دعونا نعبر عن المعادلة ونستبدلها بدلاً من ذلك. حل أنظمة المعادلات بطريقة الاستبدال

2. طريقة الجمع الجبرية.
3. طريقة إدخال متغير جديد (طريقة تغيير متغير).

تعريف:يشير نظام المعادلات إلى عدة معادلات في واحد أو أكثر من المتغيرات التي يجب إجراؤها في وقت واحد ، أي بنفس قيم المتغيرات لجميع المعادلات. يتم دمج المعادلات في النظام مع علامة النظام - قوس مجعد.
مثال 1:

هو نظام من معادلتين بمتغيرين xو ذ.
حل النظام هو الجذور. عندما يتم استبدال هذه القيم ، تتحول المعادلات إلى هويات حقيقية:

حل أنظمة المعادلات الخطية.

الطريقة الأكثر شيوعًا لحل النظام هي طريقة الاستبدال.

طريقة الاستبدال.

تتمثل طريقة الاستبدال لحل أنظمة المعادلات في التعبير عن بعض المتغيرات من إحدى معادلات النظام من حيث أخرى ، واستبدال هذا التعبير في المعادلات المتبقية في النظام بدلاً من المتغير المعبر عنه.
المثال الثاني:
حل نظام المعادلات:

المحلول:
يتم إعطاء نظام معادلات ويجب حله بطريقة الاستبدال.
دعونا نعبر عن المتغير ذمن المعادلة الثانية للنظام.
تعليق:يعني "التعبير عن متغير" تحويل المساواة بحيث يبقى هذا المتغير على يسار علامة التساوي بمعامل 1 ، وتنتقل جميع المصطلحات الأخرى إلى الجانب الأيمن من المساواة.
المعادلة الثانية للنظام:

دعنا فقط نتركه على اليسار ذ:

ودعنا نعوض (من هنا يأتي اسم الطريقة) في المعادلة الأولى بدلاً من فيالتعبير الذي يساوي ، أي .
المعادلة الأولى:

بديل :

لنحل هذه المعادلة التربيعية المبتذلة. بالنسبة لأولئك الذين نسوا كيفية القيام بذلك ، هناك مقال لحل المعادلات التربيعية. .

إذن قيم المتغير xوجدت.
عوّض بهذه القيم في التعبير الخاص بالمتغير ذ. هناك نوعان من القيم هنا x، بمعنى آخر. لكل منهم من الضروري إيجاد القيمة ذ .
1) دع
عوّض في التعبير.

2) دع
عوّض في التعبير.

يمكن الإجابة على كل شيء:
تعليق:في هذه الحالة ، يجب كتابة الإجابة في أزواج ، حتى لا يتم الخلط بين قيمة المتغير y التي تتوافق مع قيمة المتغير x.
إجابه:
تعليق:في المثال 1 ، تتم الإشارة إلى زوج واحد فقط كحل للنظام ، أي هذا الزوج هو حل للنظام ، لكنه ليس حلاً كاملاً. لذلك ، فإن كيفية حل معادلة أو نظام يعني الإشارة إلى الحل وإظهار عدم وجود حلول أخرى. وهنا زوجان آخران.

دعنا نجعل حل هذا النظام رسميًا بطريقة مدرسية:

تعليق:العلامة "" تعني "معادل" ، أي النظام أو التعبير التالي يعادل النظام السابق.

إلى الأمام

انتباه! تعد معاينة الشرائح للأغراض الإعلامية فقط وقد لا تمثل النطاق الكامل للعرض التقديمي. إذا كنت مهتمًا بهذا العمل ، فيرجى تنزيل النسخة الكاملة.

مكان الدرس في نظام الدروس:الدرس الثالث من دراسة موضوع "نظم من اثنين المعادلات الخطيةبمتغيرين "

نوع الدرس:تعلم معرفة جديدة

تكنولوجيا التعليم:تنمية التفكير النقدي من خلال القراءة والكتابة

طريقة التعليم:دراسة

أهداف الدرس:إتقان طريقة أخرى لحل أنظمة المعادلات الخطية بمتغيرين - طريقة الجمع

مهام:

• موضوعات: تكوين المهارات العملية في حل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة الاستبدال.
• metasubject: تطوير التفكير والإدراك الواعي للمواد التعليمية ؛
• شخصي: تعليم النشاط المعرفي وثقافة الاتصال وغرس الاهتمام بالموضوع.

ونتيجة لذلك فإن الطالب:

• يعرف تعريف نظام المعادلات الخطية بمتغيرين ؛
• يعرف ما يعنيه حل نظام المعادلات الخطية في متغيرين ؛
• قادرة على كتابة نظام معادلات خطية بمتغيرين ؛
• يفهم عدد الحلول التي يمكن أن يمتلكها نظام المعادلات الخطية بمتغيرين ؛
• قادر على تحديد ما إذا كان لدى النظام حلول ، وإذا كان الأمر كذلك ، فكم عددها ؛
• يعرف خوارزمية حل أنظمة المعادلات الخطية بالتعويض والجمع الجبري والطريقة الرسومية.

سؤال المشكلة:"كيف تحل نظام المعادلات الخطية بمتغيرين؟"

الأسئلة الرئيسية:كيف ولماذا نستخدم المعادلات في حياتنا؟

معدات:عرض تقديمي؛ جهاز عرض الوسائط المتعددة شاشة؛ الكمبيوتر ، مصنف الجبر: الصف 7: إلى الكتاب المدرسي بواسطة A.G. مردكوفيتش وآخرون "الجبر - 7" 2012

الموارد (من أين تأتي المعلومات حول الموضوع: الكتب والكتب المدرسية والإنترنت وما إلى ذلك):الكتاب المدرسي "الجبر - 7" 2012 ، A.G. مردكوفيتش

أشكال تنظيم الأنشطة التربوية للطلاب (جماعية ، زوجية ، أمامية ، إلخ):غرفة بخار فردية ، أمامية جزئية ، جزئية

معيار التقييم:

• أ- المعرفة والفهم +
• ب- التطبيق والاستدلال
• ج- رسالة +
• د- التفكير والتقييم

مجالات التفاعل:

• ATL - كن قادرًا على استخدام الوقت بشكل فعال ، والتخطيط لأنشطتك وفقًا للأهداف والغايات المحددة ، وتحديد التسلسل الأكثر منطقية للأنشطة. القدرة على الإجابة على الأسئلة ، الجدال ، الجدال. القدرة على تحليل وتقييم نشاطهم التربوي والمعرفي لإيجاد طرق لحل المشكلات.
• يستكشف طلاب HI عواقب الأنشطة البشرية

خلال الفصول

I. تنظيم الدرس

ثانيًا. فحص التدريب الذاتي

أ) رقم 12.2 (ب ، ج).

الجواب: (5 ؛ 3). الجواب: (2 ؛ 3).

الجواب: (4 ؛ 2)

عبر عن متغير واحد من حيث متغير آخر:

• ع \ u003d ص / (ز * ح) - كثافة السائل
• p \ u003d g * p * h - ضغط السائل في قاع الوعاء
• ح = ع / (ز * ع) - الارتفاع
• ع = م / ف - الكثافة
• م = V * ع كتلة
• ع = م / ف - الكثافة

خوارزمية لحل نظام من معادلتين بمتغيرين باستخدام طريقة الاستبدال:

1. عبر عن y بدلالة x من المعادلة الأولى (أو الثانية) للنظام.
2. عوّض بالتعبير الذي تم الحصول عليه في الخطوة الأولى بدلاً من y في المعادلة الثانية (الأولى) للنظام.
3. حل المعادلة التي تم الحصول عليها في الخطوة الثانية من أجل x.
4. عوّض بقيمة x الموجودة في الخطوة الثالثة في التعبير y إلى x الذي تم الحصول عليه في الخطوة الأولى.
5. اكتب الإجابة في صورة زوج من القيم (س ؛ ص) تم العثور عليهما في الخطوتين الثالثة والرابعة على التوالي.

عمل مستقل:

في المصنف ، ص 46 - 47.

• في "3" رقم 6 (أ) ؛
• على "4" رقم 6 (ب) ؛
• إلى "5" رقم 7.

ثالثا. تحديث المعرفة الأساسية

ما هو نظام المعادلات الخطية بمتغيرين؟

نظام المعادلات هو معادلتان أو أكثر من الضروري إيجاد كل الحلول المشتركة لهما.

ما هو حل نظام معادلات ذات متغيرين؟

حل نظام من معادلتين مجهولين هو زوج من الأرقام (x ، y) بحيث إذا تم استبدال هذه الأرقام في معادلات النظام ، فإن كل معادلة من معادلات النظام تتحول إلى مساواة حقيقية.

كم عدد الحلول التي يمكن أن يمتلكها نظام المعادلات الخطية بمتغيرين؟

إذا كانت المنحدرات متساوية ، فإن الخطوط متوازية ، فلا توجد جذور.

إذا كانت المنحدرات غير متساوية ، فإن الخطوط تتقاطع ، جذرًا واحدًا (إحداثيات نقطة التقاطع).

إذا كانت المنحدرات متساوية ، فإن الخطوط تتطابق ، يكون الجذر غير محدود.

رابعا. تعلم مواد جديدة

املأ الفراغات: الملحق 1 (متبوعًا بالفحص الذاتي للشريحة)

خامسا - العمل على موضوع الدرس

في الفصل: رقم 13.2 (أ ، د) ، 13.3 (أ ، د).

السادس. الواجب المنزلي

الفقرة 13 - الكتاب المدرسي ؛ قاموس؛ رقم 13.2 (ب ، ج) ، 13.3 (ب ، ج).

سابعا. ملخص الدرس

• الصيحة !!! أفهم كل شيء!
• هناك أشياء أحتاج إلى العمل عليها!
• كانت هناك إخفاقات ، لكنني سأتغلب على كل شيء!

ثامنا. حل مشاكل المكون العسكري

دبابة القتال الرئيسية T-80.

اعتمد عام 1976. أول خزان تسلسلي في العالم مزود بمحطة طاقة رئيسية تعتمد على محرك توربيني غازي.

البيانات التكتيكية والفنية الأساسية (TTD):

الوزن ، طن - 46

السرعة ، كم / ساعة - 70

احتياطي الطاقة ، كم - 335-370

التسلح: مدفع أملس 125 ملم (40 قطعة ذخيرة) ؛

مدفع رشاش 12.7 ملم (ذخيرة 300 قطعة) ؛

7.62 ملم مدفع رشاش PKT (حمولة الذخيرة 2000 قطعة)

كم من الوقت يمكن لخزان T-80 أن يتحرك دون إعادة التزود بالوقود؟

في هذه الحالة ، من الملائم التعبير عن x عبر y من المعادلة الثانية للنظام واستبدال التعبير الناتج بدلاً من x في المعادلة الأولى:

المعادلة الأولى هي معادلة ذات متغير واحد y. لنحلها:

5 (7-3 سنوات) -2 ص = -16

يتم استبدال القيمة الناتجة لـ y في التعبير عن x:

الجواب: (-2 ؛ 3).

في هذا النظام ، من الأسهل التعبير عن y بدلالة x من المعادلة الأولى واستبدال التعبير الناتج بدلاً من y في المعادلة الثانية:

المعادلة الثانية هي معادلة ذات متغير واحد x. لنحلها:

3x-4 (-1.5-3.5x) = 23

في التعبير عن y ، بدلًا من x ، نعوض بـ x = 1 ونوجد y:

الجواب: (1 ؛ -5).

من الأنسب هنا التعبير عن y بدلالة x من المعادلة الثانية (نظرًا لأن القسمة على 10 أسهل من القسمة على 4 أو -9 أو 3):

نحل المعادلة الأولى:

4x-9 (1.6-0.3x) = -1

4 س -14.4 + 2.7 س = -1

عوّض x = 2 وأوجد y:

الجواب: (2 ؛ 1).

قبل تطبيق طريقة الاستبدال ، يجب تبسيط هذا النظام. يمكن ضرب كلا الجزأين من المعادلة الأولى في المقام المشترك الأصغر ، وفي المعادلة الثانية نفتح الأقواس ونعطي المصطلحات المتشابهة:

لقد حصلنا على نظام من المعادلات الخطية بمتغيرين. لنقم الآن بتطبيق التعويض. من الملائم التعبير عن a بدلالة b من المعادلة الثانية:

نحل المعادلة الأولى للنظام:

3 (21.5 + 2.5 ب) - 7 ب = 63

يبقى إيجاد قيمة:

وفقًا لقواعد التنسيق ، نكتب الإجابة بين قوسين مفصولين بفاصلة منقوطة بترتيب أبجدي.

الجواب: (14 ؛ -3).

عند التعبير عن متغير واحد من حيث متغير آخر ، يكون من الأنسب أحيانًا تركه مع بعض المعامل.

تستخدم أنظمة المعادلات على نطاق واسع في الصناعة الاقتصادية في النمذجة الرياضية للعمليات المختلفة. على سبيل المثال ، عند حل مشاكل إدارة الإنتاج والتخطيط ، والطرق اللوجستية (مشكلة النقل) أو وضع المعدات.

تستخدم أنظمة المعادلات ليس فقط في مجال الرياضيات ، ولكن أيضًا في الفيزياء والكيمياء وعلم الأحياء ، عند حل مشاكل تحديد حجم السكان.

نظام المعادلات الخطية هو مصطلح لمعادلتين أو أكثر مع العديد من المتغيرات التي من الضروري إيجاد حل مشترك لها. مثل هذا التسلسل من الأرقام حيث تصبح جميع المعادلات مساواة حقيقية أو تثبت أن التسلسل غير موجود.

معادلة خط مستقيم

تسمى معادلات النموذج ax + by = c الخطية. التعيينات x ، y هي المجهول ، التي يجب إيجاد قيمتها ، b ، a هي معاملات المتغيرات ، c هو المصطلح المجاني للمعادلة.
سيبدو حل المعادلة برسم التمثيل البياني الخاص بها كخط مستقيم ، وجميع نقاطه تمثل حل كثير الحدود.

أنواع أنظمة المعادلات الخطية

أبسط أمثلة لأنظمة المعادلات الخطية بمتغيرين X و Y.

F1 (x، y) = 0 و F2 (x، y) = 0 حيث F1،2 هي دوال و (x، y) متغيرات دالة.

حل جملة معادلات - يعني العثور على هذه القيم (س ، ص) التي يصبح النظام مساواة حقيقية لها ، أو لإثبات عدم وجود قيم مناسبة لـ x و y.

زوج من القيم (س ، ص) ، مكتوب على هيئة إحداثيات نقطية ، يسمى حل لنظام المعادلات الخطية.

إذا كان للأنظمة حل واحد مشترك أو لا يوجد حل ، فإنها تسمى مكافئة.

الأنظمة المتجانسة للمعادلات الخطية هي الأنظمة التي يكون جانبها الأيمن مساويًا للصفر. إذا كان الجزء الأيمن بعد علامة "يساوي" له قيمة أو يتم التعبير عنه بواسطة دالة ، فإن هذا النظام ليس متجانسًا.

يمكن أن يكون عدد المتغيرات أكثر من متغيرين ، ثم يجب أن نتحدث عن مثال لنظام المعادلات الخطية مع ثلاثة متغيرات أو أكثر.

في مواجهة الأنظمة ، يفترض تلاميذ المدارس أن عدد المعادلات يجب أن يتطابق بالضرورة مع عدد المجهول ، لكن هذا ليس كذلك. لا يعتمد عدد المعادلات في النظام على المتغيرات ، يمكن أن يكون هناك عدد كبير منهم بشكل تعسفي.

طرق بسيطة ومعقدة لحل أنظمة المعادلات

لا توجد طريقة تحليلية عامة لحل مثل هذه الأنظمة ، كل الطرق تعتمد على الحلول العددية. في دورة مدرسيةتصف الرياضيات بالتفصيل طرقًا مثل التقليب ، الجمع الجبري ، الاستبدال ، بالإضافة إلى الطريقة الرسومية وطريقة المصفوفة ، الحل بطريقة غاوس.

تتمثل المهمة الرئيسية في طرق التدريس في الحل في تعليم كيفية تحليل النظام بشكل صحيح وإيجاد خوارزمية الحل الأمثل لكل مثال. الشيء الرئيسي ليس حفظ نظام من القواعد والإجراءات لكل طريقة ، ولكن لفهم مبادئ تطبيق طريقة معينة.

حل أمثلة لأنظمة المعادلات الخطية للفئة السابعة من البرنامج مدرسة اعداديةبسيطة للغاية وموضحة بتفصيل كبير. في أي كتاب مدرسي عن الرياضيات ، يحظى هذا القسم بالاهتمام الكافي. تمت دراسة حل أمثلة أنظمة المعادلات الخطية بطريقة Gauss و Cramer بمزيد من التفصيل في الدورات الأولى لمؤسسات التعليم العالي.

حل الأنظمة بطريقة الاستبدال

تهدف إجراءات طريقة الاستبدال إلى التعبير عن قيمة متغير واحد من خلال الثاني. يتم استبدال التعبير في المعادلة المتبقية ، ثم يتم تقليله إلى شكل متغير واحد. يتم تكرار الإجراء بناءً على عدد المجهول في النظام

دعنا نعطي مثالاً لنظام المعادلات الخطية من الفئة السابعة بطريقة الاستبدال:

كما يتضح من المثال ، تم التعبير عن المتغير x من خلال F (X) = 7 + Y. ساعد التعبير الناتج ، الذي تم استبداله في المعادلة الثانية للنظام بدلاً من X ، في الحصول على متغير واحد Y في المعادلة الثانية . لا يسبب حل هذا المثال صعوبات ويسمح لك بالحصول على قيمة Y. الخطوة الأخيرة هي التحقق من القيم التي تم الحصول عليها.

ليس من الممكن دائمًا حل مثال لنظام المعادلات الخطية بالتعويض. يمكن أن تكون المعادلات معقدة والتعبير عن المتغير من حيث المجهول الثاني سيكون مرهقًا جدًا لإجراء المزيد من العمليات الحسابية. عندما يكون هناك أكثر من 3 مجاهيل في النظام ، يكون حل الاستبدال غير عملي أيضًا.

حل مثال لنظام المعادلات الخطية غير المتجانسة:

الحل باستخدام الجمع الجبري

عند البحث عن حل للأنظمة عن طريق طريقة الجمع ، يتم إجراء عملية الجمع مصطلحًا بمصطلح وضرب المعادلات بأرقام مختلفة. الهدف النهائي للعمليات الحسابية هو معادلة ذات متغير واحد.

تتطلب تطبيقات هذه الطريقة الممارسة والمراقبة. ليس من السهل حل نظام المعادلات الخطية باستخدام طريقة الجمع مع عدد المتغيرات 3 أو أكثر. تكون الجمع الجبري مفيدة عندما تحتوي المعادلات على كسور وأرقام عشرية.

خوارزمية عمل الحل:

1. اضرب طرفي المعادلة بعدد ما. نتيجة للعملية الحسابية ، يجب أن يصبح أحد معاملات المتغير مساويًا لـ 1.
2. أضف المصطلح الناتج عن طريق المصطلح وابحث عن أحد المجهولين.
3. عوّض بالقيمة الناتجة في المعادلة الثانية للنظام لإيجاد المتغير المتبقي.

طريقة الحل بإدخال متغير جديد

يمكن إدخال متغير جديد إذا احتاج النظام إلى إيجاد حل لما لا يزيد عن معادلتين ، كما يجب ألا يزيد عدد المجاهيل عن اثنين.

تُستخدم الطريقة لتبسيط إحدى المعادلات بإدخال متغير جديد. يتم حل المعادلة الجديدة فيما يتعلق بالمجهول الذي تم إدخاله ، ويتم استخدام القيمة الناتجة لتحديد المتغير الأصلي.

يمكن أن نرى من المثال أنه من خلال إدخال متغير جديد t ، كان من الممكن تقليل المعادلة الأولى للنظام إلى مربع قياسي ثلاثي الحدود. يمكنك حل كثير الحدود بإيجاد المميز.

من الضروري إيجاد قيمة المميز باستخدام الصيغة المعروفة: D = b2 - 4 * a * c ، حيث D هو المميز المطلوب ، b ، a ، c هي مضاعفات كثير الحدود. في المثال المعطى ، أ = 1 ، ب = 16 ، ج = 39 ، ومن ثم د = 100. إذا كان المميز أكبر من الصفر ، فهناك حلان: t = -b ± √D / 2 * a ، إذا كان المميز أقل من الصفر ، فهناك حل واحد فقط: x = -b / 2 * a.

تم العثور على حل الأنظمة الناتجة عن طريق طريقة الجمع.

طريقة بصرية لحل النظم

مناسب للأنظمة ذات 3 معادلات. تتكون الطريقة من رسم الرسوم البيانية لكل معادلة مدرجة في النظام على محور الإحداثيات. إحداثيات نقاط تقاطع المنحنيات وستكون حل مشتركالأنظمة.

طريقة الرسم لديها عدد من الفروق الدقيقة. ضع في اعتبارك عدة أمثلة لحل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة مرئية.

كما يتضح من المثال ، تم إنشاء نقطتين لكل سطر ، تم اختيار قيم المتغير x بشكل عشوائي: 0 و 3. بناءً على قيم x ، تم العثور على قيم y: 3 و 0. تم تمييز النقاط ذات الإحداثيات (0 ، 3) و (3 ، 0) على الرسم البياني وتم توصيلها بخط.

يجب تكرار الخطوات للمعادلة الثانية. نقطة تقاطع الخطوط هي حل النظام.

في المثال التالي ، مطلوب إيجاد حل رسومي لنظام المعادلات الخطية: 0.5x-y + 2 = 0 and 0.5x-y-1 = 0.

كما يتضح من المثال ، ليس للنظام أي حل ، لأن الرسوم البيانية متوازية ولا تتقاطع بطولها بالكامل.

الأنظمة من الأمثلة 2 و 3 متشابهة ، ولكن عند بنائها ، يصبح من الواضح أن حلولها مختلفة. يجب أن نتذكر أنه ليس من الممكن دائمًا تحديد ما إذا كان النظام لديه حل أم لا ، فمن الضروري دائمًا إنشاء رسم بياني.

ماتريكس وأصنافها

تستخدم المصفوفات لكتابة نظام المعادلات الخطية بإيجاز. المصفوفة هي نوع خاص من الجداول المليئة بالأرقام. يحتوي n * m على n - صفوف و m - أعمدة.

تكون المصفوفة مربعة عندما يتساوى عدد الأعمدة والصفوف. متجه المصفوفة هو مصفوفة ذات عمود واحد مع عدد لا نهائي من الصفوف. تسمى المصفوفة التي تحتوي على وحدات على طول أحد الأقطار وعناصر صفرية أخرى متطابقة.

المصفوفة العكسية هي مثل هذه المصفوفة ، عندما يتم ضربها بحيث تتحول المصفوفة الأصلية إلى وحدة واحدة ، فإن مثل هذه المصفوفة توجد فقط للمربع الأصلي.

قواعد تحويل نظام المعادلات إلى مصفوفة

فيما يتعلق بأنظمة المعادلات ، تتم كتابة المعاملات والأعضاء الأحرار في المعادلات كأرقام من المصفوفة ، والمعادلة الواحدة هي صف واحد من المصفوفة.

يسمى صف المصفوفة non-zero إذا كان عنصر واحد على الأقل من الصف لا يساوي الصفر. لذلك ، إذا اختلف عدد المتغيرات في أي من المعادلات ، فمن الضروري إدخال صفر بدلاً من المجهول المفقود.

يجب أن تتوافق أعمدة المصفوفة بدقة مع المتغيرات. هذا يعني أنه لا يمكن كتابة معاملات المتغير x إلا في عمود واحد ، على سبيل المثال الأول ، معامل المجهول y - فقط في العمود الثاني.

عند ضرب مصفوفة ، يتم ضرب جميع عناصر المصفوفة على التوالي في رقم.

خيارات لإيجاد معكوس المصفوفة

صيغة إيجاد معكوس المصفوفة بسيطة للغاية: K -1 = 1 / | K | ، حيث K -1 هي معكوس المصفوفة و | K | - محدد المصفوفة. | ك | يجب ألا يكون مساويًا للصفر ، فإن النظام لديه حل.

يتم حساب المحدد بسهولة لمصفوفة 2 × 2 ، من الضروري فقط مضاعفة العناصر قطريًا ببعضها البعض. لخيار "ثلاثة في ثلاثة" ، توجد صيغة | K | = أ 1 ب 2 ج 3 + أ 1 ب 3 ج 2 + أ 3 ب 1 ج 2 + أ 2 ب 3 ج 1 + أ 2 ب 1 ج 3 + أ 3 ب 2 ج 1. يمكنك استخدام الصيغة ، أو تذكر أنك بحاجة إلى أخذ عنصر واحد من كل صف وكل عمود حتى لا تتكرر أرقام الأعمدة والصفوف الخاصة بالعناصر في المنتج.

حل أمثلة نظم المعادلات الخطية بطريقة المصفوفة

تتيح طريقة المصفوفة لإيجاد حل تقليل الرموز المرهقة عند حل الأنظمة باستخدام كمية كبيرةالمتغيرات والمعادلات.

في هذا المثال ، nm هي معاملات المعادلات ، والمصفوفة متجه x n هي المتغيرات ، و b n هي المصطلحات المجانية.

حل الأنظمة بطريقة غاوس

في الرياضيات العليا ، تتم دراسة طريقة Gauss مع طريقة Cramer ، وتسمى عملية إيجاد حل للأنظمة طريقة Gauss-Cramer في الحل. تُستخدم هذه الطرق لإيجاد متغيرات الأنظمة التي تحتوي على عدد كبير من المعادلات الخطية.

الطريقة الغاوسية تشبه إلى حد بعيد حلول الاستبدال والجمع الجبرية ، ولكنها أكثر منهجية. في الدورة المدرسية ، يتم استخدام الحل Gaussian لأنظمة المعادلات 3 و 4. الغرض من هذه الطريقة هو تحويل النظام إلى شكل شبه منحرف مقلوب. من خلال عمليات التحويل والبدائل الجبرية ، تم العثور على قيمة متغير واحد في إحدى معادلات النظام. المعادلة الثانية عبارة عن تعبير به مجهولين ، و 3 و 4 - بمتغيرين 3 و 4 ، على التوالي.

بعد إحضار النظام إلى النموذج الموصوف ، يتم تقليل الحل الإضافي إلى الاستبدال المتسلسل للمتغيرات المعروفة في معادلات النظام.

في الكتب المدرسية للصف السابع ، يتم وصف مثال لحل غاوسي على النحو التالي:

كما يتضح من المثال ، في الخطوة (3) تم الحصول على معادلتين 3x3-2x 4 = 11 و 3x 3 + 2x 4 = 7. سيسمح لك حل أي من المعادلات بإيجاد أحد المتغيرات x n.

تنص النظرية 5 ، المذكورة في النص ، على أنه إذا تم استبدال إحدى معادلات النظام بمعادلة مكافئة ، فسيكون النظام الناتج أيضًا مكافئًا للنظام الأصلي.

يصعب على طلاب المدارس المتوسطة فهم طريقة Gaussian ، ولكنها واحدة من أكثر الطرق إثارة للاهتمام لتطوير براعة الأطفال الذين يدرسون في برنامج الدراسة المتقدم في فصول الرياضيات والفيزياء.

لسهولة تسجيل الحسابات ، من المعتاد القيام بما يلي:

تتم كتابة معاملات المعادلات والمصطلحات المجانية في شكل مصفوفة ، حيث يتوافق كل صف من المصفوفة مع إحدى معادلات النظام. يفصل الجانب الأيسر من المعادلة عن الجانب الأيمن. تشير الأرقام الرومانية إلى عدد المعادلات في النظام.

أولاً ، يكتبون المصفوفة التي يعملون بها ، ثم يتم تنفيذ جميع الإجراءات بأحد الصفوف. تتم كتابة المصفوفة الناتجة بعد علامة "السهم" وتستمر في إجراء العمليات الجبرية اللازمة حتى يتم تحقيق النتيجة.

نتيجة لذلك ، يجب الحصول على مصفوفة يكون فيها أحد الأقطار 1 ، وجميع المعاملات الأخرى تساوي الصفر ، أي يتم تقليل المصفوفة إلى شكل واحد. يجب ألا ننسى إجراء حسابات بأرقام طرفي المعادلة.

هذا الترميز أقل تعقيدًا ويسمح لك بعدم تشتيت انتباهك من خلال سرد العديد من الأشياء المجهولة.

سيتطلب التطبيق المجاني لأي طريقة حل عناية وقدرًا معينًا من الخبرة. لم يتم تطبيق جميع الطرق. بعض طرق إيجاد الحلول مفضلة أكثر في مجال معين من النشاط البشري ، بينما توجد طرق أخرى لغرض التعلم.

استخدام المعادلات منتشر في حياتنا. يتم استخدامها في العديد من العمليات الحسابية ، وبناء الهياكل وحتى الرياضة. استخدم الإنسان المعادلات منذ العصور القديمة ومنذ ذلك الحين ازداد استخدامها فقط. تسهل طريقة الاستبدال حل أنظمة المعادلات الخطية بأي تعقيد. جوهر الطريقة هو أننا ، باستخدام التعبير الأول للنظام ، نعبر عن "y" ، ثم نستبدل التعبير الناتج في المعادلة الثانية للنظام بدلاً من "y". نظرًا لأن المعادلة لا تحتوي بالفعل على مجهولين ، ولكن واحد فقط ، يمكننا بسهولة العثور على قيمة هذا المتغير ، ثم استخدامه لتحديد قيمة الثاني.

لنفترض أننا حصلنا على نظام معادلات خطية بالشكل التالي:

\ [\ left \ (\ start (matrix) 3x-y-10 = 0 \\ x + 4y-12 = 0 \ end (matrix) \ right. \]

يعبر \

\ [\ left \ (\ start (matrix) 3x-10 = y \\ x + 4y-12 = 0 \ end (matrix) \ right. \]

استبدل التعبير الناتج في المعادلة الثانية:

\ [\ left \ (\ start (matrix) y = 3x-10 \\ x + 4 (3x-10) -12 = 0 \ end (matrix) \ right. \]

أوجد القيمة \

تبسيط المعادلة وحلها بفتح الأقواس مع مراعاة قواعد نقل المصطلحات:

الآن نعرف قيمة \ لنستخدم هذا لإيجاد قيمة \

الجواب: \ [(4؛ 2). \]

أين يمكنني حل نظام المعادلات عبر الإنترنت باستخدام طريقة الاستبدال؟

يمكنك حل نظام المعادلات على موقعنا. سيسمح لك برنامج الحل المجاني عبر الإنترنت بحل معادلة عبر الإنترنت لأي تعقيد في ثوانٍ. كل ما عليك فعله هو فقط إدخال بياناتك في الحل. يمكنك أيضًا معرفة كيفية حل المعادلة على موقعنا. وإذا كانت لديك أي أسئلة ، فيمكنك طرحها في مجموعة فكونتاكتي.