panel
Menentukan angka pada bidang koordinat dengan persamaan dan pertidaksamaan. Mendefinisikan angka pada bidang koordinat dengan persamaan dan pertidaksamaan Cara menggambarkan suatu himpunan pada bidang koordinat

Menentukan angka pada bidang koordinat dengan persamaan dan pertidaksamaan. Mendefinisikan angka pada bidang koordinat dengan persamaan dan pertidaksamaan Cara menggambarkan suatu himpunan pada bidang koordinat

Seringkali perlu untuk menggambarkan pada bidang koordinat himpunan solusi untuk ketidaksetaraan dengan dua variabel. Solusi untuk pertidaksamaan dengan dua variabel adalah sepasang nilai dari variabel-variabel ini yang mengubah pertidaksamaan yang diberikan menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya.

2thn+ Zx< 6.

Mari menggambar garis lurus terlebih dahulu. Untuk melakukan ini, kami menulis ketidaksetaraan sebagai persamaan 2thn+ Zx = 6 dan ekspresikan y. Jadi, kita mendapatkan: y=(6-3x)/2.

Garis ini membagi himpunan semua titik bidang koordinat menjadi titik di atasnya dan titik di bawahnya.

Ambil meme dari setiap daerah pos pemeriksaan, misalnya A (1; 1) dan B (1; 3)

Koordinat titik A memenuhi pertidaksamaan yang diberikan 2y + 3x< 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.

Koordinat titik B bukan penuhi pertidaksamaan ini 2∙3 + 3∙1< 6.

Karena pertidaksamaan ini dapat mengubah tanda pada garis 2y + Zx = 6, maka pertidaksamaan tersebut memenuhi himpunan titik-titik dari luasan titik A. Mari kita arsir luasan tersebut.

Jadi, kami telah menggambarkan himpunan solusi untuk ketidaksetaraan 2y + Zx< 6.

Contoh

Kami menggambarkan himpunan penyelesaian pertidaksamaan x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 > 0 pada bidang koordinat.

Pertama, kita buat grafik dari persamaan x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 \u003d 0. Kita bagi persamaan lingkaran dalam persamaan ini: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 - 4y + 4) \u003d 4, atau (x + 1) 2 + (y - 2) 2 \u003d 2 2.

Ini adalah persamaan lingkaran yang berpusat di titik 0 (-1; 2) dan berjari-jari R = 2. Mari kita buat lingkaran ini.

Karena ketidaksetaraan ini ketat dan titik-titik yang terletak pada lingkaran itu sendiri tidak memenuhi ketidaksetaraan tersebut, kami membangun lingkaran dengan garis putus-putus.

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa koordinat pusat O lingkaran tidak memenuhi ketidaksetaraan ini. Ekspresi x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 mengubah tandanya pada lingkaran yang dibangun. Kemudian pertidaksamaan tersebut dipenuhi oleh titik-titik yang terletak di luar lingkaran. Titik-titik ini diarsir.

Contoh

Mari kita gambarkan pada bidang koordinat himpunan solusi dari pertidaksamaan

(y - x 2) (y - x - 3)< 0.

Pertama, kami membuat grafik persamaan (y - x 2) (y - x - 3) \u003d 0. Ini adalah parabola y \u003d x 2 dan garis lurus y \u003d x + 3. Kami membuat garis-garis ini dan perhatikan bahwa perubahan tanda ekspresi (y - x 2) (y - x - 3) hanya terjadi pada baris-baris ini. Untuk titik A (0; 5), kami menentukan tanda dari ungkapan ini: (5-3) > 0 (yaitu, pertidaksamaan ini tidak terpenuhi). Sekarang mudah untuk menandai kumpulan titik yang memenuhi ketidaksetaraan ini (area ini diarsir).

Algoritma untuk Memecahkan Pertidaksamaan dengan Dua Variabel

1. Kami mengurangi pertidaksamaan menjadi bentuk f (x; y)< 0 (f (х; у) >0; f(x;y) ≤ 0; f(x;y) ≥ 0;)

2. Kami menulis persamaan f (x; y) = 0

3. Kenali grafik yang direkam di sisi kiri.

4. Kami membuat grafik ini. Jika pertidaksamaan ketat (f (x; y)< 0 или f (х; у) >0), lalu - dengan guratan, jika pertidaksamaan tidak ketat (f (x; y) ≤ 0 atau f (x; y) ≥ 0), maka - dengan garis padat.

5. Tentukan berapa bagian grafik yang dibagi ke dalam bidang koordinat

6. Pilih salah satu bagian ini pos pemeriksaan. Tentukan tanda ekspresi f (x; y)

7. Kami mengatur tanda-tanda di bagian lain dari pesawat, dengan mempertimbangkan pergantian (sebagai metode interval)

8. Kami memilih bagian yang kami butuhkan sesuai dengan tanda ketidaksetaraan yang sedang kami selesaikan, dan menerapkan arsiran

Biarkan diberikan persamaan dengan dua variabel F(x; y). Anda telah belajar bagaimana menyelesaikan persamaan tersebut secara analitik. Himpunan solusi dari persamaan tersebut juga dapat direpresentasikan dalam bentuk grafik.

Grafik dari persamaan F(x; y) adalah himpunan titik-titik bidang koordinat xOy yang koordinatnya memenuhi persamaan tersebut.

Untuk memplot persamaan dua variabel, pertama-tama nyatakan variabel y dalam bentuk variabel x dalam persamaan.

Tentunya Anda sudah mengetahui cara membuat berbagai grafik persamaan dengan dua variabel: ax + b \u003d c adalah garis lurus, yx \u003d k adalah hiperbola, (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2 adalah lingkaran dengan jari-jari R, dan berpusat di titik O(a; b).

Contoh 1

Gambarkan persamaan x 2 - 9y 2 = 0.

Keputusan.

Mari kita faktorkan sisi kiri persamaan.

(x - 3y)(x+ 3y) = 0, yaitu y = x/3 atau y = -x/3.

Jawaban: gambar 1.

Tempat khusus ditempati oleh penempatan angka-angka pada bidang dengan persamaan yang berisi tanda nilai absolut, yang akan kita bahas lebih detail. Perhatikan tahapan-tahapan memplot persamaan berbentuk |y| = f(x) dan |y| = |f(x)|.

Persamaan pertama setara dengan sistem

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) atau y = -f(x).

Artinya, grafiknya terdiri dari grafik dua fungsi: y = f(x) dan y = -f(x), dengan f(x) ≥ 0.

Untuk memplot grafik persamaan kedua, grafik dua fungsi diplot: y = f(x) dan y = -f(x).

Contoh 2

Gambarkan persamaan |y| = 2 + x.

Keputusan.

Persamaan yang diberikan setara dengan sistem

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 atau y = -x - 2.

Kami membangun satu set poin.

Jawaban: gambar 2.

Contoh 3

Gambarkan persamaan |y – x| = 1.

Keputusan.

Jika y ≥ x, maka y = x + 1, jika y ≤ x, maka y = x - 1.

Jawaban: gambar 3.

Saat membuat grafik persamaan yang berisi variabel di bawah tanda modul, akan lebih mudah dan rasional untuk digunakan metode daerah, berdasarkan pemisahan bidang koordinat menjadi bagian-bagian di mana setiap ekspresi submodul mempertahankan tandanya.

Contoh 4

Gambarkan persamaan x + |x| + y + |y| = 2.

Keputusan.

Dalam contoh ini, tanda dari setiap ekspresi submodul bergantung pada kuadran koordinat.

1) Pada kuartal koordinat pertama x ≥ 0 dan y ≥ 0. Setelah memperluas modul, persamaan yang diberikan akan terlihat seperti:

2x + 2y = 2, dan setelah disederhanakan x + y = 1.

2) Pada kuartal kedua, di mana x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) Pada kuartal ketiga x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) Pada triwulan keempat, untuk x ≥ 0 dan y< 0 получим, что x = 1.

Kami akan memplot persamaan ini dalam kuartal.

Jawaban: gambar 4.

Contoh 5

Gambarlah himpunan titik-titik yang koordinatnya memenuhi persamaan |x – 1| + |y – 1| = 1.

Keputusan.

Nol dari ekspresi submodul x = 1 dan y = 1 membagi bidang koordinat menjadi empat wilayah. Mari kita uraikan modul berdasarkan wilayah. Mari kita taruh dalam bentuk tabel.

Wilayah	Tanda ekspresi submodul	Persamaan yang dihasilkan setelah memperluas modul
Saya	x ≥ 1 dan y ≥ 1	x + y = 3
II	x< 1 и y ≥ 1	-x+y=1
AKU AKU AKU	x< 1 и y < 1	x + y = 1
IV	x ≥ 1 dan y< 1	x – y = 1

Jawaban: gambar 5.

Pada bidang koordinat, angka dapat ditentukan dan ketidaksetaraan.

Grafik ketidaksetaraan dengan dua variabel adalah himpunan semua titik bidang koordinat yang koordinatnya merupakan solusi dari pertidaksamaan ini.

Mempertimbangkan algoritma untuk membangun model untuk menyelesaikan pertidaksamaan dengan dua variabel:

Tuliskan persamaan yang sesuai dengan pertidaksamaan.
Plot persamaan dari langkah 1.
Pilih titik sembarang di salah satu setengah bidang. Periksa apakah koordinat titik yang dipilih memenuhi pertidaksamaan yang diberikan.
Gambarkan secara grafis himpunan semua solusi pertidaksamaan.

Pertimbangkan, pertama-tama, pertidaksamaan ax + bx + c > 0. Persamaan ax + bx + c = 0 mendefinisikan garis lurus yang membagi bidang menjadi dua setengah bidang. Pada masing-masingnya, fungsi f(x) = ax + bx + c adalah mempertahankan tanda. Untuk menentukan tanda ini, cukup mengambil titik mana pun yang termasuk dalam setengah bidang dan menghitung nilai fungsi pada titik tersebut. Jika tanda fungsi bertepatan dengan tanda pertidaksamaan, maka setengah bidang ini akan menjadi solusi dari pertidaksamaan.

Pertimbangkan contoh solusi grafis untuk ketidaksetaraan yang paling umum dengan dua variabel.

1) kapak + bx + c ≥ 0. Gambar 6.

2) |x| ≤ a, a > 0. Gambar 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Angka 8.

4) y ≥ x2. Gambar 9

5) xy ≤ 1. Gambar 10.

Jika Anda memiliki pertanyaan atau ingin berlatih memodelkan himpunan semua solusi pertidaksamaan dua variabel menggunakan pemodelan matematika, Anda bisa pelajaran 25 menit gratis dengan tutor online setelah Anda mendaftar. Untuk pekerjaan lebih lanjut dengan guru, Anda akan memiliki kesempatan untuk memilih paket tarif yang sesuai untuk Anda.

Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak tahu cara menggambar sosok di bidang koordinat?
Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.
Pelajaran pertama gratis!

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Ayo telepon (x, y) pasangan terurut, dan X dan pada adalah komponen dari pasangan ini. Pada saat yang sama, mereka menganggap itu (X 1 pada 1 ) = (x 2 .y 2 ), jika x 1 = x 2 dan pada 1 = pada 2 .

__________________________________________________________________

Definisi 9. Hasil kali Cartesian dari himpunan A dan B disebut himpunan A B, yang semua elemennya berpasangan (x,y) sehingga x Ah, kamu B, mis. DAN B \u003d ((x, y) / x Ah, kamu PADA).

_____________________________________________________________________________________________

Temukan, misalnya, produk Cartesian dari himpunan A = (1,3} dan B = (2,4,6).

DAN PADA= {(1, 2);(1, 4);(1, 6);(3, 2);(3, 4);(3, 6)}.

Operasi dimana produk Cartesian ditemukan disebut perkalian Cartesian dari set.

Perkalian himpunan Cartesian tidak memiliki sifat komutatif maupun sifat asosiatif, tetapi dikaitkan dengan operasi penyatuan dan pengurangan himpunan dengan sifat distributif:

untuk setiap set A, B, C persamaan terjadi:

(DAN PADA) C = (A DARI) (PADA DARI),

(A\B) DARI= (DAN C)\(B DARI).

Untuk representasi visual dari produk Cartesian dari himpunan numerik, sistem koordinat persegi panjang sering digunakan.

Membiarkan DAN dan PADA - set nomor. Kemudian elemen produk Cartesian dari himpunan ini akan diurutkan pasangan angka. Menggambarkan setiap pasangan angka sebagai titik pada bidang koordinat, kita mendapatkan gambar yang secara visual akan mewakili produk himpunan Cartesian DAN dan PADA.

Mari kita wakili pada bidang koordinat produk Cartesian dari himpunan DAN dan PADA, jika:

sebuah) SEBUAH = {2, 6}; B ={1,4}, b) A = (2,6}; PADA= , di dalam) A = ;B =.

Dalam kasus a) himpunan-himpunan ini berhingga dan dimungkinkan untuk menyebutkan satu persatu unsur-unsur hasil kali Cartesian.

DAN B ={(2, 1); (2, 4); (6, 1); (6, 4)}. Kami membangun sumbu koordinat dan pada sumbu OH menandai unsur-unsur himpunan DAN, dan pada sumbu OU - mengatur elemen PADA. Kemudian kami menggambarkan setiap pasangan angka dalam himpunan АВ sebagai titik pada bidang koordinat (Gbr. 7). Angka yang dihasilkan dari empat poin secara visual akan mewakili produk Cartesian dari himpunan ini DAN dan PADA.

Dalam kasus b) tidak mungkin menghitung semua elemen produk kali Cartesian dari himpunan, karena sekelompok PADA- tidak terbatas, tetapi Anda dapat membayangkan proses pembentukan produk Cartesian ini: di setiap pasangan, komponen pertama atau 2 , atau 6 , dan komponen kedua adalah bilangan real dari interval .

Semua pasangan yang komponen pertamanya adalah angka 2 , dan yang kedua menjalankan nilai dari 1 sebelum 4 inklusif, diwakili oleh titik segmen SD, dan pasangan yang komponen pertamanya adalah angka 6 , dan yang kedua adalah bilangan real apa pun dari interval , – titik segmen RS (Gbr. 8). Jadi, dalam kasus b) produk Cartesian dari himpunan DAN dan PADA pada bidang koordinat digambarkan sebagai segmen SD dan RS.

Beras. 7 Gambar. 8 Gambar. sembilan

Kasus c) berbeda dari kasus b) di sini tidak hanya himpunan PADA, tetapi juga banyak DAN, jadi, komponen pertama dari pasangan milik himpunan DAN PADA, adalah angka apa pun dari interval . Poin yang menggambarkan elemen produk himpunan Cartesian DAN dan PADA, membentuk persegi SVUL (Gbr. 9). Untuk menekankan bahwa unsur-unsur produk Cartesian diwakili oleh titik-titik persegi, dapat diarsir.

pertanyaan tes

Tunjukkan bahwa penyelesaian soal-soal berikut mengarah pada pembentukan produk kali Cartesian dari himpunan:

a) Tuliskan semua pecahan yang pembilangnya adalah bilangan dari himpunan tersebut A ={3, 4} , dan penyebutnya adalah bilangan dari himpunan B = (5,6, 7}.

b) Tulis angka dua digit yang berbeda menggunakan angka 1, 2, 3, 4.

Buktikan bahwa untuk setiap set A, B, C persamaan yang adil (DAN PADA)С = (DAN DARI) (PADA DARI). Gambarkan kepuasannya untuk set DAN= {2, 4, 6}, B=(1,3, 5), C = (0, 1).

Bentuk apa yang dibentuk oleh titik-titik pada bidang koordinat jika koordinatnya adalah elemen dari produk himpunan Cartesian DAN= (– 3, 3) dan PADA= R

Tentukan produk Cartesian dari himpunan mana DAN dan PADA ditunjukkan pada Gambar 10.

Beras. 10

Latihan

112. Tuliskan semua bilangan dua digit yang digit puluhannya termasuk dalam himpunan tersebut DAN= {1, 3, 5} , dan digit unit - ke himpunan B = (2,4,6).

113. Tuliskan semua pecahan yang pembilangnya dipilih dari himpunan tersebut A=(3,5, 7}, dan penyebutnya dari himpunan B={4, 6, 8}.

114. Tulis semuanya pecahan yang tepat, yang pembilangnya dipilih dari himpunan A =(3, 5,7), dan penyebutnya berasal dari himpunan tersebut B= (4, 6,8}.

115. Set diberikan P ={1, 2, 3}, K \u003d (a,b}. Temukan semua produk Cartesian dari himpunan R Ke dan K R.

116. Diketahui bahwa DAN PADA= ((1, 2); (3, 2); (1, 4); (3, 4); (1, 6); (3, 6)). Tentukan unsur-unsur apa yang terdiri dari himpunan-himpunan itu DAN dan PADA.

117. Tulis Set (DAN PADA) DARI dan DAN (PADA DARI) transfer uap , jika DAN=(sebuah,b}, B = {3}, C={4, 6}

118. Membuat set DAN B, B DAN, jika:

sebuah )A = (a,b,s),B=(d},

b) SEBUAH = { sebuah, b}, B =  ,

di dalam) A \u003d (t, p,k), B = A,

G) SEBUAH = { x, y, z}, B = { k, n}

119. Diketahui bahwa DAN B = ((2.3), (2.5), (2.6), (3.3), (3.5), (3.6)). Tentukan unsur-unsur apa yang terdiri dari himpunan-himpunan itu DAN dan PADA.

120. Temukan Produk Cartesian dari Himpunan A = {5, 9, 4} dan PADA= {7, 8, 6} dan pilih darinya subhimpunan pasangan di mana:

a) komponen pertama lebih besar dari yang kedua; b) komponen pertama adalah 5; c) komponen kedua adalah 7.

121. Sebutkan unsur-unsur yang termasuk produk kali Cartesian dari himpunan A, B dan DARI, jika:

sebuah) A = (2, 3}, B = (7, 8, 9}, DARI= {1, 0};

b) A = B= DARI= {2, 3};

di dalam) DAN= {2, 3}, B = {7, 8, 9}, C = 

122. Gambarlah pada bidang koordinat unsur-unsur hasil kali Cartesian dari himpunan A dan B jika:

sebuah) A \u003d (x / x N,2 < X< 4}, PADA= (x/x N, x< 3};

b) A \u003d (x / x R, 2 < х < 4}, В = {х/х  N, x< 3};

di dalam) DAN= ; PADA= .

123. Semua elemen produk Cartesian dari dua himpunan SEBUAH dan B ditampilkan sebagai titik dalam sistem koordinat persegi panjang. Tulis Set SEBUAH dan PADA(Gbr. 11).

Beras. 13

124. Gambarlah pada bidang koordinat unsur-unsur hasil kali Cartesian dari himpunan X dan Y jika:

sebuah) Х=(–1.0, 1.2),Y={2, 3,4};

b) Х=(–1.0, 1.2),Y=;

di dalam) Х = [–1;2],Y = {2, 3, 4};

G) X= , Y = ;

e) X = [–3; 2], Y = ;

dan) X = ]–3;2[, Y= R;

h) X=(2),Y= R;

dan) X=R, Y = {–3}.

125. Angka yang ditunjukkan pada gambar. 14 adalah hasil gambar pada bidang koordinat produk Cartesian dari himpunan X dan Y. Tentukan himpunan ini untuk setiap gambar.

Beras. empat belas

126. Cari tahu produk Cartesian mana yang dua himpunannya diwakili pada bidang koordinat sebagai setengah bidang. Pertimbangkan semua kasus.

127. Tetapkan produk Cartesian yang dua himpunan digambarkan pada bidang koordinat sebagai sudut siku-siku, yang terbentuk ketika sumbu koordinat berpotongan.

128. Pada bidang koordinat, buat garis sejajar dengan sumbu OH dan melewati titik R(–2, 3).

129. Pada bidang koordinat, buat garis sejajar dengan sumbu HAIY dan melewati titik R(–2, 3). Tentukan produk Cartesian yang dua himpunannya diwakili pada bidang koordinat sebagai garis lurus ini.

130. Pada bidang koordinat, buatlah garis yang dibatasi oleh garis lurus yang melewati titik (–2, 0) dan (2, 0) dan sejajar dengan sumbu HAIY. Jelaskan himpunan poin milik strip ini.

131. Buatlah persegi panjang pada bidang koordinat, yang simpulnya adalah titik DAN(–3, 5), PADA(–3, 8), DARI(7, 5), D (7, 8). Jelaskan himpunan titik-titik pada persegi panjang tersebut.

132. Bangun pada bidang koordinat satu set titik yang koordinatnya memenuhi syarat:

sebuah) X R, y= 5;

b) X= –3, pada R;

di dalam) X R, |y| = 2;

G) | x| = 3, pada R;

e) X R, y≥ 4;

e) x  R, y  4;

dan) X R, |y| 4;

h) | x|  4, |y| 3 ;

dan) |x| ≥1, |y| ≥ 4;

ke) |x| ≥ 2, y R.

133. Gambarlah unsur-unsur hasil kali Cartesian dari himpunan pada bidang koordinat X dan Y, jika:

sebuah) X = R, Y = {3}; b) X = R, Y = [–3; 3]; di dalam) X = .

134. Pada bidang koordinat, buatlah gambar F jika

sebuah) F= ((x, y)| x = 2, y R}

b) F= ((x, y) |x R, y = –3);

di dalam) F= ((x, y) | x 2, kamu R};

G) F= ((x, y) | x KE,y≥ – 3};

e) F= ((x, y) | |x| = 2, y R};

e) F=((x,y) |x R, |y| = 3).

135. Bangun persegi panjang dengan simpul di titik-titik (–3, 4), (–3, –3), (1, –3), (1, 4). Tentukan properti karakteristik dari titik-titik milik persegi panjang ini.

136. Pada bidang koordinat, buat garis lurus sejajar dengan sumbu OX dan melalui titik (2, 3) dan (2, -1). Atur produk Cartesian yang dua setnya ditampilkan pada bidang koordinat sebagai strip yang tertutup di antara garis yang dibangun.

137. Pada bidang koordinat, buat garis sejajar dengan sumbu OY dan melalui titik (2, 3) dan (–2, 3). Atur produk Cartesian yang dua setnya ditampilkan pada bidang koordinat sebagai strip yang tertutup di antara garis yang dibangun.

138. Gambarlah suatu himpunan dalam sistem koordinat persegi panjang X Y, jika:

sebuah) X = R; Y ={ y pada R, |pada| < 3},

b) X= {x/ x R, |X| > 2}; Y= (Y y R, |pada| > 4}.

Untuk bab ini, siswa harus dapat:

Tentukan set dengan cara yang berbeda;

Tetapkan hubungan antar set dan gambarkan menggunakan diagram Euler-Venn;

Buktikan persamaan dua himpunan;

Lakukan operasi pada himpunan dan ilustrasikan secara geometris menggunakan diagram Euler-Venn;

Pisahkan set menjadi beberapa kelas menggunakan satu atau lebih properti; mengevaluasi kebenaran klasifikasi yang dilakukan.