Pamats ar pagrabu
Kā atrisināt daļējos racionālos vienādojumus. Veselo un daļskaitļu racionālo vienādojumu risināšana

Kā atrisināt daļējos racionālos vienādojumus. Veselo un daļskaitļu racionālo vienādojumu risināšana

Šodien mēs sapratīsim, kā to atrisināt frakcionēti racionālie vienādojumi.

Apskatīsim: no vienādojumiem

(1) 2x + 5 = 3 (8 - x),

(3)

(4)

Tikai (2) un (4) ir daļēji racionāli vienādojumi, un (1) un (3) ir veseli vienādojumi.

Es ierosinu atrisināt (4) vienādojumu un pēc tam formulēt noteikumu.

Tā kā vienādojums ir daļējs, mums jāatrod kopsaucējs. Šajā vienādojumā izteiksme ir 6(x – 12)(x – 6). Pēc tam mēs reizinām abas vienādojuma puses ar kopsaucēju:

Pēc samazināšanas mēs iegūstam visu vienādojumu:

6 (x - 6) 2 - 6 (x - 12) 2 = 5 (x - 12) (x - 6).

Atrisinot šo vienādojumu, ir jāpārbauda, vai iegūtās saknes nepazūd sākotnējā vienādojuma daļu saucējiem.

Iekavu paplašināšana:
6x 2 - 72x + 216 - 6x 2 + 144x - 864 = 5x 2 - 90x + 360, vienkāršojiet vienādojumu: 5x 2 - 162x + 1008 = 0.

Vienādojuma sakņu atrašana
D = 6084, √D = 78,
x 1 = (162–78)/10 = 84/10 = 8,4 un x 2 = (162 + 78)/10 = 240/10 = 24.

Ja x = 8,4 un 24, kopsaucējs ir 6(x – 12)(x – 6) ≠ 0, kas nozīmē, ka šie skaitļi ir (4) vienādojuma saknes.

Atbilde: 8,4; 24.

Atrisinot piedāvāto vienādojumu, mēs nonākam pie sekojošā noteikumiem:

1) Kopsaucēja atrašana.

2) Reiziniet abas vienādojuma puses ar kopsaucēju.

3) Mēs atrisinām iegūto visu vienādojumu.

4) Mēs pārbaudām, kuras no saknēm liek kopsaucējam pazust, un izslēdzam tās no risinājuma.

Tagad apskatīsim piemēru tam, kā no tā izrietošie noteikumi darbojas.

Atrisiniet vienādojumu:

1) Kopsaucējs: x 2 – 1

2) Reizinot abas vienādojuma puses ar kopsaucēju, iegūstam visu vienādojumu: 6 – 2(x + 1) = 2(x 2 – 1) – (x + 4)(x – 1)

3) Atrisiniet vienādojumu: 6 – 2x – 2 = 2x 2 – 2 – x 2 – 4x + x + 4

x 2 – x – 2 = 0

x 1 = - 1 un x 2 = 2

4) Ja x = -1, kopsaucējs ir x 2 – 1 = 0. Skaitlis -1 nav sakne.

Ja x = 2, x 2 kopsaucējs – 1 ≠ 0. Skaitlis 2 ir vienādojuma sakne.

Atbilde: 2.

Kā redzat, mūsu noteikumi darbojas. Nebaidies, tev izdosies! Svarīgākā pareizi atrast kopsaucēju Un rūpīgi veiciet konvertēšanu. Mēs ceram, ka, risinot frakcionētus racionālus vienādojumus, jūs vienmēr saņemsit pareizās atbildes. Ja jums ir kādi jautājumi vai vēlaties praktizēt līdzīgu vienādojumu risināšanu, pierakstieties uz nodarbībām pie šī raksta autores, pasniedzējas Valentīnas Gaļiņevskas.

tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz avotu.

Daļējo racionālo vienādojumu risināšana

Uzziņu rokasgrāmata

Racionālie vienādojumi ir vienādojumi, kuros gan kreisā, gan labā puse ir racionālas izteiksmes.

(Ņemiet vērā: racionālās izteiksmes ir veselas un daļskaitļa izteiksmes bez radikāļiem, ieskaitot saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas vai dalīšanas darbības, piemēram: 6x; (m – n)2; x/3y utt.)

Daļēji racionālie vienādojumi parasti tiek reducēti līdz formai:

Kur P(x) Un J(x) ir polinomi.

Lai atrisinātu šādus vienādojumus, reiziniet abas vienādojuma puses ar Q(x), kas var izraisīt svešu sakņu parādīšanos. Tāpēc, risinot frakcionētus racionālos vienādojumus, ir jāpārbauda atrastās saknes.

Racionālu vienādojumu sauc par veselu vai algebrisku, ja tas nedalās ar izteiksmi, kas satur mainīgo.

Visa racionāla vienādojuma piemēri:

5x – 10 = 3 (10 – x)

3x
- = 2x - 10
4

Ja racionālā vienādojumā ir dalījums ar izteiksmi, kas satur mainīgo (x), tad vienādojumu sauc par daļēju racionālu.

Daļēja racionāla vienādojuma piemērs:

15
x + - = 5x - 17
x

Daļējos racionālos vienādojumus parasti risina šādi:

1) atrod daļskaitļu kopsaucēju un reizina ar to abas vienādojuma puses;

2) atrisina iegūto veselo vienādojumu;

3) izslēdz no saknēm tos, kas daļskaitļu kopsaucēju samazina līdz nullei.

Veselo skaitļu un daļskaitļu racionālo vienādojumu risināšanas piemēri.

Piemērs 1. Atrisināsim visu vienādojumu

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Risinājums:

Zemākā kopsaucēja atrašana. Tas ir 6. Sadaliet 6 ar saucēju un reiziniet iegūto rezultātu ar katras daļas skaitītāju. Mēs iegūstam vienādojumu, kas līdzvērtīgs šim:

3 (x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Tā kā kreisajā un labajā pusē ir vienāds saucējs, to var izlaist. Tad mēs iegūstam vienkāršāku vienādojumu:

3 (x – 1) + 4x = 5x.

Mēs to atrisinām, atverot iekavas un apvienojot līdzīgus terminus:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Piemērs ir atrisināts.

Piemērs 2. Atrisiniet daļēju racionālu vienādojumu

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x–5 x (x–5)

Kopsaucēja atrašana. Tas ir x(x – 5). Tātad:

x 2 – 3 x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Tagad mēs atkal atbrīvojamies no saucēja, jo tas ir vienāds visām izteiksmēm. Mēs samazinām līdzīgus vārdus, pielīdzinām vienādojumu nullei un iegūstam kvadrātvienādojumu:

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3x – 10 = 0.

Atrisinot kvadrātvienādojumu, mēs atrodam tā saknes: –2 un 5.

Pārbaudīsim, vai šie skaitļi ir sākotnējā vienādojuma saknes.

Pie x = –2 kopsaucējs x(x – 5) nepazūd. Tas nozīmē, ka –2 ir sākotnējā vienādojuma sakne.

Ja x = 5, kopsaucējs kļūst par nulli, un divas no trim izteiksmēm zaudē nozīmi. Tas nozīmē, ka skaitlis 5 nav sākotnējā vienādojuma sakne.

Atbilde: x = –2

Vairāk piemēru

1. piemērs.

x 1 = 6, x 2 = - 2,2.

Atbilde: -2,2;6.

2. piemērs.

Prezentācija un nodarbība par tēmu: "Racionālie vienādojumi. Racionālo vienādojumu risināšanas algoritms un piemēri"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, vēlmes! Visi materiāli ir pārbaudīti ar pretvīrusu programmu.

Mācību līdzekļi un simulatori Interneta veikalā Integral 8. klasei
Rokasgrāmata mācību grāmatai, kuru autors ir Makarychev Yu.N. Rokasgrāmata Mordkoviča A.G. mācību grāmatai.

Ievads iracionālajos vienādojumos

Puiši, mēs iemācījāmies atrisināt kvadrātvienādojumus. Bet matemātika neaprobežojas tikai ar viņiem. Šodien mēs iemācīsimies atrisināt racionālos vienādojumus. Racionālo vienādojumu jēdziens daudzējādā ziņā ir līdzīgs racionālo skaitļu jēdzienam. Tikai papildus skaitļiem tagad esam ieviesuši kādu mainīgo $x$. Tādējādi mēs iegūstam izteiksmi, kurā ir saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas, dalīšanas un palielināšanas līdz veselam skaitļa pakāpēm.

Ļaujiet $r(x)$ būt racionāla izteiksme. Šāda izteiksme var būt vienkāršs polinoms mainīgajā $x$ vai polinomu attiecība (tiek ieviesta dalīšanas darbība, tāpat kā racionālajiem skaitļiem).
Tiek izsaukts vienādojums $r(x)=0$ racionāls vienādojums.
Jebkurš vienādojums formā $p(x)=q(x)$, kur $p(x)$ un $q(x)$ ir racionālas izteiksmes, būs arī racionāls vienādojums.

Apskatīsim racionālu vienādojumu risināšanas piemērus.

1. piemērs.
Atrisiniet vienādojumu: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Risinājums.
Pārvietosim visas izteiksmes uz kreiso pusi: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Ja vienādojuma kreiso pusi attēlotu parastie skaitļi, tad mēs reducētu abas daļas līdz kopsaucējam.
Darīsim šādi: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Mēs saņēmām vienādojumu: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Daļa ir vienāda ar nulli tad un tikai tad, ja daļas skaitītājs ir nulle un saucējs nav nulle. Tad mēs atsevišķi pielīdzinām skaitītāju nullei un atrodam skaitītāja saknes.
$3(x^2+2x-3)=0$ vai $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Tagad pārbaudīsim daļskaitļa saucēju: $(x-3)*x≠0$.
Divu skaitļu reizinājums ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no šiem skaitļiem ir vienāds ar nulli. Pēc tam: $x≠0$ vai $x-3≠0$.
$x≠0$ vai $x≠3$.
Skaitītājā un saucējā iegūtās saknes nesakrīt. Tātad atbildē ierakstām abas skaitītāja saknes.
Atbilde: $x=1$ vai $x=-3$.

Ja pēkšņi viena no skaitītāja saknēm sakrīt ar saucēja sakni, tad tā ir jāizslēdz. Šādas saknes sauc par svešām!

Racionālu vienādojumu risināšanas algoritms:

1. Pārvietojiet visas vienādojumā ietvertās izteiksmes uz vienādības zīmes kreiso pusi.
2. Pārvērtiet šo vienādojuma daļu par algebriskā daļa: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Iegūto skaitītāju pielīdziniet nullei, tas ir, atrisiniet vienādojumu $p(x)=0$.
4. Pielīdziniet saucēju nullei un atrisiniet iegūto vienādojumu. Ja saucēja saknes sakrīt ar skaitītāja saknēm, tad tās no atbildes ir jāizslēdz.

2. piemērs.
Atrisiniet vienādojumu: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Risinājums.
Atrisināsim pēc algoritma punktiem.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Pielīdziniet skaitītāju nullei: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Pielīdziniet saucēju nullei:
$(x-1)(x+1)=0 $.
$x=1$ un $x=-1$.
Viena no saknēm $x=1$ sakrīt ar skaitītāja sakni, tad atbildē to nepierakstām.
Atbilde: $x=-1$.

Racionālus vienādojumus ir ērti atrisināt, izmantojot mainīgo maiņas metodi. Demonstrēsim to.

3. piemērs.
Atrisiniet vienādojumu: $x^4+12x^2-64=0$.

Risinājums.
Ieviesīsim aizstāšanu: $t=x^2$.
Tad mūsu vienādojumam būs šāda forma:
$t^2+12t-64=0$ - parasts kvadrātvienādojums.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 $.
Ieviesīsim apgriezto aizstāšanu: $x^2=4$ vai $x^2=-16$.
Pirmā vienādojuma saknes ir skaitļu pāris $x=±2$. Otra lieta ir tā, ka tai nav sakņu.
Atbilde: $x=±2$.

4. piemērs.
Atrisiniet vienādojumu: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Risinājums.
Ieviesīsim jaunu mainīgo: $t=x^2+x+1$.
Tad vienādojums būs šāds: $t=\frac(15)(t+2)$.
Tālāk mēs turpināsim saskaņā ar algoritmu.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 $.
4. $t≠-2$ - saknes nesakrīt.
Ieviesīsim apgriezto aizstāšanu.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Atrisināsim katru vienādojumu atsevišķi:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - nē saknes.
Un otrais vienādojums: $x^2+x-2=0$.
Šī vienādojuma saknes būs skaitļi $x=-2$ un $x=1$.
Atbilde: $x=-2$ un $x=1$.

5. piemērs.
Atrisiniet vienādojumu: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Risinājums.
Ieviesīsim aizstāšanu: $t=x+\frac(1)(x)$.
Pēc tam:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ vai $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Mēs saņēmām vienādojumu: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Šī vienādojuma saknes ir pāris:
$t=-3$ un $t=2$.
Ieviesīsim apgriezto aizstāšanu:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Mēs lemsim atsevišķi.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Atrisināsim otro vienādojumu:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Šī vienādojuma sakne ir skaitlis $x=1$.
Atbilde: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Problēmas, kas jārisina patstāvīgi

Atrisiniet vienādojumus:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3 $.

Frakcionālie vienādojumi. ODZ.

Uzmanību!
Ir papildu
materiāli speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kas ir ļoti "ne ļoti..."
Un tiem, kas “ļoti…”)

Mēs turpinām apgūt vienādojumus. Mēs jau zinām, kā strādāt ar lineāriem un kvadrātvienādojumiem. Pēdējais skats palicis - daļskaitļu vienādojumi. Vai arī viņus sauc daudz cienījamāk - frakcionēti racionālie vienādojumi. Tas ir tas pats.

Frakcionālie vienādojumi.

Kā norāda nosaukums, šajos vienādojumos noteikti ir daļskaitļi. Bet ne tikai frakcijas, bet frakcijas, kurām ir saucējā nezināms. Vismaz vienā. Piemēram:

Atgādināšu, ja saucēji ir tikai cipariem, tie ir lineāri vienādojumi.

Kā izlemt daļskaitļu vienādojumi? Pirmkārt, atbrīvojieties no frakcijām! Pēc tam vienādojums visbiežāk pārvēršas lineārā vai kvadrātiskā. Un tad mēs zinām, ko darīt... Dažos gadījumos tas var pārvērsties par identitāti, piemēram, 5=5 vai nepareizu izteiksmi, piemēram, 7=2. Bet tas notiek reti. Es to pieminēšu zemāk.

Bet kā atbrīvoties no frakcijām!? Ļoti vienkārši. Piemērojot tās pašas identiskās transformācijas.

Mums jāreizina viss vienādojums ar to pašu izteiksmi. Lai visi saucēji tiek samazināti! Viss uzreiz kļūs vieglāk. Ļaujiet man paskaidrot ar piemēru. Ļaujiet mums atrisināt vienādojumu:

Kā tevi mācīja pamatskolā? Pārceļam visu uz vienu pusi, savedām pie kopsaucēja utt. Aizmirsti to kā sliktu sapni! Tas ir jādara, pievienojot vai atņemot daļskaitļus. Vai arī jūs strādājat ar nevienlīdzību. Un vienādojumos mēs uzreiz reizinām abas puses ar izteiksmi, kas dos mums iespēju samazināt visus saucējus (t.i., pēc būtības, ar kopsaucēju). Un kas ir šis izteiciens?

Kreisajā pusē, lai samazinātu saucēju, ir jāreizina ar x+2. Un labajā pusē ir jāreizina ar 2. Tas nozīmē, ka vienādojums jāreizina ar 2(x+2). Reizināt:

Tas ir izplatīts daļskaitļu reizinājums, taču es to aprakstīšu sīkāk:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka es vēl neatveru kronšteinu (x + 2)! Tātad kopumā es to rakstu:

Kreisajā pusē tas pilnībā saraujas (x+2), un labajā pusē 2. Kas bija tas, kas bija vajadzīgs! Pēc samazināšanas mēs iegūstam lineārs vienādojums:

Un katrs var atrisināt šo vienādojumu! x = 2.

Atrisināsim citu piemēru, nedaudz sarežģītāku:

Ja atceramies, ka 3 = 3/1, un 2x = 2x/ 1, mēs varam rakstīt:

Un atkal mēs atbrīvojamies no tā, kas mums īsti nepatīk - no frakcijām.

Mēs redzam, ka, lai samazinātu saucēju ar X, mums daļa jāreizina ar (x–2). Un daži mums nav šķērslis. Nu vairosim. Visi kreisā puse un visi labā puse:

Atkal iekavas (x–2) Es neatklāju. Es strādāju ar kronšteinu kopumā tā, it kā tas būtu viens skaitlis! Tas ir jādara vienmēr, pretējā gadījumā nekas netiks samazināts.

Ar dziļa gandarījuma sajūtu mēs samazinām (x–2) un iegūstam vienādojumu bez daļskaitļiem, ar lineālu!

Tagad atvērsim iekavas:

Mēs atvedam līdzīgus, pārvietojam visu uz kreiso pusi un iegūstam:

Bet pirms tam mēs iemācīsimies risināt citas problēmas. Par procentiem. Tas, starp citu, ir grābeklis!

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)

Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Turpināsim runāt par vienādojumu risināšana. Šajā rakstā mēs sīkāk aplūkosim racionālie vienādojumi un racionālu vienādojumu risināšanas principi ar vienu mainīgo. Vispirms izdomāsim, kāda veida vienādojumus sauc par racionālajiem, sniegsim veselu racionālo un daļējo racionālo vienādojumu definīciju un sniegsim piemērus. Tālāk iegūsim racionālu vienādojumu risināšanas algoritmus un, protams, izskatīsim tipisku piemēru risinājumus ar visiem nepieciešamajiem skaidrojumiem.

Lapas navigācija.

Pamatojoties uz norādītajām definīcijām, mēs sniedzam vairākus racionālu vienādojumu piemērus. Piemēram, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , visi ir racionāli vienādojumi.

No parādītajiem piemēriem ir skaidrs, ka racionālie vienādojumi, kā arī cita veida vienādojumi var būt ar vienu mainīgo, vai ar diviem, trim utt. mainīgie. Turpmākajos punktos mēs runāsim par racionālu vienādojumu risināšanu ar vienu mainīgo. Vienādojumu atrisināšana divos mainīgajos un to lielais skaits ir pelnījis īpašu uzmanību.

Papildus racionālo vienādojumu dalīšanai ar nezināmo mainīgo skaitu, tos iedala arī veselos skaitļos un daļskaitļos. Sniegsim atbilstošās definīcijas.

Definīcija.

Racionālo vienādojumu sauc vesels, ja gan tā kreisā, gan labā puse ir veselu skaitļu racionālas izteiksmes.

Definīcija.

Ja vismaz viena no racionālā vienādojuma daļām ir daļēja izteiksme, tad šādu vienādojumu sauc frakcionēti racionāli(vai daļēja racionāla).

Ir skaidrs, ka veseli vienādojumi nesatur dalīšanu ar mainīgo, gluži pretēji, daļēja racionāla vienādojumā obligāti ir dalījums ar mainīgo (vai mainīgo saucējā). Tātad 3 x+2=0 un (x+y)·(3·x2 −1)+x=−y+0,5– tie ir veseli racionāli vienādojumi, abas to daļas ir veselas izteiksmes. A un x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 ir frakcionētu racionālu vienādojumu piemēri.

Noslēdzot šo punktu, pievērsīsim uzmanību faktam, ka līdz šim zināmie lineārie vienādojumi un kvadrātvienādojumi ir veseli racionāli vienādojumi.

Veselu vienādojumu risināšana

Viena no galvenajām pieejām veselu vienādojumu risināšanai ir to reducēšana uz līdzvērtīgiem algebriskie vienādojumi. To vienmēr var izdarīt, veicot šādas līdzvērtīgas vienādojuma transformācijas:

vispirms izteiksme no sākotnējā veselā skaitļa vienādojuma labās puses tiek pārnesta uz kreiso pusi ar pretējo zīmi, lai labajā pusē iegūtu nulli;
pēc tam vienādojuma kreisajā pusē iegūtā standarta forma.

Rezultāts ir algebriskais vienādojums, kas ir līdzvērtīgs sākotnējam vesela skaitļa vienādojumam. Tādējādi vienkāršākajos gadījumos veselu vienādojumu atrisināšana tiek reducēta uz lineāru vai kvadrātvienādojumu atrisināšanu, bet vispārīgā gadījumā līdz n pakāpes algebriskā vienādojuma atrisināšanai. Skaidrības labad apskatīsim piemēra risinājumu.

Piemērs.

Atrodiet visa vienādojuma saknes 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Risinājums.

Reducēsim visa šī vienādojuma atrisinājumu līdz ekvivalenta algebriskā vienādojuma atrisinājumam. Lai to izdarītu, pirmkārt, mēs pārnesam izteiksmi no labās puses uz kreiso, kā rezultātā mēs nonākam pie vienādojuma 3·(x+1)·(x-3)-x·(2·x-1)+3=0. Un, otrkārt, mēs pārveidojam kreisajā pusē izveidoto izteiksmi standarta formas polinomā, aizpildot nepieciešamo: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 -9 x+3 x-9-2 x 2 +x+3=x 2 -5 x-6. Tādējādi sākotnējā veselā skaitļa vienādojuma atrisināšana tiek reducēta līdz kvadrātvienādojuma atrisināšanai x 2 −5·x−6=0.

Mēs aprēķinām tā diskriminantu D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, tas ir pozitīvs, kas nozīmē, ka vienādojumam ir divas reālas saknes, kuras mēs atrodam, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu:

Lai būtu pilnīgi pārliecināts, darīsim to pārbaudot atrastās vienādojuma saknes. Vispirms mēs pārbaudām sakni 6, aizstājam to mainīgā x vietā sākotnējā veselā skaitļa vienādojumā: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, kas ir tas pats, 63=63. Šis ir derīgs skaitlisks vienādojums, tāpēc x=6 patiešām ir vienādojuma sakne. Tagad mēs pārbaudām sakni −1, mums ir 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, no kurienes, 0=0 . Ja x=−1, arī sākotnējais vienādojums pārvēršas par pareizu skaitlisko vienādību, tāpēc arī x=−1 ir vienādojuma sakne.

Atbilde:

6 , −1 .

Šeit arī jāatzīmē, ka termins “visa vienādojuma pakāpe” ir saistīts ar visa vienādojuma attēlojumu algebriskā vienādojuma formā. Sniegsim atbilstošo definīciju:

Definīcija.

Visa vienādojuma spēks sauc par ekvivalenta algebriskā vienādojuma pakāpi.

Saskaņā ar šo definīciju visam vienādojumam no iepriekšējā piemēra ir otrā pakāpe.

Tas varēja būt visu racionālo vienādojumu risināšanas beigas, ja ne viena lieta…. Kā zināms, algebrisko vienādojumu risināšana, kuru pakāpe ir augstāka par otro, ir saistīta ar ievērojamām grūtībām, un vienādojumiem, kuru pakāpe ir augstāka par ceturto, vispār nav vispārēju sakņu formulu. Tāpēc, lai atrisinātu veselus trešā, ceturtā un vairāk vienādojumus augstas pakāpes Bieži nākas ķerties pie citām risinājuma metodēm.

Šādos gadījumos pieeja visu racionālo vienādojumu risināšanai, pamatojoties uz faktorizācijas metode. Šajā gadījumā tiek ievērots šāds algoritms:

pirmkārt, tie nodrošina, ka vienādojuma labajā pusē ir nulle; lai to izdarītu, viņi pārnes izteiksmi no visa vienādojuma labās puses uz kreiso pusi;
tad iegūtā izteiksme kreisajā pusē tiek parādīta kā vairāku faktoru reizinājums, kas ļauj pāriet uz vairāku vienkāršāku vienādojumu kopu.

Dotais algoritms visa vienādojuma risināšanai, izmantojot faktorizāciju, prasa detalizētu skaidrojumu, izmantojot piemēru.

Piemērs.

Atrisiniet visu vienādojumu (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2–10 x+13) .

Risinājums.

Vispirms, kā parasti, mēs pārnesam izteiksmi no vienādojuma labās puses uz kreiso pusi, neaizmirstot mainīt zīmi, mēs iegūstam (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 -10 x+13) = 0 . Šeit ir pilnīgi skaidrs, ka iegūtā vienādojuma kreiso pusi nav ieteicams pārveidot par standarta formas polinomu, jo tas dos formas ceturtās pakāpes algebrisko vienādojumu. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, kuras risinājums ir grūts.

No otras puses, ir acīmredzams, ka iegūtā vienādojuma kreisajā pusē varam x 2 −10 x+13 , tādējādi uzrādot to kā reizinājumu. Mums ir (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Iegūtais vienādojums ir ekvivalents sākotnējam veselam vienādojumam, un to savukārt var aizstāt ar divu kvadrātvienādojumu kopu x 2 −10·x+13=0 un x 2 −2·x−1=0. Atrast to saknes, izmantojot zināmas sakņu formulas, izmantojot diskriminantu, nav grūti; saknes ir vienādas. Tās ir sākotnējā vienādojuma vēlamās saknes.

Atbilde:

Noder arī visu racionālo vienādojumu risināšanai metode jauna mainīgā ieviešanai. Dažos gadījumos tas ļauj pāriet uz vienādojumiem, kuru pakāpe ir zemāka par sākotnējā veselā vienādojuma pakāpi.

Piemērs.

Atrodiet racionālā vienādojuma reālās saknes (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = - 2 (x 2 + 3 x - 4).

Risinājums.

Reducēt visu šo racionālo vienādojumu uz algebrisko vienādojumu, maigi izsakoties, nav pārāk laba doma, jo šajā gadījumā mēs nonāksim pie nepieciešamības atrisināt ceturtās pakāpes vienādojumu, kuram nav racionālu sakņu. Tāpēc jums būs jāmeklē cits risinājums.

Šeit ir viegli saprast, ka var ieviest jaunu mainīgo y un aizstāt ar to izteiksmi x 2 +3·x. Šī aizstāšana noved mūs pie visa vienādojuma (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , kas pēc izteiksmes −2·(y−4) pārvietošanas uz kreiso pusi un sekojošas izteiksmes transformācijas tur izveidots, tiek reducēts uz kvadrātvienādojumu y 2 +4·y+3=0. Šī vienādojuma y=−1 un y=−3 saknes ir viegli atrodamas, piemēram, tās var izvēlēties, pamatojoties uz teorēmu, kas ir apgriezta Vietas teorēmai.

Tagad mēs pārejam uz jauna mainīgā ieviešanas metodes otro daļu, tas ir, uz apgrieztās nomaiņas veikšanu. Pēc apgrieztās aizstāšanas veikšanas iegūstam divus vienādojumus x 2 +3 x=−1 un x 2 +3 x=−3, kurus var pārrakstīt kā x 2 +3 x+1=0 un x 2 +3 x+3 =0. Izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu, mēs atrodam pirmā vienādojuma saknes. Un otrajam kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu, jo tā diskriminants ir negatīvs (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Atbilde:

Kopumā, kad mums ir darīšana ar veseliem augstas pakāpes vienādojumiem, mums vienmēr jābūt gataviem meklēt nestandarta metodi vai mākslīgu paņēmienu to risināšanai.

Daļējo racionālo vienādojumu risināšana

Pirmkārt, būs noderīgi saprast, kā atrisināt daļējus racionālos vienādojumus formā , kur p(x) un q(x) ir veselu skaitļu racionālas izteiksmes. Un tad mēs parādīsim, kā reducēt citu frakcionēti racionālu vienādojumu atrisinājumu līdz norādītā tipa vienādojumu atrisinājumam.

Viena pieeja vienādojuma risināšanai ir balstīta uz šādu apgalvojumu: skaitliskā daļa u/v, kur v ir skaitlis, kas nav nulle (pretējā gadījumā mēs saskarsimies ar , kas nav definēts), ir vienāda ar nulli tad un tikai tad, ja tās skaitītājs ir vienāds ar nulli, tad ir tad un tikai tad, ja u=0 . Pateicoties šim apgalvojumam, vienādojuma atrisināšana tiek reducēta līdz divu nosacījumu izpildei p(x)=0 un q(x)≠0.

Šis secinājums atbilst sekojošajam daļēja racionāla vienādojuma risināšanas algoritms. Lai atrisinātu formas daļēju racionālo vienādojumu, jums ir nepieciešams

atrisināt visu racionālo vienādojumu p(x)=0 ;
un pārbaudiet, vai nosacījums q(x)≠0 ir izpildīts katrai atrastajai saknei, kamēr

ja tā ir patiesa, tad šī sakne ir sākotnējā vienādojuma sakne;
ja tas nav apmierināts, tad šī sakne ir sveša, tas ir, tā nav sākotnējā vienādojuma sakne.

Apskatīsim piemēru izziņotā algoritma izmantošanai, risinot daļēju racionālu vienādojumu.

Piemērs.

Atrodiet vienādojuma saknes.

Risinājums.

Šis ir daļējs racionālais vienādojums, kura forma ir, kur p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Saskaņā ar šāda veida frakcionētu racionālu vienādojumu risināšanas algoritmu vispirms jāatrisina vienādojums 3 x−2=0. Šis lineārais vienādojums, kuras sakne ir x=2/3.

Atliek pārbaudīt šo sakni, tas ir, pārbaudīt, vai tā atbilst nosacījumam 5 x 2 −2≠0. Mēs aizstājam skaitli 2/3 izteiksmē 5 x 2 −2, nevis x, un mēs iegūstam . Nosacījums ir izpildīts, tāpēc x=2/3 ir sākotnējā vienādojuma sakne.

Atbilde:

2/3 .

Daļēja racionāla vienādojuma risināšanai varat pieiet no nedaudz atšķirīgas pozīcijas. Šis vienādojums ir līdzvērtīgs veselu skaitļu vienādojumam p(x)=0 uz sākotnējā vienādojuma mainīgā x. Tas ir, jūs varat pieturēties pie šī daļēja racionāla vienādojuma risināšanas algoritms :

atrisināt vienādojumu p(x)=0 ;
atrodiet mainīgā x ODZ;
ņem saknes, kas pieder pie pieņemamo vērtību apgabala - tās ir sākotnējā daļējā racionālā vienādojuma vēlamās saknes.

Piemēram, atrisināsim daļēju racionālu vienādojumu, izmantojot šo algoritmu.

Piemērs.

Atrisiniet vienādojumu.

Risinājums.

Vispirms atrisinām kvadrātvienādojumu x 2 −2·x−11=0. Tās saknes var aprēķināt, izmantojot saknes formulu pāra otrajam koeficientam, kas mums ir D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Un .

Otrkārt, mēs atrodam sākotnējā vienādojuma mainīgā x ODZ. Tas sastāv no visiem skaitļiem, kuriem x 2 +3·x≠0, kas ir tāds pats kā x·(x+3)≠0, no kurienes x≠0, x≠−3.

Atliek pārbaudīt, vai pirmajā solī atrastās saknes ir iekļautas ODZ. Acīmredzot jā. Tāpēc sākotnējam frakcionētam racionālajam vienādojumam ir divas saknes.

Atbilde:

Ņemiet vērā, ka šī pieeja ir izdevīgāka nekā pirmā, ja ODZ ir viegli atrast, un ir īpaši izdevīga, ja, piemēram, vienādojuma p(x) = 0 saknes ir neracionālas vai racionālas, bet ar diezgan lielu skaitītāju un /vai saucējs, piemēram, 127/1101 un −31/59. Tas ir saistīts ar faktu, ka šādos gadījumos, lai pārbaudītu nosacījumu q(x)≠0, būs jāpieliek ievērojamas skaitļošanas pūles, un ir vieglāk izslēgt svešas saknes, izmantojot ODZ.

Citos gadījumos, risinot vienādojumu, īpaši, ja vienādojuma saknes p(x) = 0 ir veseli skaitļi, izdevīgāk ir izmantot pirmo no dotajiem algoritmiem. Tas ir, ieteicams nekavējoties atrast visa vienādojuma saknes p(x)=0 un pēc tam pārbaudīt, vai tām ir izpildīts nosacījums q(x)≠0, nevis atrast ODZ un pēc tam atrisināt vienādojumu. p(x)=0 šajā ODZ . Tas ir saistīts ar faktu, ka šādos gadījumos parasti ir vieglāk pārbaudīt, nekā atrast DZ.

Apskatīsim divu piemēru risinājumu, lai ilustrētu norādītās nianses.

Piemērs.

Atrodiet vienādojuma saknes.

Risinājums.

Pirmkārt, atradīsim visa vienādojuma saknes (2 x−1) (x−6) (x 2−5 x+14) (x+1) = 0, kas sastādīts, izmantojot daļskaitļa skaitītāju. Šī vienādojuma kreisā puse ir reizinājums, bet labā puse ir nulle, tāpēc saskaņā ar vienādojumu atrisināšanas metodi, izmantojot faktorizāciju, šis vienādojums ir ekvivalents četru vienādojumu kopai 2 x−1=0 , x−6= 0, x 2 -5 x+ 14=0, x+1=0. Trīs no šiem vienādojumiem ir lineāri un viens ir kvadrātveida; mēs varam tos atrisināt. No pirmā vienādojuma atrodam x=1/2, no otrā - x=6, no trešā - x=7, x=−2, no ceturtā - x=−1.

Ar atrastajām saknēm ir diezgan viegli pārbaudīt, vai sākotnējā vienādojuma kreisajā pusē esošās daļas saucējs pazūd, taču ODZ noteikšana, gluži pretēji, nav tik vienkārša, jo tam būs jāatrisina piektās pakāpes algebriskais vienādojums. Tāpēc mēs atteiksimies no ODZ atrašanas par labu sakņu pārbaudei. Lai to izdarītu, izteiksmē aizstājam tos pa vienam mainīgā x vietā x 5 -15 x 4 +57 x 3 -13 x 2 +26 x + 112, kas iegūti pēc aizstāšanas, un salīdziniet tos ar nulli: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 –15·6 4 +57·6 3 –13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 -15,7 4 +57,7 3 -13,7 2 +26,7 + 112=0;
(−2) 5 −15 · (−2) 4 +57 · (−2) 3 −13 · (−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 · (−1) 4 +57 · (−1) 3 −13 · (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Tādējādi 1/2, 6 un –2 ir sākotnējā daļējā racionālā vienādojuma vēlamās saknes, un 7 un –1 ir svešas saknes.

Atbilde:

1/2 , 6 , −2 .

Piemērs.

Atrodiet daļēja racionāla vienādojuma saknes.

Risinājums.

Pirmkārt, atradīsim vienādojuma saknes (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Šis vienādojums ir līdzvērtīgs divu vienādojumu kopai: kvadrāts 5 x 2 −7 x−1=0 un lineārs x−2=0. Izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu, mēs atrodam divas saknes, un no otrā vienādojuma mums ir x=2.

Pārbaudīt, vai saucējs iet uz nulli pie atrastajām x vērtībām, ir diezgan nepatīkama. Un mainīgā x pieļaujamo vērtību diapazona noteikšana sākotnējā vienādojumā ir diezgan vienkārša. Tāpēc mēs rīkosimies caur ODZ.

Mūsu gadījumā sākotnējā daļējā racionālā vienādojuma mainīgā x ODZ sastāv no visiem skaitļiem, izņemot tos, kuriem ir izpildīts nosacījums x 2 +5·x−14=0. Šī kvadrātvienādojuma saknes ir x=−7 un x=2, no kā mēs izdarām secinājumu par ODZ: tas sastāv no visiem x tādiem, ka .

Atliek pārbaudīt, vai atrastās saknes un x=2 ietilpst pieļaujamo vērtību diapazonā. Saknes pieder, tāpēc tās ir sākotnējā vienādojuma saknes, un x=2 nepieder, tāpēc tā ir sveša sakne.

Atbilde:

Tāpat būs lietderīgi atsevišķi pakavēties pie gadījumiem, kad formas daļējā racionālā vienādojumā skaitītājā ir skaitlis, tas ir, kad p(x) tiek attēlots ar kādu skaitli. Kurā

ja šis skaitlis nav nulle, tad vienādojumam nav sakņu, jo daļa ir vienāda ar nulli tad un tikai tad, ja tās skaitītājs ir vienāds ar nulli;
ja šis skaitlis ir nulle, tad vienādojuma sakne ir jebkurš skaitlis no ODZ.

Piemērs.

Risinājums.

Tā kā daļskaitļa skaitītājs vienādojuma kreisajā pusē satur skaitli, kas nav nulle, tad jebkuram x šīs daļas vērtība nevar būt vienāda ar nulli. Tāpēc šim vienādojumam nav sakņu.

Atbilde:

nav sakņu.

Piemērs.

Atrisiniet vienādojumu.

Risinājums.

Daļas skaitītājs šī daļskaitļa racionālā vienādojuma kreisajā pusē satur nulli, tāpēc šīs daļdaļas vērtība ir nulle jebkuram x, kuram tā ir jēga. Citiem vārdiem sakot, šī vienādojuma risinājums ir jebkura x vērtība no šī mainīgā ODZ.

Atliek noteikt šo pieņemamo vērtību diapazonu. Tas ietver visas x vērtības, kurām x 4 +5 x 3 ≠0. Vienādojuma x 4 +5 x 3 =0 atrisinājumi ir 0 un -5, jo šis vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumam x 3 (x+5)=0 un tas savukārt ir ekvivalents divu vienādojumu x kombinācijai. 3 =0 un x +5=0, no kurienes šīs saknes ir redzamas. Tāpēc vēlamais pieņemamo vērtību diapazons ir jebkurš x, izņemot x=0 un x=−5.

Tādējādi daļējam racionālam vienādojumam ir bezgalīgi daudz risinājumu, kas ir jebkuri skaitļi, izņemot nulli un mīnus pieci.

Atbilde:

Visbeidzot, ir pienācis laiks runāt par patvaļīgas formas frakcionētu racionālu vienādojumu atrisināšanu. Tos var uzrakstīt kā r(x)=s(x), kur r(x) un s(x) ir racionālas izteiksmes, un vismaz viena no tām ir daļskaitļa. Raugoties nākotnē, pieņemsim, ka viņu risinājums ir mums jau pazīstamas formas vienādojumu atrisināšana.

Ir zināms, ka, pārnesot vārdu no vienas vienādojuma daļas uz citu ar pretēju zīmi, tiek izveidots līdzvērtīgs vienādojums, tāpēc vienādojums r(x)=s(x) ir līdzvērtīgs vienādojumam r(x)−s(x). )=0.

Mēs arī zinām, ka ir iespējama jebkura , kas ir vienāda ar šo izteiksmi. Tādējādi mēs vienmēr varam pārveidot racionālo izteiksmi vienādojuma r(x)−s(x)=0 kreisajā pusē par identiski vienādu formas racionālo daļu.

Tātad mēs pārejam no sākotnējā daļējā racionālā vienādojuma r(x)=s(x) uz vienādojumu, un tā risinājums, kā noskaidrojām iepriekš, reducē līdz vienādojuma p(x)=0 atrisināšanai.

Bet šeit ir jāņem vērā fakts, ka, aizstājot r(x)−s(x)=0 ar , un pēc tam ar p(x)=0, mainīgā x pieļaujamo vērtību diapazons var paplašināties. .

Līdz ar to sākotnējais vienādojums r(x)=s(x) un vienādojums p(x)=0, pie kura nonācām, var izrādīties nevienāds, un, atrisinot vienādojumu p(x)=0, mēs varam iegūt saknes. tās būs sākotnējā vienādojuma r(x)=s(x) svešas saknes. Atbildē var identificēt un neiekļaut svešas saknes, veicot pārbaudi vai pārbaudot, vai tās pieder sākotnējā vienādojuma ODZ.

Apkoposim šo informāciju algoritms daļēja racionāla vienādojuma risināšanai r(x)=s(x). Lai atrisinātu daļējo racionālo vienādojumu r(x)=s(x) , nepieciešams

Iegūstiet nulli labajā pusē, pārvietojot izteiksmi no labās puses ar pretējo zīmi.
Veiciet darbības ar daļām un polinomiem vienādojuma kreisajā pusē, tādējādi pārveidojot to par formas racionālu daļu.
Atrisiniet vienādojumu p(x)=0.
Identificējiet un likvidējiet svešas saknes, kas tiek veiktas, aizstājot tās sākotnējā vienādojumā vai pārbaudot to piederību sākotnējā vienādojuma ODZ.

Lai iegūtu lielāku skaidrību, mēs parādīsim visu daļējo racionālo vienādojumu risināšanas ķēdi:
.

Apskatīsim vairāku piemēru risinājumus ar detalizētu risinājuma procesa skaidrojumu, lai precizētu doto informācijas bloku.

Piemērs.

Atrisiniet daļēju racionālu vienādojumu.

Risinājums.

Mēs rīkosimies saskaņā ar tikko iegūto risinājuma algoritmu. Un vispirms mēs pārvietojam terminus no vienādojuma labās puses uz kreiso pusi, kā rezultātā mēs pārejam uz vienādojumu.

Otrajā solī mums ir jāpārvērš daļskaitļa racionālā izteiksme iegūtā vienādojuma kreisajā pusē daļskaitļa formā. Lai to izdarītu, mēs samazinām racionālās daļas līdz kopsaucējam un vienkāršojam iegūto izteiksmi: . Tātad mēs nonākam pie vienādojuma.

Nākamajā solī mums jāatrisina vienādojums −2·x−1=0. Mēs atrodam x=−1/2.

Atliek pārbaudīt, vai atrastais skaitlis −1/2 nav sākotnējā vienādojuma sveša sakne. Lai to izdarītu, varat pārbaudīt vai atrast sākotnējā vienādojuma mainīgā x VA. Parādīsim abas pieejas.

Sāksim ar pārbaudi. Mēs aizstājam skaitli −1/2 sākotnējā vienādojumā, nevis mainīgo x, un mēs iegūstam to pašu, −1=−1. Aizstāšana dod pareizo skaitlisko vienādību, tāpēc x=−1/2 ir sākotnējā vienādojuma sakne.

Tagad mēs parādīsim, kā algoritma pēdējais punkts tiek veikts caur ODZ. Sākotnējā vienādojuma pieļaujamo vērtību diapazons ir visu skaitļu kopa, izņemot −1 un 0 (pie x=−1 un x=0 daļskaitļu saucēji pazūd). Iepriekšējā solī atrastā sakne x=−1/2 pieder pie ODZ, tāpēc x=−1/2 ir sākotnējā vienādojuma sakne.

Atbilde:

−1/2 .

Apskatīsim citu piemēru.

Piemērs.

Atrodiet vienādojuma saknes.

Risinājums.

Mums ir jāatrisina daļējs racionāls vienādojums, iziesim visas algoritma darbības.

Pirmkārt, mēs pārvietojam terminu no labās puses uz kreiso pusi, mēs iegūstam .

Otrkārt, mēs pārveidojam kreisajā pusē izveidoto izteiksmi: . Rezultātā mēs nonākam pie vienādojuma x=0.

Tās sakne ir acīmredzama - tā ir nulle.

Ceturtajā solī atliek noskaidrot, vai atrastā sakne ir ārpus sākotnējā daļējā racionālā vienādojuma. Kad to aizstāj sākotnējā vienādojumā, izteiksme tiek iegūta. Acīmredzot tam nav jēgas, jo tajā ir dalījums ar nulli. No kā mēs secinām, ka 0 ir sveša sakne. Tāpēc sākotnējam vienādojumam nav sakņu.

7, kas ved uz vienādojumu. No tā varam secināt, ka izteiksmei kreisās puses saucējā ir jābūt vienādai ar labās puses izteiksmi, tas ir, . Tagad mēs atņemam no abām trīskārša pusēm: . Pēc analoģijas, no kurienes un tālāk.

Pārbaude parāda, ka abas atrastās saknes ir sākotnējā daļējā racionālā vienādojuma saknes.

Atbilde:

Bibliogrāfija.

Algebra: mācību grāmata 8. klasei. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; rediģēja S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M.: Izglītība, 2008. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovičs A.G. Algebra. 8. klase. 2 stundās.1.daļa.Mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovičs. - 11. izd., dzēsts. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Algebra: 9. klase: izglītojoša. vispārējai izglītībai iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; rediģēja S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M.: Izglītība, 2009. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-021134-5.