Tentukan garis pada bidang yang diberikan oleh persamaan. Persamaan garis lurus, jenis persamaan garis lurus pada bidang
Pertimbangkan fungsi yang diberikan oleh rumus (persamaan)
Fungsi ini, dan karenanya persamaan (11), sesuai pada bidang dengan garis yang terdefinisi dengan baik, yang merupakan grafik fungsi ini (lihat Gambar 20). Dari definisi grafik fungsi, garis ini terdiri dari titik-titik dan hanya titik-titik pada bidang yang koordinatnya memenuhi persamaan (11).
Biarkan sekarang
Garis, yang merupakan grafik fungsi ini, terdiri dari titik-titik dan hanya titik-titik pada bidang yang koordinatnya memenuhi persamaan (12). Ini berarti bahwa jika suatu titik terletak pada garis tertentu, maka koordinatnya memenuhi persamaan (12). Jika titik tersebut tidak terletak pada garis ini, maka koordinatnya tidak memenuhi persamaan (12).
Persamaan (12) diselesaikan sehubungan dengan y. Pertimbangkan persamaan yang mengandung x dan y yang tidak diselesaikan sehubungan dengan y, seperti persamaan
Mari kita tunjukkan bahwa sebuah garis sesuai dengan persamaan ini pada bidang, yaitu lingkaran yang berpusat pada titik asal koordinat dan dengan jari-jari sama dengan 2. Mari kita tulis ulang persamaan dalam bentuk
Sisi kirinya adalah kuadrat jarak titik dari titik asal (lihat 2, butir 2, rumus 3). Dari persamaan (14) diketahui bahwa kuadrat jarak ini adalah 4.
Ini berarti bahwa setiap titik yang koordinatnya memenuhi persamaan (14), dan karenanya persamaan (13), terletak pada jarak 2 dari titik asal.
Tempat kedudukan titik-titik tersebut adalah lingkaran yang berpusat pada titik asal dan jari-jari 2. Lingkaran ini akan menjadi garis yang sesuai dengan persamaan (13). Koordinat setiap titiknya jelas memenuhi persamaan (13). Jika titik tersebut tidak terletak pada lingkaran yang kita temukan, maka kuadrat jaraknya dari titik asal akan lebih besar atau lebih kecil dari 4, yang berarti bahwa koordinat titik tersebut tidak memenuhi persamaan (13).
Biarkan sekarang, dalam kasus umum, diberikan persamaan
di sisi kiri yang merupakan ekspresi yang mengandung x dan y.
Definisi. Garis yang didefinisikan oleh persamaan (15) adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang koordinatnya memenuhi persamaan ini.
Ini berarti bahwa jika garis L ditentukan oleh persamaan, maka koordinat sembarang titik L memenuhi persamaan ini, dan koordinat sembarang titik pada bidang yang terletak di luar L tidak memenuhi persamaan (15).
Persamaan (15) disebut persamaan garis
Komentar. Seharusnya tidak dianggap bahwa persamaan apa pun mendefinisikan garis apa pun. Misalnya, persamaan tidak mendefinisikan garis apa pun. Memang, untuk setiap nilai nyata dari dan y, sisi kiri persamaan ini positif, dan sisi kanan sama dengan nol, dan oleh karena itu, persamaan ini tidak dapat memenuhi koordinat titik mana pun di bidang
Sebuah garis dapat didefinisikan pada bidang tidak hanya dengan persamaan yang memuat koordinat Cartesius, tetapi juga dengan persamaan dalam koordinat kutub. Garis yang didefinisikan oleh persamaan dalam koordinat kutub adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang koordinat kutubnya memenuhi persamaan ini.
Contoh 1. Bangun spiral Archimedes di .
Larutan. Mari kita buat tabel untuk beberapa nilai sudut kutub dan nilai jari-jari kutub yang sesuai.
Kami membangun sebuah titik dalam sistem koordinat kutub, yang, jelas, bertepatan dengan kutub; kemudian, menggambar sumbu pada sudut ke sumbu kutub, kami membuat titik dengan koordinat positif pada sumbu ini; setelah itu, kami juga membangun titik dengan nilai positif dari sudut kutub dan jari-jari kutub (sumbu untuk titik-titik ini tidak ditunjukkan pada Gambar. 30).
Seperti diketahui, setiap titik pada bidang ditentukan oleh dua koordinat dalam beberapa sistem koordinat. Sistem koordinat dapat berbeda tergantung pada pilihan basis dan asal.
Definisi: Persamaan garis adalah hubungan y = f(x) antara koordinat titik-titik yang membentuk garis ini.
Perhatikan bahwa persamaan garis dapat dinyatakan dalam cara parametrik, yaitu, setiap koordinat setiap titik dinyatakan melalui beberapa parameter independen t. Contoh tipikal adalah lintasan titik yang bergerak. Dalam hal ini, waktu berperan sebagai parameter.
Macam-macam persamaan garis lurus
Persamaan umum garis lurus.
Setiap garis pada bidang dapat diberikan oleh persamaan orde pertama
Ah + Wu + C = 0,
selain itu, konstanta A, B tidak sama dengan nol pada saat yang sama, yaitu. A 2 + B 2 0. Persamaan orde pertama ini disebut persamaan umum garis lurus .
Tergantung pada nilai konstanta A, B dan C, kasus khusus berikut mungkin terjadi:
C \u003d 0, A 0, B 0 - garis melewati titik asal
A \u003d 0, B 0, C 0 ( By + C \u003d 0) - garis sejajar dengan sumbu Ox
B \u003d 0, A 0, C 0 (Ax + C \u003d 0) - garis sejajar dengan sumbu Oy
B \u003d C \u003d 0, A 0 - garis lurus bertepatan dengan sumbu Oy
A \u003d C \u003d 0, B 0 - garis lurus bertepatan dengan sumbu Ox
Persamaan garis lurus dapat dinyatakan dalam berbagai bentuk tergantung pada kondisi awal yang diberikan.
Persamaan garis lurus yang melalui dua titik.
Misalkan dua titik M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2) diberikan dalam ruang, maka persamaan garis lurus yang melalui titik-titik ini:
Jika salah satu penyebutnya sama dengan nol, pembilangnya harus sama dengan nol. Pada bidang, persamaan garis lurus yang ditulis di atas disederhanakan:
jika x 1 x 2 dan x \u003d x 1, jika x 1 \u003d x 2.
Pecahan = k disebut kemiringan garis lurus.
Persamaan garis lurus dengan titik dan kemiringan.
Jika persamaan umum garis lurus Ax + Vy + C = 0 menghasilkan bentuk:
dan dinotasikan , maka persamaan yang dihasilkan disebut persamaan garis lurus dengan kemiringan k.
Persamaan garis lurus dalam segmen.
Jika dalam persamaan umum garis lurus Ah + Vu + = 0 0, maka, dibagi dengan –С, kita peroleh: atau
Arti geometris dari koefisien adalah bahwa koefisien sebuah adalah koordinat titik potong garis dengan sumbu x, dan b- koordinat titik potong garis lurus dengan sumbu Oy.
Persamaan normal garis lurus.
Jika kedua bagian persamaan Ax + Vy + C = 0 dibagi dengan bilangan , yang disebut faktor normalisasi, maka diperoleh
xcosj + ysinj - p = 0 –
persamaan normal garis lurus.
Tanda ± dari faktor normalisasi harus dipilih sehingga m ×< 0.
p adalah panjang tegak lurus yang dijatuhkan dari titik asal ke garis lurus, dan j adalah sudut yang dibentuk oleh tegak lurus ini dengan arah positif sumbu Ox.
Sudut antar garis pada bidang.
Jika dua garis diberikan y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , maka sudut lancip antara garis-garis ini akan didefinisikan sebagai
Dua garis sejajar jika k 1 = k 2 .
Dua garis tegak lurus jika k 1 = -1/k 2 .
Dalil. Garis lurus Ax + Vy + C \u003d 0 dan A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sejajar ketika koefisien A 1 \u003d lA, B 1 \u003d lB proporsional. Jika juga C 1 = lC, maka garis-garisnya bertepatan.
Koordinat titik potong dua garis ditemukan sebagai solusi sistem dua persamaan.
Jarak dari titik ke garis.
Dalil. Jika titik M(x 0, y 0) diberikan, maka jarak ke garis Ax + Vy + C \u003d 0 didefinisikan sebagai
Kuliah 5
Pengantar analisis. Kalkulus diferensial fungsi satu variabel.
BATAS FUNGSI
Batas suatu fungsi di suatu titik.
0 a - D a a + D x
Gambar 1. Batas suatu fungsi pada suatu titik.
Biarkan fungsi f(x) didefinisikan di beberapa lingkungan dari titik x = a (yaitu, pada titik x = a itu sendiri, fungsi mungkin tidak didefinisikan)
Definisi. Bilangan A disebut limit fungsi f(x) untuk x®a jika untuk sembarang e>0 terdapat bilangan D>0 sedemikian sehingga untuk semua x sedemikian sehingga
0 < ïx - aï < D
pertidaksamaan f(x) - Aï< e.
Definisi yang sama dapat ditulis dalam bentuk yang berbeda:
Jika a - D< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.
Menulis limit suatu fungsi di suatu titik:
Definisi.
Jika f(x) ® A 1 untuk x ® a hanya untuk x< a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A 2 при х ® а только при x >a, maka disebut limit fungsi f(x) di titik x = a di sebelah kanan.
Definisi di atas mengacu pada kasus ketika fungsi f(x) tidak didefinisikan pada titik x = a itu sendiri, tetapi didefinisikan dalam beberapa lingkungan kecil sewenang-wenang dari titik ini.
Batas A 1 dan A 2 juga disebut sepihak di luar fungsi f(x) di titik x = a. Dikatakan juga bahwa A batas fungsi f(x).
Persamaan garis pada bidang.
Seperti diketahui, setiap titik pada bidang ditentukan oleh dua koordinat dalam beberapa sistem koordinat. Sistem koordinat dapat berbeda tergantung pada pilihan basis dan asal.
Definisi. persamaan garis disebut rasio y=f(x ) antara koordinat titik-titik yang membentuk garis ini.
Perhatikan bahwa persamaan garis dapat dinyatakan dalam cara parametrik, yaitu, setiap koordinat setiap titik dinyatakan melalui beberapa parameter independent.
Contoh tipikal adalah lintasan titik yang bergerak. Dalam hal ini, waktu berperan sebagai parameter.
Persamaan garis lurus pada bidang.
Definisi. Setiap garis pada bidang dapat diberikan oleh persamaan orde pertama
Ah + Wu + C = 0,
selain itu, konstanta A, B tidak sama dengan nol pada saat yang sama, yaitu. A2 + B2¹ 0. Persamaan orde pertama ini disebut persamaan umum garis lurus.
Bergantung pada nilai konstanta A, B dan C, kasus khusus berikut dimungkinkan:
C = 0, A 0, B 0 - garis melewati titik asal
A = 0, B 0, C 0 ( Oleh + C \u003d 0) - garis lurus sejajar dengan sumbu Ox
B = 0, A 0, C 0 ( Ax + C = 0) - garis lurus yang sejajar dengan sumbu Oy
B \u003d C \u003d 0, A 0 - garis bertepatan dengan sumbu Oy
A = C = 0, B 0 - garis bertepatan dengan sumbu Ox
Persamaan garis lurus dapat disajikan dalam berbagai bentuk tergantung pada kondisi awal yang diberikan.
Jarak dari titik ke garis.
Dalil. Jika titik M(x 0, y 0) diberikan, maka jarak ke garis Ax + Vy + C \u003d 0 didefinisikan sebagai
.
Bukti. Biarkan titik M 1 (x 1, y 1) menjadi alas dari garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik M ke garis yang diberikan. Maka jarak antara titik M dan M 1 :
(1)
Koordinat x 1 dan y 1 dapat ditemukan sebagai solusi dari sistem persamaan:
Persamaan kedua dari sistem adalah persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu M 0 tegak lurus terhadap garis lurus tertentu.
Jika kita mengubah persamaan pertama dari sistem ke bentuk:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Oleh 0 + C = 0,
kemudian, penyelesaiannya, kita dapatkan:
Mensubstitusi ekspresi ini ke dalam persamaan (1), kami menemukan:
.
Teorema telah terbukti.
Contoh. Tentukan sudut antara garis: y=-3x+7; y = 2x+1.
K 1 \u003d -3; k 2 = 2tg j = ; j = p/4.
Contoh. Tunjukkan bahwa garis 3x - 5y + 7 = 0 dan 10x + 6y - 3 = 0 tegak lurus.
Cari: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, maka garis-garisnya tegak lurus.
Contoh. Diketahui simpul dari segitiga A(0; 1), B(6;5),C (12; -1). Tentukan persamaan ketinggian yang diambil dari titik C.
Dalam artikel terakhir, kami mempertimbangkan poin-poin utama mengenai topik garis lurus di pesawat. Sekarang mari kita lanjutkan mempelajari persamaan garis lurus: pertimbangkan persamaan mana yang dapat disebut persamaan garis lurus, dan juga bentuk persamaan garis lurus pada bidang.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Definisi persamaan garis lurus pada bidang
Katakanlah ada garis lurus, yang diberikan dalam sistem koordinat Cartesian persegi panjang O x y.
Definisi 1
Garis lurus- ini sosok geometris, yang terdiri dari titik-titik. Setiap titik memiliki koordinat sendiri di sepanjang sumbu absis dan ordinat. Persamaan yang menggambarkan ketergantungan koordinat setiap titik suatu garis lurus dalam sistem kartesius O x y disebut persamaan garis lurus pada bidang.
Faktanya, persamaan garis lurus pada bidang adalah persamaan dengan dua variabel, yang dilambangkan sebagai x dan y. Persamaan berubah menjadi identitas ketika nilai salah satu titik dari garis lurus disubstitusikan ke dalamnya.
Mari kita lihat bentuk persamaan garis lurus pada bidang yang akan dimiliki. Ini akan menjadi fokus bagian selanjutnya dari artikel kami. Perhatikan bahwa ada beberapa opsi untuk menulis persamaan garis lurus. Ini dijelaskan oleh adanya beberapa cara untuk mengatur garis lurus pada bidang, dan juga oleh spesifikasi tugas yang berbeda.
Mari berkenalan dengan teorema yang mendefinisikan bentuk persamaan garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat Cartesian O x y .
Teorema 1
Persamaan bentuk A x + B y + C = 0 , di mana x dan y adalah variabel, dan A, B dan C adalah beberapa bilangan real, di mana A dan B tidak sama dengan nol, mendefinisikan garis lurus dalam Sistem koordinat kartesius O x y . Pada gilirannya, setiap garis lurus pada bidang dapat diberikan oleh persamaan bentuk A x + B y + C = 0 .
Jadi, persamaan umum garis lurus pada bidang memiliki bentuk A x + B y + C = 0 .
Mari kita jelaskan beberapa aspek penting dari topik tersebut.
Contoh 1
Lihat gambarnya.
Garis dalam gambar ditentukan oleh persamaan dalam bentuk 2 x + 3 y - 2 \u003d 0, karena koordinat titik mana pun yang membentuk garis ini memenuhi persamaan di atas. Pada saat yang sama, sejumlah titik tertentu pada bidang, yang didefinisikan oleh persamaan 2 x + 3 y - 2 = 0, memberi kita garis lurus yang kita lihat pada gambar.
Persamaan umum garis lurus bisa lengkap atau tidak lengkap. Dalam persamaan lengkap, semua angka A, B dan C bukan nol. Dalam semua kasus lain, persamaan dianggap tidak lengkap. Persamaan bentuk A x + B y = 0 mendefinisikan garis lurus yang melalui titik asal. Jika A adalah nol, maka persamaan A x + B y + C = 0 mendefinisikan garis lurus yang sejajar dengan sumbu x O x . Jika B sama dengan nol, maka garis tersebut sejajar dengan sumbu ordinat O y .
Kesimpulan: untuk himpunan nilai tertentu dari bilangan A, B, dan C, dengan menggunakan persamaan umum garis lurus, Anda dapat menulis garis lurus apa pun pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang O x y.
Garis yang diberikan oleh persamaan bentuk A x + B y + C = 0 memiliki vektor garis normal dengan koordinat A , B .
Semua persamaan garis yang diberikan, yang akan kita bahas di bawah, dapat diperoleh dari persamaan umum garis. Proses sebaliknya juga dimungkinkan, ketika salah satu persamaan yang dipertimbangkan dapat direduksi menjadi persamaan umum garis lurus.
Anda dapat memahami semua nuansa topik dalam artikel "Persamaan umum garis lurus." Dalam materi kami memberikan bukti teorema dengan ilustrasi grafis dan analisis rinci contoh. Perhatian khusus diberikan pada transisi dari persamaan umum garis lurus ke persamaan jenis lain dan sebaliknya.
Persamaan garis lurus dalam segmen memiliki bentuk x a + y b = 1 , di mana a dan b adalah beberapa bilangan real yang tidak sama dengan nol. Nilai absolut dari angka a dan b sama dengan panjang segmen yang dipotong oleh garis lurus pada sumbu koordinat. Panjang segmen diukur dari titik asal koordinat.
Berkat persamaan, Anda dapat dengan mudah menggambar garis lurus pada gambar. Untuk melakukan ini, perlu untuk menandai titik a, 0 dan 0, b dalam sistem koordinat persegi panjang, dan kemudian menghubungkannya dengan garis lurus.
Contoh 2
Mari kita membangun garis lurus, yang diberikan oleh rumus x 3 + y - 5 2 = 1. Kami menandai dua titik pada grafik 3 , 0 , 0 , - 5 2 , menghubungkannya bersama.
Persamaan-persamaan ini, yang memiliki bentuk y = k · x + b, harus diketahui dengan baik oleh kita dari kursus aljabar. Di sini x dan y adalah variabel, k dan b adalah beberapa bilangan real, di mana k adalah kemiringannya. Dalam persamaan ini, variabel y adalah fungsi dari argumen x.
Mari kita berikan definisi kemiringan melalui definisi sudut kemiringan garis lurus ke arah positif dari sumbu O x .
Definisi 2
Untuk menyatakan sudut kemiringan garis lurus ke arah positif sumbu O x dalam sistem koordinat Cartesian, kami memperkenalkan nilai sudut . Sudut diukur dari arah positif sumbu x ke garis lurus berlawanan arah jarum jam. Sudut dianggap sama dengan nol jika garisnya sejajar dengan sumbu O x atau berimpit dengannya.
Kemiringan garis lurus adalah garis singgung kemiringan garis lurus itu. Ditulis sebagai berikut k = t g . Untuk garis lurus yang sejajar dengan sumbu O y atau bertepatan dengannya, tidak mungkin untuk menulis persamaan garis lurus dengan kemiringan, karena kemiringan dalam hal ini berubah menjadi tak terhingga (tidak ada).
Garis lurus yang diberikan oleh persamaan y = k x + b melalui titik 0, b pada sumbu y. Ini berarti bahwa persamaan garis lurus dengan kemiringan y \u003d k x + b menetapkan garis lurus pada bidang yang melalui titik 0, b dan membentuk sudut dengan arah positif sumbu O x, dan k \u003d t g .
Contoh 3
Mari kita menggambar garis lurus, yang didefinisikan oleh persamaan bentuk y = 3 · x - 1 .
Garis ini harus melalui titik (0, - 1). Sudut kemiringan = a r c t g 3 = 3 sama dengan 60 derajat terhadap arah positif sumbu O x. kemiringannya 3
Harap dicatat bahwa dengan menggunakan persamaan garis lurus dengan kemiringan sangat mudah untuk mencari persamaan garis singgung grafik fungsi pada suatu titik.
Materi lebih lanjut tentang topik ini dapat ditemukan di artikel "Persamaan Garis dengan Lereng". Selain teori, ada banyak contoh grafik dan analisis tugas yang terperinci.
Jenis persamaan ini memiliki bentuk x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y, di mana x 1, y 1, a x, a y adalah beberapa bilangan real, di mana a x dan a y tidak sama dengan nol.
Garis lurus yang diberikan oleh persamaan kanonik garis lurus melewati titik M 1 (x 1 , y 1) . Bilangan a x dan a y pada penyebut pecahan merupakan koordinat vektor arah garis lurus. Ini berarti bahwa persamaan kanonik garis lurus x - x 1 a x = y - y 1 a y dalam sistem koordinat Kartesius O x y bersesuaian dengan garis yang melalui titik M 1 (x 1 , y 1) dan memiliki vektor arah a → = (a x , a y) .
Contoh 4
Gambarlah garis lurus dalam sistem koordinat O x y, yang diberikan oleh persamaan x - 2 3 = y - 3 1 . Titik M 1 (2 , 3) termasuk ke dalam garis lurus, vektor a → (3 , 1) adalah vektor arah dari garis lurus ini.
Persamaan garis lurus kanonik dari bentuk x - x 1 a x = y - y 1 a y dapat digunakan dalam kasus di mana a x atau a y adalah nol. Kehadiran nol pada penyebut membuat notasi x - x 1 a x = y - y 1 a y bersyarat. Persamaan tersebut dapat ditulis sebagai berikut a y (x - x 1) = a x (y - y 1) .
Dalam kasus ketika a x \u003d 0, persamaan kanonik garis lurus mengambil bentuk x - x 1 0 \u003d y - y 1 a y dan menetapkan garis lurus yang sejajar dengan sumbu ordinat atau bertepatan dengan sumbu ini.
Persamaan kanonik garis lurus, asalkan a y \u003d 0, berbentuk x - x 1 a x \u003d y - y 1 0. Persamaan seperti itu mendefinisikan garis lurus yang sejajar dengan sumbu x atau bertepatan dengannya.
Materi lebih lanjut tentang topik persamaan kanonik garis lurus, lihat di sini. Dalam artikel tersebut, kami memberikan sejumlah solusi untuk masalah, serta banyak contoh yang memungkinkan Anda untuk menguasai topik dengan lebih baik.
Persamaan parametrik garis lurus pada bidang
Persamaan ini memiliki bentuk x \u003d x 1 + a x y \u003d y 1 + a y , di mana x 1, y 1, a x, a y adalah beberapa bilangan real, di mana a x dan a y tidak dapat sama dengan nol pada saat yang sama waktu. Parameter tambahan dimasukkan ke dalam rumus, yang dapat mengambil nilai nyata apa pun.
Tujuan dari persamaan parametrik adalah untuk membangun hubungan implisit antara koordinat titik-titik garis lurus. Untuk ini, parameter diperkenalkan.
Angka-angka x , y adalah koordinat beberapa titik pada garis. Mereka dihitung dengan persamaan parametrik garis lurus untuk beberapa nilai nyata dari parameter .
Contoh 5
Mari kita asumsikan bahwa = 0 .
Kemudian x \u003d x 1 + a x 0 y \u003d y 1 + a y 0 x \u003d x 1 y \u003d y 1, yaitu, titik dengan koordinat (x 1, y 1) termasuk dalam garis.
Kami menarik perhatian Anda pada fakta bahwa koefisien a x dan a y dengan parameter dalam jenis persamaan ini adalah koordinat vektor pengarah garis lurus.
Contoh 6
Pertimbangkan persamaan garis lurus parametrik dalam bentuk x = 2 + 3 · y = 3 + . Garis lurus yang diberikan oleh persamaan dalam sistem koordinat Cartesian melewati titik (x 1 , y 1) dan memiliki vektor pengarah a → = (3 , 1) .
Untuk informasi lebih lanjut, lihat artikel "Persamaan parametrik garis lurus pada bidang".
Persamaan normal garis lurus berbentuk, A x + B y + C = 0 , di mana bilangan A, B, dan C sedemikian rupa sehingga panjang vektor n → = (A , B) sama dengan satu , dan C 0 .
Vektor normal garis, yang diberikan oleh persamaan normal garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang O x y, adalah vektor n → = (A , B) . Garis ini lewat pada jarak C dari titik asal dalam arah vektor n → = (A , B) .
Cara lain untuk menulis persamaan normal garis lurus adalah cos x + cos y - p = 0, dimana cos dan cos adalah dua bilangan real yang merupakan cosinus arah dari vektor normal satuan panjang garis lurus. Artinya n → = (cos , cos ) , persamaan n → = cos 2 + cos 2 = 1 benar, nilai p 0 dan sama dengan jarak dari titik asal ke garis lurus.
Contoh 7
Pertimbangkan persamaan umum garis lurus - 1 2 · x + 3 2 · y - 3 = 0 . Persamaan umum garis ini adalah persamaan normal garis, karena n → = A 2 + B 2 = - 1 2 2 + 3 2 = 1 dan C = - 3 0 .
Persamaan mendefinisikan garis lurus dalam sistem koordinat Cartesian 0xy, vektor normal yang memiliki koordinat - 1 2 , 3 2 . Garis dihilangkan dari titik asal sebanyak 3 satuan dalam arah vektor normal n → = - 1 2 , 3 2 .
Kami menarik perhatian Anda pada fakta bahwa persamaan normal garis lurus pada bidang memungkinkan Anda menemukan jarak dari suatu titik ke garis lurus pada bidang.
Jika dalam persamaan umum garis A x + B y + C \u003d 0 bilangan A, B dan C sedemikian rupa sehingga persamaan A x + B y + C \u003d 0 bukan persamaan normal garis, maka dapat direduksi menjadi bentuk normal. Baca lebih lanjut tentang ini di artikel "Persamaan Normal Garis".
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter
Pertimbangkan hubungan bentuk F(x, y)=0 menghubungkan variabel x dan pada. Kesetaraan (1) akan disebut persamaan dengan dua variabel x, y, jika persamaan ini tidak berlaku untuk semua pasangan bilangan X dan pada. Contoh persamaan: 2x + 3y \u003d 0, x 2 + y 2 - 25 \u003d 0,
sin x + sin y - 1 = 0.
Jika (1) benar untuk semua pasangan bilangan x dan y, maka disebut identitas. Contoh identitas: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 \u003d 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 \u003d 0.
Persamaan (1) akan disebut persamaan himpunan titik (x; y), jika persamaan ini dipenuhi oleh koordinat X dan pada titik mana pun dari himpunan dan tidak memenuhi koordinat titik mana pun yang bukan milik himpunan ini.
Konsep penting dalam geometri analitik adalah konsep persamaan garis. Biarkan sistem koordinat persegi panjang dan beberapa garis α.
Definisi. Persamaan (1) disebut persamaan garis α
(dalam sistem koordinat yang dibuat), jika persamaan ini dipenuhi oleh koordinat X dan pada setiap titik pada garis α
, dan tidak memenuhi koordinat titik mana pun yang tidak terletak pada garis ini.
Jika (1) adalah persamaan garis α, maka kita akan mengatakan bahwa persamaan (1) menentukan (mengatur) garis α.
Garis α dapat ditentukan tidak hanya dengan persamaan bentuk (1), tetapi juga dengan persamaan bentuk
F(P, ) = 0, berisi koordinat kutub.
- persamaan garis lurus dengan kemiringan;
Biarkan beberapa garis lurus, tidak tegak lurus terhadap sumbu, diberikan OH. Mari kita panggil sudut kemiringan diberikan garis ke sumbu OH sudut α yang digunakan untuk memutar sumbu OH sehingga arah positif bertepatan dengan salah satu arah garis lurus. Garis singgung sudut kemiringan garis lurus terhadap sumbu OH ditelepon faktor kemiringan garis lurus ini dan dilambangkan dengan huruf Ke.
|
|||
|
|||
Kita turunkan persamaan garis lurus ini, jika kita mengetahuinya Ke dan nilai dalam segmen OV, yang dia potong pada sumbu OU.
|
|
Persamaan (2) disebut persamaan garis lurus dengan kemiringan. Jika sebuah K=0, maka garis tersebut sejajar dengan sumbu OH dan persamaannya adalah y = b.
- persamaan garis lurus yang melalui dua titik;
|
|
. Ini adalah persamaan jika y 1 y 2, dapat ditulis sebagai: Jika sebuah y 1 = y 2, maka persamaan garis lurus yang diinginkan berbentuk y = y 1. Dalam hal ini, garis sejajar dengan sumbu OH. Jika sebuah x 1 = x 2, maka garis yang melalui titik M 1 dan M 2, sejajar sumbu OU, persamaannya berbentuk x = x 1.
- persamaan garis lurus yang melalui suatu titik tertentu dengan kemiringan tertentu;
|
|
dan, sebaliknya, persamaan (5) untuk koefisien arbitrer A, B, C (TETAPI dan B 0 secara bersamaan) mendefinisikan beberapa garis dalam sistem koordinat persegi panjang Oh.
Bukti.
Mari kita buktikan dulu pernyataan pertama. Jika garisnya tidak tegak lurus Oh, maka ditentukan oleh persamaan derajat pertama: y = kx + b, yaitu persamaan bentuk (5), di mana
A=k, B=-1 dan C = b. Jika garis tegak lurus Oh, maka semua titiknya memiliki absis yang sama sama dengan nilainya α segmen dipotong oleh garis lurus pada sumbu Oh.
Persamaan garis ini memiliki bentuk x = , itu. juga merupakan persamaan derajat pertama dari bentuk (5), di mana A \u003d 1, B \u003d 0, C \u003d - . Ini membuktikan pernyataan pertama.
Ayo buktikan pernyataan kebalikan. Biarkan persamaan (5) diberikan, dan setidaknya satu dari koefisien TETAPI dan B 0.
Jika sebuah B 0, maka (5) dapat ditulis sebagai . miring 
, kita mendapatkan persamaan y = kx + b, yaitu persamaan bentuk (2) yang mendefinisikan garis lurus.
Jika sebuah B = 0, kemudian A 0 dan (5) berbentuk . Menunjukkan melalui α, kita mendapatkan
x =, yaitu persamaan garis lurus tegak lurus Ox.
Garis yang didefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang dengan persamaan derajat pertama disebut baris urutan pertama.
Ketik persamaan Ah + Wu + C = 0 tidak lengkap, yaitu salah satu koefisiennya sama dengan nol.
1) C = 0; Ah + Wu = 0 dan mendefinisikan garis yang melewati titik asal.
2) B = 0 (A 0); persamaan Kapak + C = 0 OU.
3) A = 0 (B 0); Wu + C = 0 dan mendefinisikan garis sejajar Oh.
Persamaan (6) disebut persamaan garis lurus “dalam ruas”. Angka sebuah dan b adalah nilai segmen yang dipotong garis lurus pada sumbu koordinat. Bentuk persamaan ini cocok untuk konstruksi geometris dari garis lurus.
- persamaan normal garis lurus;
x + y + = 0 adalah persamaan umum dari beberapa garis lurus, dan (5) x karena + y sin – p = 0(7)
persamaan normalnya.
Karena persamaan (5) dan (7) mendefinisikan garis lurus yang sama, maka ( A 1x + B 1th + C 1 \u003d 0 dan
A 2x + B 2y + C 2 = 0 => 
) koefisien persamaan ini proporsional. Ini berarti bahwa dengan mengalikan semua suku persamaan (5) dengan beberapa faktor M, kita memperoleh persamaan MA x + MB y + MS = 0, bertepatan dengan persamaan (7) yaitu
MA = cos , MB = sin , MC = - P(8)
Untuk menemukan faktor M, kita kuadratkan dua persamaan pertama dan tambahkan:
M 2 (A 2 + B 2) \u003d cos 2 + sin 2 \u003d 1
(9)