สิ่งที่เรียกว่าค่าของเศษส่วนพีชคณิต แนวคิดพื้นฐาน

เมื่อนักเรียนย้ายไปโรงเรียนมัธยม คณิตศาสตร์แบ่งออกเป็น 2 วิชา: พีชคณิตและเรขาคณิต มีแนวคิดมากขึ้นเรื่อย ๆ งานเริ่มยากขึ้น บางคนมีปัญหาในการทำความเข้าใจเศษส่วน พลาดบทเรียนแรกในหัวข้อนี้และ voila เศษส่วน? คำถามที่จะทรมานตลอดชีวิตโรงเรียน

แนวคิดของเศษส่วนพีชคณิต

เริ่มต้นด้วยคำจำกัดความ ภายใต้ เศษส่วนพีชคณิตเข้าใจนิพจน์ P/Q โดยที่ P เป็นตัวเศษ และ Q เป็นตัวส่วน สามารถซ่อนตัวเลข นิพจน์ตัวเลข นิพจน์ตัวเลขและตัวอักษรได้ภายใต้รายการตัวอักษร

ก่อนที่จะสงสัยว่าจะแก้เศษส่วนพีชคณิตได้อย่างไร ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจว่านิพจน์ดังกล่าวเป็นส่วนหนึ่งของทั้งหมด

ตามกฎแล้ว ทั้งหมดคือ 1 ตัวเลขในตัวส่วนแสดงจำนวนส่วนที่แบ่งออกเป็นหน่วย ต้องใช้ตัวเศษเพื่อค้นหาจำนวนองค์ประกอบที่ถูกนำมาใช้ แถบเศษส่วนสอดคล้องกับเครื่องหมายหาร อนุญาตให้บันทึกนิพจน์เศษส่วนเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ "ดิวิชัน" ในกรณีนี้ ตัวเศษคือเงินปันผล ตัวส่วนเป็นตัวหาร

กฎพื้นฐานสำหรับเศษส่วนร่วม

เมื่อนักเรียนอ่านหัวข้อนี้ที่โรงเรียน พวกเขาจะได้รับตัวอย่างเพื่อเสริมสร้าง ในการแก้ปัญหาอย่างถูกต้องและหาวิธีต่างๆ ในสถานการณ์ที่ยากลำบาก คุณต้องใช้คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน

ดูเหมือนว่านี้: หากคุณคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนหรือนิพจน์เดียวกัน (นอกเหนือจากศูนย์) ค่าของเศษส่วนธรรมดาจะไม่เปลี่ยนแปลง กรณีพิเศษของกฎนี้คือการแบ่งนิพจน์ทั้งสองส่วนให้เป็นจำนวนเดียวกันหรือพหุนาม การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเรียกว่าความเท่าเทียมกัน

ด้านล่างนี้ เราจะพิจารณาวิธีแก้ปัญหาการบวกและการลบเศษส่วนเชิงพีชคณิต เพื่อทำการคูณ การหาร และการลดเศษส่วน

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับเศษส่วน

พิจารณาวิธีการแก้คุณสมบัติหลักของเศษส่วนพีชคณิตวิธีการใช้ในทางปฏิบัติ หากคุณต้องการคูณเศษส่วนสองส่วน บวก หารด้วยอีกอันหนึ่ง หรือลบ คุณต้องปฏิบัติตามกฎเสมอ

ดังนั้น สำหรับการบวกและการลบ ควรหาปัจจัยเพิ่มเติมเพื่อนำนิพจน์ไปยังตัวส่วนร่วม หากเริ่มต้นเศษส่วนด้วยนิพจน์ Q เดียวกัน คุณจำเป็นต้องข้ามรายการนี้ เมื่อพบตัวส่วนร่วม จะแก้เศษส่วนพีชคณิตได้อย่างไร? บวกหรือลบตัวเศษ แต่! ต้องจำไว้ว่าหากมีเครื่องหมาย "-" อยู่หน้าเศษส่วน เครื่องหมายทั้งหมดในตัวเศษจะกลับด้าน บางครั้งคุณไม่ควรทำการแทนค่าและการคำนวณทางคณิตศาสตร์ แค่เปลี่ยนเครื่องหมายหน้าเศษส่วนก็พอ

คำนี้มักใช้เป็น การลดเศษส่วน. นี่หมายถึงสิ่งต่อไปนี้: หากตัวเศษและตัวส่วนหารด้วยนิพจน์อื่นที่ไม่ใช่เอกภาพ (เหมือนกันสำหรับทั้งสองส่วน) จะได้รับเศษส่วนใหม่ เงินปันผลและตัวหารมีขนาดเล็กกว่าแต่ก่อน แต่เนื่องจากกฎพื้นฐานของเศษส่วน จึงยังคงเท่ากับตัวอย่างเดิม

วัตถุประสงค์ของการดำเนินการนี้คือเพื่อให้ได้นิพจน์ที่ลดทอนไม่ได้ใหม่ ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยการลดตัวเศษและตัวส่วนด้วยตัวหารร่วมมาก อัลกอริธึมการดำเนินการประกอบด้วยสองจุด:

1. การหา GCD ของเศษส่วนทั้งสองส่วน
2. การหารตัวเศษและตัวส่วนด้วยนิพจน์ที่พบ และรับเศษส่วนที่ลดไม่ได้เท่ากับค่าก่อนหน้า

ตารางด้านล่างแสดงสูตร เพื่อความสะดวก คุณสามารถพิมพ์ออกมาและพกพาติดตัวไปในโน้ตบุ๊ก อย่างไรก็ตาม เพื่อที่ว่าในอนาคตเมื่อแก้แบบทดสอบหรือสอบ จะไม่มีปัญหาในคำถามว่าจะแก้เศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตได้อย่างไร สูตรเหล่านี้ต้องเรียนรู้ด้วยใจ

ตัวอย่างบางส่วนพร้อมวิธีแก้ปัญหา

จากมุมมองทางทฤษฎี จะพิจารณาคำถามว่าจะแก้เศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตได้อย่างไร ตัวอย่างที่ให้ไว้ในบทความจะช่วยให้คุณเข้าใจเนื้อหาได้ดีขึ้น

1. แปลงเศษส่วนแล้วนำมาเป็นตัวส่วนร่วม

2. แปลงเศษส่วนและนำมาเป็นตัวส่วนร่วม

หลังจากศึกษาส่วนทฤษฎีและพิจารณาประเด็นเชิงปฏิบัติแล้ว ก็ไม่ควรมีคำถามอีก

บทเรียนนี้กล่าวถึงแนวคิดของเศษส่วนพีชคณิต บุคคลพบเศษส่วนในสถานการณ์ชีวิตที่เรียบง่ายที่สุด: เมื่อจำเป็นต้องแบ่งวัตถุออกเป็นหลายส่วน เช่น ตัดเค้กให้เท่ากันสำหรับสิบคน แน่นอนว่าทุกคนจะได้เค้กชิ้นหนึ่ง ในกรณีนี้ เรากำลังเผชิญกับแนวคิดของเศษส่วนตัวเลข แต่สถานการณ์จะเป็นไปได้เมื่อวัตถุถูกแบ่งออกเป็นส่วนที่ไม่ทราบจำนวน ตัวอย่างเช่น โดย x ในกรณีนี้ แนวคิดของนิพจน์ที่เป็นเศษส่วนเกิดขึ้น คุณพบกับนิพจน์จำนวนเต็ม (ไม่มีการแบ่งเป็นนิพจน์ที่มีตัวแปร) และคุณสมบัติของนิพจน์ในเกรด 7 ต่อไปเราจะพิจารณาแนวคิดของเศษส่วนตรรกยะและค่าตัวแปรที่อนุญาต

หัวข้อ:เศษส่วนพีชคณิต การดำเนินการเลขคณิตกับเศษส่วนพีชคณิต

บทเรียน:แนวคิดพื้นฐาน

1. ความหมายและตัวอย่างของเศษส่วนพีชคณิต

การแสดงออกที่มีเหตุผลแบ่งออกเป็น นิพจน์จำนวนเต็มและเศษส่วน.

คำนิยาม. เศษส่วนตรรกยะเป็นนิพจน์เศษส่วนของแบบฟอร์ม โดยที่ เป็นพหุนาม - ตัวเศษ

ตัวอย่าง การแสดงออกที่มีเหตุผล:- นิพจน์เศษส่วน เป็นนิพจน์จำนวนเต็ม ในนิพจน์แรก ตัวอย่างเช่น ตัวเศษคือ และตัวส่วนคือ

ความหมาย เศษส่วนพีชคณิต, เหมือนอะไร นิพจน์พีชคณิตขึ้นอยู่กับค่าตัวเลขของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในตัวอย่างแรก ค่าของเศษส่วนขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปร และ และในตัวอย่างที่สอง เฉพาะค่าของตัวแปร .

2. การคำนวณค่าของเศษส่วนพีชคณิตและปัญหาพื้นฐานสองประการเกี่ยวกับเศษส่วน

พิจารณางานทั่วไปอย่างแรก: การคำนวณค่า เศษส่วนตรรกยะที่ ค่านิยมที่แตกต่างกันตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น

ตัวอย่างที่ 1 คำนวณค่าเศษส่วนสำหรับ a), b), c)

วิธีการแก้. แทนที่ค่าของตัวแปรลงในเศษส่วนที่ระบุ: a), b), c) - ไม่มีอยู่ (เพราะคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์)

คำตอบ: 3; หนึ่ง; ไม่ได้อยู่.

อย่างที่เราเห็นมีสอง งานทั่วไปสำหรับเศษส่วนใดๆ: 1) การคำนวณเศษส่วน 2) การหา ค่าที่ถูกต้องและไม่ถูกต้องตัวแปรตามตัวอักษร

คำนิยาม. ค่าตัวแปรที่ถูกต้องคือค่าของตัวแปรที่นิพจน์มีความหมาย ชุดของค่าที่ยอมรับได้ทั้งหมดของตัวแปรเรียกว่า ODZหรือ โดเมน.

3. Permissible (ODZ) และค่าตัวแปรที่ไม่ถูกต้องในเศษส่วนด้วยตัวแปรเดียว

ค่าของตัวแปรตามตัวอักษรอาจไม่ถูกต้องหากตัวส่วนของเศษส่วนสำหรับค่าเหล่านี้เป็นศูนย์ ในกรณีอื่น ๆ ค่าของตัวแปรนั้นถูกต้องเนื่องจากสามารถคำนวณเศษส่วนได้

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดว่าค่าใดของตัวแปรที่เศษส่วนไม่สมเหตุสมผล

วิธีการแก้. เพื่อให้สำนวนนี้สมเหตุสมผล จึงจำเป็นและเพียงพอที่ตัวส่วนของเศษส่วนไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเฉพาะค่าของตัวแปรที่ตัวส่วนจะเท่ากับศูนย์เท่านั้นที่จะไม่ถูกต้อง ตัวส่วนของเศษส่วน, ดังนั้นเราจึงแก้สมการเชิงเส้น:

ดังนั้น สำหรับค่าของตัวแปร เศษส่วนจึงไม่สมเหตุสมผล

จากการแก้ปัญหาของตัวอย่าง กฎสำหรับการค้นหาค่าที่ไม่ถูกต้องของตัวแปรมีดังนี้ - ตัวส่วนของเศษส่วนเท่ากับศูนย์และพบรากของสมการที่สอดคล้องกัน

ลองดูตัวอย่างที่คล้ายกัน

ตัวอย่างที่ 3 ตรวจสอบว่าค่าของตัวแปรใดที่เศษส่วนไม่สมเหตุสมผล

วิธีการแก้. .

ตอบ. .

ตัวอย่างที่ 4 กำหนดว่าค่าใดของตัวแปรที่เศษส่วนไม่สมเหตุสมผล

วิธีการแก้..

มีสูตรอื่นของปัญหานี้ - เพื่อค้นหา โดเมนหรือ ช่วงของค่านิพจน์ที่ถูกต้อง (ODZ). ซึ่งหมายความว่า - ค้นหาค่าที่ถูกต้องทั้งหมดของตัวแปร ในตัวอย่างของเรา ค่าเหล่านี้เป็นค่าทั้งหมดยกเว้น โดเมนของคำจำกัดความแสดงไว้อย่างสะดวกบนแกนตัวเลข

ในการทำเช่นนี้เราจะตัดจุดดังกล่าวดังแสดงในรูป:

ทางนี้, โดเมนเศษส่วนจะเป็นตัวเลขทั้งหมดยกเว้น 3

ตอบ..

ตัวอย่างที่ 5 กำหนดว่าค่าใดของตัวแปรที่เศษส่วนไม่สมเหตุสมผล

วิธีการแก้..

ลองอธิบายผลลัพธ์ที่ได้บนแกนตัวเลข:

ตอบ..

4. การแสดงกราฟิกของพื้นที่ที่อนุญาต (ODZ) และค่าที่ไม่ถูกต้องของตัวแปรในเศษส่วน

ตัวอย่างที่ 6 ตรวจสอบว่าค่าของตัวแปรใดที่เศษส่วนไม่สมเหตุสมผล

วิธีแก้ปัญหา.. เราได้รับค่าความเท่าเทียมกันของตัวแปรสองตัว เราจะยกตัวอย่างที่เป็นตัวเลข: หรือ เป็นต้น

ลองพลอตโซลูชันนี้บนกราฟในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน:

ข้าว. 3. กราฟของฟังก์ชัน

พิกัดของจุดใดๆ ที่วางอยู่บนกราฟนี้ไม่รวมอยู่ในพื้นที่ของค่าที่ยอมรับได้ของเศษส่วน

ตอบ. .

5. กรณีเช่น "หารด้วยศูนย์"

ในตัวอย่างที่พิจารณา เราต้องเผชิญกับสถานการณ์ที่มีการหารด้วยศูนย์เกิดขึ้น พิจารณากรณีเมื่อมีมากขึ้น สถานการณ์ที่น่าสนใจด้วยประเภทการแบ่ง

ตัวอย่างที่ 7 ตรวจสอบว่าค่าของตัวแปรใดที่เศษส่วนไม่สมเหตุสมผล

วิธีการแก้..

ปรากฎว่าเศษส่วนไม่สมเหตุสมผลเมื่อ . แต่สามารถโต้แย้งได้ว่านี่ไม่ใช่กรณีเพราะ: .

อาจดูเหมือนว่าหากนิพจน์สุดท้ายเท่ากับ 8 สำหรับ นิพจน์ดั้งเดิมก็สามารถคำนวณได้เช่นกัน ดังนั้นจึงเหมาะสมสำหรับ อย่างไรก็ตาม หากเราแทนที่มันในนิพจน์ดั้งเดิม เราก็ได้ - มันไม่สมเหตุสมผลเลย

ตอบ..

เพื่อให้เข้าใจตัวอย่างนี้โดยละเอียดยิ่งขึ้น เราจึงแก้ปัญหาต่อไปนี้ เศษส่วนที่ระบุมีค่าเท่ากับศูนย์สำหรับค่าใด

(เศษส่วนเป็นศูนย์เมื่อตัวเศษเป็นศูนย์) . แต่จำเป็นต้องแก้สมการดั้งเดิมด้วยเศษส่วน และมันไม่สมเหตุสมผลสำหรับ เพราะที่ค่าของตัวแปรนี้ ตัวส่วนจะเป็นศูนย์ สมการนี้มีรากเดียว

6. กฎในการหา ODZ

ดังนั้นเราจึงสามารถกำหนดกฎที่แน่นอนสำหรับการค้นหาช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของเศษส่วน: เพื่อหา ODZเศษส่วนจำเป็นและเพียงพอที่จะทำให้ตัวส่วนเท่ากับศูนย์และหารากของสมการที่ได้

เราได้พิจารณางานหลักสองประการ: การคำนวณค่าเศษส่วนสำหรับค่าที่ระบุของตัวแปรและ การหาพื้นที่ของค่าเศษส่วนที่ยอมรับได้.

ทีนี้ลองมาพิจารณาปัญหาอื่นๆ ที่อาจเกิดขึ้นเมื่อทำงานกับเศษส่วนกัน

7. งานเบ็ดเตล็ดและข้อสรุป

ตัวอย่างที่ 8 พิสูจน์ว่าค่าใด ๆ ของตัวแปร เศษส่วน .

การพิสูจน์. ตัวเศษเป็นจำนวนบวก . เป็นผลให้ทั้งตัวเศษและตัวส่วนเป็นจำนวนบวก ดังนั้น เศษส่วนจึงเป็นจำนวนบวกด้วย

พิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างที่ 9 เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า ค้นหา

วิธีการแก้. ลองหารเทอมเศษส่วนด้วยเทอมกัน เรามีสิทธิที่จะลดโดยคำนึงถึงค่าที่ไม่ถูกต้องของตัวแปรสำหรับเศษส่วนนี้

ตอบ..

ในบทเรียนนี้ เราดูแนวคิดพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับเศษส่วน ในบทเรียนต่อไป เราจะมาดูที่ คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน.

บรรณานุกรม

1. Bashmakov M.I. พีชคณิตเกรด 8 - ม.: การตรัสรู้, 2547.

2. Dorofeev G. V. , Suvorova S. B. , Bunimovich E. A. et al. พีชคณิต 8. - 5th ed. - ม.: การศึกษา, 2553.

3. Nikolsky S. M. , Potapov M. A. , Reshetnikov N. N. , Shevkin A. V. พีชคณิตเกรด 8 หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษา - ม.: การศึกษา, 2549.

1. มหกรรมแนวคิดทางการสอน

2. โรงเรียนเก่า

3. พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต lib2.podelise รุ

การบ้าน

1. No. 4, 7, 9, 12, 13, 14. Dorofeev G. V. , Suvorova S. B. , Bunimovich E. A. et al. พีชคณิต 8. - 5th ed. - ม.: การศึกษา, 2553.

2. เขียนเศษส่วนตรรกยะ ซึ่งโดเมนคือ a) ชุด b) ชุด c) แกนตัวเลขทั้งหมด

3. พิสูจน์ว่าสำหรับค่าที่ยอมรับได้ทั้งหมดของตัวแปร ค่าของเศษส่วนไม่เป็นค่าลบ

4. ค้นหาขอบเขตของนิพจน์ คำแนะนำ: พิจารณาสองกรณีแยกกัน: เมื่อตัวส่วนของเศษส่วนล่างเท่ากับศูนย์ และเมื่อตัวส่วนของเศษส่วนเดิมเท่ากับศูนย์

ใน § 42 ว่ากันว่าถ้าการแบ่งพหุนามไม่สามารถทำได้อย่างสมบูรณ์ ผลหารจะถูกเขียนเป็นนิพจน์เศษส่วน โดยที่เงินปันผลเป็นตัวเศษและตัวหารเป็นตัวส่วน

ตัวอย่างของนิพจน์เศษส่วน:

ตัวเศษและตัวส่วนของนิพจน์ที่เป็นเศษส่วนสามารถเป็นนิพจน์ที่เป็นเศษส่วนได้ ตัวอย่างเช่น

ของนิพจน์พีชคณิตเศษส่วน เรามักต้องจัดการกับพจน์ที่ตัวเศษและตัวส่วนเป็นพหุนาม (โดยเฉพาะ โมโนเมียล) แต่ละนิพจน์ดังกล่าวเรียกว่าเศษส่วนพีชคณิต

คำนิยาม. นิพจน์พีชคณิตที่เป็นเศษส่วนซึ่งมีตัวเศษและตัวส่วนเป็นพหุนามเรียกว่าเศษส่วนพีชคณิต

ในทางคณิตศาสตร์ ตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตเรียกว่าเทอมของเศษส่วน

ในอนาคต เมื่อศึกษาการกระทำของเศษส่วนพีชคณิตแล้ว เราสามารถเปลี่ยนนิพจน์เศษส่วนใดๆ ก็ได้โดยใช้การแปลงที่เหมือนกันให้เป็นเศษส่วนพีชคณิต

ตัวอย่างของเศษส่วนพีชคณิต:

โปรดทราบว่านิพจน์ทั้งหมด นั่นคือ พหุนาม สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ เท่านี้ก็เพียงพอแล้วที่จะเขียนนิพจน์นี้ในตัวเศษ และ 1 ในตัวส่วน ตัวอย่างเช่น

2. ค่าตัวอักษรที่ถูกต้อง

ตัวอักษรที่รวมอยู่ในตัวเศษสามารถใช้ค่าใดก็ได้ (หากไม่มีข้อจำกัดเพิ่มเติมตามเงื่อนไขของปัญหา)

สำหรับตัวอักษรที่รวมอยู่ในตัวส่วน เฉพาะค่าเหล่านั้นเท่านั้นที่ถูกต้องซึ่งจะไม่เปลี่ยนตัวส่วนเป็นศูนย์ ดังนั้น ต่อไปนี้ เราจะถือว่าตัวส่วนของเศษพีชคณิตไม่เท่ากับศูนย์เสมอ