Що називають значенням дробу алгебри. Основні поняття

Коли учень переходить у старшу школу, математика поділяється на 2 предмети: алгебру та геометрію. Понять стає дедалі більше, завдання дедалі складніше. У деяких виникають труднощі із сприйняттям дробів. Пропустили перший урок з цієї теми і вуаля. дроби? Питання, яке мучитиме протягом усього шкільного життя.

Поняття алгебраїчного дробу

Почнемо з визначення. Під алгебраїчним дробомрозуміється вирази P/Q, де P є чисельником, а Q - знаменником. Під буквеним записом може ховатися число, числове вираз, чисельно-літерний вираз.

Перш ніж ставити питання, як вирішувати алгебраїчні дроби, для початку потрібно розуміти, що подібне вираз - частина цілого.

Як правило, ціле – це 1. Число у знаменнику показує, на скільки частин розділили одиницю. Чисельник необхідний у тому, щоб дізнатися, скільки елементів взято. Дробова характеристика відповідає знаку поділу. Допускається запис дробового виразу як математичну операцію «Поділ». У такому разі чисельник – ділене, знаменник – дільник.

Основне правило звичайних дробів

Коли учні проходять цю тему у шкільництві, їм дають приклади закріплення. Щоб правильно їх вирішувати та знаходити різні шляхи зі складних ситуацій, потрібно застосовувати основну властивість дробів.

Воно звучить так: Якщо помножити і чисельник, і знаменник на те саме число чи вираз (відмінні від нуля), то значення звичайного дробу не зміниться. Приватним випадком від цього правила є поділ обох частин виразу на те саме число або многочлен. Подібні перетворення називаються тотожними рівностями.

Нижче буде розглянуто, як вирішувати додавання та віднімання алгебраїчних дробів, виробляти множення, розподіл і скорочення дробів.

Математичні операції з дробами

Розглянемо, як вирішувати, основна властивість дробу алгебри, як застосовувати його на практиці. Якщо потрібно перемножити два дроби, скласти їх, розділити один на інший або зробити віднімання, потрібно завжди дотримуватися правил.

Так, для операції додавання та віднімання слід знайти додатковий множник, щоб привести вирази до спільного знаменника. Якщо спочатку дроби дано з однаковими виразами Q, потрібно опустити цей пункт. Коли загальний знаменник знайдено, як вирішувати дроби алгебри? Потрібно скласти чи відняти чисельники. Але! Потрібно пам'ятати, що за наявності знака "-" перед дробом усі знаки в чисельнику змінюються на протилежні. Іноді слід проводити будь-яких підстановок і математичних операцій. Достатньо поміняти знак перед дробом.

Часто використовується таке поняття, як скорочення дробів. Це означає наступне: якщо чисельник і знаменник розділити на відмінне від одиниці вираз (однакове обох частин), то виходить новий дріб. Подільне і дільник менше колишніх, але з основного правила дробів залишаються рівними первісному прикладу.

Метою цієї операції є отримання нового нескоротного виразу. Вирішити це завдання можна, якщо скоротити чисельник і знаменник на найбільший спільний дільник. Алгоритм операції складається з двох пунктів:

1. Знаходження НОД для обох частин дробу.
2. Розподіл чисельника та знаменника на знайдений вираз та отримання нескоротного дробу, що дорівнює попередньому.

Нижче показано таблицю, в якій розписані формули. Для зручності її можна роздрукувати та носити із собою у зошиті. Однак, щоб у майбутньому при вирішенні контрольної або іспиту не виникло труднощів у питанні, як вирішувати дроби алгебри, зазначені формули потрібно вивчити напам'ять.

Декілька прикладів з рішеннями

З теоретичного погляду розглянуто питання, як вирішувати алгебраїчні дроби. Приклади, наведені у статті, допоможуть краще засвоїти матеріал.

1. Перетворити дроби та привести їх до спільного знаменника.

2. Перетворити дроби та привести їх до спільного знаменника.

Після вивчення теоретичної частини та розглянути практичні питання більше виникнути не повинно.

На цьому уроці розглядається поняття дробу алгебри. З дробами людина зустрічається у найпростіших життєвих ситуаціях: коли необхідно розділити об'єкт на кілька частин, наприклад, розрізати торт порівну на десять осіб. Очевидно, що кожному дістанеться почасти торта. У зазначеному випадку ми стикаємося з поняттям числового дробу, проте можлива ситуація, коли об'єкт поділяється на невідому частину, наприклад, на x. У разі виникає поняття дробового висловлювання. З цілими виразами (що не містять розподіл на вирази зі змінними) та їх властивостями ви вже познайомилися у 7 класі. Далі ми розглянемо поняття раціонального дробу, і навіть допустимих значень змінних.

Тема:Алгебраїчні дроби. Арифметичні операції над алгебраїчними дробами

Урок:Основні поняття

1. Визначення та приклади алгебраїчних дробів

Раціональні вирази поділяються на цілі та дробові вирази.

Визначення. Раціональний дріб- Дробове вираз виду, де - многочлени. - чисельник знаменник.

Приклади раціональних виразів:- Дробові вирази; - Цілі вирази. У першому вираженні, наприклад, у ролі чисельника виступає , а знаменника - .

Значення алгебраїчного дробу, як і будь-якого алгебраїчного виразу, залежить від чисельного значення змінних, які до нього входять. Зокрема, у першому прикладі значення дробу залежить від значень змінних і , а у другому тільки від значення змінної .

2. Обчислення значення алгебраїчного дробу та два основні завдання на дроби

Розглянемо перше типове завдання: обчислення значення раціонального дробупри різних значенняхщо входять до неї змінних.

Приклад 1. Обчислити значення дробу при а), б), в)

Рішення. Підставимо значення змінних у зазначений дріб: а), б), в) - не існує (бо на нуль ділити не можна).

Відповідь: 3; 1; не існує.

Як бачимо, виникає дві типові завданнядля будь-якого дробу: 1) обчислення дробу; 2) знаходження допустимих та неприпустимих значеньлітерних змінних.

Визначення. Допустимі значення змінних- значення змінних, у яких вираз має сенс. Безліч всіх допустимих значень змінних називається ОДЗабо область визначення.

3. Допустимі (ОДЗ) та неприпустимі значення змінних у дробах з однією змінною

Значення літерних змінних може бути неприпустимим, якщо знаменник дробу за цих значеннях дорівнює нулю. У решті випадків значення змінних є допустимими, тому що дріб можна обчислити.

Приклад 2. Встановити, за яких значеннях змінної немає сенсу дріб .

Рішення. Щоб цей вислів мав сенс, необхідно і достатньо, щоб знаменник дробу не дорівнював нулю. Таким чином, недопустимими будуть ті значення змінної, у яких знаменник дорівнюватиме нулю. Знаменник дробу , тому розв'яжемо лінійне рівняння:

Отже, при значенні змінної дріб немає сенсу.

З рішення прикладу випливає правило знаходження неприпустимих значень змінних - знаменник дробу дорівнює нулю і є коріння відповідного рівняння.

Розглянемо кілька аналогічних прикладів.

Приклад 3. Встановити, за яких значеннях змінної немає сенсу дріб.

Рішення. .

Відповідь. .

Приклад 4. Встановити, за яких значеннях змінної немає сенсу дріб .

Рішення..

Зустрічаються й інші формулювання цієї задачі - знайти область визначенняабо область допустимих значень виразу (ОДЗ). Це означає знайти всі допустимі значення змінних. У нашому прикладі - це значення, крім . Область визначення зручно зображати на числовій осі.

Для цього на ній виколемо крапку, як це вказано на малюнку:

Таким чином, областю визначення дробубудуть усі числа, крім 3.

Відповідь.

Приклад 5. Встановити, за яких значеннях змінної немає сенсу дріб .

Рішення..

Зобразимо отримане рішення на числовій осі:

Відповідь.

4. Графічне подання області допустимих (ОДЗ) та неприпустимих значень змінних у дробах

Приклад 6. Встановити, за яких значеннях змінних немає сенсу дріб .

Рішення. Ми отримали рівність двох змінних, наведемо числові приклади: або і т.д.

Зобразимо це рішення на графіку в системі декартової координат:

Рис. 3. Графік функції.

Координати будь-якої точки, що лежить на даному графіку, не входять до області допустимих значень дробу.

Відповідь. .

5. Випадок типу "розподіл на нуль"

У розглянутих прикладах ми стикалися із ситуацією, коли виникало поділ на нуль. Тепер розглянемо випадок, коли виникає більше цікава ситуаціяз розподілом типу.

Приклад 7. Встановити, за яких значеннях змінних немає сенсу дріб .

Рішення..

Виходить, що дріб немає сенсу при . Але можна заперечити, що це не так, бо: .

Може здатися, що й кінцеве вираз дорівнює 8 при , те й вихідне теж можна обчислити, отже, має сенс при . Однак, якщо підставити у вихідний вираз, то отримаємо – не має сенсу.

Відповідь.

Щоб докладніше розібратися з цим прикладом, розв'яжемо наступне завдання: за яких значень зазначений дріб дорівнює нулю?

(Дроб дорівнює нулю, коли її чисельник дорівнює нулю) . Але необхідно вирішити вихідне рівняння з дробом, а вона не має сенсу при тому, що при цьому значенні змінної знаменник дорівнює нулю. Отже, це рівняння має лише один корінь .

6. Правило знаходження ОДЗ

Таким чином, можемо сформулювати точне правило знаходження області допустимих значень дробу: для знаходження ОДЗдробинеобхідно і достатньо прирівняти її знаменник до нуля та знайти коріння отриманого рівняння.

Ми розглянули два основні завдання: обчислення значення дробупри зазначених значеннях змінних та знаходження області допустимих значень дробу.

Розглянемо тепер ще кілька завдань, які можуть виникнути під час роботи з дробами.

7. Різні завдання та висновки

Приклад 8. Доведіть, що за будь-яких значень змінної дріб .

Доведення. Чисельник – число позитивне. . У результаті і чисельник, і знаменник - позитивні числа, отже, і дріб є позитивним числом.

Доведено.

Приклад 9. Відомо, що знайти .

Рішення. Поділимо дріб почленно. Скорочувати на ми маємо право, з огляду на те, що є неприпустимим значенням змінної для даного дробу.

Відповідь.

На цьому уроці ми розглянули основні поняття, пов'язані з дробами. На наступному уроці ми розглянемо основна властивість дробу.

Список літератури

1. Башмаков М. І. Алгебра 8 клас. - М: Просвітництво, 2004.

2. Дорофєєв Г. В., Суворова С. Б., Бунімович Є. А. та ін Алгебра 8. - 5-те вид. - М: Просвітництво, 2010.

3. Микільський С. М., Потапов М. А., Решетніков Н. Н., Шевкін А. В. Алгебра 8 клас. Підручник для загальноосвітніх установ. - М: Просвітництво, 2006.

1. Фестиваль педагогічних ідей.

2. Стара школа.

3. Інтернет-портал lib2.podelise. ru .

Домашнє завдання

1. №4, 7, 9, 12, 13, 14. Дорофєєв Г. В., Суворова С. Б., Бунімович Є. А. та ін Алгебра 8. - 5-те вид. - М: Просвітництво, 2010.

2. Запишіть раціональний дріб, областю визначення якого є: а) множина , б) множина , в) вся числова вісь.

3. Доведіть, що за всіх допустимих значень змінної значення дробу невід'ємне.

4. Знайдіть область визначення виразу. Вказівка: розглянути окремо два випадки: коли знаменник нижнього дробу дорівнює нулю і коли знаменник вихідного дробу дорівнює нулю.

У § 42 було сказано, що якщо розподіл багаточленів не можна виконати націло, то приватне записується у вигляді дробового виразу, в якому ділимо є чисельником, а дільник - знаменником.

Приклади дробових виразів:

Чисельник і знаменник дробового виразу і можуть бути дробовими виразами, наприклад:

З дрібних алгебраїчних виразів найчастіше доводиться мати справу з такими, у яких чисельник і знаменник є многочленами (зокрема, і одночленами). Кожен такий вираз називається алгебраїчним дробом.

Визначення. Алгебраїчне вираз, що є дріб, чисельник і знаменник якої - багаточлени, називається алгебраїчним дробом.

Як і в арифметиці, чисельник і знаменник дробу алгебри називаються членами дробу.

Надалі, вивчивши дії над дробами алгебри, ми зможемо всяке дробове вираз за допомогою тотожних перетворень перетворити в алгебраїчну дроб.

Приклади алгебраїчних дробів:

Зауважимо, що цілий вираз, тобто багаточлен, можна записати у вигляді дробу, для цього достатньо записати в чисельнику цей вираз, а в знаменнику 1. Наприклад:

2. Допустимі значення літер.

Літери, що входять тільки до чисельника, можуть приймати будь-які значення (якщо не введено будь-які додаткові обмеження умовою завдання).

Для літер, що входять у знаменник, допустимими є лише ті значення, які не перетворюють на нуль знаменник. Тому надалі завжди вважатимемо, що знаменник алгебраїчного дробу не дорівнює нулю.