GBOU 중등학교 No. 149, 상트페테르부르크

수업 요약

노비코바 올가 니콜라예브나

2016년

주제: "지수 방정식과 부등식 시스템."

수업 목표:

교육적인:

방정식과 부등식 시스템에 포함된 지수 방정식과 부등식을 해결하는 방법에 대한 지식을 일반화하고 통합합니다.

개발 중: 활성화 인지 활동; 자제력과 자존감 기술 개발, 자신의 활동에 대한 자기 분석.

교육적인: 독립적으로 일하는 능력을 개발합니다. 결정을 내리고 결론을 도출합니다. 자기 교육과 자기 개선에 대한 열망을 키우는 것입니다.

수업 유형 : 결합된.

수업 유형: 워크샵 레슨.

수업 중에는

나. 정리 시간(1 분)

수업 목표 설명: 방정식과 부등식 시스템에 포함된 지수 방정식과 부등식을 푸는 방법에 대한 지식을 일반화하고 통합합니다.지수 함수의 속성을 기반으로 합니다.

II. 구두 작업(1분)

지수 방정식의 정의.
지수 방정식을 푸는 방법.
지수 부등식을 해결하기 위한 알고리즘.

III . 시험 숙제(3분)

학생들은 제자리에 있습니다. 교사는 답을 확인하고 지수 방정식과 부등식을 푸는 방법을 묻습니다. 228~231호(홀수)

나V. 기본 지식을 업데이트합니다. "영감": (3분)

질문은 학생들의 책상에 있는 "지수 함수, 방정식, 부등식"의 인쇄된 시트에 표시되며 학생들에게 자리에서 구두 답변을 제공합니다.

1. 지수라고 불리는 함수는 무엇입니까?

2. 함수의 영역은 무엇입니까 y= 0,5엑스?

3. 지수함수 정의 영역은 무엇입니까?

4. 기능의 범위는 무엇입니까 y= 0,5엑스?

5. 함수는 어떤 속성을 가질 수 있나요?

6. 지수함수는 어떤 조건에서 증가하는가?

7. 지수함수는 어떤 조건에서 감소하는가?

8. 지수 함수가 증가하거나 감소합니다.

9. 지수라고 불리는 방정식은 무엇입니까?

실무 능력 형성 수준 진단.

10번 과제: 노트에 해결책을 적어보세요. (7분)

10. 증가하고 감소하는 지수 함수의 속성을 알고 부등식을 해결합니다.

2 3 < 2 엑스 ;
; 3 엑스 < 81 ; 3 엑스 < 3 4

11 . 방정식을 푼다: 3 엑스 = 1

12 . 7.8 0 을 계산합니다. 9.8 0

13 . 지수 방정식을 푸는 방법을 나타내고 이를 푸십시오.

완료 후 쌍은 나뭇잎을 교환합니다. 서로를 평가합니다. 보드의 기준. 파일의 시트 항목을 확인합니다.

따라서 우리는 지수 함수의 속성과 지수 방정식을 푸는 방법을 반복했습니다.

교사는 2~3명의 학생의 과제를 선택적으로 받아 평가합니다.

솔루션 워크숍 시스템 지수 방정식과 부등식: (23분)

지수 함수의 속성을 기반으로 지수 방정식과 부등식 시스템을 푸는 것을 고려해 봅시다.

지수 방정식 및 부등식 시스템을 풀 때 대수 방정식 및 부등식 시스템을 풀 때와 동일한 기술(대체 방법, 덧셈 방법, 새 변수 도입 방법)이 사용됩니다. 많은 경우, 하나 또는 다른 솔루션 방법을 적용하기 전에 시스템의 각 방정식(부등식)을 가능한 가장 간단한 형식으로 변환해야 합니다.

예.

1.

해결책:

답변: (-7; 3); (1; -1).

2.

해결책:

2를 나타내자 엑스= 너, 3 와이= v. 그러면 시스템은 다음과 같이 작성됩니다.

대체 방법을 사용하여 이 시스템을 풀어보겠습니다.

방정식 2 엑스= -2에는 해가 없습니다. 왜냐하면 -2<0, а 2 엑스> 0.

비)

답변: (2;1).

№244(1)

답: 1.5; 2

요약. 반사. (5 분)

수업 요약: 오늘 우리는 지수 함수의 속성을 기반으로 시스템에 포함된 지수 방정식과 부등식을 해결하는 방법에 대한 지식을 반복하고 일반화했습니다.

어린이들은 아래에 제시된 문구 중에서 문구를 하나씩 선택하여 계속하도록 요청받습니다.

반사:

오늘 알았다...

그것은 어려웠다…

나는 이해…

독학 했어요 또는 혼자 배웠습니다...

그럴 수도 있지)…

그것을 아는 것이 흥미로웠습니다 ...

놀랐습니다...

나는 원했다…

숙제. (2분)

240~242호(홀수) p.86

이번 단원에서는 보다 복잡한 지수 방정식을 푸는 방법을 살펴보고 지수 함수에 관한 기본 이론적 원리를 기억해 보겠습니다.

1. 지수 함수의 정의 및 속성, 가장 간단한 지수 방정식을 푸는 방법

지수 함수의 정의와 기본 속성을 기억해 보겠습니다. 모든 지수 방정식과 부등식의 해는 이러한 속성을 기반으로 합니다.

지수 함수는 형식의 함수입니다. 밑은 차수이고 여기서 x는 독립 변수인 인수입니다. y는 종속변수인 함수입니다.

쌀. 1. 지수함수 그래프

그래프는 증가하는 지수와 감소하는 지수를 보여주며, 각각 밑이 1보다 크고 1보다 작지만 0보다 큰 지수 함수를 보여줍니다.

두 곡선 모두 점 (0;1)을 통과합니다.

지수 함수의 속성:

도메인: ;

값 범위: ;

함수는 단조적이며, 증가하고 감소합니다.

단조 함수는 단일 인수 값이 주어지면 각 값을 취합니다.

인수가 마이너스에서 플러스 무한대로 증가하면 함수도 0(포함)에서 플러스 무한대로 증가합니다. 반대로 인수가 마이너스에서 플러스 무한대로 증가하면 함수는 무한대에서 0으로 감소합니다.

2. 표준 지수 방정식 풀기

가장 간단한 지수 방정식을 푸는 방법을 상기시켜 드리겠습니다. 그들의 해법은 지수 함수의 단조성에 기초합니다. 거의 모든 복잡한 지수 방정식은 이러한 방정식으로 축소될 수 있습니다.

동일한 밑수를 갖는 지수의 동일성은 지수 함수의 속성, 즉 단조성 때문입니다.

해결 방법:

도의 기준을 동일하게 합니다.

지수를 동일시하십시오.

더 복잡한 지수 방정식을 고려해 보겠습니다. 우리의 목표는 각 방정식을 가장 간단한 방정식으로 줄이는 것입니다.

왼쪽의 루트를 제거하고 각도를 동일한 베이스로 가져옵니다.

복잡한 지수 방정식을 가장 간단한 것으로 줄이기 위해 변수 대체가 자주 사용됩니다.

power 속성을 사용해 보겠습니다.

대체품을 소개하고 있습니다. 그럼 그렇게 놔두세요

결과 방정식에 2를 곱하고 모든 항을 왼쪽으로 옮깁니다.

첫 번째 근은 y 값의 범위를 충족하지 않으므로 이를 버립니다. 우리는 다음을 얻습니다:

동일한 지표로 각도를 줄여 보겠습니다.

대체품을 소개하겠습니다.

그럼 그렇게 놔두세요 . 이러한 대체를 사용하면 y가 양수 값을 취하는 것이 분명합니다. 우리는 다음을 얻습니다:

우리는 이러한 이차 방정식을 푸는 방법을 알고 있으며 답을 적을 수 있습니다.

근이 올바르게 발견되었는지 확인하려면 Vieta의 정리를 사용하여 확인할 수 있습니다. 즉, 근과 그 곱의 합을 찾아 방정식의 해당 계수와 비교할 수 있습니다.

우리는 다음을 얻습니다:

3. 2차 동차 지수 방정식을 풀기 위한 방법론

다음과 같은 중요한 유형의 지수 방정식을 연구해 보겠습니다.

이러한 유형의 방정식은 함수 f와 g에 대해 2차 동차 방정식이라고 합니다. 왼쪽에는 매개변수 g가 있는 f에 대한 제곱 삼항식이 있거나 매개변수 f가 있는 g에 대한 제곱 삼항식이 있습니다.

해결 방법:

이 방정식은 이차 방정식으로 풀 수 있지만 다르게 푸는 것이 더 쉽습니다. 고려해야 할 두 가지 경우가 있습니다.

첫 번째 경우에 우리는 얻는다.

두 번째 경우, 우리는 최고 등급으로 나누어 다음을 얻을 권리가 있습니다.

변수의 변화를 도입할 필요가 있으며, y에 대한 2차 방정식을 얻습니다.

함수 f와 g는 무엇이든 될 수 있지만 이것이 지수 함수인 경우에 관심이 있습니다.

4. 동차 방정식 풀기의 예

모든 항을 방정식의 왼쪽으로 옮깁니다.

지수 함수는 엄격하게 양수 값을 획득하므로 방정식을 다음과 같은 경우를 고려하지 않고 즉시 나눌 권리가 있습니다.

우리는 다음을 얻습니다:

대체품을 소개하겠습니다. (지수 함수의 속성에 따라)

우리는 이차 방정식을 얻었습니다:

Vieta의 정리를 사용하여 근을 결정합니다.

첫 번째 근은 y 값의 범위를 만족하지 않으므로 이를 버리고 다음을 얻습니다.

각도의 속성을 사용하여 모든 각도를 간단한 기본으로 줄여보겠습니다.

함수 f와 g를 알아보는 것은 쉽습니다.

연립방정식을 푸는 방법

우선, 연립방정식을 풀기 위해 일반적으로 존재하는 방법이 무엇인지 간단히 생각해 보겠습니다.

존재하다 네 가지 주요 방법방정식 시스템에 대한 해법:

대입법: 주어진 방정식 중 하나를 취하고 $y$를 $x$로 표현한 다음 $y$를 시스템 방정식에 대입하여 변수 $x.$를 찾은 후 쉽게 계산할 수 있습니다. 변수 $y.$

덧셈 방법: 이 방법에서는 하나 또는 두 방정식에 두 방정식을 더할 때 변수 중 하나가 "사라지는" 숫자를 곱해야 합니다.

그래픽 방법: 시스템의 두 방정식이 모두 좌표평면교차점이 발견됩니다.

새로운 변수를 도입하는 방법: 이 방법에서는 시스템을 단순화하기 위해 일부 표현식을 대체한 다음 위의 방법 중 하나를 사용합니다.

지수 방정식 시스템

정의 1

지수 방정식으로 구성된 방정식 시스템을 지수 방정식 시스템이라고 합니다.

예제를 사용하여 지수 방정식 시스템을 푸는 것을 고려해 보겠습니다.

실시예 1

연립방정식 풀기

그림 1.

해결책.

우리는 이 시스템을 해결하기 위해 첫 번째 방법을 사용할 것입니다. 먼저 첫 번째 방정식의 $y$를 $x$로 표현해 보겠습니다.

그림 2.

$y$를 두 번째 방정식으로 대체해 보겠습니다.

\ \ \[-2-x=2\] \ \

답변: $(-4,6)$.

실시예 2

연립방정식 풀기

그림 3.

해결책.

이 시스템은 시스템과 동일합니다.

그림 4.

방정식을 푸는 네 번째 방법을 적용해 보겠습니다. $2^x=u\ (u >0)$, $3^y=v\ (v >0)$라고 하면 다음을 얻습니다.

그림 5.

덧셈법을 사용하여 결과 시스템을 풀어보겠습니다. 방정식을 더해 보겠습니다.

\ \

그런 다음 두 번째 방정식에서 다음을 얻습니다.

대체품으로 돌아가서 새로운 지수 방정식 시스템을 받았습니다.

그림 6.

우리는 다음을 얻습니다:

그림 7.

답변: $(0,1)$.

지수 불평등 시스템

정의 2

지수 방정식으로 구성된 불평등 시스템을 지수 불평등 시스템이라고 합니다.

예제를 사용하여 지수 불평등 시스템을 해결하는 것을 고려해 보겠습니다.

실시예 3

불평등의 시스템을 해결

그림 8.

해결책:

이 불평등 시스템은 다음 시스템과 동일합니다.

그림 9.

첫 번째 부등식을 풀려면 지수 부등식의 동등성에 관한 다음 정리를 기억하세요.

정리 1.불평등 $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, 여기서 $a >0,a\ne 1$는 두 시스템의 모음과 같습니다.

\}