სანკტ-პეტერბურგის GBOU №149 საშუალო სკოლა

გაკვეთილის შეჯამება

ნოვიკოვა ოლგა ნიკოლაევნა

2016 წელი

თემა: „ექსპონენციალური განტოლებათა და უტოლობათა სისტემა“.

გაკვეთილის მიზნები:

საგანმანათლებლო:

ცოდნის განზოგადება და კონსოლიდაცია იმის შესახებ, თუ როგორ უნდა ამოხსნას განტოლებათა და უტოლობათა სისტემებში არსებული ექსპონენციალური განტოლებები და უტოლობა.

განვითარებადი: გააქტიურება შემეცნებითი აქტივობა; თვითკონტროლისა და თვითშეფასების უნარების განვითარება, მათი საქმიანობის თვითანალიზი.

საგანმანათლებლო: დამოუკიდებლად მუშაობის უნარ-ჩვევების ჩამოყალიბება; გადაწყვეტილებების მიღება და დასკვნების გამოტანა; თვითგანათლებისა და თვითგანვითარებისკენ სწრაფვის განათლება.

გაკვეთილის ტიპი : კომბინირებული.

გაკვეთილის ტიპი: პრაქტიკული გაკვეთილი.

გაკვეთილების დროს

ᲛᲔ. ორგანიზების დრო(1 წუთი)

კლასის მიზნის ფორმულირება: განზოგადება და გააძლიერე ცოდნა განტოლებათა და უტოლობათა სისტემებში არსებული ექსპონენციალური განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის შესახებ.ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებებზე დაყრდნობით.

II. ზეპირი სამუშაო (1 წუთი)

ექსპონენციალური განტოლების განმარტება.
ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდები.
ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნის ალგორითმი.

III . ექსპერტიზა საშინაო დავალება(3 წთ)

სტუდენტები თავიანთ ადგილებზე. მასწავლებელი ამოწმებს პასუხებს და ეკითხება როგორ ამოხსნას საჩვენებელი განტოლებები და უტოლობა. №228-231 (კენტი)

მევ. საბაზისო ცოდნის განახლება. "ბრენშტორმი": (3 წთ)

მოსწავლეთა მერხზე ნაჩვენებია დაბეჭდილი ფურცლები „ექსპონენციალური ფუნქციები, განტოლებები, უტოლობა“ და სთავაზობენ მოსწავლეებს ზეპირი პასუხებისთვის ადგილზე.

1. რა ფუნქციას ეწოდება ექსპონენციალური?

2. როგორია ფუნქციის ფარგლები y= 0,5x?

3. რა არის ექსპონენციალური ფუნქციის სფერო?

4. როგორია ფუნქციის ფარგლები y= 0,5x?

5. რა თვისებები შეიძლება ჰქონდეს ფუნქციას?

6. რა პირობით იზრდება ექსპონენციალური ფუნქცია?

7. რა პირობით მცირდება ექსპონენციალური ფუნქცია?

8. ექსპონენციალური ფუნქციის გაზრდა ან შემცირება

9. რომელ განტოლებას ეწოდება ექსპონენციალური?

პრაქტიკული უნარების ფორმირების დონის დიაგნოსტიკა.

დავალება 10 ამონაწერი ჩაწერეთ რვეულებში. (7 წთ)

10. მზარდი და კლებადი ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებების ცოდნა, ამოხსენით უტოლობა

2 3 < 2 X ;
; 3 X < 81 ; 3 X < 3 4

11 . ამოხსენით განტოლება: 3 x = 1

12 . გამოთვალეთ 7,8 0 ; 9.8 0

13 . მიუთითეთ ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდი და ამოხსენით იგი:

დასრულების შემდეგ, წყვილი იცვლის ფოთლებს. ვაფასებ ერთმანეთს. კრიტერიუმები დაფაზე. ფაილში ფურცლებზე ჩანაწერების შემოწმება.

ამრიგად, ჩვენ გავიმეორეთ ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები, ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდები.

მასწავლებელი შერჩევით იღებს და აფასებს 2-3 მოსწავლის მუშაობას.

გადაწყვეტის სემინარი სისტემები ექსპონენციალური განტოლებები და უტოლობები: (23 წთ)

განვიხილოთ ექსპონენციალური განტოლებებისა და უტოლობების სისტემების ამონახსნი ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებებზე დაყრდნობით.

ექსპონენციალური განტოლებებისა და უტოლობების სისტემების ამოხსნისას გამოიყენება იგივე ტექნიკა, რაც ალგებრული განტოლებებისა და უტოლობების სისტემების ამოხსნისას (ჩანაცვლების მეთოდი, დამატების მეთოდი, ახალი ცვლადების შემოღების მეთოდი). ხშირ შემთხვევაში, ამა თუ იმ ამოხსნის მეთოდის გამოყენებამდე აუცილებელია სისტემის თითოეული განტოლება (უტოლობა) გადაკეთდეს უმარტივეს ფორმაში.

მაგალითები.

1.

გამოსავალი:

პასუხი: (-7; 3); (1; -1).

2.

გამოსავალი:

აღნიშნე 2 X= u, 3 წ= ვ. შემდეგ სისტემა ასე დაიწერება:

მოდით გადავჭრათ ეს სისტემა ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენებით:

განტოლება 2 X= -2 არ აქვს ამონახსნები, რადგან -2<0, а 2 X> 0.

ბ)

პასუხი: (2;1).

№244(1)

პასუხი: 1.5; 2

შეჯამება. ანარეკლი. (5 წუთი)

გაკვეთილის შეჯამება: დღეს ჩვენ გავიმეორეთ და შევაჯამეთ ცოდნა ექსპონენციალური განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის მეთოდებზე, რომლებიც შეიცავს ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებებს.

ბავშვებს თავის მხრივ ეწვევათ აიღონ შემდეგი ფრაზები, რათა აირჩიონ და გააგრძელონ ფრაზა.

ასახვა:

დღეს გავიგე...

ძნელი იყო…

მე მესმის, რომ…

Მე ვისწავლე...

Შემეძლო)…

საინტერესო იყო იმის ცოდნა, რომ...

გამიკვირდა...

Მე მინდოდა…

Საშინაო დავალება. (2 წუთი)

No240-242 (კენტი) გვ.86

ამ გაკვეთილზე განვიხილავთ უფრო რთული ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნას, გავიხსენებთ მთავარ თეორიულ დებულებებს ექსპონენციალურ ფუნქციასთან დაკავშირებით.

1. ექსპონენციალური ფუნქციის განმარტება და თვისებები, უმარტივესი ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის ტექნიკა.

გაიხსენეთ ექსპონენციალური ფუნქციის განმარტება და ძირითადი თვისებები. სწორედ თვისებებზეა დაფუძნებული ყველა ექსპონენციალური განტოლებისა და უტოლობის ამოხსნა.

ექსპონენციალური ფუნქციაარის ფორმის ფუნქცია, სადაც საფუძველი არის ხარისხი და აქ x არის დამოუკიდებელი ცვლადი, არგუმენტი; y - დამოკიდებული ცვლადი, ფუნქცია.

ბრინჯი. 1. ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკი

გრაფიკზე ნაჩვენებია მზარდი და კლებადი მაჩვენებლები, რაც ასახავს ექსპონენციალურ ფუნქციას ერთზე მეტი და ერთზე ნაკლები, მაგრამ ნულზე მეტი, შესაბამისად.

ორივე მრუდი გადის წერტილში (0;1)

ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები:

დომენი: ;

მნიშვნელობების დიაპაზონი: ;

ფუნქცია მონოტონურია, იზრდება როგორც , მცირდება როგორც .

მონოტონური ფუნქცია იღებს მის თითოეულ მნიშვნელობას არგუმენტის ერთი მნიშვნელობით.

როდესაც არგუმენტი იზრდება მინუსიდან პლუს უსასრულობამდე, ფუნქცია იზრდება ნულიდან, ჩათვლით, პლუს უსასრულობამდე. პირიქით, როდესაც არგუმენტი იზრდება მინუსიდან პლუს უსასრულობამდე, ფუნქცია მცირდება უსასრულობიდან ნულამდე, ჩათვლით.

2. ტიპიური ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა

გაიხსენეთ როგორ ამოხსნათ უმარტივესი ექსპონენციალური განტოლებები. მათი ამოხსნა ემყარება ექსპონენციალური ფუნქციის ერთფეროვნებას. თითქმის ყველა რთული ექსპონენციალური განტოლება დაყვანილია ასეთ განტოლებამდე.

თანაბარი ფუძის მქონე მაჩვენებლების ტოლობა განპირობებულია ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებით, კერძოდ მისი ერთფეროვნებით.

გადაწყვეტის მეთოდი:

გრადუსების საფუძვლების გათანაბრება;

მაჩვენებლების გათანაბრება.

მოდით გადავიდეთ უფრო რთულ ექსპონენციალურ განტოლებაზე, ჩვენი მიზანია თითოეული მათგანის უმარტივესამდე შემცირება.

მოვიშოროთ ფესვი მარცხენა მხარეს და დავამციროთ გრადუსები იმავე ფუძემდე:

რთული ექსპონენციალური განტოლების მარტივზე დასაყვანად, ხშირად გამოიყენება ცვლადების შეცვლა.

მოდით გამოვიყენოთ ხარისხი თვისება:

ჩვენ წარმოგიდგენთ ჩანაცვლებას. დაე მერე

ჩვენ გავამრავლებთ მიღებულ განტოლებას ორზე და გადავიტანთ ყველა პირობას მარცხენა მხარეს:

პირველი ფესვი არ აკმაყოფილებს y მნიშვნელობების ინტერვალს, ჩვენ მას ვხსნით. ჩვენ ვიღებთ:

მოდით მივიყვანოთ გრადუსები იმავე ინდიკატორამდე:

ჩვენ წარმოგიდგენთ ჩანაცვლებას:

დაე მერე . ამ ჩანაცვლებით, აშკარაა, რომ y იღებს მკაცრად დადებით მნიშვნელობებს. ჩვენ ვიღებთ:

ჩვენ ვიცით როგორ ამოხსნათ მსგავსი კვადრატული განტოლებები, ჩვენ ვწერთ პასუხს:

იმისათვის, რომ დარწმუნდეთ, რომ ფესვები სწორად არის ნაპოვნი, შეგიძლიათ შეამოწმოთ ვიეტას თეორემის მიხედვით, ანუ იპოვოთ ფესვების ჯამი და მათი ნამრავლი და შეამოწმოთ განტოლების შესაბამისი კოეფიციენტებით.

ჩვენ ვიღებთ:

3. მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის ტექნიკა

მოდით შევისწავლოთ შემდეგი მნიშვნელოვანი ტიპის ექსპონენციალური განტოლებები:

ამ ტიპის განტოლებებს უწოდებენ მეორე ხარისხის ერთგვაროვანს f და g ფუნქციების მიმართ. მის მარცხენა მხარეს არის კვადრატული ტრინომი f-ის მიმართ g პარამეტრით ან კვადრატული ტრინომი g-ის მიმართ f პარამეტრით.

გადაწყვეტის მეთოდი:

ეს განტოლება შეიძლება ამოიხსნას როგორც კვადრატული, მაგრამ უფრო ადვილია ამის გაკეთება პირიქით. ორი შემთხვევა უნდა განიხილებოდეს:

პირველ შემთხვევაში ვიღებთ

მეორე შემთხვევაში, ჩვენ გვაქვს უფლება გავყოთ უმაღლეს ხარისხზე და მივიღებთ:

თქვენ უნდა შემოიტანოთ ცვლადების ცვლილება, ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას y-სთვის:

გაითვალისწინეთ, რომ f და g ფუნქციები შეიძლება იყოს თვითნებური, მაგრამ ჩვენ გვაინტერესებს შემთხვევა, როდესაც ეს არის ექსპონენციალური ფუნქციები.

4. ერთგვაროვანი განტოლებების ამოხსნის მაგალითები

გადავიტანოთ ყველა წევრი განტოლების მარცხენა მხარეს:

ვინაიდან ექსპონენციალური ფუნქციები იძენენ მკაცრად დადებით მნიშვნელობებს, ჩვენ გვაქვს უფლება დაუყოვნებლივ გავყოთ განტოლება ზე, იმ შემთხვევის გათვალისწინების გარეშე, როდესაც:

ჩვენ ვიღებთ:

ჩვენ წარმოგიდგენთ ჩანაცვლებას: (ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებების მიხედვით)

მივიღეთ კვადრატული განტოლება:

ჩვენ განვსაზღვრავთ ფესვებს ვიეტას თეორემის მიხედვით:

პირველი ფესვი არ აკმაყოფილებს y მნიშვნელობების ინტერვალს, ჩვენ მას ვხსნით, ვიღებთ:

მოდით გამოვიყენოთ ხარისხის თვისებები და შევამციროთ ყველა ხარისხი მარტივ საფუძვლებამდე:

ადვილი შესამჩნევია f და g ფუნქციები:

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის გზები

დასაწყისისთვის, მოკლედ გავიხსენოთ განტოლებათა სისტემების ამოხსნის რა მეთოდები ზოგადად არსებობს.

არსებობს ოთხი ძირითადი გზაგანტოლებათა სისტემების ამონახსნები:

ჩანაცვლების მეთოდი: აიღეთ რომელიმე ამ განტოლებიდან და გამოთქვით $y$ $x$-ით, შემდეგ $y$ ჩანაცვლებულია სისტემის განტოლებაში, საიდანაც იპოვება ცვლადი $x.$. ამის შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია მარტივად გამოთვალეთ $y.$ ცვლადი

მიმატების მეთოდი: ამ მეთოდში ერთი ან ორივე განტოლება უნდა გამრავლდეს რიცხვებით ისე, რომ ორივეს ერთად შეკრებისას ერთ-ერთი ცვლადი „გაქრეს“.

გრაფიკული მეთოდი: სისტემის ორივე განტოლებაზეა გამოსახული საკოორდინაციო თვითმფრინავიდა იპოვნეთ მათი გადაკვეთის წერტილი.

ახალი ცვლადების დანერგვის მეთოდი: ამ მეთოდით ვაკეთებთ ზოგიერთი გამონათქვამის ჩანაცვლებას სისტემის გასამარტივებლად და შემდეგ ვიყენებთ ზემოთ ჩამოთვლილ ერთ-ერთ მეთოდს.

ექსპონენციალური განტოლებების სისტემები

განმარტება 1

განტოლებათა სისტემებს, რომლებიც შედგება ექსპონენციალური განტოლებებისაგან, ეწოდება ექსპონენციალური განტოლებათა სისტემა.

განვიხილავთ ექსპონენციალური განტოლებების სისტემების ამოხსნას მაგალითების გამოყენებით.

მაგალითი 1

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

სურათი 1.

გამოსავალი.

ჩვენ გამოვიყენებთ პირველ მეთოდს ამ სისტემის გადასაჭრელად. პირველი, მოდით გამოვხატოთ $y$ პირველ განტოლებაში $x$-ით.

სურათი 2.

ჩაანაცვლეთ $y$ მეორე განტოლებაში:

\ \ \[-2-x=2\] \ \

პასუხი: $(-4,6)$.

მაგალითი 2

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

სურათი 3

გამოსავალი.

ეს სისტემა სისტემის ტოლფასია

სურათი 4

განტოლებების ამოხსნის მეოთხე მეთოდს ვიყენებთ. მოდით, $2^x=u\ (u >0)$ და $3^y=v\ (v >0)$, მივიღებთ:

სურათი 5

მიღებულ სისტემას ვხსნით დამატების მეთოდით. დავამატოთ განტოლებები:

\ \

შემდეგ მეორე განტოლებიდან მივიღებთ ამას

ჩანაცვლებაზე დაბრუნებისას, მე მივიღე ექსპონენციალური განტოლებების ახალი სისტემა:

სურათი 6

ჩვენ ვიღებთ:

სურათი 7

პასუხი: $(0,1)$.

ექსპონენციალური უტოლობების სისტემები

განმარტება 2

ექსპონენციალური განტოლებებისაგან შემდგარ უტოლობათა სისტემას ეწოდება ექსპონენციალური უტოლობების სისტემა.

ჩვენ განვიხილავთ ექსპონენციალური უტოლობების სისტემების ამოხსნას მაგალითების გამოყენებით.

მაგალითი 3

ამოხსენით უტოლობათა სისტემა

Ფიგურა 8

გამოსავალი:

უტოლობების ეს სისტემა სისტემის ტოლფასია

სურათი 9

პირველი უტოლობის გადასაჭრელად, გაიხსენეთ შემდეგი ეკვივალენტობის თეორემა ექსპონენციალური უტოლობებისთვის:

თეორემა 1.უტოლობა $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, სადაც $a >0,a\ne 1$ უდრის ორი სისტემის სიმრავლეს

\}