Tensiuni principale de încovoiere. Verificarea completă a rezistenței la încovoiere a grinzilor

În cazul încovoierii transversale plane, când momentul încovoietor acţionează şi în secţiunile grinzii Mși forța tăietoare Q, nu numai normal
, dar și tensiuni de forfecare .

Tensiunile normale în încovoiere transversală sunt calculate folosind aceleași formule ca și în îndoirea pură:

;
.(6.24)

P

Fig.6.11. îndoire plată

Când derivăm formula, vom face câteva ipoteze:

Tensiuni de forfecare care acționează la aceeași distanță la din axa neutră, constantă de-a lungul lățimii fasciculului;

Tensiunile tangenţiale sunt peste tot paralele cu forţa Q.

Să considerăm o grindă cantilever în condiții de încovoiere transversală sub acțiunea unei forțe R. Să construim diagrame ale forțelor interne DESPRE y, Și M z .

La distanta X din capătul liber al grinzii, selectăm o secțiune elementară a grinzii cu o lungime dXși o lățime egală cu lățimea grinzii b. Să arătăm forțele interne care acționează asupra fețelor elementului: asupra fețelor CD există o forță transversală Q yși momentul încovoietor M z, dar la un pas ab- de asemenea forță transversală Q yși momentul încovoietor M z +dM z(deoarece Q y rămâne constantă de-a lungul lungimii fasciculului și a momentului M z modificări, fig. 6.12). La distanta la tăiați o parte a elementului de pe axa neutră abcd, vom arăta tensiunile care acționează asupra fețelor elementului obținut mbcn, și luați în considerare echilibrul său. Nu există solicitări pe fețele care fac parte din suprafața exterioară a grinzii. Pe fețele laterale ale elementului de la acțiunea momentului încovoietor M z, apar tensiuni normale:

; (6.25)

. (6.26)

În plus, pe aceste fețe, din acțiunea unei forțe transversale Q y, apar tensiuni de forfecare , aceleași tensiuni apar conform legii de împerechere a tensiunilor tangențiale pe fața superioară a elementului.

Să compunem ecuația de echilibru a elementului mbcn, proiectând tensiunile rezultate luate în considerare pe axă X:

. (6.29)

Expresia de sub semnul integral este momentul static al feței laterale a elementului mbcn despre axa X, ca să putem scrie

. (6.30)

Având în vedere că, conform dependențelor diferențiale ale lui D. I. Zhuravsky, la îndoire,

, (6.31)

expresie pentru tangente tensiunile în timpul îndoirii transversale pot fi rescrise după cum urmează ( formula lui Zhuravsky)

. (6.32)

Să analizăm formula lui Zhuravsky.

Q y este forța transversală în secțiunea considerată;

J z - momentul de inerție axial al secțiunii în jurul axei z;

b- lăţimea secţiunii în locul unde se determină tensiunile tăietoare;

este momentul static în jurul axei z a părții din secțiune situată deasupra (sau sub) fibrei în care se determină efortul de forfecare:

, (6.33)

Unde Și F" - coordonatele centrului de greutate și, respectiv, aria părții considerate a secțiunii.

6.6 Test de rezistență complet. Secțiuni periculoase și puncte periculoase

Pentru a verifica rezistența la încovoiere, în funcție de sarcinile externe care acționează asupra grinzii, se construiesc grafice ale modificărilor forțelor interne de-a lungul lungimii acesteia și se determină secțiunile periculoase ale grinzii, pentru fiecare dintre acestea fiind necesar să se efectueze un test de rezistență. .

Cu un test de rezistență completă, vor exista cel puțin trei astfel de secțiuni (uneori coincid):

Secțiunea în care momentul încovoietor M z atinge valoarea sa modulo maximă;

Secțiunea în care forța transversală Q y, atinge valoarea sa modulo maximă;

Secțiunea în care și momentul încovoietor M z și forța tăietoare Q y atinge valori suficient de mari în modul.

În fiecare dintre secțiunile periculoase, este necesar, având construite diagrame ale tensiunilor normale și tăietoare, să găsiți punctele periculoase ale secțiunii (se efectuează verificarea rezistenței pentru fiecare dintre ele), care vor fi, de asemenea, cel puțin trei:

Punctul în care tensiunile normale , ating valoarea lor maximă, - adică punctul de pe suprafața exterioară a fasciculului este cel mai îndepărtat de axa neutră a secțiunii;

Punctul în care solicitările de forfecare atinge valoarea maximă, - un punct situat pe axa neutră a secțiunii;

Punctul în care atât tensiunile normale, cât și tensiunile de forfecare ating valori suficient de mari (această verificare are sens pentru secțiuni precum un tee sau o grindă în I, unde lățimea secțiunii nu este constantă în înălțime).

În încovoiere transversală, împreună cu momentul încovoietor în secțiune, acționează o forță transversală, care este rezultanta tensiunilor tăietoare.

O consecință a acțiunii tensiunilor de forfecare este o distorsiune a formei secțiunii transversale, care contrazice ipoteza secțiunilor plane. În primul rând, secțiunea poate experimenta deplayatsho, acestea. nu rămâne plat. În al doilea rând, secțiunea după deformare nu rămâne perpendiculară pe axa curbă a grinzii.

Aceste efecte sunt luate în considerare în teoriile mai complexe ale îndoirii tijei. În același timp, pentru un număr mare de probleme de inginerie, formulele obținute pentru îndoirea pură pot fi generalizate la cazul îndoirii transversale. Evaluarea limitelor de aplicabilitate a acestor formule și responsabilitatea pentru rezultatul obținut sunt de competența calculatorului.

Pentru a determina valorile tensiunilor normale în încovoiere transversală, formula (5.10) este utilizată pe scară largă. În continuare, vom arăta că în cazul unei forțe tăietoare constante, această formulă dă un rezultat exact, iar în cazul unei forțe tăietoare variabile, cele obținute pentru determinarea normalului.

subliniază, formulele scot o eroare de ordine - Unde h- inaltimea sectiunii; / - lungimea fasciculului.

Pentru a determina magnitudinea tensiunilor de forfecare, luați în considerare un element de grindă cu o lungime dx(Fig. 5.8).

Orez. 5.8.

În secțiunile din dreapta și din stânga elementului, tensiunile normale diferă unele de altele prin c / o, ceea ce se datorează diferenței dintre valorile momentului încovoietor de dM dl. Termenul asociat cu modificarea t de-a lungul lungimii dx, poate fi neglijat ca o cantitate de ordinul cel mai înalt al micimii.

Să facem o ipoteză: tensiunile tăietoare din secțiune sunt direcționate paralel cu forța tăietoare care acționează în această secțiune Q.

Să determinăm valorile tensiunilor de forfecare în puncte separate de o distanță la din axa neutră. Pentru a face acest lucru, tăiați avionul CD dintr-un element de bară cu o lungime dx Parte un pat.

In sectiune la inaltime la acţionează tensiunile tangenţiale.Totodată, într-o secţiune perpendiculară pe aceasta, adică. într-un plan paralel cu planul xz,în conformitate cu legea împerecherii tensiunilor de forfecare, vor acționa solicitări de forfecare de aceeași mărime.

Să compunem ecuația de echilibru a elementului, proiectând pentru aceasta toate forțele care acționează asupra acestui element pe direcția axei X. Calculăm integralele incluse în ecuația de echilibru în partea superioară a secțiunii A*:

În urma transformărilor, obținem următoarea formulă de calcul a tensiunilor de forfecare:

Conform formulei (5.10) și ținând cont de relația (5.3), găsim derivata tensiunii normale:

și luați în considerare această valoare în expresia pentru efortul de forfecare:

Ca rezultat, obținem următoarea formulă pentru calcularea tensiunilor de forfecare:

Unde Q - forță transversală în secțiune; S* - momentul static al porțiunii tăiate a secțiunii cu aria L* față de axa centrală; / izg - momentul de inerție al secțiunii față de axa centrală; h- lăţimea secţiunii în locul unde se determină eforturile de forfecare.

Formula (5.21) se numește formuleZhuravsky LA

Luați în considerare o grindă cu o secțiune transversală dreptunghiulară (Fig. 5.9, A). Să determinăm tensiunile normale și de forfecare în secțiunea periculoasă. Periculoasă este secțiunea L, în care acționează momentul încovoietor maxim M ng \u003d -I. În ceea ce privește forța transversală, valoarea acesteia în orice secțiune a fasciculului este constantă și egală cu -F.

Orez. 5.9.

Conform formulelor (5.15) și (5.20), determinăm valoarea tensiunii normale maxime:

„Zhuravsky Dmitry Ivanovich (1828-1891) - un om de știință mecanic și inginer rus, specialist în domeniul construcțiilor de poduri și al mecanicii structurale, a fost primul care a rezolvat problema determinării tensiunilor de forfecare în timpul îndoirii transversale a unei grinzi.

Să calculăm cantitățile incluse în formula (5.21):

La un punct de secțiune la distanță la din axa neutră, valoarea tensiunii de forfecare este

Tensiunea maximă apare la y= 0 în fibrele aparținând axei centrale 0t.

Această tensiune are în mod oficial o valoare negativă, dar semnul său poate fi ignorat, deoarece acest lucru nu este important pentru calcul.

Să estimăm raportul dintre valorile maxime ale tensiunilor normale și de forfecare care apar în secțiunea grinzii:

Conform schemei de calcul a fasciculului, se presupune că - 1. De aici rezultă că tensiunile de forfecare au un ordin mai mare de micime comparativ cu tensiunile normale.

Să generalizăm estimarea (5.24) pentru o grindă de lungime / și dimensiunea secțiunii caracteristice A. Cu o forță transversală egală cu F, momentul încovoietor este estimat ca М izg ~ F.I. Pentru valorile caracteristice ale momentului de inerție axial al secțiunii, ale momentului static al unei părți a secțiunii și ale momentului de rezistență la încovoiere, obținem următoarele estimări:

Prin urmare, pentru tensiunile maxime normale și forfecare, estimările sunt valabile

În cele din urmă, obținem următoarea estimare pentru raportul tensiunilor maxime tangenţiale și normale:

Estimările obținute pentru o anumită secțiune transversală dreptunghiulară pot fi extinse la cazul unei secțiuni arbitrare, cu condiția ca secțiunea transversală să fie considerată masivă. Pentru profilele cu pereți subțiri, concluzia de mai sus despre posibilitatea neglijării tensiunilor de forfecare în comparație cu tensiunile normale nu este întotdeauna adevărată.

Trebuie remarcat că la derivarea formulei (5.21), nu am fost complet consecvenți și, în timpul efectuării transformărilor, am făcut următoarea eroare. Și anume, formula pentru tensiuni normale pe care am folosit-o a fost obținută în ipoteza că ipoteza secțiunilor plane este validă, i.e. în absenţa deformării secţiunii transversale. Aplicând tensiuni tangenţiale elementului, am permis posibilitatea deformării unghiurilor drepte, ceea ce a încălcat ipoteza de mai sus. Prin urmare, formulele de calcul rezultate sunt aproximative. Diagrama efortului de forfecare prezentată în fig. 5.9, b, explică natura curburii secțiunilor transversale ale grinzii în timpul îndoirii transversale. În punctele extreme, tensiunile de forfecare sunt egale cu zero, prin urmare, fibrele corespunzătoare acestora vor fi normale cu suprafețele superioare și inferioare ale grinzii. Pe linia neutră, unde acţionează solicitările maxime de forfecare, vor avea loc deformaţiile maxime de forfecare.

În același timp, observăm că, cu o valoare constantă a forței transversale în interiorul secțiunii, curbura tuturor secțiunilor va fi aceeași, prin urmare, efectul de curbură nu se va reflecta în mărimea deformațiilor longitudinale de tracțiune și compresiune ale fibrele cauzate de momentul încovoietor.

Pentru secțiunile transversale de formă nedreptunghiulară, în formula (5.21) se introduc erori suplimentare din cauza neîndeplinirii ipotezelor acceptate despre natura distribuției tensiunilor tăietoare. Deci, de exemplu, pentru o secțiune transversală circulară, eforturile de forfecare în puncte la contururile secțiunilor trebuie direcționate tangențial la contur și nu paralel cu forța transversală Q. Aceasta înseamnă că eforturile de forfecare trebuie să aibă componente care să acționeze atât de-a lungul axei z, cât și de-a lungul axei z.

Cu toate acestea, în ciuda contradicțiilor existente, formulele obținute dau rezultate destul de satisfăcătoare în calculele practice. Compararea valorilor tensiunii de forfecare determinate prin formula (5.21) cu rezultatele obținute prin metode exacte arată că eroarea în mărimea celei mai mari solicitări de forfecare nu depășește 5%, adică. această formulă este potrivită pentru calcule practice.

Să facem câteva observații cu privire la calculele de rezistență în încovoiere transversală directă. Spre deosebire de îndoirea pură în secțiunile transversale ale tijei, în îndoirea transversală apar doi factori de forță: momentul încovoietor Mmzg și forța transversală. Q. Cu toate acestea, având în vedere că cele mai mari tensiuni normale apar în fibrele cele mai exterioare, unde nu există solicitări de forfecare (vezi Fig. 5.9, b) iar cele mai mari solicitări de forfecare apar în stratul neutru, unde tensiunile normale sunt egale cu zero, condițiile de rezistență în aceste cazuri sunt formulate separat pentru tensiunile normale și forfecare:

Când obțineți o formulă pentru calcularea tensiunilor normale, luați în considerare un astfel de caz de încovoiere, când forțele interne în secțiunile grinzii sunt reduse doar la momentul de îndoire, A forța transversală este zero. Acest caz de îndoire se numește îndoire pură. Luați în considerare secțiunea din mijloc a unei grinzi care suferă o îndoire pură.

Când este încărcat, fasciculul se îndoaie astfel încât fibrele inferioare se alungesc iar fibrele superioare se scurtează.

Deoarece unele dintre fibrele fasciculului sunt întinse, iar altele sunt comprimate, iar trecerea de la tensiune la compresie are loc lin, fără sărituri, V mijloc o parte a fasciculului este un strat ale cărui fibre doar se îndoaie, dar nu suferă nici tensiune, nici compresie. Un astfel de strat se numește neutru strat. Se numește linia de-a lungul căreia stratul neutru se intersectează cu secțiunea transversală a fasciculului linie neutră sau axa neutră secțiuni. Liniile neutre sunt înșirate pe axa fasciculului. linie neutră este linia în care tensiunile normale sunt zero.

Rămân liniile trasate pe suprafața laterală a fasciculului perpendicular pe ax apartament la îndoire. Aceste date experimentale fac posibilă bazarea derivărilor formulelor ipoteza secțiunilor plate (ipoteză). Conform acestei ipoteze, secțiunile grinzii sunt plate și perpendiculare pe axa acesteia înainte de a se îndoi, rămân plate și devin perpendiculare pe axa îndoită a grinzii atunci când este îndoită.

Ipoteze pentru derivarea formulelor de tensiuni normale: 1) Ipoteza secțiunilor plane este îndeplinită. 2) Fibrele longitudinale nu se apasă unele pe altele (ipoteza fără presiune) și, prin urmare, fiecare dintre fibre se află într-o stare de tensiune sau compresie uniaxială. 3) Deformaţiile fibrelor nu depind de poziţia lor pe lăţimea secţiunii. În consecință, tensiunile normale, care se modifică de-a lungul înălțimii secțiunii, rămân aceleași pe lățime. 4) Fasciculul are cel puțin un plan de simetrie și toate forțele externe se află în acest plan. 5) Materialul grinzii respectă legea lui Hooke, iar modulul de elasticitate în tensiune și compresie este același. 6) Raporturile dintre dimensiunile grinzii sunt astfel încât să funcționeze în condiții de îndoire plană fără deformare sau răsucire.

Luați în considerare o grindă de secțiune arbitrară, dar având o axă de simetrie. Momentul de îndoire reprezintă momentul rezultant al forțelor normale interne iau naștere pe suprafețe infinit de mici și pot fi exprimate în termeni de integrală formă: (1), unde y este brațul forței elementare în raport cu axa x

Formulă (1) exprimă static parte a problemei de îndoire a unei bare drepte, dar de-a lungul ei în funcție de un moment de încovoiere cunoscut este imposibil să se determine tensiunile normale până la stabilirea legii distribuţiei lor.

Selectați grinzile din secțiunea din mijloc și luați în considerare secțiune de lungime dz, supus la îndoire. Să mărim pe ea.

Secțiuni care mărginesc secțiunea dz, paralele între ele înainte de deformare, iar după aplicarea sarcinii întoarce liniile lor neutre într-un unghi . Lungimea segmentului de fibre din stratul neutru nu se va modifica.și va fi egal cu: , unde este raza de curbură axa curbată a fasciculului. Dar orice altă fibră mincinoasă mai jos sau deasupra strat neutru, își va schimba lungimea. Calcula alungirea relativă a fibrelor situate la distanţa y de stratul neutru. Alungirea relativă este raportul dintre deformarea absolută și lungimea inițială, atunci:

Reducem și reducem termeni similari, apoi obținem: (2) Această formulă exprimă geometric parte a problemei de îndoire pură: deformarile fibrelor sunt direct proportionale cu distantele acestora fata de stratul neutru.

Acum să trecem la stresuri, adică vom lua în considerare fizic partea a sarcinii. în conformitate cu ipoteza de non-presiune fibrele se folosesc în tensiune-compresie axială: apoi, ţinând cont de formulă (2) avem (3), acestea. tensiuni normale la îndoirea de-a lungul înălțimii secțiunii sunt distribuite după o lege liniară. Pe fibrele extreme, tensiunile normale ating valoarea maximă, iar în centrul de greutate secțiunile transversale sunt egale cu zero. Substitui (3) în ecuație (1) și scoatem fracția din semnul integral ca valoare constantă, atunci avem . Dar expresia este momentul de inerție axial al secțiunii în jurul axei x - eu x. Dimensiunea sa cm 4, m 4

Apoi ,Unde (4) , unde este curbura axei îndoite a grinzii, a este rigiditatea secțiunii grinzii în timpul îndoirii.

Înlocuiți expresia rezultată curbură (4)într-o expresie (3) si ia formula pentru calcularea tensiunilor normale în orice punct al secțiunii transversale: (5)

Acea. maxim apar stres în punctele cele mai îndepărtate de linia neutră. Atitudine (6) numit modulul secțiunii axiale. Dimensiunea sa cm 3, m 3. Momentul de rezistență caracterizează influența formei și dimensiunilor secțiunii transversale asupra mărimii tensiunilor.

Apoi tensiuni maxime: (7)

Condiție de rezistență la încovoiere: (8)

În timpul îndoirii transversale nu numai tensiuni normale, ci și forfecare, deoarece disponibil forta bruta. Tensiuni de forfecare complică imaginea deformării, ele duc la curbură secțiuni transversale ale fasciculului, drept urmare se încalcă ipoteza secţiunilor plane. Cu toate acestea, studiile arată că distorsiunile introduse de solicitările de forfecare puțin afectează tensiunile normale calculate prin formulă (5) . Astfel, la determinarea tensiunilor normale în cazul încovoierii transversale teoria îndoirii pure este destul de aplicabilă.

Linie neutră. Întrebare despre poziția liniei neutre.

La îndoire, nu există nicio forță longitudinală, așa că putem scrie Înlocuiți aici formula pentru tensiunile normale (3) si ia Deoarece modulul de elasticitate al materialului grinzii nu este egal cu zero, iar axa îndoită a grinzii are o rază de curbură finită, rămâne să presupunem că această integrală este momentul static al zonei secțiunea transversală a fasciculului în raport cu axa neutră a liniei x , și de când este egal cu zero, apoi linia neutră trece prin centrul de greutate al secțiunii.

Luați în considerare o grindă care se află în îndoire plană directă sub acțiunea unor sarcini transversale arbitrare în planul principal Ohu(Fig. 7.31, A). Tăiem fasciculul la o distanță x de capătul său stâng și luăm în considerare echilibrul părții stângi. Influența părții drepte în acest caz trebuie înlocuită cu acțiunea momentului încovoietor A / și a forței transversale Q yîn secțiunea desenată (Fig. 7.31, b). Momentul încovoietor L7 în cazul general nu este constant ca mărime, așa cum a fost cazul încovoirii pure, ci variază de-a lungul lungimii grinzii. De la momentul încovoietor M

conform (7.14) este asociată cu tensiuni normale o = a x, atunci tensiunile normale din fibrele longitudinale se vor modifica și ele pe lungimea grinzii. Prin urmare, în cazul încovoierii transversale, tensiunile normale sunt funcții ale variabilelor x și y: a x = a x (x, y).

În cazul îndoirii transversale în secțiunea grinzii, acţionează nu numai tensiunile normale, ci și tangenţiale (Fig. 7.31, V), a cărei rezultantă este forța transversală Qy:

Prezența tensiunilor de forfecare x wowînsoţită de apariţia deformaţiilor unghiulare y. Tensiunile de forfecare, ca și tensiunile normale, sunt distribuite neuniform pe secțiunea transversală. În consecință, deformațiile unghiulare asociate acestora prin legea Hooke în forfecare vor fi, de asemenea, distribuite neuniform. Aceasta înseamnă că în îndoirea transversală, spre deosebire de îndoirea pură, secțiunile grinzii nu rămân plate (ipoteza lui J. Bernoulli este încălcată).

Curbura secțiunilor transversale poate fi demonstrată clar prin exemplul de îndoire a unei grinzi dreptunghiulare de cauciuc în consolă cauzată de o forță concentrată aplicată la capăt (Fig. 7.32). Dacă mai întâi desenați linii drepte perpendiculare pe axa grinzii pe fețele laterale, atunci, după îndoire, aceste linii nu rămân drepte. În acest caz, ele sunt îndoite astfel încât cea mai mare deplasare să aibă loc la nivelul stratului neutru.

Studii mai precise au stabilit că efectul distorsiunii în secțiune transversală asupra valorii tensiunilor normale este nesemnificativ. Depinde de raportul dintre înălțimea secțiunii h la lungimea grinzii / si la h/ / o x în încovoiere transversală, se utilizează de obicei formula (7.14), derivată pentru cazul îndoirii pure.

A doua caracteristică a îndoirii transversale este prezența tensiunilor normale O y, care acționează în secțiunile longitudinale ale grinzii și caracterizează presiunea reciprocă dintre straturile longitudinale. Aceste tensiuni apar în zonele în care există o sarcină distribuită q,şi locurile de aplicare a forţelor concentrate. De obicei, aceste tensiuni sunt foarte mici în comparație cu tensiunile normale. un x. Un caz special este acțiunea unei forțe concentrate, în zona de aplicare a căreia pot apărea solicitări locale semnificative. si tu.

Astfel, un element infinitezimal în plan Ohuîn cazul îndoirii transversale, aceasta se află în stare de efort biaxială (Fig. 7.33).

Tensiunile m și o, precum și tensiunea o Y , sunt în general funcții ale coordonatelor* și y. Ele trebuie să satisfacă ecuațiile de echilibru diferențial, care pentru o stare de efort biaxială ( a z = T yz = = 0) în lipsă

forțele de volum au următoarea formă:

Aceste ecuații pot fi utilizate pentru a determina tensiunile de forfecare = t și tensiunile normale OU. Cel mai simplu mod de a face acest lucru este pentru un fascicul cu secțiune transversală dreptunghiulară. În acest caz, la determinarea lui m, se face ipoteza despre distribuția lor uniformă pe lățimea secțiunii (Fig. 7.34). Această presupunere a fost făcută de celebrul constructor rus de poduri D.I. Zhuravsky. Studiile arată că această ipoteză corespunde aproape exact cu natura reală a distribuției tensiunilor tăietoare în încovoiere pentru grinzi destul de înguste și înalte. (b « ȘI).

Folosind prima dintre ecuațiile diferențiale (7.26) și formula (7.14) pentru tensiuni normale un x, primim

Integrarea acestei ecuații în raport cu variabila y, găsi

Unde f(x)- o funcție arbitrară, pentru definiția căreia se folosește condiția absenței tensiunilor de forfecare pe fața inferioară a grinzii:

Ținând cont de această condiție la limită, din (7.28) găsim

În cele din urmă, expresia tensiunilor tăietoare care acționează în secțiunile transversale ale grinzii ia următoarea formă:

În virtutea legii împerecherii tensiunilor tangenţiale, în secţiunile longitudinale apar şi tensiuni tangenţiale t, = t

hu uh

grinzi paralele cu stratul neutru.

Din formula (7.29) se poate observa că eforturile de forfecare se modifică de-a lungul înălțimii secțiunii transversale a grinzii conform legii parabolei pătrate. Tensiunile de forfecare au cea mai mare valoare în punctele de la nivelul axei neutre la y= 0, iar în fibrele extreme ale fasciculului la y = ±h/2 sunt egale cu zero. Folosind formula (7.23) pentru momentul de inerție al unei secțiuni dreptunghiulare, obținem

Unde F=bh- zona secțiunii transversale a fasciculului.

Graficul t este prezentat în fig. 7.34.

În cazul grinzilor cu secțiune transversală nedreptunghiulară (Fig. 7.35), este dificil să se determine tensiunile tăietoare m din ecuația de echilibru (7.27), deoarece condiția la limită pentru m nu este cunoscută în toate punctele crucii. conturul secțiunii. Acest lucru se datorează faptului că, în acest caz, în secțiune transversală acționează tensiunile tăietoare m, care nu sunt paralele cu forța transversală. Q y .Într-adevăr, se poate demonstra că în punctele apropiate de conturul secțiunii transversale, efortul total de forfecare m este direcționat tangențial la contur. Considerăm, în vecinătatea unui punct arbitrar al conturului (vezi Fig. 7.35), o zonă infinit de mică dFîn planul secțiunii transversale și o platformă perpendiculară pe aceasta dF" pe partea laterală a grinzii. Dacă solicitarea totală m în punctul de contur nu este direcționată tangențial, atunci aceasta poate fi descompusă în două componente: xvxîn direcţia v-ului normal spre contur şi Xîn direcția tangentei t la contur. Prin urmare, conform legii împerecherii tensiunilor tăietoare pe șantier dF" ar trebui să-

dar acționează efortul de forfecare x egal cu x vv . Dacă suprafața laterală este liberă de sarcini tangențiale, atunci componenta x vv = zvx = 0, adică efortul total de forfecare x trebuie direcționat tangențial la conturul secțiunii transversale, așa cum se arată, de exemplu, în punctele L și ÎN contur.

În consecință, efortul de forfecare x atât în ​​punctele conturului, cât și în orice punct al secțiunii transversale poate fi descompus în componente x ale acestora.

Pentru a determina componentele x ale efortului de forfecare în grinzi cu secțiune transversală nedreptunghiulară (Fig. 7.36, b) să presupunem că secțiunea are o axă de simetrie verticală și că componenta x a efortului total de forfecare x, ca în cazul unei secțiuni transversale dreptunghiulare, este distribuită uniform pe lățimea sa.

Folosind o secțiune longitudinală paralelă cu planul Oxz si trecand la distanta la din el și două secțiuni transversale xx + dx decupat mental din partea de jos a grinzii un element infinitezimal de lungime dx(Fig. 7.36, V).

Presupunem că momentul încovoietor M variază în lungime dx element considerat al grinzii și forța transversală Q constant. Apoi în secțiuni transversale x și x + dx grinzile vor acționa cu aceleași solicitări de forfecare x, iar tensiunile normale care decurg din momentele încovoietoare MzmMz+ dM, vor fi, respectiv, egali AȘi A + da. De-a lungul feței orizontale a elementului selectat (în Fig. 7.36, V se arată în axonometrie) conform legii de împerechere a tensiunilor de forfecare, solicitările x v „ \u003d x vor acționa.

hu uh

rezultanta RȘi R+dR tensiunile normale o și o + d aplicate la capetele elementului, ținând cont de formula (7.14) sunt egale cu

Unde

moment static de întrerupere F(în Fig. 7.36, b umbrită) în raport cu axa neutră Oz y, - variabilă auxiliară, care se schimbă în interiorul la

Efortul de forfecare rezultat t aplicat

hu

la marginea orizontală a elementului, ținând cont de ipoteza introdusă despre distribuția uniformă a acestor tensiuni pe lățime de) poate fi găsită prin formula

Condiția de echilibru pentru un element? X=0 dă

Înlocuind valorile forțelor rezultante, obținem

De aici, ținând cont de (7.6), obținem o formulă pentru determinarea tensiunilor tăietoare:

Această formulă în literatura internă se numește formula D.I. Zhuravsky.

Conform formulei (7.32), distribuția tensiunilor tăietoare m de-a lungul înălțimii secțiunii depinde de modificarea lățimii secțiunii. b(y) și momentul static al părții tăiate a secțiunii S OTC (y).

Utilizând formula (7.32), tensiunile tăietoare sunt cel mai simplu determinate pentru grinda dreptunghiulară considerată mai sus (Fig. 7.37).

Momentul static al ariei secțiunii transversale de tăiere F qtc este egal cu

Înlocuind 5° TC în (7.32), obținem formula derivată anterior (7.29).

Formula (7.32) poate fi utilizată pentru a determina eforturile de forfecare în grinzi cu o lățime a secțiunii constantă în trepte. În cadrul fiecărei secțiuni cu lățime constantă, eforturile de forfecare se modifică de-a lungul înălțimii secțiunii conform legii parabolei pătrate. În locurile de modificare bruscă a lățimii secțiunii, tensiunile tăietoare au și salturi sau discontinuități. Natura diagramei m pentru o astfel de secțiune este prezentată în Fig. 7.38.

Orez. 7.37

Orez. 7.38

Luați în considerare distribuția tensiunilor de forfecare într-o secțiune I (Fig. 7.39, A) la aplecarea intr-un plan Ohu. O secțiune I poate fi reprezentată ca o conjugare a trei dreptunghiuri înguste: două rafturi orizontale și un perete vertical.

Când se calculează m în perete în formula (7.32), trebuie să se ia b(y) - d. Drept urmare, obținem

Unde S° 1C calculată ca suma momentelor statice în jurul axei Oz zona raftului F nși părți ale zidului F, umbrită în fig. 7.39, A:

Tensiunile tăietoare t au cea mai mare valoare la nivelul axei neutre la y= 0:

unde este momentul static al ariei semi-secțiunii în raport cu axa neutră:

Pentru grinzi în I și canale rulante, valoarea momentului static a jumătate de secțiune este dată în sortiment.

Orez. 7.39

La nivelul la care peretele se învecinează cu flanșele, tensiuni de forfecare 1 ? egal

Unde S"- Momentul static al ariei de secțiune a flanșei în raport cu axa neutră:

Tensiunile de forfecare verticală m în flanșele unei grinzi în I nu pot fi găsite prin formula (7.32), deoarece datorită faptului că b :» t, presupunerea distribuției lor uniforme pe lățimea raftului devine inacceptabilă. Pe fețele de sus și de jos ale raftului, aceste tensiuni trebuie să fie egale cu zero. Prin urmare, t in

Wow

rafturile sunt foarte mici și nu prezintă interes practic. De un interes mult mai mare sunt eforturile de forfecare orizontale din rafturile m, pentru a determina pe care considerăm echilibrul unui element infinitezimal selectat din raftul inferior (Fig. 7.39). , b).

Conform legii împerecherii tensiunilor tăietoare pe faţa longitudinală a acestui element, paralelă cu planul Ohu tensiunea acţionează xxz, egală ca mărime cu efortul t care acționează în secțiunea transversală. Datorită grosimii mici a flanșei I, se poate presupune că aceste tensiuni sunt distribuite uniform pe grosimea flanșei. Având în vedere acest lucru, din ecuația de echilibru pentru elementul 5^=0 vom avea

De aici găsim

Înlocuind în această formulă expresia pentru un x din (7.14) și ținând cont că obținem

Dat fiind

Unde S° TC - momentul static al zonei de tăiere a raftului (în Fig. 7. 39, A umbrită de două ori) în raport cu axa Oz, ajungem in sfarsit

În conformitate cu fig. 7.39 , A

Unde z- variabilă bazată pe axe OU.

Având în vedere acest lucru, formula (7.34) poate fi reprezentată ca

Aceasta arată că tensiunile de forfecare orizontale se modifică liniar de-a lungul axei Ozși luați cea mai mare valoare la z = d/2:

Pe fig. 7.40 prezintă diagrame ale tensiunilor tăietoare t și t^, precum și direcțiile acestor tensiuni în rafturi și peretele grinzii în I sub acțiunea unei forțe transversale pozitive în secțiunea grinzii. Q. Tensiunile de forfecare, la sens figurat, formează un flux continuu în secțiunea grinzii în I, direcționat în fiecare punct paralel cu conturul secțiunii.

Să trecem la definiția tensiunilor normale iar laîn secţiunile longitudinale ale grinzii. Luați în considerare o secțiune a grinzii cu o sarcină distribuită uniform de-a lungul feței superioare (Fig. 7.41). Se presupune că secțiunea transversală a grinzii este dreptunghiulară.

Folosim pentru a determina a doua dintre ecuațiile de echilibru diferențial (7.26). Înlocuind în această ecuație formula (7.32) pentru eforturile de forfecare m uh,ținând cont de (7.6), obținem

Prin integrarea peste variabila y, găsi

Aici f(x) - o funcție arbitrară care este definită folosind o condiție la limită. În funcție de condițiile problemei, fasciculul este încărcat cu o sarcină distribuită uniform q de-a lungul feței superioare, iar fața inferioară este liberă de sarcini. Atunci condițiile la limită corespunzătoare sunt scrise ca

Folosind a doua dintre aceste condiții, obținem

Având în vedere acest lucru, formula pentru stres iar la va lua următoarea formă:

Din această expresie se poate observa că tensiunile o se modifică de-a lungul înălțimii secțiunii conform legii unei parabole cubice. În acest caz, ambele condiții la limită (7.35) sunt îndeplinite. Cea mai mare valoare a tensiunii preia suprafaţa superioară a grinzii la y=-h/2:

Natura intrigii iar la prezentată în fig. 7.41.

Pentru a estima magnitudinea celor mai mari tensiuni o. a și m și relațiile dintre ele, luați în considerare, de exemplu, îndoirea unei grinzi cantilever cu secțiune transversală dreptunghiulară cu dimensiuni bxh, sub acţiunea unei sarcini uniform distribuite aplicată pe faţa superioară a grinzii (Fig. 7.42). Cele mai mari tensiuni absolute apar la terminare. În conformitate cu formulele (7.22), (7.30) și (7.37), aceste tensiuni sunt egale cu

Ca de obicei pentru grinzi l/h» 1, atunci din expresiile obţinute rezultă că tensiunile cu xîn valoare absolută depășesc tensiunile m și, mai ales, si tu. Deci, de exemplu, când 1/I == 10 obținem a x / m xy \u003d 20 ‘, o x / c y \u003d 300.

Astfel, cel mai mare interes practic în calculul grinzilor pentru încovoiere îl reprezintă tensiunile un x, grinzi care acţionează în secţiuni transversale. Voltaj cu y, care caracterizează presiunea reciprocă a straturilor longitudinale ale grinzii, sunt neglijabile în comparaţie cu o v .

Rezultatele obţinute în acest exemplu arată că ipotezele introduse în § 7.5 sunt bine întemeiate.

Îndoire plată (dreaptă).- când momentul încovoietor acționează într-un plan care trece prin una dintre principalele axe centrale de inerție ale secțiunii, i.e. toate forțele se află în planul de simetrie al fasciculului. Principalele ipoteze(presupune): ipoteza nepresiunii fibrelor longitudinale: fibrele paralele cu axa grinzii suferă deformare la tracțiune-compresie și nu exercită presiune una pe cealaltă pe direcția transversală; ipoteza secțiunilor plate: secțiunea unei grinzi, care este plată înainte de deformare, rămâne plată și normală față de axa curbă a grinzii după deformare. În cazul îndoirii plane, în cazul general, factori de rezistență interni: forța longitudinală N, forța transversală Q și momentul încovoietor M. N>0 dacă forța longitudinală este de tracțiune; la M>0 fibrele de deasupra fasciculului sunt comprimate, de jos sunt întinse. .

Se numește stratul în care nu există alungiri strat neutru(axă, linie). Pentru N=0 și Q=0, avem cazul curba curata. Tensiuni normale:
, este raza de curbură a stratului neutru, y este distanța de la o anumită fibră la stratul neutru.

43) Tensiune și compresie excentrică

Tensiune și compresie

 - tensiune normală[Pa], 1 Pa (pascal) \u003d 1 N / m 2,

10 6 Pa \u003d 1 MPa (megapascal) \u003d 1 N / mm 2

N - forța longitudinală (normală) [N] (newton); F - aria secțiunii transversale [m 2]

 - deformare relativă [valoare adimensională];

L - deformarea longitudinală [m] (alungire absolută), L - lungimea tijei [m].

-Legea lui Hooke -  = E

E - modul de tracțiune (modul de elasticitate de primul fel sau modulul de Young) [MPa]. Pentru oțel E = 210 5 MPa = 210 6 kg / cm 2 (în sistemul „vechi” de unități).

(cu cât este mai mult E, cu atât materialul este mai puțin extensibil)

;
- legea lui Hooke

EF - rigiditatea tijei în tensiune (compresie).

Când tija este întinsă, se „subțiază”, lățimea - a scade prin deformare transversală - a.

-deformatie transversala relativa.

-Raportul lui Poisson [valoarea adimensională];

 variază de la 0 (plută) la 0,5 (cauciuc); pentru oțel  0,250,3.

Dacă forța longitudinală și secțiunea transversală nu sunt constante, atunci alungirea tijei:

Lucrari de tractiune:
, energie potențială:

47. Mohr integral

O metodă universală pentru determinarea deplasărilor (liniare și unghiuri de rotație) este metoda Mohr. O singură forță generalizată este aplicată sistemului în punctul pentru care se caută deplasarea generalizată. Dacă deviația este determinată, atunci forța unitară este o forță concentrată adimensională, dacă se determină unghiul de rotație, atunci este un moment unitar adimensional. În cazul unui sistem spațial, există șase componente ale forțelor interne. Deplasarea generalizată este definită

48. Determinarea tensiunilor sub acțiunea combinată de încovoiere și torsiune

Îndoirea cu răsucire

Acțiunea comună de îndoire cu torsiune este cel mai frecvent caz de arbori de încărcare. Există cinci componente ale forțelor interne: Q x , Q y , M x , M y , M z =M kr. La calcul, sunt construite diagrame ale momentelor de încovoiere M x , M y și cuplului M cr și se determină secțiunea periculoasă. Momentul încovoietor rezultat
. Max. tensiuni normale și forfecare în puncte periculoase (A, B):
,

, (pentru cerc: W=
– momentul axial de rezistenta , W p =
- momentul polar de rezistență al secțiunii).

Principalele tensiuni în punctele cele mai periculoase (A și B):

Testul de rezistență se efectuează conform uneia dintre teoriile de rezistență:

IV-a: Teoria lui Mohr:

unde m=[ p ]/[ c ] – admis. de exemplu, tensiune / compresie (pentru materiale casante - fontă).

T
.k.W p =2W, obținem:

Numătorul este momentul redus conform teoriei acceptate a rezistenței. ;

II-nd: , cu coeficientul lui Poisson =0,3;

III-I:

sau o formula:
, de unde momentul de rezistență:
, diametrul arborelui:
. Formulele sunt potrivite și pentru calcularea secțiunii inelare.