Ce qu'on appelle la valeur d'une fraction algébrique. Concepts de base
Lorsqu'un élève passe au lycée, les mathématiques sont divisées en 2 matières : l'algèbre et la géométrie. Il y a de plus en plus de concepts, les tâches deviennent de plus en plus difficiles. Certaines personnes ont du mal à comprendre les fractions. J'ai raté la première leçon sur ce sujet, et le tour est joué. fractions ? Une question qui tourmentera toute la vie scolaire.
Le concept de fraction algébrique
Commençons par une définition. En dessous de fraction algébrique Les expressions P/Q sont comprises, où P est le numérateur et Q est le dénominateur. Un nombre, une expression numérique, une expression numérique-alphabétique peuvent être cachés sous une entrée alphabétique.
Avant de se demander comment résoudre des fractions algébriques, il faut d'abord comprendre qu'une telle expression fait partie d'un tout.
En règle générale, le tout est égal à 1. Le nombre au dénominateur indique en combien de parties l'unité a été divisée. Le numérateur est nécessaire pour savoir combien d'éléments sont pris. La barre fractionnaire correspond au signe de division. Il est permis d'enregistrer une expression fractionnaire en tant qu'opération mathématique "Division". Dans ce cas, le numérateur est le dividende, le dénominateur est le diviseur.
La règle de base pour les fractions communes
Lorsque les élèves abordent ce sujet à l'école, on leur donne des exemples à renforcer. Pour les résoudre correctement et trouver différentes solutions aux situations difficiles, vous devez appliquer la propriété de base des fractions.
Cela ressemble à ceci : si vous multipliez à la fois le numérateur et le dénominateur par le même nombre ou la même expression (autre que zéro), la valeur d'une fraction ordinaire ne changera pas. Un cas particulier de cette règle est la division des deux parties de l'expression en un même nombre ou polynôme. De telles transformations sont appelées égalités identiques.
Ci-dessous, nous examinerons comment résoudre l'addition et la soustraction de fractions algébriques, pour effectuer la multiplication, la division et la réduction de fractions.
Opérations mathématiques avec des fractions
Considérez comment résoudre la propriété principale d'une fraction algébrique, comment l'appliquer dans la pratique. Si vous devez multiplier deux fractions, les additionner, diviser l'une par l'autre ou soustraire, vous devez toujours suivre les règles.
Ainsi, pour l'opération d'addition et de soustraction, il faut trouver un facteur supplémentaire afin de ramener les expressions à un dénominateur commun. Si initialement les fractions sont données avec les mêmes expressions Q, alors vous devez omettre cet élément. Lorsqu'un dénominateur commun est trouvé, comment résoudre des fractions algébriques ? Ajouter ou soustraire des numérateurs. Mais! Il faut se rappeler que s'il y a un signe "-" devant la fraction, tous les signes du numérateur sont inversés. Parfois, vous ne devez pas effectuer de substitutions ni d'opérations mathématiques. Il suffit de changer le signe devant la fraction.
Le terme est souvent utilisé comme réduction de fraction. Cela signifie ce qui suit : si le numérateur et le dénominateur sont divisés par une expression autre que l'unité (la même pour les deux parties), alors une nouvelle fraction est obtenue. Le dividende et le diviseur sont plus petits qu'auparavant, mais en raison de la règle de base des fractions, ils restent égaux à l'exemple original.
Le but de cette opération est d'obtenir une nouvelle expression irréductible. Ce problème peut être résolu en réduisant le numérateur et le dénominateur par le plus grand diviseur commun. L'algorithme de fonctionnement se compose de deux points :
- Trouver le PGCD pour les deux parties d'une fraction.
- Diviser le numérateur et le dénominateur par l'expression trouvée et obtenir une fraction irréductible égale à la précédente.
Le tableau ci-dessous présente les formules. Pour plus de commodité, vous pouvez l'imprimer et l'emporter avec vous dans un cahier. Cependant, pour qu'à l'avenir, lors de la résolution d'un test ou d'un examen, il n'y ait aucune difficulté à résoudre des fractions algébriques, ces formules doivent être apprises par cœur.
Quelques exemples avec solutions
D'un point de vue théorique, la question de savoir comment résoudre des fractions algébriques est considérée. Les exemples donnés dans l'article vous aideront à mieux comprendre la matière.
1. Convertissez des fractions et ramenez-les à un dénominateur commun.
2. Convertissez des fractions et ramenez-les à un dénominateur commun.
Après avoir étudié la partie théorique et examiné les problèmes pratiques, plus aucune question ne devrait se poser.
Cette leçon traite du concept de fraction algébrique. Une personne rencontre des fractions dans les situations de vie les plus simples: lorsqu'il est nécessaire de diviser un objet en plusieurs parties, par exemple pour couper un gâteau de manière égale pour dix personnes. Évidemment, tout le monde aura sa part du gâteau. Dans ce cas, nous sommes confrontés au concept de fraction numérique, mais une situation est possible lorsqu'un objet est divisé en un nombre inconnu de parties, par exemple par x. Dans ce cas, le concept d'expression fractionnaire apparaît. Vous avez déjà rencontré des expressions entières (ne contenant pas de division en expressions avec des variables) et leurs propriétés en 7e année. Ensuite, nous examinerons le concept de fraction rationnelle, ainsi que les valeurs admissibles des variables.
Sujet:Fractions algébriques. Opérations arithmétiques sur les fractions algébriques
Leçon:Concepts de base
1. Définition et exemples de fractions algébriques
Les expressions rationnelles sont divisées en expressions entières et fractionnaires.
Définition. fraction rationnelle est une expression fractionnaire de la forme , où sont des polynômes. - Numérateur dénominateur.
Exemples expressions rationnelles :
- expressions fractionnaires ; sont des expressions entières. Dans la première expression, par exemple, le numérateur est , et le dénominateur est .
Sens fraction algébrique, comme n'importe quel expression algébrique, dépend de la valeur numérique des variables qui y sont incluses. En particulier, dans le premier exemple la valeur de la fraction dépend des valeurs des variables et , et dans le second uniquement de la valeur de la variable .
2. Calcul de la valeur d'une fraction algébrique et deux problèmes de base sur les fractions
Considérez la première tâche typique : calculer la valeur fraction rationnelleà différentes valeurs variables qui y sont incluses.
Exemple 1. Calculer la valeur d'une fraction pour a), b), c)
La solution. Remplacez les valeurs des variables dans la fraction indiquée: a), b), c) - n'existe pas (car vous ne pouvez pas diviser par zéro).
Réponse : 3 ; une; n'existe pas.
Comme on le voit, il y a deux tâches typiques pour toute fraction : 1) calculer la fraction, 2) trouver valeurs valides et invalides variables littérales.
Définition. Valeurs de variables valides sont les valeurs des variables pour lesquelles l'expression a un sens. L'ensemble de toutes les valeurs admissibles des variables est appelé ODZ ou domaine.
3. Valeurs admissibles (ODZ) et invalides des variables dans les fractions avec une variable
La valeur des variables littérales peut être invalide si le dénominateur de la fraction pour ces valeurs est zéro. Dans tous les autres cas, les valeurs des variables sont valides, puisque la fraction peut être calculée.
Exemple 2. Déterminez à quelles valeurs de la variable la fraction n'a pas de sens.
La solution. Pour que cette expression ait un sens, il faut et il suffit que le dénominateur de la fraction ne soit pas égal à zéro. Ainsi, seules les valeurs de la variable pour lesquelles le dénominateur sera égal à zéro seront invalides. Le dénominateur de la fraction, donc on résout l'équation linéaire :
Par conséquent, pour la valeur de la variable, la fraction n'a pas de sens.
À partir de la solution de l'exemple, la règle de recherche des valeurs invalides des variables suit - le dénominateur de la fraction est égal à zéro et les racines de l'équation correspondante sont trouvées.
Examinons quelques exemples similaires.
Exemple 3. Déterminez à quelles valeurs de la variable la fraction n'a pas de sens.
La solution. .
Réponse. .
Exemple 4. Déterminez à quelles valeurs de la variable la fraction n'a pas de sens.
La solution..
Il existe d'autres formulations de ce problème - pour trouver domaine ou plage de valeurs d'expression valides (ODZ). Cela signifie - trouver toutes les valeurs valides des variables. Dans notre exemple, ce sont toutes des valeurs sauf . Le domaine de définition est commodément représenté sur l'axe numérique.
Pour ce faire, nous allons découper un point dessus, comme indiqué sur la figure:
De cette façon, domaine fractionnaire seront tous des nombres sauf 3.
Réponse..
Exemple 5. Déterminez à quelles valeurs de la variable la fraction n'a pas de sens.
La solution..
Représentons la solution résultante sur l'axe numérique :
Réponse..
4. Représentation graphique de la zone des valeurs autorisées (ODZ) et invalides des variables en fractions
Exemple 6. Déterminez à quelles valeurs des variables la fraction n'a pas de sens.
Solution.. Nous avons obtenu l'égalité de deux variables, nous donnerons des exemples numériques : ou, etc.
Traçons cette solution sur un graphique dans le système de coordonnées cartésiennes :
Riz. 3. Graphique d'une fonction.
Les coordonnées de tout point situé sur ce graphique ne sont pas incluses dans la zone des valeurs admissibles de la fraction.
Réponse. .
5. Cas comme "division par zéro"
Dans les exemples considérés, nous avons été confrontés à une situation où une division par zéro s'est produite. Considérons maintenant le cas où il y a plus situation intéressante avec le type de division.
Exemple 7. Déterminez à quelles valeurs des variables la fraction n'a pas de sens.
La solution..
Il s'avère que la fraction n'a pas de sens quand . Mais on peut affirmer que ce n'est pas le cas, car : 
.
Il peut sembler que si l'expression finale est égale à 8 pour , alors l'expression d'origine peut également être calculée et, par conséquent, a du sens pour . Cependant, si nous le substituons dans l'expression originale, nous obtenons - cela n'a pas de sens.
Réponse..
Pour comprendre cet exemple plus en détail, nous résolvons le problème suivant : pour quelles valeurs la fraction spécifiée est-elle égale à zéro ?
(une fraction est nulle lorsque son numérateur est nul) 
. Mais il faut résoudre l'équation originale avec une fraction, et cela n'a pas de sens pour , car à cette valeur de la variable, le dénominateur est zéro. Cette équation n'a donc qu'une seule racine.
6. La règle pour trouver ODZ
Ainsi, on peut formuler une règle exacte pour trouver la plage des valeurs admissibles d'une fraction : trouver ODZfractions il est nécessaire et suffisant d'égaliser son dénominateur à zéro et de trouver les racines de l'équation résultante.
Nous avons considéré deux tâches principales : calculer la valeur d'une fraction pour les valeurs spécifiées des variables et trouver l'aire des valeurs admissibles d'une fraction.
Considérons maintenant quelques problèmes supplémentaires qui peuvent survenir lorsque vous travaillez avec des fractions.
7. Tâches diverses et conclusions
Exemple 8. Prouver que pour toutes les valeurs de la variable, la fraction .
Preuve. Le numérateur est un nombre positif. . En conséquence, le numérateur et le dénominateur sont des nombres positifs, par conséquent, la fraction est également un nombre positif.
Éprouvé.
Exemple 9. On sait que , trouver .
La solution. Divisons la fraction terme par terme. Nous avons le droit de réduire de, en tenant compte de ce qui est une valeur invalide de la variable pour cette fraction.
Réponse..
Dans cette leçon, nous avons examiné les concepts de base liés aux fractions. Dans la prochaine leçon, nous verrons propriété de base d'une fraction.
Bibliographie
1. Bashmakov M. I. Algèbre 8e année. - M. : Lumières, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al Algèbre 8. - 5e éd. - M. : Éducation, 2010.
3. Nikolsky S. M., Potapov M. A., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algèbre 8e année. Manuel pour les établissements d'enseignement. - M. : Éducation, 2006.
1. Festival d'idées pédagogiques.
2. Vieille école.
3. Portail Internet lib2.podelise. ru.
Devoirs
1. N° 4, 7, 9, 12, 13, 14. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. et al Algèbre 8. - 5e éd. - M. : Éducation, 2010.
2. Écrivez une fraction rationnelle dont le domaine est : a) un ensemble, b) un ensemble, c) l'axe numérique entier.
3. Prouver que pour toutes les valeurs admissibles de la variable, la valeur de la fraction est non négative.
4. Trouvez la portée de l'expression. Indice : considérez deux cas séparément : lorsque le dénominateur de la fraction inférieure est égal à zéro et lorsque le dénominateur de la fraction d'origine est égal à zéro.
Au § 42, il a été dit que si la division des polynômes ne peut pas être effectuée complètement, alors le quotient est écrit comme une expression fractionnaire dans laquelle le dividende est le numérateur et le diviseur est le dénominateur.
Exemples d'expressions fractionnaires :
Le numérateur et le dénominateur d'une expression fractionnaire peuvent eux-mêmes être des expressions fractionnaires, par exemple :
Parmi les expressions algébriques fractionnaires, on a souvent affaire à celles dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes (en particulier des monômes). Chacune de ces expressions est appelée une fraction algébrique.
Définition. Une expression algébrique qui est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes est appelée une fraction algébrique.
Comme en arithmétique, le numérateur et le dénominateur d'une fraction algébrique sont appelés termes de la fraction.
À l'avenir, après avoir étudié les actions sur les fractions algébriques, nous pourrons transformer n'importe quelle expression fractionnaire à l'aide de transformations identiques en une fraction algébrique.
Exemples de fractions algébriques :
Notez qu'une expression entière, c'est-à-dire un polynôme, peut s'écrire sous forme de fraction, pour cela il suffit d'écrire cette expression au numérateur, et 1 au dénominateur. Par exemple :
2. Valeurs alphanumériques valides.
Les lettres incluses uniquement dans le numérateur peuvent prendre n'importe quelle valeur (si aucune restriction supplémentaire n'est introduite par l'état du problème).
Pour les lettres incluses dans le dénominateur, seules sont valides les valeurs qui ne mettent pas le dénominateur à zéro. Par conséquent, dans ce qui suit, nous supposerons toujours que le dénominateur d'une fraction algébrique n'est pas égal à zéro.