Srednja škola GBOU br. 149, St. Petersburg

Sažetak lekcije

Novikova Olga Nikolaevna

2016

Tema: "Sustav eksponencijalnih jednadžbi i nejednadžbi."

Ciljevi lekcije:

obrazovni:

generalizirati i učvrstiti znanja o načinima rješavanja eksponencijalnih jednadžbi i nejednadžbi sadržanih u sustavima jednadžbi i nejednadžbi

razvoj: aktiviranje kognitivnu aktivnost; razvoj vještina samokontrole i samopoštovanja, samoanaliza vlastitih aktivnosti.

obrazovni: razvijanje sposobnosti za samostalan rad; donositi odluke i donositi zaključke; njegovanje težnje za samoobrazovanjem i samousavršavanjem.

Vrsta lekcije : kombinirani.

Vrsta lekcije: radionička lekcija.

Tijekom nastave

ja Organiziranje vremena(1 minuta)

Izjava o cilju sata: Generalizirati i učvrstiti znanja o metodama rješavanja eksponencijalnih jednadžbi i nejednadžbi sadržanih u sustavima jednadžbi i nejednadžbi. na temelju svojstava eksponencijalne funkcije.

II. Usmeni rad (1 minuta)

Definicija eksponencijalne jednadžbe.
Metode rješavanja eksponencijalnih jednadžbi.
Algoritam za rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi.

III . Ispitivanje domaća zadaća(3 min)

Učenici su na svojim mjestima. Učitelj provjerava odgovore i pita kako riješiti eksponencijalne jednadžbe i nejednadžbe. br. 228-231(neparni)

jaV. Obnavljanje temeljnih znanja. "Ideja": (3 min)

Pitanja su prikazana na ispisanim listovima na učeničkim stolovima „Eksponencijalne funkcije, jednadžbe, nejednadžbe“ i ponuđena su učenicima na usmeni odgovor sa svojih mjesta.

1. Koja se funkcija naziva eksponencijalnom?

2. Koja je domena funkcije y= 0,5x?

3. Koja je domena definicije eksponencijalne funkcije?

4. Koliki je raspon funkcije y= 0,5x?

5. Koja svojstva može imati funkcija?

6. Pod kojim je uvjetom eksponencijalna funkcija rastuća?

7. Pod kojim je uvjetom eksponencijalna funkcija opadajuća?

8. Eksponencijalna funkcija raste ili opada

9. Koja se jednadžba naziva eksponencijalnom?

Dijagnostika razine formiranosti praktičnih vještina.

10 zadatak: zapišite rješenje u svoje bilježnice. (7 min)

10. Poznavajući svojstva rastuće i padajuće eksponencijalne funkcije, riješiti nejednadžbe

2 3 < 2 x ;
; 3 x < 81 ; 3 x < 3 4

11 . Riješite jednadžbu: 3 x = 1

12 . Izračunajte 7,8 0 ; 9,8 0

13 . Navedite metodu rješavanja eksponencijalnih jednadžbi i riješite je:

Nakon završetka, parovi razmjenjuju listove. Ocjenjujući jedni druge. Kriteriji na ploči. Provjera unosa na listovima u datoteci.

Tako smo ponovili svojstva eksponencijalne funkcije i metode rješavanja eksponencijalnih jednadžbi.

Nastavnik selektivno uzima i ocjenjuje rad 2-3 učenika.

Radionica rješenja sustava eksponencijalne jednadžbe i nejednadžbe: (23 min)

Razmotrimo rješavanje sustava eksponencijalnih jednadžbi i nejednadžbi na temelju svojstava eksponencijalne funkcije.

Pri rješavanju sustava eksponencijalnih jednadžbi i nejednadžbi koriste se iste tehnike kao i kod rješavanja sustava algebarskih jednadžbi i nejednadžbi (metoda zamjene, metoda zbrajanja, metoda uvođenja novih varijabli). U mnogim slučajevima, prije primjene jedne ili druge metode rješenja, potrebno je transformirati svaku jednadžbu (nejednadžbu) sustava u najjednostavniji mogući oblik.

Primjeri.

1.

Riješenje:

Odgovor: (-7; 3); (1; -1).

2.

Riješenje:

Označimo 2 x= u, 3 g= v. Tada će sustav biti napisan ovako:

Riješimo ovaj sustav metodom supstitucije:

Jednadžba 2 x= -2 nema rješenja, jer –2<0, а 2 x> 0.

b)

Odgovor: (2;1).

№244(1)

Odgovor: 1,5; 2

Sažimajući. Odraz. (5 minuta)

Sažetak sata: Danas smo ponovili i generalizirali znanja o metodama rješavanja eksponencijalnih jednadžbi i nejednadžbi sadržanih u sustavima, a temeljene na svojstvima eksponencijalne funkcije.

Djecu se, jedno po jedno, traži da odaberu i nastave frazu među rečenicama prikazanim u nastavku.

Odraz:

danas sam saznala...

bilo je teško…

Ja razumijem da je…

sama sam naučila...

Mogao bih)…

Bilo je zanimljivo saznati da...

Bio sam iznenađen...

Htio sam…

Domaća zadaća. (2 minute)

Broj 240-242 (neparni) str.86

U ovoj lekciji ćemo pogledati rješavanje složenijih eksponencijalnih jednadžbi i prisjetiti se osnovnih teorijskih principa u vezi s eksponencijalnom funkcijom.

1. Definicija i svojstva eksponencijalne funkcije, metode rješavanja najjednostavnijih eksponencijalnih jednadžbi

Prisjetimo se definicije i osnovnih svojstava eksponencijalne funkcije. Rješenje svih eksponencijalnih jednadžbi i nejednadžbi temelji se na tim svojstvima.

Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika , gdje je baza stupanj i Ovdje je x nezavisna varijabla, argument; y je zavisna varijabla, funkcija.

Riža. 1. Graf eksponencijalne funkcije

Grafikon prikazuje rastuće i opadajuće eksponente, ilustrirajući eksponencijalnu funkciju s bazom većom od jedan odnosno manjom od jedan, ali većom od nule.

Obje krivulje prolaze kroz točku (0;1)

Svojstva eksponencijalne funkcije:

Domena: ;

Raspon vrijednosti: ;

Funkcija je monotona, raste s, opada s.

Monotona funkcija uzima svaku svoju vrijednost s obzirom na jednu vrijednost argumenta.

Kada argument raste od minus do plus beskonačno, funkcija raste od nule uključujući do plus beskonačno. Naprotiv, kada argument raste od minus do plus beskonačno, funkcija se smanjuje od beskonačnosti do nule, ne uključujući.

2. Rješavanje standardnih eksponencijalnih jednadžbi

Podsjetimo vas kako rješavati najjednostavnije eksponencijalne jednadžbe. Njihovo rješenje temelji se na monotonosti eksponencijalne funkcije. Gotovo sve složene eksponencijalne jednadžbe mogu se svesti na takve jednadžbe.

Jednakost eksponenata s jednakim bazama posljedica je svojstva eksponencijalne funkcije, odnosno njezine monotonosti.

Metoda rješenja:

Izjednačiti baze stupnjeva;

Izjednačite eksponente.

Prijeđimo na razmatranje složenijih eksponencijalnih jednadžbi; cilj nam je svesti svaku od njih na najjednostavniju.

Oslobodimo se korijena s lijeve strane i dovedemo stupnjeve na istu bazu:

Kako bi se složena eksponencijalna jednadžba svela na najjednostavniju, često se koristi zamjena varijabli.

Iskoristimo svojstvo snage:

Uvodimo zamjenu. Neka bude onda

Pomnožimo dobivenu jednadžbu s dva i pomaknimo sve članove na lijevu stranu:

Prvi korijen ne zadovoljava raspon y vrijednosti, pa ga odbacujemo. Dobivamo:

Smanjimo stupnjeve na isti pokazatelj:

Uvedimo zamjenu:

Neka bude onda . Ovakvom zamjenom očito je da y poprima strogo pozitivne vrijednosti. Dobivamo:

Znamo kako riješiti takve kvadratne jednadžbe, možemo napisati odgovor:

Kako biste bili sigurni da su korijeni ispravno pronađeni, možete provjeriti pomoću Vietinog teorema, tj. pronaći zbroj korijena i njihov produkt i usporediti ih s odgovarajućim koeficijentima jednadžbe.

Dobivamo:

3. Metodologija rješavanja homogenih eksponencijalnih jednadžbi drugog stupnja

Proučimo sljedeću važnu vrstu eksponencijalnih jednadžbi:

Jednadžbe ovog tipa nazivamo homogenim drugog stupnja u odnosu na funkcije f i g. S njegove lijeve strane nalazi se kvadratni trinom u odnosu na f s parametrom g ili kvadratni trinom u odnosu na g s parametrom f.

Metoda rješenja:

Ova se jednadžba može riješiti kao kvadratna jednadžba, ali je lakše to učiniti drugačije. Postoje dva slučaja za razmatranje:

U prvom slučaju dobivamo

U drugom slučaju imamo pravo podijeliti s najvećim stupnjem i dobiti:

Potrebno je uvesti promjenu varijabli, dobivamo kvadratnu jednadžbu za y:

Napomenimo da funkcije f i g mogu biti bilo koje, ali nas zanima slučaj kada se radi o eksponencijalnim funkcijama.

4. Primjeri rješavanja homogenih jednadžbi

Premjestimo sve članove na lijevu stranu jednadžbe:

Budući da eksponencijalne funkcije dobivaju strogo pozitivne vrijednosti, imamo pravo odmah podijeliti jednadžbu s , bez razmatranja slučaja kada:

Dobivamo:

Uvedimo zamjenu: (prema svojstvima eksponencijalne funkcije)

Dobili smo kvadratnu jednadžbu:

Korijene određujemo pomoću Vietinog teorema:

Prvi korijen ne zadovoljava raspon vrijednosti y, odbacujemo ga, dobivamo:

Iskoristimo svojstva stupnjeva i reduciramo sve stupnjeve na jednostavne baze:

Lako je uočiti funkcije f i g:

Metode rješavanja sustava jednadžbi

Za početak, podsjetimo se ukratko koje metode općenito postoje za rješavanje sustava jednadžbi.

postojati četiri glavna načina rješenja sustava jednadžbi:

Metoda zamjene: uzmite bilo koju od zadanih jednadžbi i izrazite $y$ kroz $x$, zatim se $y$ supstituira u jednadžbu sustava, odakle se nalazi varijabla $x.$. Nakon toga možemo lako izračunati varijablu $y.$

Metoda zbrajanja: u ovoj metodi trebate pomnožiti jednu ili obje jednadžbe takvim brojevima da kada obje zbrojite jedna od varijabli "nestane".

Grafička metoda: prikazane su obje jednadžbe sustava koordinatna ravnina i nađena je točka njihova sjecišta.

Metoda uvođenja novih varijabli: u ovoj metodi zamjenjujemo neke izraze kako bismo pojednostavili sustav, a zatim koristimo jednu od gore navedenih metoda.

Sustavi eksponencijalnih jednadžbi

Definicija 1

Sustavi jednadžbi koji se sastoje od eksponencijalnih jednadžbi nazivaju se sustavima eksponencijalnih jednadžbi.

Razmotrit ćemo rješavanje sustava eksponencijalnih jednadžbi na primjerima.

Primjer 1

Riješite sustav jednadžbi

Slika 1.

Riješenje.

Koristit ćemo prvu metodu za rješavanje ovog sustava. Prvo, izrazimo $y$ u prvoj jednadžbi kroz $x$.

Slika 2.

Zamijenimo $y$ u drugu jednadžbu:

\ \ \[-2-x=2\] \ \

Odgovor: $(-4,6)$.

Primjer 2

Riješite sustav jednadžbi

Slika 3.

Riješenje.

Ovaj sustav je ekvivalentan sustavu

Slika 4.

Primijenimo četvrti način rješavanja jednadžbi. Neka $2^x=u\ (u >0)$, i $3^y=v\ (v >0)$, dobivamo:

Slika 5.

Riješimo dobiveni sustav metodom zbrajanja. Zbrojimo jednadžbe:

\ \

Zatim iz druge jednadžbe dobivamo to

Vraćajući se na zamjenu, dobio sam novi sustav eksponencijalnih jednadžbi:

Slika 6.

Dobivamo:

Slika 7.

Odgovor: $(0,1)$.

Sustavi eksponencijalnih nejednakosti

Definicija 2

Sustavi nejednadžbi koji se sastoje od eksponencijalnih jednadžbi nazivaju se sustavima eksponencijalnih nejednadžbi.

Razmotrit ćemo rješavanje sustava eksponencijalnih nejednadžbi na primjerima.

Primjer 3

Riješite sustav nejednadžbi

Slika 8.

Riješenje:

Ovaj sustav nejednakosti je ekvivalentan sustavu

Slika 9.

Da bismo riješili prvu nejednadžbu, prisjetimo se sljedećeg teorema o ekvivalentnosti eksponencijalnih nejednadžbi:

Teorem 1. Nejednakost $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, gdje je $a >0,a\ne 1$ ekvivalentna skupu dvaju sustava

\}