აგური
მოდულის შემცველი წრფივი ფუნქციის დახატვა. როგორ ამოხსნათ განტოლებები მოდულით: ძირითადი წესები

მოდულის შემცველი წრფივი ფუნქციის დახატვა. როგორ ამოხსნათ განტოლებები მოდულით: ძირითადი წესები

, კონკურსი "პრეზენტაცია გაკვეთილისთვის"

პრეზენტაცია გაკვეთილისთვის

უკან წინ

ყურადღება! სლაიდების გადახედვა მხოლოდ საინფორმაციო მიზნებისთვისაა და შესაძლოა არ წარმოადგენდეს პრეზენტაციის სრულ ნაწილს. თუ გაინტერესებთ ეს ნამუშევარი, გთხოვთ გადმოწეროთ სრული ვერსია.

გაკვეთილის მიზანი:

გაიმეორეთ მოდულის ნიშნის შემცველი ფუნქციების გრაფიკების აგება;
გაეცნონ წრფივ-ნაწილობრივ ფუნქციის გრაფიკის აგების ახალ მეთოდს;
შეკეთება ახალი მეთოდიპრობლემების გადაჭრისას.

აღჭურვილობა:

მულტიმედიური პროექტორი,
პლაკატები.

გაკვეთილების დროს

ცოდნის განახლება

ეკრანზე სლაიდი 1 პრეზენტაციიდან.

როგორია y=|x| ფუნქციის გრაფიკი ? (სლაიდი 2).

(1 და 2 კოორდინატთა კუთხის ბისექტრები)

იპოვეთ შესაბამისობა ფუნქციებსა და გრაფიკებს შორის, აუხსენით თქვენი არჩევანი (სლაიდი 3).

სურათი 1

უთხარით y=|f(x)|ფორმის ფუნქციების გრაფიკების აგების ალგორითმს. y=|x 2 -2x-3| ფუნქციის მაგალითზე (სლაიდი 4)

სტუდენტი: ამ ფუნქციის გრაფიკის ასაგებად გჭირდებათ

ააგეთ პარაბოლა y=x 2 -2x-3

სურათი 2

სურათი 3

თქვით y=f(|x|) ფორმის ფუნქციების გრაფიკების აგების ალგორითმი y=x 2 -2|x|-3 ფუნქციის მაგალითის გამოყენებით (სლაიდი 6).

ააგეთ პარაბოლა.

გრაფიკის ნაწილი x 0-ზე ინახება და ნაჩვენებია სიმეტრიულად y-ღერძის მიმართ (სლაიდი 7)

სურათი 4

თქვით y=|f(|x|) ფორმის ფუნქციების გრაფიკების აგების ალგორითმი. y=|x 2 -2|x|-3| ფუნქციის მაგალითზე (სლაიდი 8).

სტუდენტი: ამ ფუნქციის გრაფიკის ასაგებად დაგჭირდებათ:

თქვენ უნდა ააგოთ პარაბოლა y \u003d x 2 -2x-3

ჩვენ ვაშენებთ y \u003d x 2 -2 | x | -3, ვინახავთ გრაფის ნაწილს და ვაჩვენებთ მას სიმეტრიულად OS-სთან მიმართებაში

ჩვენ ვინახავთ ნაწილს OX-ის ზემოთ და ქვედა ნაწილს ვაჩვენებთ სიმეტრიულად OX-ის მიმართ (სლაიდი 9)

სურათი 5

შემდეგი დავალება იწერება რვეულებში.

1. დახაზეთ წრფივი ცალი ფუნქციის გრაფიკი y=|x+2|+|x-1|-|x-3|

მოსწავლე დაფაზე კომენტარს აკეთებს:

ჩვენ ვპოულობთ ქვემოდულის გამონათქვამების ნულებს x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 3

ღერძის დაშლა ინტერვალებად

თითოეული ინტერვალისთვის ჩვენ ვწერთ ფუნქციას

x-ზე< -2, у=-х-4

-2 x-ზე<1, у=х

1 x-ზე<3, у = 3х-2

x 3-ზე, y \u003d x + 4

ჩვენ ვაშენებთ ხაზოვანი-ნაწილობრივ ფუნქციის გრაფიკს.

ჩვენ შევქმენით ფუნქციის გრაფიკი მოდულის განმარტების გამოყენებით (სლაიდი 10).

სურათი 6

თქვენს ყურადღებას ვაქცევ "ვერტექსის მეთოდს", რომელიც საშუალებას გაძლევთ დახაზოთ წრფივი-ცალი ფუნქცია (სლაიდი 11). ბავშვები რვეულში წერენ მშენებლობის ალგორითმს.

ვერტექსის მეთოდი

ალგორითმი:

იპოვეთ თითოეული ქვემოდულის გამოხატვის ნულები
შევქმნათ ცხრილი, რომელშიც ნულების გარდა, მარცხნივ და მარჯვნივ დავწერთ არგუმენტის ერთ მნიშვნელობას.
დავდოთ წერტილები კოორდინატულ სიბრტყეზე და დავაკავშიროთ სერიულად

2. გავაანალიზოთ ეს მეთოდი იმავე ფუნქციაზე y=|x+2|+|x-1|-|x-3|

მასწავლებელი დაფაზე ზის, ბავშვები რვეულებში.

ვერტექსის მეთოდი:

იპოვეთ თითოეული ქვემოდულის გამოხატვის ნულები;

შევქმნათ ცხრილი, რომელშიც ნულების გარდა, მარცხნივ და მარჯვნივ დავწერთ არგუმენტის ერთ მნიშვნელობას.

დავდოთ წერტილები კოორდინატულ სიბრტყეზე და დავაკავშიროთ სერიულად.

წრფივი-ცალი ფუნქციის გრაფიკი არის გატეხილი ხაზი უსასრულო უკიდურესი ბმულებით (სლაიდი 12).

სურათი 7

რა მეთოდი ხდის გრაფიკს უფრო სწრაფ და მარტივს?

3. ამ მეთოდის გამოსასწორებლად, მე გთავაზობთ შემდეგი დავალების შესრულებას:

x-ის რომელ მნიშვნელობებზე მუშაობს ფუნქცია y=|x-2|-|x+1| იღებს უდიდეს ღირებულებას.

ჩვენ მივყვებით ალგორითმს; სტუდენტი დაფაზე.

y=|x-2|-|x+1|

x 1 \u003d 2, x 2 \u003d -1

y(3)=1-4=3, დააკავშირეთ წერტილები სერიულად.

4. დამატებითი დავალება

a-ს რომელ მნიშვნელობებზე აქვს განტოლებას ||4+x|-|x-2||=a-ს ორი ფესვი.

5. საშინაო დავალება

ა) X-ის რომელი მნიშვნელობებისთვის არის ფუნქცია y =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| იღებს უმცირეს მნიშვნელობას.

ბ) დახაზეთ ფუნქცია y=||x-1|-2|-3| .

, კონკურსი "პრეზენტაცია გაკვეთილისთვის"

პრეზენტაცია გაკვეთილისთვის

უკან წინ

გაკვეთილის მიზანი:

გაიმეორეთ მოდულის ნიშნის შემცველი ფუნქციების გრაფიკების აგება;
გაეცნონ წრფივ-ნაწილობრივ ფუნქციის გრაფიკის აგების ახალ მეთოდს;
პრობლემების გადაჭრის ახალი მეთოდის კონსოლიდაცია.

აღჭურვილობა:

მულტიმედიური პროექტორი,
პლაკატები.

გაკვეთილების დროს

ცოდნის განახლება

ეკრანზე სლაიდი 1 პრეზენტაციიდან.

როგორია y=|x| ფუნქციის გრაფიკი ? (სლაიდი 2).

(1 და 2 კოორდინატთა კუთხის ბისექტრები)

სურათი 1

სტუდენტი: ამ ფუნქციის გრაფიკის ასაგებად გჭირდებათ

ააგეთ პარაბოლა y=x 2 -2x-3

სურათი 2

სურათი 3

ააგეთ პარაბოლა.

სურათი 4

სტუდენტი: ამ ფუნქციის გრაფიკის ასაგებად დაგჭირდებათ:

თქვენ უნდა ააგოთ პარაბოლა y \u003d x 2 -2x-3

სურათი 5

შემდეგი დავალება იწერება რვეულებში.

1. დახაზეთ წრფივი ცალი ფუნქციის გრაფიკი y=|x+2|+|x-1|-|x-3|

მოსწავლე დაფაზე კომენტარს აკეთებს:

ჩვენ ვპოულობთ ქვემოდულის გამონათქვამების ნულებს x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 3

ღერძის დაშლა ინტერვალებად

თითოეული ინტერვალისთვის ჩვენ ვწერთ ფუნქციას

x-ზე< -2, у=-х-4

-2 x-ზე<1, у=х

1 x-ზე<3, у = 3х-2

x 3-ზე, y \u003d x + 4

ჩვენ ვაშენებთ ხაზოვანი-ნაწილობრივ ფუნქციის გრაფიკს.

სურათი 6

ვერტექსის მეთოდი

ალგორითმი:

იპოვეთ თითოეული ქვემოდულის გამოხატვის ნულები
შევქმნათ ცხრილი, რომელშიც ნულების გარდა, მარცხნივ და მარჯვნივ დავწერთ არგუმენტის ერთ მნიშვნელობას.
დავდოთ წერტილები კოორდინატულ სიბრტყეზე და დავაკავშიროთ სერიულად

2. გავაანალიზოთ ეს მეთოდი იმავე ფუნქციაზე y=|x+2|+|x-1|-|x-3|

მასწავლებელი დაფაზე ზის, ბავშვები რვეულებში.

ვერტექსის მეთოდი:

იპოვეთ თითოეული ქვემოდულის გამოხატვის ნულები;

დავდოთ წერტილები კოორდინატულ სიბრტყეზე და დავაკავშიროთ სერიულად.

სურათი 7

რა მეთოდი ხდის გრაფიკს უფრო სწრაფ და მარტივს?

3. ამ მეთოდის გამოსასწორებლად, მე გთავაზობთ შემდეგი დავალების შესრულებას:

x-ის რომელ მნიშვნელობებზე მუშაობს ფუნქცია y=|x-2|-|x+1| იღებს უდიდეს ღირებულებას.

ჩვენ მივყვებით ალგორითმს; სტუდენტი დაფაზე.

y=|x-2|-|x+1|

x 1 \u003d 2, x 2 \u003d -1

y(3)=1-4=3, დააკავშირეთ წერტილები სერიულად.

4. დამატებითი დავალება

a-ს რომელ მნიშვნელობებზე აქვს განტოლებას ||4+x|-|x-2||=a-ს ორი ფესვი.

5. საშინაო დავალება

ბ) დახაზეთ ფუნქცია y=||x-1|-2|-3| .

y=|x| ფორმის ფუნქცია.
ფუნქციის გრაფიკი ინტერვალზე - y \u003d -x ფუნქციის გრაფიკით.

ჯერ განვიხილოთ უმარტივესი შემთხვევა - ფუნქცია y=|x|. მოდულის განმარტებით, ჩვენ გვაქვს:

ამრიგად, x≥0-სთვის ფუნქცია y=|x| ემთხვევა y \u003d x ფუნქციას და x-სთვის ამ ახსნის გამოყენებით ადვილია ფუნქციის y \u003d | x | გამოსახვა (ნახ. 1).

ადვილი მისახვედრია, რომ ეს გრაფიკი არის y \u003d x ფუნქციის გრაფიკის იმ ნაწილის გაერთიანება, რომელიც დევს OX ღერძის ქვემოთ და OX ღერძის, მისი ამ ნაწილის, სარკისებური ასახვით მიღებული ხაზი, რომელიც დევს OX ღერძის ქვემოთ.
ეს მეთოდი ასევე შესაფერისია y=|kx+b| ფუნქციის გრაფიკის გამოსასახად.
თუ y=kx+b ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია ნახაზ 2-ზე, მაშინ y=|kx+b ფუნქციის გრაფიკი. არის ხაზი, რომელიც ნაჩვენებია სურათზე 3.

(!LANG:მაგალითი 1.დახაზეთ ფუნქცია y=||1-x 2 |-3|.
ავაშენოთ y=1-x 2 ფუნქციის გრაფიკი და მასზე გამოვიყენოთ ოპერაცია „მოდული“ (გრაფიკის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს OX ღერძის ქვემოთ, აისახება სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ).

მოდით გადავიტანოთ სქემა 3-ით ქვემოთ.

გამოვიყენოთ ოპერაცია „მოდული“ და მივიღოთ y=||1-x 2 |-3| ფუნქციის საბოლოო გრაფიკი.

მაგალითი 2დახაზეთ ფუნქცია y=||x 2 -2x|-3|.
გარდაქმნის შედეგად მივიღებთ y=|x 2 -2x|=|(x-1) 2 -1|. ავაშენოთ y=(x-1) 2 -1 ფუნქციის გრაფიკი: ავაშენოთ პარაბოლა y=x 2 და გადავიტანოთ მარჯვნივ 1-ით და ქვემოთ 1-ით.

მასზე გამოვიყენოთ ოპერაცია „მოდული“ (გრაფიკის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს OX ღერძის ქვემოთ, სიმეტრიულად აისახება OX ღერძის მიმართ).

მოდით, გრაფიკი 3-ით ქვემოთ გადავწიოთ და გამოვიყენოთ ოპერაცია „მოდული“, შედეგად მივიღებთ საბოლოო გრაფიკს.

მაგალითი 3დახაზეთ ფუნქცია.
მოდულის გაფართოებისთვის, ჩვენ უნდა განვიხილოთ ორი შემთხვევა:
1)x>0, შემდეგ მოდული გაიხსნება ნიშნით "+" =
2) x =

ავაშენოთ გრაფიკი პირველი შემთხვევისთვის.

მოდით გავაუქმოთ გრაფიკის ის ნაწილი, სადაც x

ავაშენოთ გრაფიკი მეორე შემთხვევისთვის და ანალოგიურად გადავაგდოთ ის ნაწილი, სადაც x>0, შედეგად მივიღებთ.

მოდით გავაერთიანოთ ორი გრაფიკი და მივიღოთ საბოლოო.

მაგალითი 4დახაზეთ ფუნქცია.
ჯერ ავაშენოთ ფუნქციის გრაფიკი, ამისთვის მოსახერხებელია მთელი რიცხვის ნაწილის შერჩევა, მივიღებთ. ღირებულებების ცხრილზე დაყრდნობით, ჩვენ ვიღებთ გრაფიკს.

გამოვიყენოთ მოდულის ოპერაცია (გრაფიკის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს OX ღერძის ქვემოთ, სიმეტრიულად აისახება OX ღერძის მიმართ). ჩვენ ვიღებთ საბოლოო სქემას

მაგალითი 5დახაზეთ ფუნქცია y=|-x 2 +6x-8|. ჯერ ვამარტივებთ ფუნქციას y=1-(x-3) 2-ით და ვაშენებთ მის გრაფიკს

ახლა ჩვენ ვიყენებთ "მოდულის" ოპერაციას და ასახავს გრაფიკის ნაწილს OX ღერძის ქვემოთ, OX ღერძის მიმართ.

მაგალითი 6დახაზეთ ფუნქცია y=-x 2 +6|x|-8. ასევე ვამარტივებთ ფუნქციას y=1-(x-3) 2-ზე და ვაშენებთ მის გრაფიკს

ახლა ჩვენ ვიყენებთ "მოდულის" ოპერაციას და ასახავს გრაფიკის ნაწილს oY ღერძის მარჯვნივ, მარცხენა მხარეს.

მაგალითი 7დახაზეთ ფუნქცია . მოდით დავხატოთ ფუნქცია

მოდით დავხატოთ ფუნქცია

შევასრულოთ პარალელური გადატანა 3 ერთეული სეგმენტით მარჯვნივ და 2 ზევით. გრაფიკი ასე გამოიყურება:

გამოვიყენოთ ოპერაცია „მოდული“ და ასახოთ გრაფიკის ნაწილი სწორი ხაზის მარჯვნივ x=3 მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.

მოდულის ნიშანი ალბათ ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო ფენომენია მათემატიკაში. ამასთან დაკავშირებით, ბევრ სკოლის მოსწავლეს აქვს კითხვა, თუ როგორ უნდა ავაშენოთ მოდულის შემცველი ფუნქციების გრაფიკები. განვიხილოთ ეს საკითხი დეტალურად.

1. მოდულის შემცველი ფუნქციების შედგენა

მაგალითი 1

დახაზეთ ფუნქცია y = x 2 – 8|x| + 12.

გამოსავალი.

მოდით განვსაზღვროთ ფუნქციის პარიტეტი. y(-x)-ის მნიშვნელობა იგივეა რაც y(x-ის მნიშვნელობა), ამიტომ ეს ფუნქცია ლუწია. მაშინ მისი გრაფიკი სიმეტრიულია Oy ღერძის მიმართ. ჩვენ ვაშენებთ y \u003d x 2 - 8x + 12 ფუნქციის გრაფიკს x ≥ 0-ზე და სიმეტრიულად ვაჩვენებთ გრაფიკს Oy-სთან შედარებით უარყოფითი x-ისთვის (ნახ. 1).

მაგალითი 2

შემდეგი გრაფიკი არის y = |x 2 – 8x + 12|.

– რა არის შემოთავაზებული ფუნქციის დიაპაზონი? (y ≥ 0).

- როგორია სქემა? (X ღერძის ზემოთ ან შეხება).

ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციის გრაფიკი მიიღება შემდეგნაირად: ისინი ასახავდნენ ფუნქციას y \u003d x 2 - 8x + 12, უცვლელად ტოვებენ გრაფიკის ნაწილს, რომელიც მდებარეობს Ox ღერძის ზემოთ, და გრაფიკის ნაწილს, რომელიც მდებარეობს ქვემოთ. აბსცისის ღერძი ნაჩვენებია სიმეტრიულად Ox ღერძის მიმართ (ნახ. 2).

მაგალითი 3

y = |x 2 – 8|x| ფუნქციის გამოსახატავად + 12| განახორციელეთ ტრანსფორმაციების კომბინაცია:

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

პასუხი: სურათი 3.

განხილული ტრანსფორმაციები მოქმედებს ყველა ტიპის ფუნქციისთვის. მოდით გავაკეთოთ ცხრილი:

2. ფორმულაში "ბუდებული მოდულების" შემცველი ფუნქციების დახატვა

ჩვენ უკვე გავეცანით მოდულის შემცველი კვადრატული ფუნქციის მაგალითებს, ასევე y = f(|x|), y = |f(x)| და y = |f(|x|)|. ეს გარდაქმნები დაგვეხმარება შემდეგი მაგალითის განხილვისას.

მაგალითი 4

განვიხილოთ y = |2 – |1 – |x||| ფორმის ფუნქცია. გამონათქვამი, რომელიც განსაზღვრავს ფუნქციას, შეიცავს "ბუდებულ მოდულებს".

გამოსავალი.

ჩვენ ვიყენებთ გეომეტრიული გარდაქმნების მეთოდს.

ჩამოვწეროთ თანმიმდევრული გარდაქმნების ჯაჭვი და გავაკეთოთ შესაბამისი ნახაზი (სურ. 4):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

განვიხილოთ შემთხვევები, როდესაც სიმეტრია და პარალელური თარგმანის გარდაქმნები არ არის ნახატის ძირითადი ტექნიკა.

მაგალითი 5

შექმენით y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2 ფორმის ფუნქციის გრაფიკი.

გამოსავალი.

გრაფიკის აგებამდე გარდაქმნის ფორმულას, რომელიც განსაზღვრავს ფუნქციას და ვიღებთ ფუნქციის სხვა ანალიტიკურ განმარტებას (ნახ. 5).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.

მოდით გავაფართოვოთ მოდული მნიშვნელში:

x > -2-ისთვის y = x - 2 და x-ისთვის< -2, y = -(x – 2).

დომენი D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

დიაპაზონი E(y) = (-4; +∞).

წერტილები, რომლებზეც გრაფიკი კვეთს კოორდინატთა ღერძს: (0; -2) და (2; 0).

ფუნქცია მცირდება ყველა x-ისთვის ინტერვალიდან (-∞; -2), იზრდება x-სთვის -2-დან +∞-მდე.

აქ ჩვენ უნდა გამოგვევლინა მოდულის ნიშანი და გამოვსახოთ ფუნქცია თითოეული შემთხვევისთვის.

მაგალითი 6

განვიხილოთ ფუნქცია y = |x + 1| – |x – 2|.

გამოსავალი.

მოდულის ნიშნის გაფართოებისას აუცილებელია განიხილოს ქვემოდული გამონათქვამების ნიშნების ყველა შესაძლო კომბინაცია.

არსებობს ოთხი შესაძლო შემთხვევა:

(x + 1 - x + 2 = 3, x ≥ -1 და x ≥ 2;

(-x - 1 + x - 2 = -3, x-ით< -1 и x < 2;

(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, x ≥ -1 და x< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, x-ით< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

შემდეგ ორიგინალური ფუნქცია ასე გამოიყურება:

(3, x ≥ 2-ისთვის;

y = (-3, x-ზე< -1;

(2x – 1, -1 ≤ x< 2.

მივიღეთ ცალ-ცალკე მოცემული ფუნქცია, რომლის გრაფიკი ნაჩვენებია ნახაზ 6-ზე.

3. ფორმის ფუნქციების გრაფიკების აგების ალგორითმი

y = a 1 | x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ცული + ბ.

წინა მაგალითში საკმაოდ მარტივი იყო მოდულის ნიშნების გაფართოება. თუ მოდულების მეტი ჯამია, მაშინ პრობლემურია ქვემოდულის გამონათქვამების ნიშნების ყველა შესაძლო კომბინაციის გათვალისწინება. როგორ გამოვსახოთ ფუნქცია ამ შემთხვევაში?

გაითვალისწინეთ, რომ გრაფიკი არის პოლიწრიული, წვეროებით წერტილებში, რომლებსაც აქვთ აბსცისები -1 და 2. x = -1 და x = 2-ისთვის, ქვემოდულის გამოსახულებები ნულის ტოლია. პრაქტიკული თვალსაზრისით, ჩვენ მივუახლოვდით ასეთი გრაფიკების აგების წესს:

y = a 1 |x – x 1 | ფორმის ფუნქციის გრაფიკი + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ცული + b არის გატეხილი ხაზი უსასრულო ბოლო ბმულებით. ასეთი პოლიხაზის ასაგებად საკმარისია ვიცოდეთ მისი ყველა წვერო (წვეროების აბსციები არის ქვემოდულის გამოსახულებების ნულები) და თითო საკონტროლო წერტილი მარცხენა და მარჯვენა უსასრულო ბმულებზე.

Დავალება.

დახაზეთ ფუნქცია y = |x| + |x – 1| + |x + 1| და იპოვნეთ მისი ყველაზე მცირე მნიშვნელობა.

გამოსავალი:

ქვემოდულის გამონათქვამების ნულები: 0; - ერთი; 1. პოლიხაზის წვეროები (0; 2); (-13); (13). საკონტროლო წერტილი მარჯვნივ (2; 6), მარცხნივ (-2; 6). ვაშენებთ გრაფიკს (სურ. 7). წთ f(x) = 2.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით როგორ გამოვსახოთ ფუნქცია მოდულით?
დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.