დაადგინეთ, სიბრტყეზე რომელი წრფეა მოცემული განტოლებით. სწორი ხაზის განტოლება, სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლების სახეები
განვიხილოთ ფორმულით მოცემული ფუნქცია (განტოლება)
ეს ფუნქცია და, შესაბამისად, განტოლება (11), შეესაბამება სიბრტყეზე კარგად განსაზღვრულ ხაზს, რომელიც არის ამ ფუნქციის გრაფიკი (იხ. სურ. 20). ფუნქციის გრაფიკის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ეს წრფე შედგება სიბრტყის იმ და მხოლოდ იმ წერტილებისგან, რომელთა კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას (11).
მოდით ახლა
ხაზი, რომელიც არის ამ ფუნქციის გრაფიკი, შედგება სიბრტყის იმ და მხოლოდ იმ წერტილებისგან, რომელთა კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას (12). ეს ნიშნავს, რომ თუ წერტილი დევს მითითებულ ხაზზე, მაშინ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებენ განტოლებას (12). თუ წერტილი არ დევს ამ წრფეზე, მაშინ მისი კოორდინატები არ აკმაყოფილებენ განტოლებას (12).
განტოლება (12) წყდება y-ის მიმართ. განვიხილოთ განტოლება, რომელიც შეიცავს x და y, რომელიც არ არის ამოხსნილი y-ის მიმართ, როგორიცაა განტოლება
ვაჩვენოთ, რომ სიბრტყეში ამ განტოლებას შეესაბამება წრფე, კერძოდ, წრე, რომელიც ორიენტირებულია კოორდინატების საწყისთან და რადიუსით 2-ის ტოლი. მოდით, განტოლება გადავიწეროთ სახით.
მისი მარცხენა მხარე არის წერტილის მანძილის კვადრატი საწყისიდან (იხ. § 2, პუნქტი 2, ფორმულა 3). ტოლობიდან (14) გამოდის, რომ ამ მანძილის კვადრატი არის 4.
ეს ნიშნავს, რომ ნებისმიერი წერტილი, რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას (14) და, შესაბამისად, განტოლებას (13), მდებარეობს საწყისიდან 2-ის მანძილზე.
ასეთი წერტილების ლოკუსი არის წრე, რომელიც ორიენტირებულია საწყისზე და რადიუსზე 2. ეს წრე იქნება (13) განტოლების შესაბამისი ხაზი. მისი რომელიმე წერტილის კოორდინატები აშკარად აკმაყოფილებს განტოლებას (13). თუ წერტილი არ დევს ჩვენს მიერ ნაპოვნი წრეზე, მაშინ მისი დაშორების კვადრატი საწყისიდან იქნება ან მეტი ან ნაკლები 4-ზე, რაც ნიშნავს, რომ ასეთი წერტილის კოორდინატები არ აკმაყოფილებს განტოლებას (13).
მოდით ახლა, ზოგად შემთხვევაში, განტოლების გათვალისწინებით
რომლის მარცხენა მხარეს არის x და y შემცველი გამოხატულება.
განმარტება. (15) განტოლებით განსაზღვრული ხაზი არის სიბრტყის წერტილების ლოკუსი, რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს ამ განტოლებას.
ეს ნიშნავს, რომ თუ წრფე L განისაზღვრება განტოლებით, მაშინ L-ის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებს ამ განტოლებას, ხოლო სიბრტყის ნებისმიერი წერტილის, რომელიც მდებარეობს L-ის გარეთ, არ აკმაყოფილებს განტოლებას (15).
განტოლებას (15) ეწოდება წრფივი განტოლება
კომენტარი. არ უნდა ვიფიქროთ, რომ რაიმე განტოლება განსაზღვრავს რაიმე ხაზს. მაგალითად, განტოლება არ განსაზღვრავს არცერთ ხაზს. მართლაც, და y-ის ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობებისთვის, ამ განტოლების მარცხენა მხარე დადებითია, ხოლო მარჯვენა მხარე ნულის ტოლია და, შესაბამისად, ეს განტოლება ვერ აკმაყოფილებს სიბრტყის რომელიმე წერტილის კოორდინატებს.
წრფე შეიძლება განისაზღვროს სიბრტყეზე არა მხოლოდ დეკარტის კოორდინატების შემცველი განტოლებით, არამედ პოლარული კოორდინატების განტოლებით. განტოლებით განსაზღვრული ხაზი პოლარულ კოორდინატებში არის წერტილების ლოკუსი სიბრტყეში, რომლის პოლარული კოორდინატები აკმაყოფილებს ამ განტოლებას.
მაგალითი 1. ააგეთ არქიმედეს სპირალი ზე.
გადაწყვეტილება. მოდით შევქმნათ ცხრილი პოლარული კუთხის ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის და პოლარული რადიუსის შესაბამისი მნიშვნელობებისთვის.
პოლარული კოორდინატთა სისტემაში ვაშენებთ წერტილს, რომელიც, ცხადია, ემთხვევა პოლუსს; შემდეგ, ვხატავთ ღერძს პოლარული ღერძის კუთხით, ჩვენ ვაშენებთ წერტილს დადებითი კოორდინატით ამ ღერძზე; ამის შემდეგ, ანალოგიურად ვაშენებთ წერტილებს პოლარული კუთხის და პოლარული რადიუსის დადებითი მნიშვნელობებით (ღერძი ამ წერტილებისთვის. არ არის მითითებული სურ. 30).
როგორც ცნობილია, სიბრტყის ნებისმიერი წერტილი განისაზღვრება ორი კოორდინატით რომელიმე კოორდინატულ სისტემაში. საკოორდინატო სისტემები შეიძლება განსხვავდებოდეს საფუძვლისა და წარმოშობის არჩევის მიხედვით.
განმარტება: წრფის განტოლება არის y = f(x) მიმართება ამ წრფის შემადგენელი წერტილების კოორდინატებს შორის.
გაითვალისწინეთ, რომ ხაზის განტოლება შეიძლება გამოისახოს პარამეტრული გზით, ანუ თითოეული წერტილის თითოეული კოორდინატი გამოიხატება დამოუკიდებელი პარამეტრით. ტ. ტიპიური მაგალითია მოძრავი წერტილის ტრაექტორია. ამ შემთხვევაში დრო პარამეტრის როლს ასრულებს.
სწორი ხაზის განტოლების სხვადასხვა ტიპები
სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება.
სიბრტყეში ნებისმიერი წრფე შეიძლება იყოს მოცემული პირველი რიგის განტოლებით
Ah + Wu + C = 0,
მეტიც, მუდმივები A, B ერთდროულად ნულის ტოლი არ არის, ე.ი. A 2 + B 2 ¹ 0. ამ პირველი რიგის განტოლებას ეწოდება სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება. .
ღირებულებებიდან გამომდინარე მუდმივი A, Bდა C, შესაძლებელია შემდეგი განსაკუთრებული შემთხვევები:
C \u003d 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - ხაზი გადის საწყისზე
A \u003d 0, B ¹ 0, C ¹ 0 ( By + C \u003d 0) - ხაზი პარალელურია Ox ღერძის
B \u003d 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C \u003d 0) - ხაზი პარალელურია Oy ღერძის
B \u003d C \u003d 0, A ¹ 0 - სწორი ხაზი ემთხვევა Oy ღერძს
A \u003d C \u003d 0, B ¹ 0 - სწორი ხაზი ემთხვევა Ox ღერძს
სწორი ხაზის განტოლება შეიძლება იყოს წარმოდგენილი სხვადასხვა ფორმებინებისმიერი მოცემული საწყისი პირობებიდან გამომდინარე.
ორ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება.
ორი წერტილი M 1 (x 1, y 1, z 1) და M 2 (x 2, y 2, z 2) მოცემულია სივრცეში, შემდეგ ამ წერტილებზე გამავალი სწორი ხაზის განტოლება:
თუ რომელიმე მნიშვნელი ნულის ტოლია, შესაბამისი მრიცხველი ნულის ტოლი უნდა იყოს. სიბრტყეზე ზემოთ დაწერილი სწორი ხაზის განტოლება გამარტივებულია:
თუ x 1 ¹ x 2 და x \u003d x 1, თუ x 1 \u003d x 2.
წილადს = k ეწოდება სწორი ხაზის დახრილობას.
სწორი ხაზის განტოლება წერტილით და დახრილობით.
თუ სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება Ax + Vy + C = 0 მივყავართ ფორმაში:
და აღვნიშნოთ, მაშინ მიღებულ განტოლებას ეწოდება სწორი ხაზის განტოლება k დახრილობით.
სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში.
თუ სწორი ხაზის ზოგად განტოლებაში Ah + Vu + С = 0 С ¹ 0, მაშინ –С-ზე გაყოფით მივიღებთ: ან
კოეფიციენტების გეომეტრიული მნიშვნელობა არის ის, რომ კოეფიციენტი აარის წრფის x ღერძთან გადაკვეთის წერტილის კოორდინატი და ბ- სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატი Oy ღერძთან.
სწორი ხაზის ნორმალური განტოლება.
თუ განტოლების ორივე ნაწილი Ax + Vy + C = 0 იყოფა რიცხვზე, რომელსაც ნორმალიზებადი ფაქტორი ეწოდება, მაშინ მივიღებთ
xcosj + ysinj - p = 0 –
სწორი ხაზის ნორმალური განტოლება.
ნორმალიზების ფაქტორის ნიშანი ± უნდა შეირჩეს ისე, რომ m × С< 0.
p არის საწყისიდან სწორ ხაზზე ჩამოშვებული პერპენდიკულარულის სიგრძე და j არის ამ პერპენდიკულარულის მიერ წარმოქმნილი კუთხე Ox ღერძის დადებითი მიმართულებით.
კუთხე ხაზებს შორის სიბრტყეზე.
თუ ორი წრფე მოცემულია y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , მაშინ ამ წრფეებს შორის მახვილი კუთხე განისაზღვრება როგორც
ორი წრფე პარალელურია, თუ k 1 = k 2 .
ორი წრფე პერპენდიკულარულია, თუ k 1 = -1/k 2 .
თეორემა. სწორი ხაზები Ax + Vy + C \u003d 0 და A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 პარალელურია, როდესაც კოეფიციენტები A 1 \u003d lA, B 1 \u003d lB პროპორციულია. თუ ასევე C 1 = lC, მაშინ ხაზები ემთხვევა.
ორი წრფის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები გვხვდება ორი განტოლების სისტემის ამონახსნის სახით.
მანძილი წერტილიდან ხაზამდე.
თეორემა. თუ მოცემულია წერტილი M(x 0, y 0), მაშინ მანძილი ხაზამდე Ax + Vy + C \u003d 0 განისაზღვრება როგორც
ლექცია 5
ანალიზის შესავალი. ერთი ცვლადის ფუნქციის დიფერენციალური გაანგარიშება.
ფუნქციის ლიმიტი
ფუნქციის ლიმიტი წერტილში.
0 a - D a + D x
ნახაზი 1. ფუნქციის ლიმიტი წერტილში.
მოდით, ფუნქცია f(x) განისაზღვროს x = a წერტილის რომელიმე სამეზობლოში (ანუ, თავად x = a წერტილში, ფუნქცია შეიძლება არ იყოს განსაზღვრული)
განმარტება. A რიცხვს ეწოდება f(x) ფუნქციის ზღვარი x®a-სთვის, თუ რომელიმე e>0-სთვის არის რიცხვი D>0 ისეთი, რომ ყველა x-სთვის ისეთი, რომ
0 < ïx - aï < D
უტოლობა ïf(x) - Aï< e.
იგივე განმარტება შეიძლება დაიწეროს სხვადასხვა ფორმით:
თუ ა - დ< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.
ფუნქციის ლიმიტის ჩაწერა წერტილში:
განმარტება.
თუ f(x) ® A 1 x ® a მხოლოდ x-ისთვის< a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A 2 при х ® а только при x >a, მაშინ მას ეწოდება f(x) ფუნქციის ზღვარი x = a წერტილში მარჯვნივ.
ზემოაღნიშნული განმარტება ეხება შემთხვევას, როდესაც ფუნქცია f(x) არ არის განსაზღვრული x = a წერტილში, არამედ განისაზღვრება ამ წერტილის რაიმე თვითნებურად მცირე სამეზობლოში.
ლიმიტები A 1 და A 2 ასევე უწოდებენ ცალმხრივი f(x) ფუნქციის გარეთ x = a წერტილში. ასევე ნათქვამია, რომ ა ფუნქციის ლიმიტი f(x).
წრფის განტოლება სიბრტყეზე.
როგორც ცნობილია, სიბრტყის ნებისმიერი წერტილი განისაზღვრება ორი კოორდინატით რომელიმე კოორდინატულ სისტემაში. საკოორდინატო სისტემები შეიძლება განსხვავდებოდეს საფუძვლისა და წარმოშობის არჩევის მიხედვით.
განმარტება.ხაზოვანი განტოლებათანაფარდობა ეწოდება y=f(x ) ამ წრფის შემადგენელი წერტილების კოორდინატებს შორის.
გაითვალისწინეთ, რომ ხაზის განტოლება შეიძლება გამოისახოს პარამეტრული გზით, ანუ თითოეული წერტილის თითოეული კოორდინატი გამოიხატება დამოუკიდებელი პარამეტრით.ტ.
ტიპიური მაგალითია მოძრავი წერტილის ტრაექტორია. ამ შემთხვევაში დრო პარამეტრის როლს ასრულებს.
სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლება.
განმარტება. სიბრტყეში ნებისმიერი წრფე შეიძლება იყოს მოცემული პირველი რიგის განტოლებით
Ah + Wu + C = 0,
მეტიც, მუდმივები A, B ერთდროულად ნულის ტოლი არ არის, ე.ი. A 2 + B 2¹ 0. ეს პირველი რიგის განტოლება ეწოდება სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება.
A, B და C მუდმივების მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, შესაძლებელია შემდეგი განსაკუთრებული შემთხვევები:
C = 0, A 1 0, B 1 0 - ხაზი გადის საწყისზე
A = 0, B ¹ 0, C 1 0 (+C-ით \u003d 0) - სწორი ხაზი არის Ox ღერძის პარალელურად
B = 0, A ¹ 0, C 1 0 ( Ax + C = 0) - სწორი ხაზი Oy ღერძის პარალელურად
B \u003d C \u003d 0, A ¹ 0 - ხაზი ემთხვევა Oy ღერძს
A = C = 0, B¹ 0 - ხაზი ემთხვევა Ox ღერძს
სწორი ხაზის განტოლება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სხვადასხვა ფორმით, მოცემული საწყისი პირობებიდან გამომდინარე.
მანძილი წერტილიდან ხაზამდე.
თეორემა. თუ მოცემულია წერტილი M(x 0, y 0), მაშინ მანძილი ხაზამდე Ax + Vy + C \u003d 0 განისაზღვრება როგორც
.
მტკიცებულება. წერტილი M 1 (x 1, y 1) იყოს M წერტილიდან მოცემულ წრფეზე ჩამოშვებული პერპენდიკულარულის საფუძველი. შემდეგ მანძილი M და M 1 წერტილებს შორის:
(1)
კოორდინატები x 1 და y 1 შეიძლება მოიძებნოს, როგორც განტოლებათა სისტემის ამონახსნი:
სისტემის მეორე განტოლება არის სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში M 0 მოცემულ სწორ ხაზზე პერპენდიკულარულად.
თუ სისტემის პირველ განტოლებას გადავიყვანთ ფორმაში:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
შემდეგ, გადაჭრით, მივიღებთ:
ამ გამონათქვამების (1) განტოლებით ჩანაცვლებით, ჩვენ ვპოულობთ:
.
თეორემა დადასტურდა.
მაგალითი.განსაზღვრეთ კუთხე ხაზებს შორის: y=-3x+7; y = 2 x + 1.
K 1 \u003d -3; k 2 = 2tg j = ; j = p /4.
მაგალითი.აჩვენეთ, რომ წრფეები 3x - 5y + 7 = 0 და 10x + 6y - 3 = 0 პერპენდიკულურია.
იპოვეთ: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, შესაბამისად, ხაზები პერპენდიკულარულია.
მაგალითი.მოცემულია A(0; 1) სამკუთხედის წვეროები, B(6;5),C (12; -1). იპოვეთ C წვეროდან გამოყვანილი სიმაღლის განტოლება.
ბოლო სტატიაში განვიხილეთ მთავარი პუნქტები სიბრტყეზე სწორი ხაზის თემასთან დაკავშირებით. ახლა გადავიდეთ სწორი წრფის განტოლების შესწავლაზე: განვიხილოთ რომელ განტოლებას შეიძლება ეწოდოს სწორი ხაზის განტოლება და ასევე რა ფორმა აქვს წრფის განტოლებას სიბრტყეში.
Yandex.RTB R-A-339285-1
სიბრტყეში სწორი ხაზის განტოლების განმარტება
ვთქვათ, არის სწორი ხაზი, რომელიც მოცემულია მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში O x y.
განმარტება 1
Სწორი ხაზი- ეს არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შედგება წერტილებისგან. თითოეულ წერტილს აქვს საკუთარი კოორდინატები აბსცისა და ორდინატთა ღერძების გასწვრივ. განტოლებას, რომელიც აღწერს სწორი ხაზის თითოეული წერტილის კოორდინატების დამოკიდებულებას დეკარტის სისტემაში O x y, სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლება ეწოდება.
სინამდვილეში, სიბრტყეში სწორი ხაზის განტოლება არის განტოლება ორი ცვლადით, რომლებიც აღინიშნება როგორც x და y. განტოლება იქცევა იდენტურობაში, როდესაც მასში ჩანაცვლდება სწორი ხაზის რომელიმე წერტილის მნიშვნელობები.
ვნახოთ რა ფორმა ექნება სიბრტყეში სწორი ხაზის განტოლებას. ეს იქნება ჩვენი სტატიის შემდეგი ნაწილის ყურადღება. გაითვალისწინეთ, რომ სწორი ხაზის განტოლების ჩაწერის რამდენიმე ვარიანტი არსებობს. ეს აიხსნება თვითმფრინავზე სწორი ხაზის დაყენების რამდენიმე ხერხის არსებობით და ასევე ამოცანების განსხვავებული სპეციფიკით.
გავეცნოთ თეორემას, რომელიც განსაზღვრავს სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლების ფორმას დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში O x y .
თეორემა 1
A x + B y + C = 0 ფორმის განტოლება, სადაც x და y არის ცვლადები, ხოლო A, B და C არის რამდენიმე რეალური რიცხვი, რომელთაგან A და B არ არის ნულის ტოლი, განსაზღვრავს სწორ ხაზს დეკარტის კოორდინატთა სისტემა O x y. თავის მხრივ, სიბრტყეზე ნებისმიერი სწორი ხაზი შეიძლება მიღებულ იქნეს A x + B y + C = 0 ფორმის განტოლებით.
ამრიგად, სიბრტყეში სწორი ხაზის ზოგად განტოლებას აქვს ფორმა A x + B y + C = 0.
მოდით განვმარტოთ თემის რამდენიმე მნიშვნელოვანი ასპექტი.
მაგალითი 1
Შეხედე სურათს.
ნახაზში ხაზი განისაზღვრება 2 x + 3 y - 2 \u003d 0 ფორმის განტოლებით, რადგან ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები, რომლებიც ქმნიან ამ ხაზს, აკმაყოფილებს ზემოთ მოცემულ განტოლებას. ამავდროულად, სიბრტყეში წერტილების გარკვეული რაოდენობა, რომელიც განისაზღვრება განტოლებით 2 x + 3 y - 2 = 0, გვაძლევს სწორ ხაზს, რომელსაც ვხედავთ ნახატზე.
სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება შეიძლება იყოს სრული ან არასრული. სრულ განტოლებაში ყველა რიცხვი A, B და C არ არის ნულოვანი. ყველა სხვა შემთხვევაში, განტოლება ითვლება არასრულად. A x + B y = 0 ფორმის განტოლება განსაზღვრავს სწორ ხაზს, რომელიც გადის საწყისზე. თუ A არის ნული, მაშინ განტოლება A x + B y + C = 0 განსაზღვრავს სწორ ხაზს x ღერძის O x-ის პარალელურად. თუ B უდრის ნულს, მაშინ წრფე პარალელურია ორდინატთა ღერძის O y.
დასკვნა: A, B და C რიცხვების მნიშვნელობების გარკვეული ნაკრებისთვის, სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების გამოყენებით, შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი სწორი ხაზი სიბრტყეზე მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში O x y.
A x + B y + C = 0 ფორმის განტოლებით მოცემულ წრფეს აქვს ნორმალური წრფის ვექტორი A , B კოორდინატებით.
წრფეთა ყველა მოცემული განტოლება, რომელსაც ქვემოთ განვიხილავთ, შეიძლება მივიღოთ წრფის ზოგადი განტოლებიდან. საპირისპირო პროცესი ასევე შესაძლებელია, როდესაც რომელიმე განტოლება შეიძლება შემცირდეს სწორი ხაზის ზოგად განტოლებამდე.
თემის ყველა ნიუანსის გაგება შეგიძლიათ სტატიაში "სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება". მასალაში გთავაზობთ თეორემის დადასტურებას გრაფიკული ილუსტრაციებით და მაგალითების დეტალური ანალიზით. განსაკუთრებული ყურადღება ეთმობა გადასვლებს სწორი ხაზის ზოგადი განტოლებიდან სხვა ტიპის განტოლებამდე და პირიქით.
სწორი ხაზის განტოლებას სეგმენტებში აქვს x a + y b = 1 ფორმა, სადაც a და b არის რამდენიმე რეალური რიცხვი, რომელიც არ არის ნულის ტოლი. a და b რიცხვების აბსოლუტური მნიშვნელობები უდრის იმ სეგმენტების სიგრძეს, რომლებიც მოწყვეტილია სწორი ხაზით კოორდინატთა ღერძებზე. სეგმენტების სიგრძე იზომება კოორდინატების საწყისიდან.
განტოლების წყალობით, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად დახაზოთ სწორი ხაზი ნახაზზე. ამისათვის საჭიროა მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში a, 0 და 0, b წერტილების მონიშვნა და შემდეგ სწორი ხაზით დაკავშირება.
მაგალითი 2
ავაშენოთ სწორი ხაზი, რომელიც მოცემულია ფორმულით x 3 + y - 5 2 = 1. გრაფიკზე 3 , 0 , 0 , - 5 2 ვნიშნავთ ორ წერტილს, ვაკავშირებთ ერთმანეთს.
ეს განტოლებები, რომლებსაც აქვთ y = k · x + b ფორმა, ჩვენთვის კარგად უნდა იყოს ცნობილი ალგებრის კურსიდან. აქ x და y არის ცვლადები, k და b არის რამდენიმე რეალური რიცხვი, რომელთაგან k არის დახრილობა. ამ განტოლებებში ცვლადი y არის x არგუმენტის ფუნქცია.
მოდით მივცეთ დახრილობის განმარტება სწორი ხაზის დახრილობის კუთხის განსაზღვრის გზით O x ღერძის დადებითი მიმართულებით.
განმარტება 2
სწორი ხაზის დახრილობის კუთხის აღსანიშნავად O x ღერძის დადებითი მიმართულების მიმართ დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში შემოგვაქვს α კუთხის მნიშვნელობა. კუთხე იზომება x ღერძის დადებითი მიმართულებიდან სწორ ხაზამდე საათის ისრის საწინააღმდეგოდ. კუთხე α ითვლება ნულის ტოლად, თუ წრფე პარალელურია O x ღერძის ან ემთხვევა მას.
სწორი ხაზის დახრილობა არის ამ სწორი ხაზის დახრილობის ტანგენსი. იგი იწერება შემდეგნაირად k = t g α . სწორი ხაზისთვის, რომელიც პარალელურია O y ღერძის ან ემთხვევა მას, შეუძლებელია სწორი ხაზის განტოლების დაწერა დახრილობით, ვინაიდან დახრილობა ამ შემთხვევაში უსასრულობაში იქცევა (არ არსებობს).
სწორი ხაზი, რომელიც მოცემულია y = k x + b განტოლებით, გადის 0, b წერტილში y ღერძზე. ეს ნიშნავს, რომ სწორი ხაზის განტოლება დახრილობით y \u003d k x + b ადგენს სწორ ხაზს სიბრტყეზე, რომელიც გადის 0, b წერტილში და ქმნის α კუთხეს O x ღერძის დადებითი მიმართულებით, და k. \u003d t g α.
მაგალითი 3
დავხაზოთ სწორი ხაზი, რომელიც განისაზღვრება y = 3 · x - 1 ფორმის განტოლებით.
ეს ხაზი უნდა გაიაროს წერტილი (0 , - 1) . დახრილობის კუთხე α = a r c t g 3 = π 3 უდრის 60 გრადუსს O x ღერძის დადებითი მიმართულების მიმართ. დახრილობა არის 3
გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ სწორი ხაზის განტოლების გამოყენებით დახრილობით, ძალიან მოსახერხებელია ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის განტოლების მოძიება წერტილში.
თემის შესახებ მეტი მასალა შეგიძლიათ იხილოთ სტატიაში "წრფის განტოლება დახრილობით". თეორიის გარდა, არსებობს უამრავი გრაფიკული მაგალითი და ამოცანების დეტალური ანალიზი.
ამ ტიპის განტოლებას აქვს ფორმა x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y, სადაც x 1, y 1, a x, a y არის რამდენიმე რეალური რიცხვი, რომელთაგან x და a y არ არის ნულის ტოლი.
სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებით მოცემული წრფე გადის M 1 წერტილში (x 1 , y 1) . წილადების მნიშვნელებში a x და a y რიცხვები არის სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორის კოორდინატები. ეს ნიშნავს, რომ სწორი ხაზის კანონიკური განტოლება x - x 1 a x = y - y 1 a y დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში O x y შეესაბამება წრფეს, რომელიც გადის M 1 (x 1, y 1) წერტილში და აქვს მიმართულების ვექტორი. a → = (a x , a y) .
მაგალითი 4
დახაზეთ სწორი ხაზი O x y კოორდინატთა სისტემაში, რომელიც მოცემულია x - 2 3 = y - 3 1 განტოლებით. წერტილი M 1 (2, 3) მიეკუთვნება სწორ ხაზს, ვექტორი a → (3, 1) არის ამ სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი.
x - x 1 a x = y - y 1 a y ფორმის კანონიკური სწორი განტოლება შეიძლება გამოყენებულ იქნას იმ შემთხვევებში, როდესაც x ან y არის ნული. ნულის არსებობა მნიშვნელში ხდის აღნიშვნას x - x 1 a x = y - y 1 a y. განტოლება შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად a y (x - x 1) = a x (y - y 1) .
იმ შემთხვევაში, როდესაც x \u003d 0, სწორი ხაზის კანონიკური განტოლება იღებს x - x 1 0 \u003d y - y 1 a y ფორმას და ადგენს სწორ ხაზს, რომელიც პარალელურია ორდინატთა ღერძის ან ემთხვევა ამ ღერძს.
სწორი ხაზის კანონიკური განტოლება, იმ პირობით, რომ y \u003d 0, იღებს ფორმას x - x 1 a x \u003d y - y 1 0. ასეთი განტოლება განსაზღვრავს სწორ ხაზს x ღერძის პარალელურად ან ემთხვევა მას.
მეტი მასალა სწორი ხაზის კანონიკური განტოლების თემაზე იხილეთ აქ. სტატიაში გთავაზობთ პრობლემების არაერთ გადაწყვეტილებებს, ასევე უამრავ მაგალითს, რომელიც საშუალებას გაძლევთ უკეთ დაეუფლოთ თემას.
სიბრტყეზე სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებები
ამ განტოლებებს აქვს ფორმა x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ, სადაც x 1, y 1, a x, a y არის რამდენიმე რეალური რიცხვი, რომელთაგან x და a y ერთდროულად არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი. დრო. დამატებითი პარამეტრი λ შედის ფორმულაში, რომელსაც შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობა.
პარამეტრული განტოლების მიზანია სწორი ხაზის წერტილების კოორდინატებს შორის იმპლიციტური კავშირის დადგენა. ამისათვის შემოღებულია პარამეტრი λ.
რიცხვები x , y არის წრფის რომელიმე წერტილის კოორდინატები. ისინი გამოითვლება სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებებით λ პარამეტრის ზოგიერთი რეალური მნიშვნელობისთვის.
მაგალითი 5
დავუშვათ, რომ λ = 0 .
შემდეგ x \u003d x 1 + a x 0 y \u003d y 1 + a y 0 ⇔ x \u003d x 1 y \u003d y 1, ანუ წერტილი კოორდინატებით (x 1, y 1) ეკუთვნის წრფეს.
თქვენს ყურადღებას ვაქცევთ იმ ფაქტს, რომ a x და a y კოეფიციენტები პარამეტრით λ ამ ტიპის განტოლებებში არის სწორი ხაზის მიმართული ვექტორის კოორდინატები.
მაგალითი 6
განვიხილოთ x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ ფორმის პარამეტრული სწორი განტოლებები. დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში განტოლებებით მოცემული სწორი ხაზი გადის წერტილში (x 1 , y 1) და აქვს მიმართული ვექტორი a → = (3 , 1) .
დამატებითი ინფორმაციისთვის იხილეთ სტატია „სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებები სიბრტყეზე“.
სწორი ხაზის ნორმალურ განტოლებას აქვს ფორმა, A x + B y + C = 0, სადაც A, B და C რიცხვები ისეთია, რომ ვექტორის სიგრძე n → = (A , B) უდრის ერთს. და C ≤ 0 .
წრფის ნორმალური ვექტორი, რომელიც მოცემულია სწორი ხაზის ნორმალური განტოლებით მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში O x y, არის ვექტორი n → = (A , B) . ეს ხაზი გადის საწყისიდან C მანძილზე ვექტორის მიმართულებით n → = (A , B) .
სწორი ხაზის ნორმალური განტოლების ჩაწერის კიდევ ერთი გზაა cos α x + cos β y - p = 0, სადაც cos α და cos β არის ორი რეალური რიცხვი, რომლებიც არის სწორი ხაზის ერთეული სიგრძის ნორმალური ვექტორის მიმართულების კოსინუსები. ეს ნიშნავს, რომ n → = (cos α , cos β) , ტოლობა n → = cos 2 α + cos 2 β = 1 მართალია, მნიშვნელობა p ≥ 0 და უდრის მანძილს საწყისიდან სწორ ხაზამდე.
მაგალითი 7
განვიხილოთ სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება - 1 2 · x + 3 2 · y - 3 = 0 . წრფის ეს ზოგადი განტოლება არის წრფის ნორმალური განტოლება, ვინაიდან n → = A 2 + B 2 = - 1 2 2 + 3 2 = 1 და C = - 3 ≤ 0 .
განტოლება განსაზღვრავს სწორ ხაზს დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში 0xy, რომლის ნორმალურ ვექტორს აქვს კოორდინატები - 1 2 , 3 2 . ხაზი ამოღებულია საწყისიდან 3 ერთეულით ნორმალური ვექტორის მიმართულებით n → = - 1 2 , 3 2 .
თქვენს ყურადღებას ვაქცევთ იმ ფაქტს, რომ სიბრტყეზე სწორი ხაზის ნორმალური განტოლება საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე სიბრტყეზე.
თუ A x + B y + C \u003d 0 წრფის ზოგად განტოლებაში რიცხვები A, B და C ისეთია, რომ განტოლება A x + B y + C \u003d 0 არ არის წრფის ნორმალური განტოლება, მაშინ ის შეიძლება შემცირდეს ნორმალურ ფორმამდე. ამის შესახებ მეტი წაიკითხეთ სტატიაში „წრფის ნორმალური განტოლება“.
თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter
განვიხილოთ ფორმის კავშირი F(x, y)=0ცვლადების დაკავშირება xდა ზე. ტოლობა (1) დაერქმევა განტოლება ორი ცვლადით x, y,თუ ეს ტოლობა არ არის ჭეშმარიტი ყველა წყვილი რიცხვისთვის Xდა ზე. განტოლების მაგალითები: 2x + 3y \u003d 0, x 2 + y 2 - 25 \u003d 0,
sin x + sin y - 1 = 0.
თუ (1) ჭეშმარიტია x და y რიცხვების ყველა წყვილისთვის, მაშინ მას უწოდებენ ვინაობა. პირადობის მაგალითები: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 \u003d 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 \u003d 0.
განტოლება (1) გამოიძახება წერტილთა სიმრავლის განტოლება (x; y),თუ ეს განტოლება დაკმაყოფილებულია კოორდინატებით Xდა ზესიმრავლის ნებისმიერ წერტილს და არ აკმაყოფილებდეს არცერთი წერტილის კოორდინატებს, რომლებიც ამ სიმრავლეს არ ეკუთვნის.
ანალიტიკურ გეომეტრიაში მნიშვნელოვანი ცნებაა წრფის განტოლების კონცეფცია. მოდით მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა და რამდენიმე ხაზი α.
განმარტება.განტოლებას (1) ეწოდება წრფივი განტოლება α
(შექმნილ კოორდინატთა სისტემაში), თუ ეს განტოლება დაკმაყოფილებულია კოორდინატებით Xდა ზეხაზის ნებისმიერი წერტილი α
, და არ დააკმაყოფილოთ ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები, რომელიც არ დევს ამ ხაზზე.
თუ (1) არის წრფის განტოლება α, მაშინ ვიტყვით, რომ განტოლება (1) განსაზღვრავს (ადგენს)ხაზი α.
ხაზი α შეიძლება განისაზღვროს არა მხოლოდ ფორმის (1) განტოლებით, არამედ ფორმის განტოლებით
F(P, φ) = 0, რომელიც შეიცავს პოლარულ კოორდინატებს.
- სწორი ხაზის განტოლება დახრილობასთან;
მიეცით სწორი ხაზი, ღერძის პერპენდიკულარული არ არის ოჰ. დავურეკოთ დახრის კუთხემოცემული ხაზი ღერძზე ოჰკუთხე α რომლითაც მოატრიალებს ღერძი ოჰისე, რომ დადებითი მიმართულება ემთხვევა სწორი ხაზის ერთ-ერთ მიმართულებას. სწორი ხაზის დახრილობის კუთხის ტანგენსი ღერძზე ოჰდაურეკა ფერდობის ფაქტორიეს სწორი ხაზი და აღინიშნება ასოთი რომ.
|
|||
|
|||
ჩვენ გამოვიყვანთ ამ სწორი ხაზის განტოლებას, თუ ვიცით მისი რომდა მნიშვნელობა სეგმენტში OV, რომელსაც იგი წყვეტს ღერძზე OU.
|
|
განტოლება (2) ეწოდება სწორი ხაზის განტოლება დახრილობასთან.თუ K=0, მაშინ ხაზი ღერძის პარალელურია ოჰდა მისი განტოლება არის y = b.
- ორ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება;
|
|
. ეს არის განტოლება, თუ y 1 ≠ y 2, შეიძლება დაიწეროს როგორც: თუ y 1 = y 2, მაშინ სასურველი სწორი ხაზის განტოლებას აქვს ფორმა y = y 1. ამ შემთხვევაში, ხაზი ღერძის პარალელურია ოჰ. თუ x 1 = x 2, შემდეგ წერტილებში გამავალი ხაზი M 1და M 2ღერძის პარალელურად OU, მის განტოლებას აქვს ფორმა x = x 1.
- მოცემულ წერტილში მოცემული დახრილობით გამავალი სწორი ხაზის განტოლება;
|
|
და, პირიქით, განტოლება (5) თვითნებური კოეფიციენტებისთვის A, B, C (დადა B ≠ 0ერთდროულად) განსაზღვრავს რაღაც ხაზს მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ოჰუ.
მტკიცებულება.
ჯერ დავამტკიცოთ პირველი მტკიცება. თუ ხაზი არ არის პერპენდიკულარული ოჰ,მაშინ იგი განისაზღვრება პირველი ხარისხის განტოლებით: y = kx + b, ე.ი. (5) ფორმის განტოლება, სადაც
A=k, B=-1და C = b.თუ ხაზი პერპენდიკულარულია ოჰ,მაშინ მის ყველა წერტილს აქვს ერთი და იგივე აბსციზა მნიშვნელობის ტოლი α სეგმენტი მოწყვეტილია ღერძზე სწორი ხაზით ოჰ.
ამ წრფის განტოლებას აქვს ფორმა x = α,იმათ. ასევე არის (5) ფორმის პირველი ხარისხის განტოლება, სადაც A \u003d 1, B \u003d 0, C \u003d - α.ეს ადასტურებს პირველ მტკიცებას.
დავამტკიცოთ საპირისპირო განცხადება. მოდით, მოცემული იყოს განტოლება (5) და მინიმუმ ერთი კოეფიციენტი დადა B ≠ 0.
თუ B ≠ 0, მაშინ (5) შეიძლება დაიწეროს როგორც . დახრილი 
, ვიღებთ განტოლებას y = kx + b, ე.ი. (2) ფორმის განტოლება, რომელიც განსაზღვრავს სწორ ხაზს.
თუ B = 0, მაშინ A ≠ 0და (5) იღებს ფორმას. აღნიშნავს მეშვეობით α, ვიღებთ
x = α, ე.ი. პერპენდიკულარული სწორი ხაზის განტოლება Ox.
მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში პირველი ხარისხის განტოლებით განსაზღვრული ხაზები ეწოდება პირველი შეკვეთის ხაზები.
ტიპის განტოლება Ah + Wu + C = 0არასრულია, ე.ი. ერთ-ერთი კოეფიციენტი ნულის ტოლია.
1) C = 0; აჰ + ვუ = 0და განსაზღვრავს საწყისზე გამავალ ხაზს.
2) B = 0 (A ≠ 0); განტოლება Ax + C = 0 OU.
3) A = 0 (B ≠ 0); ვუ + C = 0და განსაზღვრავს წრფეს პარალელურად ოჰ.
განტოლებას (6) ეწოდება სწორი ხაზის განტოლება "სეგმენტებში". ნომრები ადა ბარის სეგმენტების მნიშვნელობები, რომლებსაც სწორი ხაზი წყვეტს კოორდინატთა ღერძებზე. განტოლების ეს ფორმა მოსახერხებელია სწორი ხაზის გეომეტრიული კონსტრუქციისთვის.
- სწორი ხაზის ნორმალური განტოლება;
Аx + Вy + С = 0 არის ზოგიერთი სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება და (5) x cos α + y sin α – p = 0(7)
მისი ნორმალური განტოლება.
ვინაიდან განტოლებები (5) და (7) განსაზღვრავენ ერთსა და იმავე სწორ ხაზს, მაშინ ( A 1x + B 1y + C 1 \u003d 0და
A 2x + B 2y + C 2 = 0 => 
) ამ განტოლებების კოეფიციენტები პროპორციულია. ეს ნიშნავს, რომ (5) განტოლების ყველა პირობის გამრავლებით M ფაქტორზე, მივიღებთ განტოლებას. MA x + MB y + MS = 0, ემთხვევა განტოლებას (7) ე.ი.
MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)
M კოეფიციენტის საპოვნელად, ამ ტოლობებიდან პირველ ორს კვადრატში ვამატებთ და ვამატებთ:
M 2 (A 2 + B 2) \u003d cos 2 α + sin 2 α \u003d 1
(9)