فرمول های مثلثاتی نحوه حل معادلات مثلثاتی - فرمول ها، راه حل ها، مثال ها

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هر گونه سوال به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آتی به شما اطلاع دهیم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم به شما استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر وارد قرعه‌کشی، مسابقه یا انگیزه‌های مشابهی شوید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشا به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، دستور قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به جانشین شخص ثالث مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین از دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

حفظ حریم خصوصی خود در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، روش‌های حفظ حریم خصوصی و امنیتی را به کارکنان خود ابلاغ می‌کنیم و شیوه‌های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می‌کنیم.

شما می توانید یک راه حل دقیق برای مشکل خود سفارش دهید !!!

تساوی حاوی یک مجهول تحت علامت یک تابع مثلثاتی ("sin x، cos x، tg x" یا "ctg x") معادله مثلثاتی نامیده می شود و ما فرمول های آنها را بیشتر در نظر خواهیم گرفت.

ساده ترین معادلات عبارتند از: sin x=a، cos x=a، tg x=a، ctg x=a». بیایید فرمول های ریشه را برای هر یک از آنها بنویسیم.

1. معادله `sin x=a`.

برای `|a|>1` هیچ راه حلی ندارد.

با `|a| \leq 1` دارای بی نهایت راه حل است.

فرمول ریشه: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. معادله «cos x=a».

برای `|a|>1` - مانند مورد سینوس، هیچ راه حلی در بین اعداد حقیقی وجود ندارد.

با `|a| \leq 1` دارای بی نهایت راه حل است.

فرمول ریشه: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

موارد ویژه برای سینوس و کسینوس در نمودارها.

3. معادله `tg x=a`

تعداد بی نهایت راه حل برای هر مقدار «a» دارد.

فرمول ریشه: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. معادله «ctg x=a».

همچنین تعداد بی نهایت راه حل برای هر مقدار «a» دارد.

فرمول ریشه: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

فرمول های ریشه معادلات مثلثاتی در جدول

برای سینوس:
برای کسینوس:
برای مماس و کتانژانت:
فرمول های حل معادلات حاوی توابع مثلثاتی معکوس:

روش های حل معادلات مثلثاتی

حل هر معادله مثلثاتی شامل دو مرحله است:

• استفاده برای تبدیل آن به ساده ترین.
• معادله ساده حاصل را با استفاده از فرمول های بالا برای ریشه ها و جداول حل کنید.

بیایید روش های اصلی حل را با استفاده از مثال در نظر بگیریم.

روش جبری

در این روش جایگزینی یک متغیر و جایگزینی آن به برابری انجام می شود.

مثال. معادله را حل کنید: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`،

جایگزینی ایجاد کنید: «cos(x+\frac \pi 6)=y»، سپس «2y^2-3y+1=0»،

ما ریشه ها را پیدا می کنیم: `y_1=1, y_2=1/2` که دو حالت از آن پیروی می کنند:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

پاسخ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

فاکتورسازی

مثال. معادله "sin x+cos x=1" را حل کنید.

راه حل. همه شرایط برابری را به سمت چپ حرکت دهید: `sin x+cos x-1=0`. با استفاده از ، سمت چپ را تبدیل و فاکتورسازی می کنیم:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0"،

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. «cos x/2-sin x/2=0»، «tg x/2=1»، «x/2=arctg 1+ \pi n»، «x/2=\pi/4+ \pi n» ، `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

پاسخ: `x_1=2\pi n`، `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

کاهش به یک معادله همگن

ابتدا باید این معادله مثلثاتی را به یکی از این دو شکل برسانید:

«a sin x+b cos x=0» (معادله همگن درجه اول) یا «a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0» (معادله همگن درجه دوم).

سپس هر دو قسمت را برای حالت اول به «cos x \ne 0» و برای مورد دوم با «cos^2 x \ne 0» تقسیم کنید. معادلاتی برای «tg x» به دست می‌آوریم: «a tg x+b=0» و «a tg^2 x + b tg x +c =0» که باید با استفاده از روش‌های شناخته شده حل شوند.

مثال. معادله "2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1" را حل کنید.

راه حل. بیایید سمت راست را به صورت `1=sin^2 x+cos^2 x` بنویسیم:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

'2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

این یک معادله مثلثاتی همگن درجه دوم است که طرف چپ و راست آن را بر 'cos^2 x \ne 0' تقسیم می‌کند، به دست می‌آید:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. بیایید جایگزین «tg x=t» را معرفی کنیم، در نتیجه «t^2 + t - 2=0». ریشه های این معادله «t_1=-2» و «t_2=1» هستند. سپس:

1. «tg x=-2»، «x_1=arctg (-2)+\pi n»، «n \in Z»
2. «tg x=1»، «x=arctg 1+\pi n»، «x_2=\pi/4+\pi n»، «n \in Z».

پاسخ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`، `n \in Z`، `x_2=\pi/4+\pi n`، `n \in Z`.

به نیم گوشه بروید

مثال. معادله را حل کنید: '11 sin x - 2 cos x = 10'.

راه حل. با استفاده از فرمول های زاویه دوتایی، نتیجه به دست می آید: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2 =` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

با استفاده از روش جبری که در بالا توضیح داده شد، به دست می آوریم:

1. «tg x/2=2»، «x_1=2 arctg 2+2\pi n»، «n \در Z»،
2. «tg x/2=3/4»، «x_2=arctg 3/4+2\pi n»، «n \in Z».

پاسخ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n، n \in Z`، `x_2=arctg 3/4+2\pi n`، `n \in Z`.

معرفی یک زاویه کمکی

در معادله مثلثاتی "a sin x + b cos x =c"، که در آن a,b,c ضرایب هستند و x یک متغیر است، هر دو قسمت را بر "sqrt (a^2+b^2)" تقسیم می کنیم:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 +b^2))`.

ضرایب سمت چپ دارای ویژگی های سینوس و کسینوس هستند، یعنی مجموع مربع های آنها برابر با 1 است و مدول آنها بیشتر از 1 نیست. آنها را به صورت زیر نشان دهید: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= ج، سپس:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

بیایید نگاهی دقیق تر به مثال زیر بیندازیم:

مثال. معادله "3 sin x+4 cos x=2" را حل کنید.

راه حل. با تقسیم دو طرف معادله بر 'sqrt (3^2+4^2)'، به دست می آید:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

«3/5 گناه x+4/5 cos x=2/5».

"3/5 = cos \varphi"، "4/5=sin \varphi" را نشان می‌دهیم. از آنجایی که `sin \varphi>0`، `cos \varphi>0`، "\varphi=arcsin 4/5" را به عنوان یک زاویه کمکی در نظر می گیریم. سپس برابری خود را به شکل زیر می نویسیم:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

با اعمال فرمول مجموع زوایای سینوس، تساوی خود را به شکل زیر می نویسیم:

`sin(x+\varphi)=2/5`،

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

پاسخ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

معادلات مثلثاتی کسری - گویا

اینها تساوی با کسری هستند که در صورت و مخرج آنها توابع مثلثاتی وجود دارد.

مثال. معادله را حل کنید. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

راه حل. سمت راست معادله را ضرب و تقسیم بر «(1+cos x)» کنید. در نتیجه، دریافت می کنیم:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

با توجه به اینکه مخرج نمی تواند صفر باشد، "1+cos x \ne 0"، "cos x \ne -1"، `x \ne \pi+2\pi n، n \in Z" بدست می آید.

عدد کسری را با صفر برابر کنید: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. سپس «sin x=0» یا «1-sin x=0».

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. «1-sin x=0»، «sin x=-1»، «x=\pi /2+2\pi n، n \in Z».

با توجه به اینکه `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`، راه حل ها عبارتند از `x=2\pi n, n \in Z` و `x=\pi /2+2\pi n` ، `n \ در Z`.

پاسخ. «x=2\pi n»، «n \in Z»، «x=\pi /2+2\pi n»، «n \in Z».

مثلثات و به طور خاص معادلات مثلثاتی تقریباً در تمام زمینه های هندسه، فیزیک و مهندسی استفاده می شود. مطالعه از کلاس دهم شروع می شود، همیشه وظایفی برای امتحان وجود دارد، بنابراین سعی کنید تمام فرمول های معادلات مثلثاتی را به خاطر بسپارید - آنها قطعا برای شما مفید خواهند بود!

با این حال، شما حتی نیازی به حفظ آنها ندارید، نکته اصلی این است که ماهیت را درک کنید و بتوانید استنباط کنید. آنقدرها هم که به نظر می رسد سخت نیست. خودتان با تماشای ویدیو ببینید.

هنگام حل بسیاری از مشکلات ریاضیبه خصوص آنهایی که قبل از درجه 10 رخ می دهند، ترتیب اقدامات انجام شده که منجر به هدف می شود به وضوح مشخص شده است. چنین مسائلی عبارتند از، برای مثال، معادلات خطی و درجه دوم، نابرابری های خطی و درجه دوم، معادلات کسریو معادلاتی که به درجه دوم کاهش می یابد. اصل حل موفقیت آمیز هر یک از وظایف ذکر شده به شرح زیر است: باید مشخص شود که مشکل حل شده متعلق به چه نوع است، دنباله ای از اقدامات لازم را به خاطر بسپارید که منجر به نتیجه مطلوب می شود، یعنی. پاسخ دهید و این مراحل را دنبال کنید.

بدیهی است که موفقیت یا شکست در حل یک مسئله خاص عمدتاً به این بستگی دارد که چگونه نوع معادله حل شده به درستی تعیین می شود، چگونه دنباله تمام مراحل حل آن به درستی بازتولید می شود. البته در این صورت داشتن مهارت انجام تبدیل ها و محاسبات یکسان ضروری است.

وضعیت متفاوتی با معادلات مثلثاتیاثبات این واقعیت که معادله مثلثاتی است دشوار نیست. هنگام تعیین توالی اقداماتی که منجر به پاسخ صحیح می شود، مشکلات ایجاد می شود.

گاهی اوقات تعیین نوع آن با ظاهر یک معادله دشوار است. و بدون دانستن نوع معادله، تقریباً غیرممکن است که از بین چندین ده فرمول مثلثاتی مناسب را انتخاب کنید.

برای حل معادله مثلثاتی باید سعی کنیم:

1. تمام توابع موجود در معادله را به "زوایای یکسان" بیاورید.
2. معادله را به "توابع یکسان" برسانید.
3. سمت چپ معادله و غیره را فاکتور کنید.

در نظر گرفتن روش های اساسی برای حل معادلات مثلثاتی

I. تقلیل به ساده ترین معادلات مثلثاتی

طرح راه حل

مرحله 1.تابع مثلثاتی را بر حسب مولفه های شناخته شده بیان کنید.

گام 2آرگومان تابع را با استفاده از فرمول ها پیدا کنید:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn، n ЄZ.

گناه x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn، n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn، n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn، n Є Z.

مرحله 3یک متغیر مجهول پیدا کنید.

مثال.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

راه حل.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn، n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn، n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn، n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3، n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3، n Є Z.

پاسخ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3، n Є Z.

II. جایگزینی متغیر

طرح راه حل

مرحله 1.معادله را با توجه به یکی از توابع مثلثاتی به شکل جبری بیاورید.

گام 2تابع به دست آمده را با متغیر t مشخص کنید (در صورت لزوم محدودیت هایی را برای t وارد کنید).

مرحله 3معادله جبری حاصل را بنویسید و حل کنید.

مرحله 4یک تعویض معکوس انجام دهید.

مرحله 5ساده ترین معادله مثلثاتی را حل کنید.

مثال.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

راه حل.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) بگذارید sin (x/2) = t، که در آن |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 یا e = -3/2 شرط |t| را برآورده نمی کند ≤ 1.

4) گناه (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn، n Є Z;

x = π + 4πn، n Є Z.

پاسخ: x = π + 4πn، n Є Z.

III. روش کاهش ترتیب معادله

طرح راه حل

مرحله 1.با استفاده از فرمول های کاهش توان، این معادله را با یک معادله خطی جایگزین کنید:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x)؛

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x)؛

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

گام 2معادله به دست آمده را با استفاده از روش های I و II حل کنید.

مثال.

cos2x + cos2x = 5/4.

راه حل.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn، n Є Z;

x = ±π/6 + πn، n Є Z.

پاسخ: x = ±π/6 + πn، n Є Z.

IV. معادلات همگن

طرح راه حل

مرحله 1.این معادله را به شکل بیاورید

الف) a sin x + b cos x = 0 (معادله همگن درجه اول)

یا به منظره

ب) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (معادله همگن درجه دوم).

گام 2دو طرف معادله را تقسیم بر

الف) cos x ≠ 0;

ب) cos 2 x ≠ 0;

و معادله tg x را بدست آورید:

الف) a tg x + b = 0;

ب) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

مرحله 3معادله را با استفاده از روش های شناخته شده حل کنید.

مثال.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

راه حل.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) بگذارید tg x = t، سپس

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 یا t = -4، بنابراین

tg x = 1 یا tg x = -4.

از معادله اول x = π/4 + πn، n Є Z; از معادله دوم x = -arctg 4 + πk، k Є Z.

پاسخ: x = π/4 + πn، n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk، k Є Z.

V. روش تبدیل یک معادله با استفاده از فرمول های مثلثاتی

طرح راه حل

مرحله 1.با استفاده از انواع فرمول های مثلثاتی، این معادله را به معادله ای برسانید که با روش های I، II، III، IV قابل حل است.

گام 2معادله به دست آمده را با استفاده از روش های شناخته شده حل کنید.

مثال.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

راه حل.

1) (سین x + گناه 3x) + گناه 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 یا 2cos x + 1 = 0;

از معادله اول 2x = π/2 + πn، n Є Z; از معادله دوم cos x = -1/2.

ما x = π/4 + πn/2، n Є Z داریم. از معادله دوم x = ±(π – π/3) + 2πk، k Є Z.

در نتیجه، x \u003d π / 4 + πn / 2، n Є Z؛ x = ± 2π/3 + 2πk، k Є Z.

پاسخ: x \u003d π / 4 + πn / 2، n Є Z. x = ± 2π/3 + 2πk، k Є Z.

توانایی و مهارت حل معادلات مثلثاتی بسیار زیاد است مهم است، توسعه آنها نیاز به تلاش قابل توجهی دارد، هم از طرف دانش آموز و هم از طرف معلم.

بسیاری از مسائل استریومتری، فیزیک و غیره با حل معادلات مثلثاتی مرتبط هستند، فرآیند حل چنین مسائلی، همانطور که گفته شد، حاوی بسیاری از دانش و مهارت هایی است که هنگام مطالعه عناصر مثلثات به دست می آید.

معادلات مثلثاتی جایگاه مهمی در فرآیند آموزش ریاضیات و به طور کلی رشد شخصیت دارند.

آیا هیچ سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه معادلات مثلثاتی را حل کنید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی - ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

مثلثات به عنوان یک علم در شرق باستان سرچشمه گرفته است. اولین نسبت های مثلثاتی توسط ستاره شناسان برای ایجاد یک تقویم دقیق و جهت گیری توسط ستاره ها ایجاد شد. این محاسبات مربوط به مثلثات کروی بود، در حالی که در دوره مدرسهنسبت اضلاع و زاویه یک مثلث صاف را مطالعه کنید.

مثلثات شاخه ای از ریاضیات است که به ویژگی های توابع مثلثاتی و رابطه بین اضلاع و زوایای مثلث ها می پردازد.

در دوران اوج فرهنگ و علم در هزاره اول پس از میلاد، دانش از شرق باستان به یونان گسترش یافت. اما اکتشافات اصلی مثلثات، شایستگی مردان خلافت عرب است. به ویژه، دانشمند ترکمن المرازوی، توابع مماس و کوتانژانت را معرفی کرد، اولین جداول مقادیر سینوس ها، مماس ها و کتانژانت ها را گردآوری کرد. مفهوم سینوس و کسینوس توسط دانشمندان هندی معرفی شد. توجه زیادی به مثلثات در آثار شخصیت های بزرگ دوران باستان مانند اقلیدس، ارشمیدس و اراتوستن شده است.

کمیت های اصلی مثلثات

توابع مثلثاتی اصلی یک آرگومان عددی سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت هستند. هر کدام از آنها نمودار مخصوص به خود را دارند: سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت.

فرمول های محاسبه مقادیر این مقادیر بر اساس قضیه فیثاغورث است. برای دانش‌آموزان مدرسه در فرمول‌بندی بهتر شناخته شده است: "شلوار فیثاغورثی، در همه جهات برابر است"، زیرا اثبات بر روی مثال مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین ارائه شده است.

سینوس، کسینوس و دیگر وابستگی ها بین زوایای تند و اضلاع هر مثلث قائم الزاویه رابطه برقرار می کنند. ما فرمول هایی برای محاسبه این مقادیر برای زاویه A ارائه می دهیم و رابطه توابع مثلثاتی را دنبال می کنیم:

همانطور که می بینید، tg و ctg توابع معکوس هستند. اگر پایه a را حاصل ضرب sin A و هیپوتنوز c و پایه b را cos A * c نشان دهیم، فرمول های زیر را برای مماس و کوتانژانت به دست می آوریم:

دایره مثلثاتی

از نظر گرافیکی، نسبت مقادیر ذکر شده را می توان به صورت زیر نشان داد:

دایره، در این مورد، تمام مقادیر ممکن زاویه α - از 0 درجه تا 360 درجه را نشان می دهد. همانطور که از شکل مشخص است، هر تابع بسته به زاویه یک مقدار منفی یا مثبت می گیرد. به عنوان مثال، sin α با علامت "+" خواهد بود اگر α متعلق به ربع I و II دایره باشد، یعنی در محدوده 0 تا 180 درجه باشد. با α از 180 درجه تا 360 درجه (ربع III و IV)، sin α فقط می تواند یک مقدار منفی باشد.

بیایید سعی کنیم جداول مثلثاتی را برای زوایای خاص بسازیم و معنای کمیت ها را دریابیم.

مقادیر α برابر با 30 درجه، 45 درجه، 60 درجه، 90 درجه، 180 درجه و غیره را موارد خاص می نامند. مقادیر توابع مثلثاتی برای آنها محاسبه و در قالب جداول ویژه ارائه می شود.

این زوایای تصادفی انتخاب نشده اند. نام π در جداول برای رادیان است. راد زاویه ای است که طول یک قوس دایره ای با شعاع آن مطابقت دارد. این مقدار به منظور ایجاد یک رابطه جهانی معرفی شد؛ هنگام محاسبه بر حسب رادیان، طول واقعی شعاع بر حسب سانتی متر اهمیتی ندارد.

زوایای جداول برای توابع مثلثاتی با مقادیر رادیان مطابقت دارد:

بنابراین، حدس زدن اینکه 2π یک دایره کامل یا 360 درجه است دشوار نیست.

ویژگی های توابع مثلثاتی: سینوس و کسینوس

برای در نظر گرفتن و مقایسه خصوصیات اساسی سینوس و کسینوس، مماس و کوتانژانت، لازم است توابع آنها ترسیم شود. این را می توان به صورت یک منحنی واقع در یک سیستم مختصات دو بعدی انجام داد.

یک جدول مقایسه ای از خواص موج سینوسی و موج کسینوس را در نظر بگیرید:

سینوسی	موج کسینوس
y = گناه x	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0، برای x = πk، که در آن k ε Z	cos x = 0، برای x = π/2 + πk، که در آن k ε Z
sin x = 1، برای x = π/2 + 2πk، که در آن k ε Z	cos x = 1، برای x = 2πk، که در آن k ε Z
sin x = - 1، در x = 3π/2 + 2πk، که در آن k ε Z	cos x = - 1، برای x = π + 2πk، که در آن k ε Z
sin (-x) = - sin x، یعنی تابع فرد	cos (-x) = cos x، یعنی تابع زوج است
	تابع تناوبی است، کوچکترین دوره 2π است
sin x › 0، با x متعلق به ربع I و II یا از 0° تا 180 درجه (2πk، π + 2πk)	cos x › 0، با x متعلق به یک چهارم I و IV یا از 270 درجه تا 90 درجه (- π/2 + 2πk، π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0، با x متعلق به ربع III و IV یا از 180 درجه تا 360 درجه (π + 2πk، 2π + 2πk)	cos x ‹ 0، با x متعلق به چهارمین دوم و سوم یا از 90 درجه تا 270 درجه (π/2 + 2πk، 3π/2 + 2πk)
در بازه [- π/2 + 2πk، π/2 + 2πk] افزایش می یابد	در بازه [-π + 2πk، 2πk] افزایش می یابد
در فواصل [π/2 + 2πk، 3π/2 + 2πk] کاهش می یابد	در فواصل زمانی کاهش می یابد
مشتق (sin x)' = cos x	مشتق (cos x)’ = - sin x

تعیین زوج بودن یا نبودن یک تابع بسیار ساده است. کافی است یک دایره مثلثاتی را با نشانه هایی از مقادیر مثلثاتی تصور کنید و نمودار را نسبت به محور OX به صورت ذهنی "تا" کنید. اگر علائم یکسان باشد، تابع زوج و در غیر این صورت فرد است.

معرفی رادیان ها و برشمردن ویژگی های اصلی موج سینوسی و کسینوس به ما امکان می دهد الگوی زیر را بیاوریم:

بررسی صحت فرمول بسیار آسان است. به عنوان مثال، برای x = π/2، سینوس برابر با 1 است، همانطور که کسینوس x = 0 است. بررسی را می توان با نگاه کردن به جداول یا با ردیابی منحنی های تابع برای مقادیر داده شده انجام داد.

خواص مماس و کوتانژانتوئید

نمودار توابع مماس و کتانژانت به طور قابل توجهی با موج سینوسی و کسینوس متفاوت است. مقادیر tg و ctg معکوس یکدیگر هستند.

1. Y = tgx.
2. مماس به مقادیر y در x = π/2 + πk تمایل دارد، اما هرگز به آنها نمی رسد.
3. کوچکترین دوره مثبت مماس، π است.
4. Tg (- x) \u003d - tg x، یعنی تابع فرد است.
5. Tg x = 0، برای x = πk.
6. عملکرد در حال افزایش است.
7. Tg x › 0، برای x ε (πk، π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0، برای x ε (- π/2 + πk، πk).
9. مشتق (tg x)' = 1/cos 2⁡x.

نمایش گرافیکی کوتانژانتوئید زیر را در متن در نظر بگیرید.

خواص اصلی کوتانژانتوئید:

1. Y = ctgx.
2. برخلاف توابع سینوس و کسینوس، در مماس Y می تواند مقادیر مجموعه تمام اعداد حقیقی را بگیرد.
3. کوتانژانتوئید به مقادیر y در x = πk تمایل دارد، اما هرگز به آنها نمی رسد.
4. کوچکترین دوره مثبت کوتانژانتوئید π است.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x، یعنی تابع فرد است.
6. Ctg x = 0، برای x = π/2 + πk.
7. عملکرد در حال کاهش است.
8. Ctg x › 0، برای x ε (πk، π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0، برای x ε (π/2 + πk، πk).
10. مشتق (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x ثابت

مفهوم حل معادلات مثلثاتی.

• برای حل یک معادله مثلثاتی، آن را به یک یا چند معادله مثلثاتی اصلی تبدیل کنید. حل معادله مثلثاتی در نهایت به حل چهار معادله مثلثاتی اصلی ختم می شود.

حل معادلات مثلثاتی پایه.

• 4 نوع معادلات مثلثاتی اساسی وجود دارد:
• گناه x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• حل معادلات مثلثاتی اولیه شامل نگاه کردن به موقعیت های x مختلف در دایره واحد و همچنین استفاده از جدول تبدیل (یا ماشین حساب) است.
• مثال 1. sin x = 0.866. با استفاده از جدول تبدیل (یا ماشین حساب)، پاسخ را دریافت می کنید: x = π/3. دایره واحد پاسخ دیگری می دهد: 2π/3. به یاد داشته باشید: همه توابع مثلثاتی دوره ای هستند، یعنی مقادیر آنها تکرار می شود. برای مثال، تناوب sin x و cos x 2πn است و تناوب tg x و ctg x πn است. پس جواب به این صورت نوشته می شود:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• مثال 2 cos x = -1/2. با استفاده از جدول تبدیل (یا ماشین حساب)، پاسخ را دریافت می کنید: x = 2π/3. دایره واحد پاسخ دیگری می دهد: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• مثال 3. tg (x - π/4) = 0.
• پاسخ: x \u003d π / 4 + πn.
• مثال 4. ctg 2x = 1.732.
• پاسخ: x \u003d π / 12 + πn.

تبدیل های مورد استفاده در حل معادلات مثلثاتی.

• برای تبدیل معادلات مثلثاتی از تبدیل های جبری (فاکتورگیری، کاهش عبارت های همگن و ...) و هویت های مثلثاتی استفاده می شود.
• مثال 5. با استفاده از هویت های مثلثاتی، معادله sin x + sin 2x + sin 3x = 0 به معادله 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 تبدیل می شود. بنابراین، معادلات مثلثاتی اساسی زیر باید حل شود: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• یافتن زاویه از مقادیر شناخته شده توابع.

  • قبل از یادگیری نحوه حل معادلات مثلثاتی، باید یاد بگیرید که چگونه زاویه ها را از مقادیر شناخته شده توابع پیدا کنید. این را می توان با استفاده از جدول تبدیل یا ماشین حساب انجام داد.
  • مثال: cos x = 0.732. ماشین حساب پاسخ x = 42.95 درجه را می دهد. دایره واحد زوایای اضافی می دهد که کسینوس آن نیز برابر با 0.732 است.

• محلول را روی دایره واحد کنار بگذارید.

  • می توانید جواب های معادله مثلثاتی را روی دایره واحد قرار دهید. جواب های معادله مثلثاتی روی دایره واحد رئوس یک چندضلعی منتظم هستند.
  • مثال: جواب های x = π/3 + πn/2 روی دایره واحد رئوس مربع هستند.
  • مثال: جواب های x = π/4 + πn/3 روی دایره واحد رئوس یک شش ضلعی منتظم هستند.

• روش های حل معادلات مثلثاتی.

  • اگر معادله مثلثاتی داده شده فقط یک تابع مثلثاتی داشته باشد، این معادله را به عنوان یک معادله مثلثاتی پایه حل کنید. اگر یک معادله داده شده شامل دو یا چند تابع مثلثاتی باشد، 2 روش برای حل چنین معادله ای (بسته به امکان تبدیل آن) وجود دارد.
    • روش 1
  • این معادله را به معادله ای به این شکل تبدیل کنید: f(x)*g(x)*h(x) = 0، که در آن f(x)، g(x)، h(x) معادلات مثلثاتی اولیه هستند.
  • مثال 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • راه حل. با استفاده از فرمول دو زاویه sin 2x = 2*sin x*cos x، جایگزین sin 2x کنید.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. حالا دو معادله مثلثاتی اصلی را حل کنید: cos x = 0 و (sin x + 1) = 0.
  • مثال 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • راه حل: با استفاده از هویت های مثلثاتی، این معادله را به یک معادله تبدیل کنید: cos 2x(2cos x + 1) = 0. حالا دو معادله مثلثاتی اصلی را حل کنید: cos 2x = 0 و (2cos x + 1) = 0.
  • مثال 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • راه حل: با استفاده از هویت های مثلثاتی، این معادله را به معادله ای به شکل: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0 تبدیل کنید. اکنون دو معادله مثلثاتی اصلی را حل کنید: cos 2x = 0 و (2sin x + 1) = 0.
    • روش 2
  • معادله مثلثاتی داده شده را به معادله ای که فقط یک تابع مثلثاتی دارد تبدیل کنید. سپس این تابع مثلثاتی را با مقداری مجهول جایگزین کنید، برای مثال t (sin x = t؛ cos x = t؛ cos 2x = t، tg x = t؛ tg (x/2) = t و غیره).
  • مثال 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • راه حل. در این معادله (cos^2 x) را با (1 - sin^2 x) (با توجه به هویت) جایگزین کنید. معادله تبدیل شده به صورت زیر است:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x را با t جایگزین کنید. اکنون معادله به نظر می رسد: 5t^2 - 4t - 9 = 0. این یک معادله درجه دوم با دو ریشه است: t1 = -1 و t2 = 9/5. ریشه دوم t2 محدوده تابع (-1) را برآورده نمی کند< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • مثال 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • راه حل. tg x را با t جایگزین کنید. معادله اصلی را به صورت زیر بازنویسی کنید: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. حالا t را پیدا کنید و سپس x را برای t = tg x پیدا کنید.