Wykreślanie funkcji liniowej zawierającej moduł. Jak rozwiązywać równania za pomocą modułu: podstawowe zasady
, Konkurs „Prezentacja na lekcję”
Prezentacja na lekcję
Wstecz do przodu
Uwaga! Podgląd slajdu służy wyłącznie do celów informacyjnych i może nie przedstawiać pełnego zakresu prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.
Cel lekcji:
- powtórzyć budowę wykresów funkcji zawierających znak modułu;
- zapoznać się z nową metodą konstruowania wykresu funkcji liniowo-odcinkowej;
- naprawić nowa metoda przy rozwiązywaniu problemów.
Ekwipunek:
- projektor multimedialny,
- plakaty.
Podczas zajęć
Aktualizacja wiedzy
Na ekranie slajd 1 z prezentacji.
Jaki jest wykres funkcji y=|x| ? (slajd 2).
(zestaw dwusiecznych 1 i 2 kątów współrzędnych)
Znajdź zgodność między funkcjami i wykresami, wyjaśnij swój wybór (slajd 3).
Obrazek 1
Powiedz algorytm konstruowania wykresów funkcji postaci y=|f(x)| na przykładzie funkcji y=|x 2 -2x-3| (slajd 4)
Student: aby zbudować wykres tej funkcji, potrzebujesz
Skonstruuj parabolę y=x 2 -2x-3
Rysunek 2
Rysunek 3
Przedstaw algorytm konstruowania wykresów funkcji postaci y=f(|x|) na przykładzie funkcji y=x 2 -2|x|-3 (slajd 6).
Zbuduj parabolę.
Część wykresu przy x 0 jest zapisywana i wyświetlana w symetrii względem osi y (slajd 7)
Rysunek 4
Powiedz algorytm konstruowania wykresów funkcji postaci y=|f(|x|)| na przykładzie funkcji y=|x 2 -2|x|-3| (slajd 8).
Student: Aby zbudować wykres tej funkcji, potrzebujesz:
Musisz zbudować parabolę y \u003d x 2 -2x-3
Budujemy y \u003d x 2 -2 | x | -3, zapisujemy część wykresu i wyświetlamy go symetrycznie względem systemu operacyjnego
Zapisujemy część nad OX i wyświetlamy dolną część symetrycznie względem OX (slajd 9)
Rysunek 5
Następne zadanie jest zapisane w zeszytach.
1. Narysuj wykres funkcji liniowo-odcinkowej y=|x+2|+|x-1|-|x-3|
Uczeń na tablicy komentujący:
Znajdujemy zera wyrażeń podmodułów x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 3
Dzielenie osi na interwały
Dla każdego przedziału piszemy funkcję
o x< -2, у=-х-4
przy -2 x<1, у=х
przy 1 x<3, у = 3х-2
przy x 3, y \u003d x + 4
Budujemy wykres funkcji liniowo-odcinkowej.
Zbudowaliśmy wykres funkcji, korzystając z definicji modułu (slajd 10).
Rysunek 6
Zwracam uwagę na „metodę wierzchołków”, która pozwala wykreślić funkcję liniowo-odcinkową (slajd 11). Dzieci zapisują algorytm budowy w zeszycie.
Metoda wierzchołków
Algorytm:
- Znajdź zera każdego wyrażenia submodułu
- Zróbmy tabelę, w której oprócz zer zapisujemy jedną wartość argumentu po lewej i po prawej stronie
- Umieśćmy punkty na płaszczyźnie współrzędnych i połączmy je szeregowo
2. Przeanalizujmy tę metodę na tej samej funkcji y=|x+2|+|x-1|-|x-3|
Nauczyciel jest przy tablicy, dzieci w zeszytach.
Metoda wierzchołków:
Znajdź zera każdego wyrażenia submodułu;
Zróbmy tabelę, w której oprócz zer zapisujemy jedną wartość argumentu po lewej i po prawej stronie
Umieśćmy punkty na płaszczyźnie współrzędnych i połączmy je szeregowo.
Wykres funkcji liniowo-odcinkowej jest linią łamaną z nieskończonymi skrajnymi połączeniami (slajd 12).
Rysunek 7
Jaka metoda sprawia, że wykres jest szybszy i łatwiejszy?
3. Aby naprawić tę metodę, proponuję wykonać następujące zadanie:
Dla jakich wartości x wykonuje funkcję y=|x-2|-|x+1| przyjmuje największą wartość.
Postępujemy zgodnie z algorytmem; student przy tablicy.
y=|x-2|-|x+1|
x 1 \u003d 2, x 2 \u003d -1
y(3)=1-4=3, połącz kropki szeregowo.
4. Dodatkowe zadanie
Dla jakich wartości a równanie ||4+x|-|x-2||=a ma dwa pierwiastki.
5. Praca domowa
a) Dla jakich wartości X jest funkcja y =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| przyjmuje najmniejszą wartość.
b) Wykreśl funkcję y=||x-1|-2|-3| .
, Konkurs „Prezentacja na lekcję”
Prezentacja na lekcję
Wstecz do przodu
Uwaga! Podgląd slajdu służy wyłącznie do celów informacyjnych i może nie przedstawiać pełnego zakresu prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.
Cel lekcji:
- powtórzyć budowę wykresów funkcji zawierających znak modułu;
- zapoznać się z nową metodą konstruowania wykresu funkcji liniowo-odcinkowej;
- utrwalić nową metodę rozwiązywania problemów.
Ekwipunek:
- projektor multimedialny,
- plakaty.
Podczas zajęć
Aktualizacja wiedzy
Na ekranie slajd 1 z prezentacji.
Jaki jest wykres funkcji y=|x| ? (slajd 2).
(zestaw dwusiecznych 1 i 2 kątów współrzędnych)
Znajdź zgodność między funkcjami i wykresami, wyjaśnij swój wybór (slajd 3).
Obrazek 1
Powiedz algorytm konstruowania wykresów funkcji postaci y=|f(x)| na przykładzie funkcji y=|x 2 -2x-3| (slajd 4)
Student: aby zbudować wykres tej funkcji, potrzebujesz
Skonstruuj parabolę y=x 2 -2x-3
Rysunek 2
Rysunek 3
Przedstaw algorytm konstruowania wykresów funkcji postaci y=f(|x|) na przykładzie funkcji y=x 2 -2|x|-3 (slajd 6).
Zbuduj parabolę.
Część wykresu przy x 0 jest zapisywana i wyświetlana w symetrii względem osi y (slajd 7)
Rysunek 4
Powiedz algorytm konstruowania wykresów funkcji postaci y=|f(|x|)| na przykładzie funkcji y=|x 2 -2|x|-3| (slajd 8).
Student: Aby zbudować wykres tej funkcji, potrzebujesz:
Musisz zbudować parabolę y \u003d x 2 -2x-3
Budujemy y \u003d x 2 -2 | x | -3, zapisujemy część wykresu i wyświetlamy go symetrycznie względem systemu operacyjnego
Zapisujemy część nad OX i wyświetlamy dolną część symetrycznie względem OX (slajd 9)
Rysunek 5
Następne zadanie jest zapisane w zeszytach.
1. Narysuj wykres funkcji liniowo-odcinkowej y=|x+2|+|x-1|-|x-3|
Uczeń na tablicy komentujący:
Znajdujemy zera wyrażeń podmodułów x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 3
Dzielenie osi na interwały
Dla każdego przedziału piszemy funkcję
o x< -2, у=-х-4
przy -2 x<1, у=х
przy 1 x<3, у = 3х-2
przy x 3, y \u003d x + 4
Budujemy wykres funkcji liniowo-odcinkowej.
Zbudowaliśmy wykres funkcji, korzystając z definicji modułu (slajd 10).
Rysunek 6
Zwracam uwagę na „metodę wierzchołków”, która pozwala wykreślić funkcję liniowo-odcinkową (slajd 11). Dzieci zapisują algorytm budowy w zeszycie.
Metoda wierzchołków
Algorytm:
- Znajdź zera każdego wyrażenia submodułu
- Zróbmy tabelę, w której oprócz zer zapisujemy jedną wartość argumentu po lewej i po prawej stronie
- Umieśćmy punkty na płaszczyźnie współrzędnych i połączmy je szeregowo
2. Przeanalizujmy tę metodę na tej samej funkcji y=|x+2|+|x-1|-|x-3|
Nauczyciel jest przy tablicy, dzieci w zeszytach.
Metoda wierzchołków:
Znajdź zera każdego wyrażenia submodułu;
Zróbmy tabelę, w której oprócz zer zapisujemy jedną wartość argumentu po lewej i po prawej stronie
Umieśćmy punkty na płaszczyźnie współrzędnych i połączmy je szeregowo.
Wykres funkcji liniowo-odcinkowej jest linią łamaną z nieskończonymi skrajnymi połączeniami (slajd 12).
Rysunek 7
Jaka metoda sprawia, że wykres jest szybszy i łatwiejszy?
3. Aby naprawić tę metodę, proponuję wykonać następujące zadanie:
Dla jakich wartości x wykonuje funkcję y=|x-2|-|x+1| przyjmuje największą wartość.
Postępujemy zgodnie z algorytmem; student przy tablicy.
y=|x-2|-|x+1|
x 1 \u003d 2, x 2 \u003d -1
y(3)=1-4=3, połącz kropki szeregowo.
4. Dodatkowe zadanie
Dla jakich wartości a równanie ||4+x|-|x-2||=a ma dwa pierwiastki.
5. Praca domowa
a) Dla jakich wartości X jest funkcja y =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| przyjmuje najmniejszą wartość.
b) Wykreśl funkcję y=||x-1|-2|-3| .
Funkcja postaci y=|x|.
Wykres funkcji w przedziale - z wykresem funkcji y \u003d -x.
Rozważmy najpierw najprostszy przypadek - funkcję y=|x|. Z definicji modułu mamy:
Zatem dla x≥0 funkcja y=|x| pokrywa się z funkcją y \u003d x, a dla x Korzystając z tego wyjaśnienia, łatwo jest wykreślić funkcję y \u003d | x | (ryc. 1).
Łatwo zauważyć, że ten wykres jest połączeniem tej części wykresu funkcji y \u003d x, która nie leży poniżej osi OX, i linii uzyskanej przez odbicie lustrzane wokół osi OX, tej części, który leży poniżej osi OX.
Ta metoda jest również odpowiednia do kreślenia wykresu funkcji y=|kx+b|.
Jeżeli wykres funkcji y=kx+b pokazano na rysunku 2, to wykres funkcji y=|kx+b| to linia pokazana na rysunku 3.
(!LANG:Przykład 1. Wykreśl funkcję y=||1-x 2 |-3|.
Zbudujmy wykres funkcji y=1-x 2 i zastosujmy do niego operację „moduł” (część wykresu znajdująca się poniżej osi OX jest odbita symetrycznie względem osi OX).
Przesuńmy wykres w dół o 3.
Zastosujmy operację „moduł” i uzyskajmy końcowy wykres funkcji y=||1-x 2 |-3|
Przykład 2 Wykreśl funkcję y=||x 2 -2x|-3|.
W wyniku przekształcenia otrzymujemy y=|x 2 -2x|=|(x-1) 2 -1|. Zbudujmy wykres funkcji y=(x-1) 2 -1: zbuduj parabolę y=x 2 i przesuńmy w prawo o 1 iw dół o 1.
Zastosujmy do niego operację „moduł” (część wykresu znajdująca się poniżej osi OX jest odbijana symetrycznie względem osi OX).
Przesuńmy wykres w dół o 3 i zastosujmy operację „moduł”, w efekcie otrzymamy ostateczny wykres.
Przykład 3 Wykreśl funkcję.
Aby rozbudować moduł, musimy rozważyć dwa przypadki:
1)x>0, to moduł otworzy się ze znakiem „+” =
2) x =
Zbudujmy wykres dla pierwszego przypadku.
Odrzućmy część wykresu, gdzie x
Zbudujmy wykres dla drugiego przypadku i podobnie odrzućmy część, w której x>0, w wyniku otrzymamy.
Połączmy te dwa wykresy i uzyskajmy ostatni.
Przykład 4 Wykreśl funkcję.
Najpierw zbudujmy wykres funkcji, w tym celu wygodnie jest wybrać część całkowitą, którą otrzymujemy. Bazując na tabeli wartości, otrzymujemy wykres.
Zastosujmy działanie modułu (część wykresu znajdująca się poniżej osi OX jest odbijana symetrycznie względem osi OX). Otrzymujemy ostateczny wykres
Przykład 5 Wykreśl funkcję y=|-x 2 +6x-8|. Najpierw upraszczamy funkcję do y=1-(x-3) 2 i budujemy jej wykres
Teraz stosujemy operację „moduł” i odzwierciedlamy część wykresu poniżej osi OX względem osi OX
Przykład 6 Wykreśl funkcję y=-x 2 +6|x|-8. Upraszczamy również funkcję do y=1-(x-3) 2 i budujemy jej wykres
Teraz stosujemy operację „moduł” i odbijamy część wykresu na prawo od osi oY, na lewą stronę
Przykład 7 Wykreśl funkcję 
. Wykreślmy funkcję
Wykreślmy funkcję
Wykonajmy transfer równoległy o 3 segmenty jednostki w prawo i 2 w górę. Wykres będzie wyglądał następująco:
Zastosujmy operację "modułu" i odbijmy część wykresu na prawo od prostej x=3 do lewej półpłaszczyzny.
Znak modulo jest prawdopodobnie jednym z najciekawszych zjawisk w matematyce. W związku z tym wiele dzieci w wieku szkolnym ma pytanie, jak tworzyć wykresy funkcji zawierających moduł. Przyjrzyjmy się szczegółowo tej kwestii.
1. Funkcje kreślenia zawierające moduł
Przykład 1
Wykreśl funkcję y = x 2 – 8|x| + 12.
Rozwiązanie.
Zdefiniujmy parzystość funkcji. Wartość y(-x) jest taka sama jak wartość y(x), więc ta funkcja jest parzysta. Wtedy jego wykres jest symetryczny względem osi Oy. Tworzymy wykres funkcji y \u003d x 2 - 8x + 12 dla x ≥ 0 i symetrycznie wyświetlamy wykres względem Oy dla ujemnego x (ryc. 1).
Przykład 2
Następny wykres to y = |x 2 – 8x + 12|.
– Jaki jest zakres proponowanej funkcji? (y ≥ 0).
- Jak tam wykres? (Powyżej lub dotykając osi X).
Oznacza to, że wykres funkcji uzyskuje się w następujący sposób: wykreślają funkcję y \u003d x 2 - 8x + 12, pozostawiają część wykresu leżącą nad osią Wół bez zmian, a część wykresu, która leży pod oś odciętych jest wyświetlana symetrycznie względem osi Wół (ryc. 2).
Przykład 3
Aby wykreślić funkcję y = |x 2 – 8|x| + 12| przeprowadzić kombinację przekształceń:
y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.
Odpowiedź: rysunek 3.
Rozważane przekształcenia dotyczą wszystkich typów funkcji. Zróbmy stół:
2. Wykreślanie funkcji zawierających „moduły zagnieżdżone” w formule
Zapoznaliśmy się już z przykładami funkcji kwadratowej zawierającej moduł, a także z ogólnymi zasadami konstruowania wykresów funkcji postaci y = f(|x|), y = |f(x)| i y = |f(|x|)|. Te przekształcenia pomogą nam przy rozważaniu poniższego przykładu.
Przykład 4
Rozważmy funkcję postaci y = |2 – |1 – |x|||. Wyrażenie definiujące funkcję zawiera „moduły zagnieżdżone”.
Rozwiązanie.
Stosujemy metodę przekształceń geometrycznych.
Zapiszmy łańcuch kolejnych przekształceń i wykonajmy odpowiedni rysunek (ryc. 4):
y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.
Rozważmy przypadki, w których symetria i przekształcenia translacji równoległej nie są główną techniką kreślenia.
Przykład 5
Skonstruuj wykres funkcji postaci y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2.
Rozwiązanie.
Przed zbudowaniem wykresu przekształcamy wzór definiujący funkcję i otrzymujemy kolejną analityczną definicję funkcji (rys. 5). 
y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.
Rozwińmy moduł w mianowniku:
Dla x > -2, y = x - 2 i dla x< -2, y = -(x – 2).
Domena D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).
Zakres E(y) = (-4; +∞).
Punkty, w których wykres przecina się z osią współrzędnych: (0; -2) i (2; 0).
Funkcja maleje dla wszystkich x z przedziału (-∞; -2), rośnie dla x od -2 do +∞.
Tutaj musieliśmy ujawnić znak modułu i wykreślić funkcję dla każdego przypadku.
Przykład 6
Rozważ funkcję y = |x + 1| – |x – 2|.
Rozwiązanie.
Rozwijając znak modułu należy uwzględnić wszystkie możliwe kombinacje znaków wyrażeń podmodułów.
Istnieją cztery możliwe przypadki:
(x + 1 - x + 2 = 3, gdzie x ≥ -1 i x ≥ 2;
(-x - 1 + x - 2 = -3, z x< -1 и x < 2;
(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, dla x ≥ -1 i x< 2;
(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, z x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.
Wtedy oryginalna funkcja będzie wyglądać tak:
(3, dla x ≥ 2;
y = (-3, w x< -1;
(2x – 1, przy -1 ≤ x< 2.
Otrzymaliśmy funkcję podaną odcinkowo, której wykres pokazano na rysunku 6.
3. Algorytm konstruowania wykresów funkcji postaci
y = a 1 | x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + topór + b.
W poprzednim przykładzie łatwo było rozwinąć znaki modułu. Jeśli sum modułów jest więcej, problematyczne jest uwzględnienie wszystkich możliwych kombinacji znaków wyrażeń podmodułów. Jak możemy w tym przypadku wykreślić funkcję?
Zauważ, że wykres jest polilinią, której wierzchołki znajdują się w punktach o odciętych -1 i 2. Dla x = -1 i x = 2, wyrażenia podmodułów są równe zeru. W praktyczny sposób podeszliśmy do zasady konstruowania takich wykresów:
Wykres funkcji postaci y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b to linia przerywana z nieskończoną liczbą połączeń końcowych. Aby skonstruować taką polilinię, wystarczy znać wszystkie jej wierzchołki (odcięte wierzchołki są zerami wyrażeń submodułów) i po jednym punkcie kontrolnym na lewym i prawym nieskończonym połączeniu. 
Zadanie.
Wykreśl funkcję y = |x| + |x – 1| + |x + 1| i znajdź jego najmniejszą wartość.
Rozwiązanie:
Zera wyrażeń podmodułów: 0; -jeden; 1. Wierzchołki polilinii (0; 2); (-13); (13). Punkt kontrolny po prawej (2; 6), po lewej (-2; 6). Budujemy wykres (ryc. 7). min f(x) = 2.
Czy masz jakieś pytania? Nie wiesz, jak narysować funkcję z modułem?
Aby uzyskać pomoc korepetytora - zarejestruj się.
strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.