해당 요소의 잘린 원뿔의 정의를 공식화합니다. 절두체

원뿔형 표면주어진 곡선의 각 점과 곡선 외부의 점을 통과하는 모든 직선으로 구성된 표면입니다(그림 32).

이 곡선은 가이드 , 똑바로 - 형성 , 도트 - 맨 위 원뿔형 표면.

직선 원형 원추형 표면주어진 원의 각 점을 통과하는 모든 직선과 원의 평면에 수직이고 중심을 통과하는 직선 위의 한 점으로 구성된 표면입니다. 다음에서는 이 표면을 간략하게 부르겠습니다. 원추형 표면 (그림 33).

원뿔 (직선 원형 원뿔 )는 원추형 표면과 가이드 원의 평면과 평행한 평면으로 둘러싸인 기하학적 몸체입니다(그림 34).

쌀. 32 그림. 33 그림. 34

원뿔은 삼각형의 다리 중 하나를 포함하는 축을 중심으로 직각삼각형을 회전시켜 얻은 몸체로 간주될 수 있습니다.

원뿔을 둘러싸는 원을 원뿔이라고 합니다. 기초 . 원뿔형 표면의 꼭지점을 호출합니다. 맨 위 원뿔 원뿔의 꼭지점과 밑면의 중심을 연결하는 선분을 이라고 합니다. 키 원뿔 원뿔형 표면을 형성하는 세그먼트를 호출합니다. 형성 원뿔 중심선 원뿔은 원뿔의 꼭대기와 밑면의 중심을 지나는 직선입니다. 축 단면 원뿔의 축을 통과하는 단면을 호출합니다. 측면개발 원뿔은 섹터(sector)라고 불리며, 그 반경은 원뿔 모선의 길이와 같고 섹터의 호 길이는 원뿔 밑면의 원주와 같습니다.

원뿔의 올바른 공식은 다음과 같습니다.

어디 아르 자형– 기본 반경;

시간- 키;

엘- 모선의 길이

S 베이스– 기본 지역

S측

S 가득

V– 원뿔의 부피.

잘린 원뿔베이스와 원뿔의 베이스와 평행한 절단 평면 사이에 둘러싸인 원뿔 부분이라고 합니다(그림 35).

잘린 원뿔은 밑면에 수직인 사다리꼴의 측면을 포함하는 축을 중심으로 직사각형 사다리꼴을 회전시켜 얻은 몸체로 간주될 수 있습니다.

원뿔을 둘러싸는 두 개의 원을 원뿔이라고 합니다. 원인 . 키 잘린 원뿔의 밑면 사이의 거리입니다. 잘린 원뿔의 원뿔 표면을 형성하는 세그먼트를 호출합니다. 형성 . 밑면의 중심을 지나는 직선을 직선이라고 합니다. 중심선 잘린 원뿔. 축 단면 잘린 원뿔의 축을 통과하는 단면을 호출합니다.

잘린 원뿔의 경우 올바른 공식은 다음과 같습니다.

(8)

어디 아르 자형– 하부 베이스의 반경;

아르 자형– 상부 베이스의 반경;

시간– 높이, l – 모선의 길이;

S측– 측면 표면적;

S 가득- 전체 표면적

V– 잘린 원뿔의 부피.

예시 1.밑면과 평행한 원뿔의 단면은 위에서부터 높이를 1:3의 비율로 나눕니다. 밑면의 반지름과 원뿔의 높이가 9 cm와 12 cm일 때 잘린 원뿔의 옆넓이를 구합니다.

해결책.그림을 그려 봅시다 (그림 36).

잘린 원뿔의 측면 면적을 계산하려면 식 (8)을 사용합니다. 밑면의 반지름을 구해보자 약 1A그리고 약 1V그리고 형성 AB.

비슷한 삼각형을 고려해보세요 SO2B그리고 그래서 1A, 유사성 계수, 그런 다음

여기에서

그때부터

잘린 원뿔의 측면 표면적은 다음과 같습니다.

답변: .

예시 2.반경의 1/4원이 원뿔형 표면으로 접혀 있습니다. 밑면의 반지름과 원뿔의 높이를 구하세요.

해결책.원의 사분면은 원뿔의 측면이 발달한 것입니다. 나타내자 아르 자형– 베이스의 반경, 시간 -키. 다음 공식을 사용하여 측면 표면적을 계산해 보겠습니다. 이는 1/4원의 면적과 같습니다: . 우리는 두 개의 미지수로 방정식을 얻습니다. 아르 자형그리고 엘(원뿔 형성). 이 경우 모선은 1/4원의 반경과 같습니다. 아르 자형, 이는 다음 방정식을 얻는다는 것을 의미합니다. , 베이스와 생성기의 반경을 알면 원뿔의 높이를 찾을 수 있습니다.

답변: 2cm, .

예시 3.예각이 45°이고 밑변이 3cm이고 경사면이 와 같은 직사각형 사다리꼴이 밑변에 수직인 변을 중심으로 회전합니다. 생성된 회전체의 부피를 구합니다.

해결책.그림을 그려 봅시다 (그림 37).

회전의 결과로 잘린 원뿔을 얻고, 그 부피를 찾기 위해 더 큰 밑면과 높이의 반경을 계산합니다. 공중 그네에서 O 1 O 2 AB우리는 실시할 것이다 AC^O 1B. B 우리는 가지고 있습니다: 이것은 이 삼각형이 이등변이라는 것을 의미합니다 A.C.=기원전=3cm.

답변:

예시 4.변이 13cm, 37cm, 40cm인 삼각형은 더 큰 변과 평행하고 외부 축에서 3cm 떨어진 곳에 위치한 외부 축을 중심으로 회전합니다(축은 삼각형 평면에 위치함). 결과적인 회전체의 표면적을 찾으십시오.

해결책 . 그림을 그려 봅시다 (그림 38).

결과적인 회전체의 표면은 두 개의 잘린 원뿔의 측면과 원통의 측면으로 구성됩니다. 이 면적을 계산하려면 원뿔과 원통의 밑면의 반지름을 알아야 합니다( BE그리고 OC), 원뿔 형성 ( 기원전그리고 A.C.) 및 원통 높이( AB). 유일하게 알려지지 않은 것은 콜로라도. 이것은 삼각형의 측면에서 회전축까지의 거리입니다. 우리는 찾을 것이다 DC. 한쪽의 삼각형 ABC의 면적은 변 AB의 절반과 거기에 그려진 고도의 곱과 같습니다. DC, 반면에 삼각형의 모든 변을 알고 있으면 헤론의 공식을 사용하여 면적을 계산합니다.

소개

쌀. 1. 잘린 코누사 모양의 생명체

기하학의 새로운 수치는 어디에서 나온다고 생각하시나요? 그것은 모두 매우 간단합니다. 인생의 사람은 비슷한 물건을 가지고 마치 전화하는 것처럼옵니다. 서커스의 사자들이 앉아 있는 캐비닛, 우리가 막 수확할 때 수확하는 당근 조각, 활화산 그리고 예를 들어 포나리에서 나오는 빛을 살펴봅시다. ka(그림 1 참조).

잘린 원뿔, 해당 요소 및 축 단면

쌀. 2. 지오메트리체피구리

우리는 이 모든 그림이 비슷한 모양임을 알 수 있습니다. 아래와 위에서 모두 원으로 둘러싸여 있지만 위쪽으로 갈수록 좁아집니다( 그림 2 참조).

쌀. 3. 코누사 윗부분에서

원뿔처럼 보입니다. 단지 최고가 충분하지 않습니다. 우리는 원뿔을 가져다가 날카로운 칼을 한 번 휘둘러 그 윗부분을 제거한다고 정신적으로 상상합니다 (그림 3 참조).

쌀. 4. 잘린 원뿔

이것이 바로 우리의 그림이며, 잘린 원뿔이라고 불립니다(그림 4 참조).

쌀. 5. 세체니, 병렬-os-no-va-niyu 코누사

원뿔을 주자. 이 공동 누사 축과 교차 절단 원뿔의 평행 평면인 평면을 만들어 보겠습니다 (그림 5 참조).

원뿔을 두 개의 몸체로 분할합니다. 그 중 하나는 더 작은 크기의 원뿔이고 두 번째는 잘린 원뿔이라고 합니다(그림 6 참조).

쌀. 6. 평행 단면에서 몸체 획득

따라서 잘린 원뿔은 원뿔의 일부이며 본체와 평행한 본체 사이에 연결되어 있지만 평평합니다. 원뿔의 경우와 마찬가지로 잘린 원뿔도 원을 밑면으로 가질 수 있습니다. 이 경우 원뿔이라고 합니다. 원래 원뿔이 직선이었다면 잘린 원뿔을 직선이라고 합니다. ko-nu-sa-mi의 경우와 마찬가지로 키를 살펴 보겠습니다. 그러나 간접적으로 잘린 co-nu-se에 대해 이야기하고 있음을 구체적으로 나타내지 않는 경우 직선 원형 잘린 ko-nu-s sy입니다. 또는 기본적으로 원이 없습니다.

쌀. 7. 직사각형 트랩의 회전

우리의 글로벌 테마는 회전체입니다. 잘린 원뿔도 예외는 아닙니다! co-nu-sa를 얻기 위해 우리는 직사각형 삼각형을 smo-mat-ri-va-li로 만들고 ka-te-ta를 중심으로 회전한다는 것을 기억합시다. 결과 원뿔이 축과 평행한 평면으로 절단되면 삼각형 -mo-coal-trape-tion에서 직선이 남지 않습니다. 작은 쪽을 중심으로 회전하면 잘린 원뿔이 생성됩니다. 우리는 분명히 직접 순환 공차에 대해서만 이야기하고 있음을 다시 한 번 언급해 보겠습니다(그림 7 참조).

쌀. 8. Os-no-va-niya 잘린 부분 없음 코누사

몇 가지 준비를 할게요. ko-nu-sa 플랫 섹션의 half-ko-nu-sa와 원, half-cha-yu-shay의 기초, on- 그들은 잘린 os-no-va-ni-ya-mi라고 부릅니다. ko-nu-sa (하부 및 상부) (그림 8 참조).

쌀. 9. Ob-ra-zu-yu-schi 잘린 코누사

os-but-va-ni-mi 잘린 부분-go-ko-nu-sa 사이에 연결된 co-nu-sa의 ra-zu-yu-shih 절반 절단에서 그들은 about-ra-라고 부릅니다. zu-yu-schi-mi 잘린 부분 없음 코누사. 모든 교육 결과가 동일하고 모든 교육 결과가 동일하므로 ob-ra-zu-yu 잘린 co-nu-sa는 동일합니다(잘린 것과 잘린 것을 혼동하지 마십시오!). 여기에서 단면 축의 이동이 동일해집니다(그림 9 참조).

잘린 코누사 내부에 둘러싸인 회전축에서 그들은 그것을 잘린 축 코누사의 축이라고 부릅니다. 이 재편집된 ra-zu-me-et-sya는 기본 요소의 중심을 통합합니다(그림 10 참조).

쌀. 10. 잘린 코누사의 축

You-so-ta 잘린 ko-nu-sa는 os-no-vaniya 중 하나의 지점에서 다른 베이스까지 입증된 per-pen-di-ku-lyar입니다. 대부분의 경우 품질 측면에서 축이 잘립니다.

쌀. 11. Ose-voe se-che-nie truncated-no-go-ko-nu-sa

잘린 코누사의 축 단면은 축을 통과하는 단면입니다. 그것은 사다리꼴 형태를 가지고 있으며, 조금 후에 그 평등성을 보여줄 것입니다 (그림 11 참조).

잘린 원뿔의 측면 및 전체 표면의 면적

쌀. 12. 기호가 표시된 원뿔

잘린 코누사 꼭대기에서 보코보이의 넓이를 구해봅시다. 잘린 co-nu-sa의 밑면에 반경이 있고 , ob-ra-zu-yu가 동일하다고 가정합니다(그림 12 참조).

쌀. 13. se-chen-no-th ko-nu-sa의 ob-ra-zu-yu-shchei 지정

잘린 코누사 위에 있는 보코보이의 면적을 상단에 있는 보코보이의 면적의 차이로 구해 봅시다. 코누사와 프롬세첸노고. 이를 위해 코누사 형성을 통해 표시합니다(그림 13 참조).

그럼 is-ko-may.

쌀. 14. 비슷한 삼각형

남은 것은 당신이 그것을 알아내는 것뿐입니다.

po-do-biy tri-corn-ni-kov에서 from-to-yes에 주목해 보겠습니다(그림 14 참조).

이를 반지름의 차이로 나누어 표현하는 것이 가능하지만, 표현에서는 정확히 figu-ri-ru-et pro-iz-ve-이기 때문에 이것이 필요하지 않습니다. 드니. 그 대신에 우리는 마침내 다음과 같은 결과를 얻었습니다. .

이제 전체 표면적에 대한 모양을 얻는 것이 어렵지 않습니다. 이렇게하려면 밑면의 두 원의 면적을 정확히 추가하십시오. .

일

쌀. 15. for-da-che의 삽화

잘린 원뿔이 높이 주위의 직사각형 트랩에 의해 회전되도록 합니다. 사다리꼴의 가운데 선은 와 같고, 큰 변은 와 같습니다(그림 15 참조). 잘린 코누사의 톱노스티에서 보코보이의 면적을 찾으세요.

해결책

공식을 통해 우리는 다음을 알고 있습니다. .

코누사의 형성은 대규모 백로-진행형 Tra-pe-tion, 즉 Ra-di-u-sy Ko-well-sa가 될 것입니다. 이것이 전통의 기초입니다. 페티션. 우리는 그들을 찾을 수 없습니다. 그러나 우리는 필요하지 않습니다. 합만 필요하며 사다리꼴의 밑면의 합은 중간선의 두 배입니다. 즉, . 그 다음에 .

잘린 원뿔과 피라미드의 유사점

우리가 co-nu-se에 대해 이야기할 때 그와 pi-ra-mi-doy 사이에 대해 이야기한다는 사실에 주목하세요. 공식은 유사했습니다. 잘린 원뿔은 잘린 피라미두와 매우 유사하기 때문에 여기서도 마찬가지입니다. 따라서 해당 영역에 대한 공식은 크고 완전한 꼭대기가 아닌 잘린 코누사와 피라미입니다. -dy(그리고 곧 볼륨에 대한 공식이 나올 예정) Analog-logic-us.

일

쌀. 1. for-da-che에 대한 설명

ra-di-u-sy os-no-va-niy use-chen-no-go ko-nu-sa는 및 와 같고, ob-ra-zu-yu-shchaya는 와 같습니다. 잘린 코누사와 그 축의 면적을 구합니다(그림 1 참조).

한 지점(원뿔의 상단)에서 발생하며 평평한 표면을 통과합니다.

원뿔은 부피가 제한된 몸체의 일부이며 평평한 표면의 꼭지점과 점을 연결하는 각 세그먼트를 결합하여 얻습니다. 이 경우 후자는 원뿔의 기초, 원뿔은 이 베이스 위에 놓여 있다고 합니다.

원뿔의 밑면이 다각형인 경우 이미 피라미드 .

원형 원뿔- 이것은 원(원뿔의 밑면), 이 원의 평면(원뿔의 꼭대기)에 있지 않은 점, 그리고 원뿔의 꼭대기와 원뿔의 점을 연결하는 모든 세그먼트로 구성된 몸체입니다. 베이스). 원뿔의 꼭지점과 밑원의 점을 연결하는 선분을 이라고 합니다. 원뿔을 형성하다. 원뿔의 표면은 밑면과 측면으로 구성됩니다.

측면 면적이 정확합니다. N- 원뿔에 새겨진 탄소 피라미드:

Sn =½P n l n,

어디 Pn- 피라미드 바닥의 둘레, 그리고 나는 n- 변심.

같은 원리로: 밑면 반경이 있는 잘린 원뿔의 측면 표면적 R 1, R 2그리고 형성 엘우리는 다음 공식을 얻습니다.

S=(R 1 +R 2)l.

밑면과 높이가 동일한 직선 및 비스듬한 원형 원뿔입니다. 이 몸체의 부피는 동일합니다.

원뿔의 속성.

• 밑면의 면적에 한계가 있다는 것은 원뿔의 부피에도 한계가 있으며 높이와 밑면 면적의 곱의 세 번째 부분과 같다는 것을 의미합니다.

어디 에스- 기본 면적, 시간- 키.

따라서 이 밑면 위에 놓여 있고 꼭지점이 밑면과 평행한 평면에 있는 각 원뿔은 높이가 동일하므로 부피가 동일합니다.

• 한계가 있는 부피를 가진 각 원뿔의 무게 중심은 밑면에서 높이의 1/4에 위치합니다.
• 직원뿔 꼭지점의 입체각은 다음 공식으로 표현할 수 있습니다.

어디 α - 콘 개방 각도.

• 이러한 원뿔의 측면 표면적은 다음과 같습니다.

총 표면적(즉, 측면과 밑면의 합), 공식은 다음과 같습니다.

S=πR(1+R),

어디 아르 자형- 베이스의 반경, 엘- 모선의 길이.

• 원뿔의 부피, 공식:

• 잘린 원뿔(직선이나 원형이 아님)의 경우 부피, 공식:

어디 에스 1그리고 에스 2- 상부 및 하부 베이스의 면적,

시간그리고 시간- 상부 및 하부 베이스 평면에서 상단까지의 거리.

• 직원뿔과 평면의 교차점은 원뿔 단면 중 하나입니다.

기하학은 공간의 구조와 구조 사이의 관계를 연구하는 수학의 한 분야입니다. 차례로 섹션으로 구성되며 그 중 하나가 입체 측정입니다. 정육면체, 피라미드, 공, 원뿔, 원통 등 공간에 위치한 3차원 도형의 특성을 연구합니다.

원뿔은 원뿔형 표면과 생성기의 끝이 있는 평면으로 둘러싸인 유클리드 공간의 몸체입니다. 그 형성은 다리 주위의 직각 삼각형이 회전하는 동안 발생하므로 회전체에 속합니다.

원뿔의 구성 요소

원뿔에는 비스듬한(또는 경사진) 유형과 직선형이 있습니다. 경사는 축이 밑면 중심과 직각으로 교차하지 않는 것입니다. 이러한 이유로 이러한 원뿔의 높이는 몸체 상단에서 바닥면까지 90° 각도로 낮아지는 세그먼트이기 때문에 축과 일치하지 않습니다.

축이 밑면에 수직인 원뿔을 직선이라고 합니다. 이러한 기하학적 몸체의 축과 높이는 정점이 밑면 직경의 중심 위에 위치한다는 사실로 인해 일치합니다.

원뿔은 다음 요소로 구성됩니다.

1. 그 기반이 되는 원입니다.
2. 측면.
3. 밑면에 있지 않은 점을 원뿔의 꼭지점이라고 합니다.
4. 기하학적 몸체의 밑면과 꼭지점의 원점을 연결하는 세그먼트입니다.

이 모든 세그먼트는 원뿔의 생성자입니다. 그것들은 기하학적 몸체의 밑면으로 기울어져 있고 직각 원뿔의 경우 정점이 밑면의 원 점에서 등거리에 있기 때문에 투영이 동일합니다. 따라서 우리는 일반 (직선) 원뿔에서 생성기가 동일하다는 결론을 내릴 수 있습니다. 즉, 길이가 같고 축 (또는 높이) 및 밑면과 동일한 각도를 형성합니다.

비스듬한(또는 경사진) 회전 몸체에서 꼭지점은 기본 평면의 중심을 기준으로 이동하기 때문에 이러한 몸체의 생성기는 길이와 투영이 다릅니다. 왜냐하면 각각은 두 지점에서 서로 다른 거리에 있기 때문입니다. 베이스의 원. 또한 그들 사이의 각도와 원뿔의 높이도 달라집니다.

직선 원뿔의 모선 길이

앞에서 설명한 것처럼 오른쪽 기하학적 회전체의 높이는 밑면에 수직입니다. 따라서 밑면의 모선, 높이 및 반경은 원뿔에 직각 삼각형을 만듭니다.

즉, 피타고라스 정리의 공식을 사용하여 밑면 반경과 높이를 알면 모선의 길이를 계산할 수 있으며 이는 밑면 반경과 높이의 제곱의 합과 같습니다.

l 2 = r 2 + h 2 또는 l = √r 2 + h 2

여기서 l은 생성기입니다.

r - 반경;

h - 높이.

경사진 원뿔형 발전기

경사 원뿔 또는 경사 원뿔에서는 발전기의 길이가 동일하지 않기 때문에 추가 구성 및 계산 없이는 계산이 불가능합니다.

먼저 높이, 축 길이, 밑면 반경을 알아야 합니다.

r 1 = √k 2 - h 2

여기서 r 1은 축과 높이 사이의 반경 부분입니다.

k - 축 길이;

h - 높이.

반경(r)과 축과 높이(r 1) 사이에 있는 부분을 추가하면 원뿔의 생성된 전체 생성자, 높이 및 직경 부분을 확인할 수 있습니다.

여기서 R은 높이, 생성기 및 밑면 직경의 일부로 형성된 삼각형의 다리입니다.

r - 베이스의 반경;

r 1 - 축과 높이 사이의 반경 부분.

피타고라스 정리의 동일한 공식을 사용하여 원뿔 모선의 길이를 찾을 수 있습니다.

엘 = √h 2 + R 2

또는 R을 별도로 계산하지 않고 두 공식을 하나로 결합합니다.

l = √h 2 + (r + r 1) 2.

원뿔이 직선인지 경사인지, 입력 데이터가 무엇인지에 관계없이 모선의 길이를 찾는 모든 방법은 항상 피타고라스 정리를 사용하는 하나의 결과로 귀결됩니다.

콘 섹션

축은 축이나 높이를 따라 지나가는 평면입니다. 직선 원뿔에서 이러한 단면은 이등변삼각형으로, 삼각형의 높이는 몸체의 높이이고, 변은 생성기이며, 밑면은 밑면의 직경입니다. 등변 기하학적 몸체에서 축 단면은 정삼각형입니다. 왜냐하면 이 원뿔에서 밑면과 생성기의 직경이 동일하기 때문입니다.

직선 원뿔의 축 단면 평면은 대칭 평면입니다. 그 이유는 상단이 베이스 중심 위에 위치하기 때문입니다. 즉, 축 단면의 평면이 원뿔을 두 개의 동일한 부분으로 나눕니다.

경사진 체적체에서는 높이와 축이 일치하지 않으므로 축 단면 평면에 높이가 포함되지 않을 수 있습니다. 이러한 원뿔에 많은 축 단면을 구성할 수 있는 경우, 단 하나의 조건(축을 통해서만 통과해야 함)이 충족되어야 하기 때문에 이 원뿔의 높이가 속할 평면의 축 단면만 그릴 수 있습니다. 하나는 조건의 수가 증가하고 알려진 바와 같이 두 개의 직선이 (함께) 하나의 평면에만 속할 수 있기 때문입니다.

단면적

앞서 언급한 원뿔의 축 단면은 삼각형입니다. 이를 바탕으로 삼각형 면적 공식을 사용하여 면적을 계산할 수 있습니다.

S = 1/2 * d * h 또는 S = 1/2 * 2r * h

여기서 S는 단면적입니다.

d - 기본 직경;

r - 반경;

h - 높이.

경사 원뿔 또는 경사 원뿔에서는 축을 따른 단면도 삼각형이므로 단면적도 비슷한 방식으로 계산됩니다.

용량

원뿔은 3차원 공간에서의 3차원 도형이므로 부피를 계산할 수 있습니다. 원뿔의 부피는 이 몸체를 부피 단위, 즉 m3로 특성화하는 숫자입니다. 이 두 유형의 몸체에 대한 공식이 다르지 않기 때문에 계산은 직선인지 경사인지에 따라 달라지지 않습니다.

앞서 언급했듯이 직각 원뿔은 다리 중 하나를 따라 직각 삼각형이 회전하기 때문에 발생합니다. 기울어지거나 비스듬한 원뿔은 높이가 몸체 바닥면의 중심에서 멀어지기 때문에 다르게 형성됩니다. 그럼에도 불구하고 이러한 구조 차이는 부피 계산 방법에 영향을 미치지 않습니다.

부피 계산

모든 원뿔은 다음과 같습니다.

V = 1/3 * π * h * r 2

여기서 V는 원뿔의 부피입니다.

h - 높이;

r - 반경;

π는 3.14와 같은 상수입니다.

몸체의 높이를 계산하려면 밑면의 반경과 모선의 길이를 알아야 합니다. 반경, 높이 및 생성기가 직각 삼각형으로 결합되므로 높이는 피타고라스 정리의 공식(a 2 + b 2 = c 2 또는 이 경우 h 2 + r 2 = l 2, 여기서 l)을 사용하여 계산할 수 있습니다. 발전기)입니다. 높이는 빗변의 제곱과 다른 쪽 다리의 차이의 제곱근을 취하여 계산됩니다.

a = √c 2 - b 2

즉, 원뿔의 높이는 모선 길이의 제곱과 밑면 반경의 제곱 사이의 차이의 제곱근을 취한 후 얻은 값과 같습니다.

h = √l 2 - r 2

이 방법을 사용하여 높이를 계산하고 밑면의 반경을 알면 원뿔의 부피를 계산할 수 있습니다. 이 경우 발전기는 계산에서 보조 요소로 사용되므로 중요한 역할을 합니다.

마찬가지로, 물체의 높이와 모선의 길이를 알고 있다면 모선의 제곱과 높이의 제곱 간의 차이의 제곱근을 취하여 밑면의 반경을 알아낼 수 있습니다.

r = √l 2 - h 2

그런 다음 위와 같은 공식을 사용하여 원뿔의 부피를 계산합니다.

기울어진 원뿔의 부피

원뿔의 부피에 대한 공식은 모든 유형의 회전체에 대해 동일하므로 계산의 차이점은 높이 검색입니다.

경사원뿔의 높이를 알아내려면 모선의 길이, 밑면의 반지름, 밑면의 중심과 몸체 높이와 평면의 교차점 사이의 거리가 입력 데이터에 포함되어야 합니다. 그 기지의. 이를 알면 직각삼각형(높이, 모선 및 밑면의 평면으로 구성됨)의 밑변이 될 밑변 직경 부분을 쉽게 계산할 수 있습니다. 그런 다음 다시 피타고라스 정리를 사용하여 원뿔의 높이와 부피를 계산합니다.

쌀. 1. 원뿔대 모양을 한 생명체의 물체

기하학의 새로운 모양은 어디에서 나온다고 생각하시나요? 모든 것은 매우 간단합니다. 사람은 인생에서 비슷한 물건을 발견하고 그 이름을 생각해냅니다. 서커스에서 사자가 앉아 있는 스탠드, 일부만 잘라서 얻은 당근 조각, 활화산, 예를 들어 손전등에서 나오는 빛을 생각해 보십시오(그림 1 참조).

쌀. 2. 기하학적 모양

우리는 이 모든 그림이 비슷한 모양임을 알 수 있습니다. 아래와 위 모두 원으로 제한되지만 위쪽으로 가늘어집니다(그림 2 참조).

쌀. 3. 콘 윗부분 자르기

원뿔처럼 보입니다. 윗부분만 없어졌네요. 우리가 원뿔을 가져다가 날카로운 검을 한 번 휘둘러 윗부분을 잘라낸다고 정신적으로 상상해 봅시다(그림 3 참조).

쌀. 4. 잘린 원뿔

결과는 바로 우리의 그림이며, 이를 잘린 원뿔이라고 합니다(그림 4 참조).

쌀. 5. 원뿔 밑면에 평행한 단면

원뿔을 주자. 이 원뿔의 밑면과 평행하고 원뿔과 교차하는 평면을 그려 보겠습니다(그림 5 참조).

원뿔을 두 개의 몸체로 분할합니다. 그 중 하나는 더 작은 원뿔이고 두 번째는 잘린 원뿔이라고 합니다(그림 6 참조).

쌀. 6. 평행한 단면을 가진 결과 몸체

따라서 잘린 원뿔은 밑면과 밑면에 평행한 평면 사이에 둘러싸인 원뿔의 일부입니다. 원뿔과 마찬가지로 잘린 원뿔도 밑면에 원이 있을 수 있으며, 이 경우 이를 원형이라고 합니다. 원래 원뿔이 직선이었다면 잘린 원뿔을 직선이라고 합니다. 원뿔의 경우와 마찬가지로 간접 원뿔대에 대해 이야기하고 있거나 그 밑면이 원이 아니라고 구체적으로 명시하지 않는 한 직선 원형 원뿔대만 고려합니다.

쌀. 7. 직사각형 사다리꼴의 회전

우리의 글로벌 주제는 혁명의 몸입니다. 잘린 원뿔도 예외는 아닙니다! 원뿔을 얻기 위해 직각삼각형을 고려하고 그것을 다리 주위로 회전시켰다는 것을 기억합시다. 결과 원뿔이 밑면에 평행한 평면과 교차하면 삼각형은 직사각형 사다리꼴로 유지됩니다. 작은 쪽을 중심으로 회전하면 잘린 원뿔이 생성됩니다. 물론 우리는 직선형 원뿔에 대해서만 이야기하고 있음을 다시 한 번 알아두십시오(그림 7 참조).

쌀. 8. 잘린 원뿔의 밑면

몇 가지 의견을 제시해 보겠습니다. 완전한 원뿔의 밑면과 평면에 의한 원뿔 단면으로 인한 원을 잘린 원뿔의 밑면(하부 및 상단)이라고 합니다(그림 8 참조).

쌀. 9. 원뿔대 생성기

잘린 원뿔의 밑면 사이에 둘러싸인 완전한 원뿔 생성기의 세그먼트를 잘린 원뿔 생성기라고 합니다. 원래 원뿔의 모든 생성자가 동일하고 잘린 원뿔의 모든 생성자가 동일하므로 잘린 원뿔의 생성자는 동일합니다(잘린 원뿔과 잘린 원뿔을 혼동하지 마십시오!). 이는 사다리꼴의 축 단면이 이등변임을 의미합니다(그림 9 참조).

잘린 원뿔 내부에 둘러싸인 회전축 부분을 잘린 원뿔 축이라고합니다. 물론 이 세그먼트는 베이스의 중심을 연결합니다(그림 10 참조).

쌀. 10. 잘린 원뿔의 축

잘린 원뿔의 높이는 밑면 중 하나의 점에서 다른 밑면까지 그은 수직선입니다. 대부분의 경우 잘린 원뿔의 높이가 축으로 간주됩니다.

쌀. 11. 잘린 원뿔의 축 단면

잘린 원뿔의 축 단면은 축을 통과하는 단면입니다. 그것은 사다리꼴 모양을 가지고 있으며 조금 후에 그것이 이등변이라는 것을 증명할 것입니다 (그림 11 참조).

쌀. 12. 표기법이 도입된 원뿔

원뿔대의 옆면의 넓이를 구해 봅시다. 잘린 원뿔의 밑면은 반지름과 , 모선은 동일하다고 가정합니다(그림 12 참조).

쌀. 13. 절단된 원뿔의 모선 지정

잘린 원뿔의 측면 면적을 원래 원뿔의 측면 면적과 잘린 원뿔의 측면 면적의 차이로 구해 보겠습니다. 이를 위해 절단된 원뿔의 모선으로 표시하겠습니다(그림 13 참조).

그렇다면 당신이 찾고있는 것.

쌀. 14. 비슷한 삼각형

남은 것은 표현하는 것 뿐이다.

삼각형의 유사성으로부터 주목하십시오 (그림 14 참조).

, 반지름의 차이로 나누어 표현하면 되지만, 우리가 찾고 있는 제품이 우리가 찾고 있는 표현식에 나타나기 때문에 이것이 필요하지 않습니다. 를 대체하면 마침내 다음과 같은 결과를 얻습니다. .

이제 전체 표면적에 대한 공식을 쉽게 구할 수 있습니다. 이렇게하려면 밑면의 두 원의 면적을 추가하십시오. .

쌀. 15. 문제에 대한 그림

높이를 중심으로 직사각형 사다리꼴을 회전시켜 잘린 원뿔을 얻습니다. 사다리꼴의 중심선은 와 같고, 큰 측면은 과 같습니다(그림 15 참조). 결과로 나온 잘린 원뿔의 측면 표면적을 구합니다.

해결책

공식을 통해 우리는 다음을 알고 있습니다. .

원뿔의 모선은 원래 사다리꼴의 더 큰 쪽이 됩니다. 즉, 원뿔의 반경이 사다리꼴의 밑면이 됩니다. 우리는 그들을 찾을 수 없습니다. 그러나 우리는 필요하지 않습니다. 합만 필요하며 사다리꼴의 밑면의 합은 중간선의 두 배입니다. 즉, . 그 다음에 .

원뿔에 대해 이야기할 때 원뿔과 피라미드 사이에 평행선을 그렸습니다. 공식은 비슷했습니다. 잘린 원뿔은 잘린 피라미드와 매우 유사하기 때문에 잘린 원뿔과 피라미드의 측면 및 전체 표면적에 대한 공식(그리고 곧 부피에 대한 공식이 나올 것입니다)도 비슷합니다.

쌀. 1. 문제에 대한 그림

잘린 원뿔의 밑면의 반지름은 과 같고 모선은 와 같습니다. 잘린 원뿔의 높이와 축 단면의 면적을 구합니다(그림 1 참조).