패턴 곡선의 구성은 다음과 같이 수행됩니다.

먼저, 곡선에 속하는 점을 결정한 후 패턴을 사용하여 연결합니다. 패턴 곡선에는 평면, 나선형, 정현파 등으로 원형 원뿔을 절단하여 얻은 포물선, 쌍곡선, 타원의 소위 원뿔 단면이 포함됩니다.

1. 타원의 구성.

2. 타원 초점

3. 포물선의 구성

6. 패턴 곡선 그리기.

타원은 소위 패턴 곡선에 속하는 원뿔 단면입니다. 타원, 쌍곡선 및 포물선은 원뿔을 평면, 정현파, 나선형 및 기타 곡선으로 절단하여 얻습니다.

그림 41. 타원(a)과 타원(b)을 따른 평면에 의한 원뿔의 교차점.

패턴 곡선(포물선, 타원, 쌍곡선)을 구성하기 위해서는 곡선에 속하는 점을 결정한 후 모든 점을 패턴으로 연결합니다. 원뿔의 표면이 경사면 -P로 절단되어 경사면이 원뿔의 모든 모선과 교차하는 경우 단면 평면 자체에 타원이 형성됩니다. ).

타원은 각 점(M에서 주어진 두 점 F1 및 F2까지)의 거리의 합이 일정한 값인 편평한 폐곡선입니다. 이 상수 값은 타원의 장축 MF1 + MF2 = AB와 같습니다. 타원 CD의 단축과 장축 AB는 서로 수직이고 한 축이 다른 축을 절반으로 나눕니다.

그림 42. 축을 따라 타원 구성


따라서 축은 타원 곡선을 4개의 쌍으로 대칭적인 동일한 부분으로 나눕니다. 중심에서와 같이 단축 CD의 끝에서 타원의 장축 R=OA=OB의 절반과 동일한 반경을 갖는 원호를 묘사하면 점 F1과 F2에서 교차합니다. , 이를 초점이라고 합니다.

그림 42는 주어진 축 AB와 CD에서 직경과 마찬가지로 점 O를 중심으로 두 개의 동심원을 구성하는 예를 보여줍니다. 큰 원을 임의의 수의 부분으로 나누고 연결합니다. 결과 점은 중심 O를 향한 직선입니다.

교차점 1에서; 2; 삼; 4; 보조 원을 사용하여 타원에 속하는 점 E, F, K, M에서 서로 교차할 때까지 수평선과 수직선 세그먼트를 그립니다. 다음으로 패턴을 사용하여 구성된 부드러운 곡선의 점을 연결하고 결과는 타원입니다.

패턴 곡선의 구성, 포물선

그림 43. 포물선을 따라 있는 평면과 원뿔의 교차점. 초점과 준선을 사용하여 포물선 만들기.

경사면 P를 사용하여 모선 중 하나에 평행한 원형 원뿔을 자르면 단면 평면에 포물선이 형성됩니다(그림 43 a 참조). 포물선은 열린 평면 곡선입니다. 포물선의 각 점은 주어진 직선 -MN과 초점 -F로부터 같은 거리에 위치합니다.

직선 MN은 안내선이며 포물선 축에 수직으로 위치합니다. 안내선 -MN과 초점 -F 사이에서 포물선 A의 꼭지점은 중앙에 위치합니다. 초점과 주어진 안내선을 사용하여 초점 -F를 통해 포물선 축 -X, 수직 안내선 -MN을 그립니다.

세그먼트 EF를 반으로 나누고 포물선 A의 꼭지점을 얻습니다. 포물선의 꼭지점에서 임의의 거리에 포물선 축에 수직인 직선을 그립니다. 거리 -L과 동일한 반경을 갖는 지점 -F에서 해당 직선에서 가이드(예: CB)까지 직선을 만듭니다. 이 경우 C점과 B점은 다음과 같습니다.

여러 쌍의 대칭점을 구성한 후 패턴을 사용하여 이를 통해 부드러운 곡선을 그립니다. 그림 (43c)는 점 A와 B에서 두 개의 직선 OA와 OB에 접하는 포물선을 구성하는 예를 보여줍니다. 세그먼트 OA와 OB는 동일한 수의 동일한 부분으로 분할됩니다(예: 8개로 분할). 그런 다음 결과 분할 지점에 번호가 매겨지고 직선 1-1로 연결됩니다. 2-2; 3-3 (그림 43, c 참조) 등. 이 선은 포물선 곡선에 접합니다. 그런 다음 직선으로 형성된 윤곽에 부드러운 접선 포물선 곡선이 새겨집니다.

두 개의 생성선에 평행하거나 특별한 경우 축에 평행한 평면을 사용하여 직접 및 역방향 원뿔을 자르면 단면 평면에서 두 개의 대칭 가지로 구성된 쌍곡선을 얻을 수 있습니다(그림 45, a 참조) .

그림 45. 쌍곡선을 따른 평면에 의한 원뿔의 교차점(a) 및 쌍곡선의 구성(b).

쌍곡선(그림 45,b)은 각 점에서 초점이라고 하는 두 개의 주어진 점 F1 및 F2까지의 거리 차이가 일정한 값이고 정점 a와 b 사이의 거리와 동일한 평평한 곡선입니다. 예를 들어 SF1-SF2=ab. 쌍곡선에는 실수 AB와 허수 CD라는 두 개의 대칭축이 있습니다.

쌍곡선의 중심 O를 통과하고 무한대에서 가지에 닿는 두 직선 KL과 K1 L1을 점근선이라고 합니다. 쌍곡선은 주어진 정점 a와 b, 초점 F1과 F2로부터 구성될 수 있습니다. 우리는 직경과 마찬가지로 초점 거리(세그먼트 F1 및 F2)에서 구성된 원에 직사각형을 내접하여 쌍곡선의 꼭지점을 결정합니다.

초점 F2의 오른쪽에 있는 실제 축 AB에 임의의 1, 2, 3, 4, ...를 표시합니다. 초점 F1과 F2에서 먼저 반경 a-1, 그런 다음 b-1로 원호를 그립니다. 쌍곡선의 실수 축의 양쪽에 있는 상호 교차점입니다. 다음으로 반경 a-2와 b-2(점 S)를 갖는 다음 호 쌍의 상호 교차를 수행합니다.

호의 결과 교차점은 쌍곡선의 오른쪽 가지에 속합니다. 왼쪽 가지의 점은 가상 축 CD를 기준으로 구성된 점과 대칭입니다.

정현파는 원통형 나선을 따라 이동하는 점의 궤적을 원통형 축과 평행한 평면에 투영한 것입니다. 점의 운동은 균일한 회전 운동(원통 축 주위)과 균일한 병진 운동(원통에 평행)으로 구성됩니다.

그림 46. 정현파의 구성

사인파는 각도의 크기 변화에 따른 삼각 사인 함수의 변화를 보여주는 평평한 곡선입니다. 정현파(그림 46)를 구성하려면 직경 D인 원의 중심 O를 통해 직선 OX를 그리고 그 위에 원의 길이와 같은 세그먼트 O1 A를 그립니다. π 디. 우리는 이 세그먼트와 원을 같은 수의 동일한 부분으로 나눕니다. 획득하고 번호가 매겨진 점에서 서로 수직인 직선을 그립니다. 부드러운 곡선 패턴을 사용하여 이 선의 결과 교차점을 연결합니다.

패턴 곡선 그리기

패턴 곡선은 점으로 구성됩니다. 이 점들은 패턴을 사용하여 연결되며 먼저 손으로 곡선을 그립니다. 곡선의 개별 점을 연결하는 원리는 다음과 같습니다.

윤곽선이 있는 곡선의 가장 많은 점 수와 가장 잘 일치하는 패턴 호 부분을 선택합니다. 다음에는 패턴과 일치하는 곡선의 호 전체를 그리지 않고 가운데 부분만 그립니다. 그런 다음 패턴의 다른 부분을 선택합니다. 단, 이 부분은 그려진 곡선의 약 1/3과 곡선의 최소 2개 후속 점에 닿습니다. 이렇게 하면 곡선의 개별 호 사이의 부드러운 전환이 보장됩니다.

기사를 소셜 네트워크에 다시 게시하는 것이 좋습니다!

타원의 구성

타원은 닫힌 평면 볼록 곡선으로, 주축에 있는 초점이라고 하는 두 개의 주어진 점까지의 거리의 합은 일정하고 주축의 길이와 같습니다. 두 축을 따라 타원을 만드는 작업(그림 23)은 다음과 같이 수행됩니다.

• - 타원의 장축과 단축과 동일한 세그먼트 AB와 CD가 교차점 O에서 대칭으로 배치되는 축선을 그립니다.
• - 중심이 축의 교차점에 있는 타원 축의 절반과 동일한 반경을 가진 두 개의 원을 구성합니다.
• - 원을 12개의 동일한 부분으로 나눕니다. 원 분할은 2.3 단락에 표시된 대로 수행됩니다.
• - 획득된 점을 통해 직경 광선이 그려집니다.
• - 직선은 타원 축에 평행한 해당 원과 광선의 교차점에서 타원에 있는 점에서 서로 교차할 때까지 그려집니다.
• - 결과 점은 패턴을 사용하여 부드러운 곡선으로 연결됩니다. 패턴곡선을 구성할 때에는 최소한 4~5개의 점이 연결되도록 패턴을 선택하여 배치하는 것이 필요하다.

타원을 구성하는 다른 방법이 있습니다.

포물선 만들기

포물선은 편평한 곡선으로, 각 점이 준선 DD 1(포물선의 대칭축에 수직인 직선)과 대칭축에 있는 점인 초점 F에서 등거리에 있습니다. 준선과 초점 사이의 거리 KF를 포물선 매개변수라고 합니다. 피.

그림 24는 꼭지점 O, 축 OK 및 현 CD를 따라 포물선을 그리는 예를 보여줍니다. 건설은 다음과 같이 수행됩니다.

• - 꼭지점 O가 표시되고 OK 축이 그려지는 수평 직선을 그립니다.
• - 점 K를 통해 포물선의 현 길이가 위아래로 대칭으로 표시되는 수직선을 그립니다.
• - 한쪽이 축과 같고 다른 쪽이 포물선의 현과 같은 직사각형 ABCD를 구성합니다.
• - BC 변은 여러 개의 동일한 부분으로 나뉘고 KC는 동일한 수의 동일한 부분으로 분할됩니다.
• - 포물선 O의 꼭지점에서 광선은 점 1, 2 등을 통과하고 점 1 1, 2 1 등을 통해 그려집니다.
• - 축에 평행한 직선을 그리고 해당 평행선과 광선의 교차점을 결정합니다. 예를 들어 광선 O1과 포물선에 속하는 직선 O1 1의 교차점을 결정합니다.
• - 결과 점은 패턴 아래의 부드러운 곡선으로 연결됩니다. 포물선의 두 번째 가지도 비슷한 방식으로 구성됩니다.

포물선을 구성하는 다른 방법이 있습니다.

포물선을 만드는 방법? 이차 함수를 그래프로 표시하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 그들 각각에는 장단점이 있습니다. 두 가지 방법을 고려해 보겠습니다.

y=x²+bx+c 및 y= -x²+bx+c 형식의 2차 함수를 그리는 것부터 시작해 보겠습니다.

예.

함수 y=x²+2x-3을 그래프로 그려보세요.

해결책:

y=x²+2x-3은 2차 함수입니다. 그래프는 가지가 위로 올라가는 포물선입니다. 포물선 정점 좌표

꼭지점 (-1;-4)에서 우리는 포물선 y=x²의 그래프를 만듭니다 (좌표 원점에서와 같이. (0;0) 대신 - 꼭지점 (-1;-4). (-1; -4) 오른쪽으로 1단위, 위로 1단위, 왼쪽으로 1단위, 1단위 위로 이동한 다음 2 - 오른쪽, 4 - 위쪽, 2 - 왼쪽, 3 - 위쪽, 3 - 왼쪽, 9 - 위쪽 이 7개 점이 충분하지 않으면 오른쪽으로 4개, 위쪽으로 16개 등).

2차 함수 y= -x²+bx+c의 그래프는 가지가 아래쪽을 향하는 포물선입니다. 그래프를 구성하기 위해 꼭지점의 좌표를 찾고 그로부터 포물선 y= -x²를 구성합니다.

예.

함수 y= -x²+2x+8을 그래프로 그려보세요.

해결책:

y= -x²+2x+8은 2차 함수입니다. 그래프는 가지가 아래로 향하는 포물선입니다. 포물선 정점 좌표

위에서부터 포물선을 만듭니다. y= -x² (1 - 오른쪽, 1 - 아래, 1 - 왼쪽, 1 - 아래, 2 - 오른쪽, 4 - 아래, 2 - 왼쪽, 4 - 아래 등):

이 방법을 사용하면 포물선을 빠르게 만들 수 있으며 함수 y=x² 및 y= -x²를 그래프로 표시하는 방법을 알고 있으면 어려움이 발생하지 않습니다. 단점: 꼭지점의 좌표가 분수인 경우 그래프를 작성하는 것이 그리 편리하지 않습니다. 그래프와 Ox 축의 교차점의 정확한 값을 알아야 하는 경우 방정식 x²+bx+c=0(또는 -x²+bx+c=0)을 추가로 풀어야 합니다. 이러한 점을 도면에서 직접 결정할 수 있는 경우에도 마찬가지입니다.

포물선을 구성하는 또 다른 방법은 점을 사용하는 것입니다. 즉, 그래프에서 여러 점을 찾아 이를 통해 포물선을 그릴 수 있습니다(x=xₒ 선이 대칭축이라는 점을 고려). 일반적으로 이를 위해 포물선의 꼭지점, 그래프와 좌표축의 교차점 및 1-2개의 추가 점을 사용합니다.

함수 y=x²+5x+4의 그래프를 그립니다.

해결책:

y=x²+5x+4는 2차 함수입니다. 그래프는 가지가 위로 올라가는 포물선입니다. 포물선 정점 좌표

즉, 포물선의 꼭대기가 점(-2.5; -2.25)입니다.

를 찾고 있습니다 . Ox 축 y=0과의 교차점에서: x²+5x+4=0. 2차 방정식의 근은 x1=-1, x2=-4, 즉 그래프에 (-1; 0)과 (-4; 0) 두 점을 얻었습니다.

그래프와 Oy 축의 교차점에서 x=0: y=0²+5∙0+4=4. 우리는 포인트 (0; 4)를 얻었습니다.

그래프를 명확하게 하기 위해 추가 점을 찾을 수 있습니다. x=1, y=1²+5∙1+4=10, 즉 그래프의 또 다른 점은 (1; 10)입니다. 우리는 좌표평면에 이 점들을 표시합니다. 꼭지점을 통과하는 선을 기준으로 포물선의 대칭을 고려하여 (-5; 6) 및 (-6; 10)이라는 두 개의 점을 더 표시하고 이를 통해 포물선을 그립니다.

함수 y= -x²-3x를 그래프로 그려보세요.

해결책:

y= -x²-3x는 2차 함수입니다. 그래프는 가지가 아래로 향하는 포물선입니다. 포물선 정점 좌표

정점(-1.5, 2.25)은 포물선의 첫 번째 점입니다.

x축 y=0과 그래프의 교차점에서, 즉 방정식 -x²-3x=0을 풉니다. 그 근은 x=0과 x=-3, 즉 (0;0)과 (-3;0)입니다. 그래프에 두 개의 점이 더 있습니다. 점(o; 0)은 포물선과 세로축의 교차점이기도 합니다.

x=1 y=-1²-3∙1=-4에서, 즉 (1; -4)는 플롯을 위한 추가 점입니다.

점으로부터 포물선을 구성하는 것은 첫 번째 방법에 비해 더 노동 집약적인 방법입니다. 포물선이 Ox 축과 교차하지 않으면 더 많은 추가 점이 필요합니다.

y=ax²+bx+c 형식의 이차 함수 그래프를 계속 구성하기 전에 기하 변환을 사용하여 함수 그래프를 구성하는 방법을 고려해 보겠습니다. 또한 이러한 변환 중 하나인 병렬 변환을 사용하여 y=x²+c 형식의 함수 그래프를 구성하는 것이 가장 편리합니다.

카테고리: |

포물선을 만드는 것은 잘 알려진 수학 연산 중 하나입니다. 과학적 목적뿐만 아니라 순전히 실용적인 목적으로도 사용되는 경우가 많습니다. Excel 응용 도구를 사용하여 이 절차를 수행하는 방법을 알아 보겠습니다.

포물선은 다음 유형의 이차 함수 그래프입니다. f(x)=ax^2+bx+c. 그 놀라운 특성 중 하나는 포물선이 준선에서 등거리에 있는 일련의 점으로 구성된 대칭 도형의 형태를 갖는다는 사실입니다. 전반적으로 Excel에서 포물선을 구성하는 것은 이 프로그램의 다른 그래프를 구성하는 것과 크게 다르지 않습니다.

테이블 만들기

우선, 포물선을 만들기 전에 포물선을 만들 기초가 되는 테이블을 만들어야 합니다. 예를 들어, 함수 그래프의 구성을 살펴보겠습니다. 에프(엑스)=2x^2+7.

그래프 그리기

위에서 언급했듯이 이제 그래프 자체를 작성해야 합니다.

차트 편집

이제 결과 그래프를 약간 편집할 수 있습니다.

또한 이름 및 축 이름 변경을 포함하여 결과 포물선에 대한 다른 유형의 편집을 수행할 수 있습니다. 이러한 편집 기술은 Excel에서 다른 유형의 다이어그램으로 작업하는 범위를 벗어나지 않습니다.

보시다시피 Excel에서 포물선을 구성하는 것은 동일한 프로그램에서 다른 유형의 그래프 또는 다이어그램을 구성하는 것과 근본적으로 다르지 않습니다. 모든 작업은 미리 생성된 테이블을 기반으로 수행됩니다. 또한 산포도가 포물선을 구성하는 데 가장 적합하다는 점을 고려해야 합니다.

타원.원뿔의 표면을 경사면으로 자르면 아르 자형 모든 생성기와 교차하도록 단면 평면에서 타원을 얻습니다(그림 65).

그림 65

타원(그림 66) – 임의의 점으로부터의 거리의 합이 있는 편평한 폐곡선(예: 한 점으로부터) 중 ) 최대 2개의 주어진 포인트 F 1 그리고 F 2 – 타원의 초점 – 장축의 길이와 동일한 상수 값이 있습니다. AB (예를 들어, 여 1M + F 2 M = AB ).선분 AB 타원의 주축이라고 하며, 세그먼트는 CD - 그것의 작은 축. 타원의 축은 점에서 교차합니다. 영형- 타원의 중심과 그 크기에 따라 장축과 단축의 길이가 결정됩니다. 포인트들 F 1 그리고 F 2 주요 축에 위치 AB 점에 대해 대칭 영형 단축(점)의 끝에서 제거됩니다. 와 함께 그리고 디 ) 타원의 장축의 절반에 해당하는 거리 .

그림 66

타원을 만드는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 가장 쉬운 방법은 보조 원을 사용하여 두 축을 따라 타원을 구성하는 것입니다(그림 67). 이 경우 타원의 중심이 지정됩니다. 영형 이를 통해 서로 수직인 두 개의 직선이 그려집니다(그림 67, a). 시점에서 에 대한 반경이 장축과 단축의 절반인 두 개의 원을 설명합니다. 큰 원을 12등분하여 분할점을 점으로 연결합니다. 에 대한 . 그려진 선은 작은 원을 12개의 동일한 부분으로 나눕니다. 그런 다음 작은 원의 분할점을 통해 수평선(또는 타원의 장축에 평행한 직선)을 그리고 분할점을 통해 수직선(또는 타원의 단축에 평행한 직선)을 그립니다. 더 큰 원의. 교차점(예: 점 중 )는 타원에 속합니다. 결과 점을 부드러운 곡선으로 연결하면 타원이 얻어집니다(그림 67, b).

그림 67

포물선.원뿔을 평면으로 자르면 아르 자형 , 생성선 중 하나에 평행하면 단면 평면에서 포물선이 얻어집니다(그림 68).

그림 68

포물선(그림 69) – 각 점이 주어진 직선으로부터 동일한 거리에 있는 평평한 곡선 DD 1 , 라고 불리는 여자 교장, 및 포인트 에프 - 포물선의 초점. 예를 들어 점의 경우 중 세그먼트 미네소타 (교장까지의 거리) 그리고 M.F. (초점까지의 거리)는 동일합니다. 즉 미네소타 = M.F. .

포물선은 포물선의 초점(점)을 통과하는 하나의 대칭 축을 가진 열린 곡선 모양입니다. 에프 디렉터와 수직으로 위치합니다. DD 1 .정확한 ㅏ , 세그먼트 중앙에 위치 의 , 라고 불리는 포물선의 꼭지점. 초점에서 준선까지의 거리 - 세그먼트 의 = 2'OA – 문자로 표시 아르 자형 그리고 전화해 포물선 매개변수. 매개변수가 클수록 아르 자형 , 포물선의 가지가 축에서 멀어질수록 더 급격하게 이동합니다. 포물선의 축에 대해 대칭으로 위치한 포물선의 두 점 사이에 둘러싸인 선분을 호출합니다. 현(예를 들어, 코드 MK ).

그림 69

방향선 DD 1과 초점 F로부터 포물선 만들기(그림 70, a) . 포인트를 통해 에프 그 점에서 준선과 교차할 때까지 준선에 수직인 포물선의 축을 그립니다. 에 대한. 선분 의 = 피 반으로 나누고 포인트를 얻으세요 ㅏ - 포물선의 꼭대기. 점 포물선의 축에서 ㅏ 점차적으로 증가하는 여러 섹션을 배치하십시오. 분할점을 통해 1, 2, 3 그것. D. 준선에 평행한 직선을 그립니다. 포물선의 초점을 중심으로 하여 반지름이 있는 호를 나타냅니다. R 1 =L 1 1 ,반지름 R2 = L2 한 점을 통과하는 선과 교차할 때까지 2 등. 결과 점은 포물선에 속합니다. 먼저 손으로 얇고 매끄러운 선으로 연결한 다음 패턴을 따라 추적합니다.

축, 꼭지점 A 및 중간점 M을 따라 포물선 구성(그림 70, b). 상단을 통해 ㅏ 포물선의 축에 수직인 직선을 그리고 그 점을 지나게 하세요. 중 - 축에 평행한 직선. 두 선은 한 점에서 교차합니다. 비 . 세그먼트 AB 그리고 B.M. 같은 수의 동일한 부분으로 나누어지며, 구분점은 화살표 방향으로 번호가 매겨져 있습니다. 상단을 통해 ㅏ 그리고 점 1 , 2 , 3 , 4 광선을 전도하고 점에서 나 , II , III ,IV - 포물선의 축에 평행한 직선. 같은 숫자로 표시된 선의 교차점에는 포물선에 속하는 점이 있습니다. 포물선의 두 가지가 모두 동일하므로 다른 가지가 현을 사용하여 첫 번째 가지와 대칭으로 만들어집니다.

그림 70

주어진 점 A와 B에서 두 직선 OA와 OB에 접하는 포물선 작도(그림 71, b). 세그먼트 O.A. 그리고 산부인과 동일한 수의 동일한 부분(예: 8개 부분)으로 나눕니다. 결과 분할점에는 번호가 매겨지고 동일한 이름의 점은 직선으로 연결됩니다. 1–1 , 2 –2 , 3 –3 등 . 디 . 이 선은 포물선 곡선에 접합니다. 다음으로, 직선으로 형성된 윤곽에 부드러운 접선(포물선)이 새겨집니다. .

그림 71

쌍곡선.두 개의 생성선에 평행하거나 특별한 경우 축에 평행한 평면을 사용하여 직접 및 역방향 원뿔을 자르면 단면 평면에서 두 개의 대칭 가지로 구성된 쌍곡선을 얻을 수 있습니다(그림 72, a).

과장법(그림 72, b)는 점들의 집합인 개방형 평면 곡선이라고 불리며, 주어진 두 점으로부터의 거리 차이는 일정한 값입니다.

그림 72

상수점 F 1 그리고 F 2 호출된다 트릭 , 그리고 그들 사이의 거리는 초점 거리 . 선분( 여 1M 그리고 여 2M ), 임의의 지점 연결( 중 ) 초점이 있는 곡선을 호출합니다. 반경 벡터과장법 . 포인트와 초점 거리의 차이 F 1 그리고 F 2 는 상수 값이고 정점 사이의 거리와 같습니다. ㅏ 그리고 비 과장법; 예를 들어 점의 경우 중 가질 것이다: F 1 M -F 2 M = ab. 쌍곡선은 두 개의 열린 가지로 구성되며 서로 수직인 두 개의 축을 갖습니다. 유효한 AB 그리고 상상의 CD. 직접 pq 그리고 RS, 중앙을 지나 영형 ,라고 불린다 점근선 .

이러한 점근선을 사용하여 쌍곡선 만들기 pq 그리고 RS, 트릭 F 1 그리고 F 2 그림 72에 표시됨, b.

실제 축 AB 쌍곡선은 점근선에 의해 형성된 각도의 이등분선입니다. 가상축 CD 수직 AB 그리고 그 지점을 지나 에 대한. 트릭을 가지고 F 1 그리고 F2, 정점 정의 ㅏ 그리고 비 쌍곡선, 왜 세그먼트에 있습니까? 여 1 여 2 점근선과 교차하는 반원을 구성합니다. 중 그리고 피. 이 지점에서 수직선이 축 위로 낮아집니다. AB 그리고 그것의 교차점에서 우리는 정점을 얻습니다 ㅏ 그리고 비 과장법.

직선 위에 쌍곡선의 오른쪽 가지를 구성하려면 AB 초점 오른쪽에 F 1 임의의 점을 표시하다 1 , 2 , 3 , ..., 5. 포인트들 V 그리고 V1 세그먼트를 취하면 쌍곡선이 얻어집니다. a5 반경을 넘어 지점에서 F2 점에서 표시된 원호를 그립니다. F1, 반경은 다음과 같습니다. b5. 쌍곡선의 나머지 점은 설명된 것과 유사하게 구성됩니다.

때로는 점근선이 있는 쌍곡선을 만들어야 할 때도 있습니다. 오 그리고 오오 서로 수직입니다(그림 73). 이 경우 실제 축과 가상 축은 bis가 됩니다. 와 함께 직각의 운동. 구성하려면 쌍곡선의 점 중 하나가 지정됩니다. 예를 들어 다음과 같습니다. ㅏ.

그림 73

포인트를 통해 ㅏ 직접 수행하다 AK 그리고 오전. , 축에 평행 오 그리고 너 .시작지점 영형 답장 와 함께 에 대한 개념 와 함께 그들은 그녀에게 직접 제공 와 함께 직선 오전. 그리고 AK 포인트에서 1 , 2 , 3 , 4 그리고 1" , 2" , 3" , 4" . 다음으로, 이 선과의 교차점에서 서로 교차할 때까지 수직 및 수평 세그먼트가 그려집니다. I, II, III, IV 등. 쌍곡선의 결과 점은 패턴을 사용하여 연결됩니다. . 포인트들 1, 2, 3, 4 수직선에 위치한 것은 임의로 촬영됩니다. .

원의 나선형또는 서클의 개발. 원의 나선형이 직선을 정지된 원(원의 전개 및 직선화에 의해 형성된 원 점의 궤적)을 따라 미끄러지지 않고 굴리면 직선의 각 점으로 표시되는 것을 평평한 곡선이라고 합니다(그림 74).

나선형을 구성하려면 원의 지름을 지정하는 것으로 충분합니다. 디 그리고 포인트의 초기 위치 ㅏ (가리키다 0 ). 포인트를 통해 0 원에 접선을 그리고 그 위에 주어진 원의 길이를 그려보세요. 디 . 결과 세그먼트와 원은 동일한 수의 부품으로 분할되고 이에 대한 접선은 원의 분할 점을 통해 한 방향으로 그려집니다. 각 접선에는 수평선에서 가져온 세그먼트가 동일하게 배치됩니다. 1A 1 = A 0 1 , 2A 2 = VA 0 2 , 3A 3 = A 0 3 등.; 결과 점은 패턴에 따라 연결됩니다.

그림 74

아르키메데스 나선- 점으로 표현되는 평평한 곡선 ㅏ , 고정점을 중심으로 균일하게 회전 – 극 에 대한 동시에 균등하게 멀어집니다(그림 75). 직선을 360° 회전할 때 한 점이 이동한 거리를 나선형 피치라고 합니다. 아르키메데스 나선에 속하는 점은 곡선의 정의를 기반으로 구성되어 회전 단계와 방향을 지정합니다.

주어진 피치(세그먼트 OA)와 시계 방향 회전 방향을 사용하여 아르키메데스 나선 구성(그림 75).점을 통해 에 대한 직선을 그리고 그 위에 나선형 피치를 표시하세요 O.A. 그리고 그것을 반지름으로 삼아 원을 그리세요. 원과 세그먼트 O.A. 12등분으로 나눴습니다. 반지름은 원의 분할 지점을 통해 그려집니다. O1 , O2 , O3 등등 그리고 그 지점에서 그들에 에 대한 원 반경의 1/12, 2/12, 3/12 등의 호를 사용하여 배치됩니다. 결과 점은 부드러운 곡선의 패턴을 따라 연결됩니다.

아르키메데스 나선은 열린 곡선이며, 필요한 경우 원하는 만큼 회전할 수 있습니다. 두 번째 회전을 구성하려면 반지름이 있는 원을 설명하세요. 아르 자형 = 2OA 이전의 모든 구성을 반복합니다.

그림 75

사인파.사인파이동하는 점의 궤적을 투영한 것이라고 합니다. 와 함께 나는 원통형이다 와 함께 원통 축과 평행한 평면에 있는 나선 . 점의 운동은 등속 회전 운동(원통 축 주위)과 등속 병진 운동(원통 축에 평행)으로 구성됩니다. . 사인파는 각도 변화에 따른 삼각 사인 함수의 변화를 나타내는 평평한 곡선입니다. .

중심을 통해 정현파(그림 76)를 만들려면 에 대한 원 직경 디 직접 수행하다 오 그 위에 세그먼트가 놓여 있습니다. 0 1A , 원주와 동일 디. 이 세그먼트와 원은 동일한 수의 동일한 부분으로 나뉩니다. 획득하고 번호가 매겨진 점으로부터 상호 수직인 직선이 그려집니다. 이 선의 결과 교차점은 부드러운 곡선 패턴을 사용하여 연결됩니다.

그림 76

카디오이드. 카디오이드(그림 77) 호출 와 함께 나는 원 안의 한 점의 닫힌 궤적입니다 와 함께 같은 반경의 정지된 원을 따라 미끄러지지 않고 구르는 것 .

그림 77

중앙에서 에 대한 주어진 반경의 원을 그리고 그 위에 임의의 점을 찍습니다. 중. 이 지점을 통해 일련의 시컨트가 그려집니다. 각 시컨트에는 원과 교차하는 지점의 양쪽에 원의 직경과 동일한 세그먼트가 놓여 있습니다. M1. 응, 시컨트 III3MIII 1 원의 한 지점에서 교차합니다. 3 ;이 시점부터 세그먼트가 해제됩니다. 3III 그리고 3III 1, 직경과 같음 M1. 포인트들 III 그리고 III 1 , 카디오이드에 속함 . 비슷하게, 와 함께 현재의 IV4MIV 1 답장 와 함께 한 지점에 원을 그리다 4; 세그먼트는 이 지점부터 배치됩니다. IV4 그리고 4IV 1, 직경과 같음 M1, 포인트를 얻다 IV 그리고 IV 1 등.

발견된 점은 그림 77과 같이 곡선으로 연결됩니다.

사이클로이드 곡선. 사이클로이드 – 직선이나 원을 따라 미끄러지지 않고 구르는 원에 속하는 점으로 묘사되는 평면 곡선 . 원이 직선으로 굴러가면 점은 다음과 같은 곡선을 나타냅니다. 사이클로이드.

원이 다른 원을 따라 굴러가면(볼록한 부분을 따라) 그 점은 다음과 같은 곡선을 나타냅니다. 에피사이클로이드 .

원이 다른 원을 따라 굴러가면(오목한 부분을 따라) 그 점은 다음과 같은 곡선을 나타냅니다. 하이포사이클로이드 . 점이 위치한 원을 원이라고 합니다. 생산 . 원이 굴러가는 선을 가이드 .

사이클로이드를 만들려면(그림 78) 주어진 반경의 원을 그립니다. 아르 자형 ; 그 출발점을 잡아라 ㅏ 그리고 가이드라인을 그려주세요 AB, 원이 굴러가는 방향 .

그림 78

주어진 원을 12개의 동일한 부분(점)으로 나눕니다. 1" , 2" , 3" , ..., 12"). 요점이라면 ㅏ 변화 와 함께 젖꼭지 와 함께 나는 어떤 입장에 있다 에이 12 , 세그먼트 AA 12 주어진 원주 길이와 같을 것입니다 와 함께 타이, 즉 . 중심선을 그리세요 오 – 오 12 원주적으로 생산 와 함께 티, 같음 , 그리고 그것을 12등분으로 나누세요. 포인트 받기 오 1 ,O2 ,오 3 ,..., O 12 , 이는 생성 원의 중심입니다. 와 함께 너 . 이 점에서 원을 그립니다. 와 함께 ty (또는 주변의 호 와 함께 tey) 주어진 반경의 아르 자형 , 라인에 닿는 AB 포인트에서 1,2, 3, ..., 12. 각 접촉점에서 해당 원에 점이 이동한 양과 동일한 호 길이를 그리는 경우 ㅏ , 그러면 사이클로이드에 속하는 포인트를 얻습니다. 예를 들어 포인트를 얻으려면 A 5 사이클로이드는 중심에서 따라온다 오 5 접촉점에서 원을 그리다 5 둘레에 호를 그리다 A5, 동일 A5", 아니면 지점에서 5" 직선을 평행하게 그리다 AB, 그 지점의 교차점으로 A 5 그려진 원으로 . 사이클로이드의 다른 모든 점은 유사하게 구성됩니다. .

에피사이클로이드는 다음과 같이 구성됩니다.그림 79는 생성되는 원 반경을 보여줍니다. 와 함께 ㅏ 아르 자형 센터와 함께 아 0 , 출발점 ㅏ 그 위에 가이드의 호가 그려져 있습니다. 와 함께 당신은 라디오 와 함께 ㅏ R 1 그것이 굴러가는 것 와 함께 나는 원이다. 에피사이클로이드의 구성은 사이클로이드의 구성과 유사합니다. 즉, 주어진 원을 12개의 동일한 부분(점)으로 나눕니다. 1" , 2" , 3" , ...,12"), 이 원의 각 부분은 한 점에서 떨어져 있습니다 ㅏ 호를 따라 AB 12번(점 1 , 2 , 3 , ..., 12) 그리고 호 길이를 얻으세요 AA 12 . 이 길이는 각도를 사용하여 결정될 수 있습니다. .

중심에서 더 멀리 에 대한 반경은 다음과 같습니다. OO 0 , 생성하는 원의 중심선을 그리고 반경을 그립니다. 01 , 02 , 03 , ...,012 , 중심선과 교차할 때까지 계속해서 중심을 얻습니다. 오 1, 오 2, ..., 오 12 원 생성 . 반경이 다음과 같은 중심에서 아르 자형 , 그들이 만든 원 또는 원호를 그리고 와 함께 곡선의 어느 지점; 그래서 요점을 파악하려면 4초 점검해야 한다 와 함께 주위에 호를 그리다 와 함께 티 반경 O4" 중앙에서 그린 원과 교차할 때까지 O4. 다른 점들도 비슷하게 구성되어 부드러운 곡선으로 연결됩니다. .

그림 79

관련 정보.