http//:www.svkspb.nm.ru

Հարթ հատվածների երկրաչափական բնութագրերը

Քառակուսի, dF - տարրական հարթակ:

Տարածքի տարրի ստատիկ պահըԴ Ֆ 0x առանցքի համեմատ
- մակերեսի տարրի արտադրյալը 0x առանցքից «y» հեռավորության վրա՝ dS x = ydF

Նման արտադրանքները ամփոփելով (ինտեգրելով) նկարի ամբողջ տարածքում, մենք ստանում ենք ստատիկ պահեր y և x առանցքների համեմատ.
;
[սմ 3, մ 3 և այլն]:

Ծանրության կենտրոնի կոորդինատները:
. Ստատիկ պահեր հարաբերական կենտրոնական առանցքներ(հատվածի ծանրության կենտրոնով անցնող առանցքները) հավասար են զրոյի։ Բարդ գործչի ստատիկ պահերը հաշվարկելիս այն բաժանվում է պարզ մասերի, հայտնի տարածքներով F i և ծանրության կենտրոնների կոորդինատներով x i, y i: Ամբողջ գործչի տարածքի ստատիկ մոմենտը = գումարը: նրա յուրաքանչյուր մասի ստատիկ պահերը.
.

Բարդ գործչի ծանրության կենտրոնի կոորդինատները.

Մ
Հատվածի իներցիայի պահերը

Առանցքային(հասարակածային) իներցիայի հատվածի պահը- տարրական տարածքների արտադրյալների գումարը dF առանցքի վրա դրանց հեռավորությունների քառակուսիներով:

;
[սմ 4, մ 4 և այլն]:

Որոշակի կետի (բևեռի) նկատմամբ հատվածի իներցիայի բևեռային մոմենտը տարրական տարածքների արտադրյալների գումարն է այս կետից նրանց հեռավորությունների քառակուսիներով:
; [սմ 4, մ 4 և այլն]: J y + J x = J p.

Հատվածի իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտը- տարրական տարածքների արտադրյալների գումարը և դրանց հեռավորությունները երկու փոխադարձ ուղղահայաց առանցքներից:
.

Առանցքների նկատմամբ հատվածի իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտը, որոնցից մեկը կամ երկուսը համընկնում են համաչափության առանցքների հետ, հավասար է զրոյի:

Իներցիայի առանցքային և բևեռային պահերը միշտ դրական են, կենտրոնախույս իներցիայի մոմենտները կարող են լինել դրական, բացասական կամ զրո:

Բարդ պատկերի իներցիայի մոմենտը հավասար է նրա բաղկացուցիչ մասերի իներցիայի մոմենտների գումարին։

Պարզ ձևի հատվածների իներցիայի պահեր

Պ
ուղղանկյուն հատված Շրջանակ

TO


մատանի

Տ
եռանկյուն

Ռ
isofemoral

Ուղղանկյուն

Տ
եռանկյուն

Հ քառորդ շրջան

J y =J x =0,055R 4

J xy =0,0165R 4

Նկ. (-)

Կիսաշրջան

Մ

Ստանդարտ պրոֆիլների իներցիայի պահերը հայտնաբերված են տեսականու աղյուսակներից.

Դ
վուտավր Ալիք Անկյուն

Մ

Զուգահեռ առանցքների նկատմամբ իներցիայի պահերը:

Ջ x1 =J x + a 2 F;

J y1 =J y + b 2 F;

Ցանկացած առանցքի շուրջ իներցիայի պահը հավասար է տրվածին զուգահեռ կենտրոնական առանցքի նկատմամբ իներցիայի պահին, գումարած պատկերի տարածքի և առանցքների միջև հեռավորության քառակուսու արտադրյալը: J y1x1 =J yx + abF; («ա»-ն և «բ»-ը փոխարինվում են բանաձևում՝ հաշվի առնելով դրանց նշանը):

Կախվածությունը միջեւ առանցքները պտտելիս իներցիայի պահերը:

Ջ x1 =J x cos 2  + J y sin 2  - J xy sin2; J y1 =J y cos 2  + J x sin 2  + J xy sin2;

J x1y1 =(J x - J y)sin2 + J xy cos2 ;

Անկյուն >0, եթե անցումը հին կոորդինատային համակարգից նորին տեղի է ունենում ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ: J y1 + J x1 = J y + J x

Իներցիայի պահերի ծայրահեղ (առավելագույն և նվազագույն) արժեքները կոչվում են իներցիայի հիմնական պահերը. Այն առանցքները, որոնց շուրջ իներցիայի առանցքային մոմենտներն ունեն ծայրահեղ արժեքներ, կոչվում են իներցիայի հիմնական առանցքները. Իներցիայի հիմնական առանցքները փոխադարձ ուղղահայաց են։ Հիմնական առանցքների շուրջ իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտները = 0, այսինքն. իներցիայի հիմնական առանցքներ - առանցքներ, որոնց շուրջ իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտը = 0: Եթե առանցքներից մեկը համընկնում է կամ երկուսն էլ համընկնում են համաչափության առանցքի հետ, ապա դրանք հիմնականն են: Հիմնական առանցքների դիրքը սահմանող անկյուն.
, եթե  0 >0  առանցքները պտտվում են ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ: Առավելագույն առանցքը միշտ ավելի փոքր անկյուն է կազմում այն ​​առանցքների հետ, որոնց նկատմամբ իներցիայի պահն ավելի մեծ արժեք ունի: Ծանրության կենտրոնով անցնող հիմնական առանցքները կոչվում են իներցիայի հիմնական կենտրոնական առանցքները. Այս առանցքների իներցիայի պահերը.

J max + J min = J x + J y. Իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտը իներցիայի հիմնական կենտրոնական առանցքների նկատմամբ հավասար է 0-ի։ Եթե հայտնի են իներցիայի հիմնական մոմենտները, ապա պտտվող առանցքներին անցնելու բանաձևերն են.

J x1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J y1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J x1y1 =(J max - J min)sin2;

Հատվածի երկրաչափական բնութագրերի հաշվարկման վերջնական նպատակն է որոշել իներցիայի հիմնական կենտրոնական մոմենտները և իներցիայի հիմնական կենտրոնական առանցքների դիրքը: Ռ իներցիայի շառավիղը -
; J x =Fi x 2, J y =Fi y 2:

Եթե ​​J x և J y իներցիայի հիմնական պահերն են, ապա i x և i y - իներցիայի հիմնական շառավիղները. Էլիպսը, որը կառուցված է իներցիայի հիմնական շառավիղների վրա, ինչպես կիսաառանցքների վրա, կոչվում է իներցիայի էլիպս. Օգտագործելով իներցիայի էլիպսը, դուք կարող եք գրաֆիկորեն գտնել i x1 իներցիայի շառավիղը ցանկացած x1 առանցքի համար: Դա անելու համար հարկավոր է շոշափել էլիպսին, x1 առանցքին զուգահեռ և չափել այս առանցքից շոշափող հեռավորությունը: Իմանալով իներցիայի շառավիղը, կարող եք գտնել հատվածի իներցիայի պահը x 1 առանցքի նկատմամբ.
. Երկուսից ավելի համաչափության առանցք ունեցող հատվածների համար (օրինակ՝ շրջան, քառակուսի, օղակ և այլն), բոլոր կենտրոնական առանցքների շուրջ իներցիայի առանցքային մոմենտները հավասար են միմյանց, J xy = 0, իներցիայի էլիպսը վերածվում է a. իներցիայի շրջան.

Դիմադրության պահեր.

Դիմադրության առանցքային պահը- առանցքի շուրջ իներցիայի պահի հարաբերակցությունը նրանից մինչև հատվածի ամենահեռավոր կետին ընկած հեռավորությանը:
[սմ 3, մ 3]

Հատկապես կարևոր են հիմնական կենտրոնական առանցքների նկատմամբ դիմադրության պահերը.

ուղղանկյուն:
; շրջան՝ W x =W y =
,

խողովակաձեւ հատված (օղակ)՝ W x =W y =
, որտեղ = d N /d B .

Դիմադրության բևեռային պահ - իներցիայի բևեռային պահի հարաբերակցությունը բևեռից մինչև հատվածի ամենահեռավոր կետի հեռավորությունը.
.

Շրջանի համար W р =
.

Որոշակի առանցքի նկատմամբ հատվածի իներցիայի առանցքային (կամ հասարակածային) մոմենտը նրա F ամբողջ տարածքի վրա վերցված տարրական տարածքների արտադրյալների գումարն է այս առանցքից նրանց հեռավորությունների քառակուսիներով, այսինքն.

Որոշակի կետի (բևեռի) նկատմամբ հատվածի իներցիայի բևեռային մոմենտը նրա ամբողջ F տարածքի վրա վերցված տարրական տարածքների արտադրյալների գումարն է այս կետից նրանց հեռավորությունների քառակուսիներով, այսինքն.

Որոշ երկու փոխադարձ ուղղահայաց առանցքների նկատմամբ հատվածի իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտը նրա F ամբողջ տարածքի վրա վերցված տարրական տարածքների արտադրյալների գումարն է և այդ առանցքներից դրանց հեռավորությունները, այսինքն.

Իներցիայի պահերն արտահայտվում են և այլն։

Իներցիայի առանցքային և բևեռային պահերը միշտ դրական են, քանի որ ինտեգրալ նշանների տակ դրանց արտահայտությունները ներառում են տարածքների արժեքները (միշտ դրական) և այդ տարածքների հեռավորությունների քառակուսիները տվյալ առանցքից կամ բևեռից:

Նկ. 9.5, a-ն ցույց է տալիս F մակերեսով հատվածը և ցույց է տալիս y և z առանցքները: Այս հատվածի իներցիայի առանցքային մոմենտները y առանցքների նկատմամբ.

Իներցիայի այս պահերի գումարը

եւ, հետեւաբար

Այսպիսով, հատվածի իներցիայի առանցքային մոմենտների գումարը երկու փոխադարձ ուղղահայաց առանցքների նկատմամբ հավասար է այս հատվածի իներցիայի բևեռային մոմենտին այս առանցքների հատման կետի նկատմամբ։

Իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտները կարող են լինել դրական, բացասական կամ զրո: Օրինակ, նկ. 9.5, a, y-ի և առանցքների հարաբերականը դրական է, քանի որ այս հատվածի հիմնական մասի համար, որը գտնվում է առաջին քառորդում, արժեքները և, հետևաբար, դրական են:

Եթե ​​փոխեք y առանցքի դրական ուղղությունը կամ հակառակ ուղղությունը (նկ. 9.5, բ) կամ պտտեք այս երկու առանցքները 90°-ով (նկ. 9.5, գ), ապա իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտը կդառնա բացասական (նրա բացարձակ արժեքը չի փոխվի), քանի որ հատվածի հիմնական մասը այնուհետև կգտնվի քառորդում, որի համար y կոորդինատները դրական են, իսկ z կոորդինատները՝ բացասական: Եթե ​​դուք փոխեք երկու առանցքների դրական ուղղությունները դեպի հակառակը, դա չի փոխի իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտի ոչ նշանը, ոչ մեծությունը:

Դիտարկենք մի պատկեր, որը սիմետրիկ է մեկ կամ մի քանի առանցքների նկատմամբ (նկ. 10.5): Նկարենք առանցքներն այնպես, որ դրանցից գոնե մեկը (այս դեպքում՝ y առանցքը) համընկնի նկարի համաչափության առանցքի հետ։ Այս դեպքում առանցքի աջ կողմում գտնվող յուրաքանչյուր հարթակ համապատասխանում է նույն հարթակին, որը սիմետրիկորեն գտնվում է առաջինին, բայց y առանցքի ձախ կողմում: Նման սիմետրիկորեն տեղակայված հարթակների յուրաքանչյուր զույգի իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտը հավասար է.

Հետևաբար,

Այսպիսով, առանցքների նկատմամբ հատվածի իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտը, որոնցից մեկը կամ երկուսը համընկնում են նրա համաչափության առանցքների հետ, հավասար է զրոյի։

Որոշակի առանցքի նկատմամբ բարդ հատվածի իներցիայի առանցքային մոմենտը հավասար է դրա բաղկացուցիչ մասերի իներցիայի առանցքային մոմենտների գումարին նույն առանցքի նկատմամբ։

Նմանապես, բարդ հատվածի իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտը ցանկացած երկու փոխադարձ ուղղահայաց առանցքների նկատմամբ հավասար է դրա բաղկացուցիչ մասերի իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտների գումարին նույն առանցքների նկատմամբ։ Նաև որոշակի կետի նկատմամբ բարդ հատվածի իներցիայի բևեռային մոմենտը հավասար է դրա բաղկացուցիչ մասերի իներցիայի բևեռային մոմենտների գումարին նույն կետի նկատմամբ։

Պետք է նկատի ունենալ, որ տարբեր առանցքների և կետերի շուրջ հաշվարկված իներցիայի պահերը հնարավոր չէ գումարել։

Կառուցվածքների մասերի ամրությունը ստուգելիս մենք պետք է հանդիպենք բավականին բարդ ձևերի հատվածներ, որոնց համար անհնար է իներցիայի պահը հաշվարկել այնպիսի պարզ ձևով, ինչպիսին օգտագործեցինք ուղղանկյունի և շրջանագծի համար:

Նման հատվածը կարող է լինել, օրինակ, T-bar (Նկար 5 Ա) ճկման ենթակա խողովակի օղակաձև հատված (ինքնաթիռի կառուցվածքներ) (նկ. 5, բ), լիսեռի ամսագրի օղակաձև հատված կամ նույնիսկ ավելի բարդ հատվածներ: Այս բոլոր հատվածները կարելի է բաժանել պարզերի, օրինակ՝ ուղղանկյունների, եռանկյունների, շրջանների և այլն։ Կարելի է ցույց տալ, որ նման բարդ գործչի իներցիայի մոմենտը այն մասերի իներցիայի մոմենտների գումարն է, որոնց մենք այն բաժանում ենք։

Նկ.5. T տիպի հատվածներ - ա) և օղակ բ)

Հայտնի է, որ առանցքի նկատմամբ ցանկացած գործչի իներցիայի պահը ժամը— ժամըհավասար է:

Որտեղ զ— տարրական բարձիկների հեռավորությունը առանցքի ժամը—ժամը.

Վերցված տարածքը բաժանենք չորս մասի՝ , , և ։ Այժմ, իներցիայի պահը հաշվարկելիս, դուք կարող եք ինտեգրալ ֆունկցիայի անդամները խմբավորել այնպես, որ ընտրված չորս տարածքներից յուրաքանչյուրի համար առանձին կատարեք գումարումը, այնուհետև ավելացնեք այս գումարները: Սա չի փոխի ինտեգրալի արժեքը:

Մեր ինտեգրալը կբաժանվի չորս ինտեգրալների, որոնցից յուրաքանչյուրը կընդգրկի տարածքներից մեկը, և.

Այս ինտեգրալներից յուրաքանչյուրը ներկայացնում է տարածքի համապատասխան մասի իներցիայի պահը առանցքի նկատմամբ ժամը— ժամը; Ահա թե ինչու

որտեղ է առանցքի նկատմամբ իներցիայի պահը ժամը — ժամըտարածք, - նույնը տարածքի համար և այլն:

Ստացված արդյունքը կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ՝ բարդ գործչի իներցիայի պահը հավասար է նրա բաղկացուցիչ մասերի իներցիայի մոմենտների գումարին։ Այսպիսով, մենք պետք է կարողանանք հաշվարկել ցանկացած գործչի իներցիայի պահը նրա հարթությունում գտնվող ցանկացած առանցքի նկատմամբ:

Այս խնդրի լուծումը այս և հաջորդ երկու հարցազրույցների բովանդակությունն է։

Զուգահեռ առանցքների նկատմամբ իներցիայի պահեր:

Ցանկացած առանցքի նկատմամբ ցանկացած գործչի իներցիայի պահը հաշվարկելու ամենապարզ բանաձևերի ստացման խնդիրը կլուծվի մի քանի քայլով։ Եթե ​​վերցնենք միմյանց զուգահեռ առանցքների շարքը, ապա կստացվի, որ մենք հեշտությամբ կարող ենք հաշվարկել պատկերի իներցիայի պահերը այս առանցքներից որևէ մեկի նկատմամբ՝ իմանալով նրա իներցիայի պահը պատկերի ծանրության կենտրոնով անցնող առանցքի նկատմամբ։ ընտրված առանցքներին զուգահեռ:

Նկ.1.Զուգահեռ առանցքների համար իներցիայի մոմենտների որոշման հաշվարկային մոդել:

Մենք կանվանենք ծանրության կենտրոնով անցնող առանցքները կենտրոնական առանցքներ. Վերցնենք (նկ. 1) կամայական պատկեր: Եկեք գծենք կենտրոնական առանցքը OUԱյս առանցքի նկատմամբ իներցիայի պահը կանվանենք։ Նկարի հարթությունում գծենք առանցք զուգահեռկացիններ ժամընրանից հեռավորության վրա: Գտնենք կապը և - առանցքի նկատմամբ իներցիայի պահի միջև։ Դա անելու համար մենք կգրենք արտահայտություններ և . Եկեք բաժանենք գործչի տարածքը տարածքների. յուրաքանչյուր նման հարթակի հեռավորությունները առանցքներին ժամըև եկեք կանչենք և . Հետո

Նկար 1-ից ունենք.

Այս երեք ինտեգրալներից առաջինը կենտրոնական առանցքի նկատմամբ իներցիայի պահն է OU. Երկրորդը նույն առանցքի շուրջ ստատիկ պահն է. այն հավասար է զրոյի, քանի որ առանցքը ժամըանցնում է գործչի ծանրության կենտրոնով: Ի վերջո, երրորդ ինտեգրալը հավասար է նկարի մակերեսին Ֆ. Այսպիսով,

(1)

այսինքն՝ ցանկացած առանցքի շուրջ իներցիայի պահը հավասար է տրվածին զուգահեռ կենտրոնական առանցքի նկատմամբ իներցիայի մոմենտին՝ գումարած պատկերի մակերեսի և առանցքների միջև հեռավորության քառակուսու արտադրյալը։

Սա նշանակում է, որ մեր խնդիրն այժմ կրճատվել է միայն իներցիայի կենտրոնական մոմենտների հաշվարկով. եթե մենք գիտենք դրանք, մենք կարող ենք հաշվարկել իներցիայի պահը ցանկացած այլ առանցքի նկատմամբ: Բանաձևից (1) հետևում է, որ կենտրոնականիներցիայի պահն է ամենափոքրըզուգահեռ առանցքների նկատմամբ իներցիայի պահերից և դրա համար ստանում ենք.

Գտնենք նաև կենտրոնական առանցքներին զուգահեռ առանցքների նկատմամբ իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտը, եթե հայտնի է (նկ. 1): Քանի որ ըստ սահմանման

որտեղ: , ապա հետևում է

Քանի որ վերջին երկու ինտեգրալները ներկայացնում են տարածքի ստատիկ պահերը կենտրոնական առանցքների շուրջ OUԵվ Օզապա դրանք անհետանում են և հետևաբար.

(2)

Իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտը կենտրոնականներին զուգահեռ փոխադարձ ուղղահայաց առանցքների համակարգի նկատմամբ հավասար է այս կենտրոնական առանցքների նկատմամբ իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտին, գումարած նկարի տարածքի արտադրյալը և նրա ծանրության կենտրոնի կոորդինատները: նոր առանցքների համեմատ։

Առանցքները պտտելիս իներցիայի մոմենտների հարաբերությունը:

Դուք կարող եք նկարել այնքան կենտրոնական առանցք, որքան ցանկանում եք: Հարց է առաջանում՝ հնարավո՞ր է արտահայտել իներցիայի պահը որևէ կենտրոնական առանցքի նկատմամբ՝ կախված մեկ կամ երկուսի իներցիայի պահից։ որոշակիկացիններ. Դա անելու համար տեսնենք, թե ինչպես կփոխվեն իներցիայի մոմենտները երկու միմյանց ուղղահայաց առանցքների շուրջ, երբ դրանք պտտվում են անկյան տակ։

Վերցնենք մի գործիչ և գծենք այն իր ծանրության կենտրոնով ՄԱՍԻՆերկու փոխադարձ ուղղահայաց առանցքներ OUԵվ Օզ(նկ.2):

Նկ.2.Պտտվող առանցքների համար իներցիայի մոմենտների որոշման հաշվարկային մոդել:

Եկեք իմանանք այս առանցքների վերաբերյալ իներցիայի առանցքային մոմենտները, ինչպես նաև իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտը: Եկեք գծենք կոորդինատային առանցքների երկրորդ համակարգը և թեքված դեպի առաջինը անկյան տակ. առանցքները կետի շուրջը պտտելիս կդիտարկենք այս անկյան դրական ուղղությունը ՄԱՍԻՆժամացույցի հակառակ ուղղությամբ: Ծագում ՄԱՍԻՆփրկել. Եկեք արտահայտենք կոորդինատային առանցքների երկրորդ համակարգի հետ կապված մոմենտները և իներցիայի հայտնի մոմենտների միջոցով և .

Եկեք այս առանցքների վերաբերյալ իներցիայի պահերի արտահայտություններ գրենք.

Նմանապես:

Խնդիրները լուծելու համար ձեզ կարող են անհրաժեշտ լինել իներցիայի կենտրոնախույս պահի մի առանցքից մյուսին անցնելու բանաձևեր: Առանցքները պտտելիս (նկ. 2) ունենք.

որտեղ և հաշվարկվում են բանաձևերի միջոցով (14.10); Հետո

Փոխակերպումներից հետո մենք ստանում ենք.

(7)

Այսպիսով, ցանկացած կենտրոնական առանցքի նկատմամբ իներցիայի պահը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է իմանալ իներցիայի պահերը ցանկացած երկու փոխադարձ ուղղահայաց կենտրոնական առանցքների համակարգի վերաբերյալ: OUԵվ Օզ, նույն առանցքների նկատմամբ իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտը և առանցքի առանցքի թեքության անկյունը. ժամը.

Արժեքները հաշվարկելու համար դուք պետք է ընտրեք առանցքները այսպես ժամըԵվ զև նկարի տարածքը բաժանեք այնպիսի բաղադրիչ մասերի, որպեսզի կարողանաք կատարել այս հաշվարկը, օգտագործելով միայն բաղադրիչ մասերից յուրաքանչյուրի կենտրոնական առանցքներից դեպի դրանց զուգահեռ առանցքներին անցման բանաձևերը: Ինչպես դա անել գործնականում, կցուցադրվի ստորև՝ օգտագործելով օրինակ: Նկատի ունեցեք, որ այս հաշվարկում բարդ թվերը պետք է բաժանվեն այնպիսի տարրական մասերի, որոնց համար, հնարավորության դեպքում, հայտնի են փոխադարձ ուղղահայաց առանցքների համակարգի նկատմամբ իներցիայի կենտրոնական պահերի արժեքները:

Նկատի ունեցեք, որ ածանցման առաջընթացը և ստացված արդյունքները չէին փոխվի, եթե կոորդինատների սկզբնաղբյուրը վերցվեր ոչ թե հատվածի ծանրության կենտրոնում, այլ որևէ այլ կետում։ ՄԱՍԻՆ. Այսպիսով, (6) և (7) բանաձևերը փոխադարձ ուղղահայաց առանցքների մի համակարգից մյուսին անցնելու բանաձևեր են, որոնք պտտվում են որոշակի անկյան տակ՝ անկախ նրանից՝ դրանք կենտրոնական առանցքներ են, թե ոչ։

Բանաձևերից (6) կարելի է ստանալ մեկ այլ հարաբերություն առանցքները պտտելիս իներցիայի մոմենտների միջև։ Ավելացնելով արտահայտությունները և ստանում ենք

այսինքն՝ իներցիայի մոմենտների գումարը ցանկացած փոխադարձ ուղղահայաց առանցքների նկատմամբ ժամըԵվ զչի փոխվում, երբ դրանք պտտվում են: Փոխարինելով վերջին արտահայտությունը և դրանց արժեքները՝ մենք ստանում ենք.

որտեղ է կայքերի հեռավորությունը Դ Ֆկետից ՄԱՍԻՆ. Մեծությունը, ինչպես արդեն հայտնի է, կետի նկատմամբ հատվածի իներցիայի բևեռային պահն է ՄԱՍԻՆ.

Այսպիսով, ցանկացած կետի նկատմամբ հատվածի իներցիայի բևեռային մոմենտը հավասար է այս կետով անցնող փոխադարձ ուղղահայաց առանցքների իներցիայի առանցքային մոմենտների գումարին։ Հետևաբար, այս գումարը մնում է հաստատուն, երբ առանցքները պտտվում են: Այս կախվածությունը (14.16) կարող է օգտագործվել իներցիայի պահերի հաշվարկը պարզեցնելու համար:

Այսպիսով, շրջանագծի համար.

Քանի որ ըստ համաչափության շրջանագծի համար

որը վերևում ստացվել է ինտեգրման միջոցով:

Նմանապես, բարակ պատերով օղակաձև հատվածի համար կարելի է ձեռք բերել.

Իներցիայի հիմնական առանցքները և իներցիայի հիմնական մոմենտները:

Ինչպես արդեն հայտնի է, իմանալով իներցիայի կենտրոնական մոմենտները և տվյալ գործչի համար կարող եք հաշվարկել իներցիայի պահը ցանկացած այլ առանցքի նկատմամբ:

Այս դեպքում որպես առանցքների հիմնական համակարգ կարելի է վերցնել այնպիսի համակարգ, որում բանաձևերը զգալիորեն պարզեցված են։ Մասնավորապես, հնարավոր է գտնել կոորդինատային առանցքների համակարգ, որի համար իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտը հավասար է զրոյի։ Իրականում, իներցիայի պահերը միշտ դրական են, ինչպես դրական թվերի գումարը, բայց կենտրոնախույս պահը

կարող է լինել և՛ դրական, և՛ բացասական, քանի որ տերմինները zydFկարող է տարբեր նշաններ ունենալ՝ կախված նշաններից զԵվ ժամըայս կամ այն ​​կայքի համար: Սա նշանակում է, որ այն կարող է հավասար լինել զրոյի:

Այն առանցքները, որոնց շուրջ անհետանում է իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտը, կոչվում են հիմնական առանցքներըիներցիա. Եթե ​​նման համակարգի սկիզբը դրվի գործչի ծանրության կենտրոնում, ապա դրանք կլինեն հիմնական կենտրոնական առանցքները. Մենք կնշենք այս առանցքները և ; նրանց համար

Գտնենք, թե ինչ անկյան տակ են հիմնական առանցքները թեքված դեպի կենտրոնական y և z առանցքները (նկ. 198):

Նկ.1.Իներցիայի հիմնական առանցքների դիրքի որոշման հաշվարկային մոդել.

Կացիններից շարժվելու հայտնի արտահայտության մեջ yzառանցքներին, իներցիայի կենտրոնախույս պահի համար մենք տալիս ենք անկյան արժեքը. ապա առանցքները և կհամընկնեն հիմնականների հետ, իսկ իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտը հավասար կլինի զրոյի.

(1)

Այս հավասարումը բավարարվում է 180°-ով տարբերվող երկու արժեքներով կամ 90°-ով տարբերվող երկու արժեքներով: Այսպիսով, այս հավասարումը մեզ տալիս է դիրքը երկու կացին, իրար հետ ուղիղ անկյուն կազմելով։ Սրանք կլինեն հիմնական կենտրոնական առանցքները և , որոնց համար .

Օգտագործելով այս բանաձևը, կարող եք օգտագործել հայտնիները՝ իներցիայի հիմնական պահերի և . Դա անելու համար մենք կրկին օգտագործում ենք իներցիայի առանցքային պահերի ընդհանուր դիրքի արտահայտությունները: Նրանք որոշում են արժեքները և եթե փոխարինենք

(2)

Ստացված հարաբերությունները կարող են օգտագործվել խնդիրների լուծման համար: Իներցիայի հիմնական պահերից մեկն այն է, մյուսը.

Բանաձևերը (2) կարող են փոխակերպվել արժեքից զերծ ձևի: Արտահայտելով և միջոցով և փոխարինելով դրանց արժեքները առաջին բանաձևով (2), մենք ստանում ենք՝ միաժամանակ փոխարինելով (1) բանաձևից.

Այստեղ (1) բանաձևի կոտորակը փոխարինելով

մենք ստանում ենք

(3)

Նույն արտահայտությանը կարելի է հասնել երկրորդ բանաձևի (3) համանման փոխակերպում կատարելով։

Կենտրոնական առանցքների հիմնական համակարգի համար, որտեղից կարելի է շարժվել ցանկացած այլ, կարելի է վերցնել OUԵվ Օզ, իսկ հիմնական առանցքներն ու ; ապա իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտը () չի հայտնվի բանաձևերում։ Հիմնական առանցքի հետ (նկ. 2) առանցքի կազմած անկյունը նշանակենք . , and-ը հաշվարկելու համար առանցքներից շարժվելով և , անհրաժեշտ է փոխարինել անկյունը , a , և նախկինում գտնված արտահայտություններում , և , և , և . Արդյունքում մենք ստանում ենք.

Արտաքինով այս բանաձևերը լիովին նման են երկու ուղղահայաց հատվածների երկայնքով նորմալ և կտրող լարումների բանաձևերին երկու ուղղությամբ ձգվող տարրի մեջ: Մենք միայն կնշենք բանաձև, որը թույլ է տալիս երկու անկյունային արժեքներից ընտրել այն, որը համապատասխանում է առաջին հիմնական առանցքի շեղմանը (տալով առավելագույնը. Ջ) առանցքի սկզբնական դիրքից ժամը:

Այժմ մենք կարող ենք վերջապես ձևակերպել, թե ինչ է պետք անել, որպեսզի կարողանանք ամենապարզ ձևով հաշվարկել գործչի իներցիայի պահը ցանկացած առանցքի նկատմամբ: Անհրաժեշտ է առանցքներ քաշել գործչի ծանրության կենտրոնով OUԵվ Օզայնպես, որ պատկերը բաժանելով ամենապարզ մասերի, մենք հեշտությամբ կարող ենք հաշվարկել ծանրության կենտրոնից հեռավորության վրա (նկ. 2) անցնող պահերը.

Շատ դեպքերում հնարավոր է անմիջապես նկարել գործչի հիմնական առանցքները. եթե գործիչը ունի համաչափության առանցք, ապա սա կլինի հիմնական առանցքներից մեկը: Փաստորեն, բանաձևը հանելիս մենք արդեն գործ ունենք ինտեգրալի հետ, որը հատվածի իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտն է առանցքների նկատմամբ։ ժամըԵվ զ; ապացուցված է, որ եթե առանցքը Օզսիմետրիայի առանցքն է, այս ինտեգրալը վերանում է։

Հետեւաբար, այս դեպքում կացինները OUԵվ Օզեն հիմնականհատվածի իներցիայի կենտրոնական առանցքները. Այսպիսով, համաչափության առանցք- միշտ հիմնական կենտրոնական առանցքը; երկրորդ տունկենտրոնական առանցքը անցնում է սիմետրիայի առանցքին ուղղահայաց ծանրության կենտրոնով։

Օրինակ.Գտե՛ք ուղղանկյան իներցիայի մոմենտները (նկ. 3) առանցքների նկատմամբ և հավասար են.

Առանցքների նկատմամբ իներցիայի պահերը և հավասար են.

Իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտը հավասար է.

Բարդ հատվածների իներցիայի մոմենտների հաշվարկման մեթոդը հիմնված է այն փաստի վրա, որ ցանկացած ինտեգրալ կարելի է համարել որպես ինտեգրալների գումար և, հետևաբար, ցանկացած հատվածի իներցիայի պահը կարող է հաշվարկվել որպես իներցիայի մոմենտների գումար։ դրա առանձին մասերը.

Հետևաբար, իներցիայի պահերը հաշվարկելու համար բարդ հատվածը բաժանվում է մի շարք պարզ մասերի (նկարների) այնպես, որ դրանց երկրաչափական բնութագրերը կարող են հաշվարկվել հայտնի բանաձևերի միջոցով կամ գտնել հատուկ տեղեկատու աղյուսակների միջոցով:

Որոշ դեպքերում, երբ թիվը կրճատելու կամ դրանց ձևը պարզեցնելու համար պարզ թվերի բաժանելիս խորհուրդ է տրվում բարդ հատվածը լրացնել որոշ տարածքներով: Այսպիսով, օրինակ, Նկ.-ում ներկայացված հատվածի երկրաչափական բնութագրերը որոշելիս: 22.5, ա, նպատակահարմար է այն ավելացնել ուղղանկյան մեջ, այնուհետև ավելացված մասի բնութագրերը հանել այս ուղղանկյան երկրաչափական բնութագրերից: Նույնը արեք, եթե կան անցքեր (նկ. 22.5, բ):

Բարդ հատվածը պարզ մասերի բաժանելուց հետո դրանցից յուրաքանչյուրի համար ընտրվում է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ, որի նկատմամբ պետք է որոշվեն համապատասխան մասի իներցիայի մոմենտները։ Բոլոր նման կոորդինատային համակարգերը համարվում են միմյանց զուգահեռ, որպեսզի այնուհետև առանցքների զուգահեռ թարգմանությամբ հնարավոր լինի հաշվարկել բոլոր մասերի իներցիայի մոմենտները ամբողջ բարդ հատվածի համար ընդհանուր կոորդինատային համակարգի նկատմամբ:

Որպես կանոն, յուրաքանչյուր պարզ գործչի կոորդինատային համակարգը ենթադրվում է կենտրոնական, այսինքն՝ դրա ծագումը համընկնում է այս գործչի ծանրության կենտրոնի հետ: Այս դեպքում իներցիայի մոմենտների հետագա հաշվարկը այլ զուգահեռ առանցքներին անցնելիս պարզեցված է, քանի որ կենտրոնական առանցքներից անցման բանաձևերը ավելի պարզ ձև ունեն, քան ոչ կենտրոնական առանցքներից:

Հաջորդ քայլը յուրաքանչյուր պարզ գործչի տարածքների, ինչպես նաև դրա համար ընտրված կոորդինատային համակարգի առանցքների նկատմամբ իներցիայի առանցքային և կենտրոնախույս մոմենտների հաշվարկն է։ Այս առանցքների վերաբերյալ ստատիկ պահերը, որպես կանոն, հավասար են զրոյի, քանի որ հատվածի յուրաքանչյուր մասի համար այդ առանցքները սովորաբար կենտրոնական են: Այն դեպքերում, երբ դրանք ոչ կենտրոնական առանցքներ են, անհրաժեշտ է հաշվարկել ստատիկ պահերը:

Իներցիայի բևեռային պահը հաշվարկվում է միայն շրջանաձև (պինդ կամ օղակաձև) հատվածի համար՝ օգտագործելով պատրաստի բանաձևեր. Այլ ձևերի հատվածների համար այս երկրաչափական բնութագիրը որևէ նշանակություն չունի, քանի որ այն չի օգտագործվում հաշվարկներում:

Յուրաքանչյուր պարզ գործչի իներցիայի առանցքային և կենտրոնախույս մոմենտները՝ կապված նրա կոորդինատային համակարգի առանցքների հետ, հաշվարկվում են՝ օգտագործելով նման գործչի համար մատչելի բանաձևերը կամ աղյուսակները: Որոշ թվերի համար առկա բանաձևերը և աղյուսակները թույլ չեն տալիս որոշել իներցիայի անհրաժեշտ առանցքային և կենտրոնախույս պահերը. Այս դեպքերում անհրաժեշտ է օգտագործել նոր առանցքների անցման բանաձևեր (սովորաբար առանցքների պտտման դեպքում):

Տեսականու աղյուսակները չեն նշում անկյունների համար իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտների արժեքները: Իներցիայի նման պահերի որոշման մեթոդը քննարկված է օրինակ 4.5-ում:

Դեպքերի ճնշող մեծամասնությունում հատվածի երկրաչափական բնութագրերի հաշվարկման վերջնական նպատակն է որոշել նրա հիմնական կենտրոնական իներցիայի պահերը և իներցիայի հիմնական կենտրոնական առանցքների դիրքը: Հետևաբար, հաշվարկի հաջորդ փուլը տվյալ հատվածի ծանրության կենտրոնի կոորդինատների որոշումն է [օգտագործելով (6.5) և (7.5) բանաձևերը] ինչ-որ կամայական (պատահական) կոորդինատային համակարգում։ Բաժնի այս ծանրության կենտրոնի միջոցով։ , օժանդակ (ոչ հիմնական) կենտրոնական առանցքները գծվում են պարզ թվերի կոորդինատային համակարգի առանցքներին զուգահեռ։

Այնուհետև, օգտագործելով զուգահեռ առանցքների իներցիայի մոմենտների միջև հարաբերությունները հաստատող բանաձևեր (տես § 5.5), որոշվում են յուրաքանչյուր պարզ գործչի իներցիայի մոմենտները օժանդակ, կենտրոնական առանցքների նկատմամբ: Ամփոփելով յուրաքանչյուր պարզ թվի հարաբերական իներցիայի մոմենտները: առանցքներին որոշվում են այս առանցքների նկատմամբ ամբողջ բարդ հատվածի իներցիայի պահերը. այս դեպքում հանվում են անցքերի կամ ավելացված բարձիկների իներցիայի պահերը։

Բաժինների իներցիայի պահերը կոչվում են հետևյալ ձևի ինտեգրալներ.

ժամը;

– առանցքի նկատմամբ հատվածի իներցիայի առանցքային պահը զ;

– հատվածի իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտը.

– հատվածի իներցիայի բևեռային պահը.

3.2.1. Իներցիայի հատվածի մոմենտների հատկությունները

Իներցիայի պահերի չափը [երկարություն 4] է, սովորաբար [ մ 4 ] կամ [ սմ 4 ].

Իներցիայի առանցքային և բևեռային պահերը միշտ դրական են: Իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտը կարող է լինել դրական, բացասական կամ զրո:

Այն առանցքները, որոնց շուրջ իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտը զրո է, կոչվում են իներցիայի հիմնական առանցքներըբաժինները.

Համաչափության առանցքները միշտ գլխավորն են։ Եթե ​​երկու փոխադարձ ուղղահայաց առանցքներից առնվազն մեկը համաչափության առանցք է, ապա երկու առանցքներն էլ հիմնական են:

Կոմպոզիտային հատվածի իներցիայի պահը հավասար է այս հատվածի տարրերի իներցիայի մոմենտների գումարին։

Իներցիայի բևեռային մոմենտը հավասար է իներցիայի առանցքային մոմենտների գումարին։

Եկեք ապացուցենք վերջին սեփականությունը. Տարածքով հատվածում Ատարրական կայքի համար dAշառավղով վեկտոր ρ և կոորդինատներ ժամըԵվ զ(նկ. 6) կապված են Պյութագորասի թեորեմի համաձայն՝ ρ 2 = ժամը 2 + զ 2. Հետո

Բրինձ. 6. Բևեռային և դեկարտյան կոորդինատների փոխհարաբերությունները

տարրական կայք

3.2.2. Ամենապարզ թվերի իներցիայի պահերը

IN ուղղանկյուն հատված(նկ. 7) ընտրեք տարրական հարթակ dAկոորդինատներով yԵվ զև տարածքը dA = դյձ.

Բրինձ. 7. Ուղղանկյուն հատված

Առանցքի նկատմամբ իներցիայի առանցքային պահը ժամը

.

Նմանապես, մենք ստանում ենք առանցքի շուրջ իներցիայի պահը զ:

Քանի որ ժամըԵվ զ– համաչափության առանցք, ապա կենտրոնախույս մոմենտը Դ zy = 0.

Համար շրջանտրամագիծը դհաշվարկները պարզեցված են, եթե հաշվի առնենք շրջանաձև համաչափությունը և օգտագործենք բևեռային կոորդինատները: Որպես տարրական հարթակ վերցնենք անվերջ բարակ օղակ՝ ρ շառավղով և հաստությամբ դρ (նկ. 8): Նրա տարածքը dA= 2պր դռ. Այնուհետև իներցիայի բևեռային պահը հետևյալն է.

.

Բրինձ. 8. Կլոր հատված

Ինչպես ցույց է տրված վերևում, ցանկացած կենտրոնական առանցքի շուրջ իներցիայի առանցքային մոմենտները նույնն են և հավասար

.

Իներցիայի պահ մատանիներմենք գտնում ենք երկու շրջանագծի իներցիայի մոմենտների տարբերությունը՝ արտաքինը (տրամագծով Դ) և ներքին (տրամագծով դ):

Իներցիայի պահ Ի զ եռանկյունմենք այն կսահմանենք ծանրության կենտրոնով անցնող առանցքի համեմատ (նկ. 9): Ակնհայտ է, որ հեռավորության վրա գտնվող տարրական շերտի լայնությունը ժամըառանցքից զ, հավասար է

Հետևաբար,

Բրինձ. 9. Եռանկյուն հատված

3.3. Զուգահեռ առանցքների նկատմամբ իներցիայի մոմենտների միջև կախվածությունը

Առանցքների վերաբերյալ իներցիայի պահերի հայտնի արժեքներով զԵվ ժամըորոշենք այլ առանցքների նկատմամբ իներցիայի մոմենտները զ 1 և y 1 զուգահեռ տրվածներին։ Օգտագործելով իներցիայի առանցքային պահերի ընդհանուր բանաձևը, մենք գտնում ենք

Եթե ​​կացինները զԵվ yկենտրոնական, ապա
, Եվ

Ստացված բանաձևերից պարզ է դառնում, որ կենտրոնական առանցքների նկատմամբ իներցիայի պահերը (երբ
) ունեն ամենափոքր արժեքները՝ համեմատած ցանկացած այլ զուգահեռ առանցքի իներցիայի պահերի հետ:

3.4. Հիմնական առանցքները և իներցիայի հիմնական պահերը

Երբ առանցքները պտտվում են α անկյան միջով, իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտը հավասար է.

.

Եկեք որոշենք իներցիայի հիմնական հիմնական առանցքների դիրքը u, vորի վերաբերյալ

,

որտեղ α 0 այն անկյունն է, որով պետք է պտտվեն առանցքները yԵվ զորպեսզի նրանք դառնան գլխավորը։

Քանի որ բանաձեւը տալիս է երկու անկյունային արժեք Եվ
, ապա կան երկու փոխադարձ ուղղահայաց հիմնական առանցքներ։ Առավելագույն առանցքը միշտ ավելի փոքր անկյուն է կազմում ( ) առանցքների հետ ( զկամ y), որի նկատմամբ ավելի մեծ նշանակություն ունի իներցիայի առանցքային պահը։ Հիշեցնենք, որ առանցքից անջատված են դրական անկյունները զ ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ:

Հիմնական առանցքների նկատմամբ իներցիայի պահերը կոչվում են իներցիայի հիմնական պահերը.Կարելի է ցույց տալ, որ նրանք

.

Երկրորդ անդամի դիմաց գումարած նշանը վերաբերում է իներցիայի առավելագույն պահին, մինուս նշանը՝ նվազագույնին։