پانل ها
تعیین ارقام در صفحه مختصات توسط معادلات و نامساوی. تعریف ارقام در صفحه مختصات با معادلات و نامساوی نحوه ترسیم یک مجموعه در صفحه مختصات

تعیین ارقام در صفحه مختصات توسط معادلات و نامساوی. تعریف ارقام در صفحه مختصات با معادلات و نامساوی نحوه ترسیم یک مجموعه در صفحه مختصات

اغلب لازم است مجموعه ای از راه حل های یک نابرابری را با دو متغیر در صفحه مختصات به تصویر بکشیم. راه حل یک نابرابری با دو متغیر، یک جفت مقدار از این متغیرها است که نابرابری داده شده را به یک نابرابری عددی واقعی تبدیل می کند.

2 سال+ Zx< 6.

بیایید ابتدا یک خط مستقیم بکشیم. برای این کار نابرابری را به صورت معادله می نویسیم 2 سال+ Zx = 6 و بیان کنند yبنابراین، دریافت می کنیم: y=(6-3x)/2.

این خط مجموعه تمام نقاط صفحه مختصات را به نقاط بالای آن و نقاط زیر آن تقسیم می کند.

از هر منطقه یک میم بردارید ایست بازرسیبرای مثال A (1; 1) و B (1; 3)

مختصات نقطه A نابرابری داده شده 2y + 3x را برآورده می کند< 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.

مختصات نقطه B نهارضای این نابرابری 2∙3 + 3∙1< 6.

از آنجایی که این نابرابری می تواند علامت روی خط 2y + Zx = 6 را تغییر دهد، پس نابرابری مجموعه نقاط ناحیه ای را که نقطه A در آن قرار دارد برآورده می کند. بیایید این ناحیه را سایه بزنیم.

بنابراین، مجموعه ای از راه حل های نابرابری را به تصویر کشیده ایم 2y + Zx< 6.

مثال

مجموعه راه حل های نابرابری x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 > 0 را در صفحه مختصات به تصویر می کشیم.

ابتدا نموداری از معادله x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 \u003d 0 می سازیم. معادله دایره را در این معادله تقسیم می کنیم: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 - 4y + 4) \u003d 4، یا (x + 1) 2 + (y - 2) 2 \u003d 2 2.

این معادله یک دایره است که در مرکز نقطه 0 (-1؛ 2) و شعاع R = 2 قرار دارد. بیایید این دایره را بسازیم.

از آنجایی که این نابرابری سخت است و نقاطی که روی خود دایره قرار دارند، نابرابری را برآورده نمی کنند، دایره را با خط نقطه چین می سازیم.

به راحتی می توان بررسی کرد که مختصات مرکز O دایره این نابرابری را برآورده نمی کند. عبارت x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 علامت خود را در دایره ساخته شده تغییر می دهد. سپس نابرابری با نقاطی که خارج از دایره قرار دارند برآورده می شود. این نقاط سایه دار هستند.

مثال

اجازه دهید مجموعه ای از راه حل های نابرابری را در صفحه مختصات به تصویر بکشیم

(y - x 2) (y - x - 3)< 0.

ابتدا نموداری از معادله (y - x 2) (y - x - 3) \u003d 0 می سازیم. این یک سهمی است y \u003d x 2 و یک خط مستقیم y \u003d x + 3. ما این خطوط را می سازیم. و توجه داشته باشید که تغییر در علامت عبارت (y - x 2) (y - x - 3) فقط در این خطوط رخ می دهد. برای نقطه A (0؛ 5)، علامت این عبارت را تعیین می کنیم: (5-3) > 0 (یعنی این نابرابری برآورده نمی شود). اکنون به راحتی می توان مجموعه نقاطی را که این نابرابری برای آنها برآورده شده است علامت گذاری کرد (این مناطق سایه دار هستند).

الگوریتم حل نامساوی با دو متغیر

1. نابرابری را به شکل f (x; y) کاهش می دهیم.< 0 (f (х; у) >0; f (x; y) ≤ 0; f (x; y) ≥ 0;)

2. تساوی f (x; y) = 0 را می نویسیم

3. نمودارهای ثبت شده در سمت چپ را تشخیص دهید.

4. ما این نمودارها را می سازیم. اگر نابرابری شدید باشد (f (x; y)< 0 или f (х; у) >0)، سپس - با ضربات، اگر نابرابری دقیق نباشد (f (x; y) ≤ 0 یا f (x; y) ≥ 0)، سپس - با یک خط ثابت.

5. تعیین کنید که چند قسمت از گرافیک به صفحه مختصات تقسیم شده است

6. یکی از این قسمت ها را انتخاب کنید ایست بازرسی. علامت عبارت f (x; y) را تعیین کنید.

7. علائم را با در نظر گرفتن تناوب (مانند روش فواصل) در سایر قسمت های هواپیما ترتیب می دهیم.

8. قطعات مورد نیاز را مطابق با علامت نابرابری که در حال حل آن هستیم انتخاب می کنیم و هچینگ را اعمال می کنیم.

بگذار داده شود معادله با دو متغیر F(x; y). شما قبلاً یاد گرفته اید که چگونه چنین معادلاتی را به صورت تحلیلی حل کنید. مجموعه حل چنین معادلاتی را می توان در قالب یک نمودار نیز نمایش داد.

نمودار معادله F(x; y) مجموعه ای از نقاط صفحه مختصات xOy است که مختصات آنها معادله را برآورده می کند.

برای ترسیم یک معادله دو متغیره، ابتدا متغیر y را بر حسب متغیر x در معادله بیان کنید.

مطمئناً شما قبلاً می دانید که چگونه نمودارهای مختلف معادلات را با دو متغیر بسازید: ax + b \u003d c یک خط مستقیم است ، yx \u003d k یک هذلولی است ، (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2 دایره ای است که شعاع آن R و مرکز آن در نقطه O(a; b) است.

مثال 1

معادله x 2 - 9y 2 = 0 را رسم کنید.

راه حل.

اجازه دهید سمت چپ معادله را فاکتور بگیریم.

(x - 3y) (x+ 3y) = 0، یعنی y = x/3 یا y = -x/3.

پاسخ: شکل 1.

تخصیص ارقام در هواپیما توسط معادلات حاوی علامت قدر مطلق جایگاه ویژه ای را اشغال می کند که به تفصیل در مورد آنها صحبت خواهیم کرد. مراحل ترسیم معادلات به شکل |y| را در نظر بگیرید = f(x) و |y| = |f(x)|.

معادله اول معادل سیستم است

(f(x) ≥ 0،
(y = f(x) یا y = -f(x).

یعنی نمودار آن از نمودارهایی از دو تابع تشکیل شده است: y = f(x) و y = -f(x)، که در آن f(x) ≥ 0 است.

برای رسم نمودار معادله دوم، نمودارهای دو تابع رسم می شوند: y = f(x) و y = -f(x).

مثال 2

معادله |y| را رسم کنید = 2 + x.

راه حل.

معادله داده شده معادل سیستم است

(x + 2 ≥ 0،
(y = x + 2 یا y = -x - 2.

مجموعه ای از نقاط را می سازیم.

پاسخ: شکل 2.

مثال 3

معادله |y – x| را رسم کنید = 1.

راه حل.

اگر y ≥ x، y = x + 1، اگر y ≤ x، آنگاه y = x - 1.

پاسخ: شکل 3.

هنگام ساخت نمودارهای معادلات حاوی یک متغیر در زیر علامت ماژول، استفاده از آن راحت و منطقی است. روش منطقه، بر اساس تقسیم صفحه مختصات به قسمت هایی که هر عبارت زیرماژول علامت خود را حفظ می کند.

مثال 4

معادله x + |x| را رسم کنید + y + | y| = 2.

راه حل.

در این مثال، علامت هر عبارت زیرماژول به ربع مختصات بستگی دارد.

1) در یک چهارم مختصات اول x ≥ 0 و y ≥ 0. پس از گسترش ماژول، معادله داده شده به صورت زیر خواهد بود:

2x + 2y = 2 و بعد از ساده سازی x + y = 1.

2) در سه ماهه دوم، جایی که x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) در سه ماهه سوم x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) در سه ماهه چهارم، برای x ≥ 0 و y< 0 получим, что x = 1.

این معادله را به صورت چهارم ترسیم می کنیم.

پاسخ: شکل 4.

مثال 5

مجموعه ای از نقاط را رسم کنید که مختصات آنها تساوی |x – 1| را برآورده کند + |y – 1| = 1.

راه حل.

صفر عبارات زیرماژول x = 1 و y = 1 صفحه مختصات را به چهار ناحیه تقسیم می کند. بیایید ماژول ها را بر اساس منطقه تجزیه کنیم. بیایید این را در قالب یک جدول قرار دهیم.

منطقه	علامت بیان زیر ماژول	معادله حاصل پس از گسترش ماژول
من	x ≥ 1 و y ≥ 1	x + y = 3
II	ایکس< 1 и y ≥ 1	-x+y=1
III	ایکس< 1 и y < 1	x + y = 1
IV	x ≥ 1 و y< 1	x – y = 1

پاسخ: شکل 5.

در صفحه مختصات می توان ارقام را مشخص کرد و نابرابری ها.

نمودار نابرابریبا دو متغیر مجموعه تمام نقاط صفحه مختصات است که مختصات آنها راه حل این نابرابری است.

در نظر گرفتن الگوریتم ساخت مدلی برای حل نابرابری با دو متغیر:

معادله مربوط به نابرابری را بنویسید.
معادله مرحله 1 را رسم کنید.
یک نقطه دلخواه را در یکی از نیم صفحه ها انتخاب کنید. بررسی کنید که آیا مختصات نقطه انتخاب شده نابرابری داده شده را برآورده می کند یا خیر.
مجموعه تمام راه حل های نابرابری را به صورت گرافیکی رسم کنید.

اول از همه، نابرابری ax + bx + c > 0 را در نظر بگیرید. معادله ax + bx + c = 0 یک خط مستقیم را تعریف می کند که صفحه را به دو نیم صفحه تقسیم می کند. در هر یک از آنها تابع f(x) = ax + bx + c حفظ کننده علامت است. برای تعیین این علامت کافی است هر نقطه متعلق به نیم صفحه را بگیرید و مقدار تابع را در این نقطه محاسبه کنید. اگر علامت تابع با علامت نامساوی منطبق باشد، این نیم صفحه حل نابرابری خواهد بود.

نمونه هایی از راه حل های گرافیکی رایج ترین نابرابری ها را با دو متغیر در نظر بگیرید.

1) ax + bx + c ≥ 0. شکل 6.

2) |x| ≤ a، a > 0. شکل 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a، a > 0. شکل 8.

4) y ≥ x2. شکل 9

5) xy ≤ 1. شکل 10.

اگر سوالی دارید یا می خواهید مدل سازی مجموعه های تمام راه حل های نامساوی دو متغیره را با استفاده از مدل سازی ریاضی تمرین کنید، می توانید درس 25 دقیقه ای رایگان با معلم آنلاینبعد از ثبت نام برای کار بیشتر با معلم، شما این فرصت را خواهید داشت که طرح تعرفه ای را که مناسب شماست انتخاب کنید.

آیا هیچ سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه یک شکل را در صفحه مختصات رسم کنید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی - ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

بیا تماس بگیریم (x, y)جفت سفارش داد و ایکسو دراجزای این جفت هستند. در عین حال این را در نظر می گیرند (ایکس 1 در 1 ) = (x 2 .y 2 ), اگر x 1 = x 2 و در 1 = در 2 .

__________________________________________________________________

تعریف 9. حاصل ضرب دکارتی مجموعه های A و B را مجموعه A می نامند B که همه عناصر آن جفت (x,y) هستند به طوری که x آه، تو ب، یعنی ولی B \u003d ((x، y) / x آه، تو AT).

_____________________________________________________________________________________________

برای مثال، حاصل ضرب دکارتی مجموعه ها را بیابید الف = (1,3} و B = (2،4،6).

ولی AT= {(1, 2);(1, 4);(1, 6);(3, 2);(3, 4);(3, 6)}.

عملیاتی که به وسیله آن حاصل ضرب دکارتی پیدا می شود ضرب دکارتی مجموعه ها نامیده می شود.

ضرب دکارتی مجموعه‌ها نه خاصیت جابه‌جایی و نه خاصیت تداعی‌پذیری را دارد، بلکه با عملیات اتحاد و تفریق مجموعه‌ها توسط ویژگی‌های توزیعی همراه است:

برای هر مجموعه الف، ب، جبرابری ها صورت می گیرد:

(ولی AT) C = (A از جانب) (AT از جانب)،

(A\B) از جانب= (ولی ج)\(ب از جانب).

برای نمایش تصویری حاصلضرب دکارتی مجموعه های عددی، اغلب از یک سیستم مختصات مستطیلی استفاده می شود.

اجازه دهید ولیو AT -مجموعه های اعداد سپس عناصر حاصلضرب دکارتی این مجموعه ها به صورت جفت اعداد مرتب می شوند. با نشان دادن هر جفت اعداد به عنوان یک نقطه در صفحه مختصات، شکلی بدست می آوریم که به صورت بصری حاصل ضرب دکارتی مجموعه ها را نشان می دهد. ولیو AT.

اجازه دهید حاصل ضرب دکارتی مجموعه ها را در صفحه مختصات نشان دهیم ولیو AT،اگر:

آ) آ = {2, 6}; ب ={1,4}, ب) A = (2،6}; AT= , که در) A = ;ب =.

در حالت الف) این مجموعه ها متناهی هستند و می توان عناصر حاصلضرب دکارتی را برشمرد.

ولی B ={(2, 1); (2, 4); (6, 1); (6, 4)}. ما محورهای مختصات و روی محورها را می سازیم اوهعناصر مجموعه را علامت گذاری کنید ولی، و در محور OU -مجموعه عناصر AT.سپس هر جفت اعداد در مجموعه АВ را به عنوان نقاطی در صفحه مختصات ترسیم می کنیم (شکل 7). شکل حاصل از چهار نقطه به صورت بصری محصول دکارتی این مجموعه ها را نشان می دهد ولیو AT.

در حالت ب) نمی توان همه عناصر حاصلضرب دکارتی مجموعه ها را برشمرد، زیرا بسیاری از AT- بی نهایت، اما می توانید روند شکل گیری این محصول دکارتی را تصور کنید: در هر جفت، اولین جزء یا 2 ، یا 6 ، و جزء دوم یک عدد واقعی از بازه است .

همه جفت هایی که جزء اول آنها یک عدد است 2 و دومی مقدار را از آن اجرا می کند 1 قبل از 4 فراگیر، با نقاط بخش نشان داده می شوند SD،و جفت هایی که جزء اول آنها عدد است 6 و دومی هر عدد واقعی از بازه است , – نقاط قطعه آراس (شکل 8). بنابراین، در مورد ب) حاصلضرب دکارتی مجموعه ها ولیو ATدر صفحه مختصات به عنوان یک قطعه به تصویر کشیده شده است SDو آراس.

برنج. 7 شکل 8 شکل 9

مورد ج) با مورد ب) تفاوت دارد که در اینجا نه تنها مجموعه AT،بلکه بسیاری ولی،از همین رو، اولین جزء جفت های متعلق به مجموعه ولی AT،هر عددی از بازه است . نقاطی که عناصر حاصلضرب دکارتی مجموعه ها را نشان می دهد ولیو AT،یک مربع تشکیل دهید SVUL (شکل 9). برای تأکید بر اینکه عناصر محصول دکارتی با نقاط مربع نشان داده می شوند، می توان آن را سایه زد.

سوالات تستی

نشان دهید که حل مسائل زیر منجر به تشکیل یک حاصل ضرب دکارتی از مجموعه ها می شود:

الف) تمام کسری را که صورت آن عددی از مجموعه است بنویسید A ={3, 4} ، و مخرج عددی از مجموعه است B = (5،6, 7}.

ب) اعداد دو رقمی مختلف را با استفاده از اعداد بنویسید 1, 2, 3, 4.

ثابت کنید که برای هر مجموعه الف، ب، جبرابری عادلانه (ولی AT)С = (ولی از جانب) (AT از جانب).رضایت آن را برای مجموعه ها نشان دهید ولی= {2, 4, 6}, B=(1،3، 5)، C = (0، 1).

اگر مختصات آنها عناصر حاصلضرب دکارتی مجموعه ها باشد، نقاط در صفحه مختصات چه شکلی می گیرند ولی= (- 3، 3) و AT= آر

حاصل ضرب دکارتی کدام مجموعه را مشخص کنید ولیو ATدر شکل 10 نشان داده شده است.

برنج. ده

تمرینات

112. تمام اعداد دو رقمی را که ارقام ده ها آنها متعلق به مجموعه است بنویسید ولی= {1, 3, 5} ، و ارقام واحدها - به مجموعه B = (2،4،6).

113. تمام کسری را بنویسید که اعداد آنها از مجموعه انتخاب شده است A=(35, 7}, و مخرج از مجموعه است B={4, 6, 8}.

114. همه چیز را بنویس کسرهای مناسب، که اعداد آن از مجموعه انتخاب می شوند A =(3، 5،7)، و مخرج از مجموعه است B= (4، 6,8}.

115. مجموعه داده می شود P ={1, 2, 3}, K \u003d (aب}. تمام محصولات دکارتی مجموعه ها را بیابید آر بهو ک آر.

116. مشخص است که ولی AT= ((1، 2)؛ (3، 2)؛ (1، 4)؛ (3، 4)؛ (1، 6)؛ (3، 6)). تعیین کنید که مجموعه ها از چه عناصری تشکیل شده اند ولیو AT.

117. مجموعه ها را بنویسید (ولی AT) از جانبو ولی (AT از جانب)منتقل کردن بخار , اگر ولی=(آ،ب}, ب = {3}, سی={4, 6}

118. مجموعه بسازید ولی ب، ب ولی،اگر:

آ )A = (a,ب,s),B=(د},

ب) آ = { آ, ب}, ب =  ,

که در) A \u003d (t, p,ک)، B = A،

ز) آ = { ایکس, y, z}, ب = { ک, n}

119. معلوم است که ولی B = ((2.3)، (2.5)، (2.6)، (3.3)، (3.5)، (3.6)).تعیین کنید که مجموعه ها از چه عناصری تشکیل شده اند ولیو AT.

120. حاصلضرب دکارتی مجموعه ها را بیابید A = {5, 9, 4} و AT= {7, 8, 6} و از آن زیر مجموعه ای از جفت ها را انتخاب کنید که در آنها:

الف) جزء اول بزرگتر از دومی است. ب) جزء اول 5 است. ج) جزء دوم 7 است.

121. عناصری را که به ضرب دکارتی مجموعه ها تعلق دارند، فهرست کنید الف، بو از جانب،اگر:

آ) الف = (2, 3}, B = (7, 8, 9}, از جانب= {1, 0};

ب) A = B= از جانب= {2, 3};

که در) ولی= {2, 3}, ب = {7, 8, 9}, C = 

122. عناصر حاصلضرب دکارتی مجموعه ها را روی صفحه مختصات رسم کنید الف و باگر:

آ) A \u003d (x / x N،2 < ایکس< 4}, AT= (x/x N، x< 3};

ب) A \u003d (x / x آر, 2 < х < 4}, В = {х/х  N، x< 3};

که در) ولی= ; AT= .

123. تمام عناصر حاصلضرب دکارتی دو مجموعه آو ببه صورت نقاط در یک سیستم مختصات مستطیلی نشان داده می شوند. مجموعه ها را بنویسید آو AT(شکل 11).

برنج. 13

124. عناصر حاصلضرب دکارتی مجموعه های X و Y را روی صفحه مختصات رسم کنید اگر:

آ) Х=(–1.0، 1.2)،Y={2, 3,4};

ب) Х=(–1.0، 1.2)،Y=;

که در) Х = [–1;2]،Y = {2, 3, 4};

ز) ایکس= , Y = ;

ه) ایکس = [–3; 2], Y = ;

و) ایکس = ]–3;2[, Y= آر;

ح) X=(2)Y= آر;

و) X=آر, Y = {–3}.

125. شکل های نشان داده شده در شکل. 14 حاصل تصویر روی صفحه مختصات حاصلضرب دکارتی مجموعه های X و Y است. این مجموعه ها را برای هر شکل مشخص کنید.

برنج. چهارده

126. دریابید که حاصل ضرب دکارتی کدام دو مجموعه در صفحه مختصات به صورت نیم صفحه نمایش داده می شود. همه موارد را در نظر بگیرید.

127. حاصل ضرب دکارتی را که دو مجموعه از آن در صفحه مختصات به صورت یک زاویه قائمه نشان داده شده است، تنظیم کنید که با تقاطع محورهای مختصات تشکیل می شود.

128. در صفحه مختصات خطی موازی با محور بسازید اوهو عبور از نقطه آر(–2, 3).

129. در صفحه مختصات خطی موازی با محور بسازید OYو عبور از نقطه آر(–2, 3). حاصل ضرب دکارتی را تعیین کنید که دو مجموعه آن در صفحه مختصات به صورت این خط مستقیم نشان داده شده است.

130. در صفحه مختصات، نواری بسازید که با خطوط مستقیمی که از نقاط عبور می کنند محدود شده است. (–2, 0) و (2, 0) و به موازات محور OY. مجموعه نقاط متعلق به این نوار را شرح دهید.

131. روی صفحه مختصات مستطیلی بسازید که رئوس آن نقطه است ولی(–3, 5), AT(–3, 8), از جانب(7, 5), D (7, 8). مجموعه نقاط این مستطیل را شرح دهید.

132. روی صفحه مختصات مجموعه ای از نقاط بسازید که مختصات آنها شرط را برآورده می کند:

آ) ایکس آر، y= 5;

ب) ایکس= –3, در آر;

که در) ایکس آر, |y| = 2;

ز) | ایکس| = 3, در آر;

ه) ایکس آر, y≥ 4;

ه) ایکس  آر, y  4;

و) ایکس آر, |y| 4;

ح) | ایکس|  4, |y| 3 ;

و) |x| ≥1، |y| ≥ 4;

به) |x| ≥ 2، y آر.

133. عناصر حاصلضرب دکارتی مجموعه ها را در صفحه مختصات رسم کنید ایکس و Y، اگر:

آ) ایکس = آر, Y = {3}; ب) ایکس = آر, Y = [–3; 3]; که در) ایکس = .

134. در صفحه مختصات، یک شکل F بسازید اگر

آ) اف= ((x، y)| x = 2، y آر}

ب) اف= ((x، y) |ایکس آرy = –3)؛

که در) اف= ((x، y) | x 2، u آر};

ز) اف= ((x، y) | x به،y≥ – 3};

ه) اف= ((x، y) | |x| = 2، y آر};

ه) اف=((x,y) |x آر, |y| = 3).

135. یک مستطیل با رئوس در نقاط بسازید (–3, 4), (–3, –3), (1, –3), (1, 4). ویژگی مشخصه نقاط متعلق به این مستطیل را مشخص کنید.

136. در صفحه مختصات، خطوط مستقیم موازی با محور OX و عبور از نقاط (2، 3) و (2، -1) ایجاد کنید. حاصل ضرب دکارتی را تنظیم کنید که دو مجموعه آن در صفحه مختصات به صورت نوار محصور شده بین خطوط ساخته شده نمایش داده می شود.

137. در صفحه مختصات، خطوطی موازی با محور OY و عبور از نقاط (2، 3) و (2، 3) بسازید. حاصل ضرب دکارتی را تنظیم کنید که دو مجموعه آن در صفحه مختصات به صورت نوار محصور شده بین خطوط ساخته شده نمایش داده می شود.

138. یک مجموعه را در سیستم مختصات مستطیلی رسم کنید ایکس Y, اگر:

آ) ایکس = آر; Y ={ y در آر, |در| < 3},

ب) ایکس= {ایکس/ ایکس آر, |ایکس| > 2}; Y= (سال/سال آر, |در| > 4}.

برای این فصل، دانش آموز باید بتواند:

مجموعه ها را به روش های مختلف تعریف کنید.

ایجاد روابط بین مجموعه ها و ترسیم آنها با استفاده از نمودارهای اویلر-ون.

تساوی دو مجموعه را ثابت کنید.

انجام عملیات بر روی مجموعه ها و نشان دادن آنها به صورت هندسی با استفاده از نمودارهای اویلر-ون.

با استفاده از یک یا چند ویژگی، مجموعه را به کلاس‌ها تقسیم کنید. صحت طبقه بندی انجام شده را ارزیابی کنید.