Ono što se zove vrijednost algebarskog razlomka. Osnovni koncepti

Kada učenik prijeđe u srednju školu, matematika se dijeli na 2 predmeta: algebru i geometriju. Pojmova je sve više, zadaci sve teži. Neki ljudi imaju poteškoća s razumijevanjem razlomaka. Propustio sam prvu lekciju na ovu temu, i evo. razlomci? Pitanje koje će mučiti cijeli školski život.

Pojam algebarskog razlomka

Počnimo s definicijom. Pod, ispod algebarski razlomak P/Q izrazi se razumiju, gdje je P brojnik, a Q nazivnik. Ispod abecednog unosa može se sakriti broj, numerički izraz, brojčano-slovni izraz.

Prije nego što se pitate kako riješiti algebarske razlomke, prvo morate shvatiti da je takav izraz dio cjeline.

Cjelina je u pravilu 1. Broj u nazivniku pokazuje na koliko je dijelova jedinica podijeljena. Brojnik je potreban kako bi se saznalo koliko je elemenata uzeto. Razlomačka traka odgovara znaku dijeljenja. Dopušteno je bilježiti razlomački izraz kao matematičku operaciju "Dijeljenje". U ovom slučaju, brojnik je dividenda, nazivnik je djelitelj.

Osnovno pravilo za obične razlomke

Kada učenici prolaze kroz ovu temu u školi, daju im se primjeri za učvršćivanje. Da biste ih ispravno riješili i pronašli različite izlaze iz teških situacija, morate primijeniti osnovno svojstvo razlomaka.

Zvuči ovako: Ako i brojnik i nazivnik pomnožite istim brojem ili izrazom (osim nule), tada se vrijednost običnog razlomka neće promijeniti. Poseban slučaj ovog pravila je dijeljenje oba dijela izraza na isti broj ili polinom. Takve se transformacije nazivaju identične jednakosti.

U nastavku ćemo razmotriti kako riješiti zbrajanje i oduzimanje algebarskih razlomaka, izvršiti množenje, dijeljenje i smanjenje razlomaka.

Matematičke operacije s razlomcima

Razmotrite kako riješiti glavno svojstvo algebarske frakcije, kako ga primijeniti u praksi. Ako trebate pomnožiti dva razlomka, zbrojiti ih, podijeliti jedan s drugim ili oduzeti, uvijek se morate pridržavati pravila.

Dakle, za operaciju zbrajanja i oduzimanja treba pronaći dodatni faktor kako bi se izrazi doveli na zajednički nazivnik. Ako su u početku razlomci dani s istim izrazima Q, tada trebate izostaviti ovu stavku. Kada se pronađe zajednički nazivnik, kako riješiti algebarske razlomke? Zbrajanje ili oduzimanje brojnika. Ali! Morate imati na umu da ako postoji znak "-" ispred razlomka, svi znakovi u brojniku su obrnuti. Ponekad ne biste trebali izvoditi nikakve zamjene i matematičke operacije. Dovoljno je promijeniti predznak ispred razlomka.

Izraz se često koristi kao smanjenje frakcije. To znači sljedeće: ako su brojnik i nazivnik podijeljeni izrazom koji nije jedinica (isti za oba dijela), tada se dobiva novi razlomak. Dividend i djelitelj su manji nego prije, ali zbog osnovnog pravila razlomaka ostaju jednaki izvornom primjeru.

Svrha ove operacije je dobiti novi nesvodivi izraz. Ovaj problem se može riješiti smanjivanjem brojnika i nazivnika za najveći zajednički djelitelj. Algoritam rada sastoji se od dvije točke:

1. Pronalaženje GCD za oba dijela razlomka.
2. Dijeljenje brojnika i nazivnika pronađenim izrazom i dobivanje nesvodivog razlomka jednakog prethodnom.

Donja tablica prikazuje formule. Radi praktičnosti, možete ga ispisati i nositi sa sobom u bilježnici. Međutim, kako u budućnosti, prilikom rješavanja testa ili ispita, ne bi bilo poteškoća u pitanju rješavanja algebarskih razlomaka, ove formule morate naučiti napamet.

Nekoliko primjera s rješenjima

S teorijskog gledišta razmatra se pitanje kako riješiti algebarske razlomke. Primjeri navedeni u članku pomoći će vam da bolje razumijete materijal.

1. Pretvorite razlomke i dovedite ih na zajednički nazivnik.

2. Pretvori razlomke i dovedi ih na zajednički nazivnik.

Nakon proučavanja teorijskog dijela i razmatranja praktičnih pitanja, više se ne bi trebalo postavljati pitanja.

Ova lekcija govori o konceptu algebarskog razlomka. Čovjek se s razlomcima susreće u najjednostavnijim životnim situacijama: kada je potrebno podijeliti predmet na nekoliko dijelova, na primjer, rezati tortu jednako za deset ljudi. Očito će svatko dobiti dio kolača. U ovom slučaju suočeni smo s konceptom brojčane frakcije, ali je moguća situacija kada je objekt podijeljen na nepoznati broj dijelova, na primjer, x. U ovom slučaju javlja se koncept frakcijskog izraza. S cjelobrojnim izrazima (koji ne sadrže dijeljenje na izraze s varijablama) i njihovim svojstvima već ste se susreli u 7. razredu. Zatim ćemo razmotriti koncept racionalnog razlomka, kao i dopuštene vrijednosti varijabli.

Tema:Algebarski razlomci. Aritmetičke operacije nad algebarskim razlomcima

Lekcija:Osnovni koncepti

1. Definicija i primjeri algebarskih razlomaka

Racionalni izrazi se dijele na cjelobrojni i razlomački izrazi.

Definicija. racionalni razlomak je frakcijski izraz oblika , gdje su polinomi. - brojnik nazivnik.

Primjeri racionalni izrazi:- frakcijski izrazi; su cjelobrojni izrazi. U prvom izrazu, na primjer, brojnik je , a nazivnik je .

Značenje algebarski razlomak, kao i svaki algebarski izraz, ovisi o numeričkoj vrijednosti varijabli koje su u njega uključene. Konkretno, u prvom primjeru vrijednost razlomka ovisi o vrijednostima varijabli i , au drugom samo o vrijednosti varijable .

2. Izračunavanje vrijednosti algebarskog razlomka i dva osnovna problema o razlomcima

Razmotrimo prvi tipični zadatak: izračunavanje vrijednosti racionalni razlomak na različite vrijednosti varijable uključene u njega.

Primjer 1. Izračunajte vrijednost razlomka za a), b), c)

Riješenje. Zamijenite vrijednosti varijabli u navedeni razlomak: a), b), c) - ne postoji (jer ne možete podijeliti s nulom).

Odgovor: 3; jedan; ne postoji.

Kao što vidimo, dva su tipični zadaci za bilo koji razlomak: 1) izračunavanje razlomka, 2) pronalaženje važeće i nevažeće vrijednosti literalne varijable.

Definicija. Važeće vrijednosti varijable su vrijednosti varijabli za koje izraz ima smisla. Skup svih dopuštenih vrijednosti varijabli naziva se ODZ ili domena.

3. Dopuštene (ODZ) i nevažeće vrijednosti varijabli u razlomcima s jednom varijablom

Vrijednost literalnih varijabli može biti nevažeća ako je nazivnik razlomka za te vrijednosti nula. U svim ostalim slučajevima, vrijednosti varijabli su važeće, budući da se ulomak može izračunati.

Primjer 2. Odredite na kojim vrijednostima varijable razlomak nema smisla.

Riješenje. Da bi ovaj izraz imao smisla, potrebno je i dovoljno da nazivnik razlomka nije jednak nuli. Dakle, samo one vrijednosti varijable za koje će nazivnik biti jednak nuli bit će nevažeće. Nazivnik razlomka, pa rješavamo linearnu jednadžbu:

Stoga, za vrijednost varijable, razlomak nema smisla.

Iz rješenja primjera slijedi pravilo za pronalaženje nevažećih vrijednosti varijabli - nazivnik razlomka je jednak nuli i nalaze se korijeni odgovarajuće jednadžbe.

Pogledajmo nekoliko sličnih primjera.

Primjer 3. Odredite na kojim vrijednostima varijable razlomak nema smisla.

Riješenje. .

Odgovor. .

Primjer 4. Odredite na kojim vrijednostima varijable razlomak nema smisla.

Riješenje..

Postoje i druge formulacije ovog problema – pronaći domena ili raspon valjanih vrijednosti izraza (ODZ). To znači - pronaći sve važeće vrijednosti varijabli. U našem primjeru, to su sve vrijednosti osim . Domena definicije prikladno je prikazana na numeričkoj osi.

Da bismo to učinili, izrezat ćemo točku na njemu, kao što je prikazano na slici:

Na ovaj način, domena razlomaka bit će svi brojevi osim 3.

Odgovor..

Primjer 5. Odredite na kojim vrijednostima varijable razlomak nema smisla.

Riješenje..

Oslikajmo dobiveno rješenje na numeričkoj osi:

Odgovor..

4. Grafički prikaz područja dopuštenih (ODZ) i nevažećih vrijednosti varijabli u razlomcima

Primjer 6. Odredite pri kojim vrijednostima varijabli razlomak nema smisla.

Rješenje.. Dobili smo jednakost dviju varijabli, navest ćemo numeričke primjere: ili itd.

Nacrtajmo ovo rješenje na graf u Kartezijevom koordinatnom sustavu:

Riža. 3. Grafik funkcije.

Koordinate bilo koje točke koja leži na ovom grafikonu nisu uključene u područje dopuštenih vrijednosti razlomka.

Odgovor. .

5. Slučaj poput "dijeljenje s nulom"

U razmatranim primjerima suočili smo se sa situacijom u kojoj je došlo do dijeljenja s nulom. Sada razmotrite slučaj kada ima više zanimljiva situacija s tipom podjele .

Primjer 7. Odredite pri kojim vrijednostima varijabli razlomak nema smisla.

Riješenje..

Ispada da razlomak nema smisla kada . Ali može se tvrditi da to nije slučaj, jer: .

Može se činiti da ako je konačni izraz jednak 8 za , onda se izvorni izraz također može izračunati, i stoga ima smisla za . Međutim, ako ga zamijenimo u izvorni izraz, dobivamo - nema smisla.

Odgovor..

Da bismo detaljnije razumjeli ovaj primjer, rješavamo sljedeći problem: za koje vrijednosti je naznačeni ulomak jednak nuli?

(razlomak je nula kada mu je brojnik nula) . Ali potrebno je riješiti izvornu jednadžbu s razlomkom, a nema smisla za , jer je s ovom vrijednošću varijable nazivnik nula. Dakle, ova jednadžba ima samo jedan korijen.

6. Pravilo za pronalaženje ODZ

Dakle, možemo formulirati točno pravilo za pronalaženje raspona dopuštenih vrijednosti razlomka: pronaći ODZrazlomci potrebno je i dovoljno njen nazivnik izjednačiti s nulom i pronaći korijene dobivene jednadžbe.

Razmotrili smo dva glavna zadatka: izračunavanje vrijednosti razlomka za navedene vrijednosti varijabli i nalaženje površine dopuštenih vrijednosti razlomka.

Razmotrimo sada još nekoliko problema koji se mogu pojaviti pri radu s razlomcima.

7. Razni zadaci i zaključci

Primjer 8. Dokažite da za bilo koju vrijednost varijable, razlomak .

Dokaz. Brojnik je pozitivan broj. . Kao rezultat toga, i brojnik i nazivnik su pozitivni brojevi, stoga je i razlomak pozitivan broj.

dokazano.

Primjer 9. Poznato je da , naći .

Riješenje. Podijelimo razlomak član po član. Imamo pravo smanjiti za, uzimajući u obzir ono što je nevažeća vrijednost varijable za ovaj razlomak.

Odgovor..

U ovoj lekciji pogledali smo osnovne pojmove vezane uz razlomke. U sljedećoj lekciji ćemo pogledati osnovno svojstvo razlomka.

Bibliografija

1. Bashmakov M. I. Algebra 8. razred. - M.: Prosvjetljenje, 2004.

2. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. i dr. Algebra 8. - 5. izd. - M.: Obrazovanje, 2010.

3. Nikolsky S. M., Potapov M. A., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algebra 8. razred. Udžbenik za obrazovne ustanove. - M.: Obrazovanje, 2006.

1. Festival pedagoških ideja.

2. Stara škola.

3. Internet portal lib2.podelise. ru.

Domaća zadaća

1. Broj 4, 7, 9, 12, 13, 14. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. i dr. Algebra 8. - 5. izdanje. - M.: Obrazovanje, 2010.

2. Zapiši racionalni razlomak čija je domena: a) skup, b) skup, c) cijela brojčana os.

3. Dokažite da je za sve dopuštene vrijednosti varijable vrijednost razlomka nenegativna.

4. Pronađite opseg izraza. Savjet: zasebno razmotrite dva slučaja: kada je nazivnik donjeg razlomka jednak nuli i kada je nazivnik izvornog razlomka jednak nuli.

U § 42 je rečeno da ako se dijeljenje polinoma ne može izvršiti u potpunosti, onda se kvocijent piše kao razlomak u kojem je djelitelj brojnik, a djelitelj nazivnik.

Primjeri frakcijskih izraza:

Brojnik i nazivnik razlomaka mogu i sami biti izrazi razlomaka, na primjer:

Od frakcijskih algebarskih izraza, često se moramo baviti onima u kojima su brojnik i nazivnik polinomi (osobito monomi). Svaki takav izraz naziva se algebarski razlomak.

Definicija. Algebarski izraz koji je razlomak čiji su brojnik i nazivnik polinomi naziva se algebarski razlomak.

Kao i u aritmetici, brojnik i nazivnik algebarskog razlomka nazivaju se članovima razlomka.

U budućnosti, nakon proučavanja djelovanja na algebarskim razlomcima, možemo transformirati bilo koji frakcijski izraz uz pomoć identičnih transformacija u algebarski razlomak.

Primjeri algebarskih razlomaka:

Imajte na umu da se cijeli izraz, odnosno polinom, može napisati kao razlomak, za to je dovoljno u brojnik napisati ovaj izraz, a u nazivnik 1. Na primjer:

2. Valjane vrijednosti slova.

Slova uključena samo u brojnik mogu poprimiti bilo koju vrijednost (ako uvjetom zadatka nisu uvedena dodatna ograničenja).

Za slova uključena u nazivnik vrijede samo one vrijednosti koje nazivnik ne pretvaraju u nulu. Stoga ćemo u nastavku uvijek pretpostavljati da nazivnik algebarskog razlomka nije jednak nuli.