چیزی که به آن مقدار کسری جبری می گویند. مفاهیم اساسی

وقتی دانش آموزی به دبیرستان می رود، ریاضیات به 2 درس تقسیم می شود: جبر و هندسه. مفاهیم بیشتر و بیشتر وجود دارد، وظایف دشوارتر می شوند. برخی افراد در درک کسرها مشکل دارند. اولین درس در مورد این موضوع را از دست دادم و voila. کسری؟ سوالی که در طول زندگی مدرسه عذاب خواهد داد.

مفهوم کسر جبری

بیایید با یک تعریف شروع کنیم. زیر کسر جبریعبارات P/Q درک می شوند، جایی که P صورت و Q مخرج است. یک عدد، یک عبارت عددی، یک عبارت عددی-الفبایی را می توان زیر یک ورودی الفبایی پنهان کرد.

قبل از اینکه بپرسید چگونه کسرهای جبری را حل کنید، ابتدا باید بدانید که چنین عبارتی بخشی از یک کل است.

به عنوان یک قاعده، کل 1 است. عدد در مخرج نشان می دهد که واحد به چند قسمت تقسیم شده است. برای اینکه بفهمیم چند عنصر گرفته شده است، به عددگر نیاز است. نوار کسری با علامت تقسیم مطابقت دارد. ثبت یک عبارت کسری به عنوان یک عملیات ریاضی "تقسیم" مجاز است. در این حالت، صورت تقسیم کننده است، مخرج مقسوم علیه است.

قانون اساسی برای کسرهای مشترک

وقتی دانش آموزان در مدرسه این موضوع را مرور می کنند، مثال هایی برای تقویت به آنها ارائه می شود. برای حل صحیح آنها و یافتن راه های مختلف برای خروج از موقعیت های دشوار، باید ویژگی اصلی کسرها را اعمال کنید.

به نظر می رسد: اگر صورت و مخرج را در یک عدد یا عبارت (غیر از صفر) ضرب کنید، مقدار یک کسر معمولی تغییر نمی کند. مورد خاص این قانون تقسیم هر دو قسمت عبارت به یک عدد یا چند جمله ای است. این گونه تبدیل ها برابری های یکسان نامیده می شوند.

در زیر نحوه حل جمع و تفریق کسرهای جبری، برای انجام ضرب، تقسیم و کاهش کسرها را بررسی خواهیم کرد.

عملیات ریاضی با کسر

نحوه حل ویژگی اصلی کسری جبری، نحوه اعمال آن در عمل را در نظر بگیرید. اگر نیاز دارید دو کسر را ضرب کنید، آنها را جمع کنید، یکی را بر دیگری تقسیم کنید یا از آن کم کنید، همیشه باید قوانین را دنبال کنید.

پس برای عمل جمع و تفریق باید یک عامل اضافی پیدا کرد تا عبارات به یک مخرج مشترک برسند. اگر در ابتدا کسرها با عبارات یکسان Q داده می شوند، باید این مورد را حذف کنید. وقتی یک مخرج مشترک پیدا می شود، چگونه کسرهای جبری را حل کنیم؟ اعداد را جمع یا تفریق کنید. ولی! باید به خاطر داشت که اگر علامت "-" در جلوی کسری وجود داشته باشد، همه علائم در عدد برعکس می شوند. گاهی اوقات نباید هیچ گونه تعویض و عملیات ریاضی انجام داد. کافی است علامت جلوی کسر را تغییر دهید.

این اصطلاح اغلب به عنوان استفاده می شود کاهش کسری. این به این معنی است: اگر صورت و مخرج با عبارتی غیر از واحد (برای هر دو قسمت یکسان) تقسیم شوند، کسری جدید به دست می آید. سود تقسیمی و مقسوم علیه نسبت به قبل کوچکتر هستند، اما به دلیل قاعده اساسی کسری، برابر با مثال اصلی باقی می مانند.

هدف از این عملیات به دست آوردن یک عبارت تقلیل ناپذیر جدید است. این مشکل را می توان با کاهش صورت و مخرج توسط بزرگترین مقسوم علیه مشترک حل کرد. الگوریتم عملیات شامل دو نقطه است:

1. یافتن GCD برای هر دو بخش کسری.
2. تقسیم صورت و مخرج بر عبارت پیدا شده و به دست آوردن کسری غیر قابل تقلیل برابر با قبلی.

جدول زیر فرمول ها را نشان می دهد. برای راحتی، می توانید آن را پرینت بگیرید و در دفترچه یادداشت با خود حمل کنید. با این حال، برای اینکه در آینده هنگام حل یک تست یا امتحان، مشکلی در نحوه حل کسرهای جبری وجود نداشته باشد، این فرمول ها را باید از روی قلب یاد گرفت.

چند مثال همراه با راه حل

از منظر نظری، این سوال در مورد چگونگی حل کسرهای جبری مطرح است. مثال های ارائه شده در مقاله به شما در درک بهتر مطالب کمک می کند.

1. کسرها را تبدیل کنید و به یک مخرج مشترک بیاورید.

2. کسرها را تبدیل کنید و به یک مخرج مشترک بیاورید.

پس از مطالعه قسمت تئوری و در نظر گرفتن موارد عملی دیگر نباید سوالی مطرح شود.

این درس مفهوم کسری جبری را مورد بحث قرار می دهد. یک فرد در ساده ترین موقعیت های زندگی با کسری مواجه می شود: زمانی که لازم است یک شی را به چند قسمت تقسیم کنیم، مثلاً یک کیک را به طور مساوی برای ده نفر برش دهیم. بدیهی است که همه یک تکه از کیک را دریافت خواهند کرد. در این حالت با مفهوم کسر عددی روبرو هستیم، اما موقعیتی ممکن است زمانی که یک جسم به تعداد نامعلومی از قطعات مثلاً توسط x تقسیم شود. در این صورت مفهوم عبارت کسری مطرح می شود. شما قبلاً با عبارات عدد صحیح (که شامل تقسیم به عبارات دارای متغیر نیستند) و ویژگی های آنها در درجه 7 ملاقات کرده اید. در مرحله بعد، مفهوم کسری گویا و همچنین مقادیر مجاز متغیرها را در نظر خواهیم گرفت.

موضوع:کسرهای جبری عملیات حسابی بر روی کسرهای جبری

درس:مفاهیم اساسی

1. تعریف و مثالهای کسرهای جبری

عبارات عقلی به دو دسته تقسیم می شوند عبارات عدد صحیح و کسری.

تعریف. کسر گویایک عبارت کسری از شکل است که در آن چند جمله ای ها هستند. - مخرج صورت.

مثال ها عبارات منطقی:- عبارات کسری؛ عبارت های عدد صحیح هستند در عبارت اول، برای مثال، صورت، و مخرج آن است.

معنی کسر جبری، مانند هر عبارت جبری، بستگی به مقدار عددی متغیرهایی دارد که در آن گنجانده شده است. به طور خاص، در مثال اول مقدار کسری به مقادیر متغیرها و و در مثال دوم فقط به مقدار متغیر بستگی دارد.

2. محاسبه مقدار کسری جبری و دو مسئله اساسی روی کسرها

اولین کار معمولی را در نظر بگیرید: محاسبه مقدار کسر گویادر ارزش های مختلفمتغیرهای موجود در آن

مثال 1. مقدار کسری را برای a)، b)، c) محاسبه کنید.

تصمیم. مقادیر متغیرها را در کسر مشخص شده جایگزین کنید: a)، b)، c) - وجود ندارد (زیرا نمی توانید بر صفر تقسیم کنید).

پاسخ: 3; یک وجود ندارد.

همانطور که می بینیم، دو وجود دارد وظایف معمولیبرای هر کسری: 1) محاسبه کسری، 2) یافتن مقادیر معتبر و نامعتبرمتغیرهای تحت اللفظی

تعریف. مقادیر متغیر معتبرمقادیر متغیرهایی هستند که عبارت برای آنها معنی دارد. مجموعه تمام مقادیر مجاز متغیرها نامیده می شود ODZیا دامنه.

3. مقادیر مجاز (ODZ) و نامعتبر متغیرها در کسری با یک متغیر

اگر مخرج کسری برای این مقادیر صفر باشد، مقدار متغیرهای تحت اللفظی ممکن است نامعتبر باشد. در تمام موارد دیگر، مقادیر متغیرها معتبر هستند، زیرا کسری را می توان محاسبه کرد.

مثال 2. تعیین کنید کسر در چه مقادیری از متغیر معنی ندارد.

تصمیم. برای اینکه این عبارت معنی پیدا کند کافی و لازم است که مخرج کسر برابر با صفر نباشد. بنابراین، تنها مقادیری از متغیر که مخرج آن برابر با صفر خواهد بود، نامعتبر خواهد بود. مخرج کسر، پس معادله خطی را حل می کنیم:

بنابراین، برای مقدار متغیر، کسری معنا ندارد.

از حل مثال، قانون یافتن مقادیر نامعتبر متغیرها به شرح زیر است - مخرج کسری برابر با صفر است و ریشه های معادله مربوطه پیدا می شود.

بیایید به چند نمونه مشابه نگاه کنیم.

مثال 3. تعیین کنید که کسر در چه مقادیری از متغیر معنی ندارد.

تصمیم. .

پاسخ. .

مثال 4. تعیین کنید کسر در چه مقادیری از متغیر معنی ندارد.

تصمیم..

فرمول های دیگری از این مشکل وجود دارد - برای پیدا کردن دامنهیا محدوده مقادیر بیان معتبر (ODZ). این بدان معنی است - تمام مقادیر معتبر متغیرها را پیدا کنید. در مثال ما، اینها همه مقادیر هستند به جز . دامنه تعریف به راحتی بر روی محور عددی به تصویر کشیده شده است.

برای انجام این کار، همانطور که در شکل نشان داده شده است، یک نقطه از آن را برش می دهیم:

بدین ترتیب، دامنه کسریهمه اعداد به جز 3 خواهند بود.

پاسخ..

مثال 5. تعیین کنید که کسری در چه مقادیری از متغیر معنی ندارد.

تصمیم..

بیایید راه حل حاصل را روی محور عددی به تصویر بکشیم:

پاسخ..

4. نمایش گرافیکی مساحت مجاز (ODZ) و مقادیر نامعتبر متغیرها در کسری

مثال 6. تعیین کنید که کسری در چه مقادیری از متغیرها معنی ندارد.

راه حل.. برابری دو متغیر را به دست آورده ایم، مثال های عددی می زنیم: یا و غیره.

بیایید این راه حل را بر روی نموداری در سیستم مختصات دکارتی رسم کنیم:

برنج. 3. نمودار یک تابع.

مختصات هر نقطه ای که در این نمودار قرار دارد در ناحیه مقادیر مجاز کسر گنجانده نشده است.

پاسخ. .

5. حالتی مانند «تقسیم بر صفر»

در مثال های در نظر گرفته شده با وضعیتی مواجه بودیم که تقسیم بر صفر اتفاق افتاد. حال موردی را در نظر بگیرید که بیشتر وجود دارد موقعیت جالببا نوع تقسیم .

مثال 7. تعیین کنید که کسر در چه مقادیری از متغیرها معنی ندارد.

تصمیم..

معلوم می شود که کسر معنی ندارد وقتی . اما می توان ادعا کرد که اینطور نیست، زیرا: .

ممکن است به نظر برسد که اگر عبارت نهایی برابر با 8 باشد، می توان عبارت اصلی را نیز محاسبه کرد، و بنابراین، برای . با این حال، اگر آن را به عبارت اصلی جایگزین کنیم، دریافت می کنیم - معنی ندارد.

پاسخ..

برای درک بیشتر این مثال، مشکل زیر را حل می کنیم: برای چه مقادیری کسری نشان داده شده برابر با صفر است؟

(کسری وقتی صفر است که عدد آن صفر باشد) . اما لازم است معادله اصلی را با کسری حل کنیم و برای کسری معنا ندارد، زیرا با این مقدار متغیر، مخرج صفر است. پس این معادله فقط یک ریشه دارد.

6. قانون برای یافتن ODZ

بنابراین، می توانیم قاعده دقیقی را برای یافتن محدوده مقادیر مجاز یک کسری فرموله کنیم: پیدا کردن ODZکسریکافی و لازم است که مخرج آن را برابر با صفر کرده و ریشه معادله حاصل را بیابیم.

ما دو وظیفه اصلی را در نظر گرفته ایم: محاسبه مقدار کسریبرای مقادیر مشخص شده متغیرها و یافتن مساحت مقادیر قابل قبول کسری.

بیایید اکنون چند مشکل دیگر را که ممکن است هنگام کار با کسرها ایجاد شود، در نظر بگیریم.

7. وظایف متفرقه و نتیجه گیری

مثال 8. ثابت کنید که برای هر مقدار از متغیر، کسر .

اثبات شمارنده یک عدد مثبت است. . در نتیجه، صورت و مخرج هر دو اعداد مثبت هستند، بنابراین، کسر نیز یک عدد مثبت است.

اثبات شده است.

مثال 9. معلوم است که، پیدا کنید.

تصمیم. بیایید کسری را به عبارت تقسیم کنیم. ما حق داریم با در نظر گرفتن مقدار نامعتبر متغیر برای این کسر، کاهش دهیم.

پاسخ..

در این درس به مفاهیم اولیه مربوط به کسرها پرداختیم. در درس بعدی به بررسی خواهیم پرداخت ویژگی اصلی کسری.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. باشماکوف M. I. جبر درجه 8. - م.: روشنگری، 2004.

2. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. و همکاران جبر 8. - ویرایش پنجم. - م.: آموزش و پرورش، 2010.

3. Nikolsky S. M.، Potapov M. A.، Reshetnikov N. N.، Shevkin A. V. جبر کلاس هشتم. کتاب درسی برای مؤسسات آموزشی. - م.: آموزش و پرورش، 1385.

1. جشنواره ایده های تربیتی.

2. مدرسه قدیمی.

3. پورتال اینترنتی lib2.podelise. ru.

مشق شب

1. شماره 4، 7، 9، 12، 13، 14. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. et al. جبر 8. - ویرایش پنجم. - م.: آموزش و پرورش، 2010.

2. کسری گویا را بنویسید که دامنه آن عبارت است از: الف) یک مجموعه، ب) یک مجموعه، ج) کل محور عددی.

3. ثابت کنید که برای همه مقادیر مجاز متغیر، مقدار کسر غیر منفی است.

4. دامنه عبارت را بیابید. نکته: دو حالت را جداگانه در نظر بگیرید: زمانی که مخرج کسر پایین برابر با صفر باشد و زمانی که مخرج کسر اصلی برابر با صفر باشد.

در بند 42 گفته شد که اگر تقسیم چندجمله‌ای را نتوان به طور کامل انجام داد، ضریب به صورت یک عبارت کسری نوشته می‌شود که در آن تقسیم‌کننده صورت و مقسوم‌کننده مخرج است.

نمونه هایی از عبارات کسری:

صورت و مخرج یک عبارت کسری می تواند خود عبارات کسری باشد، به عنوان مثال:

از عبارات جبری کسری، اغلب باید با عباراتی که در آنها صورت و مخرج چند جمله ای هستند (به ویژه تک جمله ها) سروکار داشته باشیم. به هر عبارتی کسر جبری می گویند.

تعریف. به عبارت جبری که کسری است که صورت و مخرج آن چند جمله ای باشد، کسری جبری می گویند.

همانطور که در حساب، صورت و مخرج کسری جبری را اصطلاحات کسر می نامند.

در آینده، با مطالعه اعمال بر روی کسرهای جبری، می توانیم هر عبارت کسری را با کمک تبدیل های یکسان به کسری جبری تبدیل کنیم.

نمونه هایی از کسرهای جبری:

توجه داشته باشید که کل عبارت، یعنی چند جمله ای را می توان به صورت کسری نوشت، برای این کار کافی است این عبارت را در صورت، و 1 را در مخرج بنویسید.

2. مقادیر حروف معتبر.

حروفی که فقط در شماره‌گذار گنجانده شده‌اند، می‌توانند هر مقداری را داشته باشند (اگر محدودیت‌های اضافی با توجه به شرط مشکل ایجاد نشود).

برای حروف موجود در مخرج، فقط مقادیری معتبر هستند که مخرج را به صفر تبدیل نمی کنند. بنابراین، در موارد زیر همیشه فرض می کنیم که مخرج کسری جبری برابر با صفر نیست.