يتم بناء منحنيات النمط على النحو التالي:

أولاً، يتم تحديد النقاط التي تنتمي إلى المنحنى ثم يتم ربطها باستخدام النمط. تشتمل منحنيات النمط على ما يسمى بالمقاطع المخروطية للقطع المكافئ والقطع الزائد والقطع الناقص الذي يتم الحصول عليه عن طريق قطع مخروط دائري بمستوي ومطوي وجيبي وغيرها

1. بناء القطع الناقص.

2. التركيز القطع الناقص

3. بناء القطع المكافئ

6. رسم منحنيات النمط.

القطع الناقص هو مقطع مخروطي ينتمي إلى ما يسمى بمنحنيات النمط. يتم الحصول على القطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ عن طريق قطع مخروط دائري بمنحنيات مستوية وجيبية وملتفة وغيرها من المنحنيات.

الشكل 41. تقاطع مخروط مع مستوى على طول القطع الناقص (أ) والقطع الناقص (ب).

من أجل إنشاء منحنيات نمطية (قطع مكافئ، قطع ناقص، قطع زائد)، يتم تحديد النقاط التي تنتمي إلى المنحنى ثم يتم ربط جميع النقاط باستخدام النمط. في حالة قطع سطح المخروط الدائري بمستوى مائل -P، بحيث يتقاطع المستوى المائل مع جميع أجيال المخروط الدائري، يتم تشكيل القطع الناقص في مستوى القسم نفسه (انظر الشكل 41، أ ).

القطع الناقص هو منحنى مسطح مغلق يكون فيه مجموع المسافات بين كل نقطة من نقاطه - M إلى نقطتين محددتين F1 و F2 - قيمة ثابتة. هذه القيمة الثابتة تساوي المحور الرئيسي للقطع الناقص MF1 + MF2 = AB. المحور الأصغر للقرص القطع الناقص والمحور الأكبر AB متعامدان ويقسم أحدهما الآخر إلى نصفين.

الشكل 42. بناء القطع الناقص على طول المحاور


وهكذا، فإن المحاور تقسم منحنى القطع الناقص إلى أربعة أجزاء متساوية متناظرة. إذا وصفنا من أطراف المحور الأصغر CD، كما من المراكز، قوس دائرة نصف قطرها يساوي نصف المحور الأكبر للقطع الناقص R=OA=OB، فإنها ستتقاطع عند النقطتين F1 وF2 ، والتي تسمى البؤر.

يوضح الشكل 42 مثالاً لإنشاء شكل بيضاوي على طول محاوره، على المحورين AB وCD المحددين، كما هو الحال بالنسبة للأقطار، نبني دائرتين متحدتين المركز مركزهما عند النقطة O. نقسم الدائرة الكبيرة إلى عدد عشوائي من الأجزاء ونربطها النقاط الناتجة بخطوط مستقيمة إلى المركز O.

من نقاط التقاطع 1؛ 2؛ 3؛ 4؛ باستخدام الدوائر المساعدة، نرسم شرائح من الخطوط الأفقية والرأسية حتى تتقاطع مع بعضها البعض عند النقاط E، F، K، M، التي تنتمي إلى القطع الناقص. بعد ذلك، وباستخدام النمط، يتم توصيل النقاط المبنية للمنحنى الناعم وتكون النتيجة شكلًا بيضاويًا.

بناء منحنيات النمط، القطع المكافئ

الشكل 43. تقاطع مخروط مع مستوى على طول القطع المكافئ. بناء القطع المكافئ باستخدام البؤرة والدليل.

إذا قمت بقطع مخروط دائري موازي لأحد مولداته بمستوى مائل P، فسيتم تشكيل قطع مكافئ في مستوى القسم (انظر الشكل 43 أ).القطع المكافئ هو خط منحني مسطح ومفتوح. تقع كل نقطة من القطع المكافئ من الخط المستقيم المعطى -MN، ومن البؤرة -F على نفس المسافة.

الخط المستقيم MN هو دليل ويقع عموديًا على محور القطع المكافئ. بين الدليل -MN والبؤرة -F، تقع قمة القطع المكافئ A في المنتصف مباشرةً. من أجل بناء القطع المكافئ باستخدام التركيز والدليل المحدد، من خلال نقطة التركيز -F، ارسم محور القطع المكافئ -X، الدليل العمودي -MN.

اقسم القطعة-EF إلى النصف واحصل على قمة القطع المكافئ-A.من قمة القطع المكافئ على مسافة تعسفية، ارسم خطوطًا مستقيمة متعامدة مع محور القطع المكافئ. من النقطة -F بنصف قطر يساوي المسافة -L، من الخط المستقيم المقابل للدليل، على سبيل المثال CB، نرسم خطًا مستقيمًا إلى هذا. في هذه الحالة، النقطتان C و B.

بعد أن قمنا ببناء عدة أزواج من النقاط المتماثلة، نرسم منحنى سلسًا من خلالها باستخدام النمط. يوضح الشكل (43 ج) مثالاً لبناء مماس القطع المكافئ لخطين مستقيمين OA وOB عند النقطتين A وB. يتم تقسيم القطع OA وOB إلى نفس العدد من الأجزاء المتساوية (على سبيل المثال، مقسمة إلى ثمانية). بعد ذلك، يتم ترقيم نقاط التقسيم الناتجة وربطها بخطوط مستقيمة 1-1؛ 2-2؛ 3-3 (انظر الشكل 43، ج) وهكذا. هذه الخطوط مماسة للمنحنى المكافئ. يتم بعد ذلك إدراج منحنى القطع المكافئ المماس الناعم في الكفاف الذي تشكله الخطوط المستقيمة.

إذا قمت بقطع المخاريط المباشرة والعكسية بمستوى موازٍ لمولديها أو، في حالة معينة، بالتوازي مع المحور، فستحصل في مستوى القسم على قطع زائد يتكون من فرعين متماثلين (انظر الشكل 45، أ) .

الشكل 45. تقاطع المخروط مع المستوى على طول القطع الزائد (أ) وبناء القطع الزائد (ب).

القطع الزائد (الشكل 45، ب) هو منحنى مسطح يكون فيه الفرق في المسافات من كل نقطة من نقاطه إلى نقطتين محددتين F1 وF2، تسمى البؤرتين، قيمة ثابتة وتساوي المسافة بين رؤوسه a وb، على سبيل المثال SF1-SF2=ab. القطع الزائد له محورين للتناظر - AB الحقيقي وCD التخيلي.

يُطلق على الخطين المستقيمين KL و K1 L1 اللذين يمران عبر المركز O للقطع الزائد ويلامسان فروعه عند اللانهاية الخطوط المقاربة. يمكن إنشاء القطع الزائد من الرؤوس المعطاة a وb والبؤرتين F1 وF2. نحدد رؤوس القطع الزائد عن طريق كتابة مستطيل في دائرة مبنية على البعد البؤري (المقطع F1 وF2)، كما هو الحال في القطر.

على المحور الحقيقي AB على يمين التركيز F2 نحدد عشوائيًا 1، 2، 3، 4، ... من التركيزين F1 و F2 نرسم أقواسًا من الدوائر، أولًا نصف قطرها a-1، ثم b-1 حتى التقاطع المتبادل على جانبي المحور الحقيقي للقطع الزائد. بعد ذلك، سنقوم بإجراء التقاطع المتبادل للزوج التالي من الأقواس مع نصفي القطر a-2 وb-2 (النقطة S) وما إلى ذلك.

تنتمي نقاط التقاطع الناتجة للأقواس إلى الفرع الأيمن من القطع الزائد. ستكون نقاط الفرع الأيسر متناظرة مع النقاط المبنية بالنسبة للقرص المضغوط للمحور الوهمي.

الشكل الجيبي هو إسقاط مسار نقطة تتحرك على طول حلزون أسطواني على مستوى موازٍ لمحور الأسطوانة. تتكون حركة النقطة من حركة دورانية منتظمة (حول محور الأسطوانة) وحركة انتقالية موحدة (موازية للأسطوانة).

الشكل 46. بناء الشكل الجيبي

الموجة الجيبية عبارة عن منحنى مسطح يوضح التغير في دالة الجيب المثلثية اعتمادًا على التغير في مقدار الزاوية. لإنشاء شكل جيبي (الشكل 46)، من خلال مركز O لدائرة قطرها D، ارسم خطًا مستقيمًا OX ورسم عليه قطعة O1 A مساوية لطول الدائرة π د. نقسم هذا الجزء والدائرة إلى نفس العدد من الأجزاء المتساوية. من النقاط التي تم الحصول عليها ومرقمة نرسم خطوطًا مستقيمة متعامدة بشكل متبادل. سنقوم بتوصيل نقاط التقاطع الناتجة لهذه الخطوط باستخدام نمط منحنى سلس.

رسم منحنيات النمط

يتم إنشاء منحنيات النمط بالنقاط. يتم ربط هذه النقاط باستخدام الأنماط، أولاً رسم منحنى يدويًا باليد. مبدأ ربط النقاط الفردية للمنحنى هو كما يلي:

نختار ذلك الجزء من قوس النمط الذي يتطابق بشكل أفضل مع أكبر عدد من نقاط المنحنى المحدد. بعد ذلك، لن نرسم قوس المنحنى بأكمله الذي يتطابق مع النموذج، ولكن الجزء الأوسط منه فقط. بعد ذلك، سوف نختار جزءًا آخر من النموذج، ولكن بحيث يلامس هذا الجزء تقريبًا ثلث المنحنى المرسوم ونقطتين متتاليتين على الأقل من المنحنى، وهكذا. وهذا يضمن الانتقال السلس بين الأقواس الفردية للمنحنى.

نوصيك بإعادة نشر المقال على الشبكات الاجتماعية!

بناء القطع الناقص

القطع الناقص هو منحنى محدب مسطح مغلق، مجموع مسافات كل نقطة منه إلى نقطتين محددتين، تسمى البؤرتين، الواقعتين على المحور الرئيسي، يكون ثابتًا ويساوي طول المحور الرئيسي. يتم تنفيذ بناء بيضاوي على محورين (الشكل 23) على النحو التالي:

• - رسم خطوط محورية يتم وضع القطع AB و CD عليها، والتي تساوي المحاور الرئيسية والثانوية للقطع الناقص، بشكل متماثل من نقطة التقاطع O؛
• - إنشاء دائرتين نصف قطرهما يساوي نصف محوري القطع الناقص ومركزهما عند نقطة تقاطع المحورين؛
• - تقسيم الدائرة إلى اثني عشر جزءًا متساويًا. يتم تنفيذ تقسيم الدائرة كما هو موضح في الفقرة 2.3؛
• -يتم رسم أشعة القطر من خلال النقاط التي تم الحصول عليها؛
• - ترسم خطوط مستقيمة من نقاط تقاطع الأشعة مع الدوائر المتناظرة الموازية لمحاور القطع الناقص حتى تتقاطع مع بعضها البعض عند النقاط الواقعة على القطع الناقص؛
• - ترتبط النقاط الناتجة بخط منحني ناعم باستخدام الأنماط. عند إنشاء خط منحنى النمط، من الضروري تحديد النمط ووضعه بحيث يتم توصيل ما لا يقل عن أربع إلى خمس نقاط.

هناك طرق أخرى لبناء القطع الناقص.

بناء القطع المكافئ

القطع المكافئ هو خط منحني مسطح، كل نقطة منه على مسافة متساوية من الدليل DD 1 - خط مستقيم عمودي على محور التماثل للقطع المكافئ، ومن التركيز F، نقطة تقع على محور التماثل. المسافة KF بين الدليل والبؤرة تسمى معامل القطع المكافئ ص.

يوضح الشكل 24 مثالاً على رسم قطع مكافئ على طول الرأس O، والمحور OK، والوتر CD. يتم البناء على النحو التالي:

• - ارسم خطًا مستقيمًا أفقيًا يُحدد عليه الرأس O ويُرسم عليه المحور OK؛
• - من خلال النقطة K، ارسم خطًا متعامدًا يُرسم عليه طول وتر القطع المكافئ بشكل متماثل لأعلى ولأسفل؛
• - إنشاء مستطيل ABCD، حيث يكون أحد أضلاعه يساوي المحور والآخر يساوي وتر القطع المكافئ؛
• - ينقسم الجانب BC إلى عدة أجزاء متساوية، والجزء KC إلى نفس العدد من الأجزاء المتساوية؛
• - من قمة القطع المكافئ O، يتم رسم الأشعة عبر النقاط 1، 2، وما إلى ذلك، ومن خلال النقاط 1 1، 2 1، وما إلى ذلك؛
• - رسم خطوط مستقيمة موازية للمحاور وتحديد نقاط تقاطع الشعاع مع الخطوط المتوازية المقابلة لها، على سبيل المثال، نقطة تقاطع الشعاع O1 مع الخط المستقيم O1 1 الذي ينتمي إلى القطع المكافئ؛
• - ترتبط النقاط الناتجة بخط منحني ناعم أسفل النموذج. يتم إنشاء الفرع الثاني من القطع المكافئ بطريقة مماثلة.

هناك طرق أخرى لبناء القطع المكافئ.

كيفية بناء القطع المكافئ؟ هناك عدة طرق لرسم دالة تربيعية بيانيًا. كل واحد منهم لديه إيجابيات وسلبيات. دعونا نفكر في طريقتين.

لنبدأ برسم دالة تربيعية بالشكل y=x²+bx+c وy= -x²+bx+c.

مثال.

ارسم بيانيًا الدالة y=x²+2x-3.

حل:

y=x²+2x-3 هي دالة تربيعية. الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ مع فروع لأعلى. إحداثيات قمة القطع المكافئ

من الرأس (-1;-4) نبني رسمًا بيانيًا للقطع المكافئ y=x² (اعتبارًا من أصل الإحداثيات. بدلاً من (0;0) - الرأس (-1;-4). من (-1; -4) نذهب إلى اليمين بمقدار وحدة واحدة وإلى الأعلى بمقدار وحدة واحدة، ثم إلى اليسار بمقدار 1 وإلى الأعلى بمقدار 1؛ لأعلى، 3 - لليسار، 9 - لأعلى، إذا كانت هذه النقاط السبع غير كافية، فعندئذٍ 4 إلى اليمين، و16 إلى الأعلى، وما إلى ذلك).

الرسم البياني للدالة التربيعية y= -x²+bx+c عبارة عن قطع مكافئ، يتم توجيه فروعه نحو الأسفل. لإنشاء رسم بياني، نبحث عن إحداثيات الرأس ومنه نبني قطعًا مكافئًا y= -x².

مثال.

ارسم الدالة y= -x²+2x+8.

حل:

y= -x²+2x+8 هي دالة تربيعية. الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ مع فروع لأسفل. إحداثيات قمة القطع المكافئ

من الأعلى نبني القطع المكافئ y= -x² (1 - إلى اليمين، 1- إلى الأسفل؛ 1 - إلى اليسار، 1 - إلى الأسفل؛ 2 - إلى اليمين، 4 - إلى الأسفل؛ 2 - إلى اليسار، 4 - إلى الأسفل، إلخ.):

تسمح لك هذه الطريقة ببناء القطع المكافئ بسرعة ولا تسبب صعوبات إذا كنت تعرف كيفية رسم الدالتين y=x² وy= -x². العيب: إذا كانت إحداثيات الرأس عبارة عن أرقام كسرية، فليس من المناسب جدًا إنشاء رسم بياني. إذا كنت تريد معرفة القيم الدقيقة لنقاط تقاطع الرسم البياني مع محور الثور، فسيتعين عليك أيضًا حل المعادلة x²+bx+c=0 (أو -x²+bx+c=0)، حتى لو كان من الممكن تحديد هذه النقاط مباشرة من الرسم.

هناك طريقة أخرى لإنشاء قطع مكافئ وهي بالنقاط، أي أنه يمكنك العثور على عدة نقاط على الرسم البياني ورسم قطع مكافئ من خلالها (مع الأخذ في الاعتبار أن الخط x=xₒ هو محور التماثل). عادةً ما يتم أخذ قمة القطع المكافئ ونقاط تقاطع الرسم البياني مع محاور الإحداثيات و1-2 نقاط إضافية لهذا الغرض.

ارسم رسمًا بيانيًا للدالة y=x²+5x+4.

حل:

y=x²+5x+4 هي دالة تربيعية. الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ مع فروع لأعلى. إحداثيات قمة القطع المكافئ

أي أن رأس القطع المكافئ هو النقطة (-2.5؛ -2.25).

يبحثون عن . عند نقطة التقاطع مع محور الثور y=0: x²+5x+4=0. جذور المعادلة التربيعية x1=-1، x2=-4، أي أننا حصلنا على نقطتين على الرسم البياني (-1؛ 0) و (-4؛ 0).

عند نقطة تقاطع الرسم البياني مع محور Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. لقد حصلنا على النقطة (0؛ 4).

لتوضيح الرسم البياني، يمكنك العثور على نقطة إضافية. لنأخذ x=1، ثم y=1²+5∙1+4=10، أي نقطة أخرى على الرسم البياني هي (1؛ 10). نحتفل بهذه النقاط على المستوى الإحداثي. مع الأخذ في الاعتبار تماثل القطع المكافئ بالنسبة للخط الذي يمر عبر رأسه، نحدد نقطتين إضافيتين: (-5؛ 6) و (-6؛ 10) ونرسم قطعًا مكافئًا من خلالهما:

ارسم الدالة y= -x²-3x.

حل:

y= -x²-3x هي دالة تربيعية. الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ مع فروع لأسفل. إحداثيات قمة القطع المكافئ

الرأس (-1.5؛ 2.25) هو النقطة الأولى في القطع المكافئ.

عند نقاط تقاطع الرسم البياني مع المحور x y=0، نحل المعادلة -x²-3x=0. جذورها هي x=0 وx=-3، أي (0;0) و(-3;0) - نقطتان إضافيتان على الرسم البياني. النقطة (o; 0) هي أيضًا نقطة تقاطع القطع المكافئ مع المحور الإحداثي.

عند x=1 y=-1²-3∙1=-4، تكون (1; -4) نقطة إضافية للتخطيط.

يعد إنشاء القطع المكافئ من النقاط طريقة أكثر كثافة في العمالة مقارنة بالطريقة الأولى. إذا لم يتقاطع القطع المكافئ مع محور الثور، فستكون هناك حاجة إلى المزيد من النقاط الإضافية.

قبل الاستمرار في إنشاء الرسوم البيانية للدوال التربيعية بالصيغة y=ax²+bx+c، دعونا نفكر في إنشاء الرسوم البيانية للدوال باستخدام التحولات الهندسية. ومن الأكثر ملائمة أيضًا إنشاء رسوم بيانية للدوال بالصيغة y=x²+c باستخدام أحد هذه التحويلات - الترجمة الموازية.

التصنيف: |

يعد بناء القطع المكافئ إحدى العمليات الرياضية المعروفة. في كثير من الأحيان يتم استخدامه ليس فقط للأغراض العلمية، ولكن أيضا لأغراض عملية بحتة. دعنا نتعرف على كيفية تنفيذ هذا الإجراء باستخدام أدوات تطبيق Excel.

القطع المكافئ هو الرسم البياني لدالة تربيعية من النوع التالي و(س)=الفأس^2+بكس+ج. إحدى خصائصه الرائعة هي حقيقة أن القطع المكافئ له شكل شكل متماثل يتكون من مجموعة من النقاط متساوية البعد عن الدليل. بشكل عام، لا يختلف إنشاء القطع المكافئ في Excel كثيرًا عن إنشاء أي رسم بياني آخر في هذا البرنامج.

إنشاء جدول

بادئ ذي بدء، قبل البدء في بناء القطع المكافئ، يجب عليك إنشاء جدول سيتم إنشاؤه على أساسه. على سبيل المثال، لنأخذ بناء رسم بياني للدالة و(س)=2س^2+7.

رسم بياني

كما ذكر أعلاه، علينا الآن بناء الرسم البياني نفسه.

تحرير الرسم البياني

يمكنك الآن تعديل الرسم البياني الناتج قليلاً.

بالإضافة إلى ذلك، يمكنك إجراء أي أنواع أخرى من التحرير للقطع المكافئ الناتج، بما في ذلك تغيير اسمه وأسماء المحاور. لا تتجاوز تقنيات التحرير هذه نطاق العمل في Excel مع أنواع أخرى من الرسوم البيانية.

كما ترون، فإن إنشاء قطع مكافئ في Excel لا يختلف جوهريًا عن إنشاء نوع آخر من الرسم البياني أو الرسم التخطيطي في نفس البرنامج. يتم تنفيذ جميع الإجراءات على أساس جدول تم إنشاؤه مسبقًا. بالإضافة إلى ذلك، عليك أن تأخذ في الاعتبار أن المخطط المبعثر هو الأكثر ملاءمة لبناء القطع المكافئ.

الشكل البيضاوي.إذا قمت بقطع سطح مخروط دائري بمستوى مائل ر بحيث يتقاطع مع جميع مولداته، فسيتم الحصول على قطع ناقص في مستوى المقطع (شكل 65).

الشكل 65

الشكل البيضاوي(الشكل 66) – منحنى مغلق مسطح يكون فيه مجموع المسافات من أي نقطة من نقاطه (على سبيل المثال، من نقطة م ) ما يصل إلى نقطتين معينتين ف 1 و ف 2 – بؤرة القطع الناقص – هناك قيمة ثابتة تساوي طول محورها الرئيسي أ.ب (على سبيل المثال، ف 1 م + ف 2 م = أ ب ).القطعة المستقيمة أ.ب يسمى المحور الرئيسي للقطع الناقص، والقطعة القرص المضغوط – محورها الأصغر. تتقاطع محاور القطع الناقص عند هذه النقطة س- مركز القطع الناقص، وحجمه يحدد أطوال المحاور الكبرى والصغرى. نقاط ف 1 و ف 2 تقع على المحور الرئيسي أ.ب متناظرة حول هذه النقطة يا ويتم إزالتها من أطراف المحور الصغير (النقاط مع و د ) إلى مسافة تساوي نصف المحور الرئيسي للقطع الناقص .

الشكل 66

هناك عدة طرق لبناء القطع الناقص. أسهل طريقة هي بناء قطع ناقص على طول محوريه باستخدام الدوائر المساعدة (الشكل 67). في هذه الحالة، يتم تحديد مركز القطع الناقص - النقطة يا ويتم رسم خطين مستقيمين متعامدين من خلاله (الشكل 67، أ). من النقطة عن وصف دائرتين نصف قطرهما يساوي نصف المحورين الأكبر والأصغر. تنقسم الدائرة الكبيرة إلى 12 جزءًا متساويًا وتكون نقاط التقسيم متصلة بالنقطة عن . ستقوم الخطوط المرسومة أيضًا بتقسيم الدائرة الأصغر إلى 12 جزءًا متساويًا. ثم يتم رسم الخطوط الأفقية (أو الخطوط المستقيمة الموازية للمحور الرئيسي للقطع الناقص) من خلال نقاط تقسيم الدائرة الصغرى، ويتم رسم الخطوط العمودية (أو الخطوط المستقيمة الموازية للمحور الأصغر للقطع الناقص) من خلال نقاط التقسيم من الدائرة الأكبر. نقاط تقاطعها (على سبيل المثال، النقطة م ) تنتمي إلى القطع الناقص. من خلال ربط النقاط الناتجة بمنحنى سلس، يتم الحصول على القطع الناقص (الشكل 67، ب).

الشكل 67

القطع المكافئ.إذا تم قطع مخروط دائري بواسطة طائرة ر ، بالتوازي مع أحد مولداته، فسيتم الحصول على القطع المكافئ في مستوى القسم (الشكل 68).

الشكل 68

القطع المكافئ(الشكل 69) – منحنى مسطح، كل نقطة منه تقع على نفس المسافة من خط مستقيم معين دي دي 1 ، مُسَمًّى ناظرة، والنقاط F - تركيز القطع المكافئ. على سبيل المثال، لنقطة م شرائح مينيسوتا (المسافة إلى الناظرة) و م.ف. (المسافة إلى التركيز) متساوية، أي. مينيسوتا = م.ف. .

القطع المكافئ له شكل منحنى مفتوح مع محور تماثل واحد، والذي يمر عبر بؤرة القطع المكافئ - النقطة F ويقع عموديًا على المخرج دي دي 1 .دقيق أ ، الكذب في منتصف الجزء ل ، مُسَمًّى قمة القطع المكافئ. المسافة من التركيز إلى الدليل - الجزء ل = 2´OA – يشار إليه بحرف ر و اتصل المعلمة القطع المكافئ. كلما كانت المعلمة أكبر ر كلما ابتعدت فروع القطع المكافئ عن محورها بشكل حاد. يسمى الجزء المحصور بين نقطتين من القطع المكافئ يقع بشكل متماثل بالنسبة لمحور القطع المكافئ وتر(على سبيل المثال، وتر عضو الكنيست ).

الشكل 69

بناء القطع المكافئ من دليله DD 1 وبؤرته F(الشكل 70، أ) . من خلال النقطة F ارسم محور القطع المكافئ عموديًا على الدليل حتى يتقاطع مع الدليل عند النقطة عن. القطعة المستقيمة ل = ص قسمها إلى نصفين واحصل على نقطة أ - الجزء العلوي من القطع المكافئ. على محور النقطة القطع المكافئ أ وضع عدة أقسام متزايدة تدريجيا. من خلال نقاط التقسيم 1, 2, 3 هو - هي. د. رسم خطوط مستقيمة موازية للدليل. وبأخذ بؤرة القطع المكافئ كمركز، يصفون أقواسًا ذات نصف قطر ص 1 = ل 1 1 ،نصف القطر R2 = L2 حتى يتقاطع مع خط من خلال نقطة 2 الخ. النقاط الناتجة تنتمي إلى القطع المكافئ. أولاً، يتم ربطها يدويًا بخط ناعم رفيع، ثم يتم رسمها على طول النموذج.

بناء القطع المكافئ على طول محوره والرأس A والنقطة المتوسطة M(الشكل 70، ب).من خلال الأعلى أ ارسم خطًا مستقيمًا عموديًا على محور القطع المكافئ، ويمر عبر هذه النقطة م – خط مستقيم موازي للمحور. كلا الخطين يتقاطعان عند نقطة ما ب . شرائح أ.ب و بي ام. مقسمة إلى نفس العدد من الأجزاء المتساوية، ويتم ترقيم نقاط التقسيم في الاتجاهات التي تشير إليها الأسهم. من خلال القمة أ والنقاط 1 , 2 , 3 , 4 إجراء الأشعة، ومن النقاط أنا , ثانيا , ثالثا ,رابعا - خطوط مستقيمة موازية لمحور القطع المكافئ. عند تقاطع الخطوط المميزة بالرقم نفسه، توجد نقاط تنتمي إلى القطع المكافئ. كلا فرعي القطع المكافئ متماثلان، لذلك يتم بناء الفرع الآخر بشكل متناظر مع الأول باستخدام الأوتار.

الشكل 70

بناء مماس القطع المكافئ للخطين المستقيمين OA وOB عند النقطتين A وB المعطاتين عليهما(الشكل 71، ب). شرائح الزراعة العضوية. و أوب مقسمة إلى نفس العدد من الأجزاء المتساوية (على سبيل المثال، إلى 8 أجزاء). يتم ترقيم نقاط التقسيم الناتجة ويتم توصيل النقاط التي تحمل الاسم نفسه بخطوط مستقيمة. 1–1 , 2 –2 , 3 –3 إلخ . د . هذه الخطوط مماسة للمنحنى المكافئ. بعد ذلك، يتم إدراج منحنى مماس أملس - قطع مكافئ - في الكفاف الذي تشكله الخطوط المستقيمة. .

الشكل 71

القطع الزائد.إذا قمت بقطع المخاريط المباشرة والعكسية بمستوى موازٍ لمولديها أو، في حالة معينة، بالتوازي مع المحور، فستحصل في مستوى القسم على قطع زائد يتكون من فرعين متماثلين (الشكل 72، أ).

مقارنة مبالغ فيها(شكل 72، ب) يسمى منحنى المستوى المفتوح، وهو عبارة عن مجموعة من النقاط، فرق المسافات من نقطتين معلومتين هو قيمة ثابتة.

الشكل 72

نقاط ثابتة ف 1 و ف 2 وتسمى الخدع , والمسافة بينهما هي البعد البؤري . سطر القطعة ( ف 1 م و ف 2 م ), ربط أي نقطة ( م ) يتم استدعاء المنحنى مع البؤر ناقلات نصف القطرالمبالغة . الفرق بين مسافات النقطة والتركيز ف 1 و ف 2 هي قيمة ثابتة وتساوي المسافة بين القمم أ و ب مقارنة مبالغ فيها؛ على سبيل المثال، لنقطة واحدة م سوف نحصل على: F 1 م -F 2 م = أب. يتكون القطع الزائد من فرعين مفتوحين وله محورين متعامدين بشكل متبادل - صالح أ.ب و خيالي قرص مضغوط. مباشر pq و روبية, المرور عبر المركز يا ،وتسمى الخطوط المقاربة .

إنشاء القطع الزائد باستخدام هذه الخطوط المقاربة pq و روبية, الخدع ف 1 و ف 2 مبين في الشكل 72، ب.

المحور الحقيقي أ.ب القطع الزائد هو منصف الزاوية التي تشكلها الخطوط المقاربة. محور وهمي قرص مضغوط عمودي أ.ب ويمر عبر النقطة عن. وجود الحيل ف 1 و F2، تحديد القمم أ و ب القطع الزائد، لماذا على قطعة ف 1 ف 2 إنشاء نصف دائرة تتقاطع مع الخطوط المقاربة عند النقاط م و ص. من هذه النقاط يتم إنزال الخطوط المتعامدة على المحور أ.ب وعند التقاطع معه نحصل على القمم أ و ب مقارنة مبالغ فيها.

لبناء الفرع الأيمن من القطع الزائد على الخط أ.ب إلى يمين التركيز ف 1 بمناسبة النقاط التعسفية 1 , 2 , 3 , ..., 5. نقاط الخامس و V1 يتم الحصول على القطع الزائدة إذا أخذنا القطعة a5 خارج دائرة نصف قطرها ومن هذه النقطة F2 ارسم قوسًا من الدائرة، والذي تم تحديده من النقطة ف 1، نصف القطر يساوي ب5. يتم إنشاء النقاط المتبقية من القطع الزائد عن طريق القياس مع تلك الموصوفة.

في بعض الأحيان يتعين عليك إنشاء قطع زائد تكون خطوطه المقاربة أوه و أوي متعامدين بشكل متبادل (الشكل 73). وفي هذه الحالة يكون المحوران الحقيقي والتخيلي مكررا مع مخارج الزوايا القائمة. للبناء، يتم تحديد إحدى نقاط القطع الزائد، على سبيل المثال، النقطة أ.

الشكل 73

من خلال النقطة أ تنفيذ مباشرة أك و أكون. ، موازية للمحاور أوه و أوو .من النقطة يا يكرر مع مفاهيم حول مع يعطونها مباشرة مع خطوط مستقيمة أكون. و أك في النقاط 1 , 2 , 3 , 4 و 1" , 2" , 3" , 4" . بعد ذلك يتم رسم المقاطع الرأسية والأفقية من نقاط التقاطع مع هذه الخطوط حتى تتقاطع مع بعضها البعض عند النقاط الأول والثاني والثالث والرابع إلخ. يتم توصيل النقاط الناتجة من القطع الزائد باستخدام نمط . نقاط 1, 2, 3, 4 تقع على خط عمودي تؤخذ بشكل تعسفي .

مطوي من دائرةأو تطوير الدائرة. مطوي من دائرةيسمى المنحنى المسطح الذي يتم وصفه بكل نقطة من الخط المستقيم إذا تم تدحرج هذا الخط المستقيم دون الانزلاق على طول دائرة ثابتة (مسار نقاط الدائرة التي تتكون من نشرها واستقامتها) (الشكل 74).

لبناء مطوي، يكفي تحديد قطر الدائرة د والموضع الأولي للنقطة أ (نقطة أ 0 ). من خلال النقطة أ 0 ارسم مماسًا للدائرة وحدد طول الدائرة المعطاة عليها د . يتم تقسيم الجزء والدائرة الناتجة إلى نفس عدد الأجزاء ويتم رسم مماساتها في اتجاه واحد من خلال نقاط تقسيم الدائرة. يتم وضع المقاطع المأخوذة من الخط الأفقي والمتساوية على التوالي على كل مماس 1أ1 = أ01 , 2 أ 2 = ف أ 0 2 , 3أ3 = أ03 إلخ.؛ يتم توصيل النقاط الناتجة وفقًا للنمط.

الشكل 74

دوامة أرخميدس- منحنى مسطح موصوف بنقطة أ ، تدور بشكل موحد حول نقطة ثابتة - أعمدة عن وفي نفس الوقت الابتعاد عنه بالتساوي (الشكل 75). المسافة التي تقطعها نقطة ما عند الدوران في خط مستقيم بمقدار 360 درجة تسمى الملعب الحلزوني. يتم إنشاء النقاط التابعة لدوامة أرخميدس بناءً على تعريف المنحنى، وتحديد خطوة واتجاه الدوران.

بناء دوامة أرخميدس باستخدام خطوة معينة (مقطع OA) واتجاه الدوران في اتجاه عقارب الساعة(الشكل 75).من خلال نقطة عن ارسم خطًا مستقيمًا وحدد الدرجة الحلزونية عليه الزراعة العضوية. وأخذها كنصف قطر، وصف دائرة. الدائرة والقطعة الزراعة العضوية. مقسمة إلى 12 جزءًا متساويًا. يتم رسم نصف القطر من خلال النقاط الفاصلة للدائرة O1 , O2 , O3 الخ وعليهم من هذه النقطة عن يتم وضعها باستخدام أقواس، على التوالي، 1/12، 2/12، 3/12، وما إلى ذلك، من نصف قطر الدائرة. ترتبط النقاط الناتجة بنمط ذو منحنى سلس.

إن دوامة أرخميدس عبارة عن منحنى مفتوح، وإذا لزم الأمر، يمكنك إنشاء أي عدد من المنعطفات. لإنشاء المنعطف الثاني، قم بوصف دائرة نصف قطرها ر = 2 الزراعة العضوية وكرر جميع الإنشاءات السابقة.

الشكل 75

موجة جيبية.موجة جيبيةيسمى إسقاط مسار النقطة المتحركة مع أنا أسطواني مع الذي الحلزون، على مستوى مواز لمحور الاسطوانة . تتكون حركة النقطة من حركة دورانية منتظمة (حول محور الأسطوانة) وحركة انتقالية موحدة (موازية لمحور الأسطوانة) . الموجة الجيبية هي منحنى مسطح يوضح التغير في دالة الجيب المثلثية اعتمادًا على التغير في الزاوية .

لبناء الجيوب الأنفية (الشكل 76) من خلال المركز عن قطر الدائرة د تنفيذ مباشرة أوه ويتم وضع قطعة عليه يا 1 أ ، يساوي المحيط د. يتم تقسيم هذا الجزء والدائرة إلى نفس العدد من الأجزاء المتساوية. يتم رسم الخطوط المستقيمة المتعامدة بشكل متبادل من النقاط التي تم الحصول عليها والمرقمة. يتم توصيل نقاط التقاطع الناتجة لهذه الخطوط باستخدام نمط منحنى سلس.

الشكل 76

قلبي. قلبي(الشكل 77) المكالمات مع أنا مسار مغلق لنقطة في دائرة مع التي تتدحرج دون الانزلاق على طول دائرة ثابتة لها نفس نصف القطر .

الشكل 77

من المركز عن ارسم دائرة نصف قطرها محددًا وحدد نقطة عشوائية عليها م. يتم رسم سلسلة من المقاطع من خلال هذه النقطة. على كل قاطع، على جانبي نقطة تقاطعه مع الدائرة، يتم وضع شرائح تساوي قطر الدائرة م1. نعم قاطع III3MIII 1 يتقاطع مع الدائرة عند نقطة ما 3 ؛ يتم تسريح المقاطع من هذه النقطة 3ثالثا و 3ثالثًا 1، يساوي القطر م1. نقاط ثالثا و ثالثا 1 ، تنتمي إلى القلب . بصورة مماثلة، مع حاضِر IV4MIV 1 يكرر مع الدائرة عند نقطة 4; يتم وضع الأجزاء من هذه النقطة IV4 و 4رابعا 1، يساوي القطر م1، الحصول على النقاط رابعا و رابعا 1 إلخ.

وترتبط النقاط التي تم العثور عليها بمنحنى، كما هو موضح في الشكل 77.

منحنيات دائرية. الدائريات – خطوط منحنية مستوية توصف بنقطة تنتمي إلى دائرة تتدحرج دون الانزلاق على خط مستقيم أو دائرة . إذا كانت الدائرة تدور في خط مستقيم، فإن النقطة تصف منحنى يسمى دائرية.

إذا كانت الدائرة تتدحرج على طول دائرة أخرى، وتكون خارجها (على طول الجزء المحدب)، فإن النقطة تصف منحنى يسمى الدويري .

إذا كانت الدائرة تتدحرج على طول دائرة أخرى، داخلها (على طول الجزء المقعر)، فإن النقطة تصف منحنى يسمى هيبوسيكويد . تسمى الدائرة التي تقع عليها النقطة إنتاج . يسمى الخط الذي تدور عليه الدائرة مرشد .

لبناء دائرية(الشكل 78) ارسم دائرة بنصف قطر معين ر ; اتخاذ نقطة البداية على ذلك أ وارسم خطًا إرشاديًا أب، التي تدور على طولها الدائرة .

الشكل 78

قسّم الدائرة المعطاة إلى 12 جزءًا متساويًا (نقاط 1" , 2" , 3" , ..., 12"). إذا كانت النقطة أ يتغير مع حلمة الثدي مع أنا في موقف أ 12 ، ثم المقطع أأ 12 سيكون مساوياً للطول المحيطي المعطى مع تاي، أي. ارسم خطًا من المراكز س – س 12 إنتاج محيطي مع تي، على قدم المساواة , وتقسيمها إلى 12 جزءًا متساويًا. الحصول على النقاط يا 1 ,O2 ,يا 3 ,...، يا 12 ، وهي مراكز دائرة التوليد مع أنت . من هذه النقاط ارسم دائرة مع ty (أو أقواس حولها مع ty) من نصف قطر معين ر ، والتي تلمس الخط أ.ب في النقاط 1,2, 3, ..., 12. إذا رسمنا من كل نقطة اتصال على الدائرة المقابلة طول قوس يساوي المقدار الذي تحركت به النقطة أ ، ثم نحصل على نقاط تنتمي إلى الدائرية. على سبيل المثال، للحصول على نقطة أ5 cycloids يتبع من المركز يا 5 ارسم دائرة من نقطة الاتصال 5 وضع قوس حول المحيط أ5، يساوي A5"، أو من النقطة 5" رسم خط مستقيم موازي أب، إلى التقاطع عند النقطة أ5 مع دائرة مرسومة . يتم إنشاء جميع النقاط الأخرى للدويري بالمثل. .

يتم إنشاء Epicycloid على النحو التالي.ويبين الشكل 79 نصف قطر دائرة التوليد مع أ ر مع المركز يا 0 ، نقطة البداية أ عليه وقوس الدليل حوله مع لك الراديو مع أ ص 1 الذي يتدحرج على طوله مع أنا دائرة. يشبه بناء فلك الشكل الدائري بناء الشكل الدائري، وهي: تقسيم دائرة معينة إلى 12 جزءًا متساويًا (نقاط 1" , 2" , 3" , ...,12"), يتم تسريح كل جزء من هذه الدائرة من نقطة ما أ على طول القوس أ.ب 12 مرة (نقطة 1 , 2 , 3 , ..., 12) والحصول على طول القوس أأ 12 . يمكن تحديد هذا الطول باستخدام الزاوية .

أبعد من المركز عن نصف القطر يساوي أوو 0 ، ارسم خطًا لمراكز دائرة التوليد وارسم أنصاف الأقطار 01 , 02 , 03 , ...,012 ، واستمر حتى يتقاطعوا مع خط المراكز، يحصلون على المراكز يا 1، يا 2، ...، يا 12 دائرة توليد . من هذه المراكز التي يبلغ نصف قطرها يساوي ر ، ارسم دوائر أو أقواسًا من الدوائر التي يبنون عليها و مع أي نقاط المنحنى؟ لذلك، للحصول على هذه النقطة أ 4 س يجب التحقق مع قوس حولها مع نصف قطر المحملة O4" حتى يتقاطع مع دائرة مرسومة من مركزها O4. ويتم إنشاء نقاط أخرى بالمثل، ثم يتم ربطها فيما بعد بمنحنى سلس .

الشكل 79

معلومات ذات صله.