Power ფუნქცია გრაფიკა ყველა სხვადასხვა ძალა. სიმძლავრის ფუნქცია, მისი თვისებები და გრაფიკი სადემონსტრაციო მასალა გაკვეთილი-ლექცია ფუნქციის კონცეფცია

იცნობთ თუ არა მახასიათებლებს y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/xდა ა.შ. ყველა ეს ფუნქცია არის დენის ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევები, ანუ ფუნქცია y=xp, სადაც p არის მოცემული რეალური რიცხვი.
სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები და გრაფიკი არსებითად არის დამოკიდებული რეალური მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრის თვისებებზე და განსაკუთრებით იმ მნიშვნელობებზე, რომელთათვისაც xდა გვმისცე მნიშვნელობა x გვ. მოდით გადავიდეთ სხვადასხვა შემთხვევების მსგავს განხილვაზე, იმის მიხედვით
ექსპონენტი გვ.

1. ინდექსი p=2nლუწი ნატურალური რიცხვია.

y=x2n, სადაც ნარის ნატურალური რიცხვი, აქვს შემდეგი

თვისებები:

• განსაზღვრების დომენი არის ყველა რეალური რიცხვი, ე.ი. სიმრავლე R;
• მნიშვნელობების ნაკრები - არაუარყოფითი რიცხვები, ანუ y მეტია ან ტოლია 0-ზე;
• ფუნქცია y=x2nთუნდაც იმიტომ x 2n=(- x) 2n
• ფუნქცია მცირდება ინტერვალზე x<0 და იზრდება ინტერვალით x>0.

ფუნქციის გრაფიკი y=x2nაქვს იგივე ფორმა, რაც, მაგალითად, ფუნქციის გრაფიკს y=x4.

2. ინდიკატორი p=2n-1- კენტი ნატურალური რიცხვი
ამ შემთხვევაში დენის ფუნქცია y=x 2n-1სადაც არის ნატურალური რიცხვი, აქვს შემდეგი თვისებები:

• განსაზღვრების დომენი - ნაკრები R;
• მნიშვნელობების ნაკრები - ნაკრები R;
• ფუნქცია y=x 2n-1უცნაურია, რადგან (- x) 2n-1=x 2n-1;
• ფუნქცია იზრდება მთელ რეალურ ღერძზე.

ფუნქციის გრაფიკი y=x 2n-1-ს აქვს იგივე ფორმა, როგორც, მაგალითად, ფუნქციის გრაფიკი y=x 3 .

3.ინდიკატორი p=-2n, სადაც n-ბუნებრივი რიცხვი.

ამ შემთხვევაში დენის ფუნქცია y=x -2n=1/x2nაქვს შემდეგი თვისებები:

• განსაზღვრების დომენი - კომპლექტი R, გარდა x=0;
• მნიშვნელობების ნაკრები - დადებითი რიცხვები y>0;
• ფუნქცია y =1/x2nთუნდაც იმიტომ 1/(-x) 2n=1/x2n;
• ფუნქცია იზრდება x ინტერვალზე<0 и убывающей на промежутке x>0.

y ფუნქციის გრაფიკი =1/x2nაქვს იგივე ფორმა, რაც, მაგალითად, y ფუნქციის გრაფიკს =1/x2.

გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: "ძალის ფუნქციები. თვისებები. გრაფიკები"

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, გამოხმაურება, წინადადებები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

სასწავლო საშუალებები და ტრენაჟორები ონლაინ მაღაზია "ინტეგრალში" მე-11 კლასისთვის
ინტერაქტიული სახელმძღვანელო 9-11 კლასებისთვის "ტრიგონომეტრია"
ინტერაქტიული სახელმძღვანელო 10-11 კლასებისთვის "ლოგარითმები"

დენის ფუნქციები, განსაზღვრების დომენი.

ბიჭებო, ბოლო გაკვეთილზე ვისწავლეთ თუ როგორ უნდა ვიმუშაოთ რიცხვებთან რაციონალური მაჩვენებლით. ამ გაკვეთილზე განვიხილავთ ძალის ფუნქციებს და შემოვიფარგლებით იმ შემთხვევით, როდესაც მაჩვენებლის რაციონალურია.
განვიხილავთ ფორმის ფუნქციებს: $y=x^(\frac(m)(n))$.
ჯერ განვიხილოთ ფუნქციები, რომელთა მაჩვენებლებია $\frac(m)(n)>1$.
მოდით, მოგვცეს კონკრეტული ფუნქცია $y=x^2*5$.
ბოლო გაკვეთილზე ჩვენ მიერ მოცემული განმარტების მიხედვით: თუ $x≥0$, მაშინ ჩვენი ფუნქციის დომენი არის $(x)$ სხივი. მოდით სქემატურად გამოვსახოთ ჩვენი ფუნქციის გრაფიკი.

$y=x^(\frac(m)(n))$ ფუნქციის თვისებები, $0 2. არც ლუწია და არც კენტი.
3. იზრდება $$-ით,
ბ) $(2,10)$,
გ) სხივზე $$.
გამოსავალი.
ბიჭებო, გახსოვთ, როგორ ვიპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე მე-10 კლასში?
მართალია, ჩვენ გამოვიყენეთ წარმოებული. მოდით გადავჭრათ ჩვენი მაგალითი და გავიმეოროთ უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობის პოვნის ალგორითმი.
1. იპოვეთ მოცემული ფუნქციის წარმოებული:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. წარმოებული არსებობს ორიგინალური ფუნქციის მთელ დომენზე, მაშინ არ არსებობს კრიტიკული წერტილები. მოდი ვიპოვოთ სტაციონარული წერტილები:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ და $x_2=\sqrt(64)=4$.
მხოლოდ ერთი ამონახსნი $x_2=4$ ეკუთვნის მოცემულ სეგმენტს.
მოდით ავაშენოთ ჩვენი ფუნქციის მნიშვნელობების ცხრილი სეგმენტის ბოლოებში და უკიდურეს წერტილში:
პასუხი: $y_(სახელი)=-862.65$ ერთად $x=9$; $y_(max)=38.4$ for $x=4$.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
გამოსავალი. $y=x^(\frac(4)(3))$ ფუნქციის გრაფიკი იზრდება, ხოლო $y=24-x$ ფუნქციის გრაფიკი მცირდება. ბიჭებო, მე და თქვენ ვიცით: თუ ერთი ფუნქცია იზრდება და მეორე მცირდება, მაშინ ისინი იკვეთებიან მხოლოდ ერთ წერტილში, ანუ ჩვენ გვაქვს მხოლოდ ერთი ამონახსნი.
Შენიშვნა:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
ანუ $х=8$-ისთვის მივიღეთ სწორი ტოლობა $16=16$, ეს არის ჩვენი განტოლების ამონახსნი.
პასუხი: $x=8$.

მაგალითი.
დახაზეთ ფუნქცია: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
გამოსავალი.
ჩვენი ფუნქციის გრაფიკი მიიღება $y=x^(\frac(3)(4))$ ფუნქციის გრაფიკიდან, 3 ერთეულით მარჯვნივ და 2 ერთეულით ზემოთ.

მაგალითი. დაწერეთ $y=x^(-\frac(4)(5))$ წრფის ტანგენსის განტოლება $x=1$.
გამოსავალი. ტანგენტის განტოლება განისაზღვრება ჩვენთვის ცნობილი ფორმულით:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
ჩვენს შემთხვევაში $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
მოდი ვიპოვოთ წარმოებული:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
მოდით გამოვთვალოთ:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
იპოვეთ ტანგენტის განტოლება:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
პასუხი: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის

1. იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა: $y=x^\frac(4)(3)$ სეგმენტზე:
ა) $$.
ბ) $(4,50)$.
გ) სხივზე $$.
3. ამოხსენით განტოლება: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. ფუნქციის გრაფიკის გამოსახვა: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. დაწერეთ $y=x^(-\frac(3)(7))$ წრფის ტანგენსის განტოლება $x=1$.

ლექცია: სიმძლავრის ფუნქცია ბუნებრივი მაჩვენებლით, მისი გრაფიკი

ჩვენ მუდმივად გვაქვს საქმე ფუნქციებთან, რომლებშიც არგუმენტს აქვს გარკვეული ძალა:
y \u003d x 1, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d x -1 და ა.შ.

დენის ფუნქციების გრაფიკები

ასე რომ, ახლა განვიხილავთ დენის ფუნქციის რამდენიმე შესაძლო შემთხვევას.

1) y = x 2 ნ .

ეს ნიშნავს, რომ ახლა განვიხილავთ ფუნქციებს, რომლებშიც მაჩვენებელი ლუწი რიცხვია.

მახასიათებელი თვისება:

1. ყველა რეალური რიცხვი მიიღება დიაპაზონად.

2. ფუნქციას შეუძლია მიიღოს ყველა დადებითი მნიშვნელობა და რიცხვი ნული.

3. ფუნქცია კი იმიტომ არის, რომ ის არ არის დამოკიდებული არგუმენტის ნიშანზე, არამედ მხოლოდ მის მოდულზე.

4. დადებითი არგუმენტისთვის ფუნქცია იზრდება, ხოლო უარყოფითი არგუმენტისთვის ის მცირდება.

ამ ფუნქციების გრაფიკები პარაბოლას ჰგავს. მაგალითად, ქვემოთ მოცემულია y \u003d x 4 ფუნქციის გრაფიკი.

2) ფუნქციას აქვს უცნაური მაჩვენებელი: y \u003d x 2 n +1.

1. ფუნქციის დომენი არის რეალური რიცხვების მთელი ნაკრები.

2. ფუნქციის დიაპაზონი - შეიძლება მიიღოს ნებისმიერი რეალური რიცხვის ფორმა.

3. ეს ფუნქცია უცნაურია.

4. მონოტონურად იზრდება ფუნქციის განხილვის მთელი ინტერვალით.

5. ყველა სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკი კენტი მაჩვენებლით იდენტურია ფუნქციის y \u003d x 3.

3) ფუნქციას აქვს თუნდაც უარყოფითი ბუნებრივი მაჩვენებელი: y \u003d x -2 n.

ჩვენ ყველამ ვიცით, რომ უარყოფითი მაჩვენებელი საშუალებას გაძლევთ ჩააგდოთ მაჩვენებლის მნიშვნელში და შეცვალოთ მაჩვენებლის ნიშანი, ანუ მიიღებთ ფორმას y \u003d 1 / x 2 n.

1. ამ ფუნქციის არგუმენტმა შეიძლება მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა ნულის გარდა, რადგან ცვლადი არის მნიშვნელში.

2. ვინაიდან მაჩვენებელი ლუწი რიცხვია, ფუნქციას არ შეუძლია უარყოფითი მნიშვნელობების მიღება. და რადგან არგუმენტი არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, მაშინ უნდა გამოირიცხოს ნულის ტოლი ფუნქციის მნიშვნელობაც. ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციას შეუძლია მხოლოდ დადებითი მნიშვნელობების მიღება.

3. ეს ფუნქცია თანაბარია.

4. თუ არგუმენტი უარყოფითია, ფუნქცია მონოტონურად იზრდება, ხოლო თუ დადებითია, მცირდება.

y \u003d x -2 ფუნქციის გრაფიკის ხედი:

4) ფუნქცია უარყოფითი კენტი მაჩვენებლით y \u003d x - (2 n + 1) .

1. ეს ფუნქცია არსებობს არგუმენტის ყველა მნიშვნელობისთვის, გარდა ნულის რიცხვისა.

2. ფუნქცია იღებს ყველა რეალურ მნიშვნელობას, გარდა ნულის რიცხვისა.

3. ეს ფუნქცია უცნაურია.

4. მცირდება ორ განხილულ ინტერვალზე.

განვიხილოთ ფუნქციის გრაფიკის მაგალითი უარყოფითი კენტი მაჩვენებლით, მაგალითის გამოყენებით y \u003d x -3.

სიმძლავრის ფუნქციების თვისებები და მათი გრაფიკები

სიმძლავრის ფუნქცია ნულის ტოლი მაჩვენებლით, p = 0

თუ სიმძლავრის ფუნქციის y = x p ტოლია ნულის, p = 0, მაშინ სიმძლავრის ფუნქცია განისაზღვრება ყველა x ≠ 0-ისთვის და მუდმივია, უდრის ერთი:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

სიმძლავრის ფუნქცია ბუნებრივი კენტი მაჩვენებლით, p = n = 1, 3, 5, ...

განვიხილოთ სიმძლავრის ფუნქცია y = x p = x n ბუნებრივი კენტი მაჩვენებლით n = 1, 3, 5, .... ასეთი მაჩვენებელი ასევე შეიძლება დაიწეროს როგორც: n = 2k + 1, სადაც k = 0, 1, 2, 3, ... არის არაუარყოფითი მთელი რიცხვი. ქვემოთ მოცემულია ასეთი ფუნქციების თვისებები და გრაფიკები.

სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკი y = x n ბუნებრივი კენტი მაჩვენებლით at სხვადასხვა ღირებულებებიმაჩვენებელი n = 1, 3, 5, ....

განმარტების არე: –∞< x < ∞

მნიშვნელობების ნაკრები: –∞< y < ∞

უკიდურესობები: არა

ამოზნექილი:

-∞-ზე< x < 0 выпукла вверх

0-ზე< x < ∞ выпукла вниз

გადახრის წერტილები: x = 0, y = 0

პირადი ღირებულებები:

x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m+1 = –1

x = 0-ისთვის, y(0) = 0 n = 0

x = 1-ისთვის, y(1) = 1 n = 1

სიმძლავრის ფუნქცია ბუნებრივი ლუწი მაჩვენებლით, p = n = 2, 4, 6, ...

განვიხილოთ სიმძლავრის ფუნქცია y = x p = x n ბუნებრივი ლუწი მაჩვენებლით n = 2, 4, 6, .... ასეთი მაჩვენებელი ასევე შეიძლება დაიწეროს როგორც: n = 2k, სადაც k = 1, 2, 3, .. ბუნებრივია. ასეთი ფუნქციების თვისებები და გრაფიკები მოცემულია ქვემოთ.

სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკი y = x n ბუნებრივი ლუწი მაჩვენებლით n = 2, 4, 6, ... მაჩვენებლის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის.

განმარტების არე: –∞< x < ∞

მნიშვნელობების ნაკრები: 0 ≤ y< ∞

მონოტონური:

x-ზე< 0 монотонно убывает

x > 0-ისთვის მონოტონურად იზრდება

უკიდურესობები: მინიმალური, x = 0, y = 0

ამოზნექილი: ამოზნექილი ქვემოთ

მუხლის წერტილები: არა

გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით: x = 0, y = 0
პირადი ღირებულებები:

x = –1-ზე, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m = 1

x = 0-ისთვის, y(0) = 0 n = 0

x = 1-ისთვის, y(1) = 1 n = 1

დენის ფუნქცია მთელი რიცხვის უარყოფითი მაჩვენებლით, p = n = -1, -2, -3, ...

განვიხილოთ ძალაუფლების ფუნქცია y = x p = x n უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით n = -1, -2, -3, .... თუ დავსვამთ n = –k, სადაც k = 1, 2, 3, ... არის ნატურალური რიცხვი, მაშინ ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:

სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკი y = x n უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით n = -1, -2, -3, ... მაჩვენებლის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის.

კენტი მაჩვენებლები, n = -1, -3, -5, ...

ქვემოთ მოცემულია y = x n ფუნქციის თვისებები კენტი უარყოფითი მაჩვენებლით n = -1, -3, -5, ....

განმარტების დომენი: x ≠ 0

მნიშვნელობების ნაკრები: y ≠ 0

პარიტეტი: კენტი, y(–x) = – y(x)

უკიდურესობები: არა

ამოზნექილი:

x-ზე< 0: выпукла вверх

x > 0-ისთვის: ამოზნექილი ქვემოთ

მუხლის წერტილები: არა

ნიშანი: x-ზე< 0, y < 0

x > 0-ისთვის, y > 0

პირადი ღირებულებები:

x = 1-ისთვის, y(1) = 1 n = 1

ლუწი მაჩვენებელი, n = -2, -4, -6, ...

ქვემოთ მოცემულია y = x n ფუნქციის თვისებები ლუწი უარყოფითი მაჩვენებლით n = -2, -4, -6, ....

განმარტების დომენი: x ≠ 0

მნიშვნელობების ნაკრები: y > 0

პარიტეტი: ლუწი, y(–x) = y(x)

მონოტონური:

x-ზე< 0: монотонно возрастает

x > 0-ისთვის: მონოტონურად კლებადი

უკიდურესობები: არა

ამოზნექილი: ამოზნექილი ქვემოთ

მუხლის წერტილები: არა

გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით: არა

ნიშანი: y > 0

პირადი ღირებულებები:

x = –1-ზე, y(–1) = (–1) n = 1

x = 1-ისთვის, y(1) = 1 n = 1

სიმძლავრის ფუნქცია რაციონალური (ფრაქციული) მაჩვენებლით

განვიხილოთ სიმძლავრის ფუნქცია y = x p რაციონალური (წილადი) მაჩვენებლით, სადაც n არის მთელი რიცხვი, m > 1 არის ნატურალური რიცხვი. უფრო მეტიც, n, m-ს არ აქვთ საერთო გამყოფები.

წილადი ინდიკატორის მნიშვნელი კენტია

წილადის მაჩვენებლის მნიშვნელი კენტი იყოს: m = 3, 5, 7, ... . ამ შემთხვევაში, ძალაუფლების ფუნქცია x p განისაზღვრება არგუმენტის როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის. განვიხილოთ ასეთი სიმძლავრის ფუნქციების თვისებები, როდესაც მაჩვენებლის p არის გარკვეულ საზღვრებში.

p არის უარყოფითი, p< 0

მოდით რაციონალური მაჩვენებელი (კენტი მნიშვნელით m = 3, 5, 7, ...) იყოს ნულზე ნაკლები: .

დენის ფუნქციების გრაფიკები რაციონალური უარყოფითი მაჩვენებლით მაჩვენებლის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის, სადაც m = 3, 5, 7, ... უცნაურია.

კენტი მრიცხველი, n = -1, -3, -5, ...

აქ მოცემულია y = x p ძალის ფუნქციის თვისებები რაციონალური უარყოფითი მაჩვენებლით , სადაც n = -1, -3, -5, ... არის კენტი უარყოფითი მთელი რიცხვი, m = 3, 5, 7 ... არის კენტი ბუნებრივი რიცხვი.

განმარტების დომენი: x ≠ 0

მნიშვნელობების ნაკრები: y ≠ 0

პარიტეტი: კენტი, y(–x) = – y(x)

ერთფეროვნება: მონოტონურად მცირდება

უკიდურესობები: არა

ამოზნექილი:

x-ზე< 0: выпукла вверх

x > 0-ისთვის: ამოზნექილი ქვემოთ

მუხლის წერტილები: არა

გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით: არა

x-ზე< 0, y < 0

x > 0-ისთვის, y > 0

პირადი ღირებულებები:

x = –1, y(–1) = (–1) n = –1

x = 1-ისთვის, y(1) = 1 n = 1

ლუწი მრიცხველი, n = -2, -4, -6, ...

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები y = x p რაციონალური უარყოფითი მაჩვენებლით , სადაც n = -2, -4, -6, ... არის ლუწი უარყოფითი მთელი რიცხვი, m = 3, 5, 7 ... კენტი ნატურალური რიცხვია.

განმარტების დომენი: x ≠ 0

მნიშვნელობების ნაკრები: y > 0

პარიტეტი: ლუწი, y(–x) = y(x)

მონოტონური:

x-ზე< 0: монотонно возрастает

x > 0-ისთვის: მონოტონურად კლებადი

უკიდურესობები: არა

ამოზნექილი: ამოზნექილი ქვემოთ

მუხლის წერტილები: არა

გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით: არა

ნიშანი: y > 0

p-მნიშვნელობა დადებითია, ერთზე ნაკლები, 0< p < 1

დენის ფუნქციის გრაფიკი რაციონალური მაჩვენებლით (0< p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

კენტი მრიცხველი, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

განმარტების არე: –∞< x < +∞

მნიშვნელობების ნაკრები: –∞< y < +∞

პარიტეტი: კენტი, y(–x) = – y(x)

ერთფეროვნება: მონოტონურად მზარდი

უკიდურესობები: არა

ამოზნექილი:

x-ზე< 0: выпукла вниз

x > 0-ისთვის: ამოზნექილი

გადახრის წერტილები: x = 0, y = 0

გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით: x = 0, y = 0

x-ზე< 0, y < 0

x > 0-ისთვის, y > 0

პირადი ღირებულებები:

x = –1-ზე, y(–1) = –1

x = 0-ისთვის, y(0) = 0

x = 1-ისთვის, y(1) = 1

ლუწი მრიცხველი, n = 2, 4, 6, ...

წარმოდგენილია სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები y = x p რაციონალური მაჩვენებლით 0-ის ფარგლებში.< p < 1, где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

განმარტების არე: –∞< x < +∞

მნიშვნელობების ნაკრები: 0 ≤ y< +∞

პარიტეტი: ლუწი, y(–x) = y(x)

მონოტონური:

x-ზე< 0: монотонно убывает

x > 0-ისთვის: მონოტონურად იზრდება

უკიდურესობები: მინიმალური x = 0, y = 0

ამოზნექილი: ამოზნექილი ზემოთ x ≠ 0-ზე

მუხლის წერტილები: არა

გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით: x = 0, y = 0

ნიშანი: x ≠ 0-სთვის, y > 0

სიმძლავრის ფუნქციის y = x p დომენზე მოქმედებს შემდეგი ფორმულები:
; ;
;
; ;
; ;
; .

სიმძლავრის ფუნქციების თვისებები და მათი გრაფიკები

სიმძლავრის ფუნქცია ნულის ტოლი მაჩვენებლით, p = 0

თუ სიმძლავრის ფუნქციის y = x p ტოლია ნულის, p = 0 , მაშინ სიმძლავრის ფუნქცია განისაზღვრება ყველა x ≠ 0-ისთვის და მუდმივია, უდრის ერთი:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

სიმძლავრის ფუნქცია ბუნებრივი კენტი მაჩვენებლით, p = n = 1, 3, 5, ...

განვიხილოთ სიმძლავრის ფუნქცია y = x p = x n ბუნებრივი კენტი მაჩვენებლით n = 1, 3, 5, ... . ასეთი მაჩვენებელი ასევე შეიძლება დაიწეროს: n = 2k + 1, სადაც k = 0, 1, 2, 3, ... არის არაუარყოფითი მთელი რიცხვი. ქვემოთ მოცემულია ასეთი ფუნქციების თვისებები და გრაფიკები.

სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკი y = x n ბუნებრივი კენტი მაჩვენებლით n = 1, 3, 5, ... მაჩვენებლის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის.

დომენი: -∞ < x < ∞
მრავალჯერადი მნიშვნელობა: -∞ < y < ∞
პარიტეტი:კენტი, y(-x) = - y(x)
მონოტონური:მონოტონურად იზრდება
უკიდურესობები:არა
ამოზნექილი:
-∞-ზე< x < 0 выпукла вверх
0-ზე< x < ∞ выпукла вниз
შესვენების წერტილები: x=0, y=0
x=0, y=0
ლიმიტები:
;
პირადი ღირებულებები:
x = -1-ზე,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
x = 0-ისთვის, y(0) = 0 n = 0
x = 1-ისთვის, y(1) = 1 n = 1
საპირისპირო ფუნქცია:
n = 1-ისთვის ფუნქცია შებრუნებულია თავის მიმართ: x = y
n ≠ 1-ისთვის, შებრუნებული ფუნქცია არის n ხარისხის ფესვი:

სიმძლავრის ფუნქცია ბუნებრივი ლუწი მაჩვენებლით, p = n = 2, 4, 6, ...

განვიხილოთ სიმძლავრის ფუნქცია y = x p = x n ბუნებრივი ლუწი მაჩვენებლით n = 2, 4, 6, ... . ასეთი მაჩვენებელი ასევე შეიძლება დაიწეროს: n = 2k, სადაც k = 1, 2, 3, ... ნატურალური რიცხვია. ასეთი ფუნქციების თვისებები და გრაფიკები მოცემულია ქვემოთ.

სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკი y = x n ბუნებრივი ლუწი მაჩვენებლით n = 2, 4, 6, ... მაჩვენებლის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის.

დომენი: -∞ < x < ∞
მრავალჯერადი მნიშვნელობა: 0 ≤ y< ∞
პარიტეტი:ლუწი, y(-x) = y(x)
მონოტონური:
x ≤ 0-ისთვის მონოტონურად მცირდება
x ≥ 0-ისთვის მონოტონურად იზრდება
უკიდურესობები:მინიმალური, x=0, y=0
ამოზნექილი:ამოზნექილი ქვემოთ
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით: x=0, y=0
ლიმიტები:
;
პირადი ღირებულებები:
x = -1-ისთვის, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
x = 0-ისთვის, y(0) = 0 n = 0
x = 1-ისთვის, y(1) = 1 n = 1
საპირისპირო ფუნქცია:
n = 2-ისთვის, Კვადრატული ფესვი:
n ≠ 2-ისთვის, n ხარისხის ფესვი:

დენის ფუნქცია მთელი რიცხვის უარყოფითი მაჩვენებლით, p = n = -1, -2, -3, ...

განვიხილოთ სიმძლავრის ფუნქცია y = x p = x n უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით n = -1, -2, -3, ... . თუ დავსვამთ n = -k, სადაც k = 1, 2, 3, ... არის ნატურალური რიცხვი, მაშინ ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:

სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკი y = x n უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით n = -1, -2, -3, ... მაჩვენებლის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის.

კენტი მაჩვენებლები, n = -1, -3, -5, ...

ქვემოთ მოცემულია y = x n ფუნქციის თვისებები კენტი უარყოფითი მაჩვენებლით n = -1, -3, -5, ... .

დომენი: x ≠ 0
მრავალჯერადი მნიშვნელობა: y ≠ 0
პარიტეტი:კენტი, y(-x) = - y(x)
მონოტონური:მონოტონურად მცირდება
უკიდურესობები:არა
ამოზნექილი:
x-ზე< 0 : выпукла вверх
x > 0-ისთვის: ამოზნექილი ქვემოთ
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით:არა
Ნიშანი:
x-ზე< 0, y < 0
x > 0-ისთვის, y > 0
ლიმიტები:
; ; ;
პირადი ღირებულებები:
x = 1-ისთვის, y(1) = 1 n = 1
საპირისპირო ფუნქცია:
n = -1-ისთვის,
ამისთვის ნ< -2 ,

ლუწი მაჩვენებელი, n = -2, -4, -6, ...

ქვემოთ მოცემულია y = x n ფუნქციის თვისებები ლუწი უარყოფითი მაჩვენებლით n = -2, -4, -6, ... .

დომენი: x ≠ 0
მრავალჯერადი მნიშვნელობა: y > 0
პარიტეტი:ლუწი, y(-x) = y(x)
მონოტონური:
x-ზე< 0 : монотонно возрастает
x > 0-ისთვის: მონოტონურად მცირდება
უკიდურესობები:არა
ამოზნექილი:ამოზნექილი ქვემოთ
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით:არა
Ნიშანი: y > 0
ლიმიტები:
; ; ;
პირადი ღირებულებები:
x = 1-ისთვის, y(1) = 1 n = 1
საპირისპირო ფუნქცია:
n = -2-ისთვის,
ამისთვის ნ< -2 ,

სიმძლავრის ფუნქცია რაციონალური (ფრაქციული) მაჩვენებლით

განვიხილოთ სიმძლავრის ფუნქცია y = x p რაციონალური (წილადი) მაჩვენებლით, სადაც n არის მთელი რიცხვი, m > 1 არის ნატურალური რიცხვი. უფრო მეტიც, n, m-ს არ აქვთ საერთო გამყოფები.

წილადი ინდიკატორის მნიშვნელი კენტია

წილადის მაჩვენებლის მნიშვნელი კენტი იყოს: m = 3, 5, 7, ... . ამ შემთხვევაში, სიმძლავრის ფუნქცია x p განისაზღვრება როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი x მნიშვნელობებისთვის. განვიხილოთ ასეთი სიმძლავრის ფუნქციების თვისებები, როდესაც მაჩვენებელი p არის გარკვეულ საზღვრებში.

p არის უარყოფითი, p< 0

რაციონალური მაჩვენებელი (კენტი მნიშვნელით m = 3, 5, 7, ... ) იყოს ნულზე ნაკლები: .

ექსპონენციალური ფუნქციების გრაფიკები რაციონალური უარყოფითი მაჩვენებლით მაჩვენებლის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის, სადაც m = 3, 5, 7, ... უცნაურია.

კენტი მრიცხველი, n = -1, -3, -5, ...

აქ მოცემულია y = x p ძალის ფუნქციის თვისებები რაციონალური უარყოფითი მაჩვენებლით , სადაც n = -1, -3, -5, ... არის კენტი უარყოფითი მთელი რიცხვი, m = 3, 5, 7 ... არის კენტი ბუნებრივი რიცხვი.

დომენი: x ≠ 0
მრავალჯერადი მნიშვნელობა: y ≠ 0
პარიტეტი:კენტი, y(-x) = - y(x)
მონოტონური:მონოტონურად მცირდება
უკიდურესობები:არა
ამოზნექილი:
x-ზე< 0 : выпукла вверх
x > 0-ისთვის: ამოზნექილი ქვემოთ
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით:არა
Ნიშანი:
x-ზე< 0, y < 0
x > 0-ისთვის, y > 0
ლიმიტები:
; ; ;
პირადი ღირებულებები:
x = -1-ისთვის, y(-1) = (-1) n = -1
x = 1-ისთვის, y(1) = 1 n = 1
საპირისპირო ფუნქცია:

ლუწი მრიცხველი, n = -2, -4, -6, ...

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები y = x p რაციონალური უარყოფითი მაჩვენებლით , სადაც n = -2, -4, -6, ... არის ლუწი უარყოფითი მთელი რიცხვი, m = 3, 5, 7 ... კენტი ნატურალური რიცხვია.

დომენი: x ≠ 0
მრავალჯერადი მნიშვნელობა: y > 0
პარიტეტი:ლუწი, y(-x) = y(x)
მონოტონური:
x-ზე< 0 : монотонно возрастает
x > 0-ისთვის: მონოტონურად მცირდება
უკიდურესობები:არა
ამოზნექილი:ამოზნექილი ქვემოთ
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით:არა
Ნიშანი: y > 0
ლიმიტები:
; ; ;
პირადი ღირებულებები:
x = -1-ისთვის, y(-1) = (-1) n = 1
x = 1-ისთვის, y(1) = 1 n = 1
საპირისპირო ფუნქცია:

p-მნიშვნელობა დადებითია, ერთზე ნაკლები, 0< p < 1

სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკი რაციონალური მაჩვენებლით (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

კენტი მრიცხველი, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

დომენი: -∞ < x < +∞
მრავალჯერადი მნიშვნელობა: -∞ < y < +∞
პარიტეტი:კენტი, y(-x) = - y(x)
მონოტონური:მონოტონურად იზრდება
უკიდურესობები:არა
ამოზნექილი:
x-ზე< 0 : выпукла вниз
x > 0-ისთვის: ამოზნექილი
შესვენების წერტილები: x=0, y=0
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით: x=0, y=0
Ნიშანი:
x-ზე< 0, y < 0
x > 0-ისთვის, y > 0
ლიმიტები:
;
პირადი ღირებულებები:
x = -1-ისთვის, y(-1) = -1
x = 0-ისთვის, y(0) = 0
x = 1-ისთვის, y(1) = 1
საპირისპირო ფუნქცია:

ლუწი მრიცხველი, n = 2, 4, 6, ...

წარმოდგენილია სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები y = x p რაციონალური მაჩვენებლით 0-ის ფარგლებში.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

დომენი: -∞ < x < +∞
მრავალჯერადი მნიშვნელობა: 0 ≤ y< +∞
პარიტეტი:ლუწი, y(-x) = y(x)
მონოტონური:
x-ზე< 0 : монотонно убывает
x > 0-ისთვის: მონოტონურად მზარდი
უკიდურესობები:მინიმალური x = 0, y = 0
ამოზნექილი:ამოზნექილი ზევით x ≠ 0-ზე
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით: x=0, y=0
Ნიშანი: x ≠ 0-ისთვის, y > 0
ლიმიტები:
;
პირადი ღირებულებები:
x = -1-ისთვის, y(-1) = 1
x = 0-ისთვის, y(0) = 0
x = 1-ისთვის, y(1) = 1
საპირისპირო ფუნქცია:

მაჩვენებელი p არის ერთზე მეტი, p > 1

სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკი რაციონალური მაჩვენებლით (p > 1) მაჩვენებლის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის, სადაც m = 3, 5, 7, ... კენტია.

კენტი მრიცხველი, n = 5, 7, 9, ...

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები y = x p ერთზე მეტი რაციონალური მაჩვენებლით: . სადაც n = 5, 7, 9, ... არის კენტი ნატურალური რიცხვი, m = 3, 5, 7 ... კენტი ნატურალური რიცხვია.

დომენი: -∞ < x < ∞
მრავალჯერადი მნიშვნელობა: -∞ < y < ∞
პარიტეტი:კენტი, y(-x) = - y(x)
მონოტონური:მონოტონურად იზრდება
უკიდურესობები:არა
ამოზნექილი:
-∞-ზე< x < 0 выпукла вверх
0-ზე< x < ∞ выпукла вниз
შესვენების წერტილები: x=0, y=0
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით: x=0, y=0
ლიმიტები:
;
პირადი ღირებულებები:
x = -1-ისთვის, y(-1) = -1
x = 0-ისთვის, y(0) = 0
x = 1-ისთვის, y(1) = 1
საპირისპირო ფუნქცია:

ლუწი მრიცხველი, n = 4, 6, 8, ...

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები y = x p ერთზე მეტი რაციონალური მაჩვენებლით: . სადაც n = 4, 6, 8, ... არის ლუწი ნატურალური რიცხვი, m = 3, 5, 7 ... კენტი ნატურალური რიცხვია.

დომენი: -∞ < x < ∞
მრავალჯერადი მნიშვნელობა: 0 ≤ y< ∞
პარიტეტი:ლუწი, y(-x) = y(x)
მონოტონური:
x-ზე< 0 монотонно убывает
x > 0-ისთვის მონოტონურად იზრდება
უკიდურესობები:მინიმალური x = 0, y = 0
ამოზნექილი:ამოზნექილი ქვემოთ
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით: x=0, y=0
ლიმიტები:
;
პირადი ღირებულებები:
x = -1-ისთვის, y(-1) = 1
x = 0-ისთვის, y(0) = 0
x = 1-ისთვის, y(1) = 1
საპირისპირო ფუნქცია:

წილადი ინდიკატორის მნიშვნელი ლუწია

წილადის მაჩვენებლის მნიშვნელი იყოს ლუწი: m = 2, 4, 6, ... . ამ შემთხვევაში, ძალაუფლების ფუნქცია x p არ არის განსაზღვრული არგუმენტის უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის. მისი თვისებები ემთხვევა ირაციონალური მაჩვენებლის მქონე დენის ფუნქციის თვისებებს (იხილეთ შემდეგი ნაწილი).

დენის ფუნქცია ირაციონალური მაჩვენებლით

განვიხილოთ ძალაუფლების ფუნქცია y = x p ირაციონალური მაჩვენებლით p. ასეთი ფუნქციების თვისებები განსხვავდება ზემოთ განხილულისგან იმით, რომ ისინი არ არის განსაზღვრული x არგუმენტის უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის. არგუმენტის დადებითი მნიშვნელობებისთვის, თვისებები დამოკიდებულია მხოლოდ p მაჩვენებლის მნიშვნელობაზე და არ არის დამოკიდებული იმაზე, არის თუ არა p მთელი რიცხვი, რაციონალური ან ირაციონალური.

y = x p მაჩვენებლის p სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის.

დენის ფუნქცია უარყოფითი პ-ით< 0

დომენი: x > 0
მრავალჯერადი მნიშვნელობა: y > 0
მონოტონური:მონოტონურად მცირდება
ამოზნექილი:ამოზნექილი ქვემოთ
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით:არა
ლიმიტები: ;
პირადი ღირებულება: x = 1-ისთვის, y(1) = 1 p = 1

სიმძლავრის ფუნქცია დადებითი მაჩვენებლით p > 0

მაჩვენებელი ერთ 0-ზე ნაკლებია< p < 1

დომენი: x ≥ 0
მრავალჯერადი მნიშვნელობა: y ≥ 0
მონოტონური:მონოტონურად იზრდება
ამოზნექილი:ამოზნექილი
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით: x=0, y=0
ლიმიტები:
პირადი ღირებულებები: x = 0-ისთვის, y(0) = 0 p = 0.
x = 1-ისთვის, y(1) = 1 p = 1

მაჩვენებელი ერთზე მეტია p > 1

დომენი: x ≥ 0
მრავალჯერადი მნიშვნელობა: y ≥ 0
მონოტონური:მონოტონურად იზრდება
ამოზნექილი:ამოზნექილი ქვემოთ
შესვენების წერტილები:არა
გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით: x=0, y=0
ლიმიტები:
პირადი ღირებულებები: x = 0-ისთვის, y(0) = 0 p = 0.
x = 1-ისთვის, y(1) = 1 p = 1

ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების ინჟინრებისა და სტუდენტებისთვის, ლან, 2009 წ.