地下室と地下室の床
その要素の円錐台の定義を定式化します。錐台

その要素の円錐台の定義を定式化します。錐台

円錐面は、特定の曲線の各点と曲線の外側の点を通過するすべての直線によって形成される曲面です (図 32)。

この曲線は次のように呼ばれます ガイド 、真っ直ぐ - 形にする 、ドット - 上円錐面。

まっすぐな円錐面与えられた円の各点を通過するすべての直線と、円の平面に垂直でその中心を通過する直線上の点によって形成される表面です。以下では、この表面を簡単に呼びます 円錐面 (図33)。

円錐 (真っ直ぐな円錐 ) は、円錐面とガイド円の平面に平行な平面によって境界付けられる幾何学的ボディです (図 34)。

米。 32 図 33 図 34

円錐は、直角三角形を、三角形の脚の 1 つを含む軸の周りに回転させることによって得られる物体と考えることができます。

円錐を囲む円はその円錐と呼ばれます基礎。円錐面の頂点は次のように呼ばれます。上円錐円錐の頂点と底面の中心を結ぶ線分を身長円錐円錐面を形成するセグメントは次のように呼ばれます。 形にする 円錐軸円錐の頂点と底面の中心を通る直線です。 軸方向断面 円錐の軸を通る部分をいいます。 側面展開図 円錐は扇形と呼ばれ、その半径は円錐の母線の長さに等しく、扇形の円弧の長さは円錐の底面の円周に等しい。

円錐の正しい公式は次のとおりです。

どこ R– ベース半径;

H- 身長;

私– 母線の長さ。

Sベース– ベースエリア;

S側

Sフル

V– コーンのボリューム。

円錐台底面と円錐の底面に平行な切断面との間に囲まれた円錐の部分と呼ばれます (図 35)。

円錐台は、直方体台形を、台形の底辺に垂直な辺を含む軸の周りに回転させることによって得られる体と考えることができます。

円錐を囲む 2 つの円を円錐と呼びます。理由 . 身長円錐台の距離は、その底面間の距離です。円錐台の円錐面を形成するセグメントは、 形にする 。底辺の中心を通る直線を軸円錐台。 軸方向断面 円錐台の軸を通る部分をいいます。

円錐台の場合、正しい公式は次のとおりです。

(8)

どこ R– 下底の半径;

r– 上底の半径;

H– 高さ、l – 母線の長さ。

S側– 横表面積;

Sフル– 総表面積;

V– 円錐台の体積。

例1.底面に平行な円錐の断面は、高さを上から数えて 1:3 の比率で分割します。底面の半径と円錐の高さが9cmと12cmの場合の円錐台の側表面積を求めます。

解決。絵を描いてみましょう (図 36)。

円錐台の側面の面積を計算するには、式(8)を使用します。底辺の半径を求めてみましょう 約1Aそして 約1Vそして形成 AB。

相似な三角形を考えてみましょう SO2Bそして SO1A、類似係数、そして

ここから

それ以来

円錐台の側表面積は次のようになります。

答え： .

例2。半径の 4 分の 1 円を円錐面に折り曲げます。底面の半径と円錐の高さを求めます。

解決。円の四分円は円錐の側面を展開したものです。と表しましょう r– ベースの半径、 H –身長。次の式を使用して側表面積を計算してみましょう。それは 4 分の 1 円の面積に等しい: 。 2 つの未知数を含む方程式が得られます rそして私（円錐を形成します）。この場合、母線は 4 分の 1 円の半径に等しい Rこれは、次の方程式が得られることを意味します: , ここで、ベースとジェネレーターの半径がわかれば、円錐の高さがわかります。

答え： 2cm、。

例 3.鋭角が 45°、底辺が 3 cm で、傾斜辺がに等しい長方形台形が、底辺に垂直な辺の周りを回転します。結果として得られる回転体の体積を求めます。

解決。絵を描いてみましょう (図 37)。

回転の結果、円錐台が得られます。その体積を求めるために、大きい方の底面の半径と高さを計算します。空中ブランコで O1O2AB私たちが実施します AC^O1B。 B: これは、この三角形が二等辺であることを意味します 交流。=紀元前=3cm。

答え：

例4.辺が 13 cm、37 cm、40 cm の三角形が、大きい方の辺と平行で、そこから 3 cm の距離にある外部軸の周りを回転します (軸は三角形の平面内にあります)。結果として得られる回転体の表面積を求めます。

解決 . 絵を描いてみましょう（図38）。

結果として生じる回転体の表面は、2 つの円錐台の側面と円柱の側面で構成されます。これらの面積を計算するには、円錐と円柱の底面の半径を知る必要があります( なれそして O.C.)、錐体を形成 ( 紀元前そして 交流。) とシリンダー高さ ( AB）。唯一不明なのは、 CO. これは、三角形の辺から回転軸までの距離です。見つけます直流。三角形ABCの1辺の面積は、辺ABの半分とそこに描かれた高度の積に等しい直流一方、三角形のすべての辺がわかっているので、ヘロンの公式を使用してその面積を計算します。

導入

米。 1. 切り詰められたコヌサの形をした生命の物体

幾何学の新しい図形はどこから来ると思いますか? それはすべて非常に単純です。人生のある人は似たようなオブジェクトになり、まるでそれらを呼び出すかのようにやって来ます。サーカスのライオンが座っているキャビネット、ちょうどその一部、活火山、そしてたとえばフォ・ナ・リからの光を見てみましょう。 ka (図 1 を参照)。

円錐台、その要素および軸方向断面

米。 2. ジオメットリチェフィギュリ

これらの図はすべて同じような形であることがわかります。下から見ても上から見ても円で囲まれていますが、上に向かって狭くなっています (図 2 を参照)。

米。 3. コ・ヌー・サ上部から

円錐形のように見えます。トップハッシュが足りないだけです。私たちは頭の中で、円錐を取り出し、鋭い剣を一振りしてその上部を取り除くことを想像します（図3を参照）。

米。 4. 円錐台

これはまさに私たちの図であり、円錐台と呼ばれます (図 4 を参照)。

米。 5. セ・チェ・ニ、パラレル・オス・ノ・ヴァ・ニユ・コ・ヌ・サ

コーンを与えましょう。このコニューサの軸と平行な平面、そして十字錐を作成しましょう（図5参照）。

円錐を 2 つの本体に分割します。そのうちの 1 つは小さいサイズの円錐で、もう 1 つは円錐台と呼ばれます (図 6 を参照)。

米。 6. 平行断面で得られたボディ

したがって、円錐台は円錐の一部であり、その本体と平行な本体の間に接続されていますが、平らです。円錐の場合と同様に、円錐台の底面として円を持つことができます。この場合、それは円と呼ばれます。元の円錐が真っ直ぐであれば、円錐台は真っ直ぐと呼ばれます。コ・ヌ・サ・ミの場合と同様に、キーを見ていきますが、間接的な切られたコ・ヌ・セについて話しているということが特に示されていない場合は、直線の円形の切られたコ・ヌ・シーも見ます。あるいはその基礎に円がありません。

米。 7. 長方形トラップの回転

私たちの世界的なテーマは回転体です。円錐台も例外ではありません。コ・ヌ・サを得るには、直角三角形をスモ・マット・リ・ヴァ・リし、それをカ・テ・タの周りに回転させることを思い出してください。結果として得られる円錐を軸に平行な平面で切断すると、三角形 -mo-coal-trape-tion から直線は残りません。小さい方の側面を中心に回転すると、円錐台が得られます。明らかに、私たちは直接の循環コニュースについてのみ話していることにもう一度注意してください（図7を参照）。

米。 8. オス・ノ・ヴァ・ニヤ・トランケート・ノー・ゴー・コ・ヌ・サ

いくつか準備をしておきます。ハーフ・コ・ヌ・サとサークル、コ・ヌ・サ・フラットのセクションのハーフ・チャ・ユ・シェイの基礎は、彼らが「オス・ノ・ヴァ・ニヤ・ミ」と呼ぶところの切り詰められたものです。コ・ヌ・サ（下と上）（図8参照）。

米。 9. オブ・ラ・ズ・ユ・シの切り詰められたコ・ヌ・サ

コ・ヌ・サの半分のラ・ズ・ユ・シの挿し木から、オス・バット・ヴァ・ニ・ミの切り詰められたバット・ゴ・コ・ヌ・サの間に接続され、彼らはアバウト・ラーと呼びます。ズ・ユ・シ・ミ・トランケート・ノ・ゴ・コ・ヌ・サ。すべての教育成果は平等であり、同じものからのすべての教育成果は等しいので、ob-ra-zu-yu truncated co-nu-sa は等しいです (truncated と truncated を混同しないでください!)。ここから、断面の軸のトラペションが等しくなります (図 9 を参照)。

回転軸が切頭コ・ヌーサの内側に収まっていることから、切頭軸コ・ヌーサの軸と呼ばれています。この再カット、ra-zu-me-et-sya は、その基本の中心を統合します (図 10 を参照)。

米。 10. 切り詰められたコ・ヌ・サの軸

You-so-ta の切り捨てられた ko-nu-sa は、os-no-va-niya の 1 つの点から別のベースまでの per-pen-di-ku-lyar、pro-ve-den です。ほとんどの場合、あなたの資質において、軸が切り取られています。

米。 11. オセ・ヴォエ・セ・チェ・ニ・トランケート・ノ・ゴ・コ・ヌ・サ

切頭コニューサの軸方向断面は、その軸を通る断面である。これは台形の形をしていますが、少し後でその等価性を示します (図 11 を参照)。

円錐台の側面および全表面の面積

米。 12. シンボルが導入された円錐

切り取られたコ・ヌ・サの頂上にあるボ・コ・ヴォイの面積を求めてみましょう。切り取られたコヌサの底面の半径をととし、オブラズユを等しいものとします (図 12 を参照)。

米。 13. オブ・ラ・ズ・ユ・シチェイ・フロム・セ・チェン・ノ・ス・コ・ヌ・サの指定

切り取られたコ・ヌ・サの上にあるボ・コ・ヴォイの面積を、トップ・バット・ステ・ホッド・ノ・ゴの上にあるボ・コ・ヴォイの面積の差として求めてみましょう。コ・ヌ・サとフロム・セ・チェン・ノ・ゴ。これを行うには、ko-nu-sa の形成を通じて示します (図 13 を参照)。

それから、is-ko-may。

米。 14. 相似な三角形

あとはあなたがそれを理解するだけです。

po-do-biy tri-corn-ni-kov、from-to-yes に注目してください (図 14 を参照)。

これを半径の差に分割することでこれを表現することも可能ですが、この場合は正確にfi-gu-ri-ru-et pro-iz-ve-de-であるため、これは必要ありません。ねえ。代わりに、最終的には次のようになります。 .

表面積全体の形状を取得するのは難しくありません。これを行うには、底辺の 2 つの円の面積を正確に追加します。 .

タスク

米。 15. フォルダーシュのイラスト

長方形のトラップによって円錐台をその高さを中心に回転させます。台形の中心線はに等しく、大きい辺はに等しい (図 15 を参照)。切り取られたコ・ヌ・サのトップ・ノ・スティ上のボ・コ・ヴォイの面積を求めます。

解決

公式から分かることは、 .

コ・ヌ・サの形成は、百路を継続する大きなトラペション、すなわち、ラ・ディ・ウ・シ・コ・ウェル・サとなる。これがトラペの基礎である。ペーション。見つかりません。しかし、それは必要ありません。必要なのはそれらの合計だけであり、台形の底辺の合計は正中線の 2 倍、つまりに等しいです。それから。

円錐台と角錐の類似点

私たちが co-nu-se について話すとき、それは彼と pi -ra-mi-doy の間で話されるという事実に注意してください。式は類似していました。ここでも同じです。円錐台はピラミドゥの切頭と非常に似ているため、面積の公式は大きく、完全なトップノットステイの切頭コーヌサとピラミになります。 -dy (そしてすぐに体積の公式が登場するでしょう) アナログ - ロジック - 私たち。

タスク

米。 1. イラストレーションからフォーダッシュへ

ra-di-u-sy os-no-va-niy use-chen-no-go ko-nu-sa はとに等しく、ob-ra-zu-yu-shchaya はに等しい。切り取られたコヌサとその軸の面積を求めます（図1を参照）。

一点 (円錐の上部) から放射され、平坦な表面を通過するもの。

円錐は、限られた体積を持つ物体の一部であり、平面の頂点と点を接続する各セグメントを組み合わせることによって得られます。この場合後者は、 円錐の根元、そしてコーンはこのベースの上にあると言われています。

円錐の底面が多角形の場合、すでに ピラミッド .

円錐- これは、円 (円錐の底部)、この円の平面内にない点 (円錐の上部、および円錐の上部と円錐の点を接続するすべてのセグメント) で構成されるボディです。ベース）。

円錐の頂点と基礎円の点を結ぶ線分は次のように呼ばれます。 円錐を形成する。円錐の表面は底面と側面から構成されます。

側面積は正しい n-円錐に内接する炭素ピラミッド:

S n =1/2P n l n,

どこ Pn- ピラミッドの底部の周囲、および ln- 使徒。

同じ原理により、底面半径を持つ円錐台の側面領域の場合、 R1, R2そして形成私次の式が得られます。

S=(R 1 +R 2)l.

底辺と高さが等しい、真っ直ぐな円錐形と斜めの円錐形。これらのボディの体積は同じです。

円錐のプロパティ。

底面の面積に限界があるということは、円錐の体積にも限界があり、高さと底面の面積の積の3分の1に等しいことを意味します。

どこ S- ベースエリア、 H- 身長。

したがって、このベース上に置かれ、ベースに平行な平面上に位置する頂点を持つ各円錐は、高さが同じであるため、等しい体積を持ちます。

限界のある体積を有する各円錐の重心は、底面から高さの 4 分の 1 の位置にあります。
直円錐の頂点の立体角は次の式で表すことができます。

どこ α - コーンの開口角度。

このような円錐の側表面積の式は次のとおりです。

および総表面積（つまり、側面と底面の面積の合計）の式は次のとおりです。

S=πR(l+R)、

どこ R- ベースの半径、私— 母線の長さ。

円錐の体積、公式:

円錐台 (直線や円形だけでなく)、体積、式の場合:

どこ S1そして S2- 上底と下底の面積、

hそして H- 上底と下底の平面から頂上までの距離。

平面と直円錐の交点は円錐断面の 1 つです。

幾何学は、空間内の構造とそれらの間の関係を研究する数学の一分野です。また、これもセクションで構成されており、そのうちの 1 つは立体測定です。これには、立方体、角錐、球、円錐、円柱など、空間に配置された 3 次元の図形の特性の研究が含まれます。

円錐は、円錐面とその生成器の端が置かれる平面によって境界付けられるユークリッド空間内の物体です。その形成は、その足の周りの直角三角形の回転中に発生するため、回転体に属します。

円錐の構成要素

円錐には次のタイプがあります: 斜め (または傾斜) と直線。オブリークとは、軸が底面の中心と直角に交わらないものです。このため、このような円錐の高さは軸と一致しません。これは、円錐が本体の上部からその底面まで90°の角度で下がっているセグメントであるためです。

軸が底面に垂直な円錐を直円錐といいます。このような幾何学的本体の軸と高さは、その頂点が底面の直径の中心より上に位置するという事実により一致します。

円錐は次の要素で構成されます。

その拠点となるサークル。
側面。
円錐の頂点と呼ばれる、ベースの平面内にない点。
幾何学的ボディの底面の円の点とその頂点を接続するセグメント。

これらすべてのセグメントは円錐のジェネレーターです。それらは幾何学的本体の底面に対して傾斜しており、直円錐の場合、頂点が底面の円の点から等距離にあるため、それらの投影は等しくなります。したがって、通常の (真っ直ぐな) 円錐では、ジェネレーターは等しい、つまり、同じ長さを持ち、軸 (または高さ) および底面と同じ角度を形成すると結論付けることができます。

斜めの (または傾斜した) 回転体では、頂点がベースプレーンの中心に対して移動するため、そのような回転体のジェネレーターは、それぞれが回転の任意の 2 点から異なる距離にあるため、異なる長さと投影を持ちます。ベースの円。さらに、それらの間の角度と円錐の高さも異なります。

直円錐の母線の長さ

前に書いたように、直角幾何学的回転体の高さは底面に垂直です。したがって、母線、底面の高さ、半径によって円錐内に直角三角形が作成されます。

つまり、底面の半径と高さがわかっていれば、ピタゴラスの定理の公式を使用して、母線の長さを計算できます。これは、底面の半径と高さの二乗の合計に等しくなります。

l 2 = r 2 + h 2 または l = √r 2 + h 2

ここで、l はジェネレータです。

r - 半径;

h - 高さ。

傾斜した円錐内の発電機

斜めまたは傾斜した円錐ではジェネレーターの長さが同じではないという事実に基づいて、追加の構築と計算なしではジェネレーターを計算することはできません。

まず、高さ、軸の長さ、底面の半径を知る必要があります。

r 1 = √k 2 - h 2

ここで、r 1 は軸と高さの間の半径の部分です。

k - 軸の長さ。

h - 高さ。

半径 (r) と、軸と高さの間の部分 (r 1) を加算した結果、生成された円錐の完全な母線、その高さ、および直径の一部を見つけることができます。

ここで、R は、高さ、母線、および底辺の直径の一部によって形成される三角形の脚です。

r - 底面の半径。

r 1 - 軸と高さの間の半径の一部。

ピタゴラスの定理と同じ公式を使用すると、円錐の母線の長さを求めることができます。

l = √h 2 + R 2

または、R を個別に計算せずに、2 つの式を 1 つに結合します。

l = √h 2 + (r + r 1) 2.

円錐が真っ直ぐか斜めか、また入力データが何であるかに関係なく、母線の長さを求めるすべての方法は常に 1 つの結果、つまりピタゴラスの定理の使用に帰着します。

コーン部

軸方向とは、その軸または高さに沿って通過する平面です。直円錐では、そのような断面は二等辺三角形であり、三角形の高さは本体の高さ、その側面は母線、底面は底面の直径です。正三角形の幾何学的本体では、この円錐では底面と母線の直径が等しいため、軸方向の断面は正三角形になります。

直円錐の軸方向断面の平面は、その対称面です。その理由は、その上部がその底部の中心よりも上に位置しているためです。つまり、軸方向断面の平面が円錐を 2 つの同一の部分に分割しています。

傾斜した体積では高さと軸が一致しないため、軸方向の断面には高さが含まれない場合があります。このような円錐内に多数の軸方向断面を作成できる場合、条件は 1 つだけ満たす必要があります。条件は軸のみを通過する必要があるため、この円錐の高さが属する平面の軸方向断面のみを描画できます。 1 つは、条件の数が増加することと、周知のとおり、2 つの直線が (一緒に) 1 つの平面にのみ属することができるためです。

断面積

前述した円錐の軸方向断面は三角形です。これに基づいて、三角形の面積の公式を使用してその面積を計算できます。

S = 1/2 * d * h または S = 1/2 * 2r * h

ここで、S は断面積です。

d - ベースの直径。

r - 半径;

h - 高さ。

斜めまたは傾斜した円錐では、軸に沿った断面も三角形になるため、その断面積は同様の方法で計算されます。

音量

円錐は三次元空間上の立体図形であるため、その体積を計算することができます。円錐の体積は、体積の単位、つまり m3 でこの物体を特徴付ける数値です。これら 2 つのタイプのボディの式に違いはないため、計算は直線か斜め (斜体) に依存しません。

前に述べたように、直角錐の形成は、直角三角形がその脚の 1 つに沿って回転することによって起こります。傾斜した円錐または斜めの円錐は、その高さが本体の底面の平面の中心から離れているため、異なる方法で形成されます。それにもかかわらず、そのような構造の違いは、その体積の計算方法に影響を与えません。

体積計算

任意の円錐は次のようになります。

V = 1/3 * π * h * r 2

ここで、V は円錐の体積です。

h - 高さ;

r - 半径;

π は 3.14 に等しい定数です。

物体の高さを計算するには、底面の半径と母線の長さを知る必要があります。半径、高さ、ジェネレータが直角三角形に結合されるため、高さはピタゴラスの定理の公式を使用して計算できます (a 2 + b 2 = c 2、またはこの場合は h 2 + r 2 = l 2、ここで lはジェネレータです）。高さは、斜辺ともう一方の脚の二乗の差の平方根を取ることによって計算されます。

a = √c 2 - b 2

つまり、円錐の高さは、母線の長さの 2 乗と底面の半径の 2 乗の差の平方根をとった後に得られる値と等しくなります。

h = √l 2 - r 2

この方法で高さを計算し、底面の半径を知ることで、円錐の体積を計算できます。この場合、ジェネレーターは計算の補助要素として機能するため、重要な役割を果たします。

同様に、物体の高さと母線の長さがわかっている場合は、母線の 2 乗と高さの 2 乗の差の平方根を求めることで、その底面の半径を求めることができます。

r = √l 2 - h 2

次に、上記と同じ式を使用して、円錐の体積を計算します。

傾斜した円錐の体積

円錐の体積の公式はすべてのタイプの回転体で同じであるため、その計算の違いは高さの検索です。

傾斜した円錐の高さを調べるには、入力データに母線の長さ、底面の半径、底面の中心と本体の高さと平面の交点の間の距離が含まれている必要があります。そのベースの。これを知っていると、直角三角形 (高さ、母線、および底面の平面によって形成される) の底面となる底面直径の部分を簡単に計算できます。次に、再びピタゴラスの定理を使用して、円錐の高さを計算し、続いてその体積を計算します。

米。 1. 円錐台の形をした生命の物体

新しい形状は幾何学のどこから来ると思いますか? すべては非常に単純です。人は人生で似たようなオブジェクトに遭遇し、それらに名前を付けます。サーカスでライオンが座る台、ニンジンの一部だけを切り取ったもの、活火山、そしてたとえば懐中電灯の光を考えてみましょう (図 1 を参照)。

米。 2. 幾何学的形状

これらの図はすべて同じような形状であることがわかります。上下ともに円で囲まれていますが、上に向かって先細になっています (図 2 を参照)。

米。 3. コーンの上部を切り取る

円錐形のように見えます。上部が欠けているだけです。円錐を取り出し、鋭い剣の一振りでその上部を切り落とすことを頭の中で想像してみましょう (図 3 を参照)。

米。 4. 円錐台

結果はまさに私たちの図であり、円錐台と呼ばれます (図 4 を参照)。

米。 5. 円錐の底面に平行な断面

コーンを与えましょう。この円錐の底面に平行で、円錐と交差する平面を描きましょう (図 5 を参照)。

円錐を 2 つの本体に分割します。そのうちの 1 つは小さな円錐で、もう 1 つは円錐台と呼ばれます (図 6 を参照)。

米。 6. 平行断面を持つ結果のボディ

したがって、円錐台は、その底面とその底面に平行な平面との間に囲まれた円錐の一部です。円錐と同様に、円錐台の底面に円がある場合もあり、その場合は円形と呼ばれます。元の円錐が真っ直ぐであれば、円錐台は真っ直ぐと呼ばれます。円錐の場合と同様に、間接的な円錐台について話しているか、またはその底面が円ではないということが特に明記されていない限り、直線の円錐台のみを考慮します。

米。 7. 直方体台形の回転

私たちの世界的なトピックは回転体です。円錐台も例外ではありません。円錐を取得するために、直角三角形を考慮し、それを脚の周りで回転させたことを思い出してください。結果として得られる円錐が底面に平行な平面と交差する場合、三角形は直方体台形のままになります。小さい方の側面を中心に回転すると、円錐台が得られます。もちろん、ここではまっすぐな円錐についてのみ話していることにもう一度注意してください (図 7 を参照)。

米。 8. 円錐台の底面

いくつかコメントしてみましょう。完全な円錐の底面と、その円錐を平面で切断した円を円錐台の底面（下部および上部）と呼びます（図 8 を参照）。

米。 9. 円錐台のジェネレーター

円錐台の底面の間に囲まれた完全な円錐のジェネレーターのセグメントは、円錐台のジェネレーターと呼ばれます。元の円錐のジェネレーターはすべて等しく、カットオフ円錐のジェネレーターもすべて等しいため、円錐台のジェネレーターも等しいことになります (カットオフと円錐台を混同しないでください)。これは、台形の軸方向の断面が二等辺であることを意味します (図 9 を参照)。

円錐台の内側に囲まれた回転軸の部分を円錐台の軸と呼びます。もちろん、このセグメントはそのベースの中心を接続します (図 10 を参照)。