Jednadžbe

Kako riješiti jednadžbe?

U ovom odjeljku prisjetit ćemo se (ili proučavati - kako tko voli) najelementarnijih jednadžbi. Dakle, što je jednadžba? Ljudski govoreći, to je neka vrsta matematičkog izraza, gdje postoji znak jednakosti i nepoznata. Što se obično označava slovom "X". riješiti jednadžbu je pronaći takve x-vrijednosti koje, prilikom zamjene u početni izraz, dat će nam ispravan identitet. Podsjećam da je identitet izraz koji ne izaziva sumnju čak ni za osobu koja nije apsolutno opterećena matematičkim znanjem. Kao 2=2, 0=0, ab=ab itd. Dakle, kako rješavate jednadžbe? Hajdemo shvatiti.

Ima svakakvih jednadžbi (iznenadio sam se, zar ne?). Ali sva njihova beskonačna raznolikost može se podijeliti u samo četiri vrste.

4. ostalo.)

Sve ostalo, naravno, najviše od svega, da ...) Ovo uključuje kubične, i eksponencijalne, i logaritamske, i trigonometrijske, i sve vrste drugih. Blisko ćemo surađivati ​​s njima u relevantnim odjeljcima.

Moram odmah reći da su ponekad jednadžbe prve tri vrste toliko namotane da ih ne prepoznajete ... Ništa. Naučit ćemo kako ih odmotati.

I zašto su nam potrebne ove četiri vrste? I što onda linearne jednadžbe riješen na jedan način kvadrat drugi frakcijski racionalni - treći, a odmor uopće nije riješeno! Pa, nije da oni uopće ne odlučuju, uzalud sam uvrijedio matematiku.) Samo oni imaju svoje posebne tehnike i metode.

Ali za bilo koji (ponavljam - za bilo koji!) jednadžbi je pouzdana i jednostavna osnova za rješavanje. Radi svugdje i uvijek. Ova baza - Zvuči zastrašujuće, ali stvar je vrlo jednostavna. I jako (vrlo!) važno.

Zapravo, rješenje jednadžbe sastoji se od istih transformacija. Na 99%. Odgovor na pitanje: " Kako riješiti jednadžbe?" leži, samo u ovim transformacijama. Je li nagovještaj jasan?)

Transformacije identiteta jednadžbi.

NA bilo koje jednadžbe da bismo pronašli nepoznato, potrebno je transformirati i pojednostaviti izvorni primjer. Štoviše, tako da prilikom promjene izgleda bit jednadžbe se nije promijenila. Takve se transformacije nazivaju identičan ili ekvivalent.

Imajte na umu da su ove transformacije samo za jednadžbe. U matematici još uvijek postoje identične transformacije izrazi. Ovo je druga tema.

Sada ćemo ponoviti sve-sve-sve osnovno identične transformacije jednadžbi.

Osnovni jer se mogu primijeniti na bilo koji jednadžbe - linearne, kvadratne, frakcijske, trigonometrijske, eksponencijalne, logaritamske, itd. itd.

Prva identična transformacija: obje strane bilo koje jednadžbe mogu se dodati (oduzeti) bilo koji(ali isto!) broj ili izraz (uključujući izraz s nepoznatom!). Suština jednadžbe se ne mijenja.

Usput, stalno si koristio ovu transformaciju, samo si mislio da neke članove prenosiš iz jednog dijela jednadžbe u drugi s promjenom predznaka. Tip:

Stvar je poznata, pomaknemo dvojku udesno i dobijemo:

zapravo ti oduzeta s obje strane jednadžbe dvojka. Rezultat je isti:

x+2 - 2 = 3 - 2

Prijenos članova lijevo-desno s promjenom predznaka jednostavno je skraćena verzija prve identične transformacije. I zašto nam je potrebno tako duboko znanje? - pitaš. Ništa u jednadžbama. Miči se, zaboga. Samo ne zaboravite promijeniti znak. Ali u nejednakostima navika prijenosa može dovesti do slijepe ulice...

Druga transformacija identiteta: obje strane jednadžbe mogu se pomnožiti (podijeliti) istim različit od nule broj ili izraz. Ovdje se već pojavljuje razumljivo ograničenje: glupo je množiti s nulom, ali je uopće nemoguće dijeliti. Ovo je transformacija koju koristite kada odlučite nešto poput cool

Razumljivo, x= 2. Ali kako ste ga pronašli? Izbor? Ili samo upalio? Kako ne biste pokupili i čekali uvid, morate shvatiti da ste pravedni podijeli obje strane jednadžbe za 5. Dijeljenjem lijeve strane (5x), petica je smanjena, ostavljajući čisti X. Što nam je i trebalo. A kada se desna strana od (10) podijeli s pet, ispala je, naravno, dvojka.

To je sve.

Smiješno je, ali ove dvije (samo dvije!) identične transformacije su temelj rješenja sve jednadžbe matematike. Kako! Ima smisla pogledati primjere što i kako, zar ne?)

Primjeri identičnih transformacija jednadžbi. Glavni problemi.

Počnimo s prvi identična transformacija. Pomicanje lijevo-desno.

Primjer za najmlađe.)

Recimo da trebamo riješiti sljedeću jednadžbu:

3-2x=5-3x

Prisjetimo se čarolije: "sa X - lijevo, bez X - desno!" Ova čarolija je uputa za primjenu prve transformacije identiteta.) Što je izraz s x na desnoj strani? 3x? Odgovor je pogrešan! S naše desne strane - 3x! Minus tri x! Stoga će se pri pomaku ulijevo znak promijeniti u plus. Dobiti:

3-2x+3x=5

Dakle, X-ovi su spojeni. Idemo računati. Tri s lijeve strane. Kakav znak? Odgovor "ni s jednom" se ne prihvaća!) Ispred trojke doista ništa nije nacrtano. A to znači da je ispred trostruke plus. Tako su se matematičari složili. Ništa nije napisano, dakle plus. Stoga će trojka biti prebačena na desnu stranu s minusom. Dobivamo:

-2x+3x=5-3

Ostalo je praznih mjesta. S lijeve strane - dajte slične, s desne strane - brojite. Odgovor je odmah:

U ovom primjeru bila je dovoljna jedna identična transformacija. Drugi nije bio potreban. Pa dobro.)

Primjer za starije.)

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Slova se koriste za označavanje nepoznatog broja. Upravo značenje ovih slova treba tražiti uz pomoć rješenja jednadžbe.

Radeći na rješenju jednadžbe, pokušavamo je u prvim fazama dovesti do jednostavnijeg oblika, što nam omogućuje da dobijemo rezultat pomoću jednostavnih matematičkih manipulacija. Da bismo to učinili, vršimo prijenos pojmova s ​​lijeve strane na desnu, mijenjamo znakove, množimo / dijelimo dijelove rečenice nekim brojem, otvaramo zagrade. Ali sve te radnje izvodimo samo s jednim ciljem - dobiti jednostavnu jednadžbu.

Jednadžbe \ - je jednadžba s jednim nepoznatim linearnim oblikom, u kojoj su r i c oznake za numeričke vrijednosti. Za rješavanje jednadžbe ovog tipa potrebno je prenijeti njezine članove:

Na primjer, trebamo riješiti sljedeću jednadžbu:

Rješenje ove jednadžbe započinjemo prijenosom njezinih članova: od \[x\] - na lijevu stranu, ostatak - na desnu. Prilikom prijenosa zapamtite da se \[+\] mijenja u \[-.\] Dobivamo:

\[-2x+3x=5-3\]

Izvođenjem jednostavnih aritmetičkih operacija dobivamo sljedeći rezultat:

Gdje mogu riješiti jednadžbu s x na mreži?

Jednadžbu s x možete riješiti online na našoj web stranici https: // site. Besplatni mrežni rješavač omogućit će vam rješavanje online jednadžbe bilo koje složenosti u nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je samo unijeti svoje podatke u rješavač. Također možete pogledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako imate bilo kakvih pitanja, možete ih postaviti u našoj Vkontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, uvijek ćemo vam rado pomoći.

Rješenje eksponencijalnih jednadžbi. Primjeri.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u posebnom odjeljku 555.
Za one koji jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Što eksponencijalna jednadžba? Ovo je jednadžba u kojoj se nalaze nepoznanice (x) i izrazi s njima indikatori neki stupnjevi. I samo tamo! To je važno.

Tu si ti primjeri eksponencijalnih jednadžbi:

3 x 2 x = 8 x + 3

Bilješka! U bazama stupnjeva (ispod) - samo brojevi. NA indikatori stupnjevi (iznad) - veliki izbor izraza s x. Ako se iznenada x pojavi u jednadžbi negdje drugdje osim indikatora, na primjer:

ovo će biti jednadžba mješovitog tipa. Takve jednadžbe nemaju jasna pravila za rješavanje. Za sada ih nećemo razmatrati. Ovdje ćemo se pozabaviti rješenje eksponencijalnih jednadžbi u svom najčišćem obliku.

Zapravo, čak ni čiste eksponencijalne jednadžbe nisu uvijek jasno riješene. Ali postoje određene vrste eksponencijalnih jednadžbi koje se mogu i trebaju riješiti. Ovo su tipovi koje ćemo promatrati.

Rješenje najjednostavnijih eksponencijalnih jednadžbi.

Počnimo s nečim vrlo osnovnim. Na primjer:

Čak i bez ikakve teorije, jednostavnim odabirom jasno je da je x = 2. Ništa više, zar ne!? Nema drugih bacanja vrijednosti x. A sada pogledajmo rješenje ove lukave eksponencijalne jednadžbe:

Što smo učinili? Mi smo, zapravo, samo izbacili iste dna (trojke). Potpuno izbačen. I, što drago, pogodio u metu!

Doista, ako su u eksponencijalnoj jednadžbi s lijeve i s desne strane isto brojeva u bilo kojem stupnju, ti se brojevi mogu ukloniti i jednaki eksponenti. Matematika dopušta. Ostaje riješiti puno jednostavniju jednadžbu. Dobro je, zar ne?)

Međutim, prisjetimo se ironično: možete ukloniti baze samo kada su brojevi baze s lijeve i desne strane u sjajnoj izolaciji! Bez ikakvih susjeda i koeficijenata. Recimo u jednadžbama:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , ili

Ne možete ukloniti dvojnike!

Eto, svladali smo ono najvažnije. Kako prijeći sa zlih eksponencijalnih izraza na jednostavnije jednadžbe.

— Evo tih vremena! - Ti kažeš. "Tko će dati takvog primitivca na kontrolnim i ispitima!?"

Prisiljen pristati. Nitko neće. Ali sada znate kamo ići kada rješavate zbunjujuće primjere. Potrebno je to dovesti u obzir, kada je isti osnovni broj s lijeve strane - s desne strane. Tada će sve biti lakše. Zapravo, ovo je klasik matematike. Uzimamo izvorni primjer i transformiramo ga u željeni nas um. Po matematičkim pravilima, naravno.

Razmotrite primjere koji zahtijevaju dodatne napore da ih dovedete do najjednostavnijih. Nazovimo ih jednostavan eksponencijalne jednadžbe.

Rješenje jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi. Primjeri.

Kod rješavanja eksponencijalnih jednadžbi glavna su pravila akcije s ovlastima. Bez znanja o tim radnjama ništa neće uspjeti.

Radnjama sa stupnjevima treba dodati osobno zapažanje i domišljatost. Trebaju li nam isti osnovni brojevi? Stoga ih u primjeru tražimo u eksplicitnom ili šifriranom obliku.

Da vidimo kako se to radi u praksi?

Dajmo nam primjer:

2 2x - 8 x+1 = 0

Prvi pogled na osnove. Oni... Oni su drugačiji! Dva i osam. Ali prerano je za obeshrabrenje. Vrijeme je da se toga prisjetimo

Dva i osam su srodnici u stupnju.) Sasvim je moguće zapisati:

8 x+1 = (2 3) x+1

Ako se prisjetimo formule iz akcija s ovlastima:

(a n) m = a nm,

općenito radi odlično:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Izvorni primjer izgleda ovako:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

prenosimo 2 3 (x+1) desno (nitko nije otkazao elementarne radnje matematike!), dobivamo:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

To je praktički sve. Uklanjanje baze:

Riješimo ovo čudovište i dobijemo

Ovo je točan odgovor.

U ovom primjeru pomoglo nam je poznavanje moći dvojke. Mi identificiran u osmici, šifrirana dvojka. Ova tehnika (kodiranje zajedničkih baza pod različitim brojevima) vrlo je popularan trik u eksponencijalnim jednadžbama! Da, čak iu logaritmima. Čovjek mora znati prepoznati moći drugih brojeva u brojevima. Ovo je izuzetno važno za rješavanje eksponencijalnih jednadžbi.

Činjenica je da podizanje bilo kojeg broja na bilo koju potenciju nije problem. Umnožite, makar i na komad papira, i to je sve. Na primjer, svatko može podići 3 na petu potenciju. 243 će se ispostaviti ako znate tablicu množenja.) Ali u eksponencijalnim jednadžbama, mnogo češće je potrebno ne dizati na potenciju, već obrnuto ... koji broj u kojoj mjeri krije se iza broja 243, ili, recimo, 343... Tu vam nikakav kalkulator neće pomoći.

Moći nekih brojeva morate znati iz viđenja, da ... Hoćemo li vježbati?

Odredi koje su potencije i koji brojevi brojevi:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Odgovori (u neredu, naravno!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Ako bolje pogledate, možete vidjeti čudnu činjenicu. Više je odgovora nego pitanja! Pa, događa se... Na primjer, 2 6 , 4 3 , 8 2 je sve 64.

Pretpostavimo da ste primili na znanje informacije o poznavanju brojeva.) Dopustite mi da vas podsjetim da za rješavanje eksponencijalnih jednadžbi primjenjujemo cjelina zaliha matematičkog znanja. Uključujući i one iz niže srednje klase. Nisi valjda otišao ravno u srednju školu?

Na primjer, kod rješavanja eksponencijalnih jednadžbi vrlo često pomaže stavljanje zajedničkog faktora izvan zagrada (pozdrav 7. razredu!). Pogledajmo primjer:

3 2x+4 -11 9 x = 210

I opet, prvi pogled - na terene! Osnove stupnjeva su različite ... Tri i devet. I želimo da budu isti. Pa, u ovom slučaju, želja je sasvim izvediva!) Jer:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Prema istim pravilima za akcije sa stupnjevima:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

To je super, možete napisati:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Dali smo primjer iz istih razloga. Dakle, što je sljedeće!? Trojke se ne mogu izbaciti ... Ćorsokak?

Nikako. Prisjećanje na najuniverzalnije i najsnažnije pravilo odlučivanja svi matematički zadaci:

Ako ne znate što učiniti, učinite što možete!

Gledate, sve je formirano).

Što je u ovoj eksponencijalnoj jednadžbi limenkačini? Da, lijeva strana izravno traži zagrade! Zajednički faktor 3 2x jasno to upućuje. Pokušajmo, pa ćemo vidjeti:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Primjer postaje sve bolji i bolji!

Podsjećamo da nam je za eliminiranje baza potreban čisti stupanj, bez ikakvih koeficijenata. Muči nas brojka 70. Podijelimo obje strane jednadžbe sa 70 i dobijemo:

Op-pa! Sve je bilo u redu!

Ovo je konačan odgovor.

Događa se, međutim, da se po istim osnovama dobije taksiranje, ali ne i njihova likvidacija. To se događa u eksponencijalnim jednadžbama druge vrste. Uzmimo ovu vrstu.

Promjena varijable u rješavanju eksponencijalnih jednadžbi. Primjeri.

Riješimo jednadžbu:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Prvo - kao i obično. Prijeđimo na bazu. Do dvojke.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dobivamo jednadžbu:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

I ovdje ćemo visjeti. Prethodni trikovi neće uspjeti, kako god okrenete. Morat ćemo iz arsenala nabaviti još jedan moćan i svestran način. To se zove varijabilna supstitucija.

Suština metode je iznenađujuće jednostavna. Umjesto jedne složene ikone (u našem slučaju 2 x), pišemo drugu, jednostavniju (na primjer t). Takva naizgled besmislena zamjena dovodi do nevjerojatnih rezultata!) Sve postaje jasno i razumljivo!

Pa neka

Zatim 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Zamjenjujemo u našoj jednadžbi sve potencije s x-ovima s t:

Pa, svanulo je?) Još niste zaboravili kvadratne jednadžbe? Rješavamo kroz diskriminantu, dobivamo:

Ovdje je glavna stvar ne stati, kao što se događa ... Ovo još nije odgovor, trebamo x, a ne t. Vraćamo se na Xs, tj. izrada zamjene. Prvo za t 1:

To je,

Pronađen je jedan korijen. Tražimo drugu, iz t 2:

Hm... Lijevo 2 x, Desno 1... Zastoj? Da, nikako! Dovoljno je zapamtiti (od radnji sa stupnjevima, da ...) da je jedinica bilo koji broj do nule. Bilo koje. Što god trebate, mi ćemo to staviti. Trebamo dva. Sredstva:

Sada je to sve. Dobio 2 korijena:

Ovo je odgovor.

Na rješavanje eksponencijalnih jednadžbi na kraju se ponekad dobije neki neugodan izraz. Tip:

Od sedam, dvojka kroz jednostavan stupanj ne radi. Oni nisu rođaci ... Kako mogu biti ovdje? Netko može biti zbunjen ... Ali osoba koja je na ovoj stranici pročitala temu "Što je logaritam?" , samo se škrto nasmiješite i čvrstom rukom zapišite apsolutno točan odgovor:

Takav odgovor ne može biti u zadacima "B" na ispitu. Potreban je određeni broj. Ali u zadacima "C" - lako.

Ova lekcija pruža primjere rješavanja najčešćih eksponencijalnih jednadžbi. Istaknimo ono glavno.

Praktični savjeti:

1. Prije svega gledamo osnove stupnjeva. Da vidimo mogu li se učiniti isto. Pokušajmo to učiniti aktivnim korištenjem akcije s ovlastima. Ne zaboravite da se brojevi bez x također mogu pretvoriti u potencije!

2. Pokušavamo eksponencijalnu jednadžbu dovesti u oblik kada su lijevo i desno isto brojevi do bilo kojeg stupnja. Koristimo akcije s ovlastima i faktorizacija.Što se brojkama može prebrojati - mi brojimo.

3. Ako drugi savjet nije uspio, pokušavamo primijeniti zamjenu varijable. Rezultat može biti jednadžba koja se lako rješava. Najčešće - kvadrat. Ili frakcijski, koji se također svodi na kvadrat.

4. Za uspješno rješavanje eksponencijalnih jednadžbi potrebno je poznavati stupnjeve nekih brojeva "iz viđenja".

Kao i obično, na kraju lekcije pozvani ste da malo riješite.) Sami. Od jednostavnog do složenog.

Riješite eksponencijalne jednadžbe:

Teže:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Pronađite produkt korijena:

2 3-x + 2 x = 9

Dogodilo se?

Dobro onda najteži primjer(odlučio, međutim, u umu ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Što je zanimljivije? Onda vam je loš primjer. Prilično vuče na povećanu težinu. Nagovijestit ću da u ovom primjeru spašava domišljatost i najuniverzalnije pravilo za rješavanje svih matematičkih zadataka.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Primjer je jednostavniji, za opuštanje):

9 2 x - 4 3 x = 0

A za desert. Pronađite zbroj korijena jednadžbe:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Da da! Ovo je jednadžba mješovitog tipa! Što nismo razmatrali u ovoj lekciji. A što ih smatrati, treba ih riješiti!) Ova lekcija je sasvim dovoljna za rješavanje jednadžbe. Pa, potrebna je domišljatost ... I da, pomoći će vam sedmi razred (ovo je hint!).

Odgovori (u nizu, odvojeni točkom i zarezom):

jedan; 2; 3; četiri; nema rješenja; 2; -2; -5; četiri; 0.

Je li sve uspješno? Izvrsno.

Imamo problem? Nema problema! U posebnom odjeljku 555 sve ove eksponencijalne jednadžbe rješavaju se uz detaljna objašnjenja. Što, zašto i zašto. I, naravno, tu su dodatne vrijedne informacije o radu sa svim vrstama eksponencijalnih jednadžbi. Ne samo s ovim.)

Još jedno zabavno pitanje za razmatranje. U ovoj lekciji radili smo s eksponencijalnim jednadžbama. Zašto ovdje nisam rekao ni riječ o ODZ? U jednadžbama, ovo je vrlo važna stvar, usput ...

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Linearne jednadžbe. Rješenje, primjeri.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u posebnom odjeljku 555.
Za one koji jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Linearne jednadžbe.

Linearne jednadžbe nisu najteža tema u školskoj matematici. Ali tu postoje neki trikovi koji mogu zbuniti čak i obučenog učenika. Hoćemo li to shvatiti?)

Linearna jednadžba obično se definira kao jednadžba oblika:

sjekira + b = 0 gdje a i b- bilo koji brojevi.

2x + 7 = 0. Ovdje a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Ovdje a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Ovdje a=12, b=1/2

Ništa komplicirano, zar ne? Pogotovo ako ne primijetite riječi: "gdje su a i b bilo koji brojevi"... A ako primijetite, ali nemarno razmišljate o tome?) Uostalom, ako a=0, b=0(jesu li mogući bilo koji brojevi?), tada dobivamo smiješan izraz:

Ali to nije sve! ako, recimo, a=0, a b=5, ispada nešto sasvim apsurdno:

Ono što opterećuje i potkopava povjerenje u matematiku, da ...) Posebno na ispitima. Ali od ovih čudnih izraza, također morate pronaći X! Koji uopće ne postoji. I, iznenađujuće, ovaj X je vrlo lako pronaći. Naučit ćemo kako to učiniti. U ovoj lekciji.

Kako prepoznati linearnu jednadžbu u izgledu? Ovisi kakav izgled.) Trik je u tome što se linearne jednadžbe nazivaju ne samo jednadžbe oblika sjekira + b = 0 , ali i sve jednadžbe koje su transformacijama i pojednostavljenjima svedene na ovaj oblik. A tko zna je li snižen ili ne?)

U nekim se slučajevima može jasno prepoznati linearna jednadžba. Recimo, ako imamo jednadžbu u kojoj postoje samo nepoznanice u prvom stupnju, da, brojevi. A jednadžba ne razlomci podijeljeni sa nepoznato , to je važno! I dijeljenje po broj, ili brojčani razlomak - to je to! Na primjer:

Ovo je linearna jednadžba. Ovdje ima razlomaka, ali nema x-ova u kvadratu, u kocki itd., a nema x-ova u nazivnicima, tj. Ne dijeljenje s x. I evo jednadžbe

ne može se nazvati linearnim. Ovdje su x-ovi svi na prvom stupnju, ali postoji dijeljenje izrazom s x. Nakon pojednostavljenja i transformacija, možete dobiti i linearnu jednadžbu, i kvadratnu, i što god želite.

Ispada da je nemoguće pronaći linearnu jednadžbu u nekom zamršenom primjeru dok je gotovo ne riješite. To je uznemirujuće. Ali u zadacima se u pravilu ne pita o obliku jednadžbe, zar ne? U zadacima su jednadžbe poredane odlučiti. Ovo me čini sretnim.)

Rješenje linearnih jednadžbi. Primjeri.

Cjelokupno rješenje linearnih jednadžbi sastoji se od identičnih transformacija jednadžbi. Inače, te transformacije (čak dvije!) leže u osnovi rješenja sve jednadžbe matematike. Drugim riječima, odluka bilo koji Jednadžba počinje s tim istim transformacijama. U slučaju linearnih jednadžbi, ono (rješenje) na ovim transformacijama završava potpunim odgovorom. Ima smisla slijediti vezu, zar ne?) Štoviše, postoje i primjeri rješavanja linearnih jednadžbi.

Počnimo s najjednostavnijim primjerom. Bez ikakvih zamki. Recimo da trebamo riješiti sljedeću jednadžbu.

x - 3 = 2 - 4x

Ovo je linearna jednadžba. X-ovi su svi na prvu potenciju, nema dijeljenja sa X. Ali, zapravo, nije nas briga koja je jednadžba. Moramo to riješiti. Shema je ovdje jednostavna. Sakupite sve s x-ovima na lijevoj strani jednadžbe, sve bez x-ova (brojeva) s desne strane.

Da biste to učinili, morate prenijeti - 4x u lijevu stranu, s promjenom predznaka, naravno, ali - 3 - nadesno. Usput, ovo je prva identična transformacija jednadžbi. Iznenađen? Dakle, nisu slijedili vezu, ali uzalud ...) Dobivamo:

x + 4x = 2 + 3

Dajemo slično, smatramo:

Što nam je potrebno da budemo potpuno sretni? Da, tako da je čisti X s lijeve strane! Pet se nalazi na putu. Riješite se pet sa druga identična transformacija jednadžbi. Naime, oba dijela jednadžbe podijelimo s 5. Dobivamo gotov odgovor:

Elementaran primjer, naravno. Ovo je za zagrijavanje.) Nije baš jasno zašto sam se ovdje prisjetio identičnih transformacija? U REDU. Uzimamo bika za rogove.) Odlučimo nešto impresivnije.

Na primjer, evo ove jednadžbe:

Gdje ćemo početi? Sa X - lijevo, bez X - desno? Moglo bi biti tako. Malim koracima na dugom putu. A možete odmah, na univerzalan i snažan način. Osim ako, naravno, u vašem arsenalu ne postoje identične transformacije jednadžbi.

Postavljam vam ključno pitanje: Što vam se najviše ne sviđa u ovoj jednadžbi?

95 osoba od 100 će odgovoriti: razlomci ! Odgovor je točan. Zato ih se riješimo. Dakle, počinjemo odmah s druga identična transformacija. S čim trebate pomnožiti razlomak s lijeve strane da se nazivnik potpuno smanji? Tako je, 3. A desno? S 4. Ali matematika nam omogućuje da obje strane pomnožimo s isti broj. Kako ćemo izaći? Pomnožimo obje strane s 12! Oni. na zajednički nazivnik. Tada će se smanjiti tri, a četiri. Ne zaboravite da morate umnožiti svaki dio u cijelosti. Evo kako izgleda prvi korak:

Proširivanje zagrada:

Bilješka! Brojnik (x+2) Uzeo sam u zagradu! To je zato što se pri množenju razlomaka brojnik množi cijelim dijelom! A sada možete smanjiti razlomke i smanjiti:

Otvaranje preostalih zagrada:

Nije primjer, već čisto zadovoljstvo!) Sada se prisjećamo čarolije iz nižih razreda: sa x - lijevo, bez x - desno! I primijenite ovu transformaciju:

Evo nekih poput:

I oba dijela podijelimo sa 25, tj. ponovno primijenite drugu transformaciju:

To je sve. Odgovor: x=0,16

Imajte na umu: da bismo originalnu zbunjujuću jednadžbu doveli u ugodan oblik, upotrijebili smo dva (samo dva!) identične transformacije- prevođenje lijevo-desno s promjenom predznaka i množenje-dijeljenje jednadžbe istim brojem. Ovo je univerzalni način! Radit ćemo na ovaj način bilo koji jednadžbe! Apsolutno bilo koji. Zato stalno ponavljam te identične transformacije.)

Kao što vidite, princip rješavanja linearnih jednadžbi je jednostavan. Uzimamo jednadžbu i pojednostavljujemo je uz pomoć identičnih transformacija dok ne dobijemo odgovor. Glavni problemi ovdje su u izračunima, a ne u principu rješenja.

Ali ... Postoje takva iznenađenja u procesu rješavanja najelementarnijih linearnih jednadžbi koje mogu dovesti u jaku omamljenost ...) Srećom, mogu postojati samo dva takva iznenađenja. Nazovimo ih posebnim slučajevima.

Posebni slučajevi u rješavanju linearnih jednadžbi.

Prvo iznenađenje.

Pretpostavimo da ste naišli na elementarnu jednadžbu, nešto poput:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Pomalo dosadno, prebacujemo s X ulijevo, bez X - udesno ... S promjenom znaka, sve je chin-chinar ... Dobivamo:

2x-5x+3x=5-2-3

Vjerujemo, i ... o moj! Dobivamo:

Sama po sebi, ova jednakost nije sporna. Nula je stvarno nula. Ali X je nestao! I moramo napisati u odgovoru, čemu je x jednako. Inače, rješenje se ne računa, da...) Slijepa ulica?

Smiriti! U takvim sumnjivim slučajevima spašavaju najopćenitija pravila. Kako riješiti jednadžbe? Što znači riješiti jednadžbu? To znači, pronaći sve vrijednosti x koje će nam, kada se zamijene u izvornu jednadžbu, dati točnu jednakost.

Ali imamo ispravnu jednakost već dogodilo se! 0=0, gdje stvarno?! Ostaje otkriti pri kojem x-u se to dobiva. U koje se vrijednosti x može zamijeniti početni jednadžba ako ovi x-ovi još uvijek smanjiti na nulu? Dođi?)

Da!!! Xs se mogu zamijeniti bilo koji!Što želiš. Najmanje 5, najmanje 0,05, najmanje -220. Još će se smanjivati. Ako mi ne vjerujete, možete provjeriti.) Zamijenite bilo koju x vrijednost početni jednadžba i izračunati. Sve vrijeme će se dobiti čista istina: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 i tako dalje.

Evo vašeg odgovora: x je bilo koji broj.

Odgovor se može napisati različitim matematičkim simbolima, suština se ne mijenja. Ovo je potpuno točan i potpun odgovor.

Drugo iznenađenje.

Uzmimo istu elementarnu linearnu jednadžbu i promijenimo samo jedan broj u njoj. Evo što ćemo odlučiti:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Nakon istih identičnih transformacija, dobivamo nešto intrigantno:

Kao ovo. Riješio linearnu jednadžbu, dobio čudnu jednakost. Matematički gledano, imamo pogrešna jednakost. I govoreći prostim jezikom, ovo nije istina. Rave. Ali ipak, ova besmislica je sasvim dobar razlog za ispravno rješenje jednadžbe.)

Opet razmišljamo na temelju općih pravila. Što će nam x, kada se zamijeni u izvornoj jednadžbi, dati ispraviti jednakost? Da, nijedan! Takvih x-ova nema. Što god zamijenite, sve će se smanjiti, ostat će besmislica.)

Evo vašeg odgovora: nema rješenja.

Ovo je također savršeno valjan odgovor. U matematici se takvi odgovori često pojavljuju.

Kao ovo. Nadam se da vam gubitak X-ova u procesu rješavanja bilo koje (ne samo linearne) jednadžbe neće smetati. Stvar je poznata.)

Sada kada smo se pozabavili svim zamkama u linearnim jednadžbama, ima smisla riješiti ih.

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Jednadžbe su jedna od teške teme za asimilaciju, ali su istovremeno i dovoljno moćan alat za rješavanje većine problema.

Uz pomoć jednadžbi opisuju se različiti procesi koji se odvijaju u prirodi. Jednadžbe se široko koriste u drugim znanostima: u ekonomiji, fizici, biologiji i kemiji.

U ovoj lekciji pokušat ćemo razumjeti bit najjednostavnijih jednadžbi, naučiti kako izraziti nepoznanice i riješiti nekoliko jednadžbi. Kako budete učili nove materijale, jednadžbe će postajati sve složenije, stoga je razumijevanje osnova vrlo važno.

Preliminarne vještine Sadržaj lekcije

Što je jednadžba?

Jednadžba je jednakost koja sadrži varijablu čiju vrijednost želite pronaći. Ova vrijednost mora biti takva da kada se zamijeni u izvornoj jednadžbi, dobije točna numerička jednakost.

Na primjer, izraz 3 + 2 = 5 je jednakost. Pri računanju lijeve strane dobiva se ispravna brojčana jednakost 5 = 5 .

Ali jednakost 3 + x= 5 je jednadžba jer sadrži varijablu x, čija se vrijednost može pronaći. Vrijednost mora biti takva da kada se ta vrijednost zamijeni u izvornoj jednadžbi, dobije točna numerička jednakost.

Drugim riječima, trebamo pronaći vrijednost u kojoj bi znak jednakosti opravdavao njezin položaj - lijeva strana bi trebala biti jednaka desnoj strani.

Jednadžba 3+ x= 5 je elementarno. Varijabilna vrijednost x jednaka je broju 2. Za bilo koju drugu vrijednost jednakost se neće poštivati

Kaže se da je broj 2 korijen ili rješenje jednadžbe 3 + x = 5

Korijen ili rješenje jednadžbe je vrijednost varijable pri kojoj jednadžba postaje prava numerička jednakost.

Može postojati nekoliko korijena ili niti jedan. riješiti jednadžbu znači pronaći njegove korijene ili dokazati da korijena nema.

Varijabla u jednadžbi također je poznata kao nepoznato. Možete ga slobodno nazvati kako god želite. Ovo su sinonimi.

Bilješka. izraz "riješi jednadžbu" govori sama za sebe. Riješiti jednadžbu znači "izjednačiti" jednadžbu - učiniti je uravnoteženom tako da lijeva strana bude jednaka desnoj strani.

Izrazite jedno u smislu drugoga

Proučavanje jednadžbi tradicionalno počinje učenjem izražavanja jednog broja uključenog u jednakost u smislu niza drugih. Ne prekidajmo ovu tradiciju i učinimo isto.

Razmotrite sljedeći izraz:

8 + 2

Ovaj izraz je zbroj brojeva 8 i 2. Vrijednost ovog izraza je 10

8 + 2 = 10

Dobili smo ravnopravnost. Sada možete izraziti bilo koji broj iz ove jednakosti u smislu drugih brojeva uključenih u istu jednakost. Na primjer, izrazimo broj 2.

Za izražavanje broja 2 potrebno je postaviti pitanje: "što treba učiniti s brojevima 10 i 8 da bi se dobio broj 2." Jasno je da je za dobivanje broja 2 potrebno od broja 10 oduzeti broj 8.

Tako i radimo. Zapišemo broj 2 i kroz znak jednakosti kažemo da smo za dobivanje tog broja 2 od broja 10 oduzeli broj 8:

2 = 10 − 8

Broj 2 smo izrazili iz jednadžbe 8 + 2 = 10 . Kao što možete vidjeti iz primjera, u ovome nema ništa komplicirano.

Pri rješavanju jednadžbi, posebno pri izražavanju jednog broja preko drugih, zgodno je znak jednakosti zamijeniti riječju " tamo je" . To se mora učiniti mentalno, a ne u samom izrazu.

Dakle, izrazivši broj 2 iz jednakosti 8 + 2 = 10, dobili smo jednakost 2 = 10 − 8 . Ova se jednadžba može pročitati ovako:

2 tamo je 10 − 8

To je znak = zamijenjena riječju "je". Štoviše, jednakost 2 = 10 − 8 može se prevesti s matematičkog jezika na punopravni ljudski jezik. Onda se može čitati ovako:

Broj 2 tamo je razlika između 10 i 8

Broj 2 tamo je razlika između broja 10 i broja 8.

Ali ograničit ćemo se na zamjenu znaka jednakosti riječju "je", a onda to nećemo uvijek činiti. Elementarni izrazi mogu se razumjeti bez prevođenja matematičkog jezika na ljudski jezik.

Vratimo dobivenu jednakost 2 = 10 − 8 u prvobitno stanje:

8 + 2 = 10

Izrazimo ovaj put broj 8. Što treba učiniti s ostalim brojevima da dobijemo broj 8? Tako je, morate od broja 10 oduzeti broj 2

8 = 10 − 2

Vratimo dobivenu jednakost 8 = 10 − 2 u prvobitno stanje:

8 + 2 = 10

Ovaj put ćemo izraziti broj 10. Ali pokazalo se da desetku ne treba izražavati, budući da je već izražena. Dovoljno je zamijeniti lijevi i desni dio, tada dobivamo ono što nam treba:

10 = 8 + 2

Primjer 2. Razmotrimo jednakost 8 − 2 = 6

Iz te jednakosti izražavamo broj 8. Da bi se izrazio broj 8 potrebno je zbrojiti druga dva broja:

8 = 6 + 2

Vratimo dobivenu jednakost 8 = 6 + 2 u prvobitno stanje:

8 − 2 = 6

Iz ove jednakosti izražavamo broj 2. Da bismo izrazili broj 2, trebamo od 8 oduzeti 6

2 = 8 − 6

Primjer 3. Razmotrimo jednadžbu 3 × 2 = 6

Izrazi broj 3. Da bi izrazio broj 3 potrebno je 6 podijeliti sa 2

Vratimo dobivenu jednakost u prvobitno stanje:

3 x 2 = 6

Izrazimo iz ove jednakosti broj 2. Da bismo izrazili broj 2 potrebno je 3 podijeliti sa 6

Primjer 4. Razmotrite jednakost

Iz te jednakosti izražavamo broj 15. Da bismo izrazili broj 15 potrebno je pomnožiti brojeve 3 i 5

15 = 3 x 5

Vratimo dobivenu jednakost 15 = 3 × 5 u prvobitno stanje:

Iz te jednakosti izražavamo broj 5. Da bismo izrazili broj 5 potrebno je 15 podijeliti sa 3

Pravila za pronalaženje nepoznanica

Razmotrite nekoliko pravila za pronalaženje nepoznanica. Možda su vam poznati, ali neće škoditi ponoviti ih opet. U budućnosti ih možemo zaboraviti, jer ćemo naučiti rješavati jednadžbe bez primjene ovih pravila.

Vratimo se na prvi primjer, koji smo razmatrali u prethodnoj temi, gdje je u jednadžbi 8 + 2 = 10 trebalo izraziti broj 2.

U jednadžbi 8 + 2 = 10, brojevi 8 i 2 su članovi, a broj 10 je zbroj.

Da bismo izrazili broj 2, učinili smo sljedeće:

2 = 10 − 8

Odnosno, član 8 je oduzet od zbroja 10.

Sada zamislite da u jednadžbi 8 + 2 = 10 umjesto broja 2 postoji varijabla x

8 + x = 10

U ovom slučaju, jednadžba 8 + 2 = 10 postaje jednadžba 8 + x= 10 , i varijablu x nepoznat pojam

Naš zadatak je pronaći taj nepoznati član, odnosno riješiti jednadžbu 8 + x= 10. Da biste pronašli nepoznati izraz, potrebno je sljedeće pravilo:

Da biste pronašli nepoznati član, oduzmite poznati član od zbroja.

Što smo u osnovi učinili kada smo dva izrazili u jednadžbi 8 + 2 = 10. Da bismo izrazili član 2, od zbroja 10 oduzeli smo još jedan član 8

2 = 10 − 8

A sada da pronađemo nepoznati pojam x, moramo poznati član 8 oduzeti od zbroja 10:

x = 10 − 8

Ako izračunate desnu stranu dobivene jednakosti, tada možete saznati čemu je varijabla jednaka x

x = 2

Riješili smo jednadžbu. Varijabilna vrijednost x jednako 2. Za provjeru vrijednosti varijable x poslana na izvornu jednadžbu 8 + x= 10 i zamjena za x. Poželjno je to učiniti s bilo kojom riješenom jednadžbom jer ne možete biti sigurni da je jednadžba točno riješena:

Kao rezultat

Isto bi pravilo vrijedilo da je nepoznati član prvi broj 8.

x + 2 = 10

U ovoj jednadžbi x je nepoznati član, 2 je poznati član, 10 je zbroj. Pronaći nepoznati pojam x, trebate poznati član 2 oduzeti od zbroja 10

x = 10 − 2

x = 8

Vratimo se na drugi primjer iz prethodne teme, gdje je u jednadžbi 8 − 2 = 6 trebalo izraziti broj 8.

U jednadžbi 8 − 2 = 6, broj 8 je umanjenik, broj 2 je umanjenik, broj 6 je razlika

Da bismo izrazili broj 8, učinili smo sljedeće:

8 = 6 + 2

Odnosno, dodali su razliku 6 i oduzeto 2.

Sada zamislimo da u jednadžbi 8 − 2 = 6 umjesto broja 8 postoji varijabla x

x − 2 = 6

U ovom slučaju varijabla x preuzima ulogu tzv nepoznat minuend

Da biste pronašli nepoznati umanjenik, potrebno je sljedeće pravilo:

Da biste pronašli nepoznati umanjenik, potrebno je dodati umanjenik razlici.

Što smo i učinili kada smo broj 8 izrazili u jednadžbi 8 − 2 = 6. Da bismo izrazili umanjenik 8, dodali smo umanjenik 2 razlici 6.

A sada, da pronađemo nepoznati minuend x, moramo dodati subtrahend 2 razlici 6

x = 6 + 2

Ako izračunate desnu stranu, tada možete saznati čemu je varijabla jednaka x

x = 8

Sada zamislimo da u jednadžbi 8 − 2 = 6 umjesto broja 2 postoji varijabla x

8 − x = 6

U ovom slučaju varijabla x preuzima ulogu nepoznati subtrahend

Da biste pronašli nepoznati subtrahend, potrebno je sljedeće pravilo:

Da biste pronašli nepoznati umanjenik, trebate oduzeti razliku od umanjenika.

To je ono što smo učinili kada smo izrazili broj 2 u jednadžbi 8 − 2 = 6. Da bismo izrazili broj 2, oduzeli smo razliku 6 od smanjenog 8.

A sada, da pronađemo nepoznati subtrahend x, trebate ponovno oduzeti razliku 6 od smanjenog 8

x = 8 − 6

Izračunajte desnu stranu i pronađite vrijednost x

x = 2

Vratimo se na treći primjer iz prethodne teme, gdje smo u jednadžbi 3 × 2 = 6 pokušali izraziti broj 3.

U jednadžbi 3 × 2 = 6, broj 3 je množenik, broj 2 je množitelj, broj 6 je umnožak

Da bismo izrazili broj 3, učinili smo sljedeće:

To jest, podijelite umnožak od 6 s faktorom 2.

Sada zamislimo da u jednadžbi 3 × 2 = 6 umjesto broja 3 postoji varijabla x

x×2=6

U ovom slučaju varijabla x preuzima ulogu nepoznati množenik.

Da biste pronašli nepoznati množitelj, potrebno je sljedeće pravilo:

Da biste pronašli nepoznati množenik, morate umnožak podijeliti s faktorom.

Što smo i učinili kada smo broj 3 izrazili iz jednadžbe 3 × 2 = 6. Podijelili smo umnožak 6 s faktorom 2.

A sada da pronađemo nepoznati množitelj x, morate umnožak 6 podijeliti s faktorom 2.

Izračun desne strane omogućuje nam da pronađemo vrijednost varijable x

x = 3

Isto pravilo vrijedi ako varijabla x nalazi se umjesto množitelja, a ne množitelja. Zamislimo da u jednadžbi 3 × 2 = 6 umjesto broja 2 postoji varijabla x .

U ovom slučaju varijabla x preuzima ulogu nepoznati množitelj. Za pronalaženje nepoznatog faktora, osigurano je isto što i za pronalaženje nepoznatog množitelja, naime, dijeljenje umnoška s poznatim faktorom:

Da biste pronašli nepoznati faktor, morate umnožak podijeliti s množiteljem.

Što smo i učinili kada smo izrazili broj 2 iz jednadžbe 3 × 2 = 6. Zatim, da bismo dobili broj 2, podijelili smo umnožak od 6 s množenikom 3.

A sada da pronađemo nepoznati faktor x umnožak 6 podijelili smo s množiteljem 3.

Izračunavanje desne strane jednadžbe omogućuje vam da saznate čemu je x jednako

x = 2

Množenik i množitelj zajedno se nazivaju faktori. Budući da su pravila za pronalaženje množitelja i množitelja ista, možemo formulirati opće pravilo pronalaženje nepoznatog faktora:

Da biste pronašli nepoznati faktor, morate umnožak podijeliti s poznatim faktorom.

Na primjer, riješimo jednadžbu 9 × x= 18. Varijabilna x je nepoznat faktor. Da biste pronašli ovaj nepoznati faktor, morate umnožak 18 podijeliti s poznatim faktorom 9

Riješimo jednadžbu x× 3 = 27 . Varijabilna x je nepoznat faktor. Da biste pronašli ovaj nepoznati faktor, morate umnožak 27 podijeliti s poznatim faktorom 3

Vratimo se na četvrti primjer iz prethodne teme, gdje se u jednakosti tražio izraziti broj 15. U ovoj jednakosti broj 15 je djelitelj, broj 5 je djelitelj, broj 3 je količnik.

Da bismo izrazili broj 15, učinili smo sljedeće:

15 = 3 x 5

To jest, pomnožite kvocijent 3 s djeliteljem 5.

Sada zamislimo da u jednakosti umjesto broja 15 postoji varijabla x

U ovom slučaju varijabla x preuzima ulogu nepoznata dividenda.

Da biste pronašli nepoznatu dividendu, potrebno je sljedeće pravilo:

Da biste pronašli nepoznatu dividendu, morate kvocijent pomnožiti s djeliteljem.

Što smo i učinili kada smo iz jednakosti izrazili broj 15. Da bismo izrazili broj 15, pomnožili smo kvocijent 3 s djeliteljem 5.

A sada, da pronađemo nepoznatu dividendu x, trebate pomnožiti kvocijent 3 s djeliteljem 5

x= 3 × 5

x .

x = 15

Sada zamislimo da u jednakosti umjesto broja 5 postoji varijabla x .

U ovom slučaju varijabla x preuzima ulogu nepoznati djelitelj.

Da biste pronašli nepoznati djelitelj, potrebno je sljedeće pravilo:

Što smo učinili kada smo izrazili broj 5 iz jednakosti. Da bismo izrazili broj 5, podijelili smo dividendu 15 s kvocijentom 3.

A sada da pronađemo nepoznati djelitelj x, trebate podijeliti dividendu 15 s kvocijentom 3

Izračunajmo desnu stranu dobivene jednakosti. Dakle, nalazimo čemu je varijabla jednaka x .

x = 5

Dakle, da bismo pronašli nepoznanice, proučavali smo sljedeća pravila:

• Da biste pronašli nepoznati član, trebate poznati član oduzeti od zbroja;
• Da biste pronašli nepoznati umanjenik, trebate dodati oduzetik razlici;
• Da biste pronašli nepoznati umanjenik, trebate oduzeti razliku od smanjenog;
• Da biste pronašli nepoznati množenik, morate umnožak podijeliti s faktorom;
• Da biste pronašli nepoznati faktor, morate umnožak podijeliti s množiteljem;
• Da biste pronašli nepoznatu dividendu, trebate pomnožiti kvocijent s djeliteljem;
• Da biste pronašli nepoznati djelitelj, trebate podijeliti dividendu s količnikom.

Komponente

Komponente ćemo nazvati brojevima i varijablama uključenim u jednakost

Dakle, komponente sabiranja su Pojmovi i iznos

Komponente oduzimanja su minuend, subtrahend i razlika

Komponente množenja su množenik, faktor i raditi

Sastavnice dijeljenja su dividenda, djelitelj i količnik.

Ovisno o tome s kojim komponentama imamo posla, primjenjivat će se odgovarajuća pravila za pronalaženje nepoznanica. Ova pravila smo proučavali u prethodnoj temi. Kod rješavanja jednadžbi poželjno je znati ova pravila napamet.

Primjer 1. Pronađite korijen jednadžbe 45+ x = 60

45 - termin, x je nepoznati izraz, 60 je zbroj. Bavimo se dodatnim komponentama. Podsjećamo da je za pronalaženje nepoznatog člana potrebno od zbroja oduzeti poznati član:

x = 60 − 45

Izračunajte desnu stranu, dobijte vrijednost x jednako 15

x = 15

Dakle, korijen jednadžbe je 45 + x= 60 jednako je 15.

Najčešće se nepoznati pojam mora svesti na oblik u kojem bi se mogao izraziti.

Primjer 2. riješiti jednadžbu

Ovdje se, za razliku od prethodnog primjera, nepoznati član ne može izraziti odmah, jer sadrži koeficijent 2. Naš zadatak je dovesti ovu jednadžbu u oblik u kojem bismo mogli izraziti x

U ovom primjeru radi se o komponentama zbrajanja - članovima i zbroju. 2 x je prvi član, 4 je drugi član, 8 je zbroj.

U ovom slučaju termin 2 x sadrži varijablu x. Nakon pronalaženja vrijednosti varijable x termin 2 x poprimit će drugačiji oblik. Dakle, termin 2 x može se potpuno uzeti za nepoznati izraz:

Sada primjenjujemo pravilo za pronalaženje nepoznatog člana. Od zbroja oduzmite poznati član:

Izračunajmo desnu stranu dobivene jednadžbe:

Imamo novu jednadžbu. Sada se bavimo komponentama množenja: množenikom, množiteljem i umnoškom. 2 - množitelj, x- množitelj, 4 - produkt

Istovremeno, varijabla x nije samo faktor, već nepoznat faktor

Da biste pronašli ovaj nepoznati faktor, morate umnožak podijeliti s množenikom:

Izračunajte desnu stranu, dobijte vrijednost varijable x

Za provjeru pronađenog korijena pošaljite ga u izvornu jednadžbu i umjesto toga zamijenite x

Primjer 3. riješiti jednadžbu 3x+ 9x+ 16x= 56

Izrazi nepoznato x Zabranjeno je. Najprije ovu jednadžbu trebate dovesti u oblik u kojem bi se mogla izraziti.

Predstavljamo na lijevoj strani ove jednadžbe:

Bavimo se komponentama množenja. 28 - množitelj, x- množitelj, 56 - produkt. pri čemu x je nepoznat faktor. Da biste pronašli nepoznati faktor, morate umnožak podijeliti s množiteljem:

Odavde x je 2

Ekvivalentne jednadžbe

U prethodnom primjeru pri rješavanju jednadžbe 3x + 9x + 16x = 56 , dali smo slične članove na lijevoj strani jednadžbe. Rezultat je nova jednadžba 28 x= 56. stara jednadžba 3x + 9x + 16x = 56 i rezultirajuća nova jednadžba 28 x= 56 pozvanih ekvivalentne jednadžbe jer su im korijeni isti.

Za jednadžbe se kaže da su ekvivalentne ako su im korijeni isti.

Idemo to provjeriti. Za jednadžbu 3x+ 9x+ 16x= 56 našli smo korijen jednak 2 . Prvo zamijenite ovaj korijen u jednadžbi 3x+ 9x+ 16x= 56 , a zatim u jednadžbu 28 x= 56 , što je rezultat smanjenja sličnih članova na lijevoj strani prethodne jednadžbe. Moramo dobiti točne numeričke jednakosti

Prema redoslijedu operacija prvo se vrši množenje:

Zamijenite korijen 2 u drugu jednadžbu 28 x= 56

Vidimo da obje jednadžbe imaju iste korijene. Dakle, jednadžbe 3x+ 9x+ 16x= 56 i 28 x= 56 su doista ekvivalentni.

Za rješavanje jednadžbe 3x+ 9x+ 16x= 56 upotrijebili smo jedan od — smanjenja sličnih pojmova. Ispravna transformacija identiteta jednadžbe omogućila nam je da dobijemo ekvivalentnu jednadžbu 28 x= 56 , što je lakše riješiti.

Od identičnih transformacija trenutno možemo samo reducirati razlomke, donijeti slične članove, izbaciti zajednički faktor iz zagrade, a također otvoriti zagradu. Postoje i druge transformacije kojih biste trebali biti svjesni. Ali za opću ideju identičnih transformacija jednadžbi, teme koje smo proučavali sasvim su dovoljne.

Razmotrimo neke transformacije koje nam omogućuju dobivanje ekvivalentne jednadžbe

Dodate li isti broj objema stranama jednadžbe, dobit ćete jednadžbu koja je ekvivalentna danoj.

i slično:

Ako se od obje strane jednadžbe oduzme isti broj, dobit će se jednadžba ekvivalentna zadanoj.

Drugim riječima, korijen jednadžbe se ne mijenja ako se isti broj doda (ili oduzme od obje strane) jednadžbe.

Primjer 1. riješiti jednadžbu

Oduzmite broj 10 od obje strane jednadžbe

Dobili smo jednadžbu 5 x= 10. Bavimo se komponentama množenja. Da bismo pronašli nepoznati faktor x, trebate podijeliti umnožak od 10 s poznatim faktorom 5.

i umjesto toga zamijeniti x pronađena vrijednost 2

Dobili smo točan broj. Dakle, jednadžba je točna.

Rješavanje jednadžbe oduzeli smo broj 10 s obje strane jednadžbe. Rezultat je ekvivalentna jednadžba. Korijen ove jednadžbe, kao i jednadžbe također je jednako 2

Primjer 2. Riješite jednadžbu 4( x+ 3) = 16

Oduzmite broj 12 od obje strane jednadžbe

Lijeva strana će biti 4 x, a na desnoj strani broj 4

Dobili smo jednadžbu 4 x= 4. Bavimo se komponentama množenja. Da bismo pronašli nepoznati faktor x, morate umnožak 4 podijeliti s poznatim faktorom 4

Vratimo se na izvornu jednadžbu 4( x+ 3) = 16 i umjesto toga zamijenite x pronađena vrijednost 1

Dobili smo točan broj. Dakle, jednadžba je točna.

Rješavanje jednadžbe 4( x+ 3) = 16 oduzeli smo broj 12 s obje strane jednadžbe. Kao rezultat, dobili smo ekvivalentnu jednadžbu 4 x= 4. Korijen ove jednadžbe, kao i jednadžbe 4( x+ 3) = 16 također je jednako 1

Primjer 3. riješiti jednadžbu

Proširimo zagrade na lijevoj strani jednadžbe:

Dodajmo broj 8 objema stranama jednadžbe

Predstavljamo slične članove u oba dijela jednadžbe:

Lijeva strana će biti 2 x, a s desne strane broj 9

U dobivenoj jednadžbi 2 x= 9 izražavamo nepoznati član x

Povratak na izvornu jednadžbu i umjesto toga zamijeniti x pronađena vrijednost 4.5

Dobili smo točan broj. Dakle, jednadžba je točna.

Rješavanje jednadžbe dodali smo objema stranama jednadžbe broj 8. Kao rezultat dobili smo ekvivalentnu jednadžbu. Korijen ove jednadžbe, kao i jednadžbe također je jednako 4,5

Sljedeće pravilo, koje vam omogućuje da dobijete ekvivalentnu jednadžbu, je sljedeće

Ako u jednadžbi prenesemo član iz jednog dijela u drugi, mijenjajući mu predznak, tada ćemo dobiti jednadžbu ekvivalentnu zadanoj.

Odnosno, korijen jednadžbe se neće promijeniti ako član iz jednog dijela jednadžbe prenesemo u drugi promjenom predznaka. Ovo svojstvo je jedno od najvažnijih i jedno od najčešće korištenih u rješavanju jednadžbi.

Razmotrite sljedeću jednadžbu:

Korijen ove jednadžbe je 2. Zamijenite umjesto x ovaj korijen i provjeriti je li dobivena točna brojčana jednakost

Ispada točna jednakost. Dakle, broj 2 je zapravo korijen jednadžbe.

Pokušajmo sada eksperimentirati s članovima ove jednadžbe, prenoseći ih iz jednog dijela u drugi, mijenjajući znakove.

Na primjer, termin 3 x koji se nalazi na lijevoj strani jednadžbe. Pomaknimo ga na desnu stranu, mijenjajući znak u suprotan:

Ispala je jednadžba 12 = 9x − 3x . na desnoj strani ove jednadžbe:

x je nepoznat faktor. Pronađimo ovaj poznati faktor:

Odavde x= 2. Kao što vidite, korijen jednadžbe se nije promijenio. Dakle, jednadžbe 12 + 3 x = 9x i 12 = 9x − 3x su ekvivalentni.

Zapravo, ova transformacija je pojednostavljena metoda prethodne transformacije, gdje je isti broj dodan (ili oduzet) u oba dijela jednadžbe.

To smo rekli u jednadžbi 12 + 3 x = 9x termin 3 x je promjenom predznaka pomaknut na desnu stranu. U stvarnosti se dogodilo sljedeće: član 3 je oduzet s obje strane jednadžbe x

Zatim su slični članovi dani na lijevoj strani i dobivena je jednadžba 12 = 9x − 3x. Zatim su ponovno zadani slični članovi, ali na desnoj strani, i dobivena je jednadžba 12 = 6 x.

Ali takozvani "prijenos" je prikladniji za takve jednadžbe, zbog čega je postao toliko raširen. Kod rješavanja jednadžbi često ćemo koristiti ovu konkretnu transformaciju.

Jednadžbe 12 + 3 su također ekvivalentne x= 9x i 3x - 9x= −12 . Ovaj put u jednadžbi 12 + 3 x= 9x pojam 12 pomaknut je na desnu stranu, a pojam 9 x nalijevo. Ne treba zaboraviti da su znakovi ovih pojmova promijenjeni tijekom prijenosa

Sljedeće pravilo, koje vam omogućuje da dobijete ekvivalentnu jednadžbu, je sljedeće:

Ako se oba dijela jednadžbe pomnože ili podijele s istim brojem koji nije jednak nuli, tada će se dobiti jednadžba ekvivalentna danoj.

Drugim riječima, korijeni jednadžbe se ne mijenjaju ako se obje strane pomnože ili podijele istim brojem. Ova se radnja često koristi kada trebate riješiti jednadžbu koja sadrži frakcijske izraze.

Prvo, razmotrite primjere u kojima će obje strane jednadžbe biti pomnožene s istim brojem.

Primjer 1. riješiti jednadžbu

Kod rješavanja jednadžbi koje sadrže frakcijske izraze, uobičajeno je prvo pojednostaviti ovu jednadžbu.

U ovom slučaju imamo posla upravo s takvom jednadžbom. Kako bismo pojednostavili ovu jednadžbu, obje se strane mogu pomnožiti s 8:

Sjećamo se da za , trebate pomnožiti brojnik danog razlomka s ovim brojem. Imamo dva razlomka i svaki od njih je pomnožen s brojem 8. Naš je zadatak pomnožiti brojnike razlomaka s ovim brojem 8

Sada se događa ono najzanimljivije. Brojnici i nazivnici oba razlomka sadrže faktor 8, koji se može smanjiti za 8. To će nam omogućiti da se riješimo frakcijskog izraza:

Kao rezultat, ostaje najjednostavnija jednadžba

Pa, lako je pogoditi da je korijen ove jednadžbe 4

x pronađena vrijednost 4

Ispada ispravna numerička jednakost. Dakle, jednadžba je točna.

Prilikom rješavanja ove jednadžbe pomnožili smo oba njezina dijela s 8. Kao rezultat toga dobili smo jednadžbu. Korijen ove jednadžbe, kao i jednadžbi, je 4. Dakle, ove jednadžbe su ekvivalentne.

Množenik kojim se množe oba dijela jednadžbe obično se piše prije dijela jednadžbe, a ne iza njega. Dakle, rješavajući jednadžbu, pomnožili smo oba dijela s faktorom 8 i dobili sljedeći unos:

Od toga se korijen jednadžbe nije promijenio, ali da smo to radili dok smo bili u školi, bili bismo opaženi, jer je u algebri uobičajeno pisati faktor prije izraza s kojim se množi. Stoga je množenje obje strane jednadžbe s faktorom 8 poželjno prepisati na sljedeći način:

Primjer 2. riješiti jednadžbu

Na lijevoj strani faktori 15 mogu se smanjiti za 15, a na desnoj strani faktori 15 i 5 mogu se smanjiti za 5

Otvorimo zagrade na desnoj strani jednadžbe:

Pomaknimo termin x s lijeve strane jednadžbe na desnu stranu promjenom predznaka. A izraz 15 s desne strane jednadžbe bit će prebačen na lijevu stranu, ponovno mijenjajući predznak:

Donosimo slične uvjete u oba dijela, dobivamo

Bavimo se komponentama množenja. Varijabilna x

Povratak na izvornu jednadžbu i umjesto toga zamijeniti x pronađena vrijednost 5

Ispada ispravna numerička jednakost. Dakle, jednadžba je točna. Prilikom rješavanja ove jednadžbe obje smo strane pomnožili s 15. Nadalje, izvodeći identične transformacije, dobili smo jednadžbu 10 = 2 x. Korijen ove jednadžbe, kao i jednadžbe jednako 5. Dakle, ove jednadžbe su ekvivalentne.

Primjer 3. riješiti jednadžbu

Na lijevoj strani mogu se smanjiti dvije trojke, a desna će biti jednaka 18

Ostaje najjednostavnija jednadžba. Bavimo se komponentama množenja. Varijabilna x je nepoznat faktor. Pronađimo ovaj poznati faktor:

Vratimo se na izvornu jednadžbu i zamijenimo umjesto x pronađena vrijednost 9

Ispada ispravna numerička jednakost. Dakle, jednadžba je točna.

Primjer 4. riješiti jednadžbu

Pomnožite obje strane jednadžbe sa 6

Otvorite zagrade na lijevoj strani jednadžbe. Na desnoj strani faktor 6 može se podići na brojnik:

U oba dijela jednadžbe reduciramo ono što se može reducirati:

Prepišimo ono što nam je ostalo:

Koristimo prijenos pojmova. Pojmovi koji sadrže nepoznato x, grupiramo na lijevoj strani jednadžbe, a članove bez nepoznanica - na desnoj:

Predstavljamo slične pojmove u oba dijela:

Pronađimo sada vrijednost varijable x. Da bismo to učinili, umnožak 28 podijelimo s poznatim faktorom 7

Odavde x= 4.

Povratak na izvornu jednadžbu i umjesto toga zamijeniti x pronađena vrijednost 4

Ispostavilo se da je točna brojčana jednakost. Dakle, jednadžba je točna.

Primjer 5. riješiti jednadžbu

Otvorimo zagrade u oba dijela jednadžbe gdje je to moguće:

Pomnožite obje strane jednadžbe s 15

Otvorimo zagrade u oba dijela jednadžbe:

Smanjimo u oba dijela jednadžbe ono što se može reducirati:

Prepišimo ono što nam je ostalo:

Otvorimo zagrade gdje je to moguće:

Koristimo prijenos pojmova. Članovi koji sadrže nepoznanice grupirani su na lijevoj strani jednadžbe, a članovi bez nepoznanica grupirani su na desnoj strani. Ne zaboravite da tijekom prijenosa uvjeti mijenjaju svoje predznake u suprotne:

Predstavljamo slične članove u oba dijela jednadžbe:

Pronađimo vrijednost x

U dobivenom odgovoru možete odabrati cijeli dio:

Vratimo se na izvornu jednadžbu i zamijenimo umjesto x pronađena vrijednost

Ispada da je to prilično glomazan izraz. Koristimo varijable. Lijevu stranu jednakosti stavljamo u varijablu A, a desnu stranu jednakosti u varijablu B

Naš zadatak je osigurati da lijeva strana bude jednaka desnoj strani. Drugim riječima, dokažite jednakost A = B

Pronađite vrijednost izraza u varijabli A.

Varijabilna vrijednost ALI jednako . Pronađimo sada vrijednost varijable B. To je vrijednost desne strane naše jednakosti. Ako je jednak , tada će jednadžba biti točno riješena

Vidimo da je vrijednost varijable B, kao i vrijednost varijable A jednako . To znači da je lijeva strana jednaka desnoj strani. Iz ovoga zaključujemo da je jednadžba ispravno riješena.

Pokušajmo sada obje strane jednadžbe ne množiti istim brojem, nego dijeliti.

Razmotrimo jednadžbu 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Rješavamo ga na uobičajen način: članove koji sadrže nepoznanice grupiramo na lijevoj strani jednadžbe, a članove bez nepoznanica na desnoj. Nadalje, izvodeći poznate identične transformacije, nalazimo vrijednost x

Zamijenite pronađenu vrijednost 2 umjesto x u izvornu jednadžbu:

Pokušajmo sada razdvojiti sve članove jednadžbe 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 nekim brojem. Napominjemo da svi članovi ove jednadžbe imaju zajednički faktor 2. Njime dijelimo svaki član:

Skratimo u svakom članu:

Prepišimo ono što nam je ostalo:

Ovu jednadžbu rješavamo pomoću poznatih identičnih transformacija:

Dobili smo korijen 2. Dakle, jednadžbe 15x+ 7x+ 7 = 35x - 20x+ 21 i 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 su ekvivalentni.

Dijeljenje obje strane jednadžbe s istim brojem omogućuje vam da oslobodite nepoznanicu iz koeficijenta. U prethodnom primjeru, kada smo dobili jednadžbu 7 x= 14 , trebali smo umnožak 14 podijeliti s poznatim faktorom 7. Ali kad bismo nepoznanicu oslobodili koeficijenta 7 na lijevoj strani, korijen bi se odmah pronašao. Da biste to učinili, bilo je dovoljno podijeliti oba dijela sa 7

Također ćemo često koristiti ovu metodu.

Pomnožite s minus jedan

Ako se obje strane jednadžbe pomnože s minus jedan, tada će se dobiti jednadžba ekvivalentna danoj.

Ovo pravilo proizlazi iz činjenice da se množenjem (ili dijeljenjem) oba dijela jednadžbe s istim brojem korijen ove jednadžbe ne mijenja. To znači da se korijen neće promijeniti ako se oba njegova dijela pomnože s −1.

Ovo pravilo omogućuje promjenu predznaka svih komponenti uključenih u jednadžbu. Čemu služi? Opet, da dobijemo ekvivalentnu jednadžbu koju je lakše riješiti.

Razmotrimo jednadžbu. Koji je korijen ove jednadžbe?

Dodajmo broj 5 objema stranama jednadžbe

Evo sličnih pojmova:

A sada se sjetimo o. Što je lijeva strana jednadžbe. Ovo je umnožak minus jedan i varijable x

Odnosno minus ispred varijable x, ne odnosi se na samu varijablu x, ali na jedinicu, koju ne vidimo, jer je uobičajeno da se koeficijent 1 ne zapisuje. To znači da jednadžba zapravo izgleda ovako:

Bavimo se komponentama množenja. Pronaći x, morate umnožak −5 podijeliti s poznatim faktorom −1 .

ili obje strane jednadžbe podijelite s −1, što je još lakše

Dakle, korijen jednadžbe je 5. Da bismo provjerili, zamijenimo ga u izvornu jednadžbu. Ne zaboravite da je u izvornoj jednadžbi minus ispred varijable x odnosi se na nevidljivu jedinicu

Ispostavilo se da je točna brojčana jednakost. Dakle, jednadžba je točna.

Pokušajmo sada obje strane jednadžbe pomnožiti s minus jedan:

Nakon otvaranja zagrada, izraz se formira na lijevoj strani, a desna će biti jednaka 10

Korijen ove jednadžbe, kao i jednadžbe, je 5

Dakle, jednadžbe su ekvivalentne.

Primjer 2. riješiti jednadžbu

U ovoj jednadžbi sve komponente su negativne. Pogodnije je raditi s pozitivnim komponentama nego s negativnim, pa promijenimo predznake svih komponenti uključenih u jednadžbu. Da bismo to učinili, pomnožimo obje strane ove jednadžbe s −1.

Jasno je da će svaki broj nakon množenja s −1 promijeniti predznak u suprotan. Stoga se sam postupak množenja s −1 i otvaranje zagrada ne opisuje detaljno, već se odmah zapisuju komponente jednadžbe suprotnih predznaka.

Dakle, množenje jednadžbe s −1 može se detaljno napisati na sljedeći način:

ili možete samo promijeniti znakove svih komponenti:

Ispast će isto, ali razlika će biti u tome što ćemo si uštedjeti vrijeme.

Dakle, množenjem obje strane jednadžbe s −1, dobivamo jednadžbu. Riješimo ovu jednadžbu. Od oba dijela oduzmite broj 4 i oba dijela podijelite s 3

Kada se pronađe korijen, varijabla se obično ispisuje s lijeve strane, a njena vrijednost s desne, što smo mi i učinili.

Primjer 3. riješiti jednadžbu

Pomnožite obje strane jednadžbe s −1. Tada će sve komponente promijeniti svoje predznake u suprotne:

Oduzmite 2 od obje strane dobivene jednadžbe x i dodajte slične pojmove:

Dodamo jedinicu na oba dijela jednadžbe i dajemo slične članove:

Izjednačavanje s nulom

Nedavno smo naučili da ako u jednadžbi prenesemo član iz jednog dijela u drugi promjenom predznaka, dobivamo jednadžbu ekvivalentnu zadanoj.

A što će se dogoditi ako iz jednog dijela u drugi prenesemo ne jedan pojam, nego sve pojmove? Tako je, u dijelu odakle su preuzeti svi pojmovi ostat će nula. Drugim riječima, neće ostati ništa.

Uzmimo jednadžbu kao primjer. Ovu jednadžbu rješavamo kao i obično - u jednom dijelu grupiramo članove koji sadrže nepoznanice, au drugom ostavljamo numeričke članove bez nepoznanica. Nadalje, izvodeći poznate identične transformacije, nalazimo vrijednost varijable x

Pokušajmo sada riješiti istu jednadžbu izjednačavanjem svih njezinih komponenti s nulom. Da bismo to učinili, prenosimo sve pojmove s desne strane na lijevu, mijenjajući znakove:

Evo sličnih pojmova na lijevoj strani:

Dodajmo 77 na oba dijela i podijelimo oba dijela sa 7

Alternativa pravilima za pronalaženje nepoznanica

Očito, znajući o identičnim transformacijama jednadžbi, ne mogu se zapamtiti pravila za pronalaženje nepoznanica.

Na primjer, da bismo pronašli nepoznanicu u jednadžbi, podijelili smo umnožak 10 s poznatim faktorom 2

Ali ako su u jednadžbi oba dijela podijeljena s 2, korijen se odmah nalazi. Na lijevoj strani jednadžbe faktor 2 u brojniku i faktor 2 u nazivniku smanjit će se za 2. A desna strana će biti jednaka 5

Rješavali smo jednadžbe oblika izražavajući nepoznati član:

Ali možete koristiti identične transformacije koje smo danas proučavali. U jednadžbi se član 4 može pomaknuti na desnu stranu promjenom predznaka:

Na lijevoj strani jednadžbe smanjit će se dvije dvojke. Desna strana će biti jednaka 2. Stoga .

Ili biste od obje strane jednadžbe mogli oduzeti 4. Tada biste dobili sljedeće:

U slučaju jednadžbi oblika prikladnije je umnožak podijeliti s poznatim faktorom. Usporedimo oba rješenja:

Prvo rješenje je puno kraće i urednije. Drugo rješenje možete znatno skratiti ako podjelu napravite u glavi.

Međutim, morate poznavati obje metode i tek onda koristiti onu koja vam se najviše sviđa.

Kad ima više korijena

Jednadžba može imati više korijena. Na primjer jednadžba x(x + 9) = 0 ima dva korijena: 0 i −9 .

U jednadžbi x(x + 9) = 0 bilo je potrebno pronaći takvu vrijednost x za koju bi lijeva strana bila jednaka nuli. Lijeva strana ove jednadžbe sadrži izraze x i (x + 9), koji su faktori. Iz zakona množenja znamo da je umnožak jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli (bilo prvi faktor ili drugi).

Odnosno u jednadžbi x(x + 9) = 0 jednakost će se postići ako x bit će nula ili (x + 9) bit će nula.

x= 0 ili x + 9 = 0

Izjednačujući oba ova izraza s nulom, možemo pronaći korijene jednadžbe x(x + 9) = 0 . Prvi korijen, kao što se vidi iz primjera, pronađen je odmah. Da biste pronašli drugi korijen, morate riješiti elementarnu jednadžbu x+ 9 = 0 . Lako je pogoditi da je korijen ove jednadžbe −9. Provjera pokazuje da je korijen točan:

−9 + 9 = 0

Primjer 2. riješiti jednadžbu

Ova jednadžba ima dva korijena: 1 i 2. Lijeva strana jednadžbe je produkt izraza ( x− 1) i ( x− 2) . A umnožak je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli (ili faktor ( x− 1) ili faktor ( x − 2) ).

Pronađimo ga x pod kojim su izrazi ( x− 1) ili ( x− 2) nestati:

Pronađene vrijednosti zamjenjujemo u izvornu jednadžbu i uvjeravamo se da je s tim vrijednostima lijeva strana jednaka nuli:

Kad ima beskonačno mnogo korijena

Jednadžba može imati beskonačno mnogo korijena. To jest, zamjenom bilo kojeg broja u takvu jednadžbu, dobivamo ispravnu numeričku jednakost.

Primjer 1. riješiti jednadžbu

Korijen ove jednadžbe je bilo koji broj. Ako otvorite zagrade na lijevoj strani jednadžbe i donesete slične članove, tada ćete dobiti jednakost 14 \u003d 14. Ova jednakost će se dobiti za bilo koji x

Primjer 2. riješiti jednadžbu

Korijen ove jednadžbe je bilo koji broj. Ako otvorite zagrade na lijevoj strani jednadžbe, dobit ćete jednakost 10x + 12 = 10x + 12. Ova jednakost će se dobiti za bilo koji x

Kad nema korijena

Također se događa da jednadžba uopće nema rješenja, odnosno nema korijena. Na primjer, jednadžba nema korijena, jer za bilo koju vrijednost x, lijeva strana jednadžbe neće biti jednaka desnoj strani. Na primjer, neka . Tada će jednadžba poprimiti sljedeći oblik

Primjer 2. riješiti jednadžbu

Proširimo zagrade na lijevoj strani jednadžbe:

Evo sličnih pojmova:

Vidimo da lijeva strana nije jednaka desnoj strani. I tako će biti za bilo koju vrijednost g. Na primjer, neka g = 3 .

Slovne jednadžbe

Jednadžba može sadržavati ne samo brojeve s varijablama, već i slova.

Na primjer, formula za pronalaženje brzine je doslovna jednadžba:

Ova jednadžba opisuje brzinu tijela pri jednoliko ubrzanom gibanju.

Korisna vještina je sposobnost izražavanja bilo koje komponente uključene u jednadžbu slova. Na primjer, da biste odredili udaljenost iz jednadžbe, trebate izraziti varijablu s .

Pomnožimo obje strane jednadžbe s t

Varijable s desne strane t smanjiti za t

U dobivenoj jednadžbi lijevi i desni dio su zamijenjeni:

Dobili smo formulu za određivanje udaljenosti koju smo ranije proučavali.

Pokušajmo odrediti vrijeme iz jednadžbe. Da biste to učinili, morate izraziti varijablu t .

Pomnožimo obje strane jednadžbe s t

Varijable s desne strane t smanjiti za t i prepisati ono što nam je ostalo:

U dobivenoj jednadžbi v × t = s podijelite oba dijela na v

Varijable s lijeve strane v smanjiti za v i prepisati ono što nam je ostalo:

Dobili smo formulu za određivanje vremena, koju smo ranije proučavali.

Pretpostavimo da je brzina vlaka 50 km/h

v= 50 km/h

A udaljenost je 100 km

s= 100 km

Tada će doslovna jednadžba poprimiti sljedeći oblik

Iz ove jednadžbe možete pronaći vrijeme. Da biste to učinili, morate biti u mogućnosti izraziti varijablu t. Možete koristiti pravilo za traženje nepoznatog djelitelja dijeljenjem dividende s kvocijentom i tako odrediti vrijednost varijable t

ili možete koristiti identične transformacije. Prvo pomnožite obje strane jednadžbe s t

Zatim oba dijela podijelite s 50

Primjer 2 x

Oduzmite s obje strane jednadžbe a

Podijelite obje strane jednadžbe s b

a + bx = c, tada ćemo imati gotovo rješenje. Bit će dovoljno zamijeniti potrebne vrijednosti u njega. Te vrijednosti koje će biti zamijenjene slovima a, b, c nazvao parametri. I jednadžbe oblika a + bx = c nazvao jednadžba s parametrima. Ovisno o parametrima, korijen će se promijeniti.

Riješite jednadžbu 2 + 4 x= 10. Izgleda kao doslovna jednadžba a + bx = c. Umjesto izvođenja identičnih transformacija, možemo koristiti već gotovo rješenje. Usporedimo oba rješenja:

Vidimo da je drugo rješenje puno jednostavnije i kraće.

Za gotovo rješenje potrebno je napraviti malu napomenu. Parametar b ne smije biti nula (b ≠ 0), jer dijeljenje s nulom nije dopušteno.

Primjer 3. S obzirom na doslovnu jednadžbu. Izrazite iz ove jednadžbe x

Otvorimo zagrade u oba dijela jednadžbe

Koristimo prijenos pojmova. Parametri koji sadrže varijablu x, grupiramo na lijevoj strani jednadžbe, a parametre bez ove varijable - na desnoj.

S lijeve strane izvadimo faktor x

Oba dijela podijelite u izraz a-b

S lijeve strane brojnik i nazivnik mogu se smanjiti za a-b. Dakle, varijabla je konačno izražena x

Sada, ako naiđemo na jednadžbu oblika a(x − c) = b(x + d), tada ćemo imati gotovo rješenje. Bit će dovoljno zamijeniti potrebne vrijednosti u njega.

Pretpostavimo da nam je dana jednadžba 4(x - 3) = 2(x+ 4) . Izgleda kao jednadžba a(x − c) = b(x + d). Rješavamo ga na dva načina: identičnim transformacijama i gotovim rješenjem:

Radi praktičnosti, izdvajamo iz jednadžbe 4(x - 3) = 2(x+ 4) vrijednosti parametara a, b, c, d . To će nam omogućiti da ne pogriješimo prilikom zamjene:

Kao u prethodnom primjeru, nazivnik ovdje ne bi trebao biti jednak nuli ( a - b ≠ 0) . Ako naiđemo na jednadžbu oblika a(x − c) = b(x + d) u kojoj su parametri a i b su isti, možemo reći bez rješavanja da ova jednadžba nema korijena, jer je razlika identičnih brojeva nula.

Na primjer, jednadžba 2(x − 3) = 2(x + 4) je jednadžba oblika a(x − c) = b(x + d). U jednadžbi 2(x − 3) = 2(x + 4) opcije a i b isto. Ako ga počnemo rješavati, doći ćemo do zaključka da lijeva strana neće biti jednaka desnoj strani:

Primjer 4. S obzirom na doslovnu jednadžbu. Izrazite iz ove jednadžbe x

Dovodimo lijevu stranu jednadžbe do zajedničkog nazivnika:

Pomnožite obje strane s a

S lijeve strane x izvaditi iz zagrade

Oba dijela dijelimo izrazom (1 − a)

Linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom

Jednadžbe razmatrane u ovoj lekciji nazivaju se linearne jednadžbe prvog stupnja s jednom nepoznanicom.

Ako je jednadžba dana na prvi stupanj, ne sadrži dijeljenje s nepoznatom, a također ne sadrži korijene iz nepoznate, tada se može nazvati linearnom. Još nismo proučili stupnjeve i korijene, pa ćemo, da ne bismo komplicirali život, riječ "linearno" shvatiti kao "jednostavno".

Većina jednadžbi riješenih u ovoj lekciji završila je svedenom na najjednostavniju jednadžbu u kojoj se umnožak mora podijeliti s poznatim faktorom. Na primjer, jednadžba 2( x+ 3) = 16 . Idemo to riješiti.

Otvorimo zagrade na lijevoj strani jednadžbe, dobit ćemo 2 x+ 6 = 16. Pomaknimo član 6 na desnu stranu promjenom predznaka. Onda dobijemo 2 x= 16 − 6. Izračunaj desnu stranu, dobivamo 2 x= 10. Pronaći x, umnožak 10 podijelimo s poznatim faktorom 2. Dakle x = 5.

Jednadžba 2( x+ 3) = 16 je linearan. Svedeno je na jednadžbu 2 x= 10 , za pronalaženje korijena kojeg je bilo potrebno umnožak podijeliti s poznatim faktorom. Ova jednostavna jednadžba se zove linearna jednadžba prvog stupnja s jednom nepoznanicom u kanonskom obliku. Riječ "kanonski" je sinonim za riječi "jednostavno" ili "normalno".

Linearna jednadžba prvog stupnja s jednom nepoznanicom u kanonskom obliku naziva se jednadžba oblika sjekira = b.

Naša jednadžba 2 x= 10 je linearna jednadžba prvog stupnja s jednom nepoznanicom u kanonskom obliku. Ova jednadžba ima prvi stupanj, jednu nepoznanicu, ne sadrži dijeljenje s nepoznanicom i ne sadrži korijene iz nepoznanice, a prikazana je u kanonskom obliku, odnosno u najjednostavnijem obliku u kojem je lako odrediti vrijednost x. Umjesto parametara a i b naša jednadžba sadrži brojeve 2 i 10. Ali slična jednadžba može sadržavati i druge brojeve: pozitivne, negativne ili jednake nuli.

Ako se u linearnoj jednadžbi a= 0 i b= 0 , tada jednadžba ima beskonačno mnogo korijena. Doista, ako a je nula i b jednaka nuli, tada je linearna jednadžba sjekira= b ima oblik 0 x= 0 . Za bilo koju vrijednost x lijeva strana će biti jednaka desnoj strani.

Ako se u linearnoj jednadžbi a= 0 i b≠ 0, onda jednadžba nema korijena. Doista, ako a je nula i b je jednako nekom broju različitom od nule, recimo broju 5, zatim jednadžbi sjekira=b ima oblik 0 x= 5. Lijeva strana će biti nula, a desna pet. A nula nije jednaka pet.

Ako se u linearnoj jednadžbi a≠ 0 , i b jednak bilo kojem broju, onda jednadžba ima jedan korijen. Određuje se dijeljenjem parametra b po parametru a

Doista, ako a je jednako nekom broju različitom od nule, recimo broju 3, i b jednak je nekom broju, recimo broju 6, tada će jednadžba poprimiti oblik .
Odavde.

Postoji još jedan oblik pisanja linearne jednadžbe prvog stupnja s jednom nepoznanicom. Ovako izgleda: sjekira − b= 0 . Ovo je ista jednadžba kao sjekira=b

Je li vam se svidjela lekcija?
Pridružite se našoj novoj grupi Vkontakte i počnite primati obavijesti o novim lekcijama