نحوه حل معادلات گویا کسری حل معادلات گویا اعداد صحیح و کسری

امروز خواهیم فهمید که چگونه حل کنیم معادلات گویا کسری

بیایید ببینیم: از معادلات

(1) 2x + 5 = 3 (8 - x)،

(3)

(4)

فقط (2) و (4) معادلات گویا کسری هستند و (1) و (3) معادلات کامل هستند.

من پیشنهاد می کنم معادله (4) را حل کرده و سپس یک قانون را فرموله کنیم.

از آنجایی که معادله کسری است، باید مخرج مشترک را پیدا کنیم. در این معادله، عبارت 6 (x – 12) (x – 6) است. سپس هر دو طرف معادله را در یک مخرج مشترک ضرب می کنیم:

پس از کاهش، کل معادله را بدست می آوریم:

6 (x - 6) 2 - 6 (x - 12) 2 = 5 (x - 12) (x - 6).

پس از حل این معادله، لازم است بررسی شود که آیا ریشه های حاصل باعث ناپدید شدن مخرج کسری در معادله اصلی می شوند یا خیر.

گسترش براکت ها:
6x 2 - 72x + 216 - 6x 2 + 144x - 864 = 5x 2 - 90x + 360، معادله را ساده کنید: 5x 2 - 162x + 1008 = 0.

پیدا کردن ریشه های معادله
D = 6084، √D = 78،
x 1 = (162-78)/10 = 84/10 = 8.4 و x 2 = (162 + 78)/10 = 240/10 = 24.

برای x = 8.4 و 24، مخرج مشترک 6 (x – 12) (x – 6) ≠ 0 است، به این معنی که این اعداد ریشه های معادله (4) هستند.

پاسخ: 8,4; 24.

پس از حل معادله پیشنهادی به نتیجه زیر می رسیم مفاد:

1) یافتن مخرج مشترک.

2) دو طرف معادله را در یک مخرج مشترک ضرب کنید.

3) معادله کامل حاصل را حل می کنیم.

4) بررسی می کنیم که کدام یک از ریشه ها باعث ناپدید شدن مخرج مشترک می شود و آنها را از راه حل حذف می کنیم.

اجازه دهید اکنون به مثالی از نحوه عملکرد مقررات حاصل نگاه کنیم.

معادله را حل کنید:

1) مخرج مشترک: x 2 – 1

2) هر دو طرف معادله را در یک مخرج مشترک ضرب کنیم، کل معادله را بدست می آوریم: 6 – 2 (x + 1) = 2 (x 2 – 1) – (x + 4) (x – 1)

3) معادله را حل کنید: 6 – 2x – 2 = 2x 2 – 2 – x 2 – 4x + x + 4

x 2 – x – 2 = 0

x 1 = - 1 و x 2 = 2

4) برای x = -1، مخرج مشترک x 2 – 1 = 0 است. عدد -1 یک ریشه نیست.

وقتی x = 2، مخرج مشترک x 2 – 1 ≠ 0 است. عدد 2 ریشه معادله است.

پاسخ: 2.

همانطور که می بینید، مفاد ما کار می کنند. نترسید، موفق خواهید شد! مهم ترین مخرج مشترک را به درستی پیدا کنیدو تبدیل ها را با دقت انجام دهید. ما امیدواریم که هنگام حل معادلات گویا کسری همیشه پاسخ های صحیح را دریافت کنید. اگر سؤالی دارید یا می خواهید حل معادلات مشابه را تمرین کنید، برای درس ها با نویسنده این مقاله، معلم والنتینا گالینفسکایا ثبت نام کنید.

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

حل معادلات گویا کسری

راهنمای مرجع

معادلات گویا معادلاتی هستند که در آنها هر دو سمت چپ و راست عبارت های گویا هستند.

(به یاد داشته باشید: عبارات گویا عبارت های اعداد صحیح و کسری بدون رادیکال هستند، از جمله عملیات جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم - برای مثال: 6x؛ (m – n)2؛ x/3y و غیره)

معادلات گویا کسری معمولاً به شکل زیر کاهش می یابد:

جایی که پ(ایکس) و س(ایکس) چند جمله ای هستند.

برای حل چنین معادلاتی، هر دو طرف معادله را در Q(x) ضرب کنید، که می تواند منجر به ظاهر شدن ریشه های خارجی شود. بنابراین، هنگام حل معادلات منطقی کسری، بررسی ریشه های یافت شده ضروری است.

معادله منطقی را کل یا جبری می نامند، اگر به عبارتی حاوی متغیر تقسیم نشود.

نمونه هایی از یک معادله منطقی کامل:

5x - 10 = 3 (10 - x)

3 برابر
- = 2x - 10
4

اگر در یک معادله گویا تقسیم بر عبارتی حاوی متغیر (x) باشد، آن معادله را گویا کسری می نامند.

مثالی از یک معادله گویا کسری:

15
x + - = 5x - 17
ایکس

معادلات گویا کسری معمولاً به صورت زیر حل می شوند:

1) مخرج مشترک کسرها را بیابید و دو طرف معادله را در آن ضرب کنید.

2) معادله کل حاصل را حل کنید.

3) آنهایی را که مخرج مشترک کسرها را به صفر کاهش می دهند از ریشه خود حذف کنید.

نمونه هایی از حل معادلات گویا اعداد صحیح و کسری.

مثال 1. بیایید کل معادله را حل کنیم

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

راه حل:

یافتن کمترین مخرج مشترک این عدد 6 است. 6 را بر مخرج تقسیم کنید و نتیجه حاصل را در عدد هر کسر ضرب کنید. معادله ای معادل این بدست می آوریم:

3 (x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

از آنجایی که سمت چپ و راست مخرج یکسانی دارند، می توان آن را حذف کرد. سپس یک معادله ساده تر به دست می آوریم:

3 (x – 1) + 4x = 5x.

ما آن را با باز کردن پرانتزها و ترکیب عبارات مشابه حل می کنیم:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

مثال حل شد.

مثال 2. یک معادله گویا کسری را حل کنید

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)

یافتن مخرج مشترک. این x (x - 5) است. بنابراین:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

اکنون دوباره از مخرج خلاص می شویم، زیرا برای همه عبارات یکسان است. عبارات مشابه را کاهش می دهیم، معادله را با صفر برابر می کنیم و یک معادله درجه دوم به دست می آوریم:

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3x – 10 = 0.

با حل معادله درجه دوم، ریشه های آن را پیدا می کنیم: -2 و 5.

بیایید بررسی کنیم که آیا این اعداد ریشه معادله اصلی هستند یا خیر.

در x = –2، مخرج مشترک x(x – 5) ناپدید نمی شود. این به این معنی است که -2 ریشه معادله اصلی است.

در x = 5، مخرج مشترک به صفر می رسد و از هر سه عبارت، دو عبارت بی معنی می شوند. یعنی عدد 5 ریشه معادله اصلی نیست.

پاسخ: x = -2

نمونه های بیشتر

مثال 1.

x 1 = 6، x 2 = - 2.2.

پاسخ: -2،2;6.

مثال 2.

ارائه و درس با موضوع: "معادلات گویا. الگوریتم و مثال هایی از حل معادلات گویا"

مواد اضافی
کاربران گرامی، فراموش نکنید که نظرات، نظرات، خواسته های خود را بنویسید! تمام مواد توسط یک برنامه ضد ویروس بررسی شده است.

کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال کلاس 8
راهنمای کتاب درسی توسط Makarychev Yu.N. کتابچه راهنمای کتاب درسی توسط موردکوویچ A.G.

مقدمه ای بر معادلات غیر منطقی

بچه ها ما یاد گرفتیم که چگونه معادلات درجه دوم را حل کنیم. اما ریاضیات فقط به آنها محدود نمی شود. امروز یاد خواهیم گرفت که چگونه معادلات منطقی را حل کنیم. مفهوم معادلات گویا از بسیاری جهات شبیه به مفهوم اعداد گویا است. فقط علاوه بر اعداد، اکنون مقداری متغیر $x$ را معرفی کرده ایم. و بدین ترتیب عبارتی بدست می آوریم که در آن عملیات جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و افزایش به یک توان صحیح وجود دارد.

اجازه دهید $r(x)$ باشد بیان منطقی. چنین عبارتی می تواند یک چند جمله ای ساده در متغیر $x$ یا نسبتی از چندجمله ای ها باشد (عملیات تقسیم، مانند اعداد گویا، معرفی شده است).
معادله $r(x)=0$ فراخوانی می شود معادله منطقی.
هر معادله ای به شکل $p(x)=q(x)$، که در آن $p(x)$ و $q(x)$ عبارات منطقی هستند، نیز خواهد بود. معادله منطقی.

بیایید نمونه هایی از حل معادلات گویا را بررسی کنیم.

مثال 1.
معادله را حل کنید: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

راه حل.
بیایید تمام عبارات را به سمت چپ منتقل کنیم: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
اگر سمت چپ معادله با اعداد معمولی نمایش داده می شد، آنگاه دو کسر را به یک مخرج مشترک کاهش می دادیم.
بیایید این کار را انجام دهیم: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
معادله را بدست آوردیم: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

کسری برابر با صفر است اگر و تنها در صورتی که صورت کسری صفر و مخرج آن غیر صفر باشد. سپس به طور جداگانه عدد را با صفر برابر می کنیم و ریشه های صورت را پیدا می کنیم.
$3(x^2+2x-3)=0$ یا $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
حال بیایید مخرج کسر را بررسی کنیم: $(x-3)*x≠0$.
حاصل ضرب دو عدد برابر با صفر است که حداقل یکی از این اعداد برابر با صفر باشد. سپس: $x≠0$ یا $x-3≠0$.
$x≠0$ یا $x≠3$.
ریشه های بدست آمده در صورت و مخرج بر هم منطبق نیستند. بنابراین هر دو ریشه صورت را در پاسخ می نویسیم.
پاسخ: $x=1$ یا $x=-3$.

اگر ناگهان یکی از ریشه های صورت با ریشه مخرج منطبق شود، باید حذف شود. به چنین ریشه هایی می گویند بیگانه!

الگوریتم حل معادلات منطقی:

1. تمام عبارات موجود در معادله را به سمت چپ علامت مساوی منتقل کنید.
2. این قسمت از معادله را به کسر جبری: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. عدد حاصل را با صفر برابر کنید، یعنی معادله $p(x)=0$ را حل کنید.
4. مخرج را با صفر برابر کنید و معادله حاصل را حل کنید. اگر ریشه های مخرج با ریشه های صورت منطبق باشد، باید آنها را از پاسخ حذف کرد.

مثال 2.
معادله را حل کنید: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

راه حل.
بیایید با توجه به نقاط الگوریتم حل کنیم.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)(x -1)(x+1))=$$=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. عدد را با صفر برابر کنید: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1) (3)؛ 1 دلار.
4. مخرج را برابر با صفر کنید:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ و $x=-1$.
یکی از ریشه های $x=1$ منطبق بر ریشه صورتگر است، سپس آن را در پاسخ نمی نویسیم.
پاسخ: $x=-1$.

حل معادلات منطقی با استفاده از روش تغییر متغیرها راحت است. بیایید این را نشان دهیم.

مثال 3.
معادله را حل کنید: $x^4+12x^2-64=0$.

راه حل.
بیایید جایگزین را معرفی کنیم: $t=x^2$.
سپس معادله ما به شکل زیر در می آید:
$t^2+12t-64=0$ - معادله درجه دوم معمولی.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 دلار
بیایید جایگزینی معکوس را معرفی کنیم: $x^2=4$ یا $x^2=-16$.
ریشه های معادله اول یک جفت اعداد $x=±2$ هستند. مورد دوم این است که ریشه ندارد.
پاسخ: $x=±2$.

مثال 4.
معادله را حل کنید: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
راه حل.
بیایید یک متغیر جدید معرفی کنیم: $t=x^2+x+1$.
سپس معادله به شکل $t=\frac(15)(t+2)$ خواهد بود.
در ادامه طبق الگوریتم پیش می رویم.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 دلار
4. $t≠-2$ - ریشه ها منطبق نیستند.
بیایید یک جایگزین معکوس را معرفی کنیم.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
بیایید هر معادله را جداگانه حل کنیم:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - خیر ریشه ها
و معادله دوم: $x^2+x-2=0$.
ریشه های این معادله اعداد $x=-2$ و $x=1$ خواهند بود.
پاسخ: $x=-2$ و $x=1$.

مثال 5.
معادله را حل کنید: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

راه حل.
بیایید جایگزین را معرفی کنیم: $t=x+\frac(1)(x)$.
سپس:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ یا $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
معادله را بدست آوردیم: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
ریشه های این معادله جفت هستند:
$t=-3$ و $t=2$.
بیایید جایگزینی معکوس را معرفی کنیم:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
ما جداگانه تصمیم می گیریم
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
بیایید معادله دوم را حل کنیم:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
ریشه این معادله عدد $x=1$ است.
پاسخ: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$، $x=1$.

مشکلاتی که باید به طور مستقل حل شوند

حل معادلات:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

معادلات کسری ODZ.

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

ما به تسلط بر معادلات ادامه می دهیم. ما قبلاً می دانیم که چگونه با معادلات خطی و درجه دوم کار کنیم. آخرین نمای باقی مانده - معادلات کسری. یا به آنها بسیار محترمانه تر نیز گفته می شود - معادلات گویا کسری. این همان است.

معادلات کسری

همانطور که از نام آن پیداست، این معادلات لزوماً شامل کسری هستند. اما نه فقط کسری، بلکه کسری که دارد مجهول در مخرج. حداقل در یکی. مثلا:

به شما یادآوری کنم که اگر مخرج ها فقط باشند شماره، این معادلات خطی هستند.

نحوه تصمیم گیری معادلات کسری? اول از همه، از شر کسرها خلاص شوید! پس از این، معادله اغلب به خطی یا درجه دوم تبدیل می شود. و سپس می دانیم چه باید بکنیم... در برخی موارد می تواند به یک هویت تبدیل شود، مانند 5=5 یا یک عبارت نادرست، مانند 7=2. اما این به ندرت اتفاق می افتد. در زیر به این موضوع اشاره خواهم کرد.

اما چگونه می توان از شر کسری خلاص شد!؟ بسیار ساده. اعمال همان تبدیل های یکسان.

باید کل معادله را در همان عبارت ضرب کنیم. به طوری که همه مخرج ها کاهش می یابد! همه چیز بلافاصله آسان تر خواهد شد. بگذارید با یک مثال توضیح دهم. اجازه دهید معادله را حل کنیم:

در دبستان چگونه آموزش می دیدید؟ ما همه چیز را به یک طرف منتقل می کنیم، آن را به یک مخرج مشترک می آوریم و غیره. مثل یک رویای بد فراموشش کن! این همان کاری است که هنگام جمع یا تفریق کسرها باید انجام دهید. یا با نابرابری ها کار می کنید. و در معادلات، ما بلافاصله هر دو طرف را در یک عبارت ضرب می کنیم که به ما فرصت می دهد همه مخرج ها را کاهش دهیم (یعنی در اصل با یک مخرج مشترک). و این بیان چیست؟

در سمت چپ، برای کاهش مخرج نیاز به ضرب در x+2. و در سمت راست ضرب در 2 مورد نیاز است یعنی معادله باید در ضرب شود 2 (x+2). تکثیر کردن:

این یک ضرب معمولی کسری است، اما من آن را با جزئیات شرح می دهم:

لطفا توجه داشته باشید که من هنوز براکت را باز نمی کنم (x + 2)! بنابراین، به طور کامل آن را می نویسم:

در سمت چپ کاملا منقبض می شود (x+2)و در سمت راست 2. چیزی که لازم بود! پس از کاهش می گیریم خطیمعادله:

و همه می توانند این معادله را حل کنند! x = 2.

بیایید مثال دیگری را حل کنیم، کمی پیچیده تر:

اگر به یاد داشته باشیم که 3 = 3/1، و 2x = 2x/ 1، می توانیم بنویسیم:

و دوباره از چیزهایی که واقعاً دوست نداریم خلاص می شویم - کسری.

می بینیم که برای کاهش مخرج با X، باید کسر را در ضرب کنیم (x - 2). و چند مورد مانعی برای ما نیستند. خوب بیایید ضرب کنیم. همهسمت چپ و همهسمت راست:

دوباره پرانتز (x - 2)من فاش نمی کنم. من با کل براکت طوری کار می کنم که انگار یک عدد است! این باید همیشه انجام شود، در غیر این صورت چیزی کاهش نمی یابد.

با احساس رضایت عمیق کاهش می دهیم (x - 2)و معادله ای بدون کسری با خط کش می گیریم!

حالا بیایید پرانتزها را باز کنیم:

موارد مشابه را می آوریم، همه چیز را به سمت چپ منتقل می کنیم و می گیریم:

اما قبل از آن ما حل مشکلات دیگر را یاد خواهیم گرفت. بر اساس علاقه اتفاقاً این یک چنگک است!

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

بیایید به صحبت کردن ادامه دهیم حل معادلات. در این مقاله به جزئیات در مورد آن خواهیم پرداخت معادلات منطقیو اصول حل معادلات گویا با یک متغیر. ابتدا بیایید بفهمیم که چه نوع معادلاتی را گویا می نامند، از کل معادلات گویا و کسری تعریف کنیم و مثال هایی بزنیم. در ادامه الگوریتم هایی برای حل معادلات گویا به دست می آوریم و البته راه حل هایی برای مثال های معمولی با تمام توضیحات لازم در نظر می گیریم.

پیمایش صفحه.

بر اساس تعاریف بیان شده، چندین مثال از معادلات گویا را بیان می کنیم. برای مثال، x=1، 2·x−12·x 2·y·z 3 =0، همه معادلات گویا هستند.

از مثال های نشان داده شده مشخص می شود که معادلات گویا و همچنین معادلات انواع دیگر می توانند با یک متغیر یا با دو، سه و غیره باشند. متغیرها در پاراگراف های بعدی در مورد حل معادلات گویا با یک متغیر صحبت خواهیم کرد. حل معادلات در دو متغیرو تعداد زیاد آنها شایسته توجه ویژه است.

معادلات گویا علاوه بر تقسیم بر تعداد متغیرهای مجهول، به عدد صحیح و کسری نیز تقسیم می شوند. اجازه دهید تعاریف مربوطه را ارائه دهیم.

تعریف.

معادله منطقی نامیده می شود کل، اگر هر دو سمت چپ و راست آن عبارت های منطقی صحیح باشند.

تعریف.

اگر حداقل یکی از اجزای یک معادله گویا یک عبارت کسری باشد، چنین معادله ای نامیده می شود. کسری منطقی(یا عقلی کسری).

واضح است که معادلات کل شامل تقسیم بر متغیر نیستند، برعکس، معادلات گویا کسری لزوماً شامل تقسیم بر متغیر (یا متغیر در مخرج) هستند. پس 3 x+2=0 و (x+y)·(3·x 2-1)+x=-y+0.5- اینها معادلات کل عقلی هستند، هر دو قسمت آنها عبارت های کل هستند. A و x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 نمونه هایی از معادلات گویا کسری هستند.

در پایان به این نکته توجه کنیم که معادلات خطی و معادلات درجه دوم شناخته شده در این نقطه، معادلات کامل عقلی هستند.

حل معادلات کل

یکی از رویکردهای اصلی برای حل کل معادلات، کاهش آنها به معادلات است معادلات جبری. همیشه می توان این کار را با انجام تبدیل های معادل زیر در معادله انجام داد:

• ابتدا عبارت از سمت راست معادله عدد صحیح اصلی با علامت مخالف به سمت چپ منتقل می شود تا صفر در سمت راست به دست آید.
• پس از این، در سمت چپ معادله فرم استاندارد به دست آمده است.

نتیجه یک معادله جبری است که معادل معادله عدد صحیح اصلی است. بنابراین، در ساده ترین موارد، حل کل معادلات به حل معادلات خطی یا درجه دوم، و در حالت کلی، به حل معادله جبری درجه n کاهش می یابد. برای وضوح، بیایید به راه حل مثال نگاه کنیم.

مثال.

ریشه های کل معادله را پیدا کنید 3·(x+1)·(x-3)=x·(2·x-1)-3.

راه حل.

اجازه دهید حل کل این معادله را به حل یک معادله جبری معادل تقلیل دهیم. برای این کار ابتدا عبارت را از سمت راست به چپ منتقل می کنیم و در نتیجه به معادله می رسیم. 3·(x+1)·(x-3)-x·(2·x-1)+3=0. و ثانیاً عبارت تشکیل شده در سمت چپ را با تکمیل موارد لازم به یک چند جمله ای استاندارد تبدیل می کنیم: 3·(x+1)·(x-3)-x·(2·x-1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2-9 x+3 x-9-2 x 2 +x+3=x 2-5 x-6. بنابراین، حل معادله اعداد صحیح اصلی به حل معادله درجه دوم x 2-5·x-6=0 کاهش می یابد.

تفکیک آن را محاسبه می کنیم D=(-5) 2-4·1·(-6)=25+24=49، مثبت است، به این معنی که معادله دارای دو ریشه واقعی است که با استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم آنها را پیدا می کنیم:

برای اطمینان کامل، بیایید این کار را انجام دهیم بررسی ریشه های یافت شده معادله. ابتدا ریشه 6 را بررسی می کنیم، آن را به جای متغیر x در معادله عدد صحیح اصلی جایگزین می کنیم: 3·(6+1)·(6-3)=6·(2·6-1)-3که همان 63=63 است. این یک معادله عددی معتبر است، بنابراین x=6 در واقع ریشه معادله است. اکنون ریشه −1 را بررسی می کنیم 3·(-1+1)·(-1-3)=(-1)·(2·(-1)-1)-3، از کجا، 0=0 . هنگامی که x=−1، معادله اصلی نیز به یک برابری عددی صحیح تبدیل می‌شود، بنابراین، x=−1 نیز ریشه‌ای از معادله است.

پاسخ:

6 , −1 .

در اینجا همچنین باید توجه داشت که اصطلاح "درجه کل معادله" با نمایش کل معادله در قالب یک معادله جبری همراه است. اجازه دهید تعریف مربوطه را ارائه دهیم:

تعریف.

قدرت کل معادلهدرجه یک معادله جبری معادل نامیده می شود.

طبق این تعریف، کل معادله مثال قبلی دارای درجه دوم است.

این می‌توانست پایان حل معادلات منطقی باشد، اگر نه برای یک چیز…. همانطور که مشخص است، حل معادلات جبری درجه بالاتر از دوم با مشکلات قابل توجهی همراه است و برای معادلات درجه بالاتر از چهارم هیچ فرمول ریشه کلی وجود ندارد. بنابراین، برای حل کامل معادلات سوم، چهارم و بیشتر درجات بالااغلب شما باید به روش های دیگر راه حل متوسل شوید.

در چنین مواردی، رویکردی برای حل کل معادلات عقلی بر اساس روش فاکتورسازی. در این مورد، الگوریتم زیر رعایت می شود:

• ابتدا از وجود یک صفر در سمت راست معادله اطمینان حاصل می کنند؛ برای انجام این کار، عبارت را از سمت راست کل معادله به سمت چپ منتقل می کنند.
• سپس، عبارت حاصل در سمت چپ به‌عنوان محصولی از چندین عامل ارائه می‌شود که به ما امکان می‌دهد به مجموعه‌ای از چندین معادله ساده‌تر برویم.

الگوریتم ارائه شده برای حل یک معادله کامل از طریق فاکتورسازی نیاز به توضیح دقیق با استفاده از یک مثال دارد.

مثال.

کل معادله را حل کنید (x 2-1)·(x2-10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

راه حل.

ابتدا، طبق معمول، عبارت را از سمت راست به سمت چپ معادله منتقل می کنیم، بدون اینکه تغییر علامت را فراموش کنیم، دریافت می کنیم (x2-1)·(x2-10·x+13)- 2 x (x 2 −10 x+13) = 0. در اینجا کاملاً واضح است که تبدیل سمت چپ معادله به دست آمده به یک چند جمله ای از فرم استاندارد توصیه نمی شود ، زیرا این یک معادله جبری درجه چهارم شکل را به دست می دهد. x 4 -12 x 3 +32 x 2 -16 x-13=0، که حل آن دشوار است.

از سوی دیگر، بدیهی است که در سمت چپ معادله حاصل می‌توانیم x 2 −10 x+13 را داشته باشیم و در نتیجه آن را به‌عنوان یک محصول ارائه کنیم. ما داریم (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. معادله حاصل معادل معادله کل اصلی است و به نوبه خود می توان آن را با مجموعه ای از دو معادله درجه دوم x 2 −10·x+13=0 و x 2 −2·x−1=0 جایگزین کرد. یافتن ریشه های آنها با استفاده از فرمول های ریشه شناخته شده از طریق یک تفکیک کار دشواری نیست؛ ریشه ها برابر هستند. آنها ریشه های مورد نظر معادله اصلی هستند.

پاسخ:

همچنین برای حل کل معادلات منطقی مفید است روشی برای معرفی یک متغیر جدید. در برخی موارد، به شما امکان می دهد به معادلاتی بروید که درجه آنها کمتر از درجه معادله کل اصلی است.

مثال.

ریشه های واقعی یک معادله گویا را پیدا کنید (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

راه حل.

تقلیل کل این معادله عقلی به یک معادله جبری، به بیان ملایم، ایده خوبی نیست، زیرا در این صورت به نیاز به حل معادله درجه چهارمی خواهیم رسید که ریشه های عقلی ندارد. بنابراین، شما باید به دنبال راه حل دیگری باشید.

در اینجا به راحتی می توان فهمید که می توانید یک متغیر جدید y را معرفی کنید و عبارت x 2 +3·x را با آن جایگزین کنید. این جایگزینی ما را به کل معادله (y+1) 2 +10=−2·(y−4) می رساند که پس از انتقال عبارت −2·(y−4) به سمت چپ و تبدیل بعدی عبارت در آنجا تشکیل می شود، به یک معادله درجه دوم y 2 +4·y+3=0 کاهش می یابد. ریشه های این معادله y=−1 و y=−3 به راحتی پیدا می شوند، به عنوان مثال، می توان آنها را بر اساس قضیه معکوس قضیه ویتا انتخاب کرد.

حال به سراغ قسمت دوم روش معرفی متغیر جدید یعنی انجام جایگزینی معکوس می رویم. پس از انجام تعویض معکوس، دو معادله x 2 +3 x=−1 و x 2 +3 x=−3 به دست می‌آوریم که می‌توان آن‌ها را به صورت x 2 +3 x+1=0 و x 2 +3 x+3 بازنویسی کرد. =0. با استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم، ریشه های معادله اول را پیدا می کنیم. و معادله درجه دوم ریشه واقعی ندارد، زیرا ممیز آن منفی است (D=3 2 −4·3=9−12=−3).

پاسخ:

به طور کلی، زمانی که با کل معادلات درجات بالا سر و کار داریم، همیشه باید آماده جستجوی یک روش غیر استاندارد یا یک تکنیک مصنوعی برای حل آنها باشیم.

حل معادلات گویا کسری

ابتدا، درک چگونگی حل معادلات گویا کسری به شکل مفید خواهد بود، جایی که p(x) و q(x) عبارات منطقی اعداد صحیح هستند. و سپس نشان خواهیم داد که چگونه حل معادلات دیگر کسری گویا را به حل معادلات از نوع مشخص شده کاهش دهیم.

یک رویکرد برای حل معادله بر اساس عبارت زیر است: کسری عددی u/v، که در آن v عددی غیر صفر است (در غیر این صورت با آن مواجه خواهیم شد، که تعریف نشده است)، برابر با صفر است اگر و فقط اگر عدد آن باشد. برابر با صفر است، اگر و فقط اگر u=0 است. به موجب این عبارت، حل معادله به تحقق دو شرط p(x)=0 و q(x)≠0 کاهش می یابد.

این نتیجه گیری با موارد زیر مطابقت دارد الگوریتم حل یک معادله گویا کسری. برای حل یک معادله گویا کسری از شکل، شما نیاز دارید

• حل کل معادله گویا p(x)=0 ;
• و بررسی کنید که آیا شرط q(x)≠0 برای هر ریشه یافت شده برآورده می شود، while
• اگر درست باشد، این ریشه ریشه معادله اصلی است.
• اگر ارضا نشد، این ریشه خارجی است، یعنی ریشه معادله اصلی نیست.

بیایید به مثالی از استفاده از الگوریتم اعلام شده در حل یک معادله گویا کسری نگاه کنیم.

مثال.

ریشه های معادله را بیابید.

راه حل.

این یک معادله گویا کسری است، و به شکل p(x)=3·x-2، q(x)=5·x 2-2=0 است.

با توجه به الگوریتم حل معادلات گویا کسری از این نوع، ابتدا باید معادله 3 x−2=0 را حل کنیم. این معادله خطیکه ریشه آن x=2/3 است.

باقی مانده است که این ریشه را بررسی کنید، یعنی بررسی کنید که آیا شرط 5 x 2 −2≠0 را برآورده می کند یا خیر. عدد 2/3 را به جای x در عبارت 5 x 2-2 قرار می دهیم و می گیریم. شرط برقرار است، بنابراین x=2/3 ریشه معادله اصلی است.

پاسخ:

2/3 .

شما می توانید به حل یک معادله منطقی کسری از موقعیت کمی متفاوت نزدیک شوید. این معادله معادل معادله عدد صحیح p(x)=0 در متغیر x معادله اصلی است. یعنی می توانید به این موضوع پایبند باشید الگوریتم حل یک معادله گویا کسری :

• حل معادله p(x)=0 ;
• ODZ متغیر x را پیدا کنید.
• ریشه های متعلق به منطقه مقادیر قابل قبول را بگیرید - آنها ریشه های مورد نظر معادله منطقی کسری اصلی هستند.

برای مثال بیایید با استفاده از این الگوریتم یک معادله گویا کسری را حل کنیم.

مثال.

معادله را حل کنید.

راه حل.

ابتدا معادله درجه دوم x 2 −2·x−11=0 را حل می کنیم. ریشه های آن را می توان با استفاده از فرمول ریشه برای ضریب زوج دوم محاسبه کرد D 1 =(-1) 2-1·(-11)=12، و .

در مرحله دوم، ما ODZ متغیر x را برای معادله اصلی پیدا می کنیم. این شامل تمام اعدادی است که برای آنها x 2 +3·x≠0، که همان x·(x+3)≠0 است، از آنجا x≠0، x≠−3 است.

باقی مانده است که بررسی کنیم آیا ریشه های یافت شده در مرحله اول در ODZ گنجانده شده اند یا خیر. بدیهی است که بله. بنابراین، معادله گویا کسری اصلی دو ریشه دارد.

پاسخ:

توجه داشته باشید که اگر ODZ به راحتی پیدا شود، این رویکرد سودآورتر از روش اول است، و به ویژه اگر ریشه های معادله p(x) = 0 غیرمنطقی یا منطقی باشند، به عنوان مثال، یا منطقی باشند، اما با یک عدد و عدد نسبتا بزرگ و / یا مخرج، برای مثال، 127/1101 و −31/59. این به دلیل این واقعیت است که در چنین مواردی، بررسی شرط q(x)≠0 به تلاش محاسباتی قابل توجهی نیاز دارد و حذف ریشه های خارجی با استفاده از ODZ آسان تر است.

در موارد دیگر، هنگام حل معادله، به ویژه زمانی که ریشه های معادله p(x) = 0 اعداد صحیح هستند، استفاده از الگوریتم اول از الگوریتم های داده شده سود بیشتری دارد. به این معنی که توصیه می شود به جای یافتن ODZ، بلافاصله ریشه های کل معادله p(x)=0 را پیدا کنید و سپس بررسی کنید که آیا شرط q(x)≠0 برای آنها برآورده می شود یا خیر، و سپس معادله را حل کنید. p(x)=0 در این ODZ. این به این دلیل است که در چنین مواردی معمولاً بررسی آسان تر از یافتن DZ است.

اجازه دهید راه حل دو مثال را برای نشان دادن تفاوت های ظریف مشخص شده در نظر بگیریم.

مثال.

ریشه های معادله را بیابید.

راه حل.

ابتدا بیایید ریشه های کل معادله را پیدا کنیم (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0، با استفاده از عدد کسر ساخته شده است. سمت چپ این معادله حاصلضرب و سمت راست آن صفر است، بنابراین با توجه به روش حل معادلات از طریق فاکتورگیری، این معادله معادل مجموعه ای از چهار معادله 2 x−1=0 , x−6= است. 0، x 2 −5 x+ 14=0، x+1=0. سه تا از این معادلات خطی و یکی درجه دوم است که می توانیم آنها را حل کنیم. از معادله اول x=1/2، از دومی - x=6، از سومی - x=7، x=−2، از چهارمی - x=−1 را پیدا می کنیم.

با یافتن ریشه ها، بررسی اینکه آیا مخرج کسری در سمت چپ معادله اصلی ناپدید می شود، بسیار آسان است، اما برعکس، تعیین ODZ چندان ساده نیست، زیرا برای این کار باید یک مشکل را حل کنید. معادله جبری درجه پنجم. بنابراین، ما از یافتن ODZ به نفع بررسی ریشه ها صرف نظر می کنیم. برای این کار به جای متغیر x در عبارت، آنها را یکی یکی جایگزین می کنیم x 5 -15 x 4 +57 x 3 -13 x 2 +26 x+112، پس از تعویض به دست آمده و آنها را با صفر مقایسه کنید: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3-13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(-2) 5-15·(-2) 4 +57·(-2) 3-13·(-2) 2 + 26·(-2)+112=-720≠0 ;
(-1) 5-15·(-1) 4 +57·(-1) 3-13·(-1) 2 + 26·(-1)+112=0.

بنابراین، 1/2، 6 و -2 ریشه های مورد نظر معادله گویا کسری اصلی هستند و 7 و -1 ریشه های خارجی هستند.

پاسخ:

1/2 , 6 , −2 .

مثال.

ریشه های یک معادله گویا کسری را پیدا کنید.

راه حل.

ابتدا بیایید ریشه های معادله را پیدا کنیم (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. این معادله معادل مجموعه ای از دو معادله است: مربع 5 x 2 −7 x−1=0 و خطی x−2=0. با استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم دو ریشه پیدا می کنیم و از معادله دوم x=2 داریم.

بررسی اینکه آیا مخرج در مقادیر یافت شده x به صفر می رسد بسیار ناخوشایند است. و تعیین محدوده مقادیر مجاز متغیر x در معادله اصلی بسیار ساده است. بنابراین از طریق ODZ اقدام خواهیم کرد.

در مورد ما، ODZ متغیر x معادله گویا کسری اصلی شامل همه اعدادی است به جز اعدادی که شرط x2 +5·x-14=0 برای آنها برآورده می شود. ریشه‌های این معادله درجه دوم x=−7 و x=2 هستند که از آن‌ها در مورد ODZ نتیجه‌گیری می‌کنیم: این معادله از همه x تشکیل شده است به طوری که .

باقی مانده است که بررسی کنیم آیا ریشه های یافت شده و x=2 به محدوده مقادیر قابل قبول تعلق دارند یا خیر. ریشه ها تعلق دارند، بنابراین ریشه های معادله اصلی هستند و x=2 تعلق ندارد، بنابراین یک ریشه خارجی است.

پاسخ:

همچنین مفید خواهد بود که به طور جداگانه در مواردی صحبت کنیم که در یک معادله گویا کسری شکل یک عدد در صورت وجود دارد، یعنی زمانی که p(x) با مقداری نشان داده می شود. که در آن

• اگر این عدد غیر صفر باشد، معادله هیچ ریشه ای ندارد، زیرا یک کسری برابر با صفر است اگر و فقط اگر عدد آن برابر با صفر باشد.
• اگر این عدد صفر باشد، ریشه معادله هر عددی از ODZ است.

مثال.

راه حل.

از آنجایی که شمارنده کسری در سمت چپ معادله حاوی یک عدد غیر صفر است، بنابراین برای هر x مقدار این کسر نمی تواند برابر با صفر باشد. بنابراین، این معادله ریشه ندارد.

پاسخ:

بدون ریشه

مثال.

معادله را حل کنید.

راه حل.

عدد کسری در سمت چپ این معادله گویا کسری حاوی صفر است، بنابراین مقدار این کسری برای هر x که منطقی است، صفر است. به عبارت دیگر راه حل این معادله هر مقدار x از ODZ این متغیر است.

تعیین این محدوده از مقادیر قابل قبول باقی مانده است. این شامل تمام مقادیر x است که برای آنها x 4 + 5 x 3 ≠0 است. راه حل های معادله x 4 + 5 x 3 = 0 0 و −5 هستند، زیرا این معادله معادل معادله x 3 (x+5)=0 است و به نوبه خود معادل ترکیب دو معادله x است. 3 = 0 و x +5 = 0، از جایی که این ریشه ها قابل مشاهده هستند. بنابراین، محدوده مورد نظر مقادیر قابل قبول هر x به جز x=0 و x=−5 است.

بنابراین، یک معادله گویا کسری راه حل های بی نهایت زیادی دارد که هر عددی به جز صفر و منهای پنج هستند.

پاسخ:

در نهایت، وقت آن است که در مورد حل معادلات گویا کسری به شکل دلخواه صحبت کنیم. آنها را می توان به صورت r(x)=s(x) نوشت که r(x) و s(x) عبارات گویا هستند و حداقل یکی از آنها کسری است. با نگاهی به آینده، بیایید بگوییم که راه حل آنها به حل معادلاتی از شکلی که قبلاً برای ما آشنا است، می رسد.

مشخص است که انتقال عبارت از قسمتی از معادله به قسمت دیگر با علامت مخالف منجر به معادله معادل می شود، بنابراین معادله r(x)=s(x) معادل معادله r(x)−s(x است. )=0.

ما همچنین می دانیم که هر یک، به طور یکسان با این عبارت، ممکن است. بنابراین، ما همیشه می‌توانیم عبارت منطقی سمت چپ معادله r(x)−s(x)=0 را به یک کسر منطقی یکسان از شکل تبدیل کنیم.

بنابراین از معادله گویا کسری اصلی r(x)=s(x) به معادله حرکت می کنیم و حل آن همانطور که در بالا متوجه شدیم به حل معادله p(x)=0 کاهش می یابد.

اما در اینجا لازم است این واقعیت را در نظر بگیریم که هنگام جایگزینی r(x)−s(x)=0 با و سپس با p(x)=0، دامنه مقادیر مجاز متغیر x ممکن است گسترش یابد. .

در نتیجه معادله اصلی r(x)=s(x) و معادله p(x)=0 که به آن رسیدیم ممکن است نابرابر باشند و با حل معادله p(x)=0 می‌توانیم ریشه بدست آوریم. که ریشه های خارجی معادله اصلی r(x)=s(x) خواهد بود. شما می توانید ریشه های اضافی را با انجام بررسی و یا با بررسی تعلق آنها به ODZ معادله اصلی شناسایی کنید و در پاسخ وارد نکنید.

بیایید این اطلاعات را خلاصه کنیم الگوریتم حل معادله منطقی کسری r(x)=s(x). برای حل معادله گویا کسری r(x)=s(x) نیاز دارید

• با حرکت دادن عبارت از سمت راست با علامت مخالف، صفر را در سمت راست بگیرید.
• عملیات را با کسرها و چند جمله ای ها در سمت چپ معادله انجام دهید و در نتیجه آن را به کسری گویا از فرم تبدیل کنید.
• معادله p(x)=0 را حل کنید.
• ریشه های خارجی را شناسایی و حذف کنید که با جایگزینی آنها در معادله اصلی یا بررسی تعلق آنها به ODZ معادله اصلی انجام می شود.

برای وضوح بیشتر، کل زنجیره حل معادلات گویا کسری را نشان خواهیم داد:
.

بیایید به راه‌حل‌های چندین مثال با توضیح دقیق فرآیند راه‌حل نگاه کنیم تا بلوک اطلاعات داده شده را روشن کنیم.

مثال.

یک معادله گویا کسری را حل کنید.

راه حل.

ما مطابق با الگوریتم حلی که به دست آمده عمل خواهیم کرد. و ابتدا عبارت ها را از سمت راست معادله به سمت چپ منتقل می کنیم در نتیجه به معادله می رویم.

در مرحله دوم باید عبارت منطقی کسری در سمت چپ معادله حاصل را به شکل کسری تبدیل کنیم. برای این کار، کسرهای گویا را به مخرج مشترک تقلیل می دهیم و عبارت حاصل را ساده می کنیم: . بنابراین به معادله می رسیم.

در مرحله بعد باید معادله −2·x−1=0 را حل کنیم. x=−1/2 را پیدا می کنیم.

باید بررسی کنیم که آیا عدد یافت شده 1/2 یک ریشه خارجی معادله اصلی نیست. برای این کار می توانید VA متغیر x معادله اصلی را بررسی یا پیدا کنید. بیایید هر دو رویکرد را نشان دهیم.

بیایید با بررسی شروع کنیم. عدد -1/2 را به جای متغیر x در معادله اصلی قرار می دهیم و همان چیزی را بدست می آوریم -1=-1. جایگزینی برابری عددی صحیح را به دست می دهد، بنابراین x=−1/2 ریشه معادله اصلی است.

حال نشان خواهیم داد که آخرین نقطه الگوریتم چگونه از طریق ODZ انجام می شود. محدوده مقادیر مجاز معادله اصلی مجموعه همه اعداد به جز -1 و 0 است (در x=−1 و x=0 مخرج کسرها ناپدید می شوند). ریشه x=−1/2 یافت شده در مرحله قبل متعلق به ODZ است، بنابراین، x=−1/2 ریشه معادله اصلی است.

پاسخ:

−1/2 .

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم.

مثال.

ریشه های معادله را بیابید.

راه حل.

ما باید یک معادله منطقی کسری را حل کنیم، بیایید تمام مراحل الگوریتم را طی کنیم.

ابتدا عبارت را از سمت راست به چپ منتقل می کنیم، دریافت می کنیم.

در مرحله دوم، عبارت تشکیل شده در سمت چپ را تبدیل می کنیم: . در نتیجه به معادله x=0 می رسیم.

ریشه آن واضح است - صفر است.

در مرحله چهارم، باید دریابیم که آیا ریشه یافت شده با معادله گویا کسری اصلی بیگانه است یا خیر. هنگامی که به معادله اصلی جایگزین می شود، عبارت به دست می آید. بدیهی است که منطقی نیست زیرا شامل تقسیم بر صفر است. از آنجا نتیجه می گیریم که 0 یک ریشه خارجی است. بنابراین معادله اصلی ریشه ندارد.

7 که منجر به معادله می شود. از اینجا می توان نتیجه گرفت که عبارت در مخرج سمت چپ باید برابر با سمت راست باشد، یعنی . حالا از دو طرف ثلاث کم می کنیم: . به قیاس، از کجا، و بیشتر.

بررسی نشان می دهد که هر دو ریشه یافت شده ریشه های معادله گویا کسری اصلی هستند.

پاسخ:

کتابشناسی - فهرست کتب.

• جبر:کتاب درسی برای کلاس هشتم آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2008. - 271 ص. : مریض - شابک 978-5-09-019243-9.
• موردکوویچ A.G.جبر. کلاس هشتم. در 2 ساعت. قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزش عمومی / A. G. Mordkovich. - چاپ یازدهم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. شابک 978-5-346-01155-2.
• جبر:پایه نهم: آموزشی. برای آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2009. - 271 ص. : مریض - شابک 978-5-09-021134-5.