رسومات وظيفة الطاقة لجميع القوى المختلفة. وظيفة الطاقة وخصائصها والرسم البياني لمفهوم الوظيفة

هل أنت على دراية بالميزات ص = س ، ص = س 2 ، ص = س 3 ، ص = 1 / سكل هذه الوظائف هي حالات خاصة لوظيفة الطاقة ، أي الوظيفة ص = إكس بي، حيث p هو رقم حقيقي معين.
تعتمد الخصائص والرسم البياني لدالة القدرة بشكل أساسي على خصائص قوة ذات أس حقيقي ، وعلى وجه الخصوص على القيم التي xو صمن المنطقي x ص. دعنا ننتقل إلى اعتبار مماثل. مناسبات مختلفةيعتمد على
الأس ص.

1. فِهرِس ع = 2 نهو عدد طبيعي زوجي.

ص = س 2 ن، أين نهو رقم طبيعي ، لديه ما يلي

الخصائص:

• مجال التعريف هو جميع الأعداد الحقيقية ، أي المجموعة R ؛
• مجموعة من القيم - أرقام غير سالبة ، أي أن y أكبر من أو تساوي 0 ؛
• وظيفة ص = س 2 نحتى بسبب × 2 ن=(- خ) 2 ن
• تتناقص الوظيفة في الفترة الزمنية x<0 ويزداد في الفترة x> 0.

رسم بياني وظيفي ص = س 2 نله نفس شكل ، على سبيل المثال ، الرسم البياني للدالة ص = س 4.

2. المؤشر ع = 2 ن -1- عدد طبيعي فردي
في هذه الحالة ، وظيفة الطاقة ص = س 2 ن -1، حيث هو رقم طبيعي ، له الخصائص التالية:

• مجال التعريف - مجموعة R ؛
• مجموعة من القيم - مجموعة R ؛
• وظيفة ص = س 2 ن -1غريب بسبب (- x) 2n-1=× 2n-1 ؛
• تتزايد الوظيفة على المحور الحقيقي بأكمله.

رسم بياني وظيفي ص = س 2n-1 لها نفس شكل ، على سبيل المثال ، الرسم البياني للدالة ص = س 3 .

3. مؤشر ع = -2 ن، أين ن-عدد طبيعي.

في هذه الحالة ، وظيفة الطاقة ص = س -2 ن = 1 / س 2 نله الخصائص التالية:

• مجال التعريف - مجموعة R ، باستثناء x = 0 ؛
• مجموعة من القيم - أرقام موجبة y> 0 ؛
• وظيفة ذ = 1 / x2nحتى بسبب 1 / (- س) 2 ن=1 / x2n;
• الدالة تتزايد في الفترة x<0 и убывающей на промежутке x>0.

رسم بياني للدالة y = 1 / x2nله نفس شكل ، على سبيل المثال ، الرسم البياني للدالة y = 1 / x2.

درس وعرض تقديمي حول الموضوع: "وظائف الطاقة. الخصائص. الرسوم البيانية"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين ، لا تنسوا ترك تعليقاتكم وملاحظاتكم واقتراحاتكم! يتم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الوسائل التعليمية وأجهزة المحاكاة في المتجر الإلكتروني "Integral" للصف الحادي عشر
دليل تفاعلي للصفوف 9-11 "علم المثلثات"
دليل تفاعلي للصفوف 10-11 "لوغاريتمات"

وظائف السلطة ، مجال التعريف.

يا رفاق ، في الدرس الأخير تعلمنا كيفية التعامل مع الأعداد ذات الأس المنطقي. في هذا الدرس ، سننظر في دوال القوة ونقتصر على الحالة التي يكون فيها الأس منطقيًا.
سننظر في وظائف النموذج: $ y = x ^ (\ frac (m) (n)) $.
دعونا نفكر أولاً في الدوال التي يكون أسها $ \ frac (m) (n)> 1 $.
لنحصل على دالة محددة $ y = x ^ 2 * 5 $.
وفقًا للتعريف الذي قدمناه في الدرس الأخير: إذا كان $ x≥0 $ ، فإن مجال وظيفتنا هو ray $ (x) $. دعنا نصور بشكل تخطيطي الرسم البياني للدالة.

خصائص الوظيفة $ y = x ^ (\ frac (m) (n)) $، $ 0 2. ليست زوجية ولا فردية.
3. الزيادات بمقدار $$ ،
ب) دولار (2،10) دولار ،
ج) على الشعاع $$.
قرار.
يا رفاق ، هل تتذكرون كيف وجدنا أكبر وأصغر قيمة لدالة في مقطع في الصف 10؟
هذا صحيح ، استخدمنا المشتق. لنحل مثالنا ونكرر الخوارزمية لإيجاد القيمة الأصغر والأكبر.
1. أوجد مشتق الدالة المعينة:
$ y "= \ frac (16) (5) * \ frac (5) (2) x ^ (\ frac (3) (2)) - x ^ 3 = 8x ^ (\ frac (3) (2)) -x ^ 3 = 8 \ sqrt (x ^ 3) -x ^ 3 $.
2. المشتق موجود في مجال الوظيفة الأصلية بالكامل ، فلا توجد نقاط حرجة. لنجد النقاط الثابتة:
$ y "= 8 \ sqrt (x ^ 3) -x ^ 3 = 0 $.
8 دولارات أمريكية * \ sqrt (x ^ 3) = x ^ 3 $.
64 × ^ 3 = × ^ 6 دولار.
× ^ 6-64 × ^ 3 = 0 دولار.
دولار × ^ 3 (× ^ 3-64) = 0 دولار.
$ x_1 = 0 $ و $ x_2 = \ sqrt (64) = 4 $.
حل واحد فقط $ x_2 = 4 $ ينتمي إلى المقطع المحدد.
لنقم ببناء جدول لقيم وظيفتنا في نهايات المقطع وعند نقطة النهاية القصوى:
الإجابة: $ y_ (name) = - 862.65 $ مع $ x = 9 $ ؛ $ y_ (حد أقصى) = 38.4 دولارًا أمريكيًا × = 4 دولارات أمريكية.

مثال. حل المعادلة: $ x ^ (\ frac (4) (3)) = 24-x $.
قرار. الرسم البياني للدالة $ y = x ^ (\ frac (4) (3)) $ يتزايد ، بينما يتناقص الرسم البياني للدالة $ y = 24-x $. أنا وأنت يا رفاق نعلم: إذا زادت إحدى الوظائف وتناقصت الأخرى ، فعندئذٍ يتقاطعان عند نقطة واحدة فقط ، أي ، لدينا حل واحد فقط.
ملحوظة:
$ 8 ^ (\ frac (4) (3)) = \ sqrt (8 ^ 4) = (\ sqrt (8)) ^ 4 = 2 ^ 4 = 16 $.
$24-8=16$.
أي ، بالنسبة إلى $ х = 8 $ ، حصلنا على المساواة الصحيحة $ 16 = 16 $ ، وهذا هو حل المعادلة.
الجواب: $ x = 8 $.

مثال.
ارسم الدالة: $ y = (x-3) ^ \ frac (3) (4) + 2 $.
قرار.
تم الحصول على الرسم البياني للدالة من الرسم البياني للدالة $ y = x ^ (\ frac (3) (4)) $ ، ونقلها 3 وحدات إلى اليمين ووحدتين للأعلى.

مثال. اكتب معادلة المماس للخط $ y = x ^ (- \ frac (4) (5)) $ عند النقطة $ x = 1 $.
قرار. يتم تحديد معادلة الظل من خلال الصيغة المعروفة لنا:
$ y = f (a) + f "(a) (x-a) $.
في حالتنا ، $ a = 1 $.
$ f (a) = f (1) = 1 ^ (- \ frac (4) (5)) = 1 $.
لنجد المشتق:
$ y "= - \ frac (4) (5) x ^ (- \ frac (9) (5)) $.
دعنا نحسب:
$ f "(a) = - \ frac (4) (5) * 1 ^ (- \ frac (9) (5)) = - \ frac (4) (5) $.
أوجد معادلة الظل:
$ y = 1- \ frac (4) (5) (x-1) = - \ frac (4) (5) x + 1 \ frac (4) (5) $.
الإجابة: $ y = - \ frac (4) (5) x + 1 \ frac (4) (5) $.

مهام الحل المستقل

1. ابحث عن أكبر وأصغر قيمة للدالة: $ y = x ^ \ frac (4) (3) $ في المقطع:
أ) $$.
ب) دولار (4.50) دولار.
ج) على الشعاع $$.
3. حل المعادلة: $ x ^ (\ frac (1) (4)) = 18-x $.
4. ارسم الدالة: $ y = (x + 1) ^ (\ frac (3) (2)) - 1 $.
5. اكتب معادلة المماس للخط $ y = x ^ (- \ frac (3) (7)) $ عند النقطة $ x = 1 $.

محاضرة: دالة الطاقة مع الأس الطبيعي ، الرسم البياني الخاص بها

نحن نتعامل باستمرار مع وظائف يكون للحجة فيها بعض القوة:
y \ u003d x 1 ، y \ u003d x 2 ، y \ u003d x 3 ، y \ u003d x -1 ، إلخ.

الرسوم البيانية لوظائف الطاقة

إذن ، سننظر الآن في عدة حالات محتملة لدالة القدرة.

1) ص = س 2 ن .

هذا يعني أننا سننظر الآن في الدوال التي يكون فيها الأس عددًا زوجيًا.

ميزة الميزة:

1. يتم قبول جميع الأرقام الحقيقية كنطاق.

2. يمكن أن تأخذ الدالة جميع القيم الموجبة والرقم صفر.

3. الوظيفة حتى لأنها لا تعتمد على إشارة السعة ، ولكن فقط على مقياسها.

4. بالنسبة إلى الوسيطة الموجبة ، تتزايد الدالة وتتناقص في الحالة السالبة.

الرسوم البيانية لهذه الوظائف تشبه القطع المكافئ. على سبيل المثال ، يوجد أدناه رسم بياني للوظيفة y \ u003d x 4.

2) للدالة أس فردي: ص \ u003d × 2 ن +1.

1. مجال الوظيفة هو مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها.

2. نطاق الوظيفة - يمكن أن يتخذ شكل أي رقم حقيقي.

3. هذه الوظيفة غريبة.

4. يزيد بشكل رتيب خلال الفترة الزمنية الكاملة للنظر في الوظيفة.

5. الرسم البياني لجميع وظائف الطاقة ذات الأس الفردي مطابق للدالة y \ u003d x 3.

3) للدالة أس طبيعي سالب: ص \ u003d س -2 ن.

نعلم جميعًا أن الأس السالب يسمح لك بإسقاط الأس في المقام وتغيير علامة الأس ، أي تحصل على الصيغة y \ u003d 1 / x 2 n.

1. يمكن أن تأخذ وسيطة هذه الدالة أي قيمة باستثناء الصفر ، لأن المتغير في المقام.

2. بما أن الأس عدد زوجي ، فلا يمكن للدالة أن تأخذ قيمًا سالبة. وبما أن الوسيطة لا يمكن أن تساوي صفرًا ، فيجب أيضًا استبعاد قيمة الدالة التي تساوي صفرًا. هذا يعني أن الدالة يمكن أن تأخذ قيمًا موجبة فقط.

3. هذه الوظيفة زوجية.

4. إذا كانت الوسيطة سالبة ، فإن الدالة تتزايد بشكل رتيب ، وإذا كانت موجبة ، فإنها تتناقص.

عرض الرسم البياني للوظيفة y \ u003d x -2:

4) دالة ذات أس فردي سالب ص \ u003d س - (2 ن + 1).

1. توجد هذه الوظيفة لجميع قيم الوسيطة ، باستثناء الرقم صفر.

2. تقبل الوظيفة جميع القيم الحقيقية ، باستثناء الرقم صفر.

3. هذه الوظيفة غريبة.

4. ينقص في الفترتين المعتبرين.

ضع في اعتبارك مثالًا لرسم بياني لدالة ذات أس فردي سالب باستخدام المثال y \ u003d x -3.

خصائص وظائف القوة والرسوم البيانية الخاصة بهم

دالة القدرة مع الأس يساوي الصفر ، p = 0

إذا كان أُس دالة الطاقة y = x p يساوي صفرًا ، p = 0 ، فإن دالة القدرة تُعرَّف لكل x ≠ 0 وتكون ثابتة تساوي واحدًا:
y \ u003d x p \ u003d x 0 \ u003d 1، x ≠ 0.

دالة الطاقة مع الأس الفردي الطبيعي ، p = n = 1 ، 3 ، 5 ، ...

ضع في اعتبارك دالة قوة y = x p = x n مع أس فردي طبيعي n = 1 ، 3 ، 5 ، .... يمكن أيضًا كتابة هذا الأس على النحو التالي: n = 2k + 1 ، حيث k = 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، .. هو عدد صحيح غير سالب. فيما يلي الخصائص والرسوم البيانية لهذه الوظائف.

رسم بياني لدالة القوة y = x n بأسس فردي طبيعي عند قيم مختلفةالأس ن = 1 ، 3 ، 5 ، ....

مجال التعريف: –< x < ∞

مجموعة القيم: –< y < ∞

النهايات: لا

محدب:

في –∞< x < 0 выпукла вверх

عند 0< x < ∞ выпукла вниз

نقاط الانعطاف: x = 0 ، y = 0

القيم الخاصة:

عند x = –1 ، y (–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m + 1 = –1

من أجل x = 0 ، y (0) = 0 n = 0

بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1 n = 1

دالة الطاقة مع الأس الطبيعي ، p = n = 2 ، 4 ، 6 ، ...

ضع في اعتبارك دالة القوة y = x p = x n مع الأس الزوجي الطبيعي n = 2 ، 4 ، 6 ، .... يمكن أيضًا كتابة هذا الأس على النحو التالي: n = 2k ، حيث k = 1 ، 2 ، 3 ، .. . هو طبيعي. فيما يلي خصائص ورسوم بيانية لهذه الوظائف.

رسم بياني لدالة قوة y = x n مع الأس زوجي طبيعي لقيم مختلفة للأس n = 2، 4، 6، ...

مجال التعريف: –< x < ∞

مجموعة من القيم: 0 ≤ ص< ∞

روتيني:

في x< 0 монотонно убывает

لـ x> 0 يزيد بشكل رتيب

النهايات: الحد الأدنى ، س = 0 ، ص = 0

التحدب: محدب لأسفل

نقاط الركبة: لا

نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات: x = 0 ، y = 0
القيم الخاصة:

عند x = –1 ، y (–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m = 1

من أجل x = 0 ، y (0) = 0 n = 0

بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1 n = 1

دالة الطاقة ذات الأس السالب الصحيح ، p = n = -1 ، -2 ، -3 ، ...

ضع في اعتبارك دالة القوة y = x p = x n مع عدد صحيح سالب الأس n = -1 ، -2 ، -3 ، .... إذا وضعنا n = –k ، حيث k = 1 ، 2 ، 3 ، ... هي رقم طبيعي ، ثم يمكن تمثيله على النحو التالي:

رسم بياني لدالة قوة y = x n مع الأس الصحيح السالب لقيم مختلفة للأس n = -1 ، -2 ، -3 ، ...

الأس الفردي ، n = -1 ، -3 ، -5 ، ...

فيما يلي خصائص الدالة y = x n ذات الأس السالب الفردي n = -1 ، -3 ، -5 ، ...

مجال التعريف: x ≠ 0

مجموعة القيم: y ≠ 0

التكافؤ: فردي ، y (–x) = - y (x)

النهايات: لا

محدب:

في x< 0: выпукла вверх

بالنسبة إلى x> 0: محدب لأسفل

نقاط الركبة: لا

تسجيل الدخول: في x< 0, y < 0

لـ x> 0 ، y> 0

القيم الخاصة:

بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1 n = 1

حتى الأس ، n = -2 ، -4 ، -6 ، ...

فيما يلي خصائص الدالة y = x n مع الأس السالب الزوجي n = -2 ، -4 ، -6 ، ...

مجال التعريف: x ≠ 0

مجموعة القيم: y> 0

التكافؤ: حتى ، y (–x) = y (x)

روتيني:

في x< 0: монотонно возрастает

بالنسبة إلى x> 0: تناقص رتيب

النهايات: لا

التحدب: محدب لأسفل

نقاط الركبة: لا

نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات: لا

تسجيل الدخول: y> 0

القيم الخاصة:

عند x = –1 ، y (–1) = (–1) n = 1

بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1 n = 1

دالة القدرة مع الأس المنطقي (الكسري)

ضع في اعتبارك دالة قوة y = x p مع أس عقلاني (كسري) ، حيث n عدد صحيح ، m> 1 عدد طبيعي. علاوة على ذلك ، لا يوجد قواسم مشتركة بين ن ، م.

مقام المؤشر الكسري فردي

اجعل مقام الأس الكسري فرديًا: م = 3 ، 5 ، 7 ، .... في هذه الحالة ، يتم تعريف دالة القوة x p للقيم الموجبة والسالبة للوسيطة. دعونا نفكر في خصائص وظائف القوة هذه عندما يكون الأس p ضمن حدود معينة.

ص سلبي ، ص< 0

اجعل الأس المنطقي (مع المقام الفردي m = 3 ، 5 ، 7 ، ...) أقل من صفر: .

الرسوم البيانية لوظائف الطاقة بأس سالب عقلاني لقيم مختلفة للأس ، حيث م = 3 ، 5 ، 7 ، ... هو فردي.

البسط الفردي ، n = -1 ، -3 ، -5 ، ...

نقدم خصائص دالة القوة y = x p مع أس سالب عقلاني ، حيث n = -1 ، -3 ، -5 ، ... عدد صحيح سالب فردي ، m = 3 ، 5 ، 7 ... عدد طبيعي فردي.

مجال التعريف: x ≠ 0

مجموعة القيم: y ≠ 0

التكافؤ: فردي ، y (–x) = - y (x)

الرتابة: تناقص رتيب

النهايات: لا

محدب:

في x< 0: выпукла вверх

بالنسبة إلى x> 0: محدب لأسفل

نقاط الركبة: لا

نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات: لا

في x< 0, y < 0

لـ x> 0 ، y> 0

القيم الخاصة:

عند x = –1 ، y (–1) = (–1) n = –1

بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1 n = 1

حتى البسط ، n = -2 ، -4 ، -6 ، ...

خصائص دالة القدرة y = x p مع الأس السالب المنطقي ، حيث n = -2 ، -4 ، -6 ، ... عدد صحيح سالب زوجي ، m = 3 ، 5 ، 7 ... عدد طبيعي فردي.

مجال التعريف: x ≠ 0

مجموعة القيم: y> 0

التكافؤ: حتى ، y (–x) = y (x)

روتيني:

في x< 0: монотонно возрастает

بالنسبة إلى x> 0: تناقص رتيب

النهايات: لا

التحدب: محدب لأسفل

نقاط الركبة: لا

نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات: لا

تسجيل الدخول: y> 0

القيمة p موجبة ، أقل من واحد ، 0< p < 1

الرسم البياني لوظيفة الطاقة بأس منطقي (0< p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

البسط الفردي ، ن = 1 ، 3 ، 5 ، ...

< p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

مجال التعريف: –< x < +∞

مجموعة القيم: –< y < +∞

التكافؤ: فردي ، y (–x) = - y (x)

الرتابة: زيادة رتيبة

النهايات: لا

محدب:

في x< 0: выпукла вниз

بالنسبة إلى x> 0: محدب لأعلى

نقاط الانعطاف: x = 0 ، y = 0

نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات: x = 0 ، y = 0

في x< 0, y < 0

لـ x> 0 ، y> 0

القيم الخاصة:

عند x = –1 ، y (–1) = –1

من أجل x = 0 ، y (0) = 0

بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1

حتى البسط ، ن = 2 ، 4 ، 6 ، ...

يتم تقديم خصائص دالة القوة y = x p ذات الأس الكسري ، والتي تقع ضمن 0.< p < 1, где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

مجال التعريف: –< x < +∞

مجموعة من القيم: 0 ≤ ص< +∞

التكافؤ: حتى ، y (–x) = y (x)

روتيني:

في x< 0: монотонно убывает

بالنسبة إلى x> 0: يزيد بشكل رتيب

الحدود القصوى: الحد الأدنى عند x = 0 ، y = 0

التحدب: محدب لأعلى عند x ≠ 0

نقاط الركبة: لا

نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات: x = 0 ، y = 0

تسجيل الدخول: لـ x ≠ 0 ، y> 0

في مجال دالة الطاقة y = x p ، فإن الصيغ التالية تحمل:
; ;
;
; ;
; ;
; .

خصائص وظائف القوة والرسوم البيانية الخاصة بهم

دالة القدرة مع الأس يساوي الصفر ، p = 0

إذا كان أُس دالة الطاقة y = x p يساوي صفرًا ، p = 0 ، فإن دالة القدرة تُعرَّف لكل x ≠ 0 وهي ثابتة ، تساوي واحدًا:
y \ u003d x p \ u003d x 0 \ u003d 1، x ≠ 0.

دالة الطاقة مع الأس الفردي الطبيعي ، p = n = 1 ، 3 ، 5 ، ...

ضع في اعتبارك دالة القوة y = x p = x n مع الأس الفردي الطبيعي n = 1، 3، 5، .... يمكن أيضًا كتابة هذا المؤشر على النحو التالي: n = 2k + 1 ، حيث k = 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ... هو عدد صحيح غير سالب. فيما يلي الخصائص والرسوم البيانية لهذه الوظائف.

رسم بياني لدالة قوة y = x n بأسس فردي طبيعي لقيم مختلفة للأس n = 1، 3، 5، ....

اِختِصاص: -∞ < x < ∞
قيم متعددة: -∞ < y < ∞
التكافؤ:فردي ، ص (-س) = - ص (س)
روتيني:يزيد بشكل رتيب
النهايات:لا
محدب:
في -∞< x < 0 выпукла вверх
عند 0< x < ∞ выпукла вниз
نقاط التوقف:س = 0 ، ص = 0
س = 0 ، ص = 0
حدود:
;
القيم الخاصة:
عند x = -1 ،
ص (-1) = (-1) ن ≡ (-1) 2 ك + 1 = -1
من أجل x = 0 ، y (0) = 0 n = 0
بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1 n = 1
وظيفة عكسية:
بالنسبة إلى n = 1 ، فإن الدالة معكوسة على نفسها: x = y
بالنسبة إلى n ≠ 1 ، فإن الدالة العكسية هي جذر الدرجة n:

دالة الطاقة مع الأس الطبيعي ، p = n = 2 ، 4 ، 6 ، ...

انظر إلى دالة القوة y = x p = x n مع الأس الزوجي الطبيعي n = 2، 4، 6، .... يمكن أيضًا كتابة هذا المؤشر على النحو التالي: n = 2k ، حيث k = 1 ، 2 ، 3 ، ... هو رقم طبيعي. فيما يلي خصائص ورسوم بيانية لهذه الوظائف.

رسم بياني لدالة قوة y = x n بأسس زوجي طبيعي لقيم مختلفة للأس n = 2، 4، 6، ....

اِختِصاص: -∞ < x < ∞
قيم متعددة: 0 ≤ ذ< ∞
التكافؤ:حتى ، y (-x) = y (x)
روتيني:
لـ x ≤ 0 ينخفض ​​بشكل رتيب
لـ x ≥ 0 يزيد بشكل رتيب
النهايات:الحد الأدنى ، س = 0 ، ص = 0
محدب:محدب لأسفل
نقاط التوقف:لا
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:س = 0 ، ص = 0
حدود:
;
القيم الخاصة:
بالنسبة إلى x = -1 ، ص (-1) = (-1) ن ≡ (-1) 2 ك = 1
من أجل x = 0 ، y (0) = 0 n = 0
بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1 n = 1
وظيفة عكسية:
لـ n = 2 ، الجذر التربيعي:
بالنسبة إلى n ≠ 2 ، جذر الدرجة n:

دالة الطاقة ذات الأس السالب الصحيح ، p = n = -1 ، -2 ، -3 ، ...

ضع في اعتبارك دالة القوة y = x p = x n مع الأس الصحيح السالب n = -1 ، -2 ، -3 ، .... إذا وضعنا n = -k ، حيث k = 1 ، 2 ، 3 ، ... هو رقم طبيعي ، فيمكن تمثيله على النحو التالي:

رسم بياني لدالة قوة y = x n مع أس صحيح سالب لقيم مختلفة للأس n = -1 ، -2 ، -3 ، ....

الأس الفردي ، n = -1 ، -3 ، -5 ، ...

فيما يلي خصائص الدالة y = x n ذات الأس السالب الفردي n = -1 ، -3 ، -5 ، ....

اِختِصاص:س ≠ 0
قيم متعددة:ذ ≠ 0
التكافؤ:فردي ، ص (-س) = - ص (س)
روتيني:ينخفض ​​بشكل رتيب
النهايات:لا
محدب:
في x< 0 : выпукла вверх
بالنسبة إلى x> 0: محدب لأسفل
نقاط التوقف:لا
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:لا
إشارة:
في x< 0, y < 0
لـ x> 0 ، y> 0
حدود:
; ; ;
القيم الخاصة:
بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1 n = 1
وظيفة عكسية:
لـ n = -1 ،
ل n< -2 ,

حتى الأس ، n = -2 ، -4 ، -6 ، ...

فيما يلي خصائص الدالة y = x n التي لها أس سالب زوجي n = -2 ، -4 ، -6 ، ....

اِختِصاص:س ≠ 0
قيم متعددة:ص> 0
التكافؤ:حتى ، y (-x) = y (x)
روتيني:
في x< 0 : монотонно возрастает
بالنسبة إلى x> 0: تناقص رتيب
النهايات:لا
محدب:محدب لأسفل
نقاط التوقف:لا
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:لا
إشارة:ص> 0
حدود:
; ; ;
القيم الخاصة:
بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1 n = 1
وظيفة عكسية:
لـ n = -2 ،
ل n< -2 ,

دالة القدرة مع الأس المنطقي (الكسري)

ضع في اعتبارك دالة قوة y = x p مع أس عقلاني (كسري) ، حيث n عدد صحيح ، m> 1 عدد طبيعي. علاوة على ذلك ، لا يوجد قواسم مشتركة بين ن ، م.

مقام المؤشر الكسري فردي

اجعل مقام الأس الكسري فرديًا: م = 3 ، 5 ، 7 ، .... في هذه الحالة ، يتم تعريف دالة القدرة x p لقيم x الموجبة والسالبة. ضع في اعتبارك خصائص وظائف القوة هذه عندما يكون الأس p ضمن حدود معينة.

ص سلبي ، ص< 0

اجعل الأس المنطقي (مع المقام الفردي m = 3 ، 5 ، 7 ، ...) أقل من صفر:.

الرسوم البيانية للدوال الأسية ذات الأس السالب الكسري لقيم مختلفة للأس ، حيث م = 3 ، 5 ، 7 ، ... أمر فردي.

البسط الفردي ، n = -1 ، -3 ، -5 ، ...

فيما يلي خصائص دالة القوة y = x p مع أس سالب عقلاني ، حيث n = -1 ، -3 ، -5 ، ... عدد صحيح سالب فردي ، m = 3 ، 5 ، 7 ... عدد طبيعي فردي.

اِختِصاص:س ≠ 0
قيم متعددة:ذ ≠ 0
التكافؤ:فردي ، ص (-س) = - ص (س)
روتيني:ينخفض ​​بشكل رتيب
النهايات:لا
محدب:
في x< 0 : выпукла вверх
بالنسبة إلى x> 0: محدب لأسفل
نقاط التوقف:لا
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:لا
إشارة:
في x< 0, y < 0
لـ x> 0 ، y> 0
حدود:
; ; ;
القيم الخاصة:
بالنسبة إلى x = -1 ، y (-1) = (-1) n = -1
بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1 n = 1
وظيفة عكسية:

حتى البسط ، n = -2 ، -4 ، -6 ، ...

خصائص دالة القوة y = x p ذات الأس السالب الكسري ، حيث n = -2 ، -4 ، -6 ، ... عدد صحيح سالب ، م = 3 ، 5 ، 7 ... عدد طبيعي فردي .

اِختِصاص:س ≠ 0
قيم متعددة:ص> 0
التكافؤ:حتى ، y (-x) = y (x)
روتيني:
في x< 0 : монотонно возрастает
بالنسبة إلى x> 0: تناقص رتيب
النهايات:لا
محدب:محدب لأسفل
نقاط التوقف:لا
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:لا
إشارة:ص> 0
حدود:
; ; ;
القيم الخاصة:
بالنسبة إلى x = -1 ، y (-1) = (-1) n = 1
بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1 n = 1
وظيفة عكسية:

القيمة p موجبة ، أقل من واحد ، 0< p < 1

رسم بياني لدالة أس ذات أس كسري (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

البسط الفردي ، ن = 1 ، 3 ، 5 ، ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

اِختِصاص: -∞ < x < +∞
قيم متعددة: -∞ < y < +∞
التكافؤ:فردي ، ص (-س) = - ص (س)
روتيني:يزيد بشكل رتيب
النهايات:لا
محدب:
في x< 0 : выпукла вниз
بالنسبة إلى x> 0: محدب لأعلى
نقاط التوقف:س = 0 ، ص = 0
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:س = 0 ، ص = 0
إشارة:
في x< 0, y < 0
لـ x> 0 ، y> 0
حدود:
;
القيم الخاصة:
من أجل x = -1 ، ص (-1) = -1
من أجل x = 0 ، y (0) = 0
بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1
وظيفة عكسية:

حتى البسط ، ن = 2 ، 4 ، 6 ، ...

يتم تقديم خصائص دالة القوة y = x p ذات الأس الكسري ، والتي تقع ضمن 0.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

اِختِصاص: -∞ < x < +∞
قيم متعددة: 0 ≤ ذ< +∞
التكافؤ:حتى ، y (-x) = y (x)
روتيني:
في x< 0 : монотонно убывает
بالنسبة إلى x> 0: زيادة رتيبة
النهايات:الحد الأدنى عند x = 0 ، y = 0
محدب:محدب لأعلى عند x ≠ 0
نقاط التوقف:لا
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:س = 0 ، ص = 0
إشارة:لـ x ≠ 0 ، y> 0
حدود:
;
القيم الخاصة:
بالنسبة إلى x = -1 ، y (-1) = 1
من أجل x = 0 ، y (0) = 0
بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1
وظيفة عكسية:

الأس p أكبر من واحد ، p> 1

رسم بياني لدالة قوة ذات أس كسري (p> 1) لقيم مختلفة للأس ، حيث m = 3 ، 5 ، 7 ، ... أمر فردي.

البسط الفردي ، ن = 5 ، 7 ، 9 ، ...

خواص دالة قوة y = x p ذات أس نسبي أكبر من واحد:. حيث n = 5 ، 7 ، 9 ، ... هو عدد طبيعي فردي ، م = 3 ، 5 ، 7 ... هو عدد طبيعي فردي.

اِختِصاص: -∞ < x < ∞
قيم متعددة: -∞ < y < ∞
التكافؤ:فردي ، ص (-س) = - ص (س)
روتيني:يزيد بشكل رتيب
النهايات:لا
محدب:
في -∞< x < 0 выпукла вверх
عند 0< x < ∞ выпукла вниз
نقاط التوقف:س = 0 ، ص = 0
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:س = 0 ، ص = 0
حدود:
;
القيم الخاصة:
من أجل x = -1 ، ص (-1) = -1
من أجل x = 0 ، y (0) = 0
بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1
وظيفة عكسية:

حتى البسط ، ن = 4 ، 6 ، 8 ، ...

خواص دالة قوة y = x p ذات أس نسبي أكبر من واحد:. حيث n = 4 ، 6 ، 8 ، ... هو عدد طبيعي زوجي ، م = 3 ، 5 ، 7 ... هو عدد طبيعي فردي.

اِختِصاص: -∞ < x < ∞
قيم متعددة: 0 ≤ ذ< ∞
التكافؤ:حتى ، y (-x) = y (x)
روتيني:
في x< 0 монотонно убывает
لـ x> 0 يزيد بشكل رتيب
النهايات:الحد الأدنى عند x = 0 ، y = 0
محدب:محدب لأسفل
نقاط التوقف:لا
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:س = 0 ، ص = 0
حدود:
;
القيم الخاصة:
بالنسبة إلى x = -1 ، y (-1) = 1
من أجل x = 0 ، y (0) = 0
بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1
وظيفة عكسية:

مقام المؤشر الكسري زوجي

اجعل مقام الأس الكسري زوجيًا: م = 2 ، 4 ، 6 ، .... في هذه الحالة ، لم يتم تعريف دالة القوة x p للقيم السالبة للوسيطة. تتطابق خصائصه مع خصائص دالة القوة مع الأس غير المنطقي (انظر القسم التالي).

دالة القوة مع الأس غير المنطقي

افترض أن دالة القوة y = x p مع الأس غير المنطقي p. تختلف خصائص هذه الوظائف عن تلك المذكورة أعلاه من حيث أنها غير معرّفة للقيم السالبة للوسيطة x. بالنسبة للقيم الإيجابية للوسيطة ، تعتمد الخصائص فقط على قيمة الأس p ولا تعتمد على ما إذا كان p عددًا صحيحًا أم عقلانيًا أم غير منطقي.

y = x p لقيم مختلفة للأس p.

وظيفة الطاقة مع ص سالب< 0

اِختِصاص: x> 0
قيم متعددة:ص> 0
روتيني:ينخفض ​​بشكل رتيب
محدب:محدب لأسفل
نقاط التوقف:لا
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:لا
حدود: ;
قيمة خاصة:بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1 p = 1

وظيفة الطاقة مع الأس الإيجابي p> 0

المؤشر أقل من صفر< p < 1

اِختِصاص:س ≥ 0
قيم متعددة:ذ ≥ 0
روتيني:يزيد بشكل رتيب
محدب:محدب
نقاط التوقف:لا
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:س = 0 ، ص = 0
حدود:
القيم الخاصة:بالنسبة إلى x = 0 ، y (0) = 0 p = 0.
بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1 p = 1

المؤشر أكبر من p> 1

اِختِصاص:س ≥ 0
قيم متعددة:ذ ≥ 0
روتيني:يزيد بشكل رتيب
محدب:محدب لأسفل
نقاط التوقف:لا
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:س = 0 ، ص = 0
حدود:
القيم الخاصة:بالنسبة إلى x = 0 ، y (0) = 0 p = 0.
بالنسبة إلى x = 1 ، y (1) = 1 p = 1

مراجع:
في. برونشتاين ، ك. Semendyaev ، كتيب الرياضيات للمهندسين وطلاب مؤسسات التعليم العالي ، لان ، 2009.