Tekislikdagi qaysi chiziq tenglama bilan berilganligini aniqlang. To'g'ri chiziq tenglamasi, tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamalarining turlari
Formula (tenglama) bilan berilgan funktsiyani ko'rib chiqing.
Bu funktsiya va shuning uchun (11) tenglama tekislikda ushbu funktsiyaning grafigi bo'lgan aniq belgilangan chiziqqa mos keladi (20-rasmga qarang). Funksiya grafigining ta’rifidan kelib chiqadiki, bu chiziq tekislikning koordinatalari (11) tenglamani qanoatlantiradigan nuqtalardan iborat bo‘ladi.
Keling
Bu funktsiyaning grafigi bo'lgan chiziq tekislikning koordinatalari (12) tenglamani qanoatlantiradigan nuqtalardan iborat bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, agar nuqta belgilangan chiziqda yotsa, uning koordinatalari (12) tenglamani qanoatlantiradi. Agar nuqta shu chiziqda yotmasa, uning koordinatalari (12) tenglamani qanoatlantirmaydi.
(12) tenglama y ga nisbatan yechilgan. y ga nisbatan yechilmagan x va y ni o'z ichiga olgan tenglamani ko'rib chiqing, masalan, tenglama
Bu tenglamaga tekislikdagi chiziq mos kelishini ko'rsataylik, ya'ni koordinatalarning boshida joylashgan va radiusi 2 ga teng bo'lgan doira. Tenglamani ko'rinishda qayta yozamiz.
Uning chap tomoni nuqtaning boshlang'ich nuqtasidan masofasining kvadratidir (2-band, 2-band, 3-formulaga qarang). Tenglikdan (14) bu masofaning kvadrati 4 ga teng ekanligi kelib chiqadi.
Bu shuni anglatadiki, koordinatalari (14) tenglamani va demak, (13) tenglamani qanoatlantiradigan har qanday nuqta koordinata boshidan 2 masofada joylashgan.
Bunday nuqtalarning joylashuvi koordinata boshi va radiusi 2da joylashgan aylanadir. Bu doira (13) tenglamaga mos keladigan chiziq bo'ladi. Uning istalgan nuqtasining koordinatalari (13) tenglamani qanoatlantirishi aniq. Agar nuqta biz topgan doirada yotmasa, u holda uning koordinata boshidan masofasining kvadrati yo 4 dan katta yoki kichik bo'ladi, ya'ni bunday nuqtaning koordinatalari (13) tenglamani qanoatlantirmaydi.
Keling, umumiy holatda, tenglama berilgan
chap tomonida x va y ni o'z ichiga olgan ifoda joylashgan.
Ta'rif. (15) tenglama bilan aniqlangan chiziq koordinatalari shu tenglamani qanoatlantiradigan tekislikdagi nuqtalarning joylashuvidir.
Demak, agar L chiziq tenglama bilan aniqlansa, L ning istalgan nuqtasining koordinatalari bu tenglamani qanoatlantiradi, tekislikning L dan tashqarida yotgan istalgan nuqtasining koordinatalari (15) tenglamani qanoatlantirmaydi.
(15) tenglama chiziqli tenglama deyiladi
Izoh. Har qanday tenglama har qanday chiziqni belgilaydi deb o'ylamaslik kerak. Masalan, tenglama hech qanday chiziqni aniqlamaydi. Darhaqiqat, va y ning har qanday haqiqiy qiymatlari uchun bu tenglamaning chap tomoni musbat, o'ng tomoni esa nolga teng, shuning uchun bu tenglama tekislikdagi biron bir nuqtaning koordinatalarini qondira olmaydi.
To'g'ri tekislikda faqat dekart koordinatalarini o'z ichiga olgan tenglama bilan emas, balki qutb koordinatalaridagi tenglama bilan ham aniqlanishi mumkin. Qutb koordinatalarida tenglama bilan aniqlangan chiziq qutb koordinatalari bu tenglamani qanoatlantiradigan tekislikdagi nuqtalarning joylashuvidir.
Misol 1. da Arximed spiralini quring.
Yechim. Keling, qutb burchagining ba'zi qiymatlari va qutb radiusining mos keladigan qiymatlari uchun jadval tuzamiz.
Biz qutb koordinata tizimida nuqta quramiz, bu, shubhasiz, qutbga to'g'ri keladi; keyin, o'qni qutb o'qiga burchak ostida chizib, biz ushbu o'qda musbat koordinatali nuqtani quramiz; shundan so'ng biz xuddi shunday qutb burchagi va qutb radiusining ijobiy qiymatlari bo'lgan nuqtalarni quramiz (bu nuqtalar uchun o'qlar). 30-rasmda ko'rsatilmagan).
Ma'lumki, tekislikdagi har qanday nuqta qandaydir koordinatalar tizimidagi ikkita koordinata bilan aniqlanadi. Koordinata tizimlari asos va kelib chiqishni tanlashga qarab har xil bo'lishi mumkin.
Ta'rif: Chiziq tenglamasi bu chiziqni tashkil etuvchi nuqtalar koordinatalari orasidagi y = f(x) munosabatdir.
E'tibor bering, chiziq tenglamasi parametrik tarzda ifodalanishi mumkin, ya'ni har bir nuqtaning har bir koordinatasi qandaydir mustaqil parametr orqali ifodalanadi. t. Oddiy misol - harakatlanuvchi nuqtaning traektoriyasi. Bunday holda, vaqt parametr rolini o'ynaydi.
To'g'ri chiziq tenglamalarining har xil turlari
To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi.
Tekislikdagi har qanday chiziq birinchi tartibli tenglama bilan berilishi mumkin
Ah + Wu + C = 0,
bundan tashqari, A, B konstantalari bir vaqtning o'zida nolga teng emas, ya'ni. A 2 + B 2 ¹ 0. Bu birinchi tartibli tenglama toʻgʻri chiziqning umumiy tenglamasi deyiladi. .
Qadriyatlarga qarab doimiy A, B va C, quyidagi maxsus holatlar mumkin:
C \u003d 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - chiziq koordinatadan o'tadi
A \u003d 0, B ¹ 0, C ¹ 0 ( By + C \u003d 0) - chiziq Ox o'qiga parallel
B \u003d 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C \u003d 0) - chiziq Oy o'qiga parallel
B \u003d C \u003d 0, A ¹ 0 - to'g'ri chiziq Oy o'qiga to'g'ri keladi
A \u003d C \u003d 0, B ¹ 0 - to'g'ri chiziq Ox o'qiga to'g'ri keladi
To'g'ri chiziq tenglamasini quyidagicha ifodalash mumkin turli shakllar har qanday dastlabki shartlarga bog'liq.
Ikki nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi.
Fazoda ikkita M 1 (x 1, y 1, z 1) va M 2 (x 2, y 2, z 2) nuqtalar berilsin, keyin bu nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi:
Agar maxrajlardan birortasi nolga teng bo'lsa, mos keladigan numerator nolga teng bo'lishi kerak. Tekislikda yuqorida yozilgan to'g'ri chiziq tenglamasi soddalashtirilgan:
agar x 1 ¹ x 2 va x \u003d x 1 bo'lsa, agar x 1 \u003d x 2 bo'lsa.
Kasr = k to'g'ri chiziqning qiyaligi deyiladi.
To'g'ri chiziqning nuqta va qiyalik bo'yicha tenglamasi.
Agar Ax + Vy + C = 0 to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi quyidagi shaklga olib keladi:
va ni belgilaymiz, u holda hosil bo'lgan tenglama qiyaligi k bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasi deyiladi.
To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi.
Agar Ah + Vu + S to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasida = 0 S ¹ 0 bo'lsa, -S ga bo'linib, biz quyidagilarni olamiz: yoki
Koeffitsientlarning geometrik ma'nosi koeffitsientdir a chiziqning x o'qi bilan kesishgan nuqtasining koordinatasi va b- to'g'ri chiziqning Oy o'qi bilan kesishgan nuqtasi koordinatasi.
To'g'ri chiziqning normal tenglamasi.
Agar Ax + Vy + C = 0 tenglamaning ikkala qismi normallashtiruvchi koeffitsient deb ataladigan raqamga bo'lingan bo'lsa, unda biz hosil bo'lamiz.
xcosj + ysinj - p = 0 -
to'g'ri chiziqning normal tenglamasi.
Normallashtiruvchi omilning ± belgisi m × S bo'lishi uchun tanlanishi kerak< 0.
p - boshdan to'g'ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyar uzunligi, j - Ox o'qining musbat yo'nalishi bilan bu perpendikulyar tomonidan hosil qilingan burchak.
Tekislikdagi chiziqlar orasidagi burchak.
Agar ikkita chiziq y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 berilgan bo'lsa, u holda bu chiziqlar orasidagi o'tkir burchak quyidagicha aniqlanadi.
Ikki chiziq parallel, agar k 1 = k 2 bo'lsa.
Ikki chiziq perpendikulyar bo'ladi, agar k 1 = -1/k 2 bo'lsa.
Teorema. A 1 \u003d lA, B 1 \u003d lB koeffitsientlari proportsional bo'lganda Ax + Vy + C \u003d 0 va A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 to'g'ri chiziqlar parallel bo'ladi. Agar C 1 = lC ham bo'lsa, unda chiziqlar mos keladi.
Ikki chiziqning kesishish nuqtasining koordinatalari ikkita tenglamalar sistemasining yechimi sifatida topiladi.
Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa.
Teorema. Agar M(x 0, y 0) nuqta berilsa, Ax + Vy + C \u003d 0 chizig'igacha bo'lgan masofa quyidagicha aniqlanadi.
5-ma'ruza
Tahlilga kirish. Bitta o‘zgaruvchili funksiyaning differentsial hisobi.
FUNKSIYA CHEGIRASI
Funktsiyaning nuqtadagi chegarasi.
0 a - D a a + D x
1-rasm. Funktsiyaning nuqtadagi chegarasi.
f(x) funksiya x = a nuqtaning qandaydir qo'shnisida aniqlansin (ya'ni x = a nuqtaning o'zida funktsiya aniqlanmasligi mumkin)
Ta'rif. A soni f(x) funksiyaning x®a uchun chegarasi deyiladi, agar har qanday e>0 uchun D>0 soni mavjud bo'lsa, barcha x uchun shundayki
0 < ïx - aï < D
ïf(x) tengsizlik - Aï< e.
Xuddi shu ta'rif boshqa shaklda yozilishi mumkin:
Agar a - D< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.
Funktsiya chegarasini nuqtada yozish:
Ta'rif.
Agar f(x) ® A 1 uchun x ® a faqat x uchun< a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A 2 при х ® а только при x >a bo'lsa, u f(x) funksiyaning o'ngdagi x = a nuqtadagi chegarasi deyiladi.
Yuqoridagi ta'rif f(x) funksiyaning o'zi x = a nuqtada aniqlanmagan, balki bu nuqtaning ba'zi bir ixtiyoriy kichik qo'shnisida aniqlangan holatga tegishli.
A 1 va A 2 chegaralari ham deyiladi bir tomonlama f(x) funksiyadan tashqari x = a nuqtada. Shuningdek, aytilishicha, A funktsiya chegarasi f(x).
Tekislikdagi chiziq tenglamasi.
Ma'lumki, tekislikdagi har qanday nuqta qandaydir koordinatalar tizimidagi ikkita koordinata bilan aniqlanadi. Koordinata tizimlari asos va kelib chiqishni tanlashga qarab har xil bo'lishi mumkin.
Ta'rif. Chiziqli tenglama nisbati deyiladi y=f(x ) bu chiziqni tashkil etuvchi nuqtalar koordinatalari orasida.
E'tibor bering, chiziq tenglamasi parametrik tarzda ifodalanishi mumkin, ya'ni har bir nuqtaning har bir koordinatasi qandaydir mustaqil parametr orqali ifodalanadi.t.
Oddiy misol - harakatlanuvchi nuqtaning traektoriyasi. Bunday holda, vaqt parametr rolini o'ynaydi.
Tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi.
Ta'rif. Tekislikdagi har qanday chiziq birinchi tartibli tenglama bilan berilishi mumkin
Ah + Wu + C = 0,
bundan tashqari, A, B konstantalari bir vaqtning o'zida nolga teng emas, ya'ni. A 2 + B 2¹ 0. Bu birinchi tartibli tenglama deyiladi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi.
A, B va C konstantalarining qiymatlariga qarab, quyidagi maxsus holatlar mumkin:
C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - chiziq koordinatadan o'tadi
A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 ( By + C \u003d 0) - to'g'ri chiziq Ox o'qiga parallel
B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 ( Ax + C = 0) - Oy o'qiga parallel to'g'ri chiziq
B \u003d C \u003d 0, A ¹ 0 - chiziq Oy o'qiga to'g'ri keladi
A = C = 0, B ¹ 0 - chiziq Ox o'qi bilan mos keladi
To'g'ri chiziq tenglamasi har qanday boshlang'ich sharoitga qarab turli shakllarda taqdim etilishi mumkin.
Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa.
Teorema. Agar M(x 0, y 0) nuqta berilsa, Ax + Vy + C \u003d 0 chizig'igacha bo'lgan masofa quyidagicha aniqlanadi.
.
Isbot. M nuqtadan berilgan chiziqqa tushirilgan perpendikulyarning asosi M 1 (x 1, y 1) nuqta bo'lsin. Keyin M va M nuqtalari orasidagi masofa 1:
(1)
Koordinatalar x 1 va y 1 ni tenglamalar tizimining yechimi sifatida topish mumkin:
Tizimning ikkinchi tenglamasi berilgan toʻgʻri chiziqqa perpendikulyar M 0 nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasidir.
Agar tizimning birinchi tenglamasini quyidagi shaklga aylantirsak:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 ga + C = 0,
keyin, yechish, biz olamiz:
Ushbu ifodalarni (1) tenglamaga almashtirib, biz quyidagilarni topamiz:
.
Teorema isbotlangan.
Misol. Chiziqlar orasidagi burchakni aniqlang: y=-3x+7; y = 2 x + 1.
K 1 \u003d -3; k 2 = 2tg j =; j = p /4.
Misol. 3x - 5y + 7 = 0 va 10x + 6y - 3 = 0 chiziqlar perpendikulyar ekanligini ko'rsating.
Toping: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, demak, chiziqlar perpendikulyar.
Misol. A(0; 1) uchburchakning uchlari berilgan. B(6;5),C (12; -1). C uchidan chizilgan balandlik tenglamasini toping.
Oxirgi maqolada biz tekislikdagi to'g'ri chiziq mavzusiga oid asosiy fikrlarni ko'rib chiqdik. Endi to'g'ri chiziq tenglamasini o'rganishga o'tamiz: qaysi tenglamani to'g'ri chiziq tenglamasi deb atash mumkinligini, shuningdek, to'g'ri chiziq tenglamasi tekislikda qanday ko'rinishga ega ekanligini ko'rib chiqing.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasining ta'rifi
Aytaylik, to'g'ri chiziq bor, u to'g'ri to'rtburchaklar dekart koordinata sistemasi O x y da berilgan.
Ta'rif 1
To'g'ri chiziq- bu geometrik shakl, u nuqtalardan tashkil topgan. Har bir nuqta abscissa va ordinata o'qlari bo'ylab o'z koordinatalariga ega. Dekart sistemasidagi O x y to'g'ri chiziqning har bir nuqtasi koordinatalarining bog'liqligini tavsiflovchi tenglama tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi deyiladi.
Aslida, tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi ikki o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglama bo'lib, ular x va y sifatida belgilanadi. To'g'ri chiziqning istalgan nuqtasining qiymatlari unga almashtirilganda tenglama o'ziga xoslikka aylanadi.
Keling, tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi qanday ko'rinishga ega bo'lishini ko'rib chiqaylik. Bu bizning maqolamizning keyingi qismida diqqat markazida bo'ladi. E'tibor bering, to'g'ri chiziq tenglamasini yozishning bir nechta variantlari mavjud. Bu tekislikda to'g'ri chiziqni o'rnatishning bir necha usullari mavjudligi, shuningdek, vazifalarning turli o'ziga xos xususiyatlari bilan izohlanadi.
Dekart koordinata sistemasida tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasining shaklini O x y belgilovchi teorema bilan tanishamiz.
Teorema 1
A x + B y + C = 0 ko'rinishdagi tenglama, bunda x va y o'zgaruvchilar, A, B va C esa ba'zi haqiqiy sonlar bo'lib, ulardan A va B nolga teng bo'lmagan, to'g'ri chiziqni aniqlaydi. Dekart koordinata sistemasi O x y . O'z navbatida, tekislikdagi har qanday to'g'ri chiziq A x + B y + C = 0 ko'rinishdagi tenglama bilan berilishi mumkin.
Shunday qilib, tekislikdagi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi A x + B y + C = 0 ko'rinishga ega.
Keling, mavzuning ba'zi muhim jihatlarini tushuntiramiz.
1-misol
Rasmga qarang.
Chizmadagi chiziq 2 x + 3 y - 2 \u003d 0 ko'rinishidagi tenglama bilan aniqlanadi, chunki bu chiziqni tashkil etuvchi har qanday nuqtaning koordinatalari yuqoridagi tenglamani qondiradi. Shu bilan birga, 2 x + 3 y - 2 = 0 tenglamasi bilan aniqlangan tekislikdagi ma'lum miqdordagi nuqtalar bizga rasmda ko'rgan to'g'ri chiziqni beradi.
To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi to'liq yoki to'liqsiz bo'lishi mumkin. To'liq tenglamada barcha A, B va C raqamlari nolga teng emas. Boshqa barcha hollarda tenglama to'liq emas deb hisoblanadi. A x + B y = 0 ko'rinishdagi tenglama koordinata boshidan o'tadigan to'g'ri chiziqni belgilaydi. Agar A nolga teng bo'lsa, u holda A x + B y + C = 0 tenglama O x o'qiga parallel to'g'ri chiziqni aniqlaydi. Agar B nolga teng bo'lsa, u holda chiziq O y ordinata o'qiga parallel bo'ladi.
Xulosa: A, B va C raqamlarining ma'lum qiymatlari uchun to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasidan foydalanib, O x y to'rtburchaklar koordinata tizimidagi tekislikda istalgan to'g'ri chiziqni yozishingiz mumkin.
A x + B y + C = 0 ko'rinishdagi tenglama bilan berilgan chiziq A , B koordinatali normal chiziqli vektorga ega.
Quyida ko'rib chiqiladigan barcha berilgan chiziqlar tenglamalarini chiziqning umumiy tenglamasidan olish mumkin. Teskari jarayon ham mumkin, agar ko'rib chiqilayotgan tenglamalardan birini to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasiga keltirish mumkin.
Mavzuning barcha nuanslarini "To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi" maqolasida tushunishingiz mumkin. Materialda biz teoremaning isbotini grafik tasvirlar va misollarning batafsil tahlilini taqdim etamiz. To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasidan boshqa turdagi tenglamalarga va aksincha o'tishlarga alohida e'tibor beriladi.
To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi x a + y b = 1 ko'rinishga ega, bu erda a va b nolga teng bo'lmagan ba'zi haqiqiy sonlardir. a va b raqamlarining mutlaq qiymatlari koordinata o'qlarida to'g'ri chiziq bilan kesilgan segmentlarning uzunligiga teng. Segmentlarning uzunligi koordinatalarning kelib chiqishidan o'lchanadi.
Tenglama tufayli siz chizmaga osongina tekis chiziq chizishingiz mumkin. Buning uchun a, 0 va 0, b nuqtalarni to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasida belgilab, so‘ngra ularni to‘g‘ri chiziq bilan bog‘lash kerak.
2-misol
X 3 + y - 5 2 = 1 formulasi bilan berilgan to'g'ri chiziqni quramiz. Grafikda ikkita nuqtani belgilaymiz 3 , 0 , 0 , - 5 2 , ularni bir-biriga bog'laymiz.
Y = k · x + b ko'rinishga ega bo'lgan bu tenglamalar bizga algebra kursidan yaxshi ma'lum bo'lishi kerak. Bu erda x va y o'zgaruvchilar, k va b ba'zi haqiqiy sonlar, ulardan k qiyaligi. Bu tenglamalarda y o‘zgaruvchisi x argumentining funksiyasi hisoblanadi.
To'g'ri chiziqning o'qning musbat yo'nalishiga og'ish burchagini aniqlash orqali qiyalikning ta'rifini beraylik O x .
Ta'rif 2
Dekart koordinatalar sistemasida to'g'ri chiziqning O x o'qining musbat yo'nalishiga moyillik burchagini belgilash uchun a burchakning qiymatini kiritamiz. Burchak x o'qining musbat yo'nalishidan soat miliga teskari to'g'ri chiziqqa o'lchanadi. Agar chiziq O x o'qiga parallel bo'lsa yoki u bilan mos tushsa, a burchak nolga teng deb hisoblanadi.
To'g'ri chiziqning qiyaligi - bu to'g'ri chiziqning qiyaligining tangensi. U quyidagicha yoziladi k = t g a . O y o'qiga parallel yoki unga to'g'ri keladigan to'g'ri chiziq uchun qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasini yozish mumkin emas, chunki bu holda qiyalik cheksizlikka aylanadi (mavjud emas).
y = k x + b tenglama bilan berilgan to'g'ri chiziq y o'qidagi 0, b nuqtadan o'tadi. Bu shuni anglatadiki, y \u003d k x + b nishabli to'g'ri chiziq tenglamasi 0, b nuqtadan o'tadigan va O x o'qining musbat yo'nalishi bilan a burchak hosil qiluvchi tekislikka to'g'ri chiziq o'rnatadi va k. \u003d t g a.
3-misol
y = 3 · x - 1 ko'rinishdagi tenglama bilan aniqlangan to'g'ri chiziq chizamiz.
Bu chiziq nuqtadan o'tishi kerak (0 , - 1) . Nishab burchagi a = a r c t g 3 = p 3 O x o'qining musbat yo'nalishiga 60 gradusga teng. Nishab 3
E'tibor bering, qiya chiziqli to'g'ri chiziq tenglamasidan foydalanib, nuqtadagi funktsiya grafigiga teginish tenglamasini izlash juda qulay.
Mavzu bo'yicha ko'proq ma'lumotni "Qiyalik bilan chiziq tenglamasi" maqolasida topishingiz mumkin. Nazariyadan tashqari, ko'p sonli grafik misollar va vazifalarning batafsil tahlili mavjud.
Ushbu turdagi tenglamalar x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y ko'rinishga ega bo'lib, bu erda x 1, y 1, a x, a y ba'zi haqiqiy sonlar bo'lib, ulardan x va y nolga teng emas.
To'g'ri chiziqning kanonik tenglamasi bilan berilgan to'g'ri chiziq M 1 (x 1 , y 1) nuqtadan o'tadi. Kasrlarning maxrajlaridagi a x va y raqamlari to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalari hisoblanadi. Demak, O x y Dekart koordinata sistemasidagi x - x 1 a x = y - y 1 a y to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasi M 1 (x 1, y 1) nuqtadan o'tuvchi va yo'nalish vektoriga ega bo'lgan chiziqqa mos keladi. a → = (a x , a y) .
4-misol
O x y koordinatalar sistemasida x - 2 3 = y - 3 1 tenglama bilan berilgan to'g'ri chiziq chizing. M 1 (2 , 3) nuqta to'g'ri chiziqqa tegishli, a → (3 , 1) vektor bu to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori.
X - x 1 a x = y - y 1 a y ko'rinishdagi kanonik to'g'ri chiziq tenglamasi a x yoki y nolga teng bo'lgan hollarda qo'llanilishi mumkin. Maxrajda nolning mavjudligi x - x 1 a x = y - y 1 a y yozuvini shartli qiladi. Tenglamani quyidagicha yozish mumkin a y (x - x 1) = a x (y - y 1) .
Agar x \u003d 0 bo'lsa, to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasi x - x 1 0 \u003d y - y 1 a y ko'rinishini oladi va ordinata o'qiga parallel yoki shu o'qga to'g'ri keladigan to'g'ri chiziqni o'rnatadi.
To'g'ri chiziqning kanonik tenglamasi, agar a y \u003d 0 bo'lsa, x - x 1 a x \u003d y - y 1 0 ko'rinishini oladi. Bunday tenglama x o'qiga parallel yoki unga to'g'ri keladigan to'g'ri chiziqni belgilaydi.
To'g'ri chiziqning kanonik tenglamasi mavzusi bo'yicha ko'proq ma'lumotga qarang. Maqolada biz muammolarni hal qilishning bir qator usullarini, shuningdek, mavzuni yaxshiroq o'zlashtirishga imkon beradigan ko'plab misollarni taqdim etamiz.
Tekislikdagi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari
Bu tenglamalar x \u003d x 1 + a x l y \u003d y 1 + a y l ko'rinishiga ega, bu erda x 1, y 1, a x, a y ba'zi haqiqiy sonlar bo'lib, ulardan x va y bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lishi mumkin emas. vaqt. Formulaga qo'shimcha l parametri kiritiladi, u har qanday haqiqiy qiymatlarni qabul qilishi mumkin.
Parametrik tenglamaning maqsadi to'g'ri chiziq nuqtalarining koordinatalari o'rtasida yashirin munosabatni o'rnatishdir. Buning uchun l parametri kiritiladi.
x , y raqamlari to'g'ri chiziqdagi biron bir nuqtaning koordinatalari. Ular l parametrining ba'zi haqiqiy qiymati uchun to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari bilan hisoblanadi.
5-misol
l = 0 deb faraz qilaylik.
Keyin x \u003d x 1 + a x 0 y \u003d y 1 + a y 0 ⇔ x \u003d x 1 y \u003d y 1, ya'ni koordinatali nuqta (x 1, y 1) chiziqqa tegishli.
Ushbu turdagi tenglamalarda l parametrli a x va a y koeffitsientlari to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalari ekanligiga e'tiboringizni qaratamiz.
6-misol
x = 2 + 3 · l y = 3 + l ko'rinishdagi parametrik to'g'ri chiziq tenglamalarini ko'rib chiqing. Dekart koordinata tizimidagi tenglamalar bilan berilgan to'g'ri chiziq (x 1 , y 1) nuqtadan o'tadi va a → = (3 , 1) yo'naltiruvchi vektorga ega.
Qo'shimcha ma'lumot uchun "Teklikdagi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari" maqolasiga qarang.
To'g'ri chiziqning normal tenglamasi A x + B y + C = 0 ko'rinishga ega bo'lib, bu erda A, B va C raqamlari n → = (A , B) vektorining uzunligi bir ga teng bo'ladi. , va C ≤ 0.
O x y to'rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi to'g'ri chiziqning normal tenglamasi bilan berilgan chiziqning normal vektori vektor n → = (A , B) . Bu chiziq vektor n → = (A , B) yo'nalishi bo'yicha koordinatadan C masofada o'tadi.
To'g'ri chiziqning normal tenglamasini yozishning yana bir usuli - cos a x + cos b y - p = 0, bu erda cos a va cos b to'g'ri chiziqning birlik uzunligi normal vektorining yo'nalish kosinuslari bo'lgan ikkita haqiqiy sondir. Bu shuni anglatadiki, n → = (cos a , cos b) , tenglik n → = cos 2 a + cos 2 b = 1 to'g'ri, qiymat p ≥ 0 va boshlang'ich nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofaga teng.
7-misol
To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini ko'rib chiqaylik - 1 2 · x + 3 2 · y - 3 = 0. Chiziqning bu umumiy tenglamasi chiziqning normal tenglamasidir, chunki n → = A 2 + B 2 = - 1 2 2 + 3 2 = 1 va C = - 3 ≤ 0 .
Tenglama 0xy Dekart koordinata tizimidagi to'g'ri chiziqni aniqlaydi, uning normal vektori koordinatalariga ega - 1 2 , 3 2 . Chiziq normal vektor n → = - 1 2, 3 2 yo'nalishi bo'yicha 3 birlik bilan boshlang'ichdan chiqariladi.
Sizning e'tiboringizni tekislikdagi to'g'ri chiziqning normal tenglamasi tekislikdagi nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani topish imkonini berishiga qaratamiz.
Agar A x + B y + C \u003d 0 chizig'ining umumiy tenglamasida A, B va C raqamlari shunday bo'lsa, A x + B y + C \u003d 0 tenglama chiziqning oddiy tenglamasi bo'lmasa, u holda uni oddiy shaklga qisqartirish mumkin. Bu haqda ko'proq "Chiziqning oddiy tenglamasi" maqolasida o'qing.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Shakl munosabatini ko'rib chiqing F(x, y)=0 o'zgaruvchilarni bog'lash x va da. Tenglik (1) deb ataladi x, y ikkita o'zgaruvchili tenglama, agar bu tenglik barcha juft sonlar uchun to'g'ri bo'lmasa X va da. Tenglamalarga misollar: 2x + 3y \u003d 0, x 2 + y 2 - 25 \u003d 0,
sin x + sin y - 1 = 0.
Agar (1) barcha x va y sonlar juftligi uchun to'g'ri bo'lsa, u chaqiriladi shaxs. Identifikatsiya misollari: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 \u003d 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 \u003d 0.
(1) tenglama chaqiriladi nuqtalar to'plamining tenglamasi (x; y), agar bu tenglama koordinatalar bilan qanoatlansa X va da to'plamning istalgan nuqtasi va bu to'plamga tegishli bo'lmagan biron bir nuqtaning koordinatalarini qanoatlantirmaydi.
Analitik geometriyadagi muhim tushuncha chiziq tenglamasi tushunchasidir. To'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar tizimi va qandaydir chiziq bo'lsin α.
Ta'rif.(1) tenglama chiziqli tenglama deyiladi α
(yaratilgan koordinatalar tizimida), agar bu tenglama koordinatalar bilan qanoatlansa X va da chiziqning istalgan nuqtasi α
, va bu chiziqda yotmaydigan biron bir nuqtaning koordinatalarini qanoatlantirmang.
Agar (1) chiziqli tenglama bo'lsa α, keyin biz (1) tenglamani aytamiz. belgilaydi (to'plamlar) chiziq α.
Chiziq α faqat (1) ko’rinishdagi tenglama bilan emas, balki ko’rinishdagi tenglama bilan ham aniqlanishi mumkin
F(P, ph) = 0, qutb koordinatalarini o'z ichiga oladi.
- qiyalik bilan to'g'ri chiziq tenglamasi;
O'qga perpendikulyar bo'lmagan qandaydir to'g'ri chiziq berilgan bo'lsin OH. Qo'ng'iroq qilaylik egilish burchagi o'qiga berilgan chiziq OH burchak α o'qni aylantirish uchun OH shunday qilib, ijobiy yo'nalish to'g'ri chiziqning yo'nalishlaridan biriga to'g'ri keladi. To'g'ri chiziqning o'qga moyillik burchagi tangensi OH chaqirdi qiyalik omili bu to'g'ri chiziq va harf bilan belgilanadi Kimga.
|
|||
|
|||
Bu to'g'ri chiziqning tenglamasini, agar bilsak, hosil qilamiz Kimga va segmentdagi qiymat O.V, u o'qda kesib tashlaydi OU.
|
|
(2) tenglama deyiladi qiyalik bilan to'g'ri chiziq tenglamasi. Agar a K=0, keyin chiziq o'qga parallel bo'ladi OH va uning tenglamasi y = b.
- ikki nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi;
|
|
. Bu tenglama, agar y 1 ≠ y 2, quyidagicha yozilishi mumkin: Agar a y 1 = y 2, keyin kerakli to'g'ri chiziq tenglamasi shaklga ega bo'ladi y = y 1. Bunday holda, chiziq o'qga parallel bo'ladi OH. Agar a x 1 = x 2, keyin nuqtalardan o'tadigan chiziq M 1 va M 2, o'qiga parallel OU, uning tenglamasi shaklga ega x = x 1.
- qiyalik berilgan nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi;
|
|
va aksincha, ixtiyoriy koeffitsientlar uchun (5) tenglama A, B, C (LEKIN va B ≠ 0 bir vaqtning o'zida) to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi ba'zi bir chiziqni belgilaydi Ohu.
Isbot.
Keling, birinchi fikrni isbotlaylik. Agar chiziq perpendikulyar bo'lmasa Oh, u holda birinchi darajali tenglama bilan aniqlanadi: y = kx + b, ya'ni. (5) ko'rinishdagi tenglama, bu erda
A=k, B=-1 va C = b. Agar chiziq perpendikulyar bo'lsa Oh, u holda uning barcha nuqtalari qiymatga teng bir xil abscissalarga ega α o'qda to'g'ri chiziq bilan kesilgan segment Oh.
Bu chiziqning tenglamasi shaklga ega x = a, bular. ham (5) ko'rinishdagi birinchi darajali tenglamadir, bu erda A \u003d 1, B \u003d 0, C \u003d - a. Bu birinchi fikrni tasdiqlaydi.
Keling, isbot qilaylik qarama-qarshi bayonot. (5) tenglama va koeffitsientlardan kamida bittasi berilsin LEKIN va B ≠ 0.
Agar a B ≠ 0, keyin (5) ni quyidagicha yozish mumkin. qiyalik 
, tenglamani olamiz y = kx + b, ya'ni. to'g'ri chiziqni aniqlovchi (2) ko'rinishdagi tenglama.
Agar a B = 0, keyin A ≠ 0 va (5) shaklini oladi. Orqali belgilovchi α, olamiz
x = a, ya'ni. perpendikulyar to'g'ri chiziq tenglamasi Ox.
To'rtburchaklar koordinatalar tizimida birinchi darajali tenglama bilan aniqlangan chiziqlar deyiladi birinchi tartibli qatorlar.
Tenglama turi Ah + Wu + C = 0 to'liq emas, ya'ni. koeffitsientlardan biri nolga teng.
1) C = 0; Ah + Wu = 0 va koordinatadan o'tuvchi chiziqni belgilaydi.
2) B = 0 (A ≠ 0); tenglama Ax + C = 0 OU.
3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0 va parallel chiziqni aniqlaydi Oh.
(6) tenglama to'g'ri chiziqning "segmentlarda" tenglamasi deb ataladi. Raqamlar a va b to'g'ri chiziq koordinata o'qlarida kesib tashlaydigan segmentlarning qiymatlari. Tenglamaning bu shakli to'g'ri chiziqni geometrik qurish uchun qulaydir.
- to'g'ri chiziqning normal tenglamasi;
Ax + Vy + S = 0 ba'zi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi va (5) x cos a + y sin a – p = 0(7)
uning normal tenglamasi.
(5) va (7) tenglamalar bir xil to'g'ri chiziqni aniqlaganligi sababli ( A 1x + B 1y + C 1 \u003d 0 va
A 2x + B 2y + C 2 = 0 => 
) bu tenglamalarning koeffitsientlari proportsionaldir. Bu shuni anglatadiki, (5) tenglamaning barcha shartlarini qandaydir M koeffitsientga ko'paytirish orqali biz tenglamani olamiz. MA x + MB y + MS = 0, (7) tenglamaga to'g'ri keladi, ya'ni.
MA = cos a, MB = sin a, MC = - P(8)
M omilni topish uchun biz ushbu tenglikning dastlabki ikkitasini kvadratga olamiz va qo'shamiz:
M 2 (A 2 + B 2) \u003d cos 2 a + sin 2 a \u003d 1
(9)