http//:www.svkspb.nm.ru

ბრტყელი მონაკვეთების გეომეტრიული მახასიათებლები

მოედანი: , dF - ელემენტარული პლატფორმა.

ფართობის ელემენტის სტატიკური მომენტიdFღერძთან შედარებით 0x
- ფართობის ელემენტის ნამრავლი "y" მანძილით 0x ღერძიდან: dS x = ydF

ასეთი პროდუქტების შეჯამებით (ინტეგრებით) ფიგურის მთელ ფართობზე, ვიღებთ სტატიკური მომენტები y და x ღერძებთან შედარებით:
;
[სმ 3, მ 3 და ა.შ.].

სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები:
. სტატიკური მომენტები შედარებითი ცენტრალური ღერძები(ნაკვეთის სიმძიმის ცენტრში გამავალი ღერძი) ნულის ტოლია. რთული ფიგურის სტატიკური მომენტების გამოთვლისას იგი იყოფა მარტივ ნაწილებად, ცნობილი ფართობებით F i და სიმძიმის ცენტრების კოორდინატებით x i, y i. მთელი ფიგურის ფართობის სტატიკური მომენტი = ჯამი. მისი თითოეული ნაწილის სტატიკური მომენტები:
.

რთული ფიგურის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები:

მ
განყოფილების ინერციის მომენტები

ღერძული(ეკვატორული) ინერციის მონაკვეთის მომენტი- ელემენტარული ფართობების ნამრავლების ჯამი dF ღერძამდე მათი მანძილების კვადრატებით.

;
[სმ 4, მ 4 და ა.შ.].

მონაკვეთის ინერციის პოლარული მომენტი გარკვეულ წერტილთან (პოლუსთან) არის ელემენტარული ფართობების ნამრავლების ჯამი ამ წერტილიდან მათი მანძილების კვადრატებით.
; [სმ 4, მ 4 და ა.შ.]. J y + J x = J p.

მონაკვეთის ინერციის ცენტრიდანული მომენტი- ელემენტარული ფართობების ნამრავლების ჯამი და მათი მანძილი ორი ურთიერთ პერპენდიკულარული ღერძიდან.
.

მონაკვეთის ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ღერძებთან მიმართებაში, რომელთაგან ერთი ან ორივე ემთხვევა სიმეტრიის ღერძებს, ნულის ტოლია.

ინერციის ღერძული და პოლარული მომენტები ყოველთვის დადებითია; ინერციის ცენტრიდანული მომენტები შეიძლება იყოს დადებითი, უარყოფითი ან ნულოვანი.

რთული ფიგურის ინერციის მომენტი უდრის მისი შემადგენელი ნაწილების ინერციის მომენტების ჯამს.

მარტივი ფორმის მონაკვეთების ინერციის მომენტები

პ
მართკუთხა მონაკვეთის წრე

TO


ბეჭედი

თ
სამკუთხედი

რ
იზოფემორალური

მართკუთხა

თ
სამკუთხედი

ჰ მეოთხედი წრე

J y =J x =0.055R 4

J xy =0.0165R 4

ნახ. (-)

ნახევარწრე

მ

სტანდარტული პროფილების ინერციის მომენტები გვხვდება ასორტიმენტის ცხრილებიდან:

დ
ვუტავრ არხი კუთხე

მ

ინერციის მომენტები პარალელური ღერძების მიმართ:

ჯ x1 =J x + a 2 F;

J y1 =J y + b 2 F;

ინერციის მომენტი ნებისმიერი ღერძის მიმართ უდრის ინერციის მომენტს ცენტრალურ ღერძზე მოცემული პარალელურად, პლუს ფიგურის ფართობის ნამრავლი და ღერძებს შორის მანძილის კვადრატი. J y1x1 =J yx + abF; ("a" და "b" ჩანაცვლებულია ფორმულაში მათი ნიშნის გათვალისწინებით).

შორის დამოკიდებულება ინერციის მომენტები ღერძების მობრუნებისას:

ჯ x1 =J x cos 2  + J y sin 2  - J xy sin2; J y1 =J y cos 2  + J x sin 2  + J xy sin2;

J x1y1 =(J x - J y)sin2 + J xy cos2 ;

კუთხე >0, თუ ძველი კოორდინატთა სისტემიდან ახალზე გადასვლა ხდება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ. J y1 + J x1 = J y + J x

ინერციის მომენტების უკიდურესი (მაქსიმალური და მინიმალური) მნიშვნელობები ეწოდება ინერციის ძირითადი მომენტები. ღერძებს, რომლებზეც ინერციის ღერძულ მომენტებს აქვთ უკიდურესი მნიშვნელობები, ეწოდება ინერციის ძირითადი ღერძი. ინერციის ძირითადი ღერძი ერთმანეთის პერპენდიკულურია. ინერციის ცენტრიდანული მომენტები მთავარ ღერძებზე = 0, ე.ი. ინერციის მთავარი ღერძი - ღერძები, რომლებზეც ინერციის ცენტრიდანული მომენტი = 0. თუ ერთ-ერთი ღერძი ემთხვევა ან ორივე ემთხვევა სიმეტრიის ღერძს, მაშინ ისინი არიან მთავარი. კუთხე, რომელიც განსაზღვრავს ძირითადი ღერძების პოზიციას:
, თუ  0 >0  ღერძები ბრუნავენ საათის ისრის საწინააღმდეგოდ. მაქსიმალური ღერძი ყოველთვის ქმნის უფრო მცირე კუთხეს იმ ღერძებთან მიმართებაში, რომლებზეც ინერციის მომენტს უფრო დიდი მნიშვნელობა აქვს. სიმძიმის ცენტრში გამავალ ძირითად ღერძებს ე.წ ინერციის მთავარი ცენტრალური ღერძი. ინერციის მომენტები ამ ღერძების მიმართ:

J max + J min = J x + J y. ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ინერციის მთავარ ცენტრალურ ღერძებთან მიმართებაში უდრის 0-ს. თუ ცნობილია ინერციის ძირითადი მომენტები, მაშინ ბრუნულ ღერძებზე გადასვლის ფორმულებია:

J x1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J y1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J x1y1 =(J max - J min)sin2;

მონაკვეთის გეომეტრიული მახასიათებლების გამოთვლის საბოლოო მიზანია ინერციის მთავარი ცენტრალური მომენტების და ინერციის მთავარი ცენტრალური ღერძების პოზიციის დადგენა. რ ინერციის რადიუსი -
; J x =Fi x 2, J y =Fi y 2.

თუ J x და J y არის ინერციის მთავარი მომენტები, მაშინ i x და i y - ინერციის ძირითადი რადიუსი. ელიფსს, რომელიც აგებულია ინერციის მთავარ რადიუსებზე, როგორც ნახევარღერძებზე, ეწოდება ინერციის ელიფსი. ინერციის ელიფსის გამოყენებით, შეგიძლიათ გრაფიკულად იპოვოთ ინერციის i x1 რადიუსი ნებისმიერი x1 ღერძისთვის. ამისათვის თქვენ უნდა დახაზოთ ტანგენსი ელიფსთან, x1 ღერძის პარალელურად და გაზომოთ მანძილი ამ ღერძიდან ტანგენსამდე. ინერციის რადიუსის ცოდნა, შეგიძლიათ იპოვოთ მონაკვეთის ინერციის მომენტი x 1 ღერძის მიმართ:
. სიმეტრიის ორზე მეტი ღერძის მქონე მონაკვეთებისთვის (მაგალითად: წრე, კვადრატი, რგოლი და ა. ინერციის წრე.

წინააღმდეგობის მომენტები.

წინააღმდეგობის ღერძული მომენტი- ღერძის მიმართ ინერციის მომენტის თანაფარდობა მისგან დაშორებულ მონაკვეთის ყველაზე შორეულ წერტილამდე.
[სმ 3, მ 3]

განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია წინააღმდეგობის მომენტები მთავარ ცენტრალურ ღერძებთან მიმართებაში:

მართკუთხედი:
; წრე: W x =W y =
,

მილისებური მონაკვეთი (რგოლი): W x =W y =
, სადაც = d N / d B .

წინააღმდეგობის პოლარული მომენტი - ინერციის პოლარული მომენტის თანაფარდობა პოლუსიდან მონაკვეთის ყველაზე შორეულ წერტილამდე დაშორებამდე:
.

წრისთვის W р =
.

მონაკვეთის ინერციის ღერძული (ან ეკვატორული) მომენტი გარკვეულ ღერძთან მიმართებაში არის ელემენტარული ფართობების ნამრავლების ჯამი, რომელიც აღებულია მის მთელ ფართობზე F ამ ღერძიდან მათი მანძილის კვადრატებით, ე.ი.

მონაკვეთის ინერციის პოლარული მომენტი გარკვეულ წერტილთან (პოლუსთან) არის ელემენტარული ფართობების ნამრავლების ჯამი, რომლებიც აღებულია მის მთელ ფართობზე F ამ წერტილიდან მათი მანძილების კვადრატებით, ე.ი.

მონაკვეთის ინერციის ცენტრიდანული მომენტი რამდენიმე ორ ორმხრივ პერპენდიკულარულ ღერძთან მიმართებაში არის ელემენტარული ფართობების ნამრავლების ჯამი, რომელიც აღებულია მის მთელ ფართობზე F და მათი დაშორებები ამ ღერძებიდან, ე.ი.

ინერციის მომენტები გამოიხატება და ა.შ.

ინერციის ღერძული და პოლარული მომენტები ყოველთვის დადებითია, რადგან მათი გამონათქვამები ინტეგრალური ნიშნების ქვეშ მოიცავს უბნების მნიშვნელობებს (ყოველთვის დადებითი) და ამ უბნების მანძილების კვადრატებს მოცემული ღერძიდან ან პოლუსიდან.

ნახ. 9.5, a აჩვენებს მონაკვეთს F ფართობით და აჩვენებს y და z ღერძებს. ამ მონაკვეთის ინერციის ღერძული მომენტები y ღერძებთან მიმართებაში:

ინერციის ამ მომენტების ჯამი

და, შესაბამისად

ამრიგად, მონაკვეთის ინერციის ღერძული მომენტების ჯამი ორ ურთიერთ პერპენდიკულარულ ღერძთან მიმართებაში უდრის ამ მონაკვეთის ინერციის პოლარულ მომენტს ამ ღერძების გადაკვეთის წერტილთან მიმართებაში.

ინერციის ცენტრიდანული მომენტები შეიძლება იყოს დადებითი, უარყოფითი ან ნულოვანი. მაგალითად, ნახ. 9.5, a, y-სთან და ღერძებთან შედარებით დადებითია, რადგან ამ მონაკვეთის ძირითადი ნაწილისთვის, რომელიც მდებარეობს პირველ კვადრატში, მნიშვნელობები და, შესაბამისად, დადებითია.

თუ თქვენ შეცვლით y ღერძის დადებით მიმართულებას ან საპირისპირო მიმართულებას (ნახ. 9.5, ბ) ან ორივე ამ ღერძს ატრიალებთ 90°-ით (ნახ. 9.5, გ), მაშინ ინერციის ცენტრიდანული მომენტი გახდება უარყოფითი (მისი აბსოლუტური მნიშვნელობა არ შეიცვლება), რადგან განყოფილების ძირითადი ნაწილი განთავსდება კვადრატში, რომლისთვისაც y კოორდინატები დადებითია, ხოლო z - უარყოფითი. თუ თქვენ შეცვლით ორივე ღერძის დადებით მიმართულებებს საპირისპიროდ, ეს არ შეცვლის ინერციის ცენტრიდანული მომენტის არც ნიშანს და არც სიდიდეს.

განვიხილოთ ფიგურა, რომელიც სიმეტრიულია ერთი ან მეტი ღერძის მიმართ (ნახ. 10.5). ღერძები ისე დავხატოთ, რომ ერთი მათგანი მაინც (ამ შემთხვევაში y-ღერძი) ემთხვევა ფიგურის სიმეტრიის ღერძს. ამ შემთხვევაში, თითოეული პლატფორმა, რომელიც მდებარეობს ღერძის მარჯვნივ, შეესაბამება იმავე პლატფორმას, რომელიც მდებარეობს სიმეტრიულად პირველთან, მაგრამ y-ღერძის მარცხნივ. ასეთი სიმეტრიულად განლაგებული პლატფორმების თითოეული წყვილის ინერციის ცენტრიდანული მომენტი უდრის:

აქედან გამომდინარე,

ამრიგად, მონაკვეთის ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ღერძებთან მიმართებაში, რომელთაგან ერთი ან ორივე ემთხვევა მის სიმეტრიის ღერძებს, უდრის ნულს.

რთული მონაკვეთის ინერციის ღერძული მომენტი გარკვეულ ღერძთან მიმართებაში უდრის მისი შემადგენელი ნაწილების ინერციის ღერძული მომენტების ჯამს იმავე ღერძთან მიმართებაში.

ანალოგიურად, რთული მონაკვეთის ცენტრიდანული ინერციის მომენტი რომელიმე ორ ორმხრივ პერპენდიკულარულ ღერძთან მიმართებაში უდრის მისი შემადგენელი ნაწილების ინერციის ცენტრიდანული მომენტების ჯამს იმავე ღერძებთან მიმართებაში. ასევე, რთული მონაკვეთის ინერციის პოლარული მომენტი გარკვეულ წერტილთან მიმართებაში უდრის მისი შემადგენელი ნაწილების ინერციის პოლარული მომენტების ჯამს იმავე წერტილთან მიმართებაში.

გასათვალისწინებელია, რომ სხვადასხვა ღერძებსა და წერტილებზე გამოთვლილი ინერციის მომენტები არ შეიძლება შეჯამდეს.

სტრუქტურების ნაწილების სიძლიერის შემოწმებისას უნდა შევხვდეთ საკმაოდ რთული ფორმის მონაკვეთებს, რისთვისაც შეუძლებელია ინერციის მომენტის გამოთვლა ისეთი მარტივი გზით, როგორიც მართკუთხედისა და წრისთვის გამოვიყენეთ.

ასეთი განყოფილება შეიძლება იყოს, მაგალითად, T-ზოლი (ნახ. 5 ა) მილის რგოლოვანი მონაკვეთი, რომელიც ექვემდებარება ღუნვას (თვითმფრინავის კონსტრუქციები) (ნახ. 5, ბ), ლილვის ჟურნალის რგოლოვანი მონაკვეთი ან კიდევ უფრო რთული მონაკვეთები. ყველა ეს მონაკვეთი შეიძლება დაიყოს მარტივებად, როგორიცაა მართკუთხედები, სამკუთხედები, წრეები და ა.შ. შეიძლება ნაჩვენები იყოს, რომ ასეთი რთული ფიგურის ინერციის მომენტი არის იმ ნაწილების ინერციის მომენტების ჯამი, რომლებშიც მას ვყოფთ.

ნახ.5. T ტიპის სექციები - ა) და ბეჭედი ბ)

ცნობილია, რომ ნებისმიერი ფიგურის ინერციის მომენტი ღერძის მიმართ ზე— ზეტოლია:

სად ზ- ელემენტარული ბალიშების მანძილი ღერძამდე ზე—ზე.

აღებული ფართობი გავყოთ ოთხ ნაწილად: , , და . ახლა, ინერციის მომენტის გამოთვლისას, შეგიძლიათ დააჯგუფოთ ტერმინები ინტეგრანდულ ფუნქციაში ისე, რომ ცალ-ცალკე შეასრულოთ შეჯამება შერჩეული ოთხი სფეროდან და შემდეგ დაამატოთ ეს ჯამები. ეს არ შეცვლის ინტეგრალის მნიშვნელობას.

ჩვენი ინტეგრალი დაიყოფა ოთხ ინტეგრალად, რომელთაგან თითოეული მოიცავს ერთ სფეროს, და:

თითოეული ეს ინტეგრალი წარმოადგენს ფართობის შესაბამისი ნაწილის ინერციის მომენტს ღერძთან მიმართებაში. ზე— ზე; Ამიტომაც

სად არის ინერციის მომენტი ღერძის მიმართ ზე — ზეფართობი, - იგივე ფართობი და ა.შ.

მიღებული შედეგი შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: რთული ფიგურის ინერციის მომენტი უდრის მისი შემადგენელი ნაწილების ინერციის მომენტების ჯამს. ამრიგად, ჩვენ უნდა შევძლოთ გამოვთვალოთ ნებისმიერი ფიგურის ინერციის მომენტი მის სიბრტყეში მდებარე ნებისმიერ ღერძთან მიმართებაში.

ამ პრობლემის გადაწყვეტა ამ და მომდევნო ორი ინტერვიუს შინაარსია.

ინერციის მომენტები პარალელური ღერძების მიმართ.

ნებისმიერი ღერძის მიმართ ნებისმიერი ფიგურის ინერციის მომენტის გამოსათვლელად უმარტივესი ფორმულების მოპოვების ამოცანა გადაიჭრება რამდენიმე ნაბიჯით. თუ ავიღებთ ღერძების სერიას ერთმანეთის პარალელურად, გამოდის, რომ ჩვენ შეგვიძლია ადვილად გამოვთვალოთ ფიგურის ინერციის მომენტები რომელიმე ამ ღერძზე, ვიცოდეთ მისი ინერციის მომენტი ღერძის მიმართ, რომელიც გადის ფიგურის სიმძიმის ცენტრში. არჩეული ღერძების პარალელურად.

ნახ.1.გაანგარიშების მოდელი პარალელური ღერძების ინერციის მომენტების დასადგენად.

სიმძიმის ცენტრში გამავალ ღერძებს დავარქმევთ ცენტრალური ღერძები. ავიღოთ (ნახ. 1) თვითნებური ფიგურა. დავხატოთ ცენტრალური ღერძი OUამ ღერძის მიმართ ინერციის მომენტს დავარქმევთ . მოდით დავხატოთ ღერძი ფიგურის სიბრტყეში პარალელურადცულები ზემისგან დაშორებით. ვიპოვოთ ურთიერთობა და - ღერძის მიმართ ინერციის მომენტს შორის. ამისათვის ჩვენ დავწერთ გამონათქვამებს და . მოდით გავყოთ ფიგურის ფართობი ზონებად; თითოეული ასეთი პლატფორმის მანძილი ღერძებამდე ზედა დავურეკოთ და . მერე

ნახ. 1-დან გვაქვს:

ამ სამი ინტეგრალიდან პირველი არის ცენტრალური ღერძის მიმართ ინერციის მომენტი OU. მეორე არის სტატიკური მომენტი იმავე ღერძის გარშემო; ის ნულის ტოლია, რადგან ღერძი ზეგადის ფიგურის სიმძიმის ცენტრში. საბოლოოდ, მესამე ინტეგრალი უდრის ფიგურის ფართობს ფ. ამრიგად,

(1)

ანუ, ინერციის მომენტი ნებისმიერი ღერძის მიმართ უდრის ინერციის მომენტს ცენტრალურ ღერძზე მოცემულის პარალელურად, პლუს ფიგურის ფართობის ნამრავლი და ღერძებს შორის მანძილის კვადრატი.

ეს ნიშნავს, რომ ჩვენი ამოცანა ახლა შემცირდა მხოლოდ ინერციის ცენტრალური მომენტების გამოთვლაზე; თუ ჩვენ ვიცნობთ მათ, შეგვიძლია გამოვთვალოთ ინერციის მომენტი ნებისმიერი სხვა ღერძის მიმართ. (1) ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ მთავარიინერციის მომენტია ყველაზე პატარაპარალელური ღერძების მიმართ ინერციის მომენტებს შორის და ამისთვის ვიღებთ:

ასევე ვიპოვოთ ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ცენტრალური ღერძების პარალელურად, თუ ცნობილია (სურ. 1). ვინაიდან განსაზღვრებით

სადაც: , შემდეგ მოჰყვება

ვინაიდან ბოლო ორი ინტეგრალი წარმოადგენს ფართობის სტატიკური მომენტებს ცენტრალური ღერძების გარშემო OUდა ოზიშემდეგ ისინი ქრება და, შესაბამისად:

(2)

ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ცენტრალურთან პარალელურად ორმხრივი პერპენდიკულური ღერძების სისტემასთან მიმართებაში ტოლია ამ ცენტრალურ ღერძებთან მიმართებაში ინერციის ცენტრიდანული მომენტის პლუს ფიგურის ფართობის ნამრავლი და მისი სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები. ახალ ღერძებთან შედარებით.

კავშირი ინერციის მომენტებს შორის ღერძების მობრუნებისას.

შეგიძლიათ დახაზოთ იმდენი ცენტრალური ღერძი, რამდენიც გსურთ. ჩნდება კითხვა, შესაძლებელია თუ არა გამოვხატოთ ინერციის მომენტი რომელიმე ცენტრალურ ღერძზე, რაც დამოკიდებულია ინერციის მომენტზე ერთი ან ორი. გარკვეულიცულები. ამისთვის ვნახოთ, როგორ შეიცვლება ინერციის მომენტები ორი ურთიერთ პერპენდიკულარული ღერძის შესახებ, როდესაც ისინი ბრუნავენ კუთხით.

ავიღოთ ფიგურა და დავხატოთ მისი სიმძიმის ცენტრში შესახებორი ერთმანეთის პერპენდიკულარული ღერძი OUდა ოზი(ნახ.2).

ნახ.2.გაანგარიშების მოდელი ბრუნული ღერძების ინერციის მომენტების დასადგენად.

გავიგოთ ინერციის ღერძული მომენტები ამ ღერძების მიმართ, ასევე ინერციის ცენტრიდანული მომენტი. დავხატოთ კოორდინატთა ღერძების მეორე სისტემა და პირველზე დახრილი კუთხით; ჩვენ განვიხილავთ ამ კუთხის დადებით მიმართულებას წერტილის გარშემო ღერძების მობრუნებისას შესახებსაათის საწინააღმდეგოდ. წარმოშობა შესახებგადარჩენა. გამოვხატოთ მომენტები კოორდინატთა ღერძების მეორე სისტემასთან და ინერციის ცნობილი მომენტების მეშვეობით და .

მოდით დავწეროთ გამონათქვამები ინერციის მომენტებისთვის ამ ღერძების შესახებ:

ანალოგიურად:

პრობლემების გადასაჭრელად შეიძლება დაგჭირდეთ ფორმულები ერთი ღერძიდან მეორეზე გადასვლისთვის, ცენტრიდანული ინერციის მომენტისთვის. ღერძების მობრუნებისას (ნახ. 2) გვაქვს:

სად და გამოითვლება ფორმულების გამოყენებით (14.10); მერე

გარდაქმნების შემდეგ ვიღებთ:

(7)

ამგვარად, იმისათვის, რომ გამოვთვალოთ ინერციის მომენტი რომელიმე ცენტრალურ ღერძზე, თქვენ უნდა იცოდეთ ინერციის მომენტები ნებისმიერი ორი ერთმანეთის პერპენდიკულარული ცენტრალური ღერძის სისტემის შესახებ. OUდა ოზი, ინერციის ცენტრიდანული მომენტი იმავე ღერძების მიმართ და ღერძის დახრილობის კუთხე ღერძის მიმართ ზე.

მნიშვნელობების გამოსათვლელად, თქვენ უნდა აირჩიოთ ასეთი ღერძები ზედა ზდა დაყავით ფიგურის ფართობი ისეთ კომპონენტურ ნაწილებად, რომ შეძლოთ ამ გაანგარიშების გაკეთება, მხოლოდ თითოეული კომპონენტის ნაწილის ცენტრალური ღერძებიდან მათ პარალელურ ღერძებზე გადასვლის ფორმულების გამოყენებით. როგორ გავაკეთოთ ეს პრაქტიკაში ქვემოთ ნაჩვენები იქნება მაგალითის გამოყენებით. გაითვალისწინეთ, რომ ამ გამოთვლაში რთული ფიგურები უნდა დაიყოს ისეთ ელემენტარულ ნაწილებად, რომლებისთვისაც, თუ ეს შესაძლებელია, ცნობილია ინერციის ცენტრალური მომენტების მნიშვნელობები ურთიერთპერპენდიკულარული ღერძების სისტემასთან შედარებით.

გაითვალისწინეთ, რომ გამოყვანის პროგრესი და მიღებული შედეგები არ შეიცვლებოდა, თუ კოორდინატების წარმოშობა იქნებოდა აღებული არა მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრში, არამედ ნებისმიერ სხვა წერტილში. შესახებ. ამრიგად, ფორმულები (6) და (7) არის ორმხრივი პერპენდიკულარული ღერძების ერთი სისტემიდან მეორეზე გადასვლის ფორმულები, რომლებიც ბრუნავს გარკვეული კუთხით, მიუხედავად იმისა, არის ეს ცენტრალური ღერძები თუ არა.

ფორმულებიდან (6) შეიძლება მივიღოთ სხვა კავშირი ინერციის მომენტებს შორის ღერძების შემობრუნებისას. გამოთქმების დამატება და მივიღებთ

ანუ ინერციის მომენტების ჯამი ნებისმიერი ურთიერთ პერპენდიკულარული ღერძის მიმართ ზედა ზარ იცვლება მათი მობრუნებისას. ბოლო გამოხატვის ჩანაცვლებით და მათი მნიშვნელობების ნაცვლად, მივიღებთ:

სად არის ადგილების მანძილი dFწერტილიდან შესახებ. რაოდენობა, როგორც უკვე ცნობილია, არის მონაკვეთის ინერციის პოლარული მომენტი წერტილის მიმართ შესახებ.

ამრიგად, მონაკვეთის ინერციის პოლარული მომენტი რომელიმე წერტილთან მიმართებაში უდრის ინერციის ღერძულ მომენტების ჯამს ამ წერტილში გამავალ ორმხრივ პერპენდიკულარულ ღერძებთან. მაშასადამე, ეს ჯამი მუდმივი რჩება ღერძების მობრუნებისას. ეს დამოკიდებულება (14.16) შეიძლება გამოყენებულ იქნას ინერციის მომენტების გაანგარიშების გასამარტივებლად.

ასე რომ, წრისთვის:

ვინაიდან სიმეტრიით წრის შემდეგ

რაც ზემოთ იქნა მიღებული ინტეგრაციით.

ანალოგიურად, თხელკედლიანი რგოლის მონაკვეთისთვის შეგიძლიათ მიიღოთ:

ინერციის ძირითადი ღერძი და ინერციის ძირითადი მომენტები.

როგორც უკვე ცნობილია, ინერციის ცენტრალური მომენტების ცოდნა და მოცემული ფიგურისთვის შეგიძლიათ გამოთვალოთ ინერციის მომენტი ნებისმიერი სხვა ღერძის მიმართ.

ამ შემთხვევაში, შესაძლებელია ღერძების მთავარ სისტემად ავიღოთ ისეთი სისტემა, რომელშიც ფორმულები მნიშვნელოვნად გამარტივებულია. კერძოდ, შესაძლებელია ვიპოვოთ კოორდინატთა ღერძების სისტემა, რომლისთვისაც ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ნულის ტოლია. სინამდვილეში, ინერციის მომენტები ყოველთვის დადებითია, ისევე როგორც პოზიტიური წევრთა ჯამი, მაგრამ ცენტრიდანული მომენტი

შეიძლება იყოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი, რადგან პირობები zydFშეიძლება იყოს სხვადასხვა ნიშნის ნიშნებიდან გამომდინარე ზდა ზეამა თუ იმ საიტისთვის. ეს ნიშნავს, რომ ის შეიძლება იყოს ნულის ტოლი.

ღერძებს, რომლებზეც ქრება ინერციის ცენტრიდანული მომენტი, ეწოდება მთავარი ღერძებიინერცია. თუ ასეთი სისტემის დასაწყისი მოთავსებულია ფიგურის სიმძიმის ცენტრში, მაშინ ეს იქნება მთავარი ცენტრალური ღერძები. აღვნიშნავთ ამ ცულებს და ; მათთვის

ვიპოვოთ რა კუთხით არის დახრილი ძირითადი ღერძები y და z ცენტრალური ღერძებისკენ (სურ. 198).

ნახ.1.ინერციის ძირითადი ღერძების პოზიციის დასადგენად საანგარიშო მოდელი.

ცულებიდან გადაადგილების ცნობილ გამოთქმაში yzღერძებს, ინერციის ცენტრიდანული მომენტისთვის ვაძლევთ კუთხეს მნიშვნელობას; მაშინ ღერძები და დაემთხვევა მთავარს, ხოლო ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ნულის ტოლი იქნება:

(1)

ეს განტოლება კმაყოფილდება ორი მნიშვნელობით, რომელიც განსხვავდება 180°-ით, ან ორი მნიშვნელობით, რომელიც განსხვავდება 90°-ით. ასე რომ, ეს განტოლება გვაძლევს პოზიციას ორი ცული, ქმნიან მართ კუთხეს ერთმანეთთან. ეს იქნება მთავარი ცენტრალური ღერძები და რისთვისაც .

ამ ფორმულის გამოყენებით, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ცნობილი ფორმულები ინერციის ძირითადი მომენტების ფორმულების მისაღებად და. ამისათვის ჩვენ კვლავ ვიყენებთ გამონათქვამებს ინერციის ღერძული მომენტების ზოგადი პოზიციისთვის. ისინი განსაზღვრავენ მნიშვნელობებს და თუ შევცვლით

(2)

შედეგად მიღებული ურთიერთობები შეიძლება გამოყენებულ იქნას პრობლემების გადასაჭრელად. ინერციის ერთ-ერთი მთავარი მომენტია, მეორე.

ფორმულები (2) შეიძლება გარდაიქმნას მნიშვნელობისგან თავისუფალ ფორმაში. მათი მნიშვნელობების გამოთქმა და ჩანაცვლება პირველ ფორმულაში (2), ჩვენ ვიღებთ, ხოლო პარალელურად ვაკეთებთ ჩანაცვლებას ფორმულიდან (1):

აქ წილადის ჩანაცვლება ფორმულიდან (1)-ით

ვიღებთ

(3)

იგივე გამოხატულება შეიძლება მივიღოთ მეორე ფორმულის (3) მსგავსი ტრანსფორმაციის განხორციელებით.

ცენტრალური ღერძების ძირითადი სისტემისთვის, საიდანაც შეიძლება სხვაზე გადასვლა, შეიძლება აიღოს OUდა ოზი, და მთავარი ღერძები და ; მაშინ ინერციის ცენტრიდანული მომენტი () არ გამოჩნდება ფორმულებში. ღერძის მიერ გაკეთებული კუთხე , (ნახ. 2) მთავარი ღერძით , ავღნიშნოთ . , და , ღერძებიდან გადასასვლელად და , თქვენ უნდა შეცვალოთ კუთხე , a , და ადრე ნაპოვნი გამონათქვამებში , და , და , და . შედეგად ვიღებთ:

გარეგნულად, ეს ფორმულები სრულიად ჰგავს ნორმალური და ათვლის ძაბვის ფორმულებს ორი ურთიერთ პერპენდიკულარული უბნის გასწვრივ ელემენტში, რომელიც ექვემდებარება დაძაბულობას ორი მიმართულებით. ჩვენ მხოლოდ მივუთითებთ ფორმულას, რომელიც საშუალებას გვაძლევს ორი კუთხის მნიშვნელობიდან ავირჩიოთ ის, რომელიც შეესაბამება პირველი მთავარი ღერძის გადახრას (მაქსიმ. ჯ) ღერძის საწყისი პოზიციიდან ზე:

ახლა ჩვენ შეგვიძლია საბოლოოდ ჩამოვაყალიბოთ რა უნდა გაკეთდეს იმისათვის, რომ უმარტივესი გზით გამოვთვალოთ ფიგურის ინერციის მომენტი ნებისმიერ ღერძთან მიმართებაში. აუცილებელია ცულების დახატვა ფიგურის სიმძიმის ცენტრის გავლით OUდა ოზიასე რომ, ფიგურის უმარტივეს ნაწილებად დაყოფით, ჩვენ შეგვიძლია ადვილად გამოვთვალოთ სიმძიმის ცენტრიდან მანძილზე (ნახ. 2) გამავალი მომენტები:

ხშირ შემთხვევაში შესაძლებელია ფიგურის ძირითადი ღერძების დაუყონებლივ დახატვა; თუ ფიგურას აქვს სიმეტრიის ღერძი, მაშინ ეს იქნება ერთ-ერთი მთავარი ღერძი. სინამდვილეში, ფორმულის გამოყვანისას, ჩვენ უკვე შევეხეთ ინტეგრალს, რომელიც არის მონაკვეთის ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ღერძებთან მიმართებაში. ზედა ზ; დადასტურდა, რომ თუ ღერძი ოზიარის სიმეტრიის ღერძი, ეს ინტეგრალი ქრება.

ამიტომ, ამ შემთხვევაში ცულები OUდა ოზიარიან მთავარიმონაკვეთის ინერციის ცენტრალური ღერძები. ამრიგად, სიმეტრიის ღერძი- ყოველთვის მთავარი ცენტრალური ღერძი; მეორე სახლშიცენტრალური ღერძი გადის სიმეტრიის ღერძის პერპენდიკულარულ სიმძიმის ცენტრში.

მაგალითი.იპოვეთ მართკუთხედის (ნახ. 3) ინერციის მომენტები ღერძებთან მიმართებაში და უდრის:

ინერციის მომენტები ღერძების მიმართ და ტოლია:

ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ტოლია.

რთული მონაკვეთების ინერციის მომენტების გამოთვლის მეთოდი ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ ნებისმიერი ინტეგრალი შეიძლება ჩაითვალოს ინტეგრალების ჯამად და, შესაბამისად, ნებისმიერი მონაკვეთის ინერციის მომენტი შეიძლება გამოითვალოს, როგორც ინერციის მომენტების ჯამი. მისი ცალკეული ნაწილები.

ამრიგად, ინერციის მომენტების გამოსათვლელად, რთული განყოფილება იყოფა რამდენიმე მარტივ ნაწილებად (ფიგურებად) ისე, რომ მათი გეომეტრიული მახასიათებლები შეიძლება გამოითვალოს ცნობილი ფორმულების გამოყენებით ან იპოვოთ სპეციალური საცნობარო ცხრილების გამოყენებით.

ზოგიერთ შემთხვევაში, მარტივ ფიგურებად დაყოფისას, რაოდენობის შესამცირებლად ან მათი ფორმის გასამარტივებლად, მიზანშეწონილია კომპლექსური განყოფილების დამატება რამდენიმე ზონით. ასე რომ, მაგალითად, ნახ. 22.5, ა, მიზანშეწონილია დაამატოთ ის ოთხკუთხედში და შემდეგ გამოკლოთ დამატებული ნაწილის მახასიათებლები ამ მართკუთხედის გეომეტრიულ მახასიათებლებს. იგივე გააკეთეთ, თუ არის ხვრელები (ნახ. 22.5, ბ).

რთული მონაკვეთის მარტივ ნაწილებად დაყოფის შემდეგ თითოეული მათგანისთვის შეირჩევა მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა, რომლის მიმართაც უნდა განისაზღვროს შესაბამისი ნაწილის ინერციის მომენტები. ყველა ასეთი კოორდინატთა სისტემა მიიღება ერთმანეთის პარალელურად, ასე რომ, შემდეგ, ღერძების პარალელური გადაყვანით, შესაძლებელია გამოვთვალოთ ყველა ნაწილის ინერციის მომენტები კოორდინატთა სისტემასთან მიმართებაში, რომელიც საერთოა მთელი რთული მონაკვეთისთვის.

როგორც წესი, თითოეული მარტივი ფიგურის კოორდინატთა სისტემა ითვლება ცენტრალურად, ანუ მისი წარმოშობა ემთხვევა ამ ფიგურის სიმძიმის ცენტრს. ამ შემთხვევაში, სხვა პარალელურ ღერძებზე გადასვლისას ინერციის მომენტების შემდგომი გამოთვლა გამარტივებულია, რადგან ცენტრალური ღერძებიდან გადასვლის ფორმულები უფრო მარტივი ფორმაა, ვიდრე არაცენტრალური ღერძებიდან.

შემდეგი ნაბიჯი არის თითოეული მარტივი ფიგურის ფართობის გამოთვლა, აგრეთვე მისი ინერციის ღერძული და ცენტრიდანული მომენტები მისთვის არჩეული კოორდინატთა სისტემის ღერძებთან მიმართებაში. ამ ღერძების შესახებ სტატიკური მომენტები, როგორც წესი, ნულის ტოლია, რადგან მონაკვეთის თითოეული ნაწილისთვის ეს ღერძი ჩვეულებრივ ცენტრალურია. იმ შემთხვევებში, როდესაც ეს არის არაცენტრალური ღერძები, აუცილებელია სტატიკური მომენტების გამოთვლა.

ინერციის პოლარული მომენტი გამოითვლება მხოლოდ წრიული (მყარი ან რგოლოვანი) მონაკვეთისთვის მზა ფორმულების გამოყენებით; სხვა ფორმის მონაკვეთებისთვის ამ გეომეტრიულ მახასიათებელს არანაირი მნიშვნელობა არ აქვს, რადგან ის არ გამოიყენება გამოთვლებში.

თითოეული მარტივი ფიგურის ინერციის ღერძული და ცენტრიდანული მომენტები მისი კოორდინატთა სისტემის ღერძებთან მიმართებაში გამოითვლება ასეთი ფიგურისთვის ხელმისაწვდომი ფორმულების ან ცხრილების გამოყენებით. ზოგიერთი ფიგურისთვის ხელმისაწვდომი ფორმულები და ცხრილები არ გვაძლევს საშუალებას განვსაზღვროთ ინერციის საჭირო ღერძული და ცენტრიდანული მომენტები; ამ შემთხვევებში საჭიროა ახალ ღერძებზე გადასვლის ფორმულების გამოყენება (ჩვეულებრივ ღერძების ბრუნვის შემთხვევაში).

ასორტიმენტის ცხრილებში არ არის მითითებული ინერციის ცენტრიდანული მომენტების მნიშვნელობები კუთხეებისთვის. ინერციის ასეთი მომენტების განსაზღვრის მეთოდი განხილულია მაგალითში 4.5.

უმეტეს შემთხვევაში, მონაკვეთის გეომეტრიული მახასიათებლების გამოთვლის საბოლოო მიზანია მისი ძირითადი ინერციის ცენტრალური მომენტების და ინერციის მთავარი ცენტრალური ღერძების პოზიციის დადგენა. მაშასადამე, გამოთვლის შემდეგი ეტაპი არის მოცემული მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატების განსაზღვრა [ფორმულების (6.5) და (7.5)] გამოყენებით რაიმე თვითნებურ (შემთხვევით) კოორდინატთა სისტემაში. მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრის მეშვეობით , დამხმარე (არა მთავარი) ცენტრალური ღერძები გაყვანილია მარტივი ფიგურების კოორდინატთა სისტემის ღერძების პარალელურად.

შემდეგ, პარალელური ღერძებისთვის ინერციის მომენტებს შორის კავშირის დამდგენი ფორმულების გამოყენებით (იხ. § 5.5), განისაზღვრება თითოეული მარტივი ფიგურის ინერციის მომენტები დამხმარე ცენტრალურ ღერძებთან მიმართებაში, თითოეული მარტივი ფიგურის ინერციის მომენტების შეჯამებით. ღერძების მიმართ განისაზღვრება მთელი რთული მონაკვეთის ინერციის მომენტები ამ ღერძებთან მიმართებაში; ამ შემთხვევაში ხვრელების ან დამატებული ბალიშების ინერციის მომენტები გამოკლებულია.

მონაკვეთების ინერციის მომენტებს უწოდებენ შემდეგი ფორმის ინტეგრალებს:

ზე;

– ღერძის მიმართ მონაკვეთის ინერციის ღერძული მომენტი ზ;

– მონაკვეთის ინერციის ცენტრიდანული მომენტი;

– მონაკვეთის ინერციის პოლარული მომენტი.

3.2.1. ინერციის მონაკვეთის მომენტების თვისებები

ინერციის მომენტების განზომილებაა [სიგრძე 4], ჩვეულებრივ [ მ 4] ან [ სმ 4 ].

ინერციის ღერძული და პოლარული მომენტები ყოველთვის დადებითია. ინერციის ცენტრიდანული მომენტი შეიძლება იყოს დადებითი, უარყოფითი ან ნულოვანი.

ღერძები, რომლებზეც ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ნულის ტოლია, ეწოდება ინერციის ძირითადი ღერძისექციები.

სიმეტრიის ღერძი ყოველთვის მთავარია. თუ ორი ერთმანეთის პერპენდიკულარული ღერძიდან ერთი მაინც არის სიმეტრიის ღერძი, მაშინ ორივე ღერძი ძირითადია.

კომპოზიტური მონაკვეთის ინერციის მომენტი უდრის ამ მონაკვეთის ელემენტების ინერციის მომენტების ჯამს.

ინერციის პოლარული მომენტი უდრის ინერციის ღერძული მომენტების ჯამს.

დავამტკიცოთ ბოლო ქონება. განყოფილებაში ფართობით აელემენტარული საიტისთვის dAრადიუსის ვექტორი ρ და კოორდინატები ზედა ზ(ნახ. 6) დაკავშირებულია პითაგორას თეორემის მიხედვით: ρ 2 = ზე 2 + ზ 2. მერე

ბრინჯი. 6. კავშირი პოლარულ და დეკარტის კოორდინატებს შორის

ელემენტარული საიტი

3.2.2. უმარტივესი ფიგურების ინერციის მომენტები

IN მართკუთხა მონაკვეთი(ნახ. 7) აირჩიეთ ელემენტარული პლატფორმა dAკოორდინატებით წდა ზდა ფართობი dA = დიძ.

ბრინჯი. 7. მართკუთხა განყოფილება

ინერციის ღერძული მომენტი ღერძის მიმართ ზე

.

ანალოგიურად, ჩვენ ვიღებთ ინერციის მომენტს ღერძის მიმართ ზ:

Იმიტომ რომ ზედა ზ- სიმეტრიის ღერძი, შემდეგ ცენტრიდანული მომენტი დ zy = 0.

ამისთვის წრედიამეტრი დგამოთვლები გამარტივებულია, თუ გავითვალისწინებთ წრიულ სიმეტრიას და გამოვიყენებთ პოლარულ კოორდინატებს. ელემენტარულ პლატფორმად ავიღოთ უსასრულოდ თხელი რგოლი ρ რადიუსით და სისქით დρ (სურ. 8). მისი ფართობი dA= 2 პრ დრ. მაშინ ინერციის პოლარული მომენტი არის:

.

ბრინჯი. 8. მრგვალი განყოფილება

როგორც ზემოთ იყო ნაჩვენები, ნებისმიერი ცენტრალური ღერძის მიმართ ინერციის ღერძული მომენტები იგივე და ტოლია

.

Ინერციის მომენტი ბეჭდებიჩვენ ვპოულობთ განსხვავებას ორი წრის ინერციის მომენტებს შორის - გარე (დიამეტრით დ) და შიდა (დიამეტრით დ):

Ინერციის მომენტი მე ზ სამკუთხედიგანვსაზღვრავთ მას სიმძიმის ცენტრში გამავალ ღერძთან შედარებით (სურ. 9). ცხადია, მანძილზე მდებარე ელემენტარული ზოლის სიგანე ზეღერძიდან ზ, ტოლია

აქედან გამომდინარე,

ბრინჯი. 9. სამკუთხა მონაკვეთი

3.3. დამოკიდებულებები ინერციის მომენტებს შორის პარალელურ ღერძებთან მიმართებაში

ღერძების შესახებ ინერციის მომენტების ცნობილი მნიშვნელობებით ზდა ზეგანვსაზღვროთ ინერციის მომენტები სხვა ღერძებთან შედარებით ზ 1 და წ 1 პარალელურად მოცემული. ინერციის ღერძული მომენტების ზოგადი ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ

თუ ცულები ზდა წცენტრალური, მაშინ
, და

მიღებული ფორმულებიდან ირკვევა, რომ ცენტრალური ღერძების მიმართ ინერციის მომენტები (როდესაც
აქვს უმცირესი მნიშვნელობები ინერციის მომენტებთან შედარებით სხვა პარალელური ღერძების მიმართ.

3.4. ძირითადი ღერძი და ინერციის ძირითადი მომენტები

როდესაც ღერძი ბრუნავს α კუთხით, ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ტოლი ხდება

.

განვსაზღვროთ ინერციის ძირითადი ძირითადი ღერძების პოზიცია u, ვრომლის მიმართაც

,

სადაც α 0 არის კუთხე, რომლითაც უნდა შემობრუნდეს ღერძი წდა ზრათა ისინი გახდნენ მთავარი.

ვინაიდან ფორმულა იძლევა ორ კუთხის მნიშვნელობას და
, მაშინ არის ორი ერთმანეთის პერპენდიკულარული ძირითადი ღერძი. მაქსიმალური ღერძი ყოველთვის ქმნის პატარა კუთხეს ( ) ცულებთან ერთად ( ზან წ), რომლის მიმართ ინერციის ღერძულ მომენტს უფრო დიდი მნიშვნელობა აქვს. შეგახსენებთ, რომ დადებითი კუთხეები ჩამოყალიბებულია ღერძიდან ზ საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.

ინერციის მომენტები ძირითადი ღერძების მიმართ ეწოდება ინერციის ძირითადი მომენტები.შეიძლება იმის ჩვენება, რომ ისინი

.

პლუს ნიშანი მეორე წევრის წინ აღნიშნავს ინერციის მაქსიმალურ მომენტს, მინუს ნიშანს მინიმუმამდე.