صياغة تعريف المخروط المقطوع من عناصره. فروستوم

سطح مخروطيهو السطح الذي يتكون من جميع الخطوط المستقيمة التي تمر عبر كل نقطة من منحنى معين ونقطة خارج المنحنى (الشكل 32).

ويسمى هذا المنحنى مرشد ، مستقيم - تشكيل نقطة - قمة سطح مخروطي.

سطح مخروطي دائري مستقيمهو السطح الذي يتكون من جميع الخطوط المستقيمة التي تمر بكل نقطة من نقاط دائرة معينة ونقطة على خط مستقيم عمودي على مستوى الدائرة ويمر بمركزها. في ما يلي سوف نسمي هذا السطح بإيجاز سطح مخروطي (الشكل 33).

مخروط (مخروط دائري مستقيم ) هو جسم هندسي يحده سطح مخروطي ومستوى موازٍ لمستوى الدائرة التوجيهية (الشكل 34).

أرز. 32 الشكل. 33 الشكل. 34

يمكن اعتبار المخروط جسمًا تم الحصول عليه بتدوير مثلث قائم الزاوية حول محور يحتوي على أحد أرجل المثلث.

الدائرة التي تحيط بالمخروط تسمى أساس . تسمى قمة السطح المخروطي قمة مخروط يسمى الجزء الذي يربط قمة المخروط بمركز قاعدته ارتفاع مخروط تسمى الأجزاء التي تشكل سطحًا مخروطيًا تشكيل مخروط محور المخروط هو خط مستقيم يمر عبر قمة المخروط ومركز قاعدته. القسم المحوري يسمى المقطع الذي يمر عبر محور المخروط. تطوير السطح الجانبي يسمى المخروط قطاعًا، نصف قطره يساوي طول المولد للمخروط، وطول قوس القطاع يساوي محيط قاعدة المخروط.

الصيغ الصحيحة للمخروط هي:

أين ر- نصف القطر الأساسي؛

ح- ارتفاع؛

ل- طول المولد.

قاعدة S- منطقة قاعدة؛

الجانب S

س كامل

الخامس– حجم المخروط .

المخروطييسمى جزء المخروط المحصور بين القاعدة ومستوى القطع الموازي لقاعدة المخروط (الشكل 35).

يمكن اعتبار المخروط المقطوع بمثابة جسم تم الحصول عليه عن طريق تدوير شبه منحرف مستطيل حول محور يحتوي على جانب شبه منحرف متعامد مع القواعد.

تسمى الدائرتان اللتان تحيطان بالمخروط الأسباب . ارتفاع المخروط المقطوع هو المسافة بين قاعدته. تسمى الأجزاء التي تشكل السطح المخروطي للمخروط المقطوع تشكيل . يسمى الخط المستقيم الذي يمر بمراكز القواعد محور المخروطي. القسم المحوري يسمى المقطع الذي يمر عبر محور المخروط المقطوع.

بالنسبة للمخروط المقطوع، الصيغ الصحيحة هي:

(8)

أين ر- نصف قطر القاعدة السفلية؛

ص- نصف قطر القاعدة العلوية؛

ح- الارتفاع، ل - طول المولد؛

الجانب S- مساحة السطح الجانبية؛

س كامل- المساحة الإجمالية؛

الخامس- حجم المخروط المقطوع.

مثال 1.المقطع العرضي للمخروط الموازي للقاعدة يقسم الارتفاع بنسبة 1:3، عد من الأعلى. أوجد مساحة السطح الجانبية للمخروط المقطوع إذا كان نصف قطر القاعدة وارتفاع المخروط 9 سم و12 سم.

حل.لنقم بعمل رسم (الشكل 36).

لحساب مساحة السطح الجانبي للمخروط المقطوع نستخدم الصيغة (8). دعونا نجد أنصاف أقطار القواعد حوالي 1 أو حوالي 1 فولتوتشكيل أ.ب.

النظر في مثلثات مماثلة SO2Bو SO 1 أ، معامل التشابه، إذن

من هنا

منذ ذلك الحين

مساحة السطح الجانبية للمخروط المقطوع تساوي:

إجابة: .

مثال 2.يتم طي ربع دائرة نصف القطر في سطح مخروطي. أوجد نصف قطر القاعدة وارتفاع المخروط.

حل.ربع الدائرة هو تطور السطح الجانبي للمخروط. دعونا نشير ص- نصف قطر قاعدته، ح –ارتفاع. دعونا نحسب مساحة السطح الجانبية باستخدام الصيغة: . وتساوي مساحة ربع الدائرة : . نحصل على معادلة ذات مجهولين صو ل(تشكيل مخروط). في هذه الحالة، المولد يساوي نصف قطر ربع الدائرة ر، مما يعني أننا حصلنا على المعادلة التالية: ، من حيث بمعرفة نصف قطر القاعدة والمولد نجد ارتفاع المخروط:

إجابة: 2 سم، .

مثال 3.شبه منحرف مستطيل زاوية حادة قياسها 45 درجة، وقاعدته الأصغر حجمها 3 سم، وضلعه المائل يساوي ، يدور حول ضلع متعامد مع القاعدتين. أوجد حجم جسم الثورة الناتج.

حل.لنقم بعمل رسم (الشكل 37).

نتيجة للدوران نحصل على مخروط مقطوع للعثور على حجمه، نحسب نصف قطر القاعدة الأكبر والارتفاع. في الأرجوحة يا 1 يا 2 أ.بسوف نقوم بإجراء أس ^ أو 1 ب. ب لدينا: وهذا يعني أن هذا المثلث متساوي الساقين مكيف الهواء=قبل الميلاد=3 سم.

إجابة:

مثال 4.مثلث أضلاعه 13 سم، 37 سم، 40 سم، يدور حول محور خارجي يوازي الضلع الأكبر ويقع على مسافة 3 سم منه (يقع المحور في مستوى المثلث). أوجد مساحة سطح الجسم الناتج عن الثورة.

حل . لنقم بعمل رسم (الشكل 38).

يتكون سطح جسم الثورة الناتج من الأسطح الجانبية لمخروطين مقطوعين والسطح الجانبي للأسطوانة. ومن أجل حساب هذه المساحات لا بد من معرفة أنصاف أقطار قواعد المخاريط والأسطوانة ( يكونو أوك.) ، تشكيل المخاريط ( قبل الميلادو مكيف الهواء) وارتفاع الاسطوانة ( أ.ب). المجهول الوحيد هو شركة. هذه هي المسافة من جانب المثلث إلى محور الدوران. سوف نجد العاصمة. مساحة المثلث ABC من أحد ضلعيه تساوي حاصل ضرب نصف الضلع AB والارتفاع المرسوم عليه العاصمةومن ناحية أخرى، بعد معرفة جميع أضلاع المثلث، نحسب مساحته باستخدام صيغة هيرون.

مقدمة

أرز. 1. كائنات من الحياة لها شكل كو-نو-سا المقطوع

من أين تأتي الأشكال الجديدة في رأيك في الهندسة؟ كل شيء بسيط للغاية: أصبح الشخص في الحياة لديه أشياء مماثلة ويأتي كما لو كان يناديهم. دعونا ننظر إلى الخزانة التي تجلس عليها الأسود في السيرك، قطعة من الجزر التي يتم حصادها عندما نكون على وشك - جزء منها، بركان نشط، وعلى سبيل المثال، ضوء من fo-na-ri- كا (انظر الشكل 1).

المخروط المقطوع وعناصره ومقطعه المحوري

أرز. 2. جيو ميت ري تشي فاي غو راي

نرى أن كل هذه الأشكال لها شكل مماثل - فهي تحدها دوائر من الأسفل ومن الأعلى، لكنها تضيق نحو الأعلى ( انظر الشكل 2).

أرز. 3. من الجزء العلوي من المشترك نو سا

يبدو وكأنه مخروط. فقط ليس ما يكفي من الصمت. نتخيل عقليًا أننا نأخذ مخروطًا ونزيل الجزء العلوي منه بضربة واحدة من السيف الحاد (انظر الشكل 3).

أرز. 4. مخروط مقطوع

هذا هو بالضبط شكلنا ويسمى المخروط المقطوع (انظر الشكل 4).

أرز. 5. Se-che-nie، بالتوازي مع os-no-va-niyu ko-nu-sa

دع المخروط يعطى. لنقم بإنشاء مستوى، مستوى موازٍ لمحور هذا المشترك ومخروط متقاطع (انظر الشكل 5).

سوف يقسم المخروط إلى جسمين: أحدهما مخروط بحجم أصغر، والثاني يسمى مخروط مقطوع ( انظر الشكل 6).

أرز. 6. تم الحصول على الجثث في قسم موازي

وبالتالي فإن المخروط المقطوع هو جزء من المخروط، متصل بين جسمه الرئيسي والجسم الرئيسي الموازي ولكنه مسطح. كما هو الحال في المخروط، يمكن أن يكون للمخروط المقطوع دائرة كقاعدة له - وفي هذه الحالة يطلق عليه دائرة. إذا كان المخروط الأصلي مستقيما، فإن المخروط المقطوع يسمى مستقيما. كما هو الحال في ko-nu-sa-mi، سننظر إلى المفاتيح، ولكن ko-nu-s sy الدائرية المستقيمة، إذا لم تتم الإشارة على وجه التحديد إلى أننا نتحدث عن co-nu-se المقطوع بشكل غير مباشر أو في أساسها لا توجد دوائر.

أرز. 7. دوران المصيدة المستطيلة

موضوعنا العالمي هو الهيئات التناوب. المخروط المقطوع ليس استثناء! دعونا نتذكر أنه من أجل الحصول على co-nu-sa، نقوم برسم مثلث مستطيل وتدويره حول ka-te-ta؟ إذا تم قطع المخروط الناتج بمستوى موازٍ للمحور، فلن يتبقى خط مستقيم من المثلث -mo-coal-trape-tion. ودورانه حول الجانب الأصغر سيعطينا مخروطًا مقطوعًا. دعونا نلاحظ مرة أخرى أننا، من الواضح، نتحدث فقط عن اتحاد مشترك دائري مباشر (انظر الشكل 7).

أرز. 8. Os-no-va-niya اقتطاع-no-go ko-nu-sa

سأقوم ببعض الاستعدادات. أساس نصف كو-نو-سا والدائرة، نصف تشا-يو-شاي في قسم شقة كو-نو-سا، على- يسمونه os-no-va-ni-ya-mi مقطوعًا ko-nu-sa (السفلي والعلوي) (انظر الشكل 8).

أرز. 9. Ob-ra-zu-yu-schi مقطوعة ko-nu-sa

من قصاصات نصف ra-zu-yu-shih من co-nu-sa ، المتصل بين os-but-va-ni-mi المقطوعة-but- go ko-nu-sa ، يسمون about-ra- zu-yu-schi-mi مبتورة-no-go ko-nu-sa. نظرًا لأن جميع النتائج التعليمية متساوية وجميع النتائج التعليمية من نفس الشيء متساوية، فإن co-nu-sa المقطوعة ob-ra-zu-yu متساوية (لا تخلط بين المقطوعة والمبتورة!). ومن هنا تتبع مساواة محور القسم (انظر الشكل 9).

من محور الدوران، الموجود داخل المشترك المقطوع، يسمونه محور المحور المقطوع ko-nu-sa. إن إعادة القطع هذه، ra-zu-me-et-sya، توحد مراكز أساسياتها (انظر الشكل 10).

أرز. 10. محور كو نو سا المقطوع

You-so-ta ko-nu-sa المبتورة هي عبارة عن per-pen-di-ku-lyar، pro-ve-den من نقطة واحدة من os-no-vaniya إلى قاعدة أخرى. في أغلب الأحيان، بصفتك، قمت بقطع محورها.

أرز. 11. Ose-voe se-che-nie اقتطاع-no-go-ko-nu-sa

القسم المحوري من co-nu-sa المقطوع هو القسم الذي يمر عبر محوره. إنه على شكل شبه منحرف، وبعد ذلك بقليل سوف نظهر المساواة (انظر الشكل 11).

مساحات الأسطح الجانبية والإجمالية للمخروط المقطوع

أرز. 12. مخروط مع الرموز المقدمة

دعونا نجد مساحة bo-co-voy في الجزء العلوي من ko-nu-sa المقطوع. دع قواعد co-nu-sa المقطوعة تحتوي على أنصاف أقطار و، ودع ob-ra-zu-yu متساوية (انظر الشكل 12).

أرز. 13. تعيين ob-ra-zu-yu-shchei من-se-chen-no-th ko-nu-sa

دعونا نجد مساحة bo-ko-voy أعلى co-nu-sa المقطوعة كالفرق في مساحة bo-ko-voys في الجزء العلوي ولكن- ste-khod-no-go كو-نو-سا ومن-سي-تشن-نو-جو. للقيام بذلك، نشير من خلال تشكيل كو نو سا (انظر الشكل 13).

ثم هو كو ماي.

أرز. 14. مثلثات متشابهة

كل ما تبقى لك هو معرفة ذلك.

دعونا نلاحظ أنه من po-do-biy tri-corn-ni-kov، من-إلى-نعم (انظر الشكل 14).

سيكون من الممكن التعبير عنه بتقسيمه إلى الفرق بين نصف القطر، لكننا لسنا بحاجة إلى ذلك، لأنه في التعبير هو بالضبط fi-gu-ri-ru-et pro-iz-ve- دي ني. وبالتعويض بدلا من ذلك نحصل في النهاية على: .

الآن ليس من الصعب الحصول على شكل لمساحة سطح كاملة. للقيام بذلك، أضف بالضبط مساحة دائرتي القواعد: .

مهمة

أرز. 15. توضيح لـ-da-che

دع المخروط المقطوع يدور بواسطة مصيدة مستطيلة حول ارتفاعه. الخط الأوسط لشبه المنحرف يساوي ، والجانب الأكبر يساوي (انظر الشكل 15). ابحث عن مساحة bo-co-voy في الجزء العلوي-no-sti من ko-nu-sa المقطوع.

حل

من الصيغة نعرف ذلك .

سيكون تشكيل ko-nu-sa عبارة عن عملية كبيرة مستمرة من مائة رو ، أي Ra-di-u-sy ko- well-sa - وهذا هو أساس tra- pe-tion. لا يمكننا العثور عليهم. لكننا لا نحتاج إليها: نحتاج فقط إلى مجموعها، ومجموع قواعد شبه المنحرف أكبر بمرتين من خط الوسط، أي أنه يساوي . ثم .

أوجه التشابه بين المخاريط المقطوعة والأهرامات

انتبه إلى حقيقة أننا عندما نتحدث عن co-nu-se، فإننا نتحدث عنه بينه وبين pi -ra-mi-doy - كانت الصيغ متشابهة. إنه نفس الشيء هنا، لأن المخروط المقطوع يشبه إلى حد كبير pi-ra-mi-du، لذا فإن صيغ المنطقة كبيرة ومكتملة من الأعلى إلى الأعلى المقطوعة ko-nu-sa وpi-ra-mi -dy (وقريبا ستكون هناك صيغ للحجم) التناظرية-المنطقية- لنا.

مهمة

أرز. 1. Illu-strat-tion to-da-che

إن ra-di-u-sy os-no-va-niy use-chen-no-go ko-nu-sa تساوي و و ob-ra-zu-yu-shchaya تساوي . ابحث عن co-nu-sa المقطوع ومساحة محوره (انظر الشكل 1).

والتي تنبثق من نقطة واحدة (أعلى المخروط) وتمر عبر سطح مستو.

يحدث أن المخروط هو جزء من الجسم ذو حجم محدود ويتم الحصول عليه من خلال الجمع بين كل قطعة تربط قمة الرأس ونقاط السطح المسطح. والأخير، في هذه الحالة، هو قاعدة المخروطويقال أن المخروط يرتكز على هذه القاعدة.

عندما تكون قاعدة المخروط مضلعًا، فهو كذلك بالفعل هرم .

مخروط دائري- هذا جسم يتكون من دائرة (قاعدة المخروط) وهي نقطة لا تقع في مستوى هذه الدائرة (أعلى المخروط وجميع الأجزاء التي تصل قمة المخروط بنقاط المخروط). قاعدة). تسمى الأجزاء التي تربط قمة المخروط بنقاط الدائرة الأساسية تشكيل مخروط. يتكون سطح المخروط من قاعدة وسطح جانبي.

مساحة السطح الجانبية صحيحة ن- هرم الكربون منقوش في مخروط:

ق ن =½P ن ل ن,

أين ص ن- محيط قاعدة الهرم و ل ن- أبوثيم.

بنفس المبدأ: بالنسبة لمساحة السطح الجانبية للمخروط المقطوع مع نصف قطر القاعدة ص 1, ص 2وتشكيل لنحصل على الصيغة التالية:

ق=(ص1+ص2)ل.

مخاريط دائرية مستقيمة ومائلة متساوية في القاعدة والارتفاع. هذه الهيئات لها نفس الحجم:

خصائص المخروط.

• عندما يكون لمساحة القاعدة حد، فهذا يعني أن حجم المخروط له حد أيضًا ويساوي الجزء الثالث من حاصل ضرب الارتفاع ومساحة القاعدة.

أين س- منطقة قاعدة، ح- ارتفاع.

وبالتالي، فإن كل مخروط يرتكز على هذه القاعدة وله قمة تقع على مستوى موازٍ للقاعدة، له حجم متساوٍ، لأن ارتفاعهما متساوٍ.

• يقع مركز ثقل كل مخروط ذو حجم محدد عند ربع الارتفاع من القاعدة.
• يمكن التعبير عن الزاوية الصلبة عند قمة المخروط الدائري القائم بالصيغة التالية:

أين α - زاوية فتح المخروط.

• مساحة السطح الجانبية لمثل هذا المخروط، الصيغة:

وإجمالي مساحة السطح (أي مجموع مساحات السطح الجانبي والقاعدة)، الصيغة:

ق=πR(ل+ص)،

أين ر- نصف قطر القاعدة، ل- طول المولد.

• حجم المخروط الدائري، الصيغة:

• بالنسبة للمخروط المقطوع (ليس فقط مستقيمًا أو دائريًا)، الحجم، الصيغة:

أين س 1و س 2- مساحة القواعد العلوية والسفلية،

حو ح- المسافات من مستوى القاعدة العلوية والسفلية إلى الأعلى.

• تقاطع المستوى مع مخروط دائري قائم هو أحد المقاطع المخروطية.

الهندسة هي فرع من فروع الرياضيات يدرس الهياكل في الفضاء والعلاقات بينها. وهو بدوره يتكون أيضًا من أقسام، وأحدها هو القياس المجسم. أنه ينطوي على دراسة خصائص الأشكال ثلاثية الأبعاد الموجودة في الفضاء: المكعب، الهرم، الكرة، المخروط، الاسطوانة، الخ.

المخروط هو جسم في الفضاء الإقليدي محاط بسطح مخروطي والمستوى الذي تقع عليه أطراف مولداته. ويحدث تكوينه أثناء دوران مثلث قائم الزاوية حول أي من أرجله، لذا فهو ينتمي إلى أجسام الثورة.

مكونات المخروط

هناك الأنواع التالية من المخاريط: مائلة (أو مائلة) ومستقيمة. والمائل هو الذي لا يتقاطع محوره مع مركز قاعدته بزاوية قائمة. ولهذا السبب فإن الارتفاع في مثل هذا المخروط لا يتطابق مع المحور، لأنه قطعة تنخفض من أعلى الجسم إلى مستوى قاعدته بزاوية 90 درجة.

يسمى المخروط الذي يكون محوره عموديا على قاعدته مستقيما. يتطابق المحور والارتفاع في مثل هذا الجسم الهندسي نظرًا لحقيقة أن قمة الرأس فيه تقع فوق مركز قطر القاعدة.

يتكون المخروط من العناصر التالية:

1. الدائرة التي هي قاعدتها.
2. السطح الجانبي.
3. النقطة التي لا تقع في مستوى القاعدة تسمى قمة المخروط.
4. القطع التي تصل بين نقاط دائرة قاعدة الجسم الهندسي ورأسها.

كل هذه القطاعات هي مولدات للمخروط. وهي مائلة على قاعدة الجسم الهندسي، وفي حالة المخروط القائم تكون إسقاطاتها متساوية، حيث أن قمة الرأس تكون على مسافة متساوية من نقاط دائرة القاعدة. وهكذا يمكننا أن نستنتج أنه في المخروط المنتظم (المستقيم) تكون المولدات متساوية، أي أن لها نفس الطول وتشكل نفس الزوايا مع المحور (أو الارتفاع) والقاعدة.

نظرًا لأنه في الجسم الدوراني المائل (أو المائل)، يتم إزاحة الرأس بالنسبة إلى مركز المستوى الأساسي، فإن المولدات في مثل هذا الجسم لها أطوال وإسقاطات مختلفة، نظرًا لأن كل منها على مسافة مختلفة من أي نقطتين من نقاط دائرة القاعدة. بالإضافة إلى ذلك، ستكون الزوايا بينها وبين ارتفاع المخروط مختلفة أيضًا.

طول المولدات في مخروط مستقيم

كما كتبنا سابقًا، فإن الارتفاع في الجسم الهندسي القائم للدوران يكون عموديًا على مستوى القاعدة. وبالتالي، فإن المولد والارتفاع ونصف قطر القاعدة يشكلان مثلثًا قائمًا في المخروط.

وهذا هو، معرفة نصف قطر القاعدة والارتفاع، باستخدام الصيغة من نظرية فيثاغورس، يمكنك حساب طول المولد، والذي سيكون مساويا لمجموع مربعات نصف القطر الأساسي والارتفاع:

ل 2 = ص 2 + ح 2 أو ل = √ر 2 + ح 2

حيث l هو المولد؛

ص - نصف القطر؛

ح - الارتفاع.

مولد في مخروط مائل

استنادًا إلى حقيقة أن المولدات في المخروط المائل أو المائل ليس لها نفس الطول، فلن يكون من الممكن حسابها بدون إنشاءات وحسابات إضافية.

أولا وقبل كل شيء، عليك أن تعرف الارتفاع وطول المحور ونصف قطر القاعدة.

ص 1 = √ك 2 - ح 2

حيث r 1 هو جزء نصف القطر بين المحور والارتفاع؛

ك - طول المحور؛

ح - الارتفاع.

نتيجة لإضافة نصف القطر (r) وجزءه الواقع بين المحور والارتفاع (r 1)، يمكنك معرفة المولد الكامل للمخروط وارتفاعه وجزء من القطر:

حيث R هو ساق المثلث المكون من الارتفاع والمولد وجزء من قطر القاعدة؛

ص - نصف قطر القاعدة؛

ص 1 - جزء من نصف القطر بين المحور والارتفاع.

باستخدام نفس الصيغة من نظرية فيثاغورس، يمكنك العثور على طول المولد للمخروط:

ل = √ح 2 + ر 2

أو، دون حساب R بشكل منفصل، قم بدمج الصيغتين في واحدة:

ل = √ح 2 + (ص + ص 1) 2.

بغض النظر عما إذا كان المخروط مستقيمًا أو مائلًا وما هي البيانات المدخلة، فإن جميع طرق العثور على طول المولد تتلخص دائمًا في نتيجة واحدة - استخدام نظرية فيثاغورس.

قسم المخروط

المحوري هو مستوى يمر على طول محوره أو ارتفاعه. وفي المخروط المستقيم يكون هذا القسم مثلثًا متساوي الساقين، يكون فيه ارتفاع المثلث هو ارتفاع الجسم، وأضلاعه هي المولدات، والقاعدة هي قطر القاعدة. في الجسم الهندسي متساوي الأضلاع، يكون المقطع المحوري مثلثًا متساوي الأضلاع، حيث إن قطر القاعدة والمولدات متساوي في هذا المخروط.

مستوى المقطع المحوري في المخروط المستقيم هو مستوى تماثله. والسبب في ذلك هو أن قمته تقع فوق مركز قاعدته، أي أن مستوى المقطع المحوري يقسم المخروط إلى جزأين متطابقين.

وبما أن الارتفاع والمحور لا يتطابقان في الجسم الحجمي المائل، فقد لا يشمل مستوى القسم المحوري الارتفاع. إذا كان من الممكن إنشاء العديد من المقاطع المحورية في مثل هذا المخروط، لأنه يجب استيفاء شرط واحد فقط لهذا الغرض - يجب أن يمر عبر المحور فقط، فيمكن رسم القسم المحوري من المستوى الذي ينتمي إليه ارتفاع هذا المخروط فقط واحد، لأن عدد الشروط يتزايد، وكما هو معروف فإن الخطين المستقيمين (معاً) لا يمكن أن ينتميا إلا إلى مستوى واحد.

مساحة المقطع العرضي

القسم المحوري المذكور سابقًا للمخروط هو مثلث. وبناء على ذلك يمكن حساب مساحتها باستخدام صيغة مساحة المثلث:

S = 1/2 * د * ح أو S = 1/2 * 2ر * ح

حيث S هي مساحة المقطع العرضي؛

د - قطر القاعدة؛

ص - نصف القطر؛

ح - الارتفاع.

في المخروط المائل أو المائل، يكون المقطع العرضي على طول المحور أيضًا مثلثًا، وبالتالي يتم حساب مساحة المقطع العرضي فيه بطريقة مماثلة.

مقدار

بما أن المخروط هو شكل ثلاثي الأبعاد في فضاء ثلاثي الأبعاد، فيمكن حساب حجمه. حجم المخروط هو الرقم الذي يميز هذا الجسم بوحدة الحجم، أي بالمتر المكعب. لا يعتمد الحساب على ما إذا كان مستقيمًا أم مائلًا (منحرفًا)، لأن صيغ هذين النوعين من الأجسام لا تختلف.

كما ذكرنا سابقًا، يحدث تكوين المخروط القائم بسبب دوران المثلث القائم على طول أحد أرجله. يتم تشكيل المخروط المائل أو المائل بشكل مختلف، حيث يتم إزاحة ارتفاعه بعيدًا عن مركز مستوى قاعدة الجسم. ومع ذلك، فإن هذه الاختلافات في البنية لا تؤثر على طريقة حساب حجمها.

حساب الحجم

أي مخروط يبدو مثل هذا:

الخامس = 1/3 * π * ح * ص 2

حيث V هو حجم المخروط؛

ح - الارتفاع؛

ص - نصف القطر؛

π هو ثابت يساوي 3.14.

لحساب ارتفاع الجسم، عليك معرفة نصف قطر القاعدة وطول مصفوفته. بما أن نصف القطر والارتفاع والمولد مدمجان في مثلث قائم الزاوية، فيمكن حساب الارتفاع باستخدام الصيغة من نظرية فيثاغورس (أ 2 + ب 2 = ج 2 أو في حالتنا ح 2 + ص 2 = ل 2، حيث ل هو المولد). سيتم حساب الارتفاع عن طريق أخذ الجذر التربيعي للفرق بين مربعي الوتر والساق الأخرى:

أ = √ج 2 - ب 2

أي أن ارتفاع المخروط سيكون مساوياً للقيمة التي تم الحصول عليها بعد أخذ الجذر التربيعي للفرق بين مربع طول المولد ومربع نصف قطر القاعدة:

ح = √ل 2 - ص 2

ومن خلال حساب الارتفاع بهذه الطريقة ومعرفة نصف قطر قاعدته، يمكنك حساب حجم المخروط. يلعب المولد دورا هاما في هذه الحالة، لأنه بمثابة عنصر مساعد في الحسابات.

وبالمثل، إذا كان ارتفاع الجسم وطول مولده معروفين، فيمكن معرفة نصف قطر قاعدته عن طريق أخذ الجذر التربيعي للفرق بين مربع مولده ومربع الارتفاع:

ص = √ل 2 - ح 2

ثم، باستخدام نفس الصيغة المذكورة أعلاه، حساب حجم المخروط.

حجم المخروط المائل

وبما أن صيغة حجم المخروط هي نفسها لجميع أنواع الأجسام الدورانية، فإن الفرق في حسابها هو البحث عن الارتفاع.

لمعرفة ارتفاع المخروط المائل، يجب أن تتضمن البيانات المدخلة طول المولد ونصف قطر القاعدة والمسافة بين مركز القاعدة وتقاطع ارتفاع الجسم مع المستوى من قاعدتها. بمعرفة ذلك، يمكنك بسهولة حساب ذلك الجزء من قطر القاعدة الذي سيكون قاعدة المثلث القائم الزاوية (الذي يتكون من الارتفاع والمولد ومستوى القاعدة). ثم، مرة أخرى باستخدام نظرية فيثاغورس، احسب ارتفاع المخروط، وبالتالي حجمه.

أرز. 1. كائنات من الحياة لها شكل مخروط مقطوع

من أين تعتقد أن الأشكال الجديدة تأتي من الهندسة؟ كل شيء بسيط للغاية: يصادف الشخص أشياء مماثلة في الحياة ويبتكر اسمًا لها. لنفكر في الموقف الذي تجلس عليه الأسود في السيرك، وقطعة جزرة يتم الحصول عليها عندما نقطع جزءًا منها فقط، وبركانًا نشطًا، وعلى سبيل المثال، ضوء مصباح يدوي (انظر الشكل 1).

أرز. 2. الأشكال الهندسية

نرى أن كل هذه الأشكال لها شكل مماثل - سواء في الأسفل أو في الأعلى تكون محدودة بدوائر، ولكنها تتناقص إلى الأعلى (انظر الشكل 2).

أرز. 3. قطع الجزء العلوي من المخروط

يبدو وكأنه مخروط. الجزء العلوي مفقود فقط. دعونا نتخيل عقليًا أننا نأخذ مخروطًا ونقطع الجزء العلوي منه بضربة واحدة من السيف الحاد (انظر الشكل 3).

أرز. 4. مخروط مقطوع

والنتيجة هي بالضبط شكلنا، ويسمى مخروط مقطوع (انظر الشكل 4).

أرز. 5. القسم الموازي لقاعدة المخروط

دع المخروط يعطى. دعونا نرسم مستوى موازيًا لمستوى قاعدة هذا المخروط ويتقاطع مع المخروط (انظر الشكل 5).

وسوف يقسم المخروط إلى جسمين: أحدهما مخروط أصغر، والثاني يسمى مخروط مقطوع (انظر الشكل 6).

أرز. 6. الأجسام الناتجة ذات المقطع الموازي

وبالتالي، فإن المخروط المقطوع هو جزء من المخروط المحصور بين قاعدته والمستوى الموازي للقاعدة. كما هو الحال مع المخروط، يمكن أن يكون للمخروط المقطوع دائرة في قاعدته، وفي هذه الحالة يسمى دائريًا. إذا كان المخروط الأصلي مستقيما، فإن المخروط المقطوع يسمى مستقيما. كما هو الحال في المخاريط، سننظر حصرا إلى المخاريط المقطوعة الدائرية المستقيمة، إلا إذا ذكر على وجه التحديد أننا نتحدث عن مخروط مقطوع غير مباشر أو أن قواعده ليست دوائر.

أرز. 7. دوران شبه منحرف مستطيل

موضوعنا العالمي هو الهيئات التناوب. المخروط المقطوع ليس استثناء! دعونا نتذكر أنه للحصول على مخروط اعتبرنا مثلثًا قائمًا وقمنا بتدويره حول ساق؟ إذا تقاطع المخروط الناتج بمستوى موازٍ للقاعدة، فسيظل المثلث شبه منحرف مستطيل. ودورانه حول الجانب الأصغر سيعطينا مخروطًا مقطوعًا. دعونا نلاحظ مرة أخرى أننا، بالطبع، نتحدث فقط عن مخروط دائري مستقيم (انظر الشكل 7).

أرز. 8. قواعد المخروط المقطوع

دعونا ندلي ببعض التعليقات. تسمى قاعدة المخروط الكامل والدائرة الناتجة عن قسم المخروط بواسطة المستوى بقواعد المخروط المقطوع (السفلي والعلوي) (انظر الشكل 8).

أرز. 9. مولدات مخروطية مقطوعة

تسمى أجزاء مولدات المخروط الكامل، المحصورة بين قواعد المخروط المقطوع، مولدات المخروط المقطوع. نظرًا لأن جميع مولدات المخروط الأصلي متساوية وجميع مولدات المخروط المقطوع متساوية، فإن مولدات المخروط المقطوع متساوية (لا تخلط بين المولدات المقطوعة والمبتورة!). وهذا يعني أن القسم المحوري لشبه المنحرف متساوي الساقين (انظر الشكل 9).

يُطلق على جزء محور الدوران الموجود داخل المخروط المقطوع اسم محور المخروط المقطوع. وهذا الجزء، بالطبع، يربط بين مراكز قواعده (انظر الشكل 10).

أرز. 10. محور المخروط المقطوع

ارتفاع المخروط المقطوع هو خط عمودي مرسوم من نقطة إحدى القاعدتين إلى القاعدة الأخرى. في أغلب الأحيان، يعتبر ارتفاع المخروط المقطوع هو محوره.

أرز. 11. المقطع المحوري للمخروط المقطوع

القسم المحوري للمخروط المقطوع هو القسم الذي يمر عبر محوره. إنه ذو شكل شبه منحرف وبعد ذلك بقليل سنثبت أنه متساوي الساقين (انظر الشكل 11).

أرز. 12. مخروط مع الرموز المقدمة

دعونا نجد مساحة السطح الجانبي للمخروط المقطوع. دع قواعد المخروط المقطوع لها أنصاف أقطار و و المولدات متساوية (انظر الشكل 12).

أرز. 13. تعيين المولد للمخروط المقطوع

دعونا نجد مساحة السطح الجانبي للمخروط المقطوع كالفرق بين مساحة السطح الجانبي للمخروط الأصلي والمقطع المقطوع. للقيام بذلك، دعونا نشير بواسطة المولد للمخروط المقطوع (انظر الشكل 13).

ثم ما الذي تبحث عنه.

أرز. 14. مثلثات متشابهة

كل ما تبقى هو التعبير.

لاحظ أنه من تشابه المثلثات، من أين (انظر الشكل 14).

سيكون من الممكن التعبير عن القسمة على فرق نصف القطر، لكننا لا نحتاج إلى ذلك، لأن المنتج الذي نبحث عنه يظهر في التعبير الذي نبحث عنه. بالتعويض نحصل في النهاية على: .

أصبح من السهل الآن الحصول على صيغة لإجمالي مساحة السطح. للقيام بذلك، ما عليك سوى إضافة مساحة دائرتي القواعد: .

أرز. 15. رسم توضيحي للمشكلة

دع المخروط المقطوع يتم الحصول عليه عن طريق تدوير شبه منحرف مستطيل حول ارتفاعه. الخط الأوسط لشبه المنحرف يساوي ، والجانب الجانبي الكبير يساوي (انظر الشكل 15). أوجد مساحة السطح الجانبية للمخروط المقطوع الناتج.

حل

من الصيغة نعرف ذلك .

سيكون المولد للمخروط هو الجانب الأكبر من شبه المنحرف الأصلي، أي أن نصف قطر المخروط هو قواعد شبه المنحرف. لا يمكننا العثور عليهم. لكننا لا نحتاج إليها: نحتاج فقط إلى مجموعها، ومجموع قواعد شبه المنحرف أكبر بمرتين من خط الوسط، أي أنه يساوي . ثم .

يرجى ملاحظة أنه عندما تحدثنا عن المخروط، قمنا برسم أوجه التشابه بينه وبين الهرم - وكانت الصيغ متشابهة. إنه نفس الشيء هنا، لأن المخروط المقطوع يشبه إلى حد كبير الهرم المقطوع، لذا فإن صيغ مساحات الأسطح الجانبية والإجمالية للمخروط المقطوع والهرم (وقريبًا ستكون هناك صيغ للحجم) متشابهة.

أرز. 1. رسم توضيحي للمشكلة

أنصاف أقطار قواعد المخروط المقطوع تساوي و و المولدات تساوي . أوجد ارتفاع المخروط المقطوع ومساحة قسمه المحوري (انظر الشكل 1).