삼각법 공식 해결 방법. 삼각 방정식 - 공식, 솔루션, 예제

귀하의 개인 정보는 우리에게 중요합니다. 이러한 이유로 당사는 귀하의 정보를 사용하고 저장하는 방법을 설명하는 개인 정보 보호 정책을 개발했습니다. 개인 정보 보호 정책을 읽고 질문이 있으면 알려주십시오.

개인정보 수집 및 이용

개인정보란 특정인을 식별하거나 연락할 수 있는 정보를 말합니다.

당사에 연락할 때 언제든지 개인 정보를 제공하라는 요청을 받을 수 있습니다.

다음은 당사가 수집할 수 있는 개인 정보의 유형과 이러한 정보를 사용하는 방법에 대한 몇 가지 예입니다.

수집하는 개인 정보:

  • 귀하가 사이트에서 지원서를 제출할 때 귀하의 이름, 전화번호, 이메일 주소 등을 포함한 다양한 정보를 수집할 수 있습니다.

귀하의 개인 정보를 사용하는 방법:

  • 수집한 개인 정보를 통해 귀하에게 연락하고 고유한 제안, 판촉 및 기타 이벤트와 예정된 이벤트에 대해 알릴 수 있습니다.
  • 때때로 당사는 귀하의 개인 정보를 사용하여 귀하에게 중요한 통지 및 커뮤니케이션을 보낼 수 있습니다.
  • 또한 당사는 당사가 제공하는 서비스를 개선하고 당사 서비스에 대한 권장 사항을 제공하기 위해 감사, 데이터 분석 및 다양한 연구 수행과 같은 내부 목적으로 개인 정보를 사용할 수 있습니다.
  • 귀하가 경품 추첨, 콘테스트 또는 유사한 인센티브를 제공하는 경우 당사는 이러한 프로그램을 관리하기 위해 귀하가 제공한 정보를 사용할 수 있습니다.

제3자에 대한 공개

당사는 귀하로부터 받은 정보를 제3자에게 공개하지 않습니다.

예외:

  • 필요한 경우 - 법률, 사법 명령, 법적 절차 및/또는 공개 요청 또는 러시아 영토에 있는 국가 기관의 요청에 따라 - 귀하의 개인 정보를 공개하십시오. 또한 보안, 법 집행 또는 기타 공익 목적을 위해 그러한 공개가 필요하거나 적절하다고 판단되는 경우 귀하에 대한 정보를 공개할 수 있습니다.
  • 개편, 합병 또는 매각의 경우 수집한 개인 정보를 관련 제3자 승계인에게 이전할 수 있습니다.

개인정보 보호

당사는 귀하의 개인 정보를 분실, 도난, 오용은 물론 무단 액세스, 공개, 변경 및 파괴로부터 보호하기 위해 관리적, 기술적 및 물리적 예방 조치를 취합니다.

회사 수준에서 개인정보 보호 유지

귀하의 개인 정보를 안전하게 보호하기 위해 당사는 직원에게 개인 정보 보호 및 보안 관행을 알리고 개인 정보 보호 관행을 엄격하게 시행합니다.

문제에 대한 자세한 솔루션을 주문할 수 있습니다 !!!

삼각 함수 (`sin x, cos x, tg x` 또는 `ctg x`)의 부호 아래 미지수를 포함하는 평등을 삼각 방정식이라고 하며 공식을 더 고려할 것입니다.

가장 간단한 방정식은 `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`입니다. 여기서 `x`는 찾을 각도이고 `a`는 임의의 숫자입니다. 각각의 루트 공식을 작성해 봅시다.

1. 방정식 `sin x=a`.

`|a|>1`의 경우 솔루션이 없습니다.

`|a| \leq 1`은 무한한 수의 해를 가집니다.

루트 공식: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. 방정식 `cos x=a`

`|a|>1`의 경우 - 사인의 경우와 같이 실수 사이에는 해가 없습니다.

`|a| \leq 1`은 무한한 수의 해를 가집니다.

루트 공식: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

그래프의 사인 및 코사인에 대한 특수한 경우.

3. 방정식 `tg x=a`

'a'의 모든 값에 대해 무한한 수의 솔루션이 있습니다.

루트 공식: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. 방정식 `ctg x=a`

또한 'a'의 모든 값에 대해 무한한 수의 솔루션이 있습니다.

루트 공식: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

표의 삼각 방정식의 근 공식

부비동:
코사인의 경우:
탄젠트 및 코탄젠트의 경우:
역삼각 함수를 포함하는 방정식을 풀기 위한 공식:

삼각 방정식을 푸는 방법

모든 삼각 방정식의 솔루션은 두 단계로 구성됩니다.

  • 가장 간단한 것으로 변환하는 데 사용;
  • 근과 표에 대해 위의 공식을 사용하여 결과로 나온 간단한 방정식을 풉니다.

예제를 사용하여 솔루션의 주요 방법을 고려해 봅시다.

대수적 방법.

이 방법에서는 변수의 대체 및 동등성으로의 대체가 수행됩니다.

예. 방정식 풀기: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

바꾸기: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, 그러면 `2y^2-3y+1=0`,

우리는 근을 찾습니다: `y_1=1, y_2=1/2`, 이로부터 두 가지 경우가 뒤따릅니다:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

답: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

채권 차압 통고.

예. 다음 방정식을 풉니다: `sin x+cos x=1`.

해결책. 등식의 모든 항을 왼쪽으로 이동: `sin x+cos x-1=0`. 를 사용하여 왼쪽을 변환하고 분해합니다.

`죄 x - 2죄^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

  1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
  2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

답: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

균질 방정식으로 축소

먼저 이 삼각 방정식을 다음 두 가지 형식 중 하나로 가져와야 합니다.

'a sin x+b cos x=0'(1차 동차 방정식) 또는 'a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0'(2차 동차 방정식).

그런 다음 두 부분을 첫 번째 경우에는 `cos x \ne 0`으로, 두 번째 경우에는 `cos^2 x \ne 0`으로 나눕니다. 우리는 `tg x`에 대한 방정식을 얻습니다: `a tg x+b=0` 및 `a tg^2 x + b tg x +c =0`, 이는 알려진 방법을 사용하여 풀어야 합니다.

예. 방정식을 풉니다: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

해결책. 우변을 `1=sin^2 x+cos^2 x`로 작성해 봅시다:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

이것은 2차 균질 삼각법 방정식으로 왼쪽과 오른쪽을 `cos^2 x \ne 0`으로 나누면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. 결과적으로 `t^2 + t - 2=0`이 되는 대체 `tg x=t`를 소개하겠습니다. 이 방정식의 근은 `t_1=-2` 및 `t_2=1`입니다. 그 다음에:

  1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
  2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

답변. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

하프 코너로 이동

예. 방정식을 풉니다: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

해결책. 이중 각도 공식을 적용하면 결과는 다음과 같습니다: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

위에서 설명한 대수적 방법을 적용하면 다음을 얻을 수 있습니다.

  1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
  2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

답변. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

보조 각도 도입

삼각 방정식 'a sin x + b cos x =c'(여기서 a,b,c는 계수이고 x는 변수임)에서 두 부분을 모두 'sqrt(a^2+b^2)'로 나눕니다.

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

왼쪽의 계수는 사인과 코사인의 속성을 가집니다. 즉, 제곱의 합은 1이고 모듈러스는 1보다 크지 않습니다. 다음과 같이 표시합니다. `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= 씨`, 다음:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

다음 예를 자세히 살펴보겠습니다.

예. 방정식을 풉니다: `3 sin x+4 cos x=2`.

해결책. 방정식의 양쪽을 `sqrt (3^2+4^2)`로 나누면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

'3/5 죄 x+4/5 cos x=2/5'.

`3/5 = cos \varphi`, `4/5=sin \varphi`를 나타냅니다. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`이므로 `\varphi=arcsin 4/5`를 보조각으로 합니다. 그런 다음 평등을 다음 형식으로 작성합니다.

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

사인에 대한 각도의 합에 대한 공식을 적용하여 다음 형식으로 평등을 작성합니다.

`죄(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

답변. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

분수 합리 삼각 방정식

이들은 삼각 함수가있는 분자와 분모에서 분수와의 평등입니다.

예. 방정식을 푸십시오. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

해결책. 방정식의 우변을 `(1+cos x)`로 곱하고 나눕니다. 결과적으로 다음을 얻습니다.

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=`\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin^2 x)(1+cos x)=`\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

분모가 0이 될 수 없다는 점을 감안하면 `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`가 됩니다.

분수의 분자를 0과 같게 합니다: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. 그런 다음 `sin x=0` 또는 `1-sin x=0`.

  1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
  2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`가 주어지면 해는 `x=2\pi n, n \in Z` 및 `x=\pi /2+2\pi n`입니다. , `n \in Z`.

답변. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

삼각법, 특히 삼각법 방정식은 기하학, 물리학 및 공학의 거의 모든 영역에서 사용됩니다. 연구는 10 학년에 시작되며 항상 시험 과제가 있으므로 삼각 방정식의 모든 공식을 기억하십시오. 확실히 도움이 될 것입니다!

그러나 그것들을 외울 필요조차 없습니다. 가장 중요한 것은 본질을 이해하고 추론할 수 있는 것입니다. 보이는 것만 큼 어렵지 않습니다. 영상을 통해 직접 확인하세요.

많은 것을 풀 때 수학 문제, 특히 10학년 이전에 발생하는 경우에는 목표에 도달하기 위해 수행되는 작업의 순서가 명확하게 정의됩니다. 이러한 문제에는 예를 들어 선형 및 2차 방정식, 선형 및 2차 부등식, 분수 방정식및 이차 방정식으로 축소되는 방정식. 언급 된 각 작업의 성공적인 솔루션 원칙은 다음과 같습니다. 해결중인 문제가 어떤 유형에 속하는지 확인하고 원하는 결과로 이어질 필요한 일련의 작업을 기억해야합니다. 대답하고 다음 단계를 따르십시오.

분명히 특정 문제 해결의 성공 또는 실패는 주로 해결되는 방정식의 유형이 얼마나 정확하게 결정되는지, 솔루션의 모든 단계 순서가 얼마나 정확하게 재현되는지에 달려 있습니다. 물론 이 경우 동일한 변환과 계산을 수행할 수 있는 기술이 필요합니다.

와 다른 상황이 발생합니다. 삼각 방정식.방정식이 삼각법이라는 사실을 확립하는 것은 어렵지 않습니다. 정답으로 이어지는 일련의 작업을 결정할 때 어려움이 발생합니다.

방정식의 모양으로 유형을 결정하기 어려운 경우가 있습니다. 그리고 방정식의 유형을 모르면 수십 개의 삼각법 공식 중에서 올바른 것을 선택하는 것이 거의 불가능합니다.

삼각법 방정식을 풀려면 다음을 시도해야 합니다.

1. 방정식에 포함된 모든 함수를 "동일한 각도"로 가져옵니다.
2. 방정식을 "동일한 기능"으로 가져옵니다.
3. 등식의 좌변을 인수분해합니다.

고려하다 삼각 방정식을 푸는 기본 방법.

I. 가장 간단한 삼각법 방정식으로 축소

솔루션 체계

1 단계.알려진 구성 요소로 삼각 함수를 표현합니다.

2 단계수식을 사용하여 함수 인수 찾기:

cos x = a; x = ±arcos a + 2πn, n ЄZ.

죄 x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

3단계알 수 없는 변수를 찾습니다.

예.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

해결책.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

정답: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. 변수 대체

솔루션 체계

1 단계.삼각 함수 중 하나와 관련하여 방정식을 대수 형식으로 가져옵니다.

2 단계결과 함수를 변수 t로 표시합니다(필요한 경우 t에 대한 제한 사항 도입).

3단계결과 대수 방정식을 쓰고 풉니다.

4단계역대체를 합니다.

5단계가장 간단한 삼각 방정식을 풉니다.

예.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

해결책.

1) 2(1 - sin 2(x/2)) - 5sin(x/2) - 5 = 0;

2사인 2(x/2) + 5사인(x/2) + 3 = 0.

2) sin (x/2) = t라고 하자. 여기서 |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 또는 e = -3/2는 |t| 조건을 만족하지 않습니다. ≤ 1.

4) 죄 (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

답: x = π + 4πn, n Є Z.

III. 방정식 차수 축소 방법

솔루션 체계

1 단계.전력 감소 공식을 사용하여 이 방정식을 선형 방정식으로 바꿉니다.

죄 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2x = 1/2(1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

2 단계방법 I 및 II를 사용하여 결과 방정식을 풉니다.

예.

cos2x + cos2x = 5/4.

해결책.

1) 코사인 2x + 1/2(1 + 코사인 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

답: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. 균질 방정식

솔루션 체계

1 단계.이 방정식을 형식으로 가져옵니다.

a) a sin x + b cos x = 0 (1차 동차 방정식)

또는 보기에

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (2도 동차 방정식).

2 단계방정식의 양변을 다음으로 나눕니다.

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

tg x에 대한 방정식을 얻습니다.

a) tg x + b = 0;

b) tg 2 x + b arctg x + c = 0.

3단계알려진 방법을 사용하여 방정식을 풉니다.

예.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

해결책.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

죄 2 x + 3죄 x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) tg x = t라고 하면

티 2 + 3티 - 4 = 0;

t = 1 또는 t = -4이므로

tg x = 1 또는 tg x = -4.

첫 번째 방정식에서 x = π/4 + πn, n Є Z; 두 번째 방정식에서 x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

답: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. 삼각법 공식을 사용하여 방정식을 변환하는 방법

솔루션 체계

1 단계.모든 종류의 삼각법 공식을 사용하여 이 방정식을 방법 I, II, III, IV로 풀 수 있는 방정식으로 만듭니다.

2 단계알려진 방법을 사용하여 결과 방정식을 풉니다.

예.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

해결책.

1) (죄 x + 죄 3x) + 죄 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) 죄 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 또는 2cos x + 1 = 0;

첫 번째 방정식에서 2x = π/2 + πn, n Є Z; 두 번째 방정식 cos x = -1/2에서.

x = π/4 + πn/2, n Є Z가 있습니다. 두 번째 방정식에서 x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

결과적으로 x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

답변 : x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

삼각 방정식을 푸는 능력과 기술은 매우 중요한 점은 그들의 발전에는 학생과 교사 모두 상당한 노력이 필요하다는 것입니다.

입체법, 물리학 등의 많은 문제들이 삼각방정식의 풀이와 연관되어 있으며, 그러한 문제들을 푸는 과정은 말하자면 삼각법의 요소들을 공부하면서 습득한 많은 지식과 기술들을 담고 있습니다.

삼각 방정식은 일반적으로 수학과 성격 개발을 가르치는 과정에서 중요한 위치를 차지합니다.

질문있으세요? 삼각 방정식을 푸는 방법을 모르십니까?
튜터의 도움을 받으려면 - 등록하십시오.
첫 수업은 무료!

사이트, 자료의 전체 또는 부분 복사와 함께 소스에 대한 링크가 필요합니다.

과학으로서의 삼각법은 고대 동양에서 시작되었습니다. 첫 번째 삼각법 비율은 정확한 달력을 만들고 별을 기준으로 방향을 지정하기 위해 천문학자들이 개발했습니다. 이러한 계산은 구형 삼각법과 관련이 있는 반면 학교 과정평평한 삼각형의 변과 각도의 비율을 연구하십시오.

삼각법은 삼각 함수의 속성과 삼각형의 변과 각도 사이의 관계를 다루는 수학의 한 분야입니다.

서기 1000년 문화와 과학의 전성기에 지식은 고대 동양에서 그리스로 퍼졌습니다. 그러나 삼각법의 주요 발견은 아랍 칼리프의 장점입니다. 특히 투르크멘 과학자 al-Marazvi는 탄젠트 및 코탄젠트와 같은 기능을 도입하고 사인, 탄젠트 및 코탄젠트에 대한 첫 번째 값 테이블을 작성했습니다. 사인과 코사인의 개념은 인도 과학자들에 의해 소개되었습니다. Euclid, Archimedes 및 Eratosthenes와 같은 고대의 위대한 인물의 작품에서 삼각법에 많은 관심을 기울입니다.

삼각법의 기본 수량

수치 인수의 기본 삼각 함수는 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트입니다. 그들 각각은 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트와 같은 자체 그래프를 가지고 있습니다.

이러한 양의 값을 계산하는 공식은 피타고라스의 정리를 기반으로 합니다. 이등변 직각 삼각형의 예에서 증명이 제공되기 때문에 "모든 방향에서 동일한 피타고라스 바지"라는 공식에서 학생들에게 더 잘 알려져 있습니다.

사인, 코사인 및 기타 종속성은 예각과 직각 삼각형의 변 사이의 관계를 설정합니다. 각도 A에 대한 이러한 양을 계산하기 위한 공식을 제공하고 삼각 함수의 관계를 추적합니다.

보시다시피 tg와 ctg는 역함수입니다. 다리 a를 sin A와 빗변 c의 곱으로 나타내고 다리 b를 cos A * c로 나타내면 탄젠트와 코탄젠트에 대해 다음 공식을 얻습니다.

삼각법 원

그래픽으로 언급된 양의 비율은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

이 경우 원은 각도 α의 가능한 모든 값(0°에서 360°까지)을 나타냅니다. 그림에서 알 수 있듯이 각 함수는 각도에 따라 음수 또는 양수 값을 취합니다. 예를 들어 sin α는 α가 원의 I 및 II 분기에 속하는 경우, 즉 0°에서 180° 범위에 있는 경우 "+" 기호가 됩니다. α가 180°에서 360°(III 및 IV 분기)인 경우 sin α는 음수 값만 될 수 있습니다.

특정 각도에 대한 삼각법 표를 작성하고 수량의 의미를 알아 봅시다.

30°, 45°, 60°, 90°, 180° 등과 같은 α 값을 특수한 경우라고 합니다. 그들에 대한 삼각 함수의 값이 계산되어 특수 테이블 형식으로 표시됩니다.

이 각도는 우연히 선택되지 않았습니다. 표에서 π는 라디안을 나타냅니다. Rad는 원호의 길이가 반지름에 해당하는 각도입니다. 이 값은 보편적인 관계를 설정하기 위해 도입되었으며, 라디안으로 계산할 때 실제 반지름 길이(cm)는 중요하지 않습니다.

삼각 함수에 대한 표의 각도는 라디안 값에 해당합니다.

따라서 2π가 완전한 원 또는 360°라고 추측하는 것은 어렵지 않습니다.

삼각 함수의 속성: 사인 및 코사인

사인과 코사인, 탄젠트와 코탄젠트의 기본 속성을 고려하고 비교하려면 함수를 그릴 필요가 있습니다. 이는 2차원 좌표계에 위치한 곡선의 형태로 수행할 수 있습니다.

사인파와 코사인파의 특성 비교표를 고려하십시오.

정현파코사인파
y = 죄 xy = 코사인 x
ODZ [-1; 1]ODZ [-1; 1]
x = πk에 대해 sin x = 0, 여기서 k ϵ Zcos x = 0, x = π/2 + πk, 여기서 k ϵ Z
sin x = 1, x = π/2 + 2πk, 여기서 k ϵ Zcos x = 1, x = 2πk인 경우 k ϵ Z
sin x = - 1, at x = 3π/2 + 2πk, 여기서 k ϵ Zcos x = - 1, x = π + 2πk, 여기서 k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, 즉 홀수 ​​함수cos (-x) = cos x, 즉 함수는 짝수입니다.
함수는 주기적이며 가장 작은 주기는 2π입니다.
sin x › 0, x는 분기 I 및 II에 속하거나 0°에서 180°까지(2πk, π + 2πk)cos x › 0, x는 분기 I 및 IV 또는 270° ~ 90°(- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)에 속합니다.
sin x ≤ 0, 여기서 x는 사분면 III 및 IV 또는 180°에서 360°(π + 2πk, 2π + 2πk)에 속합니다.cos x ≤ 0, 여기서 x는 사분면 II 및 III 또는 90°에서 270°(π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)에 속합니다.
간격 [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]에서 증가간격 [-π + 2πk, 2πk]에서 증가
[ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] 구간에서 감소합니다.간격 감소
미분 (sin x)' = cos x미분 (cos x)' = - sin x

함수가 짝수인지 여부를 결정하는 것은 매우 간단합니다. 삼각법 양의 표시가 있는 삼각법 원을 상상하고 OX 축을 기준으로 그래프를 정신적으로 "접는" 것으로 충분합니다. 부호가 같으면 짝수 함수이고, 그렇지 않으면 홀수 함수입니다.

라디안을 도입하고 정현파와 코사인파의 주요 속성을 열거하면 다음과 같은 패턴을 얻을 수 있습니다.

수식의 정확성을 확인하는 것은 매우 쉽습니다. 예를 들어, x = π/2의 경우 사인은 x = 0의 코사인과 마찬가지로 1입니다. 표를 보거나 주어진 값에 대한 함수 곡선을 추적하여 확인할 수 있습니다.

탄젠토이드 및 코탄젠토이드의 특성

탄젠트 및 코탄젠트 함수의 그래프는 정현파 및 코사인파와 크게 다릅니다. 값 tg와 ctg는 서로 반대입니다.

  1. Y = tgx.
  2. 접선은 x = π/2 + πk에서 y의 값으로 경향이 있지만 절대 도달하지 않습니다.
  3. 탄젠토이드의 가장 작은 양의 주기는 π입니다.
  4. Tg (- x) \u003d - tg x, 즉 함수가 홀수입니다.
  5. x = πk인 경우 Tg x = 0입니다.
  6. 기능이 증가하고 있습니다.
  7. Tg x › 0, x ϵ(πk, π/2 + πk)에 대해.
  8. Tg x ‹ 0, x ϵ(— π/2 + πk, πk)에 대해.
  9. 미분 (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

텍스트 아래에 있는 코탄젠토이드의 그래픽 표현을 고려하십시오.

코탄젠토이드의 주요 특성:

  1. Y = ctgx.
  2. 사인 및 코사인 함수와 달리 탄젠트에서 Y는 모든 실수 집합의 값을 취할 수 있습니다.
  3. 코탄젠토이드는 x = πk에서 y의 값이 되는 경향이 있지만 절대 도달하지 않습니다.
  4. 코탄젠토이드의 가장 작은 양의 주기는 π입니다.
  5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, 즉 함수가 홀수입니다.
  6. Ctg x = 0, x = π/2 + πk입니다.
  7. 기능이 감소하고 있습니다.
  8. Ctg x › 0, x ϵ(πk, π/2 + πk)에 대해.
  9. Ctg x ‹ 0, x ϵ(π/2 + πk, πk)에 대해.
  10. 미분(ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x 수정

삼각 방정식을 푸는 개념.

  • 삼각 방정식을 풀려면 하나 이상의 기본 삼각 방정식으로 변환하십시오. 삼각법 방정식을 푸는 것은 궁극적으로 네 가지 기본 삼각법 방정식을 푸는 것으로 귀결됩니다.

  • 기본 삼각 방정식의 솔루션입니다.

    • 기본 삼각 방정식에는 4가지 유형이 있습니다.
    • 죄 x = a; 코사인 x = 에이
    • tan x = a; ctg x = 에이
    • 기본 삼각법 방정식을 풀려면 단위원의 다양한 x 위치를 살펴보고 환산표(또는 계산기)를 사용해야 합니다.
    • 예 1. sin x = 0.866. 환산표(또는 계산기)를 사용하여 답을 얻습니다. x = π/3. 단위원은 또 다른 답을 제공합니다: 2π/3. 기억하세요: 모든 삼각 함수는 주기적입니다. 즉, 해당 값이 반복됩니다. 예를 들어 sin x와 cos x의 주기성은 2πn이고 tg x와 ctg x의 주기성은 πn입니다. 따라서 답은 다음과 같이 작성됩니다.
    • x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
    • 예 2 cos x = -1/2. 환산표(또는 계산기)를 사용하여 답을 얻습니다: x = 2π/3. 단위원은 또 다른 답을 제공합니다: -2π/3.
    • x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
    • 예 3. tg(x - π/4) = 0.
    • 답: x \u003d π / 4 + πn.
    • 예 4. ctg 2x = 1.732.
    • 답: x \u003d π / 12 + πn.

  • 삼각 방정식을 푸는 데 사용되는 변환입니다.

    • 삼각법 방정식을 변환하기 위해 대수적 변환(인수소화, 동차 항의 축소 등) 및 삼각법 항등식이 사용됩니다.
    • 예 5. 삼각 항등식을 사용하여 방정식 sin x + sin 2x + sin 3x = 0은 방정식 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0으로 변환됩니다. 따라서 다음 기본 삼각 방정식은 풀 필요: cos x = 0; 죄(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

    • 함수의 알려진 값에서 각도 찾기.

      • 삼각 방정식을 푸는 방법을 배우기 전에 알려진 함수 값에서 각도를 찾는 방법을 배워야 합니다. 이는 환산표나 계산기를 사용하여 수행할 수 있습니다.
      • 예: cos x = 0.732. 계산기는 x = 42.95도라고 답할 것입니다. 단위 원은 추가 각도를 제공하며 코사인도 0.732입니다.

    • 단위 원에 솔루션을 따로 둡니다.

      • 단위원에 삼각방정식의 해를 넣을 수 있습니다. 단위원에 대한 삼각방정식의 해는 정다각형의 꼭지점이다.
      • 예: 단위원의 해 x = π/3 + πn/2는 정사각형의 정점입니다.
      • 예: 단위원의 해 x = π/4 + πn/3은 정육각형의 정점입니다.

    • 삼각 방정식을 푸는 방법.

      • 주어진 삼각 방정식에 삼각 함수가 하나만 포함되어 있으면 이 방정식을 기본 삼각 방정식으로 푸십시오. 주어진 방정식에 둘 이상의 삼각 함수가 포함된 경우 이러한 방정식을 푸는 방법에는 두 가지가 있습니다(변환 가능성에 따라 다름).
        • 방법 1
      • 이 방정식을 f(x)*g(x)*h(x) = 0 형식의 방정식으로 변환합니다. 여기서 f(x), g(x), h(x)는 기본 삼각 방정식입니다.
      • 예 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
      • 해결책. 이중 각도 공식 sin 2x = 2*sin x*cos x를 사용하여 sin 2x를 바꿉니다.
      • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. 이제 cos x = 0 및 (sin x + 1) = 0의 두 가지 기본 삼각 방정식을 풉니다.
      • 예 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
      • 해결 방법: 삼각 항등식을 사용하여 이 방정식을 cos 2x(2cos x + 1) = 0 형식의 방정식으로 변환합니다. 이제 cos 2x = 0 및 (2cos x + 1) = 0의 두 가지 기본 삼각 방정식을 풉니다.
      • 예 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
      • 해결 방법: 삼각 항등식을 사용하여 이 방정식을 -cos 2x*(2sin x + 1) = 0 형식의 방정식으로 변환합니다. 이제 cos 2x = 0 및 (2sin x + 1) = 0의 두 가지 기본 삼각 방정식을 풉니다.
        • 방법 2
      • 주어진 삼각함수 방정식을 하나의 삼각함수만 포함하는 방정식으로 변환합니다. 그런 다음 이 삼각 함수를 미지의 함수로 바꿉니다.
      • 예 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
      • 해결책. 이 방정식에서 (항등식에 따라) (cos^2 x)를 (1 - sin^2 x)로 바꿉니다. 변환된 방정식은 다음과 같습니다.
      • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x를 t로 바꿉니다. 이제 방정식은 다음과 같습니다. 5t^2 - 4t - 9 = 0. 이것은 2개의 근이 있는 이차 방정식입니다: t1 = -1 및 t2 = 9/5. 두 번째 루트 t2는 함수(-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
      • 예 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
      • 해결책. tg x를 t로 바꿉니다. 원래 방정식을 다음과 같이 다시 작성합니다. (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. 이제 t를 찾은 다음 t = tg x에 대해 x를 찾습니다.