방정식에 의해 주어진 평면의 선을 결정하십시오. 직선 방정식, 평면 위의 직선 방정식의 종류
공식 (방정식)에 의해 주어진 기능을 고려하십시오
이 함수와 방정식(11)은 평면에서 이 함수의 그래프인 잘 정의된 선에 해당합니다(그림 20 참조). 함수 그래프의 정의에 따르면 이 선은 좌표가 식 (11)을 충족하는 평면의 점과 그 점들로만 구성됩니다.
지금 하자
이 함수의 그래프인 선은 좌표가 식 (12)를 만족하는 평면의 점들과 그 점들로만 구성됩니다. 즉, 점이 지정된 선 위에 있으면 좌표가 식 (12)를 충족합니다. 점이 이 선 위에 있지 않으면 좌표가 방정식 (12)를 충족하지 않습니다.
식 (12)는 y에 대해 해결됩니다. 방정식과 같이 y에 대해 해결되지 않는 x와 y를 포함하는 방정식을 고려하십시오.
평면에서 이 방정식, 즉 좌표의 원점을 중심으로 하고 반지름이 2인 원에 해당하는 선을 보여줍시다. 방정식을 다음 형식으로 다시 작성해 보겠습니다.
왼쪽은 원점에서 점까지의 거리의 제곱입니다(§ 2, 항목 2, 공식 3 참조). 등식(14)에서 이 거리의 제곱은 4입니다.
이것은 좌표가 방정식 (14), 따라서 방정식 (13)을 만족하는 점은 원점에서 2의 거리에 위치한다는 것을 의미합니다.
이러한 점의 궤적은 원점과 반지름 2를 중심으로 하는 원입니다. 이 원은 식 (13)에 해당하는 선이 됩니다. 점의 좌표는 분명히 방정식 (13)을 충족합니다. 점이 우리가 찾은 원 위에 있지 않으면 원점으로부터의 거리의 제곱은 4보다 크거나 작습니다. 이는 그러한 점의 좌표가 방정식 (13)을 충족하지 않는다는 것을 의미합니다.
이제 일반적인 경우에 방정식이 주어졌을 때
왼쪽에는 x와 y를 포함하는 표현식이 있습니다.
정의. 식 (15)에 의해 정의된 선은 좌표가 이 식을 만족하는 평면의 점들의 궤적이다.
즉, 선 L이 방정식에 의해 결정되면 L의 임의의 점의 좌표는 이 방정식을 만족하고 L 외부에 있는 평면의 임의의 점의 좌표는 방정식 (15)를 만족하지 않습니다.
방정식 (15)는 선 방정식이라고합니다
논평. 어떤 방정식이 어떤 선을 정의한다고 생각해서는 안 됩니다. 예를 들어, 방정식은 선을 정의하지 않습니다. 실제로 및 y의 실제 값에 대해 이 방정식의 왼쪽은 양수이고 오른쪽은 0이므로 이 방정식은 평면의 어떤 점의 좌표도 만족할 수 없습니다
직선은 직교 좌표를 포함하는 방정식뿐만 아니라 극좌표의 방정식으로도 평면에 정의할 수 있습니다. 극좌표 방정식에 의해 정의된 선은 극좌표가 이 방정식을 만족하는 평면의 점의 궤적입니다.
예 1. 에서 아르키메데스 나선을 구성하십시오.
해결책. 극 각도의 일부 값과 극 반지름의 해당 값에 대한 표를 만들어 보겠습니다.
우리는 극좌표계에 분명히 극점과 일치하는 점을 만듭니다. 그런 다음 극축에 대해 비스듬히 축을 그리면 이 축에 양의 좌표가 있는 점을 구성합니다. 30)에는 표시되어 있지 않습니다.
알려진 바와 같이 평면의 모든 점은 일부 좌표계의 두 좌표에 의해 결정됩니다. 좌표계는 기준과 원점의 선택에 따라 다를 수 있습니다.
정의: 선의 방정식은 이 선을 구성하는 점의 좌표 간의 관계 y = f(x)입니다.
선 방정식은 매개변수 방식으로 표현될 수 있습니다. 즉, 각 점의 각 좌표는 일부 독립적인 매개변수를 통해 표현됩니다. 티. 대표적인 예가 이동점의 궤적입니다. 이 경우 시간이 매개변수 역할을 합니다.
다른 유형의 직선 방정식
직선의 일반 방정식.
평면의 모든 선은 1차 방정식으로 주어질 수 있습니다.
아 + 우 + C = 0,
또한 상수 A, B는 동시에 0과 같지 않습니다. A 2 + B 2 ¹ 0. 이 1계 방정식을 직선의 일반 방정식이라고 합니다. .
가치에 따라 상수 A, B및 C, 다음과 같은 특별한 경우가 가능합니다.
C \u003d 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - 선이 원점을 통과합니다.
A \u003d 0, B ¹ 0, C ¹ 0 ( + C \u003d 0 기준) - 선은 Ox 축과 평행합니다.
B \u003d 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C \u003d 0) - 선은 Oy 축과 평행합니다.
B \u003d C \u003d 0, A ¹ 0 - 직선이 Oy 축과 일치합니다.
A \u003d C \u003d 0, B ¹ 0 - 직선이 Ox 축과 일치합니다.
직선의 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 다양한 형태주어진 초기 조건에 따라.
두 점을 지나는 직선의 방정식.
두 점 M 1 (x 1, y 1, z 1)과 M 2 (x 2, y 2, z 2)가 공간에 주어졌다고 하면, 이 점들을 지나는 직선의 방정식은 다음과 같습니다.
분모 중 하나라도 0이면 해당 분자를 0으로 설정해야 합니다. 평면에서 위에 작성된 직선의 방정식은 다음과 같이 단순화됩니다.
x 1 ¹ x 2 및 x \u003d x 1인 경우 x 1 \u003d x 2인 경우.
분수 = k를 직선의 기울기라고 합니다.
점과 기울기에 의한 직선의 방정식.
직선 Ax + Vy + C = 0의 일반 방정식이 다음과 같은 형식으로 이어진다면:
그리고 표시하면 결과 방정식을 기울기가 k인 직선의 방정식이라고 합니다.
세그먼트의 직선 방정식.
직선 Ah + Vu + С = 0 С ¹ 0의 일반 방정식에서 –С로 나누면 다음을 얻습니다.
계수의 기하학적 의미는 계수가 ㅏ x축과 선이 교차하는 점의 좌표이고, 비- 직선과 Oy 축의 교차점 좌표.
직선의 정규 방정식.
방정식 Ax + Vy + C = 0의 두 부분을 정규화 인자라고 하는 숫자로 나누면 다음을 얻습니다.
xcosj + ysinj - p = 0 –
직선의 정규 방정식.
정규화 계수의 부호 ±는 m × С가 되도록 선택해야 합니다.< 0.
p는 원점에서 직선으로 떨어지는 수직선의 길이이고, j는 Ox축의 양의 방향과 수직선이 이루는 각도입니다.
평면에서 선 사이의 각도입니다.
두 개의 선이 주어지면 y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , 이 선 사이의 예각은 다음과 같이 정의됩니다.
k 1 = k 2 이면 두 선이 평행합니다.
k 1 = -1/k 2 인 경우 두 선은 수직입니다.
정리. 직선 Ax + Vy + C \u003d 0 및 A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0은 계수 A 1 \u003d lA, B 1 \u003d lB가 비례할 때 평행합니다. 또한 C 1 = lC이면 선이 일치합니다.
두 선의 교차점 좌표는 두 방정식 시스템의 솔루션으로 발견됩니다.
점에서 선까지의 거리입니다.
정리. 점 M(x 0, y 0)이 주어지면 Ax + Vy + C \u003d 0 선까지의 거리는 다음과 같이 정의됩니다.
강의 5
분석 소개. 한 변수의 함수에 대한 미분학.
기능 제한
한 지점에서 기능의 한계.
0 a - D a + D x
그림 1. 한 지점에서 함수의 한계.
함수 f(x)가 점 x = a의 일부 이웃에 정의되도록 하십시오(즉, 점 x = a 자체에서 함수가 정의되지 않을 수 있음).
정의. 숫자 A를 x®a에 대한 함수 f(x)의 극한이라고 합니다. e>0에 대해 모든 x에 대해
0 < ïx - aï < D
부등식 ïf(x) - Aï< e.
동일한 정의를 다른 형식으로 작성할 수 있습니다.
만약 a - D< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.
한 지점에서 함수의 극한 쓰기:
정의.
f(x) ® A 1 for x ® a only for x< a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A 2 при х ® а только при x >a, 오른쪽의 x = a 지점에서 함수 f(x)의 극한이라고 합니다.
위의 정의는 함수 f(x)가 점 x = 자체에서 정의되지 않고 이 점의 임의의 작은 이웃에서 정의되는 경우를 나타냅니다.
한계 A 1 및 A 2 라고도 합니다. 일방적인 점 x = a에서 함수 f(x) 외부. A라고 하기도 한다. 기능 제한 f(x).
평면에 선의 방정식.
알려진 바와 같이 평면의 모든 점은 일부 좌표계의 두 좌표에 의해 결정됩니다. 좌표계는 기준과 원점의 선택에 따라 다를 수 있습니다.
정의.선 방정식비율이라고 한다 y=f(x ) 이 선을 구성하는 점의 좌표 사이.
선 방정식은 매개변수 방식으로 표현될 수 있습니다. 즉, 각 점의 각 좌표는 일부 독립적인 매개변수를 통해 표현됩니다.티.
대표적인 예가 이동점의 궤적입니다. 이 경우 시간이 매개변수 역할을 합니다.
평면 위의 직선 방정식.
정의. 평면의 모든 선은 1차 방정식으로 주어질 수 있습니다.
아 + 우 + C = 0,
또한 상수 A, B는 동시에 0과 같지 않습니다. A 2 + B 2¹ 0. 이 1차 방정식은 직선의 일반 방정식.
상수 A, B 및 C의 값에 따라 다음과 같은 특별한 경우가 가능합니다.
C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - 선이 원점을 통과합니다.
A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 ( + C 기준 \u003d 0) - 직선은 Ox 축과 평행합니다.
B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 ( Ax + C = 0) - Oy 축에 평행한 직선
B \u003d C \u003d 0, A ¹ 0 - 선이 Oy 축과 일치합니다.
A = C = 0, B ¹ 0 - 선이 Ox 축과 일치합니다.
직선의 방정식은 주어진 초기 조건에 따라 다양한 형태로 제시될 수 있습니다.
점에서 선까지의 거리입니다.
정리. 점 M(x 0, y 0)이 주어지면 Ax + Vy + C \u003d 0 선까지의 거리는 다음과 같이 정의됩니다.
.
증거. 점 M 1 (x 1, y 1)을 점 M에서 주어진 선으로 떨어뜨린 수직선의 밑이라고 하자. 그런 다음 점 M과 M 1 사이의 거리:
(1)
좌표 x 1 y 1은 연립방정식의 해로 찾을 수 있습니다.
시스템의 두 번째 방정식은 주어진 직선에 수직인 주어진 점 M 0 을 지나는 직선의 방정식입니다.
시스템의 첫 번째 방정식을 다음 형식으로 변환하면
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
그런 다음 해결, 우리는:
이러한 식을 방정식 (1)에 대입하면 다음을 찾을 수 있습니다.
.
정리가 증명되었습니다.
예시.선 사이의 각도를 결정합니다. y=-3x+7; y = 2 x + 1.
K 1 \u003d -3; k 2 = 2tg j = ; j = p /4.
예시.선 3x - 5y + 7 = 0 및 10x + 6y - 3 = 0이 수직임을 보여줍니다.
찾기: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1이므로 선은 수직입니다.
예시.삼각형 A(0; 1)의 꼭짓점이 주어지면, B(6;5), C (12; -1). 꼭짓점 C에서 그린 높이에 대한 방정식을 찾으십시오.
지난 글에서는 평면 위의 직선이라는 주제에 대한 요점을 살펴보았습니다. 이제 직선의 방정식에 대해 공부해 봅시다. 어떤 방정식을 직선의 방정식이라고 할 수 있는지, 그리고 평면에서 직선의 방정식을 이루는 것은 무엇인지 고려하십시오.
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평면에서 직선의 방정식의 정의
직사각형 데카르트 좌표계 O x y에 주어진 직선이 있다고 가정해 봅시다.
정의 1
일직선- 이것은 기하 도형, 점으로 구성되어 있습니다. 각 점은 가로 좌표축과 세로 좌표축을 따라 고유한 좌표를 갖습니다. 데카르트 시스템 O x y에서 직선의 각 점 좌표의 의존성을 설명하는 방정식을 평면상의 직선 방정식이라고합니다.
실제로 평면에서 직선의 방정식은 x와 y로 표시되는 두 개의 변수가 있는 방정식입니다. 방정식은 직선의 점 중 하나의 값이 대입될 때 항등식으로 바뀝니다.
평면에서 직선의 방정식이 어떤 형태를 띠는지 봅시다. 이것은 우리 기사의 다음 섹션의 초점이 될 것입니다. 직선의 방정식을 작성하기 위한 몇 가지 옵션이 있습니다. 이것은 평면에 직선을 설정하는 여러 가지 방법과 작업의 다양한 세부 사항으로 설명됩니다.
데카르트 좌표계 O x y 에서 평면 위의 직선 방정식의 형태를 정의하는 정리에 대해 알아봅시다.
정리 1
A x + B y + C = 0 형식의 방정식(여기서 x와 y는 변수이고 A, B 및 C는 A와 B가 0이 아닌 일부 실수)에서 직선을 정의합니다. 데카르트 좌표계 O x y . 차례로, 평면의 모든 직선은 A x + B y + C = 0 형식의 방정식으로 주어질 수 있습니다.
따라서 평면에서 직선의 일반 방정식은 A x + B y + C = 0 형식을 갖습니다.
주제의 몇 가지 중요한 측면을 설명하겠습니다.
실시예 1
사진을 봐.
이 선을 구성하는 모든 점의 좌표가 위의 방정식을 충족하기 때문에 도면의 선은 2 x + 3 y - 2 \u003d 0 형식의 방정식으로 결정됩니다. 동시에 방정식 2 x + 3 y - 2 = 0으로 정의되는 평면의 특정 수의 점은 그림에서 보는 직선을 제공합니다.
직선의 일반 방정식은 완전하거나 불완전할 수 있습니다. 완전한 방정식에서 모든 숫자 A, B 및 C는 0이 아닙니다. 다른 모든 경우에는 방정식이 불완전한 것으로 간주됩니다. A x + B y = 0 형식의 방정식은 원점을 통과하는 직선을 정의합니다. A가 0이면 방정식 A x + B y + C = 0은 x축 O x 에 평행한 직선을 정의합니다. B가 0이면 선은 세로축 O y 에 평행합니다.
결론 : 숫자 A, B 및 C의 특정 값 세트에 대해 직선의 일반 방정식을 사용하여 직교 좌표계 O x y의 평면에 모든 직선을 쓸 수 있습니다.
A x + B y + C = 0 형식의 방정식으로 주어진 선은 좌표가 A , B 인 법선 벡터를 갖습니다.
아래에서 고려할 모든 주어진 선 방정식은 선의 일반 방정식에서 얻을 수 있습니다. 고려한 방정식 중 하나를 직선의 일반 방정식으로 줄일 수 있는 경우 역 과정도 가능합니다.
"직선의 일반 방정식"기사에서 주제의 모든 뉘앙스를 이해할 수 있습니다. 자료에서 우리는 그래픽 일러스트레이션과 예제에 대한 자세한 분석을 통해 정리의 증명을 제공합니다. 직선의 일반 방정식에서 다른 유형의 방정식으로 또는 그 반대로의 전환에 특히주의를 기울입니다.
선분의 직선 방정식은 x a + y b = 1 형식을 갖습니다. 여기서 a와 b는 0이 아닌 실수입니다. 숫자 a와 b의 절대값은 좌표축에서 직선으로 잘린 세그먼트의 길이와 같습니다. 세그먼트의 길이는 좌표의 원점에서 측정됩니다.
방정식 덕분에 도면에 쉽게 직선을 그릴 수 있습니다. 이를 위해서는 직교 좌표계에서 점 a, 0 및 0, b를 표시한 다음 직선으로 연결해야 합니다.
실시예 2
공식 x 3 + y - 5 2 = 1로 주어지는 직선을 만들어 봅시다. 그래프 3 , 0 , 0 , - 5 2 에 두 점을 표시하고 함께 연결합니다.
y = k · x + b 형식을 갖는 이러한 방정식은 대수학 과정에서 우리에게 잘 알려져 있어야 합니다. 여기서 x와 y는 변수이고 k와 b는 실수이며 k는 기울기입니다. 이 방정식에서 변수 y는 인수 x의 함수입니다.
축 O x 의 양의 방향에 대한 직선의 경사각의 정의를 통해 기울기의 정의를 제공합시다.
정의 2
직교 좌표계에서 축 O x의 양의 방향에 대한 직선의 경사각을 나타내기 위해 각도 α의 값을 도입합니다. 각도는 x축의 양의 방향에서 시계 반대 방향의 직선까지 측정됩니다. 선이 O x 축과 평행하거나 일치하는 경우 각도 α는 0으로 간주됩니다.
직선의 기울기는 그 직선의 기울기의 접선입니다. 다음과 같이 작성됩니다. k = t g α . 축 O y에 평행하거나 일치하는 직선의 경우 기울기가 있는 직선의 방정식을 쓸 수 없습니다. 이 경우 기울기가 무한대가 되기 때문입니다(존재하지 않음).
y = k x + b 방정식으로 주어지는 직선은 y축의 점 0, b를 통과합니다. 즉, 기울기가 y \u003d k x + b인 직선의 방정식은 점 0, b를 통과하는 평면에 직선을 설정하고 O x 축의 양의 방향과 각도 α를 형성하고 k \u003d t g α.
실시예 3
y = 3 · x - 1 형식의 방정식으로 정의되는 직선을 그려 보겠습니다.
이 선은 (0 , - 1) 점을 통과해야 합니다. 경사각 α = a rc t g 3 = π 3 은 O x 축의 양의 방향에 대해 60도와 같습니다. 기울기는 3
기울기가 있는 직선의 방정식을 사용하면 한 점에서 함수 그래프에 대한 접선 방정식을 찾는 것이 매우 편리합니다.
주제에 대한 더 많은 자료는 "경사가 있는 선의 방정식" 기사에서 찾을 수 있습니다. 이론 외에도 많은 그래픽 예제와 작업에 대한 자세한 분석이 있습니다.
이 유형의 방정식은 x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y 형식을 갖습니다. 여기서 x 1, y 1, a x, a y는 실수이며, 그 중 a x와 a y는 0이 아닙니다.
직선의 정준 방정식으로 주어진 직선은 점 M 1 (x 1 , y 1) 을 통과합니다. 분수의 분모에서 숫자 a x 및 a y는 직선의 방향 벡터의 좌표입니다. 즉, 직교 좌표계 O xy 에서 직선 x - x 1 a x = y - y 1 a y 의 정준 방정식은 점 M 1 (x 1 , y 1)을 지나고 방향 벡터를 갖는 선에 해당합니다. a → = (a x , a y) .
실시예 4
방정식 x - 2 3 = y - 3 1 로 주어지는 O xy 좌표계에 직선을 그립니다. 점 M 1 (2, 3)은 직선에 속하고, 벡터 a → (3, 1)은 이 직선의 방향 벡터입니다.
x - x 1 a x = y - y 1 a y 형식의 정규 직선 방정식은 a x 또는 a y가 0인 경우에 사용할 수 있습니다. 분모에 0이 있으면 표기법 x - x 1 a x = y - y 1 a y가 조건부로 지정됩니다. 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. a y (x - x 1) = a x (y - y 1) .
a x \u003d 0인 경우 직선의 정준 방정식은 x - x 1 0 \u003d y - y 1 a y 형식을 취하고 세로축과 평행하거나 이 축과 일치하는 직선을 설정합니다.
a y \u003d 0이 제공되는 직선의 표준 방정식은 x - x 1 a x \u003d y - y 1 0 형식을 취합니다. 이러한 방정식은 x축에 평행하거나 일치하는 직선을 정의합니다.
직선의 정준 방정식 주제에 대한 자세한 내용은 여기를 참조하세요. 이 기사에서는 문제에 대한 다양한 솔루션과 주제를 더 잘 마스터할 수 있는 다양한 예를 제공합니다.
평면에 있는 직선의 매개변수 방정식
이 방정식의 형식은 x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ입니다. 여기서 x 1, y 1, a x, a y는 실수이며, 그 중 a x와 a y는 동시에 0과 같을 수 없습니다 시각. 추가 매개변수 λ가 공식에 도입되어 모든 실제 값을 사용할 수 있습니다.
매개변수 방정식의 목적은 직선 점의 좌표 간의 암시적 관계를 설정하는 것입니다. 이를 위해 매개변수 λ가 도입되었습니다.
숫자 x , y는 선 위의 어떤 점의 좌표입니다. 그들은 매개변수 λ의 실제 값에 대한 직선의 매개변수 방정식으로 계산됩니다.
실시예 5
λ = 0 이라고 가정합시다.
그런 다음 x \u003d x 1 + a x 0 y \u003d y 1 + a y 0 ⇔ x \u003d x 1 y \u003d y 1, 즉 좌표가 (x 1, y 1)인 점은 선에 속합니다.
이러한 유형의 방정식에서 매개변수 λ가 있는 계수 a x 및 a y가 직선의 방향 벡터의 좌표라는 사실에 주의를 기울입니다.
실시예 6
x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ 형식의 매개변수 직선 방정식을 고려하십시오. 데카르트 좌표계의 방정식으로 주어진 직선은 (x 1 , y 1) 점을 지나고 방향 벡터 a → = (3 , 1) 을 갖습니다.
자세한 내용은 "평면 위의 직선의 매개변수 방정식" 문서를 참조하십시오.
직선의 정규 방정식은 A x + B y + C = 0 형식을 갖습니다. 여기서 숫자 A, B 및 C는 벡터 n → = (A , B)의 길이가 1과 같습니다. , 그리고 C ≤ 0 .
직교 좌표계 O x y 에서 직선의 법선 방정식으로 주어지는 직선의 법선 벡터는 벡터 n → = (A , B) 입니다. 이 선은 벡터 n → = (A , B) 방향으로 원점에서 거리 C 를 지나갑니다.
직선의 법선 방정식을 작성하는 또 다른 방법은 cos α x + cos β y - p = 0입니다. 여기서 cos α와 cos β는 직선의 단위 길이 법선 벡터의 방향 코사인인 두 개의 실수입니다. 이것은 n → = (cos α , cos β) , 등식 n → = cos 2 α + cos 2 β = 1이 참이고 값 p ≥ 0이고 원점에서 직선까지의 거리와 같습니다.
실시예 7
직선 - 1 2 · x + 3 2 · y - 3 = 0 의 일반 방정식을 고려하십시오. 이 일반 방정식은 n → = A 2 + B 2 = - 1 2 2 + 3 2 = 1 및 C = - 3 ≤ 0이므로 직선의 정규 방정식입니다.
이 방정식은 직교 좌표계 0xy의 직선을 정의하며, 법선 벡터의 좌표는 - 1 2 , 3 2 입니다. 선은 법선 벡터 n → = - 1 2 , 3 2 의 방향으로 3 단위만큼 원점에서 제거됩니다.
우리는 평면 위의 직선의 정규 방정식을 사용하여 평면의 한 점에서 직선까지의 거리를 찾을 수 있다는 사실에 주의를 기울입니다.
선 A x + B y + C \u003d 0의 일반 방정식에서 숫자 A, B 및 C가 방정식 A x + B y + C \u003d 0이 선의 일반 방정식이 아닌 경우 정상적인 형태로 줄일 수 있습니다. 이에 대한 자세한 내용은 "선의 정규 방정식" 문서를 참조하십시오.
텍스트에서 실수를 발견하면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.
형식의 관계를 고려하십시오. F(x, y)=0변수 연결 엑스그리고 ~에. 평등 (1)이 호출됩니다 두 개의 변수 x, y,이 평등이 모든 숫자 쌍에 대해 참이 아닌 경우 엑스그리고 ~에. 방정식 예: 2x + 3y \u003d 0, x 2 + y 2 - 25 \u003d 0,
죄 x + 죄 y - 1 = 0.
모든 숫자 x와 y 쌍에 대해 (1)이 참이면 다음과 같이 호출됩니다. 신원. 신원 예: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 \u003d 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 \u003d 0.
식 (1)이 호출됩니다. 점 집합의 방정식 (x; y),이 방정식이 좌표에 의해 충족되면 엑스그리고 ~에집합의 임의의 점이며 이 집합에 속하지 않는 점의 좌표를 충족하지 않습니다.
해석 기하학에서 중요한 개념은 선 방정식의 개념입니다. 직교 좌표계와 일부 선을 보자 α.
정의.방정식 (1)을 선 방정식이라고합니다. α
(생성된 좌표계에서), 이 방정식이 좌표에 의해 충족되는 경우 엑스그리고 ~에선의 임의의 점 α
, 그리고 이 선에 있지 않은 점의 좌표를 만족하지 않습니다.
(1)이 직선 방정식인 경우 α, 그러면 우리는 방정식 (1)을 말할 것입니다. 결정(세트)선 α.
선 α 형식 (1)의 방정식뿐만 아니라 형식의 방정식에 의해 결정될 수 있습니다.
F(P, φ) = 0, 극좌표를 포함합니다.
- 기울기가 있는 직선의 방정식;
축에 수직이 아닌 직선을 주어라. 오. 전화하자 경사각축에 주어진 선 오모서리 α 축을 회전시키는 방법 오양의 방향이 직선의 방향 중 하나와 일치하도록 합니다. 축에 대한 직선의 경사각의 접선 오~라고 불리는 기울기 계수이 직선은 문자로 표시됩니다. 에게.
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우리는 이 직선의 방정식을 도출합니다. 에게세그먼트의 값 OV, 그녀가 축에서 잘라낸 OU.
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식 (2)는 기울기가 있는 직선의 방정식.만약 K=0, 그러면 선이 축에 평행합니다. 오그리고 그것의 방정식은 y = 나.
- 두 점을 지나는 직선의 방정식;
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. 다음과 같은 경우 방정식입니다. 1년 ≠ 2년, 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 만약 y 1 = y 2, 원하는 직선의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. y = y 1. 이 경우 선은 축과 평행합니다. 오. 만약 x 1 = x 2, 다음 점을 통과하는 선 남 1그리고 남 2, 축에 평행 OU, 그것의 방정식은 x = x 1.
- 주어진 기울기로 주어진 점을 지나는 직선의 방정식;
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역으로 임의의 계수에 대한 식 (5) A, B, C (하지만그리고 나 ≠ 0동시에) 직교 좌표계에서 일부 선을 정의합니다. 오.
증거.
먼저 첫 번째 주장을 증명합시다. 선이 수직이 아닌 경우 오,그런 다음 첫 번째 차수의 방정식에 의해 결정됩니다. y = kx + b, 즉. 식 (5)의 방정식, 여기서
A=k, B=-1그리고 C = 나.선이 수직인 경우 오,그런 다음 모든 점은 값과 동일한 가로 좌표를 갖습니다. α 축에서 직선으로 잘린 부분 오.
이 선의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. x = α,저것들. 또한 형식 (5)의 1차 방정식이며, 여기서 A \u003d 1, B \u003d 0, C \u003d-α.이것은 첫 번째 주장을 증명합니다.
증명하자 반대 진술. 식 (5)가 주어지고 계수 중 적어도 하나가 주어집니다. 하지만그리고 나 ≠ 0.
만약 나 ≠ 0, 그러면 (5)는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 경 사진 
, 우리는 방정식을 얻는다 y = kx + b, 즉. 직선을 정의하는 형식 (2)의 방정식.
만약 B = 0, 그 다음에 A ≠ 0(5) 형식을 취합니다. 를 통해 나타내다 α, 우리는 얻는다
x = α, 즉. 직선 수직 Ox의 방정식.
직교 좌표계에서 1차 방정식으로 정의된 선을 퍼스트 오더 라인.
유형 방정식 아 + 우 + C = 0불완전하다, 즉 계수 중 하나는 0과 같습니다.
1) C = 0; 아 + 우 = 0원점을 지나는 선을 정의합니다.
2) B = 0(A ≠ 0); 방정식 도끼 + C = 0 오.
3) A = 0(B ≠ 0); 우 + C = 0평행선을 정의합니다. 오.
방정식 (6)은 "선분에서"직선의 방정식이라고합니다. 번호 ㅏ그리고 비좌표축에서 직선이 잘라낸 세그먼트의 값입니다. 이 형태의 방정식은 직선의 기하학적 구성에 편리합니다.
- 직선의 정규 방정식;
Аx + Вy + С = 0은 일부 직선의 일반 방정식이며 (5) 엑스코사인 α + y 죄 α – p = 0(7)
그것의 정규 방정식.
방정식 (5)와 (7)은 동일한 직선을 정의하므로 ( A 1x + B 1y + C 1 \u003d 0그리고
A 2x + B 2y + C 2 = 0 => 
) 이 방정식의 계수는 비례합니다. 이것은 방정식 (5)의 모든 항에 어떤 인자 M을 곱함으로써 방정식을 얻는다는 것을 의미합니다 MA x + MB y + MS = 0, 방정식 (7)과 일치 즉
MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)
M 요인을 찾기 위해 이러한 등식 중 처음 두 개를 제곱하고 다음을 추가합니다.
M 2 (A 2 + B 2) \u003d cos 2 α + sin 2 α \u003d 1
(9)