Determine qué línea en el plano está dada por la ecuación. Ecuación de una recta, tipos de ecuación de una recta en un plano
Considere la función dada por la fórmula (ecuación)
Esta función, y por tanto la ecuación (11), corresponde en el plano a una línea bien definida, que es la gráfica de esta función (ver Fig. 20). De la definición de la función gráfica se sigue que esta línea consta de aquellos y sólo aquellos puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación (11).
deja ahora
La recta, que es la gráfica de esta función, consta de aquellos y sólo aquellos puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación (12). Esto significa que si un punto se encuentra en la línea especificada, sus coordenadas satisfacen la ecuación (12). Si el punto no se encuentra en esta línea, entonces sus coordenadas no satisfacen la ecuación (12).
La ecuación (12) se resuelve con respecto a y. Considere una ecuación que contiene x e y que no se resuelve con respecto a y, como la ecuación
Demostremos que una línea corresponde a esta ecuación en el plano, es decir, un círculo centrado en el origen de coordenadas y con un radio igual a 2. Reescribamos la ecuación en la forma
Su lado izquierdo es el cuadrado de la distancia del punto al origen (ver § 2, ítem 2, fórmula 3). De la igualdad (14) se sigue que el cuadrado de esta distancia es 4.
Esto significa que cualquier punto cuyas coordenadas satisfagan la ecuación (14), y por lo tanto la ecuación (13), está ubicado a una distancia de 2 del origen.
El lugar geométrico de dichos puntos es una circunferencia con centro en el origen y radio 2. Esta circunferencia será la recta correspondiente a la ecuación (13). Las coordenadas de cualquiera de sus puntos obviamente satisfacen la ecuación (13). Si el punto no se encuentra en el círculo que encontramos, entonces el cuadrado de su distancia desde el origen será mayor o menor que 4, lo que significa que las coordenadas de dicho punto no satisfacen la ecuación (13).
Sea ahora, en el caso general, dada la ecuación
en el lado izquierdo del cual hay una expresión que contiene x e y.
Definición. La línea definida por la ecuación (15) es el lugar geométrico de los puntos en el plano cuyas coordenadas satisfacen esta ecuación.
Esto significa que si la línea L está determinada por la ecuación, entonces las coordenadas de cualquier punto de L satisfacen esta ecuación y las coordenadas de cualquier punto del plano que se encuentra fuera de L no satisfacen la ecuación (15).
La ecuación (15) se llama la ecuación de línea
Comentario. No se debe pensar que cualquier ecuación define cualquier línea. Por ejemplo, la ecuación no define ninguna línea. De hecho, para cualquier valor real de e y, el lado izquierdo de esta ecuación es positivo y el lado derecho es igual a cero, y por lo tanto, esta ecuación no puede satisfacer las coordenadas de ningún punto en el plano.
Una línea puede definirse en un plano no solo por una ecuación que contiene coordenadas cartesianas, sino también por una ecuación en coordenadas polares. La línea definida por la ecuación en coordenadas polares es el lugar geométrico de los puntos en el plano cuyas coordenadas polares satisfacen esta ecuación.
Ejemplo 1. Construye la espiral de Arquímedes en .
Solución. Hagamos una tabla para algunos valores del ángulo polar y los valores correspondientes del radio polar.
Construimos un punto en el sistema de coordenadas polares, que, obviamente, coincide con el polo; luego, dibujando el eje en un ángulo con el eje polar, construimos un punto con una coordenada positiva en este eje; después de eso, construimos de manera similar puntos con valores positivos del ángulo polar y el radio polar (los ejes para estos puntos no se indican en la Fig. 30).
Como es sabido, cualquier punto del plano está determinado por dos coordenadas en algún sistema de coordenadas. Los sistemas de coordenadas pueden ser diferentes dependiendo de la elección de la base y el origen.
Definición: La ecuación de una recta es la relación y = f(x) entre las coordenadas de los puntos que forman dicha recta.
Tenga en cuenta que la ecuación de la línea se puede expresar de forma paramétrica, es decir, cada coordenada de cada punto se expresa a través de algún parámetro independiente t. Un ejemplo típico es la trayectoria de un punto en movimiento. En este caso, el tiempo juega el papel de un parámetro.
Diferentes tipos de ecuación de una línea recta.
Ecuación general de una recta.
Cualquier recta en el plano puede estar dada por una ecuación de primer orden
Ah + Wu + C = 0,
además, las constantes A, B no son iguales a cero al mismo tiempo, es decir A 2 + B 2 ¹ 0. Esta ecuación de primer orden se llama ecuación general de la línea recta .
Dependiendo de los valores constante A, B y C, son posibles los siguientes casos especiales:
C \u003d 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - la línea pasa por el origen
A \u003d 0, B ¹ 0, C ¹ 0 ( By + C \u003d 0) - la línea es paralela al eje Ox
B \u003d 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C \u003d 0) - la línea es paralela al eje Oy
B \u003d C \u003d 0, A ¹ 0 - la línea recta coincide con el eje Oy
A \u003d C \u003d 0, B ¹ 0 - la línea recta coincide con el eje Ox
La ecuación de una línea recta se puede representar en diversas formas dependiendo de las condiciones iniciales dadas.
Ecuación de una recta que pasa por dos puntos.
Sean dos puntos M 1 (x 1, y 1, z 1) y M 2 (x 2, y 2, z 2) dados en el espacio, luego la ecuación de una recta que pasa por estos puntos:
Si alguno de los denominadores es igual a cero, el numerador correspondiente debe ser igual a cero. En un plano, la ecuación de una línea recta escrita arriba se simplifica:
si x 1 ¹ x 2 y x \u003d x 1, si x 1 \u003d x 2.
La fracción = k se llama pendiente de la recta.
Ecuación de una recta por un punto y una pendiente.
Si la ecuación general de la recta Ax + Vy + C = 0 lleva a la forma:
y denotamos , entonces la ecuación resultante se llama ecuación de una línea recta con pendiente k.
Ecuación de una recta en segmentos.
Si en la ecuación general de la línea recta Ah + Vu + С = 0 С ¹ 0, entonces, dividiendo por –С, obtenemos: o
El significado geométrico de los coeficientes es que el coeficiente a es la coordenada del punto de intersección de la recta con el eje x, y b- la coordenada del punto de intersección de la recta con el eje Oy.
Ecuación normal de una recta.
Si ambas partes de la ecuación Ax + Vy + C = 0 se dividen por el número , que se llama factor de normalización, entonces obtenemos
xcosj + ysenj - p = 0 –
Ecuación normal de una recta.
El signo ± del factor de normalización debe elegirse de modo que m × С< 0.
p es la longitud de la perpendicular que cae desde el origen hasta la recta, y j es el ángulo que forma esta perpendicular con la dirección positiva del eje Ox.
Ángulo entre rectas en un plano.
Si se dan dos líneas y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , entonces el ángulo agudo entre estas líneas se definirá como
Dos rectas son paralelas si k 1 = k 2 .
Dos rectas son perpendiculares si k 1 = -1/k 2 .
Teorema. Las líneas rectas Ax + Vy + C \u003d 0 y A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 son paralelas cuando los coeficientes A 1 \u003d lA, B 1 \u003d lB son proporcionales. Si también C 1 = lC, entonces las líneas coinciden.
Las coordenadas del punto de intersección de dos rectas se encuentran como solución a un sistema de dos ecuaciones.
La distancia de un punto a una recta.
Teorema. Si se da un punto M(x 0, y 0), entonces la distancia a la línea Ax + Vy + C \u003d 0 se define como
Conferencia 5
Introducción al análisis. Cálculo diferencial de una función de una variable.
LÍMITE DE FUNCIÓN
Límite de una función en un punto.
0 a - D a a + D x
Figura 1. Límite de una función en un punto.
Deje que la función f(x) se defina en alguna vecindad del punto x = a (es decir, en el mismo punto x = a, la función puede no estar definida)
Definición. El número A se llama límite de la función f(x) para x®a si para cualquier e>0 existe un número D>0 tal que para todo x tal que
0 < ïx - aï < D
la desigualdad ïf(x) - Aï< e.
La misma definición se puede escribir de otra forma:
Si una - D< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.
Escribiendo el límite de una función en un punto:
Definición.
Si f(x) ® A 1 para x ® a sólo para x< a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A 2 при х ® а только при x >a, entonces se llama límite de la función f(x) en el punto x = a de la derecha.
La definición anterior se refiere al caso en que la función f(x) no está definida en el punto x = a en sí misma, sino que está definida en una vecindad arbitrariamente pequeña de este punto.
Los límites A 1 y A 2 también se denominan unilateral fuera de la función f(x) en el punto x = a. También se dice que A. límite de función f(x).
Ecuación de una recta en un plano.
Como es sabido, cualquier punto del plano está determinado por dos coordenadas en algún sistema de coordenadas. Los sistemas de coordenadas pueden ser diferentes dependiendo de la elección de la base y el origen.
Definición. Ecuación de línea se llama la relación y=f(x ) entre las coordenadas de los puntos que forman esta recta.
Tenga en cuenta que la ecuación de la línea se puede expresar de forma paramétrica, es decir, cada coordenada de cada punto se expresa a través de algún parámetro independientet.
Un ejemplo típico es la trayectoria de un punto en movimiento. En este caso, el tiempo juega el papel de un parámetro.
Ecuación de una recta sobre un plano.
Definición. Cualquier recta en el plano puede estar dada por una ecuación de primer orden
Ah + Wu + C = 0,
además, las constantes A, B no son iguales a cero al mismo tiempo, es decir A 2 + B 2¹ 0. Esta ecuación de primer orden se llama la ecuación general de una recta.
Dependiendo de los valores de las constantes A, B y C, son posibles los siguientes casos especiales:
C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - la recta pasa por el origen
A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 ( Por + C \u003d 0) - una línea recta es paralela al eje Ox
B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) - una línea recta paralela al eje Oy
B \u003d C \u003d 0, A ¹ 0 - la línea coincide con el eje Oy
A = C = 0, B ¹ 0 - la línea coincide con el eje Ox
La ecuación de una línea recta se puede presentar en varias formas dependiendo de las condiciones iniciales dadas.
La distancia de un punto a una recta.
Teorema. Si se da un punto M(x 0, y 0), entonces la distancia a la línea Ax + Vy + C \u003d 0 se define como
.
Prueba. Sea el punto M 1 (x 1, y 1) la base de la perpendicular trazada desde el punto M hasta la recta dada. Entonces la distancia entre los puntos M y M 1:
(1)
Coordenadas x 1 y y 1 se puede encontrar como una solución al sistema de ecuaciones:
La segunda ecuación del sistema es la ecuación de una línea recta que pasa por un punto dado M 0 perpendicular a una línea recta dada.
Si transformamos la primera ecuación del sistema a la forma:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,
entonces, resolviendo, obtenemos:
Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (1), encontramos:
.
El teorema ha sido probado.
Ejemplo. Determine el ángulo entre las líneas: y=-3x+7; y = 2 x + 1.
K 1 \u003d -3; k 2 = 2tg j = ; j = p /4.
Ejemplo. Demuestre que las rectas 3x - 5y + 7 = 0 y 10x + 6y - 3 = 0 son perpendiculares.
Encuentre: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, por lo que las rectas son perpendiculares.
Ejemplo. Dados los vértices del triángulo A(0; 1), B(6;5),C (12; -1). Encuentra la ecuación para la altura dibujada desde el vértice C.
En el último artículo, consideramos los puntos principales sobre el tema de una línea recta en un plano. Ahora pasemos a estudiar la ecuación de una línea recta: considere qué ecuación se puede llamar ecuación de una línea recta y también qué forma tiene la ecuación de una línea recta en un plano.
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Definición de la ecuación de una recta en un plano
Digamos que hay una línea recta, que está dada en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares O x y.
Definición 1
Línea recta- esto es figura geometrica, que está formado por puntos. Cada punto tiene sus propias coordenadas a lo largo de los ejes de abscisas y ordenadas. La ecuación que describe la dependencia de las coordenadas de cada punto de una recta en el sistema cartesiano O x y se denomina ecuación de una recta sobre un plano.
De hecho, la ecuación de una línea recta en un plano es una ecuación con dos variables, que se denotan como x e y. La ecuación se convierte en identidad cuando se sustituyen en ella los valores de cualquiera de los puntos de la recta.
Veamos qué forma tendrá la ecuación de una recta en un plano. Este será el enfoque de la siguiente sección de nuestro artículo. Tenga en cuenta que hay varias opciones para escribir la ecuación de una línea recta. Esto se explica por la presencia de varias formas de establecer una línea recta en un plano, y también por los diferentes detalles de las tareas.
Familiaricémonos con el teorema que define la forma de la ecuación de una línea recta en un plano en el sistema de coordenadas cartesianas O x y .
Teorema 1
Una ecuación de la forma A x + B y + C = 0, donde x e y son variables, y A, B y C son algunos números reales, de los cuales A y B no son iguales a cero, define una línea recta en el Sistema de coordenadas cartesianas O x y . A su vez, cualquier recta sobre el plano puede estar dada por una ecuación de la forma A x + B y + C = 0 .
Así, la ecuación general de una recta en el plano tiene la forma A x + B y + C = 0 .
Expliquemos algunos aspectos importantes del tema.
Ejemplo 1
Mira la foto.
La línea en el dibujo está determinada por una ecuación de la forma 2 x + 3 y - 2 \u003d 0, ya que las coordenadas de cualquier punto que forma esta línea satisfacen la ecuación anterior. A su vez, cierto número de puntos en el plano, definido por la ecuación 2 x + 3 y - 2 = 0, nos dan la recta que vemos en la figura.
La ecuación general de una línea recta puede ser completa o incompleta. En la ecuación completa, todos los números A, B y C son distintos de cero. En todos los demás casos, la ecuación se considera incompleta. Una ecuación de la forma A x + B y = 0 define una línea recta que pasa por el origen. Si A es cero, entonces la ecuación A x + B y + C = 0 define una línea recta paralela al eje x O x . Si B es igual a cero, entonces la recta es paralela al eje de ordenadas O y .
Conclusión: para un cierto conjunto de valores de los números A, B y C, usando la ecuación general de una línea recta, puede escribir cualquier línea recta en un plano en un sistema de coordenadas rectangulares O x y.
La línea dada por una ecuación de la forma A x + B y + C = 0 tiene un vector de línea normal con coordenadas A , B .
Todas las ecuaciones de líneas dadas, que consideraremos a continuación, se pueden obtener a partir de la ecuación general de una línea. También es posible el proceso inverso, cuando cualquiera de las ecuaciones consideradas se puede reducir a la ecuación general de una línea recta.
Puede comprender todos los matices del tema en el artículo "La ecuación general de una línea recta". En el material proporcionamos una prueba del teorema con ilustraciones gráficas y un análisis detallado de ejemplos. Se presta especial atención a las transiciones de la ecuación general de una recta a ecuaciones de otro tipo y viceversa.
La ecuación de una recta en segmentos tiene la forma x a + y b = 1 , donde a y b son unos números reales que no son iguales a cero. Los valores absolutos de los números a y b son iguales a la longitud de los segmentos cortados por una línea recta en los ejes de coordenadas. La longitud de los segmentos se mide desde el origen de coordenadas.
Gracias a la ecuación, puedes dibujar fácilmente una línea recta en el dibujo. Para hacer esto, es necesario marcar los puntos a, 0 y 0, b en un sistema de coordenadas rectangulares y luego conectarlos con una línea recta.
Ejemplo 2
Construyamos una línea recta, que está dada por la fórmula x 3 + y - 5 2 = 1. Marcamos dos puntos en el gráfico 3 , 0 , 0 , - 5 2 , los conectamos.
Estas ecuaciones, que tienen la forma y = k · x + b, deben ser bien conocidas por el curso de álgebra. Aquí x e y son variables, k y b son algunos números reales, de los cuales k es la pendiente. En estas ecuaciones, la variable y es una función del argumento x.
Demos la definición de la pendiente a través de la definición del ángulo de inclinación de la recta a la dirección positiva del eje O x .
Definición 2
Para denotar el ángulo de inclinación de la recta al sentido positivo del eje O x en el sistema de coordenadas cartesianas, introducimos el valor del ángulo α. El ángulo se mide desde la dirección positiva del eje x hasta una línea recta en sentido antihorario. El ángulo α se considera igual a cero si la línea es paralela al eje O x o coincide con él.
La pendiente de una recta es la tangente de la pendiente de esa recta. Se escribe como sigue k = t g α . Para una recta que es paralela al eje O y o coincide con él, no es posible escribir la ecuación de una recta con pendiente, ya que la pendiente en este caso se convierte en infinito (no existe).
La línea recta, que viene dada por la ecuación y = k x + b, pasa por el punto 0, b en el eje y. Esto significa que la ecuación de una línea recta con una pendiente y \u003d k x + b establece una línea recta en el plano que pasa por el punto 0, b y forma un ángulo α con la dirección positiva del eje O x, y k \u003d t g α.
Ejemplo 3
Dibujemos una línea recta, que está definida por una ecuación de la forma y = 3 · x - 1 .
Esta recta debe pasar por el punto (0 , - 1) . El ángulo de inclinación α = a r c t g 3 = π 3 es igual a 60 grados a la dirección positiva del eje O x. pendiente es 3
Tenga en cuenta que al usar la ecuación de una línea recta con una pendiente, es muy conveniente buscar la ecuación de una tangente a la gráfica de una función en un punto.
Se puede encontrar más material sobre el tema en el artículo "La ecuación de una línea con una pendiente". Además de la teoría, hay una gran cantidad de ejemplos gráficos y un análisis detallado de las tareas.
Este tipo de ecuación tiene la forma x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y, donde x 1, y 1, a x, a y son algunos números reales, de los cuales a x y a y no son iguales a cero.
La recta dada por la ecuación canónica de la recta pasa por el punto M 1 (x 1 , y 1) . Los números a x y a y en los denominadores de las fracciones son las coordenadas del vector director de la recta. Esto significa que la ecuación canónica de una recta x - x 1 a x = y - y 1 a y en el sistema de coordenadas cartesianas O x y corresponde a una recta que pasa por el punto M 1 (x 1 , y 1) y que tiene un vector director un → = (un x , un y) .
Ejemplo 4
Dibuja una línea recta en el sistema de coordenadas O x y, que viene dado por la ecuación x - 2 3 = y - 3 1 . El punto M 1 (2 , 3) pertenece a la recta, el vector a → (3 , 1) es el vector director de esta recta.
La ecuación canónica de línea recta de la forma x - x 1 a x = y - y 1 a y se puede usar en casos donde a x o a y es cero. La presencia de cero en el denominador hace que la notación x - x 1 a x = y - y 1 a y sea condicional. La ecuación se puede escribir de la siguiente manera a y (x - x 1) = a x (y - y 1) .
En el caso cuando a x \u003d 0, la ecuación canónica de una línea recta toma la forma x - x 1 0 \u003d y - y 1 a y y establece una línea recta que es paralela al eje de ordenadas o coincide con este eje.
La ecuación canónica de una línea recta, siempre que a y \u003d 0, tome la forma x - x 1 a x \u003d y - y 1 0. Tal ecuación define una línea recta paralela al eje x o coincidente con él.
Más material sobre el tema de la ecuación canónica de una línea recta, ver aquí. En el artículo, proporcionamos una serie de soluciones a los problemas, así como numerosos ejemplos que le permitirán dominar mejor el tema.
Ecuaciones paramétricas de una línea recta en un plano
Estas ecuaciones tienen la forma x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ, donde x 1, y 1, a x, a y son algunos números reales, de los cuales a x y a y no pueden ser iguales a cero al mismo tiempo tiempo. Se introduce un parámetro adicional λ en la fórmula, que puede tomar cualquier valor real.
El propósito de la ecuación paramétrica es establecer una relación implícita entre las coordenadas de los puntos de una línea recta. Para ello, se introduce el parámetro λ.
Los números x, y son las coordenadas de algún punto de la recta. Se calculan mediante ecuaciones paramétricas de una línea recta para algún valor real del parámetro λ.
Ejemplo 5
Supongamos que λ = 0 .
Entonces x \u003d x 1 + a x 0 y \u003d y 1 + a y 0 ⇔ x \u003d x 1 y \u003d y 1, es decir, el punto con coordenadas (x 1, y 1) pertenece a la línea.
Llamamos su atención sobre el hecho de que los coeficientes a x y a y con el parámetro λ en este tipo de ecuaciones son las coordenadas del vector director de la línea recta.
Ejemplo 6
Considere ecuaciones paramétricas de línea recta de la forma x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ . La recta dada por las ecuaciones en el sistema de coordenadas cartesianas pasa por el punto (x 1 , y 1) y tiene un vector director a → = (3 , 1) .
Para obtener más información, consulte el artículo "Ecuaciones paramétricas de una línea recta en un plano".
La ecuación normal de una línea recta tiene la forma A x + B y + C = 0 , donde los números A, B y C son tales que la longitud del vector n → = (A , B) es igual a uno , y C ≤ 0 .
El vector normal de la recta, dado por la ecuación normal de la recta en el sistema de coordenadas rectangulares O x y, es el vector n → = (A , B) . Esta recta pasa a una distancia C del origen en la dirección del vector n → = (A , B) .
Otra forma de escribir la ecuación normal de una línea recta es cos α x + cos β y - p = 0, donde cos α y cos β son dos números reales que son cosenos directores del vector normal de longitud unitaria de una línea recta. Esto quiere decir que n → = (cos α , cos β) , la igualdad n → = cos 2 α + cos 2 β = 1 es cierta, el valor p ≥ 0 y es igual a la distancia del origen a la recta.
Ejemplo 7
Considere la ecuación general de la línea recta - 1 2 · x + 3 2 · y - 3 = 0 . Esta ecuación general de la recta es la ecuación normal de la recta, ya que n → = A 2 + B 2 = - 1 2 2 + 3 2 = 1 y C = - 3 ≤ 0 .
La ecuación define una línea recta en el sistema de coordenadas cartesianas 0xy, cuyo vector normal tiene las coordenadas - 1 2 , 3 2 . La recta se aleja del origen 3 unidades en la dirección del vector normal n → = - 1 2 , 3 2 .
Llamamos su atención sobre el hecho de que la ecuación normal de una línea recta en un plano le permite encontrar la distancia desde un punto a una línea recta en un plano.
Si en la ecuación general de la línea A x + B y + C \u003d 0 los números A, B y C son tales que la ecuación A x + B y + C \u003d 0 no es una ecuación normal de la línea, entonces se puede reducir a una forma normal. Lea más sobre esto en el artículo "Ecuación normal de una recta".
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Considere una relación de la forma F(x, y)=0 vinculando las variables X y a. La igualdad (1) se llamará ecuación con dos variables x, y, si esta igualdad no es cierta para todos los pares de números X y a. Ejemplos de ecuaciones: 2x + 3y \u003d 0, x 2 + y 2 - 25 \u003d 0,
sen x + sen y - 1 = 0.
Si (1) es cierto para todos los pares de números x e y, entonces se llama identidad. Ejemplos de identidad: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 \u003d 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 \u003d 0.
La ecuación (1) se llamará la ecuación del conjunto de puntos (x; y), si esta ecuación es satisfecha por las coordenadas X y a cualquier punto del conjunto y no satisfacen las coordenadas de ningún punto que no pertenezca a este conjunto.
Un concepto importante en geometría analítica es el concepto de la ecuación de una línea. Sea un sistema de coordenadas rectangulares y alguna recta α.
Definición. La ecuación (1) se llama la ecuación de línea α
(en el sistema de coordenadas creado), si esta ecuación es satisfecha por las coordenadas X y a cualquier punto de la linea α
, y no satisface las coordenadas de ningún punto que no se encuentre en esta línea.
Si (1) es la ecuación de línea α, entonces diremos que la ecuación (1) determina (establece) línea α.
Línea α puede determinarse no solo por una ecuación de la forma (1), sino también por una ecuación de la forma
F(P, φ) = 0, que contiene coordenadas polares.
- ecuación de una línea recta con una pendiente;
Sea una recta, no perpendicular al eje, dada OH. Llamemos ángulo de inclinación línea dada al eje OH esquina α por el cual rotar el eje OH de modo que la dirección positiva coincida con una de las direcciones de la línea recta. La tangente del ángulo de inclinación de una recta al eje OH llamó factor de pendiente esta línea recta y denotada por la letra A.
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Derivamos la ecuación de esta línea recta, si conocemos su A y el valor en el segmento VO, que ella corta en el eje UNED.
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La ecuación (2) se llama ecuación de una recta con pendiente. si un K=0, entonces la recta es paralela al eje OH y su ecuacion es y = b.
- ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos;
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. Esta es la ecuación si año 1 ≠ año 2, Se puede escribir como: si un y 1 = y 2, entonces la ecuación de la recta deseada tiene la forma y = y 1. En este caso, la recta es paralela al eje. OH. si un x1 = x2, entonces la recta que pasa por los puntos METRO 1 y M 2, paralelo al eje UNED, su ecuación tiene la forma x = x 1.
- ecuación de una línea recta que pasa por un punto dado con una pendiente dada;
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y, a la inversa, la ecuación (5) para coeficientes arbitrarios A B C (PERO y segundo ≠ 0 simultáneamente) define alguna línea en un sistema de coordenadas rectangulares Ohu.
Prueba.
Probemos primero la primera afirmación. Si la recta no es perpendicular Vaya, entonces está determinada por la ecuación de primer grado: y = kx + b, es decir. ecuación de la forma (5), donde
A=k, B=-1 y C = segundo. si la linea es perpendicular Vaya, entonces todos sus puntos tienen la misma abscisa igual al valor α segmento cortado por una línea recta en el eje Vaya.
La ecuación de esta recta tiene la forma x = α, aquellos. es también una ecuación de primer grado de la forma (5), donde A \u003d 1, B \u003d 0, C \u003d - α. Esto demuestra la primera afirmación.
vamos a probar declaración inversa. Sea dada la ecuación (5), y al menos uno de los coeficientes PERO y segundo ≠ 0.
si un segundo ≠ 0, entonces (5) se puede escribir como . en pendiente 
, obtenemos la ecuación y = kx + b, es decir. una ecuación de la forma (2) que define una línea recta.
si un B = 0, después A ≠ 0 y (5) toma la forma . denotar a través de α, obtenemos
x = a, es decir. ecuación de una recta perpendicular Ox.
Las líneas definidas en un sistema de coordenadas rectangulares por una ecuación de primer grado se llaman líneas de primer orden.
Ecuación tipo Ah + Wu + C = 0 es incompleto, es decir uno de los coeficientes es igual a cero.
1) C = 0; Ah + Wu = 0 y define una línea que pasa por el origen.
2) B = 0 (A ≠ 0); la ecuacion Hacha + C = 0 UNED.
3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0 y define una recta paralela Vaya.
La ecuación (6) se llama la ecuación de una línea recta "en segmentos". Números a y b son los valores de los segmentos que corta la recta en los ejes coordenados. Esta forma de la ecuación es conveniente para la construcción geométrica de una línea recta.
- ecuación normal de una línea recta;
Аx + Вy + С = 0 es la ecuación general de alguna línea recta, y (5) X porque α + y sen α – p = 0(7)
su ecuación normal.
Dado que las ecuaciones (5) y (7) definen la misma línea recta, entonces ( A 1x + B 1y + C 1 \u003d 0 y
A 2x + B 2y + C 2 = 0 => 
) los coeficientes de estas ecuaciones son proporcionales. Esto significa que al multiplicar todos los términos de la ecuación (5) por algún factor M, obtenemos la ecuación MA x + MB y + EM = 0, coincidiendo con la ecuación (7) i.e.
MA = cos α, MB = sen α, MC = - P(8)
Para encontrar el factor M, elevamos al cuadrado las dos primeras de estas igualdades y sumamos:
M 2 (A 2 + B 2) \u003d cos 2 α + sen 2 α \u003d 1
(9)