Визначити яка лінія на площині визначається рівнянням. Рівняння прямої, види рівняння прямої на площині
Розглянемо функцію, задану формулою (рівнянням)
Цій функції, отже, і рівнянню (11) відповідає площині цілком певна лінія, що є графіком даної функції (див. рис. 20). З визначення графіка функції випливає, що ця лінія складається з тих і лише точок площини координати яких задовольняють рівняння (11).
Нехай тепер
Лінія, що є графіком цієї функції, складається з тих і лише тих точок площини, координати яких задовольняють рівнянню (12). Це означає, що й точка лежить на зазначеній лінії, її координати задовольняють рівнянню (12). Якщо точка не лежить на цій лінії, то її координати рівняння (12) не задовольняють.
Рівняння (12) дозволено щодо у. Розглянемо рівняння, що містить х і у і не дозволене щодо у, наприклад рівняння
Покажемо, що і цьому рівнянню у площині відповідає лінія, а саме - коло з центром на початку координат і радіусом, рівним 2. Перепишемо рівняння у вигляді
Його ліва частина є квадратом відстані точки від початку координат (див. § 2, п. 2, формула 3). З рівності (14) випливає, що квадрат цієї відстані дорівнює 4.
Це означає, будь-яка точка , координати якої задовольняють рівнянню (14), отже, і рівнянню (13), від початку координат з відривом, рівному 2.
Геометричне місце таких точок є коло з центром на початку координат і радіусом 2. Це коло і буде лінією, що відповідає рівнянню (13). Координати будь-якої її точки, очевидно, задовольняють рівняння (13). Якщо ж точка не лежить на знайденому нами колі, квадрат її відстані від початку координат буде або більше, або менше 4, а це означає, що координати такої точки рівнянню (13) не задовольняють.
Нехай тепер у загальному випадку дано рівняння
у лівій частині якого стоїть вираз, що містить х і у.
Визначення. Лінією, яка визначається рівнянням (15), називається геометричне місце точок площини координати яких задовольняють цього рівняння.
Це означає, що якщо лінія L визначається рівнянням, то координати будь-якої точки L задовольняють цьому рівнянню, а координати будь-якої точки площини, що лежить поза L, рівнянню (15) не задовольняють.
Рівняння (15) називається рівнянням лінії
Зауваження. Не слід думати, що будь-яке рівняння визначає якусь лінію. Наприклад, рівняння не визначає жодної лінії. Справді, при будь-яких дійсних значеннях і ліва частина даного рівняння позитивна, а права дорівнює нулю, і отже, цьому рівнянню не можуть задовольняти координати ніякої точки площини
Лінія може визначатися на площині не лише рівнянням, що містить декартові координати, а й рівнянням у полярних координатах. Лінією, яка визначається рівнянням у полярних координатах, називається геометричне місце точок площини, полярні координати яких задовольняють цього рівняння.
Приклад 1. Побудувати спіраль Архімеда за .
Рішення. Складемо таблицю для деяких значень полярного кута та відповідних їм значень полярного радіусу.
Будуємо в полярній системі координат точку, яка, очевидно, збігається з полюсом; потім, провівши вісь під кутом до полярної осі, будуємо на цій осі точку з позитивною координатою після цього аналогічно будуємо точки з позитивними значеннями полярного кута та полярного радіусу (осі для цих точок на рис. 30 не вказані).
Як відомо, будь-яка точка на площині визначається двома координатами в будь-якій системі координат. Системи координат можуть бути різними залежно від вибору базису та початку координат.
Визначення: Рівнянням лінії називається співвідношення y = f(x) між координатами точок, що становлять цю лінію.
Зазначимо, що рівняння лінії може бути виражене параметричним способом, тобто кожна координата кожної точки виражається через незалежний параметр t. Характерний приклад - траєкторія точки, що рухається. І тут роль параметра грає час.
Різні види рівняння прямої
Загальне рівняння прямої.
Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку
Ах + Ву + С = 0,
причому постійні А, не рівні нулю одночасно, тобто. А 2 + В 2 ¹ 0. Це рівняння першого порядку називають загальним рівнянням прямої .
Залежно від значень постійних А,Ві З можливі такі окремі випадки:
C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – пряма проходить через початок координат
А = 0, В ? 0, З ? 0 ( By + C = 0) - пряма паралельна осі Ох
В = 0, А ? 0, З ? 0 (Ax + C = 0) - пряма паралельна осі Оу
В = С = 0, А ? 0 - пряма збігається з віссю Оу
А = С = 0, ¹ 0 – пряма збігається з віссю Ох
Рівняння прямої може бути представлене в різному виглядів залежності від будь-яких заданих початкових умов.
Рівняння пряме, що проходить через дві точки.
Нехай у просторі задані дві точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і M 2 (x 2, y 2 , z 2), тоді рівняння прямої, що проходить через ці точки:
Якщо якийсь із знаменників дорівнює нулю, слід прирівняти нулю відповідний чисельник. На площині записане вище рівняння прямої спрощується:
якщо х 1 х 2 і х = х 1, якщо 1 = х 2 .
Дроб = k називається кутовим коефіцієнтом прямий.
Рівняння прямої за точкою та кутовим коефіцієнтом.
Якщо загальне рівняння прямої Ах + Ву + С = 0 привести до вигляду:
і позначити , отримане рівняння називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом k.
Рівняння прямої у відрізках.
Якщо у загальному рівнянні прямий Ах + Ву + С = 0 С 1 0, то, розділивши на -С, отримаємо: або
Геометричний сенс коефіцієнтів у тому, що коефіцієнт ає координатою точки перетину прямої з віссю Ох, а b- Координацією точки перетину прямий з віссю Оу.
Нормальне рівняння прямої.
Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0 розділити на число , яке називається множником, що нормує, то отримаємо
xcosj + ysinj - p = 0 -
нормальне рівняння прямої.
Знак ± множника, що нормує, треба вибирати так, щоб m×С< 0.
р - Довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму, а j - кут, утворений цим перпендикуляром з позитивним напрямом осі Ох.
Кут між прямими на площині.
Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 то гострий кут між цими прямими визначатиметься як
Дві прямі паралельні, якщо k1 = k2.
Дві прямі перпендикулярні, якщо k1 = -1/k2.
Теорема. Прямі Ах + Ву + С = 0 і А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти А 1 = 1А, 1 = 1В. Якщо ще й С1 = С, то прямі збігаються.
Координати точки перетину двох прямих перебувають як розв'язання системи двох рівнянь.
Відстань від точки до прямої.
Теорема. Якщо задана точка М (х 0, у 0), то відстань до прямої Ах + Ву + С = 0 визначається як
Лекція 5
Введення у аналіз. Диференціальне обчислення функції однієї змінної.
МЕЖ ФУНКЦІЇ
Межа функції у точці.
0 a - D a a + D x
Малюнок 1. Межа функції у точці.
Нехай функція f(x) визначена в околиці точки х = а (тобто в самій точці х = а функція може бути і не визначена)
Визначення. Число А називається межею функції f(x) при х®а, якщо для будь-якого e>0 існує таке число D>0, що для всіх х таких, що
0 < ïx - aï < D
вірна нерівність ïf(x) - Aï< e.
Те саме визначення може бути записано в іншому вигляді:
Якщо а - D< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.
Запис межі функції у точці:
Визначення.
Якщо f(x) ® A 1 при х ® а лише за x< a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A 2 при х ® а только при x >a, називається межею функції f(x) у точці х = а справа.
Наведене вище визначення відноситься до випадку, коли функція f(x) не визначена в самій точці х = а, але визначена в деякій скільки завгодно малої околиці цієї точки.
Межі А 1 та А 2 називаються також односторонніми межами функції f(x) у точці х = а. Також кажуть, що А – кінцева межа функції f(x).
Лінії рівняння на площині.
Як відомо, будь-яка точка на площині визначається двома координатами в будь-якій системі координат. Системи координат можуть бути різними залежно від вибору базису та початку координат.
Визначення.Рівнянням лініїназивається співвідношення y = f(x ) між координатами точок, що становлять цю лінію.
Зазначимо, що рівняння лінії може бути виражене параметричним способом, тобто кожна координата кожної точки виражається через незалежний параметрt.
Характерний приклад - траєкторія точки, що рухається. І тут роль параметра грає час.
Рівняння прямої на площині.
Визначення. Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку
Ах + Ву + С = 0,
причому постійні А, не рівні нулю одночасно, тобто. А 2 + В 2¹ 0. Це рівняння першого порядку називають загальним рівнянням прямої.
Залежно від значень постійних А, В і С можливі такі окремі випадки:
C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – пряма проходить через початок координат
А = 0, 1 0, 1 0 ( By + C = 0) - пряма паралельна осі Ох
В = 0, А ? 0, З ? 0 ( Ax + C = 0) - Пряма паралельна осі Оу
В = С = 0, А? 0 – пряма збігається з віссю Оу
А = С = 0, ¹ 0 – пряма збігається з віссю Ох
Рівняння прямий може бути представлено у різному вигляді залежно від якихось заданих початкових умов.
Відстань від точки до прямої.
Теорема. Якщо задана точка М (х 0, у 0), то відстань до прямої Ах + Ву + С = 0 визначається як
.
Доказ. Нехай точка М 1 (х 1, у 1) - основа перпендикуляра, опущеного з точки М на задану пряму. Тоді відстань між точками М та М 1:
(1)
Координати x 1 і у 1 можуть бути знайдені як розв'язання системи рівнянь:
Друге рівняння системи – це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно заданій прямій.
Якщо перетворити перше рівняння системи на вигляд:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
то, вирішуючи, отримаємо:
Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:
.
Теорему доведено.
приклад.Визначити кут між прямими: y = -3 x + 7; y = 2 x +1.
K 1 = -3; k 2 = 2 tg j =; j = p/4.
приклад.Показати, що прямі 3х - 5у + 7 = 0 і 10х + 6у - 3 = 0 перпендикулярні.
Знаходимо: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, отже, прямі перпендикулярні.
приклад.Дано вершини трикутника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Знайти рівняння висоти, проведеної з вершини З.
Минулого матеріалу ми розглянули основні моменти, що стосуються теми прямої на площині. Тепер перейдемо до вивчення рівняння прямої: розглянемо, яке рівняння може називатися рівнянням прямої, а також те, який вид має рівняння прямої на площині.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Визначення рівняння прямої на площині
Допустимо, що є пряма лінія, яка задана у прямокутній декартовій системі координат O х у.
Визначення 1
Пряма лінія– це геометрична фігура, Що складається з точок. Кожна точка має свої координати по осях абсцис та ординат. Рівняння, яке описує залежність координат кожної точки прямої в декартовій системі O x y називається рівнянням прямої на площині.
Фактично рівняння прямої на площині – це рівняння з двома змінними, які позначаються як x та y . Рівняння перетворюється на тотожність при підстановці в нього значень будь-якої з точок прямої лінії.
Давайте подивимося, який вигляд матиме рівняння прямої на площині. Цьому буде присвячено весь наступний розділ статті. Зазначимо, що є кілька варіантів запису рівняння прямої. Пояснюється це наявністю кількох способів завдання прямої лінії на площині, а також різною специфікою завдань.
Познайомимося з теоремою, яка задає вигляд рівняння прямої лінії на площині декартової системи координат O x y .
Теорема 1
Рівняння виду A x + B y + C = 0 , де x і y – змінні, а А, В та C – це деякі дійсні числа, з яких A та B не дорівнюють нулю, задає пряму лінію в декартовій системі координат O x y . У свою чергу будь-яка пряма лінія на площині може бути задана рівнянням виду A x + B y + C = 0 .
Таким чином, загальне рівняння прямої на площині має вигляд A x + B y + C = 0 .
Пояснимо деякі важливі аспекти теми.
Приклад 1
Подивіться малюнок.
Лінія на кресленні визначається рівнянням виду 2 x + 3 y - 2 = 0 так як координати будь-якої точки, що становить цю пряму, задовольняють наведеному рівнянню. У той самий час, певну кількість точок площини, визначених рівнянням 2 x + 3 y - 2 = 0 , дають нам пряму лінію, що ми бачимо малюнку.
Загальне рівняння прямої може бути повним та неповним. У повному рівнянні усі числа А, В та C відмінні від нуля. У решті випадків рівняння вважається неповним. Рівняння виду A x + B y = 0 визначає пряму лінію, яка проходить через початок координат. Якщо A дорівнює нулю, то рівняння A x + B y + C = 0 задає пряму, розташовану паралельно осі абсцис O x. Якщо B дорівнює нулю, лінія паралельна осі ординат O y .
Висновок: при деякому наборі значень чисел А, В і C за допомогою загального рівняння прямої можна записати будь-яку пряму лінію на площині прямокутної системи координат O х у.
Пряма, задана рівнянням виду A x + B y + C = 0 має нормальний вектор прямий з координатами A , B .
Усі наведені рівняння прямих, які ми розглянемо нижче, можуть бути отримані із загального рівняння прямої. Також можливий і зворотний процес, коли будь-яке з рівнянь, що розглядаються, може бути приведено до загального рівняння прямої.
Розібратися у всіх нюансах теми можна у статті «Загальне рівняння прямої». У матеріалі ми наводимо доказ теореми з графічними ілюстраціями та докладним розбором прикладів. Особлива увага у статті приділяється переходам від загального рівняння до рівнянь інших видів і назад.
Рівняння прямої у відрізках має вигляд x a + y b = 1 , де a та b – це деякі дійсні числа, які не дорівнюють нулю. Абсолютні величини чисел a та b рівні довжині відрізків, які відсікаються прямою лінією на осях координат. Довжина відрізків відраховується від початку координат.
Завдяки рівнянню можна легко збудувати пряму лінію на кресленні. Для цього необхідно відзначити у прямокутній системі координат точки a, 0 і 0, b, а потім з'єднати їх прямою лінією.
Приклад 2
Побудуємо пряму, задану формулою x 3 + y - 5 2 = 1 . Зазначаємо на графіку дві точки 3, 0, 0, - 5 2, з'єднуємо їх між собою.
Ці рівняння, що мають вигляд y = k · x + b, повинні бути нам добре відомі з курсу алгебри. Тут x і y – це змінні, k та b – це деякі дійсні числа, з яких k є кутовим коефіцієнтом. У цих рівняннях змінна у є функцією аргументу x.
Дамо визначення кутового коефіцієнта через визначення кута нахилу прямий до позитивного напрямку осі O x.
Визначення 2
Для позначення кута нахилу прямої до позитивного напрямку осі O x в системі декартової координат введемо величину кута α . Кут відраховується від позитивного спрямування осі абсцис до прямої лінії проти ходу годинникової стрілки. Кут вважається рівним нулю в тому випадку, якщо лінія паралельна осі O x або збігається з нею.
Кутовий коефіцієнт прямої - це тангенс кута нахилу цієї прямої. Записується це так k = t g α . Для прямої, яка розташовується паралельно осі O y або збігається з нею, записати рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом неможливо, так як кутовий коефіцієнт в цьому випадку перетворюється на нескінченність (не існує).
Пряма, яка задана рівнянням y = k · x + b проходить через точку 0, b на осі ординат. Це означає, що рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом y = k · x + b, задає на площині пряму лінію, яка проходить через точку 0, b і утворює кут з позитивним напрямом осі O x, причому k = t g α.
Приклад 3
Зобразимо пряму лінію, що визначається рівнянням виду y = 3 · x - 1.
Ця лінія повинна пройти через точку (0, - 1). Кут нахилу α = r c t g 3 = π 3 дорівнює 60 градусів до позитивного напрямку осі O x . Кутовий коефіцієнт дорівнює 3
Звертаємо вашу увагу, що за допомогою прямого рівняння з кутовим коефіцієнтом дуже зручно шукати рівняння дотичної до графіка функції в точці.
Більше матеріалу на тему можна знайти у статті «Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом». Крім теорії там розміщено велику кількість графічних прикладів та докладний розбір завдань.
Даний вид рівняння має вигляд x - x 1 a x = y - y 1 a y, де x 1, y 1, a x, a y - це деякі дійсні числа, з яких a x і a y не дорівнюють нулю.
Пряма лінія, задана канонічним рівнянням прямої, проходить через точку M 1 (x 1 y 1) . Числа a x і a y у знаменниках дробів є координатами напрямного вектора прямої лінії. Це означає, що канонічне рівняння прямої лінії x - x 1 a x = y - y 1 a y в декартовій системі координат O x y відповідає лінії, що проходить через точку M 1 (x 1 , y 1) і має напрямний вектор a → = (a x , a y) .
Приклад 4
Зобразимо в системі координат O x y пряму лінію, яка задається рівнянням x - 23 = y - 31. Точка M 1 (2 , 3) належить прямий, вектор a → (3 , 1) є напрямним вектором цієї прямої лінії.
Канонічний рівняння прямої лінії виду x - x 1 a x = y - y 1 a y може бути використане у випадках, коли a x або a y дорівнює нулю. Наявність нуля у знаменнику робить запис x - x 1 a x = y - y 1 a y умовним. Рівняння можна записати в такий спосіб a y (x - x 1) = a x (y - y 1) .
У тому випадку, коли a x = 0 , канонічне рівняння прямої набуває вигляду x - x 1 0 = y - y 1 a y і задає пряму лінію, яка розташована паралельно осі ординат або збігається з цією віссю.
Канонічне рівняння прямої за умови, що a y = 0 приймає вигляд x - x 1 a x = y - y 1 0 . Таке рівняння задає пряму лінію, розташовану паралельно осі абсцис або збігається з нею.
Більше матеріалу на тему канонічного рівняння прямо дивіться тут. У статті ми наводимо низку розв'язків задач, а також численні приклади, які дозволяють краще опанувати тему.
Параметричні рівняння прямої на площині
Дані рівняння мають вигляд x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ де x 1 , y 1 , a x , a y - це деякі дійсні числа, з яких a x і a y не можуть бути одночасно рівні нулю. У формулу вводиться додатковий параметр , який може приймати будь-які дійсні значення.
Призначення параметричного рівняння в тому, щоб встановити неявну залежність між координатами точок прямої лінії. Для цього і вводиться параметр .
Числа x , y є координати деякої точки прямої. Вони обчислюються за параметричними рівняннями прямої при деякому дійсному значенні параметра .
Приклад 5
Припустимо, що = 0 .
Тоді x = x 1 + a x · 0 y = y 1 + a y · 0 ⇔ x = x 1 y = y 1, тобто точка з координатами (x 1, y 1) належить прямий.
Звертаємо вашу увагу на те, що коефіцієнти a x і a y при параметрі в даному виді рівнянь являють собою координати напрямного вектора прямої лінії.
Приклад 6
Розглянемо параметричні рівняння прямої лінії виду x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ. Пряма, задана рівняннями, в системі декартової координат проходить через точку (x 1 , y 1) і має напрямний вектор a → = (3 , 1) .
Більше інформації шукайте у статті «Параметричні рівняння прямої на площині».
Нормальне рівняння прямої має вигляд, A x + B y + C = 0 де числа А, В, і C такі, що довжина вектора n → = (A , B) дорівнює одиниці, а C ≤ 0 .
Нормальним вектором лінії, заданої нормальним рівнянням прямої прямокутної системі координат O х у, є вектор n → = (A , B) . Ця пряма проходить на відстані C від початку координат у напрямку вектора n → = (A, B).
Ще одним варіантом запису нормального рівняння прямої лінії є cos α · x + cos β · y - p = 0 де cos α і cos β - це два дійсних числа, які являють собою напрямні косинуси нормального вектора прямої одиничної довжини. Це означає, що n → = (cos α , cos β) справедлива рівність n → = cos 2 α + cos 2 β = 1 , величина p ≥ 0 і дорівнює відстані від початку координат до прямої.
Приклад 7
Розглянемо загальне рівняння прямої - 1 2 · x + 3 2 · y - 3 = 0. Це загальне рівняння прямої є нормальним рівнянням прямої, оскільки n → = A 2 + B 2 = - 1 2 2 + 3 2 = 1 і C = - 3 ≤ 0 .
Рівняння задає декартової системі координат 0ху пряму лінію, нормальний вектор якої має координати - 1 2 , 3 2 . Лінія віддалена від початку координат на 3 одиниці у напрямку нормального вектора n → = - 1 2, 3 2 .
Звертаємо вашу увагу на те, що нормальне рівняння прямої на площині дозволяє знаходити відстань від точки до прямої на площині.
Якщо у загальному рівнянні прямої A x + B y + C = 0 числа А, В і С такі, що рівняння A x + B y + C = 0 не є нормальним рівнянням прямої, його можна привести до нормального вигляду. Докладніше про це читайте у статті «Нормальне рівняння прямої».
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Розглянемо співвідношення виду F(x, y)=0, що зв'язує змінні величини xі у. Рівність (1) називатимемо рівнянням з двома змінними х, у,якщо ця рівність справедлива не для всіх пар чисел хі у. Приклади рівнянь: 2х + 3у = 0, х 2 + у 2 - 25 = 0,
sin x + sin y - 1 = 0.
Якщо (1) справедливо всім пар чисел х і у, воно називається тотожністю. Приклади тотожностей: (х + у) 2 - х 2 - 2ху - у 2 = 0, (х + у) (х - у) - х 2 + у 2 = 0.
Рівняння (1) називатимемо рівнянням безлічі точок (х; у),якщо цього рівняння задовольняють координати хі убудь-якої точки множини і не задовольняють координати ніякої точки, що не належать цій множині.
Важливим поняттям аналітичної геометрії є поняття рівняння лінії. Нехай на площині задані прямокутна система координат та деяка лінія α.
Визначення.Рівняння (1) називається рівнянням лінії α
(у створеній системі координат), якщо цього рівняння задовольняють координати хі убудь-якої точки, що лежить на лінії α
, і не задовольняють координати жодної точки, що не лежить на цій лінії.
Якщо (1) є рівнянням лінії α, то будемо говорити, що рівняння (1) визначає (задає)лінію α.
Лінія α може визначатися не тільки рівнянням виду (1), а й рівнянням виду
F(P, φ) = 0містить полярні координати.
- рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом;
Нехай дана деяка пряма, не перпендикулярна, осі ОХ. Назвемо кутом нахилуданої прямої до осі ОХкут α , на який потрібно повернути вісь ОХщоб позитивний напрямок збігся з одним з напрямків прямий. Тангенс кута нахилу прямої до осі ОХназивають кутовим коефіцієнтомцією прямою і позначають буквою До.
|
|||
|
|||
Виведемо рівняння даної прямої, якщо її відомі Дота величина у відрізку ОВ, Якою вона відсікає на осі ОУ.
|
|
Рівняння (2) називають рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом.Якщо K=0, то пряма паралельна осі ОХта її рівняння має вигляд y = b.
- рівняння прямої, що проходить через дві точки;
|
|
. Це рівняння, якщо у 1 ≠ у 2, можна записати у вигляді: Якщо у 1 = у 2, то рівняння шуканої прямої має вигляд у = у 1. У цьому випадку пряма паралельна осі ОХ. Якщо х 1 = х 2, то пряма, що проходить через крапки М 1і М 2, паралельна осі ОУ, її рівняння має вигляд х = х 1.
- рівняння прямої, що проходить через задану точку з цим кутовим коефіцієнтом;
|
|
і, навпаки, рівняння (5) при довільних коефіцієнтах А, В, С (Аі У ≠ 0одночасно) визначає деяку пряму у прямокутній системі координат Оху.
Доказ.
Спочатку доведемо перше твердження. Якщо пряма не перпендикулярна Ох,то вона визначається рівнянням першого ступеня: у = kx + b, тобто. рівнянням виду (5), де
A = k, B = -1і C = b.Якщо пряма перпендикулярна Ох,то всі її точки мають однакові абсциси, рівні величині α відрізка, що відсікається прямою на осі Ох.
Рівняння цієї прямої має вигляд х = α,тобто. також є рівняння першого ступеня виду (5), де А = 1, В = 0, С = -?Тим самим було доведено перше твердження.
Доведемо зворотне затвердження. Нехай дано рівняння (5), причому хоча б один із коефіцієнтів Аі У ≠ 0.
Якщо У ≠ 0, то (5) можна записати як . Полога 
, отримуємо рівняння у = kx + b, тобто. рівняння виду (2) яке визначає пряму.
Якщо В = 0, то А ≠ 0і (5) набуває вигляду. Позначаючи через α, отримуємо
х = α, тобто. рівняння прямої перпендикулярне Ох.
Лінії, що визначаються у прямокутній системі координат рівнянням першого ступеня, називаються лініями першого порядку.
Рівняння виду Ах + Ву + С = 0є неповним, тобто. якийсь із коефіцієнтів дорівнює нулю.
1) З = 0; Ах + Ву = 0та визначає пряму, яка проходить через початок координат.
2) В = 0 (А ≠ 0); рівняння Ах + С = 0 Оу.
3) А = 0 (В ≠ 0); Ву + С = 0і визначає пряму паралельну Ох.
Рівняння (6) називається рівнянням прямої «у відрізках». Числа аі bє величинами відрізків, які відсікає пряма на осях координат. Ця форма рівняння зручна для геометричної побудови прямої.
- нормальне рівняння прямої;
Аx + Вy + С = 0 – загальне рівняння деякої прямої, а (5) x cos α + y sin α - p = 0(7)
її нормальне рівняння.
Оскільки рівняння (5) і (7) визначають ту саму пряму, то ( А 1х + У 1у + З 1 = 0і
А 2х + У 2у + З 2 = 0 => 
) коефіцієнти цих рівнянь пропорційні. Це означає, що помноживши всі члени рівняння (5) на деякий множник М, ми отримаємо рівняння МА х + МВ у + МС = 0, що з рівнянням (7) тобто.
МА = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)
Щоб знайти множник М, зведемо перші дві з цих рівностей у квадрат і складемо:
М 2 (А 2 + В 2) = cos 2 α + sin 2 α = 1
(9)