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무차원 재료 점 및 다른 참조 시스템. 머티리얼 포인트란? 머티리얼 포인트는 어떻게 지정되나요?

무차원 재료 점 및 다른 참조 시스템. 머티리얼 포인트란? 머티리얼 포인트는 어떻게 지정되나요?

소재 포인트

소재 포인트(입자) - 역학에서 가장 단순한 물리적 모델 - 차원이 0인 이상적인 물체, 연구 중인 문제의 가정 내에서 다른 차원이나 거리에 비해 물체의 차원이 무한히 작다고 생각할 수도 있습니다. 공간에서 재료 점의 위치는 기하학적 점의 위치로 정의됩니다.

실제로 점은 이 문제를 풀 때 무시할 수 있는 크기와 모양이 있는 질량을 가진 몸체로 이해됩니다.

신체의 직선 운동으로 하나의 좌표축으로 위치를 결정하기에 충분합니다.

특색

특정 시간에 물질 점의 질량, 위치 및 속도는 그 거동과 물리적 특성을 완전히 결정합니다.

결과

기계적 에너지는 공간에서 운동의 운동 에너지 및 (또는) 장과의 상호 작용의 잠재적 에너지의 형태로만 물질 점에 의해 저장될 수 있습니다. 이것은 자동으로 재질 점이 변형(절대 강체만 재질 점이라고 할 수 있음) 및 자체 축을 중심으로 회전할 수 없으며 공간에서 이 축의 방향으로 변경될 수 없음을 의미합니다. 동시에 어떤 순간적인 회전 중심으로부터의 거리와 이 점과 중심을 연결하는 선의 방향을 설정하는 두 개의 오일러 각으로 구성된 물질 점으로 설명되는 신체 운동 모델은 매우 널리 사용됩니다. 역학의 많은 부분에서.

제한

재료 점 개념의 제한된 적용은 다음 예에서 분명합니다. 높은 온도각 분자의 크기는 분자 사이의 일반적인 거리에 비해 매우 작습니다. 그것들은 무시될 수 있고 분자는 물질적인 점으로 간주될 수 있는 것처럼 보일 것입니다. 그러나 이것은 항상 그런 것은 아닙니다. 분자의 진동과 회전은 분자의 "내부 에너지"의 중요한 저장소이며, "용량"은 분자의 크기, 구조 및 화학적 특성. 좋은 근사치에서 단원자 분자(비활성 기체, 금속 증기 등)는 때때로 물질 점으로 간주될 수 있지만, 충분히 높은 온도에서 이러한 분자에서도 분자 충돌로 인해 전자 껍질의 여기가 관찰되고, 방출로.

메모

위키미디어 재단. 2010년 .

기계적 움직임
절대적으로 단단한 몸

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소재 포인트 현대 백과사전

소재 포인트- 역학에서: 무한히 작은 몸체. 러시아어에 포함된 외국어 사전. Chudinov A.N., 1910 ... 러시아어 외국어 사전

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재료 포인트- 질량이 있는 점 ... 폴리테크닉 용어 해설 사전

서적

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결과

제한

물질 점 개념의 적용의 한계는 이 예에서 볼 수 있습니다. 고온의 희박 가스에서 각 분자의 크기는 분자 사이의 일반적인 거리에 비해 매우 작습니다. 그것들은 무시될 수 있고 분자는 물질적인 점으로 간주될 수 있는 것처럼 보일 것입니다. 그러나 이것이 항상 그런 것은 아닙니다. 분자의 진동과 회전은 분자의 "내부 에너지"의 중요한 저장소이며, 그 "용량"은 분자의 크기, 구조 및 화학적 특성에 의해 결정됩니다. 좋은 근사치에서 단원자 분자(비활성 기체, 금속 증기 등)는 때때로 물질 점으로 간주될 수 있지만, 충분히 높은 온도에서 이러한 분자에서도 분자 충돌로 인해 전자 껍질의 여기가 관찰되고, 방출로.

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소개

교훈 자료는 엔지니어링 및 기술 전문 프로그램에 따라 역학 과정을 공부하는 GUTsMiZ 통신 부서의 모든 전문 분야의 학생들을 대상으로합니다.

강의 자료에는 파트 타임 학생의 교육 수준에 맞게 조정 된 연구 주제에 대한 이론 요약, 솔루션 예가 포함되어 있습니다. 일반적인 작업, 시험, 참고 자료에서 학생들에게 제공되는 것과 유사한 질문 및 작업.

이러한 자료의 목적은 시간제 학생이 유추 방법을 사용하여 짧은 시간에 병진 및 회전 운동의 운동학적 설명을 독립적으로 마스터하도록 돕는 것입니다. 수치 및 질적 문제를 해결하는 방법을 배우고 물리량의 차원과 관련된 문제를 이해합니다.

특수 분야의 연구에 필요한 물리학의 기초를 더 깊고 의식적으로 동화시키는 방법 중 하나로 질적 문제를 해결하는 데 특히주의를 기울입니다. 자연 현상의 의미를 이해하고 물리 법칙의 본질을 이해하며 적용 범위를 명확히 하는 데 도움이 됩니다.

교훈적인 자료는 풀타임 학생에게 유용할 수 있습니다.

운동학

기계적 운동을 연구하는 물리학의 일부는 역학 . 기계적 운동은 시간이 지남에 따라 신체 또는 부품의 상대적 위치가 변화하는 것으로 이해됩니다.

운동학 - 역학의 첫 번째 섹션, 그녀는 이 운동을 일으키는 원인에 관심이 없는 몸의 운동 법칙을 연구합니다.

1. 재료 포인트. 참조 시스템. 궤적.

길. 변위 벡터

운동학의 가장 간단한 모델은 다음과 같습니다. 재료 포인트 . 이것은 이 문제에서 치수를 무시할 수 있는 본체입니다. 모든 바디는 머티리얼 포인트의 컬렉션으로 표현될 수 있습니다.

신체의 움직임을 수학적으로 설명하려면 기준 프레임을 결정해야 합니다. 참조 시스템 (CO)로 구성 참조 본문및 관련 좌표계그리고 시간. 문제의 조건에 특별한 지시가 없으면 좌표계가 지표면과 관련이 있는 것으로 간주됩니다. 가장 일반적으로 사용되는 좌표계는 데카르체계.

데카르트 좌표계에서 재료 점의 운동을 설명하는 데 필요합니다. XY지(그림 1). 어떤 시점에서 티 1 포인트가 위치에 있습니다 하지만. 공간에서 한 점의 위치는 반경으로 특징지을 수 있습니다 - 벡터 아르 자형 1 원점에서 위치까지 그린 하지만, 및 좌표 엑스 1 , 와이 1 , 지하나 . 여기 및 아래에서 벡터 수량은 굵은 이탤릭체로 표시됩니다. 시간까지 티 2 = 티 1 + ∆ 티머티리얼 포인트가 위치로 이동합니다. 에반경 벡터 아르 자형 2 및 좌표 엑스 2 , 와이 2 , 지 2 .

움직임의 궤적 몸이 움직이는 공간의 곡선을 호출합니다. 궤적의 종류에 따라 직선운동, 곡선운동, 원운동으로 구분된다.

경로 길이 (또는 길 ) - 섹션 길이 AB운동 궤적을 따라 측정된 는 Δs(또는 s)로 표시됩니다. 국제 단위계(SI)의 경로는 미터(m)로 측정됩니다.

변위 벡터 재료 포인트 Δ 아르 자형 벡터의 차이입니다 아르 자형 2 그리고 아르 자형 1, 즉

Δ 아르 자형 = 아르 자형 2 - 아르 자형 1.

변위라고 하는 이 벡터의 계수는 위치 사이의 최단 거리입니다. 하지만그리고 에(초기 및 최종) 움직이는 지점. 분명히, Δs ≥ Δ 아르 자형, 그리고 평등은 직선 운동에 대해 유지됩니다.

머티리얼 포인트가 이동하면 이동한 경로의 값, 반경 벡터 및 좌표가 시간에 따라 변경됩니다. 운동 방정식 (더 나아가 운동 방정식) 시간에 대한 의존성, 즉 형식의 방정식

에스=s( 티), r= r (티), 엑스=엑스(티), 와이=~에(티), 지=z(t).

그러한 방정식이 움직이는 물체에 대해 알려진 경우 언제든지 아래에서 볼 운동 속도, 가속도 등을 찾을 수 있습니다.

몸의 모든 움직임은 집합으로 나타낼 수 있습니다. 진보적인그리고 회전동정.

2. 병진 운동의 운동학

번역 움직이는 물체와 단단하게 연결된 모든 직선이 그 자체와 평행을 유지하는 운동이라고 합니다. .

속도 이동 속도와 이동 방향을 나타냅니다.

중간 속도 시간 간격 Δ의 움직임 티 양이라고 한다

(1)

여기서 - s는 시간  동안 신체가 이동한 경로의 세그먼트입니다. 티.

순간 속도 동정 (주어진 시간에서의 속도)를 값이라고 하며, 그 계수는 시간에 대한 경로의 1차 도함수에 의해 결정됩니다.

(2)

속도는 벡터량입니다. 순간 속도 벡터는 항상 접선이동 궤적으로 (그림 2). 속도 측정 단위는 m/s입니다.

속도 값은 기준 시스템의 선택에 따라 다릅니다. 사람이 기차 차량에 앉아 있으면 기차와 함께 지면과 관련된 CO에 대해 상대적으로 이동하지만 차량과 관련된 CO에 대해 상대적으로 정지합니다. 사람이  속도로 차를 따라 걷는 경우 CO "지면"  s에 대한 상대 속도는 이동 방향에 따라 다릅니다. 기차  z \u003d  기차 +  의 움직임을 따라   z \u003d  기차 - .

좌표축 υ에서의 속도 벡터의 투영 엑스 ,υ y ,υ 지시간에 대한 해당 좌표의 1차 도함수로 정의됩니다(그림 2).

좌표축의 속도 투영을 알고 있는 경우 속도 계수는 피타고라스 정리를 사용하여 결정할 수 있습니다.

(3)

제복 일정한 속도로 이동(υ = const)이라고 합니다. 이것이 속도 벡터의 방향을 바꾸지 않는다면 V, 그러면 운동은 균일한 직선이 됩니다.

가속 - 크기와 방향의 속도 변화율을 나타내는 물리량 평균 가속도 ~로써 정의 된

(4)

여기서 Δυ는 시간에 따른 속도 변화 Δ 티.

벡터 순간 가속 속도 벡터의 도함수로 정의됩니다. V시간:

(5)

곡선 운동 동안 속도는 크기와 방향 모두에서 변할 수 있으므로 가속도 벡터를 두 개로 분해하는 것이 일반적입니다. 서로 수직구성 요소

ㅏ = ㅏ τ + ㅏ N. (6)

접하는 (또는 접선) 가속도 ㅏ τ는 크기의 변화 속도, 그 계수를 나타냅니다

.(7)

접선 가속은 가속 이동 중에는 속도를 따라 이동 궤적에 접하고 느린 이동 중에는 속도에 대해 접선 방향으로 향합니다(그림 3).

정상 (구심) 가속도 ㅏ n은 방향의 속도 변화, 그 계수를 나타냅니다.

(8)

어디 아르 자형- 궤적의 곡률 반경.

수직 가속도의 벡터는 궤적의 주어진 점에 접하여 그릴 수 있는 원의 중심으로 향합니다. 접선 가속도 벡터에 항상 수직입니다(그림 3).

총 가속도 모듈은 피타고라스 정리에 의해 결정됩니다.

. (9)

전체 가속도 벡터의 방향 ㅏ 수직 및 접선 가속도 벡터의 벡터 합에 의해 결정됩니다(그림 3).

등가 에서 이동이라고 영구적 인가속 . 가속도가 양수이면 균일 가속 운동 음수인 경우, 똑같이 느리다 .

직선으로 ㅏם = 0 및 ㅏ = ㅏτ . 만약 ㅏם = 0 및 ㅏτ = 0, 몸이 움직인다 똑바르고 고르게; ~에 ㅏם = 0 및 ㅏτ = 상수 이동 직선 등가변.

~에 균일 운동이동 거리는 다음 공식으로 계산됩니다.

디 에스= d 티→ 에스= ∫d 티= ∫d 티=  티+ 에스 0 , (10)

어디 에스 0 - 초기 경로 티 = 0. 마지막 공식을 기억해야 합니다.

그래픽 종속성 υ (티) 그리고 에스(티)는 그림 4에 나와 있습니다.

을 위한 균일 운동  = ∫ ㅏ디 티 = ㅏ∫d 티, 그 후

= ㅏ티 +  0 , (11)

여기서  0 - 초기 속도 티=0.

이동 거리 에스= ∫d 티 = ∫(ㅏ티 +  0)d 티. 이 적분을 풀면 다음을 얻습니다.

에스 = ㅏ티 2/2 +  0 티 + 에스 0 , (12)

어디 에스 0 - 초기 경로( 티= 0). 공식 (11), (12)는 기억할 것을 권장합니다.

그래픽 종속성 ㅏ(티), υ (티) 그리고 에스(티)는 그림 5에 나와 있습니다.

자유낙하 가속도를 사용하여 균일하게 가변 운동하려면 g= 9.81m/s 2 적용 자유로운 움직임수직 평면의 몸체: 몸체가 아래로 떨어집니다. g›0, 위로 이동할 때 가속도 g‹ 0. 이 경우 이동 속도와 이동 거리는 (11)에 따라 변경됩니다.

 =  0 + g티; (13)

시간 = g티 2/2 +  0 티 +시간 0 . (14)

수평선에 비스듬히 던진 물체의 움직임을 고려하십시오(공, 돌, 포탄 등). 이 복잡한 움직임은 두 개의 간단한 움직임으로 구성됩니다. 축을 따라 수평으로 오그리고 축을 따라 수직 OU(그림 6). 수평 축을 따라 환경 저항이 없으면 움직임이 균일합니다. 수직 축을 따라 - 동일하게 가변적: 최대 상승 지점까지 균일하게 감속하고 그 이후에는 균일하게 가속합니다. 이동 궤적은 포물선 형태입니다.  0을 한 점에서 수평선까지 각도 α로 던진 물체의 초기 속도라고 하자. 하지만(기원). 선택한 축의 구성요소:

 0x =  x =  0 코스 α = 상수; (15)

 0у =  0 sinα. (16)

공식 (13)에 따르면, 우리의 예를 들어, 그 점에 대한 궤적의 임의의 점에서 에서

 y =  0y - g 티=  0 sinα. - g 티 ;

 x =  0x =  0 cos α = 상수.

궤적의 가장 높은 지점에서, 에서, 속도  y \u003d 0의 수직 성분. 여기에서 C 지점으로 이동하는 시간을 찾을 수 있습니다.

 y =  0y - g 티=  0 sinα. - g 티 = 0 → 티 =  0 sinα/ g. (17)

이 시간을 알면 (14)에 의해 몸을 들어 올리는 최대 높이를 결정할 수 있습니다.

시간최대 =  0y 티- g티 2 /2= 0 sinα  0 sinα/ g– g( 0 sinα /g) 2 /2 = ( 0 sinα) 2 /(2 g) (18)

이동 궤적이 대칭이므로 종점까지 이동한 총 시간 에같음

티 1 =2 티= 2 0 sinα / g. (19)

비행 범위 AB(15) 및 (19)를 고려하여 다음과 같이 결정됩니다.

AB=  x 티 1 =  0 cosα 2 0 sinα/ g= 2 0 2 cosα sinα/ g. (20)

궤적의 임의의 지점에서 움직이는 물체의 총 가속도는 자유 낙하 가속도와 같습니다. g; 그림 3과 같이 법선과 접선으로 분해할 수 있습니다.

머티리얼 포인트의 개념입니다. 궤적. 경로 및 이동입니다. 참조 시스템. 곡선 운동의 속도와 가속도. 수직 및 접선 가속. 기계적 움직임의 분류.

역학의 주제 . 역학은 가장 단순한 형태의 물질 운동인 기계적 운동의 법칙을 연구하는 물리학의 한 분야입니다.

역학 운동학, 역학 및 정적의 세 가지 하위 섹션으로 구성됩니다.

운동학 원인을 고려하지 않고 몸의 움직임을 연구합니다. 변위, 이동 거리, 시간, 속도 및 가속도와 같은 양으로 작동합니다.

역학 몸의 움직임을 일으키는 법칙과 원인을 탐구합니다. 물체에 가해지는 힘의 작용에 따라 물체의 운동을 연구합니다. 운동학적 양에는 힘과 질량이라는 양이 추가됩니다.

에공전 물체 시스템의 평형 조건을 조사합니다.

기계적 움직임 신체는 시간이 지남에 따라 다른 신체에 비해 공간에서 위치의 변화라고합니다.

소재 포인트 - 주어진 지점에 집중된 물체의 질량을 고려하여 주어진 운동 조건에서 그 크기와 모양을 무시할 수 있는 물체. 재료 점 모델은 물리학에서 가장 간단한 신체 운동 모델입니다. 바디의 치수가 문제의 특성 거리보다 훨씬 작은 경우 바디를 재료 포인트로 간주할 수 있습니다.

기계적 움직임을 설명하려면 움직임이 고려되는 신체를 상대적으로 표시해야 합니다. 이 몸체의 운동이 고려되는 것과 관련하여 임의로 선택된 움직이지 않는 몸체를 호출합니다. 참조 본문 .

참조 시스템 - 좌표계 및 관련 시계와 함께 참조 본체.

원점을 점 O에 놓고 직교 좌표계에서 재료 점 M의 움직임을 고려하십시오.

참조 시스템에 대한 점 M의 위치는 3개의 데카르트 좌표를 사용하여 설정할 수 있을 뿐만 아니라 하나의 벡터 수량(원점에서 이 점까지 그린 점 M의 반경 벡터)을 사용하여 설정할 수 있습니다. 좌표계(그림 1.1). 직교 좌표계 축의 단위 벡터(ort)인 경우

또는 이 점의 반경 벡터의 시간 의존성

3개의 스칼라 방정식(1.2) 또는 이에 상응하는 1개의 벡터 방정식(1.3)을 재료 점의 운동 방정식 .

궤도 재료 점은 이동하는 동안 이 점에 의해 공간에서 설명되는 선입니다(입자의 반경 벡터 끝의 궤적). 궤적의 모양에 따라 점의 직선 운동과 곡선 운동이 구별됩니다. 점 궤적의 모든 부분이 같은 평면에 있으면 점의 움직임을 평면이라고 합니다.

방정식 (1.2) 및 (1.3)은 소위 매개변수 형식으로 점의 궤적을 정의합니다. 매개변수의 역할은 시간 t에 의해 수행됩니다. 이 방정식을 함께 풀고 시간 t를 제외하면 궤적 방정식을 찾습니다.

먼 길 재료 점은 고려된 기간 동안 점에 의해 이동된 궤적의 모든 섹션 길이의 합입니다.

변위 벡터 재료 점은 재료 점의 초기 위치와 최종 위치를 연결하는 벡터입니다. 고려된 시간 간격 동안 점의 반경 벡터 증가

직선 운동의 경우 변위 벡터는 궤적의 해당 섹션과 일치합니다. 변위가 벡터라는 사실에서 경험에 의해 확인된 운동의 독립 법칙은 다음과 같습니다. 재료 점이 여러 운동에 참여하는 경우 점의 결과 변위는 수행된 변위의 벡터 합과 같습니다 각각의 움직임에서 개별적으로 같은 시간 동안

재료 점의 움직임을 특성화하기 위해 벡터 물리량이 도입됩니다. 속도 , 주어진 시간에 이동 속도와 이동 방향을 모두 결정하는 양.

재료 점을 곡선 궤적 MN을 따라 이동하여 시간 t에서 점 M에 있고 시간에 N 점에 있게 합니다. 점 M과 N의 반경 벡터는 각각 동일하고 호 MN의 길이는 다음과 같습니다. (그림 1.3).

평균 속도 벡터 시간 간격의 포인트 티~ 전에 티+Δ 티이 기간 동안 점의 반경 벡터 증가분에 대한 값의 비율이라고 합니다.

평균 속도 벡터는 변위 벡터와 같은 방식으로 지시됩니다. 코드 MN을 따라.

순간 속도 또는 주어진 시간의 속도 . 식 (1.5)에서 극한에 도달하여 0이 되는 경향이 있으면 m.t의 속도 벡터에 대한 식을 얻을 수 있습니다. t.M 궤적을 통과하는 시간 t.

값을 감소시키는 과정에서 점 N은 t.M에 접근하고 현 MN은 한계에서 t.M을 중심으로 점 M에서의 궤적에 대한 접선 방향과 일치합니다. 따라서 벡터그리고 속도V운동 방향의 접선 궤적을 따라 지시되는 이동 점.재료 점의 속도 벡터 v는 직사각형 직교 좌표계의 축을 따라 향하는 세 가지 구성요소로 분해될 수 있습니다.

식 (1.7)과 (1.8)의 비교에서 직교 좌표계의 축에 대한 재료 점의 속도 투영은 해당 점 좌표의 첫 번째 도함수와 같습니다.

물질 점의 속도 방향이 변하지 않는 운동을 직선이라고 합니다. 이동하는 동안 점의 순간 속도의 수치가 변경되지 않은 상태로 유지되는 경우 이러한 이동을 균일이라고 합니다.

임의의 동일한 시간 간격으로 점이 다른 길이의 경로를 통과하면 순간 속도의 수치 값은 시간이 지남에 따라 변합니다. 이러한 움직임을 고르지 않다고 합니다.

이 경우 궤적의 주어진 섹션에서 고르지 않은 움직임의 평균 지상 속도라고 하는 스칼라 값이 자주 사용됩니다. 주어진 고르지 않은 움직임과 마찬가지로 경로의 통과에 동일한 시간이 소요되는 균일 한 움직임의 속도의 수치 값과 같습니다.

왜냐하면 방향으로 일정한 속도로 직선 운동의 경우에만 일반적인 경우:

한 점이 이동한 경로의 값은 경계 곡선 그림의 면적으로 그래픽으로 나타낼 수 있습니다. V = 에프 (티), 직접 티 = 티 1 그리고 티 = 티 1 그리고 속도 그래프의 시간 축.

속도 덧셈의 법칙 . 재료 점이 동시에 여러 움직임에 참여하는 경우 운동 독립 법칙에 따라 결과 변위는 이러한 각 움직임으로 인한 기본 변위의 벡터(기하학적) 합과 같습니다.

정의(1.6)에 따르면:

따라서 결과 운동의 속도는 물질 점이 참여하는 모든 운동의 속도의 기하학적 합과 같습니다(이 조항을 속도 추가의 법칙이라고 함).

점이 이동할 때 순간 속도는 크기와 방향 모두에서 변경될 수 있습니다. 가속 모듈의 변화율과 속도 벡터의 방향을 나타냅니다. 단위 시간당 속도 벡터의 크기 변화.

평균 가속도 벡터 . 이 증가가 발생한 시간 간격에 대한 속도 증가의 비율은 평균 가속도를 나타냅니다.

평균 가속도의 벡터는 벡터와 방향이 일치합니다.

가속 또는 순간 가속 시간 간격이 0이 되는 경향이 있을 때 평균 가속도의 한계와 같습니다.

축의 해당 좌표에 대한 투영에서:

직선 운동에서 속도와 가속도 벡터는 궤적의 방향과 일치합니다. 곡선 평면 궤적을 따라 재료 점의 움직임을 고려하십시오. 궤적의 임의의 지점에서 속도 벡터는 그것에 접선 방향으로 향합니다. 궤적의 t.M에서 속도가 이고 t.M 1에서 가 되었다고 가정합시다. 동시에, M에서 M 1로 가는 도중에 한 지점이 전환되는 동안의 시간 간격이 너무 작아서 크기와 방향의 가속도 변화를 무시할 수 있다고 가정합니다. 속도 변화 벡터를 찾으려면 벡터 차이를 결정해야 합니다.

이렇게 하기 위해, 우리는 그것을 자신과 평행하게 이동하고 그것의 시작을 점 M과 정렬합니다. 두 벡터의 차이는 끝을 연결하는 벡터와 같습니다. 측면. 우리는 벡터를 AB와 AD, 그리고 각각과 를 통해 두 구성요소로 분해합니다. 따라서 속도 변화 벡터는 두 벡터의 벡터 합과 같습니다.

따라서 재료 점의 가속도는 이 점의 수직 가속도와 접선 가속도의 벡터 합으로 나타낼 수 있습니다.

정의에 따르면:

어디서 - 주어진 순간의 순간 속도의 절대 값과 일치하는 궤적을 따른 지상 속도. 접선 가속도의 벡터는 몸체의 궤적에 접선 방향으로 향합니다.

단위 접선 벡터에 대한 표기법을 사용하면 접선 가속도를 벡터 형식으로 작성할 수 있습니다.

정상 가속 방향의 속도 변화율을 나타냅니다. 벡터를 계산해 보겠습니다.

이를 위해 우리는 점 M과 M1을 통해 궤적의 접선에 수직을 그립니다(그림 1.4) 우리는 교차점을 O로 표시합니다. 곡선 궤적의 충분히 작은 부분에 대해, 우리는 그것을 궤적의 일부로 간주할 수 있습니다 반지름이 R인 원입니다. 삼각형 MOM1과 MBC는 꼭짓점에서 같은 각도를 가진 이등변 삼각형이기 때문에 비슷합니다. 그 이유는 다음과 같습니다.

하지만:

에서 한계에 도달하고 동시에 , 우리는 다음을 찾습니다.