方程式と不等式による座標平面上の図形の指定。 方程式と不等式による座標平面上の図形の定義 座標平面上の集合の表現方法

2 つの変数を持つ不等式の解のセットを座標平面上に表す必要があることがよくあります。 2 つの変数による不等式の解は、与えられた不等式を真の数値不等式に変えるこれらの変数の値のペアです。

2年+ ZX< 6.

まず直線を引きましょう。 これを行うには、不等式を方程式として書きます 2年+ Zx = 6 表現する y.したがって、次のようになります。 y=(6-3x)/2。

この線は、座標平面のすべての点のセットをその上の点とその下の点に分割します。

各エリアからミームを取る チェックポイント、たとえば A (1; 1) と B (1; 3)

点 A の座標は、与えられた不等式 2y + 3x を満たします。< 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.

点 B の座標 いいえこの不等式 2∙3 + 3∙1 を満たす< 6.

この不等式は直線 2y + Zx = 6 の符号を変えることができるので、不等式は点 A が位置する領域の点の集合を満たします。

したがって、不等式の解のセットを示しました。 2y + Zx< 6.

例

座標平面上の不等式 x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 > 0 の解のセットを示します。

まず、方程式 x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 \u003d 0 のグラフを作成します。この方程式で円方程式を分割します: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 - 4y + 4) \u003d 4、または (x + 1) 2 + (y - 2) 2 \u003d 2 2.

これは、点 0 (-1; 2) を中心とし、半径 R = 2 の円の方程式です。この円を作成してみましょう。

この不等式は厳密であり、円自体にある点は不等式を満たさないため、点線で円を作成します。

円の中心 O の座標がこの不等式を満たさないことは簡単に確認できます。 式 x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 は、作成された円の符号を変更します。 次に、不等式は円の外側にある点によって満たされます。 これらの点は影付きです。

例

不等式の解の集合を座標平面上に描いてみましょう。

(y - x 2) (y - x - 3)< 0.

まず、方程式 (y - x 2) (y - x - 3) \u003d 0 のグラフを作成します。これは、放物線 y \u003d x 2 と直線 y \u003d x + 3 です。これらの線を作成します。式 (y - x 2) (y - x - 3) の符号の変化は、これらの行でのみ発生することに注意してください。 点 A (0; 5) について、この式の符号を決定します: (5-3) > 0 (つまり、この不等式は満たされていません)。 これで、この不等式が満たされる点のセットを簡単にマークできます (これらの領域は陰になっています)。

2 つの変数で不等式を解くためのアルゴリズム

1. 不等式を f (x; y) の形に縮小します。< 0 (f (х; у) >0; f (x;y) ≤ 0; f (x; y) ≥ 0;)

2. 等式を書きます f (x; y) = 0

3. 左側に記録されているグラフを認識します。

4. これらのグラフを作成します。 不等式が厳密な場合 (f (x; y)< 0 или f (х; у) >0)、次に - ストロークで、不等式が厳密でない場合 (f (x; y) ≤ 0 または f (x; y) ≥ 0)、次に - 実線で。

5. 座標平面に分割されたグラフィックスの部分の数を決定します

6.これらのパーツのいずれかを選択します チェックポイント. 式 f (x; y) の符号を決定する

7.交替を考慮して、平面の他の部分に標識を配置します（間隔の方法による）

8. 解いている不等式の符号に応じて必要な部分を選択し、ハッチングを適用します

与えてみましょう 2 変数 F(x; y) の方程式. このような方程式を解析的に解く方法はすでに学習しました。 このような方程式の解の集合は、グラフの形で表すこともできます。

式Ｆ（ｘ；ｙ）のグラフは、座標が式を満たす座標平面ｘＯｙの点の集合である。

2 変数の方程式をプロットするには、まず、方程式の x 変数を使用して y 変数を表します。

確かに、2 つの変数を使用して方程式のさまざまなグラフを作成する方法を既に知っています。 ax + b \u003d c は直線、yx \u003d k は双曲線、(x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2 は半径 R の円で、点 O(a;b) を中心とする。

例 1

方程式 x 2 - 9y 2 = 0 をプロットします。

解決。

式の左辺を因数分解してみましょう。

(x - 3y)(x+ 3y) = 0、つまり y = x/3 または y = -x/3.

答え: 図 1.

特別な場所は、詳細に説明する絶対値の符号を含む方程式による平面上の数値の割り当てによって占められています。 |y| の形式の方程式をプロットする段階を考えてみましょう。 = f(x) と |y| = |f(x)|。

最初の方程式は次のシステムに相当します。

(f(x) ≥ 0、
(y = f(x) または y = -f(x)。

つまり、そのグラフは、y = f(x) と y = -f(x) の 2 つの関数のグラフで構成されます。ここで、f(x) ≥ 0 です。

2 番目の方程式のグラフをプロットするには、2 つの関数のグラフ y = f(x) と y = -f(x) をプロットします。

例 2

方程式 |y| をプロットします。 = 2 + x。

解決。

与えられた方程式は次のシステムと等価です

(x + 2 ≥ 0、
(y = x + 2 または y = -x - 2.

ポイントのセットを作成します。

答え: 図 2.

例 3

方程式 |y – x| をプロットします。 = 1。

解決。

y ≥ x の場合は y = x + 1、y ≤ x の場合は y = x - 1 です。

答え: 図 3.

モジュール記号の下に変数を含む方程式のグラフを作成する場合、使用するのが便利で合理的です 面積法、各サブモジュール式がその符号を保持する部分に座標平面を分割することに基づいています。

例 4

方程式 x + |x| をプロットします。 + y + |y| = 2。

解決。

この例では、各サブモジュール式の符号は座標象限に依存します。

1) 座標の第 1 四半期では、x ≥ 0 および y ≥ 0 です。モジュールを展開すると、与えられた方程式は次のようになります。

2x + 2y = 2、簡略化後は x + y = 1。

2) 第 2 四半期、ここで x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) 第 3 四半期に x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) 第 4 四半期では、x ≥ 0 および y の場合< 0 получим, что x = 1.

この式を 4 分の 1 にプロットします。

答え: 図 4.

例 5

座標が等式 |x – 1| を満たす点のセットを描画します。 + |y – 1| = 1。

解決。

サブモジュール式 x = 1 および y = 1 のゼロは、座標平面を 4 つの領域に分割します。 モジュールを地域別に分類してみましょう。 表の形にしてみましょう。

領域	サブモジュール式記号	モジュールを展開した後の結果の式
私	x ≥ 1 かつ y ≥ 1	x + y = 3
Ⅱ	バツ< 1 и y ≥ 1	-x+y=1
Ⅲ	バツ< 1 и y < 1	x + y = 1
Ⅳ	x ≥ 1 かつ y< 1	x – y = 1

答え: 図 5.

座標平面上で図形を指定し、 不平等.

不等式グラフ with two variable は、座標がこの不等式の解である座標平面のすべての点の集合です。

検討 2 変数の不等式を解くためのモデルを構築するためのアルゴリズム:

1. 不等式に対応する方程式を書き留めます。
2. ステップ 1 の方程式をプロットします。
3. 半平面の 1 つで任意の点を選択します。 選択した点の座標が指定された不等式を満たすかどうかを確認します。
4. 不等式のすべての解の集合をグラフィカルに描画します。

まず、不等式 ax + bx + c > 0 を考えます。方程式 ax + bx + c = 0 は、平面を 2 つの半平面に分割する直線を定義します。 それぞれにおいて、関数 f(x) = ax + bx + c は符号保存です。 この符号を決定するには、半平面に属する任意の点を取り、この点での関数の値を計算するだけで十分です。 関数の符号が不等式の符号と一致する場合、この半平面が不等式の解になります。

2 つの変数を使用した最も一般的な不等式のグラフィカルな解の例を考えてみましょう。

1) ax + bx + c ≥ 0。 図 6.

2) |×| ≤ a、a > 0。 図 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a、a > 0。 図 8.

4) y ≥ x2。 図 9

5) xy ≤ 1。 図 10.

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電話しよう (x,y)オーダーペア、および バツと でこのペアのコンポーネントです。 同時に、彼らは次のように考えています。 （バツ 1 で 1 ) = (× 2 .y 2 ), x 1 = x 2 の場合 で 1 = で 2 .

__________________________________________________________________

定義 9. 集合 A と集合 B のデカルト積を集合 A と呼ぶ B、その要素はすべて (x, y) のペアであり、x ああ、あなた B、つまり しかし B \u003d ((x, y) / x ああ、あなた で）。

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たとえば、集合のデカルト積を見つけます A = (1,3} と B = (2,4,6)。

しかし で= {(1, 2);(1, 4);(1, 6);(3, 2);(3, 4);(3, 6)}.

デカルト積を求める操作は、集合のデカルト乗算と呼ばれます。

集合のデカルト乗算には、可換性のプロパティも結合性のプロパティもありませんが、分配プロパティによるセットの和集合と減算の操作に関連付けられています。

どのセットにも A、B、C等式が行われます:

（しかし で） C = (A から） （で から）、

(A\B) から= （しかし C)\(B から）。

数値セットのデカルト積を視覚的に表現するために、直交座標系がよく使用されます。

させて しかしと で -数セット。 次に、これらのセットのデカルト積の要素は、順序付けられた数のペアになります。 数値の各ペアを座標平面上の点として表すと、セットのデカルト積を視覚的に表す図が得られます しかしと で。

座標平面上で集合のデカルト積を表しましょう しかしと で、もしも：

a) あ = {2, 6}; B ={1,4}, b) A = (2,6}; で= , の） A = ;B =.

a) の場合、これらのセットは有限であり、デカルト積の要素を列挙することが可能です。

しかし B ={(2, 1); (2, 4); (6, 1); (6, 4)}. 座標軸を構築し、軸上に おーセットの要素をマークする しかし、および軸上 OU -セット要素 で。次に、集合 АВ 内の数値の各ペアを座標平面上の点として表します (図 7)。 結果として得られる 4 点の図は、これらのセットのデカルト積を視覚的に表します。 しかしと で。

b) の場合、集合のデカルト積のすべての要素を列挙することは不可能です。 沢山の で-無限ですが、このデカルト積の形成プロセスを想像できます。各ペアで、最初のコンポーネントまたは 2 、 また 6 、および 2 番目のコンポーネントは間隔からの実数です。 .

最初のコンポーネントが数値であるすべてのペア 2 、そして2番目はからの値を実行します 1 前 4 セグメント ポイントで表されます。 SD、および最初のコンポーネントが数値であるペア 6 、および秒は間隔からの任意の実数です , – セグメント ポイント RS （図8）。 したがって、ケース b) では、集合のデカルト積 しかしと で座標平面上は線分として表されます SDと RS.

米。 7 図 8 図 9

ケース c) ケース b) とは、セットだけでなく、 で、しかしまた多くの しかし、それが理由です、 セットに属するペアの最初のコンポーネント しかし で、間隔からの任意の数です . 集合のデカルト積の要素を表す点 しかしと で、正方形を作る SVUL （図9）。 デカルト積の要素が正方形の点で表されていることを強調するために、影を付けることができます。

テスト問題

次の問題を解くと、集合のデカルト積が形成されることを示します。

a) 分子が集合の数であるすべての分数を書き留める A ={3, 4} 、分母はセットの数値 B = (5,6, 7}.

b) 数字を使って異なる 2 桁の数字を書く 1, 2, 3, 4.

任意のセットについて証明する A、B、C公正な平等 （しかし で)С = （しかし から） （で から）。集合に対する充足可能性を説明する しかし= {2, 4, 6}, B=(1,3, 5)、C = (0, 1)。

点の座標が集合のデカルト積の要素である場合、点は座標平面上でどのような形状を形成するか しかし= (– 3, 3) および で= R

どのセットのデカルト積を決定する しかしと で図 10 に示します。

米。 十

演習

112. 10 桁がセットに属する 2 桁の数をすべて書き留めます。 しかし= {1, 3, 5} 、および単位の桁 - セットへ B = (2,4,6)。

113. 分子がセットから選択されたすべての分数を書きます A=(3,5, 7}, 分母は集合から B={4, 6, 8}.

114. すべてを書く 適切な分数、その分子はセットから選択されます A =(3, 5,7)、分母は集合から B= (4, 6,8}.

115. セットが与えられる P ={1, 2, 3}, K \u003d（a、b}. 集合のデカルト積をすべて求める R にと K R.

116. と知られている しかし で= ((1, 2); (3, 2); (1, 4);(3, 4); (1, 6); (3, 6))。 セットが構成されている要素を決定する しかしと で。

117. 書き込みセット （しかし で） からと しかし （で から）移行 蒸気 , もしも しかし=(あ、b}, B = {3}, C={4, 6}

118. セットを作る しかし B、B しかし、もしも：

a )A = (a,b,s),B=(d},

b) あ = { a, b}, B =  ,

の） A \u003d（t、p、k)、B = A、

G) あ = { バツ, y, ぜ}, B = { k, n}

119. 知られていること しかし B = ((2.3)、(2.5)、(2.6)、(3.3)、(3.5)、(3.6))。セットが構成されている要素を決定する しかしと で.

120. 集合のデカルト積を求める A = {5, 9, 4} と で= {7, 8, 6} そして、そこから次のペアのサブセットを選択します。

a) 第 1 成分が第 2 成分よりも大きい。 b) 最初のコンポーネントは 5 です。 c) 2 番目のコンポーネントは 7 です。

121. 集合のデカルト積に属する要素を挙げよ A、Bと から、もしも：

a) A = (2, 3}, B = (7, 8, 9}, から= {1, 0};

b) A = B= から= {2, 3};

の） しかし= {2, 3}, B = {7, 8, 9}, C = 

122. 集合のデカルト積の要素を座標平面に描く AとBもしも：

a) A \u003d（x / x ん、2 < バツ< 4}, で= (x/x N、×< 3};

b）A \u003d（x / x R, 2 < х < 4}, В = {х/х  N、×< 3};

の） しかし= ; で= .

123. 二組のデカルト積のすべての要素 あと B直角座標系の点として表示されます。 書き込みセット あと で（図11）。

米。 13

124. 次の場合、集合 X と Y のデカルト積の要素を座標平面に描画します。

a) Х=(–1.0, 1.2),よ={2, 3,4};

b) Х=(–1.0, 1.2),よ=;

の） Х = [–1;2]、よ = {2, 3, 4};

G) バツ= , よ = ;

e) バツ = [–3; 2], よ = ;

と） バツ = ]–3;2[, よ= R;

h) X=(2)、よ= R;

と） X=R, よ = {–3}.

125. 図に示す図。 図 14 は、セット X と Y のデカルト積の座標平面上のイメージの結果です。各図に対してこれらのセットを指定します。

米。 14

126. 半平面として座標平面上に表される 2 つのセットのどのデカルト積を見つけます。 すべてのケースを検討してください。

127. 座標軸が交わったときにできる直角を座標平面上に2組描いた直交積をとります。

128. 座標平面上で、軸に平行な線を作成します おーそしてポイント通過 R(–2, 3).

129. 座標平面上で、軸に平行な線を作成します。 〇よそしてポイント通過 R(–2, 3). 座標平面上で表される 2 つのセットのデカルト積をこの直線として求めます。

130. 座標平面上で、点を通る直線で囲まれたストリップを作成します (–2, 0) と (2, 0) そして軸に平行 〇よ. このストリップに属する点の集合を記述してください。

131. 頂点が点である座標平面上に長方形を作成します。 しかし(–3, 5), で(–3, 8), から(7, 5), D (7, 8). この四角形の点の集合を説明してください。

132. 座標平面上に、座標が条件を満たす一連の点を作成します。

a) バツ R、y= 5;

b) バツ= –3, で R;

の） バツ R, |y| = 2;

G) | バツ| = 3, で R;

e) バツ R, y≥ 4;

e) バツ  R, y  4;

と） バツ R, |y| 4;

h) | バツ|  4、|y| 3 ;

と） |×| ≥1、|y| ≧4;

に） |×| ≥ 2、y R.

133. 集合のデカルト積の要素を座標平面に描く バツ と よ、 もしも：

a) バツ = R, よ = {3}; b) バツ = R, よ = [–3; 3]; の） バツ = .

134. 座標平面上に図形 F を作成します。

a) ふ= ((x, y)| x = 2、y R}

b) ふ= ((x, y) |バツ R, y = –3);

の） ふ= ((x, y) | x 2、あなた R};

G) ふ= ((x, y) | x に、y≥ – 3};

e) ふ= ((x, y) | |x| = 2, y R};

e) ふ=((x,y) |x R, |y| = 3)。

135. 点を頂点とする長方形を作成する (–3, 4), (–3, –3), (1, –3), (1, 4). この四角形に属する点の特性を指定します。

136. 座標平面上で、OX 軸に平行で点 (2, 3) と (2, -1) を通る直線を作成します。 座標平面上に 2 つのセットが表示されるデカルト積を、構築された線で囲まれたストリップとして設定します。

137. 座標平面上で、OY 軸に平行で点 (2, 3) と (–2, 3) を通る線を作成します。 座標平面上に 2 つのセットが表示されるデカルト積を、構築された線で囲まれたストリップとして設定します。

138. 直角座標系で集合を描く バツ よ, もしも：

a) バツ = R; よ ={ y で R, |で| < 3},

b) バツ= {バツ/ バツ R, |バツ| > 2}; よ= (y/y R, |で| > 4}.

この章では、受講者は次のことができる必要があります。

セットをさまざまな方法で定義します。

セット間の関係を確立し、オイラーベン図を使用してそれらを描写します。

2 つのセットが等しいことを証明します。

セットに対して操作を実行し、オイラーベン図を使用してそれらを幾何学的に説明します。

1 つ以上のプロパティを使用してセットをクラスに分割します。 実行された分類の正しさを評価します。