개의 영역으로 분할합니다. 지역별로 모듈을 분류해 보겠습니다. 이것을 표의 형태로 만들어 봅시다.

지역
서브모듈 표현 부호
모듈 확장 후 결과 방정식
나 x ≥ 1 및 y ≥ 1 x + y = 3
II 엑스< 1 и y ≥ 1 -x+y=1
III 엑스< 1 и y < 1 엑스 + 와이 = 1
IV x ≥ 1 및 y< 1 x – y = 1

답: 그림 5.

좌표평면에서 수치를 지정할 수 있으며, 불평등.

불평등 그래프두 개의 변수가 있는 는 좌표가 이 부등식의 해인 좌표 평면의 모든 점 집합입니다.

고려하다 두 변수로 부등식을 해결하기 위한 모델을 구성하는 알고리즘:

  1. 부등식에 해당하는 방정식을 적으십시오.
  2. 1단계의 방정식을 플로팅합니다.
  3. 반평면 중 하나에서 임의의 점을 선택합니다. 선택한 점의 좌표가 주어진 부등식을 만족하는지 확인합니다.
  4. 부등식의 모든 해의 집합을 그래픽으로 그립니다.

우선 부등식 ax + bx + c > 0을 고려하십시오. 방정식 ax + bx + c = 0은 평면을 두 개의 반평면으로 나누는 직선을 정의합니다. 그들 각각에서 함수 f(x) = ax + bx + c는 부호 보존입니다. 이 부호를 결정하려면 반평면에 속하는 임의의 점을 취하고 이 점에서 함수 값을 계산하는 것으로 충분합니다. 함수의 부호가 부등식의 부호와 일치하면 이 반평면이 부등식의 해가 됩니다.

두 변수가 있는 가장 일반적인 부등식에 대한 그래픽 솔루션의 예를 고려하십시오.

1) 도끼 + bx + c ≥ 0. 그림 6.

2) |엑스| ≤ a, a > 0. 그림 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. 그림 8.

4) y ≥ x2. 그림 9

5) xy ≤ 1. 그림 10.

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전화하자 (엑스, 와이)주문쌍, 및 엑스그리고 ~에이 쌍의 구성 요소입니다. 동시에 그들은 그렇게 생각한다. (엑스 1 ~에 1 ) = (엑스 2 .와이 2 ), 만약 x 1 = x 2이고 ~에 1 = ~에 2 .

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정의 9. 집합 A와 B의 데카르트 곱을 집합 A라고 합니다.B, 그의 요소는 x와 같은 모든 쌍(x, y)입니다.아, 너비, 즉 ㅏB \u003d ((x, y) / x아, 너안에).

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예를 들어 집합의 데카르트 곱을 찾으십시오. A = (1,3} 그리고 B = (2,4,6).

ㅏ안에= {(1, 2);(1, 4);(1, 6);(3, 2);(3, 4);(3, 6)}.

데카르트 곱을 구하는 연산을 데카르트 집합 곱셈이라고 합니다.

집합의 데카르트 곱셈은 교환성의 속성이나 결합성의 속성이 없지만 분배 속성에 의한 집합의 합집합 및 빼기 연산과 관련됩니다.

모든 세트에 대해 A, B, C평등이 발생합니다.

(ㅏ안에)C = (A와 함께)(안에와 함께),

(A\B)와 함께= (ㅏ씨)\(비와 함께).

수치 집합의 데카르트 곱을 시각적으로 표현하기 위해 직교 좌표계가 자주 사용됩니다.

허락하다 ㅏ그리고 안에 -숫자 세트. 그런 다음 이러한 집합의 데카르트 곱의 요소는 숫자 쌍으로 정렬됩니다. 각 숫자 쌍을 좌표 평면의 한 점으로 묘사하면 세트의 데카르트 곱을 시각적으로 나타내는 그림을 얻습니다. ㅏ그리고 안에.

집합의 데카르트 곱을 좌표 평면에 나타내자 ㅏ그리고 안에,만약에:

ㅏ) ㅏ = {2, 6}; 비 ={1,4}, 비) A = (2,6}; 안에= , V) 에이 = ;비 =.

a) 경우에 이러한 집합은 유한하며 데카르트 곱의 요소를 열거할 수 있습니다.

ㅏB ={(2, 1); (2, 4); (6, 1); (6, 4)}. 우리는 좌표축과 축을 구성합니다. 오집합의 요소를 표시 ㅏ, 그리고 축에 OU-요소 설정 안에.그런 다음 세트 АВ의 각 숫자 쌍을 좌표 평면의 점으로 묘사합니다(그림 7). 네 점의 결과 수치는 이 집합의 데카르트 곱을 시각적으로 나타냅니다. ㅏ그리고 안에.

b) 집합의 데카르트 곱의 모든 요소를 ​​열거하는 것은 불가능합니다. 한 무리의 안에- 무한하지만 이 직교 곱의 형성 과정을 상상할 수 있습니다. 각 쌍에서 첫 번째 구성 요소 또는 2 , 또는 6 , 두 번째 구성 요소는 간격의 실수입니다. .

첫 번째 구성 요소가 숫자인 모든 쌍 2 , 두 번째는 다음에서 값을 실행합니다. 1 ~ 전에 4 포함, 세그먼트 포인트로 표시됨 SD,첫 번째 구성 요소가 숫자인 쌍 6 , 두 번째는 간격의 실수입니다. , – 세그먼트 포인트 아르 자형에스 (그림 8). 따라서 b) 집합의 데카르트 곱의 경우 ㅏ그리고 안에좌표 평면에 세그먼트로 표시됩니다. SD그리고 아르 자형에스.

쌀. 7 그림. 8 그림. 9

사례 c)는 사례 b)와 다릅니다. 안에,뿐만 아니라 많은 ㅏ,그래서, 세트에 속하는 쌍의 첫 번째 구성요소 ㅏ안에,간격의 임의의 숫자입니다. . 집합의 데카르트 곱의 요소를 나타내는 점 ㅏ그리고 안에,사각형을 형성 SVU엘 (그림 9). 데카르트 곱의 요소가 사각형의 점으로 표현됨을 강조하기 위해 음영 처리할 수 있습니다.

제어 질문

    다음 문제를 풀면 집합의 데카르트 곱이 형성됨을 보여줍니다.

a) 분자가 집합의 숫자인 모든 분수를 기록하십시오. 에이 ={3, 4} , 분모는 세트의 숫자입니다. B = (5,6, 7}.

b) 숫자를 사용하여 다른 두 자리 숫자 쓰기 1, 2, 3, 4.

    모든 세트에 대해 증명 A, B, C공정한 평등 (ㅏ안에)С = (ㅏ와 함께)(안에와 함께).세트에 대한 만족 가능성을 보여줍니다. ㅏ= {2, 4, 6}, 비=(1,3, 5), C = (0, 1).

    좌표가 세트의 데카르트 곱의 요소인 경우 점은 좌표 평면에서 어떤 모양을 형성합니까? ㅏ= (– 3, 3) 및 안에= 아르 자형

    어떤 집합의 데카르트 곱을 결정합니다. ㅏ그리고 안에그림 10에 나와 있습니다.

쌀. 10

수업 과정

112. 집합에 속하는 10자리의 모든 두 자리 숫자를 쓰십시오. ㅏ= {1, 3, 5} , 및 단위의 자릿수 - 세트로 B = (2,4,6).

113. 집합에서 분자를 선택한 모든 분수를 쓰십시오. A=(3,5, 7}, 그리고 분모는 집합에서 비={4, 6, 8}.

114. 모든 것을 쓰십시오 적절한 분수, 그의 분자는 세트에서 선택됩니다 에이 =(3, 5,7), 분모는 집합에서 가져옵니다. B= (4, 6,8}.

115. 세트가 주어진다 피 ={1, 2, 3}, K \u003d (a,비}. 집합의 모든 데카르트 곱 찾기 아르 자형에게그리고 케이아르 자형.

116. 그것은 알려져있다 ㅏ안에= ((1, 2); (3, 2); (1, 4);(3, 4); (1, 6); (3, 6)). 세트가 구성하는 요소 결정 ㅏ그리고 안에.

117. 쓰기 세트 (ㅏ안에)와 함께그리고 ㅏ(안에와 함께)옮기다 증기 , 만약에 ㅏ=(ㅏ,비}, 비 = {3}, 씨={4, 6}

118. 세트 만들기 ㅏ비,비ㅏ,만약에:

ㅏ )A = (,비,s),B=(디},

비) ㅏ = { ㅏ, 비}, 비 = ,

V) A \u003d (티, 피,케이), B = A,

G) ㅏ = { 엑스, 와이, 지}, 비 = { 케이, N}

119. ㅏB = ((2.3), (2.5), (2.6), (3.3), (3.5), (3.6)).세트가 구성하는 요소 결정 ㅏ그리고 안에.

120. 집합의 데카르트 곱 찾기 에이 = {5, 9, 4} 그리고 안에= {7, 8, 6} 다음과 같은 쌍의 하위 집합을 선택합니다.

a) 첫 번째 구성 요소가 두 번째 구성 요소보다 큽니다. b) 첫 번째 구성 요소는 5입니다. c) 두 번째 구성 요소는 7입니다.

121. 세트의 데카르트 곱에 속하는 요소를 나열하십시오. A, B그리고 와 함께,만약에:

ㅏ) A = (2, 3}, B = (7, 8, 9}, 와 함께= {1, 0};

비) A = B= 와 함께= {2, 3};

V) ㅏ= {2, 3}, 비 = {7, 8, 9}, C =

122. 집합의 데카르트 곱의 요소를 좌표 평면에 그립니다. A와 B만약에:

ㅏ) A \u003d (x / x N,2 < 엑스< 4}, 안에= (더블 엑스 엔, 엑스< 3};

b) A \u003d (x / x 아르 자형, 2 < х < 4}, В = {х/х 엔, 엑스< 3};

V) ㅏ= ; 안에= .

123. 두 세트의 데카르트 곱의 모든 요소 ㅏ그리고 비직사각형 좌표계에서 점으로 표시됩니다. 쓰기 세트 ㅏ그리고 안에(그림 11).

쌀. 13

124. 좌표 평면에 다음과 같은 경우 세트 X와 Y의 데카르트 곱 요소를 그립니다.

ㅏ) Х=(–1.0, 1.2),와이={2, 3,4};

비) Х=(–1.0, 1.2),와이=;

V) Х = [–1;2],와이 = {2, 3, 4};

G) 엑스= , 와이 = ;

이자형) 엑스 = [–3; 2], 와이 = ;

그리고) 엑스 = ]–3;2[, 와이= 아르 자형;

시간) X=(2),와이= 아르 자형;

그리고) X=아르 자형, 와이 = {–3}.

125. 그림에 표시된 수치. 14는 집합 X와 Y의 데카르트 곱의 좌표 평면에 있는 이미지의 결과입니다. 각 그림에 대해 이러한 집합을 지정합니다.

쌀. 14

126. 좌표평면에 반평면으로 표현되는 두 집합의 데카르트 곱을 구하라. 모든 경우를 고려하십시오.

127. 두 집합이 좌표평면에 그려지는 데카르트 곱을 좌표축이 교차할 때 형성되는 직각으로 설정한다.

128. 좌표 평면에서 축과 평행한 선을 만듭니다. 오그리고 포인트를 지나 아르 자형(–2, 3).

129. 좌표평면에서 축에 평행한 선을 그립니다. 에 대한와이그리고 포인트를 지나 아르 자형(–2, 3). 이 직선으로 좌표평면에 표현되는 두 집합의 데카르트 곱을 결정하십시오.

130. 좌표 평면에서 점을 통과하는 직선으로 둘러싸인 스트립을 만듭니다. (–2, 0) 그리고 (2, 0) 그리고 축에 평행 에 대한와이. 이 스트립에 속하는 포인트 집합을 설명합니다.

131. 좌표평면에 직사각형을 만들고 그 꼭짓점은 점이다. ㅏ(–3, 5), 안에(–3, 8), 와 함께(7, 5), 디 (7, 8). 이 직사각형의 점 집합을 설명합니다.

132. 좌표가 다음 조건을 충족하는 점 집합을 좌표 평면에 구축합니다.

ㅏ) 엑스 아르 자형, y= 5;

비) 엑스= –3, ~에 아르 자형;

V) 엑스아르 자형, |y| = 2;

G) | 엑스| = 3, ~에 아르 자형;

이자형) 엑스 아르 자형, 와이≥ 4;

이자형) 엑스 아르 자형, 와이 4;

그리고) 엑스아르 자형, |y| 4;

시간) | 엑스| 4, |y| 3 ;

그리고) |엑스| ≥1, |y| ≥ 4;

에게) |엑스| ≥ 2, y 아르 자형.

133. 좌표 평면에 데카르트 곱의 요소를 그립니다. 엑스 그리고 와이, 만약에:

ㅏ) 엑스 = 아르 자형, 와이 = {3}; 비) 엑스 = 아르 자형, 와이 = [–3; 3]; V) 엑스 = .

134. 좌표평면에 다음과 같은 경우 그림 F를 만듭니다.

ㅏ) 에프= ((엑스, 와이)| x = 2, 와이 아르 자형}

비) 에프= ((엑스, 와이) |엑스 아르 자형, y = -3);

V) 에프= ((엑스, 와이) | 엑스2, 유 아르 자형};

G) 에프= ((엑스, 와이) | 엑스에게,와이≥ – 3};

이자형) 에프= ((엑스, 와이) | |엑스| = 2, 와이 아르 자형};

이자형) 에프=((x,y) |x 아르 자형, |y| = 3).

135. 점에 정점이 있는 직사각형 구성 (–3, 4), (–3, –3), (1, –3), (1, 4). 이 사각형에 속하는 점의 특성 속성을 지정합니다.

136. 좌표 평면에서 OX 축에 평행하고 점 (2, 3) 및 (2, -1)을 통과하는 직선을 구성합니다. 두 세트가 구성된 선 사이에 스트립으로 좌표 평면에 표시되는 데카르트 곱을 설정하십시오.

137. 좌표 평면에서 OY 축에 평행하고 점 (2, 3) 및 (–2, 3)을 통과하는 선을 구성합니다. 두 세트가 구성된 선 사이에 스트립으로 좌표 평면에 표시되는 데카르트 곱을 설정하십시오.

138. 직교좌표계에 집합 그리기 엑스와이, 만약에:

ㅏ) 엑스 = 아르 자형; 와이 ={ 와이~에 아르 자형, |~에| < 3},

비) 엑스= {엑스/ 엑스 아르 자형, |엑스| > 2}; 와이= (년/년 아르 자형, |~에| > 4}.

이 장에서 학생은 다음을 할 수 있어야 합니다.

다양한 방법으로 집합을 정의합니다.

세트 간의 관계를 설정하고 Euler-Venn 다이어그램을 사용하여 묘사합니다.

두 세트의 동등성을 증명하십시오.

세트에 대한 작업을 수행하고 오일러-벤 다이어그램을 사용하여 기하학적으로 설명합니다.

하나 이상의 속성을 사용하여 세트를 클래스로 분할합니다. 수행된 분류의 정확성을 평가합니다.