http://:www.svkspb.nm.ru

Charakterystyki geometryczne przekrojów płaskich

Kwadrat: , dF - platforma podstawowa.

Moment statyczny elementu powierzchniowegodF względem osi 0x
- iloczyn elementu powierzchniowego przez odległość „y” od osi 0x: dS x = ydF

Po zsumowaniu (zintegrowaniu) takich produktów na całym obszarze figury otrzymujemy momenty statyczne względem osi y i x:
;
[cm 3, m 3 itd.].

Współrzędne środka ciężkości:
. Momenty statyczne względne osie centralne(osie przechodzące przez środek ciężkości przekroju) są równe zeru. Obliczając momenty statyczne złożonej figury, dzieli się ją na proste części, o znanych obszarach F i i współrzędnych środków ciężkości x i, y i. Moment statyczny pola powierzchni całej figury = suma momenty statyczne każdej z jego części:
.

Współrzędne środka ciężkości złożonej figury:

M
Momenty bezwładności przekroju

Osiowy(równikowy) moment bezwładności przekroju- suma iloczynów powierzchni elementarnych dF przez kwadraty ich odległości od osi.

;
[cm 4, m 4 itd.].

Biegunowy moment bezwładności przekroju względem pewnego punktu (bieguna) jest sumą iloczynów powierzchni elementarnych przez kwadraty ich odległości od tego punktu.
; [cm 4, m 4 itd.]. jot y + jot x = jot p .

Odśrodkowy moment bezwładności przekroju- suma iloczynów obszarów elementarnych i ich odległości od dwóch wzajemnie prostopadłych osi.
.

Odśrodkowy moment bezwładności przekroju względem osi, z których jedna lub obie pokrywają się z osiami symetrii, jest równy zero.

Osiowe i biegunowe momenty bezwładności są zawsze dodatnie, odśrodkowe momenty bezwładności mogą być dodatnie, ujemne lub zerowe.

Moment bezwładności figury zespolonej jest równy sumie momentów bezwładności jej części składowych.

Momenty bezwładności przekrojów o prostym kształcie

P
przekrój prostokątny Okrąg

DO


pierścień

T
trójkąt

R
izofemoralny

Prostokątny

T
trójkąt

H ćwiartka koła

J y = J x = 0,055R 4

Jxy =0,0165R 4

na ryc. (-)

Półkole

M

Momenty bezwładności profili standardowych można znaleźć w tabelach asortymentowych:

D
wutawr Kanał Narożnik

M

Momenty bezwładności względem osi równoległych:

J x1 = J x + za 2 F;

J y1 = J y + b 2 F;

moment bezwładności względem dowolnej osi jest równy momentowi bezwładności względem osi środkowej równoległej do danej plus iloczyn pola figury i kwadratu odległości między osiami. J y1x1 = J yx + abF; („a” i „b” podstawia się do wzoru z uwzględnieniem ich znaku).

Zależność pomiędzy momenty bezwładności przy obrocie osi:

J x1 =J x cos 2  + J y grzech 2  - J xy sin2; J y1 =J y cos 2  + J x sin 2  + J xy sin2;

J x1y1 =(J x - J y)sin2 + J xy cos2 ;

Kąt >0, jeżeli przejście ze starego układu współrzędnych do nowego następuje w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. J y1 + J x1 = J y + J x

Nazywa się ekstremalne (maksymalne i minimalne) wartości momentów bezwładności główne momenty bezwładności. Nazywa się osie, wokół których osiowe momenty bezwładności mają ekstremalne wartości główne osie bezwładności. Główne osie bezwładności są wzajemnie prostopadłe. Odśrodkowe momenty bezwładności względem głównych osi = 0, tj. główne osie bezwładności - osie, wokół których odśrodkowy moment bezwładności = 0. Jeżeli jedna z osi pokrywa się lub obie pokrywają się z osią symetrii, to są one głównymi. Kąt określający położenie głównych osi:
, jeśli  0 >0  osie obracają się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Maksymalna oś tworzy zawsze mniejszy kąt z osiami, względem których moment bezwładności ma większą wartość. Nazywa się główne osie przechodzące przez środek ciężkości główne centralne osie bezwładności. Momenty bezwładności względem tych osi:

J maks. + J min = J x + J y . Odśrodkowy moment bezwładności względem głównych środkowych osi bezwładności jest równy 0. Jeżeli znane są główne momenty bezwładności, wówczas wzory na przejście do osi obróconych są następujące:

J x1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J y1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J x1y1 =(J max - J min)sin2;

Ostatecznym celem obliczenia charakterystyk geometrycznych przekroju jest określenie głównych centralnych momentów bezwładności i położenia głównych środkowych osi bezwładności. R promień bezwładności -
; J x =Fi x 2 , J y =Fi y 2 .

Jeśli J x i J y są głównymi momentami bezwładności, to i x i i y - główne promienie bezwładności. Nazywa się elipsą zbudowaną na głównych promieniach bezwładności jak na półosiach elipsa bezwładności. Korzystając z elipsy bezwładności, możesz graficznie znaleźć promień bezwładności i x1 dla dowolnej osi x1. Aby to zrobić należy narysować styczną do elipsy, równoległą do osi x1 i zmierzyć odległość tej osi od stycznej. Znając promień bezwładności, możesz znaleźć moment bezwładności przekroju względem osi x 1:
. Dla przekrojów o więcej niż dwóch osiach symetrii (na przykład: okrąg, kwadrat, pierścień itp.) osiowe momenty bezwładności względem wszystkich osi środkowych są sobie równe, J xy = 0, elipsa bezwładności zamienia się w koło bezwładności.

Momenty oporu.

Osiowy moment oporu- stosunek momentu bezwładności względem osi do odległości od niej do najdalszego punktu przekroju.
[cm 3, m 3]

Szczególnie ważne są momenty oporu względem głównych osi centralnych:

prostokąt:
; okrąg: szer. x = szer. y =
,

przekrój rurowy (pierścień): W x = W y =
, gdzie = re N / re B .

Biegunowy moment oporu - stosunek biegunowego momentu bezwładności do odległości bieguna od najdalszego punktu przekroju:
.

Dla okręgu W р =
.

Osiowy (lub równikowy) moment bezwładności przekroju względem określonej osi jest sumą iloczynów powierzchni elementarnych przejętych na całej jego powierzchni F przez kwadraty ich odległości od tej osi, tj.

Biegunowy moment bezwładności przekroju względem pewnego punktu (bieguna) jest sumą iloczynów pól elementarnych przejętych na całej jego powierzchni F przez kwadraty ich odległości od tego punktu, tj.

Odśrodkowy moment bezwładności przekroju względem jakichś dwóch wzajemnie prostopadłych osi jest sumą iloczynów powierzchni elementarnych przejętych na całej jego powierzchni F oraz ich odległości od tych osi, tj.

Momenty bezwładności wyrażane są w itp.

Osiowe i biegunowe momenty bezwładności są zawsze dodatnie, ponieważ ich wyrażenia pod znakami całki obejmują wartości pól (zawsze dodatnie) i kwadraty odległości tych obszarów od danej osi lub bieguna.

Na ryc. 9.5 a pokazuje przekrój o obszarze F i przedstawia osie y i z. Osiowe momenty bezwładności tego przekroju względem osi y:

Suma tych momentów bezwładności

i dlatego

Zatem suma osiowych momentów bezwładności przekroju względem dwóch wzajemnie prostopadłych osi jest równa biegunowemu momentowi bezwładności tego przekroju względem punktu przecięcia tych osi.

Odśrodkowy moment bezwładności może być dodatni, ujemny lub zerowy. Na przykład odśrodkowy moment bezwładności przekroju pokazanego na ryc. 9.5, a, w stosunku do y i osi jest dodatnie, ponieważ dla głównej części tej sekcji, znajdującej się w pierwszej ćwiartce, wartości , a zatem są dodatnie.

Jeśli zmienisz dodatni kierunek osi y lub kierunek przeciwny (ryc. 9.5, b) lub obrócisz obie te osie o 90° (ryc. 9.5, c), wówczas odśrodkowy moment bezwładności stanie się ujemny (jego wartość bezwzględna nie ulegnie zmianie), ponieważ główna część przekroju będzie wówczas zlokalizowana w kwadrancie, dla którego współrzędne y są dodatnie, a współrzędne z ujemne. Jeśli zmienisz dodatnie kierunki obu osi na przeciwne, nie zmieni to ani znaku, ani wielkości odśrodkowego momentu bezwładności.

Rozważmy figurę symetryczną względem jednej lub kilku osi (ryc. 10.5). Narysujmy osie tak, aby przynajmniej jedna z nich (w tym przypadku oś y) pokrywała się z osią symetrii figury. W tym przypadku każdemu peronowi znajdującemu się na prawo od osi odpowiada ten sam peron położony symetrycznie do pierwszego, ale na lewo od osi y. Odśrodkowy moment bezwładności każdej pary takich symetrycznie rozmieszczonych platform jest równy:

Stąd,

Zatem odśrodkowy moment bezwładności przekroju względem osi, z których jedna lub obie pokrywają się z jego osiami symetrii, jest równy zero.

Osiowy moment bezwładności złożonego przekroju względem określonej osi jest równy sumie osiowych momentów bezwładności jego części składowych względem tej samej osi.

Podobnie odśrodkowy moment bezwładności złożonego przekroju względem dowolnych dwóch wzajemnie prostopadłych osi jest równy sumie odśrodkowych momentów bezwładności jego części składowych względem tych samych osi. Ponadto biegunowy moment bezwładności złożonego przekroju względem pewnego punktu jest równy sumie biegunowych momentów bezwładności jego części składowych względem tego samego punktu.

Należy pamiętać, że momentów bezwładności obliczonych względem różnych osi i punktów nie można sumować.

Sprawdzając wytrzymałość części konstrukcji, spotykamy się z przekrojami o dość skomplikowanych kształtach, dla których nie da się obliczyć momentu bezwładności w tak prosty sposób, jak to robiliśmy dla prostokąta i koła.

Takim przekrojem mógłby być na przykład teownik (rys. 5). A) pierścieniowy przekrój rury podlegającej zginaniu (konstrukcje lotnicze) (rys. 5, B), pierścieniowy odcinek czopa wału lub nawet bardziej złożone sekcje. Wszystkie te sekcje można podzielić na proste, takie jak prostokąty, trójkąty, koła itp. Można wykazać, że moment bezwładności tak złożonej figury jest sumą momentów bezwładności części, na które ją dzielimy.

Ryc.5. Profile typu T - a) i pierścień b)

Wiadomo, że moment bezwładności dowolnej figury względem osi Na— Na równy:

Gdzie z— odległość podkładek elementarnych od osi Na—Na.

Podzielmy otrzymany obszar na cztery części: , , i . Teraz przy obliczaniu momentu bezwładności można pogrupować wyrazy w funkcji całkowej tak, aby osobno wykonać sumowanie dla każdego z czterech wybranych obszarów, a następnie dodać te sumy. Nie zmieni to wartości całki.

Naszą całkę podzielimy na cztery całki, z których każda obejmie jeden z obszarów, , oraz:

Każda z tych całek reprezentuje moment bezwładności odpowiedniej części obszaru względem osi Na— Na; Dlatego

gdzie jest moment bezwładności względem osi Na — Na obszar, - to samo dotyczy obszaru itp.

Otrzymany wynik można sformułować następująco: moment bezwładności figury zespolonej jest równy sumie momentów bezwładności jej części składowych. Musimy zatem umieć obliczyć moment bezwładności dowolnej figury względem dowolnej osi leżącej w jej płaszczyźnie.

Rozwiązaniem tego problemu jest treść tego i dwóch kolejnych wywiadów.

Momenty bezwładności względem osi równoległych.

Zadanie uzyskania najprostszych wzorów do obliczenia momentu bezwładności dowolnej figury względem dowolnej osi zostanie rozwiązane w kilku krokach. Jeśli weźmiemy szereg osi równoległych do siebie, okaże się, że z łatwością możemy obliczyć momenty bezwładności figury względem dowolnej z tych osi, znając jej moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości figury równolegle do wybranych osi.

Ryc.1. Model obliczeniowy do wyznaczania momentów bezwładności dla osi równoległych.

Osie przechodzące przez środek ciężkości nazwiemy osie centralne. Weźmy (ryc. 1) dowolną liczbę. Narysujmy oś środkową Jednostka organizacyjna, nazwiemy momentem bezwładności względem tej osi . Narysujmy oś w płaszczyźnie figury równoległy osie Na w pewnej odległości od niej. Znajdźmy zależność pomiędzy i - momentem bezwładności względem osi. Aby to zrobić, napiszemy wyrażenia dla i . Podzielmy obszar figury na obszary; odległości każdej takiej platformy od osi Na i zadzwońmy i . Następnie

Z rys. 1 mamy:

Pierwszą z tych trzech całek jest moment bezwładności względem osi środkowej Jednostka organizacyjna. Drugi to moment statyczny wokół tej samej osi; jest równa zeru, ponieważ oś Na przechodzi przez środek ciężkości figury. Wreszcie trzecia całka jest równa powierzchni figury F. Zatem,

(1)

to znaczy moment bezwładności względem dowolnej osi jest równy momentowi bezwładności wokół osi środkowej równoległej do danej, plus iloczyn pola figury i kwadratu odległości między osiami.

Oznacza to, że nasze zadanie zostało teraz zredukowane do obliczenia jedynie centralnych momentów bezwładności; jeśli je znamy, możemy obliczyć moment bezwładności względem dowolnej innej osi. Ze wzoru (1) wynika, że centralny moment bezwładności wynosi najmniejszy wśród momentów bezwładności względem osi równoległych i dla tego otrzymujemy:

Znajdźmy także odśrodkowy moment bezwładności względem osi równoległych do środkowych, jeśli jest znany (ryc. 1). Ponieważ z definicji

gdzie: , to następuje

Ponieważ dwie ostatnie całki reprezentują momenty statyczne pola wokół osi środkowych Jednostka organizacyjna I Oz następnie znikają i dlatego:

(2)

Odśrodkowy moment bezwładności względem układu wzajemnie prostopadłych osi równoległych do centralnych jest równy odśrodkowemu momentowi bezwładności względem tych centralnych osi plus iloczyn pola powierzchni figury i współrzędnych jej środka ciężkości względem nowych osi.

Zależność pomiędzy momentami bezwładności przy obrocie osi.

Możesz narysować dowolną liczbę osi centralnych. Powstaje pytanie, czy można wyrazić moment bezwładności względem dowolnej osi centralnej w zależności od momentu bezwładności względem jednego lub dwóch niektórzy osie. Aby to zrobić, zobaczmy, jak zmienią się momenty bezwładności wokół dwóch wzajemnie prostopadłych osi, gdy zostaną obrócone o kąt.

Weźmy figurę i przeciągnijmy ją przez środek ciężkości O dwie wzajemnie prostopadłe osie Jednostka organizacyjna I Oz(ryc. 2).

Ryc.2. Model obliczeniowy do wyznaczania momentów bezwładności dla osi obróconych.

Podajmy osiowe momenty bezwładności względem tych osi, a także odśrodkowy moment bezwładności. Narysujmy drugi układ osi współrzędnych i nachylony do pierwszego pod kątem; dodatni kierunek tego kąta rozważymy podczas obracania osi wokół punktu O przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Pochodzenie O ratować. Wyraźmy momenty względem drugiego układu osi współrzędnych i , poprzez znane momenty bezwładności i .

Zapiszmy wyrażenia na momenty bezwładności względem tych osi:

Podobnie:

Aby rozwiązać problemy, możesz potrzebować wzorów na przejście z jednej osi do drugiej na odśrodkowy moment bezwładności. Obracając osie (rys. 2) mamy:

gdzie i oblicza się za pomocą wzorów (14.10); Następnie

Po przekształceniach otrzymujemy:

(7)

Zatem, aby obliczyć moment bezwładności względem dowolnej osi środkowej, należy znać momenty bezwładności względem układu dowolnych dwóch wzajemnie prostopadłych osi środkowych Jednostka organizacyjna I Oz, odśrodkowy moment bezwładności względem tych samych osi oraz kąt nachylenia osi do osi Na.

Aby obliczyć wartości >, musisz wybrać takie osie Na I z i podziel obszar figury na takie części składowe, aby móc dokonać tego obliczenia, używając jedynie wzorów na przejście od osi środkowych każdej części składowej do osi równoległych do nich. Jak to zrobić w praktyce pokażemy poniżej na przykładzie. Należy pamiętać, że w tych obliczeniach złożone figury należy podzielić na takie elementarne części, dla których, jeśli to możliwe, znane są wartości centralnych momentów bezwładności względem układu wzajemnie prostopadłych osi.

Należy zauważyć, że postęp wyprowadzania i uzyskane wyniki nie uległyby zmianie, gdyby początek współrzędnych przyjęto nie w środku ciężkości przekroju, ale w dowolnym innym punkcie O. Zatem wzory (6) i (7) są wzorami na przejście z jednego układu wzajemnie prostopadłych osi do drugiego, obróconego o pewien kąt, niezależnie od tego, czy są to osie środkowe, czy nie.

Ze wzorów (6) można otrzymać kolejną zależność pomiędzy momentami bezwładności przy obrocie osi. Dodając wyrażenia dla i otrzymujemy

tj. suma momentów bezwładności względem dowolnych wzajemnie prostopadłych osi Na I z nie zmienia się, gdy są obracane. Zastępując ostatnie wyrażenie zamiast i ich wartości, otrzymujemy:

gdzie jest odległość miejsc dF z punktu O. Wielkość ta jest, jak już wiadomo, biegunowym momentem bezwładności przekroju względem punktu O.

Zatem biegunowy moment bezwładności przekroju względem dowolnego punktu jest równy sumie osiowych momentów bezwładności względem wzajemnie prostopadłych osi przechodzących przez ten punkt. Dlatego suma ta pozostaje stała, gdy osie są obracane. Zależność (14.16) można wykorzystać do uproszczenia obliczeń momentów bezwładności.

Zatem dla okręgu:

Ponieważ według symetrii dla okręgu

który otrzymano powyżej poprzez całkowanie.

Podobnie dla cienkościennego przekroju pierścieniowego można otrzymać:

Główne osie bezwładności i główne momenty bezwładności.

Jak już wiadomo znając centralne momenty bezwładności i dla danej figury można obliczyć moment bezwładności względem dowolnej innej osi.

W takim przypadku za główny układ osi można przyjąć taki układ, w którym wzory są znacznie uproszczone. Mianowicie można znaleźć układ osi współrzędnych, dla którego odśrodkowy moment bezwładności jest równy zeru. W rzeczywistości momenty bezwładności są zawsze dodatnie, podobnie jak suma wyrazów dodatnich, ale moment odśrodkowy

może być zarówno dodatni, jak i ujemny, ponieważ warunki zydF może mieć inny znak w zależności od znaków z I Na dla tej czy innej witryny. Oznacza to, że może być równy zeru.

Osie, wokół których zanika odśrodkowy moment bezwładności, nazywane są główne osie bezwładność. Jeśli początek takiego układu zostanie umieszczony w środku ciężkości figury, to takie będą główne osie centralne. Oznaczymy te osie i ; dla nich

Sprawdźmy, pod jakim kątem osie główne są nachylone do osi środkowych y i z (ryc. 198).

Ryc.1. Model obliczeniowy do wyznaczania położenia głównych osi bezwładności.

W dobrze znanym wyrażeniu oznaczającym poruszanie się od osi yz do osi, dla odśrodkowego momentu bezwładności podajemy wartość kąta; następnie osie i będą pokrywać się z głównymi, a odśrodkowy moment bezwładności będzie równy zero:

(1)

Równanie to jest spełnione przez dwie wartości , różniące się o 180°, lub dwie wartości , różniące się o 90°. To równanie daje nam położenie dwie osie, tworząc ze sobą kąt prosty. Będą to główne osie centralne i , dla których .

Korzystając z tego wzoru, można wykorzystać znane wzory do uzyskania wzorów na główne momenty bezwładności i . Aby to zrobić, ponownie używamy wyrażeń dla momentów bezwładności osiowej położenia ogólnego. Określają wartości i czy je podstawimy

(2)

Powstałe zależności można wykorzystać do rozwiązywania problemów. Jednym z głównych momentów bezwładności jest inny.

Wzory (2) można przekształcić do postaci wolnej od wartości . Wyrażając i poprzez oraz podstawiając ich wartości do pierwszego wzoru (2), otrzymujemy, dokonując jednocześnie podstawienia ze wzoru (1):

Zastępując tutaj ułamek ze wzoru (1) przez

dostajemy

(3)

Do tego samego wyrażenia można dojść dokonując podobnego przekształcenia drugiego wzoru (3).

Do głównego układu osi centralnych, z którego można przejść do dowolnego innego, można przyjąć Jednostka organizacyjna I Oz, oraz osie główne i ; wówczas odśrodkowy moment bezwładności () nie pojawi się we wzorach. Oznaczmy kąt, jaki tworzy oś , (rys. 2) z osią główną , przez . Aby obliczyć , i , przechodząc od osi i , musisz zamienić kąt przez , a i we wcześniej znalezionych wyrażeniach dla , i , i , i . W rezultacie otrzymujemy:

Z wyglądu wzory te są całkowicie podobne do wzorów na naprężenia normalne i styczne wzdłuż dwóch wzajemnie prostopadłych obszarów w elemencie rozciąganym w dwóch kierunkach. Podamy jedynie wzór, który pozwala nam wybrać z dwóch wartości kąta tę, która odpowiada odchyleniu pierwszej osi głównej (dając max J) od początkowego położenia osi Na:

Teraz możemy wreszcie sformułować, co należy zrobić, aby móc w najprostszy sposób obliczyć moment bezwładności figury względem dowolnej osi. Konieczne jest narysowanie osi przez środek ciężkości figury Jednostka organizacyjna I Oz tak więc rozbijając figurę na najprostsze części, możemy łatwo obliczyć momenty przechodzące w pewnej odległości (rys. 2) od środka ciężkości:

W wielu przypadkach możliwe jest natychmiastowe narysowanie głównych osi figury; jeśli figura ma oś symetrii, będzie to jedna z głównych osi. Tak naprawdę wyprowadzając wzór zajmowaliśmy się już całką, czyli odśrodkowym momentem bezwładności przekroju względem osi Na I z; udowodniono, że jeśli oś Oz jest osią symetrii, całka ta znika.

Dlatego w tym przypadku osie Jednostka organizacyjna I Oz Czy głównyśrodkowe osie bezwładności przekroju. Zatem, oś symetrii- zawsze główna oś środkowa; drugi dom oś środkowa przechodzi przez środek ciężkości prostopadle do osi symetrii.

Przykład. Znajdź momenty bezwładności prostokąta (ryc. 3) względem osi i są równe:

Momenty bezwładności względem osi i są równe:

Odśrodkowy moment bezwładności jest równy.

Metoda obliczania momentów bezwładności przekrojów zespolonych opiera się na fakcie, że każdą całkę można rozpatrywać jako sumę całek, a zatem moment bezwładności dowolnego przekroju można obliczyć jako sumę momentów bezwładności przekrojów jego poszczególne części.

Dlatego w celu obliczenia momentów bezwładności złożony przekrój dzieli się na kilka prostych części (figur) w taki sposób, aby ich charakterystyki geometryczne można było obliczyć za pomocą znanych wzorów lub znaleźć za pomocą specjalnych tabel referencyjnych.

W niektórych przypadkach przy podziale na proste figury w celu zmniejszenia ich liczby lub uproszczenia ich kształtu wskazane jest uzupełnienie złożonej części o pewne obszary. Na przykład przy określaniu właściwości geometrycznych przekroju pokazanego na ryc. 22.5, a, zaleca się dodanie go do prostokąta, a następnie odjęcie cech dodanej części od cech geometrycznych tego prostokąta. Zrób to samo, jeśli są dziury (ryc. 22.5, b).

Po podzieleniu przekroju złożonego na proste części dla każdej z nich wybierany jest prostokątny układ współrzędnych, względem którego należy wyznaczyć momenty bezwładności odpowiedniej części. Wszystkie takie układy współrzędnych przyjmuje się jako równoległe do siebie, tak że następnie poprzez równoległe przesunięcie osi można obliczyć momenty bezwładności wszystkich części względem układu współrzędnych wspólnego dla całego przekroju zespolonego.

Z reguły przyjmuje się, że układ współrzędnych każdej prostej figury jest centralny, tj. jej początek pokrywa się ze środkiem ciężkości tej figury. W tym przypadku późniejsze obliczenia momentów bezwładności przy przejściu do innych równoległych osi są uproszczone, ponieważ wzory na przejście z osi centralnych mają prostszą formę niż z osi innych niż centralne.

Kolejnym krokiem jest obliczenie pól każdej figury prostej oraz jej osiowych i odśrodkowych momentów bezwładności względem osi wybranego dla niej układu współrzędnych. Momenty statyczne wokół tych osi są z reguły równe zeru, ponieważ dla każdej części przekroju osie te są zwykle środkowe. W przypadkach, gdy nie są to osie środkowe, należy obliczyć momenty statyczne.

Biegunowy moment bezwładności oblicza się tylko dla przekroju kołowego (pełnego lub pierścieniowego) przy użyciu gotowych wzorów; w przypadku przekrojów o innych kształtach ta cecha geometryczna nie ma żadnego znaczenia, ponieważ nie jest wykorzystywana w obliczeniach.

Osiowy i odśrodkowy moment bezwładności każdej figury prostej względem osi jej układu współrzędnych oblicza się korzystając ze wzorów lub tabel dostępnych dla takiej figury. Dla niektórych rysunków dostępne wzory i tabele nie pozwalają na określenie wymaganych momentów bezwładności osiowych i odśrodkowych; w takich przypadkach konieczne jest zastosowanie wzorów na przejście do nowych osi (zwykle w przypadku obrotu osi).

Tabele asortymentowe nie wskazują wartości odśrodkowych momentów bezwładności dla kątów. Sposób wyznaczania takich momentów bezwładności omówiono w przykładzie 4.5.

W zdecydowanej większości przypadków ostatecznym celem obliczenia charakterystyk geometrycznych przekroju jest określenie jego głównych środkowych momentów bezwładności oraz położenia głównych środkowych osi bezwładności. Dlatego kolejnym etapem obliczeń jest wyznaczenie współrzędnych środka ciężkości danego przekroju [za pomocą wzorów (6.5) i (7.5)] w jakimś dowolnym (losowym) układzie współrzędnych.Przez ten środek ciężkości przekroju , pomocnicze (nie główne) osie środkowe są rysowane równolegle do osi układu współrzędnych prostych figur.

Następnie korzystając ze wzorów ustalających zależności pomiędzy momentami bezwładności dla osi równoległych (patrz § 5.5) wyznaczane są momenty bezwładności każdej figury prostej względem osi pomocniczych, środkowych. Sumując momenty bezwładności każdej figury prostej względem do osi wyznaczane są momenty bezwładności całego złożonego przekroju względem tych osi; w tym przypadku odejmuje się momenty bezwładności otworów lub dodanych podkładek.

Momenty bezwładności przekrojów nazywane są całkami w postaci:

Na;

– osiowy moment bezwładności przekroju względem osi z;

– odśrodkowy moment bezwładności przekroju;

– biegunowy moment bezwładności przekroju.

3.2.1. Własności momentów bezwładności przekroju

Wymiar momentów bezwładności wynosi [długość 4 ], zwykle [ M 4 ] lub [ cm 4 ].

Osiowe i biegunowe momenty bezwładności są zawsze dodatnie. Odśrodkowy moment bezwładności może być dodatni, ujemny lub zerowy.

Nazywa się osie, wokół których odśrodkowy moment bezwładności wynosi zero główne osie bezwładności Sekcje.

Osie symetrii są zawsze głównymi. Jeżeli co najmniej jedna z dwóch wzajemnie prostopadłych osi jest osią symetrii, to obie osie są główne.

Moment bezwładności przekroju zespolonego jest równy sumie momentów bezwładności elementów tego przekroju.

Biegunowy moment bezwładności jest równy sumie osiowych momentów bezwładności.

Udowodnijmy ostatnią własność. W sekcji z obszarem A dla witryny podstawowej dA wektor promienia ρ i współrzędne Na I z(ryc. 6) są połączone zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa: ρ 2 = Na 2 + z 2. Następnie

Ryż. 6. Zależność współrzędnych biegunowych i kartezjańskich

strona podstawowa

3.2.2. Momenty bezwładności najprostszych figur

W przekrój prostokątny(Rys. 7) wybierz platformę podstawową dA ze współrzędnymi y I z i obszar dA = dydz.

Ryż. 7. Przekrój prostokątny

Osiowy moment bezwładności względem osi Na

.

Podobnie uzyskujemy moment bezwładności względem osi z:

Ponieważ Na I z– oś symetrii, następnie moment odśrodkowy D zy = 0.

Dla kołośrednica D obliczenia są uproszczone, jeśli uwzględnimy symetrię kołową i zastosujemy współrzędne biegunowe. Za platformę elementarną przyjmijmy nieskończenie cienki pierścień o promieniu ρ i grubości Dρ (ryc. 8). Jego obszar dA= 2πρ Dρ. Wtedy biegunowy moment bezwładności wynosi:

.

Ryż. 8. Przekrój okrągły

Jak pokazano powyżej, osiowe momenty bezwładności względem dowolnej osi środkowej są takie same i równe

.

Moment bezwładności pierścienie znajdujemy jako różnicę momentów bezwładności dwóch okręgów - zewnętrznego (o średnicy D) i wewnętrzne (o średnicy D):

Moment bezwładności I z trójkąt zdefiniujemy go względem osi przechodzącej przez środek ciężkości (rys. 9). Oczywiście szerokość podstawowego paska znajduje się w pewnej odległości Na od osi z, jest równy

Stąd,

Ryż. 9. Przekrój trójkątny

3.3. Zależności momentów bezwładności względem osi równoległych

Przy znanych wartościach momentów bezwładności względem osi z I Na wyznaczmy momenty bezwładności względem pozostałych osi z 1 i y 1 równolegle do podanych. Korzystając z ogólnego wzoru na osiowe momenty bezwładności, znajdujemy

Jeśli osie z I y centralne, zatem
, I

Z uzyskanych wzorów jasno wynika, że ​​momenty bezwładności względem osi środkowych (kiedy
) mają najmniejsze wartości w porównaniu z momentami bezwładności względem innych równoległych osi.

3.4. Główne osie i główne momenty bezwładności

Kiedy osie zostaną obrócone o kąt α, odśrodkowy moment bezwładności staje się równy

.

Wyznaczmy położenie głównych głównych osi bezwładności ty, w odnośnie którego

,

gdzie α 0 jest kątem, o który należy obrócić osie y I z aby stały się głównymi.

Ponieważ wzór podaje dwie wartości kąta I
, to istnieją dwie wzajemnie prostopadłe osie główne. Maksymalna oś zawsze tworzy mniejszy kąt ( ) z osiami ( z Lub y), w stosunku do którego większe znaczenie ma osiowy moment bezwładności. Przypomnijmy, że kąty dodatnie są odsuwane od osi z przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Nazywa się momenty bezwładności względem głównych osi główne momenty bezwładności. Można wykazać, że

.

Znak plus przed drugim członem odnosi się do maksymalnego momentu bezwładności, znak minus do minimum.