分数有理方程式の解き方。 整数および分数の有理方程式を解く

今日はその解決方法を考えていきます 分数有理方程式。

見てみましょう: 方程式から

(1) 2x + 5 = 3(8 – x)、

(3)

(4)

(2) と (4) のみが分数有理方程式であり、(1) と (3) は全体方程式です。

方程式 (4) を解いてから、ルールを定式化することを提案します。

方程式は分数であるため、共通の分母を見つける必要があります。 この式では、式は 6(x – 12)(x – 6) となります。 次に、方程式の両辺に共通の分母を掛けます。

縮小後、方程式全体が得られます。

6(x – 6) 2 – 6(x – 12) 2 = 5(x – 12)(x – 6)。

この方程式を解いた後、結果の根によって元の方程式の分数の分母が消えるかどうかを確認する必要があります。

括弧を展開すると、次のようになります。
6x 2 – 72x + 216 – 6x 2 + 144x – 864 = 5x 2 – 90x + 360、式を単純化します: 5x 2 – 162x + 1008 = 0。

方程式の根を求める
D = 6084、√D = 78、
x 1 = (162 – 78)/10 = 84/10 = 8.4、x 2 = (162 + 78)/10 = 240/10 = 24。

x = 8.4 と 24 の場合、共通の分母は 6(x – 12)(x – 6) ≠ 0 です。これは、これらの数値が式 (4) の根であることを意味します。

答え： 8,4; 24.

提案された方程式を解くと、次の式が得られます。 規定:

1) 共通点を見つける。

2) 方程式の両辺に共通の分母を掛けます。

3) 結果として得られる方程式全体を解きます。

4) どの根が共通分母を消滅させるかをチェックし、それらを解から除外します。

次に、結果として得られる規定がどのように機能するかの例を見てみましょう。

方程式を解きます。

1) 共通分母：×2 – 1

2) 方程式の両辺に共通の分母を掛けると、方程式全体が得られます: 6 – 2(x + 1) = 2(x 2 – 1) – (x + 4)(x – 1)

3) 方程式を解きます: 6 – 2x – 2 = 2x 2 – 2 – x 2 – 4x + x + 4

x 2 – x – 2 = 0

x 1 = - 1 および x 2 = 2

4) x = -1 の場合、共通分母は x 2 – 1 = 0 です。数値 -1 は根ではありません。

x = 2 の場合、x 2 – 1 ≠ 0 の公分母です。数値 2 は方程式の根です。

答え: 2.

ご覧のとおり、私たちの規定は機能します。 恐れることはありません、必ず成功します！ 最も重要な 共通分母を正しく見つけるそして 変換は慎重に実行してください。 分数有理方程式を解くときに、常に正しい答えが得られることを願っています。 質問がある場合、または同様の方程式を解く練習をしたい場合は、この記事の著者である家庭教師 Valentina Galinevskaya のレッスンにサインアップしてください。

ウェブサイトのコンテンツの全部または一部をコピーする場合は、ソースへのリンクが必要です。

分数有理方程式を解く

リファレンスガイド

有理方程式とは、左辺と右辺の両方が有理式である方程式です。

(覚えておいてください: 有理式は、根号のない整数式と分数式であり、加算、減算、乗算、除算の演算が含まれます - 例: 6x; (m – n)2; x/3y など)

分数有理方程式は通常、次の形式に変換されます。

どこ P(バツ） そして Q(バツ) は多項式です。

このような方程式を解くには、方程式の両辺に Q(x) を掛けます。これにより、無関係な根が現れる可能性があります。 したがって、分数有理方程式を解くときは、求められた根を確認する必要があります。

変数を含む式で除算されない場合、有理方程式は全体または代数方程式と呼ばれます。

有理方程式全体の例:

5x – 10 = 3(10 – x)

3倍
- = 2x – 10
4

有理方程式に変数 (x) を含む式による除算がある場合、その方程式は分数有理数と呼ばれます。

分数有理方程式の例:

15
x + - = 5x – 17
バツ

分数有理方程式は通常、次のように解きます。

1) 分数の共通分母を見つけて、方程式の両辺にそれを掛けます。

2) 結果として得られる方程式全体を解きます。

3) 分数の公分母をゼロにするものを根から除外します。

整数および分数の有理方程式を解く例。

例 1. 方程式全体を解いてみましょう

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

解決：

最小公倍数を見つける。 これは 6 です。6 を分母で割り、その結果に各分数の分子を掛けます。 これと等価な方程式が得られます。

3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

左辺と右辺は分母が同じなので省略できます。 次に、より単純な方程式が得られます。

3(x – 1) + 4x = 5x。

括弧を開いて類似の用語を組み合わせることで、この問題を解決します。

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

例は解決されました。

例 2. 分数有理方程式を解く

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)

共通点を見つける。 これは x(x – 5) です。 それで：

× 2 – 3x × – 5 × + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

すべての式で同じであるため、分母を再び取り除きます。 類似の項を削減し、方程式をゼロとみなして、二次方程式を取得します。

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

× 2 – 3x – 10 = 0。

二次方程式を解くと、その根、-2 と 5 がわかります。

これらの数値が元の方程式の根であるかどうかを確認してみましょう。

x = –2 では、共通分母 x(x – 5) は消えません。 これは、-2 が元の方程式の根であることを意味します。

x = 5 では、共通分母が 0 になり、3 つの式のうち 2 つが無意味になります。 これは、数字 5 が元の方程式の根ではないことを意味します。

答え: x = –2

他の例

例1.

x 1 = 6、x 2 = - 2.2。

答え: -2、2;6。

例2。

「有理方程式。有理方程式を解くアルゴリズムと例」というテーマのプレゼンテーションとレッスン

追加資料
ユーザーの皆様、コメント、レビュー、要望を忘れずに残してください。 すべての資料はウイルス対策プログラムによってチェックされています。

Integral オンライン ストアの 8 年生向けの教育補助器具とシミュレーター
Makarychev Yu.Nによる教科書のマニュアル。 Mordkovich A.G.による教科書のマニュアル。

無理数方程式の概要

皆さん、二次方程式の解き方を学びました。 しかし、数学はそれらだけに限定されるものではありません。 今日は有理方程式の解き方を学びます。 有理方程式の概念は、多くの点で有理数の概念に似ています。 数値に加えて、いくつかの変数 $x$ を導入しました。 したがって、加算、減算、乗算、除算、および整数乗の演算が存在する式が得られます。

$r(x)$ を 合理的な表現。 このような式は、変数 $x$ の単純な多項式または多項式の比 (有理数の場合と同様に除算演算が導入されます) にすることができます。
方程式 $r(x)=0$ が呼び出されます。 有理方程式.
$p(x)=q(x)$ という形式の方程式 ($p(x)$ と $q(x)$ は有理式) も次のようになります。 有理方程式.

有理方程式を解く例を見てみましょう。

例1.
方程式を解きます: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$。

解決。
すべての式を左側に移動しましょう: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$。
方程式の左辺が通常の数値で表される場合、2 つの分数は公分母に減算されます。
これをやってみましょう: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$。
$\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$ という方程式が得られました。

分数は、分数の分子がゼロであり、分母がゼロ以外である場合に限り、ゼロに等しくなります。 次に、分子を個別にゼロとみなして、分子の根を求めます。
$3(x^2+2x-3)=0$ または $x^2+2x-3=0$。
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$。
次に、分数の分母を確認してみましょう: $(x-3)*x≠0$。
2 つの数値の少なくとも 1 つがゼロに等しい場合、2 つの数値の積はゼロに等しくなります。 その場合: $x≠0$ または $x-3≠0$。
$x≠0$ または $x≠3$。
分子と分母で求めた根が一致しません。 したがって、分子の両方の根を答えに書きます。
答え: $x=1$ または $x=-3$。

分子の根の 1 つが分母の根と突然一致する場合は、それを除外する必要があります。 このような根は無関係と呼ばれます。

有理方程式を解くアルゴリズム:

1. 方程式に含まれるすべての式を等号の左側に移動します。
2. 方程式のこの部分を次のように変換します。 代数分数: $\frac(p(x))(q(x))=0$。
3. 結果の分子をゼロに等しくします。つまり、方程式 $p(x)=0$ を解きます。
4. 分母をゼロに等しくして、結果の方程式を解きます。 分母の根が分子の根と一致する場合、それらは答えから除外される必要があります。

例2。
方程式を解きます: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$。

解決。
アルゴリズムのポイントに従って解いてみましょう。
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$。
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$。
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$。
3. 分子をゼロにします: $3x^2+7x-10=0$。
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1ドル。
4. 分母をゼロにします。
$(x-1)(x+1)=0$。
$x=1$ と $x=-1$ です。
根 $x=1$ の 1 つが分子の根と一致する場合、それを答えには書きません。
答え: $x=-1$。

変数変更法を使用して有理方程式を解くと便利です。 これを実証してみましょう。

例 3.
方程式を解きます: $x^4+12x^2-64=0$。

解決。
置換 $t=x^2$ を紹介しましょう。
この場合、方程式は次の形式になります。
$t^2+12t-64=0$ - 通常の二次方程式。
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4ドル。
逆置換、$x^2=4$ または $x^2=-16$ を導入してみましょう。
最初の方程式の根は、数値のペア $x=±2$ です。 2つ目は、根がないということです。
答え: $x=±2$。

例4.
方程式 $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$ を解きます。
解決。
新しい変数 $t=x^2+x+1$ を導入してみましょう。
この場合、方程式は $t=\frac(15)(t+2)$ の形式になります。
次にアルゴリズムに従って進めていきます。
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$。
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$。
3. $t^2+2t-15=0$。
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3ドル。
4. $t≠-2$ - 根は一致しません。
逆置換を導入しましょう。
$x^2+x+1=-5$。
$x^2+x+1=3$。
各方程式を個別に解いてみましょう。
$x^2+x+6=0$。
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - いいえルーツ
そして 2 番目の方程式: $x^2+x-2=0$。
この方程式の根は、数値 $x=-2$ と $x=1$ になります。
答え: $x=-2$ と $x=1$。

例5。
方程式を解きます: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$。

解決。
置換 $t=x+\frac(1)(x)$ を導入しましょう。
それから：
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ または $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$。
$t^2-2+t=4$という方程式が得られました。
$t^2+t-6=0$。
この方程式の根は次のペアです。
$t=-3$ と $t=2$。
逆置換を導入してみましょう。
$x+\frac(1)(x)=-3$。
$x+\frac(1)(x)=2$。
別途決定させていただきます。
$x+\frac(1)(x)+3=0$。
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$。
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$。
2 番目の方程式を解いてみましょう。
$x+\frac(1)(x)-2=0$。
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$。
$\frac((x-1)^2)(x)=0$。
この方程式の根は数値 $x=1$ です。
答え: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$、$x=1$。

自主的に解決すべき問題

方程式を解く：

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$。

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$。
3. $x^4-7x^2-18=0$。
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$。
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$。

分数方程式。 ODZ。

注意！
追加もあります
特別セクション 555 の資料。
とても「あまり…」という方へ。
そして「とても…」という人のために）

私たちは方程式をマスターし続けます。 私たちは一次方程式と二次方程式を扱う方法をすでに知っています。 残った最後の景色 - 分数方程式。 あるいは、もっと敬意を持って呼ばれることもあります - 分数有理方程式。 同じです。

分数方程式。

名前が示すように、これらの方程式には必ず分数が含まれます。 しかし、単なる分数ではなく、次のような分数も含まれます。 分母が不明。 少なくとも1つは。 例えば：

分母が 数字、これらは一次方程式です。

決め方 分数方程式? まずは端数を捨てましょう！ この後、方程式はほとんどの場合、線形または二次方程式になります。 そして、何をすべきかはわかります... 場合によっては、5=5 などのアイデンティティに変わったり、7=2 などの誤った表現になる可能性があります。 しかし、これはめったに起こりません。 これについては後述します。

しかし、端数を取り除くにはどうすればよいでしょうか? とてもシンプルです。 同じ同一の変換を適用します。

方程式全体に同じ式を掛ける必要があります。 すべての分母が減るように！ すべてがすぐに簡単になります。 例を挙げて説明しましょう。 次の方程式を解く必要があります。

小学校ではどのように教えられましたか？ すべてを片側に寄せたり、共通点に近づけたりします。 悪い夢のように忘れてください！ これは、分数を加算または減算するときに行う必要があることです。 あるいは、不平等を抱えて仕事をしていることもあります。 そして方程式では、すぐに両辺に式を掛けて、すべての分母を減らす機会を与えます（つまり、本質的には共通の分母で）。 で、この表現は何でしょうか？

左側で、分母を減らすには次の値を乗算する必要があります。 x+2。 そして右側では、2 の乗算が必要です。これは、方程式に次の値を乗算する必要があることを意味します。 2(x+2)。 かける：

これは分数の一般的な掛け算ですが、詳しく説明します。

まだブラケットを開いていないことに注意してください (x + 2)！ それで、全体として、私はそれを書きます：

左側は完全に収縮します (x+2)、右側の 2. 必要なものはどれですか! 削減後、次のようになります 線形方程式：

そして、誰でもこの方程式を解くことができます。 x = 2.

もう少し複雑な別の例を解いてみましょう。

3 = 3/1 であることを覚えていると、 2x = 2x/ 1、次のように書くことができます。

そして再び、私たちがあまり好まないもの、つまり分数を取り除きます。

X で分母を減らすには、分数に次の値を掛ける必要があることがわかります。 (x – 2)。 そして、いくつかは私たちにとって邪魔にはなりません。 さて、増やしてみましょう。 全て左側と 全て右側：

また括弧 (x – 2)明らかにしてないよ。 ブラケット全体を 1 つの数字であるかのように操作します。 これは常に実行する必要があり、そうしないと何も削減されません。

深い満足感とともに、 (x – 2)定規を使うと、分数のない方程式が得られます。

それでは括弧を開けてみましょう。

同様のものを持ってきて、すべてを左側に移動すると、次のようになります。

しかしその前に、他の問題を解決する方法を学びます。 利息について。 ちなみに熊手ですよ！

このサイトが気に入ったら...

ちなみに、他にも興味深いサイトがいくつかあります。)

例題を解く練習をして自分のレベルを知ることができます。 即時検証によるテスト。 興味を持って学びましょう！）

関数と導関数について知ることができます。

について話し続けましょう 方程式を解く。 この記事では、について詳しく説明します 有理方程式および 1 つの変数を使用して有理方程式を解く原理。 まず、どのようなタイプの方程式が有理と呼ばれるかを理解して、全体有理方程式と分数有理方程式の定義を示し、例を挙げてみましょう。 次に、有理方程式を解くためのアルゴリズムを取得し、もちろん、必要な説明をすべて備えた典型的な例の解法を検討します。

ページナビゲーション。

述べられた定義に基づいて、有理方程式の例をいくつか示します。 たとえば、x=1, 2・x−12・x 2 ・y・z 3 =0, , はすべて有理方程式です。

示されている例から、有理方程式や他のタイプの方程式は、1 つの変数、または 2 つ、3 つなどの変数を使用できることが明らかです。 変数。 次の段落では、1 つの変数を使用して有理方程式を解く方法について説明します。 2 つの変数で方程式を解くその数は特に注目に値します。

有理方程式は未知の変数の数で除算されるだけでなく、整数と分数にも分割されます。 対応する定義を示しましょう。

意味。

有理方程式は次のように呼ばれます 全体、左辺と右辺の両方が整数の有理式の場合。

意味。

有理方程式の少なくとも 1 つの部分が分数式である場合、そのような方程式は次のように呼ばれます。 分数合理的(または分数有理数)。

方程式全体には変数による除算が含まれないことは明らかですが、逆に、分数有理方程式には必ず変数 (または分母の変数) による除算が含まれます。 したがって、3 x+2=0 となり、 (x+y)・(3・x 2 −1)+x=−y+0.5– これらは完全な有理方程式であり、その部分の両方が完全な式です。 A および x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 は分数有理方程式の例です。

この点を結論として、これまでに知られている一次方程式と二次方程式はすべて有理方程式であるという事実に注目しましょう。

方程式全体を解く

方程式全体を解くための主なアプローチの 1 つは、等価な方程式に還元することです。 代数方程式。 これは、次の方程式の同等の変換を実行することでいつでも実行できます。

• まず、元の整数方程式の右側の式が反対の符号で左側に転送され、右側でゼロが得られます。
• この後、方程式の左側に結果の標準形式が表示されます。

結果は、元の整数方程式と同等の代数方程式になります。 したがって、最も単純な場合、方程式全体を解くことは、一次方程式または二次方程式を解くことになり、一般的な場合は、n 次の代数方程式を解くことになります。 わかりやすくするために、例の解決策を見てみましょう。

例。

方程式全体の根を求めます 3・(x+1)・(x−3)=x・(2・x−1)−3.

解決。

この方程式全体の解を等価な代数方程式の解に帰してみましょう。 これを行うには、まず式を右辺から左辺に移し、その結果、次の方程式に到達します。 3・(x+1)・(x−3)−x・(2・x−1)+3=0。 次に、必要な条件を満たして、左辺で形成された式を標準形式の多項式に変換します。 3・(x+1)・(x−3)−x・(2・x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6。 したがって、元の整数方程式を解くことは、二次方程式 x 2 -5・x-6=0 を解くことに帰着します。

その判別式を計算します D=(−5) 2 −4・1・(−6)=25+24=49、これは正です。これは、方程式に 2 つの実根があることを意味します。これは、二次方程式の根の公式を使用して求めます。

完全に確かめるために、やってみましょう 見つかった方程式の根をチェックする。 まずルート 6 を確認し、元の整数方程式の変数 x の代わりにルート 6 を代入します。 3・(6+1)・(6−3)=6・(2・6−1)−3、同じです、63=63。 これは有効な数値方程式であるため、x=6 が実際に方程式の根になります。 ここでルート −1 を確認すると、次のようになります。 3・(−1+1)・(−1−3)=(−1)・(2・(−1)−1)−3、ここから、 0=0 。 x=-1 の場合、元の方程式も正しい数値等式になります。したがって、x=-1 は方程式の根でもあります。

答え：

6 , −1 .

ここで、「方程式全体の次数」という用語は、方程式全体の代数方程式の形式での表現に関連付けられていることにも注意する必要があります。 対応する定義を与えてみましょう。

意味。

方程式全体の力は等価代数方程式の次数と呼ばれます。

この定義によれば、前の例の方程式全体は 2 次になります。

何かがなければ、有理方程式全体を解くのはこれで終わりだったかもしれません…。 知られているように、2 次以上の代数方程式を解くことは重大な困難を伴い、4 次以上の方程式には一般的な根の公式がまったくありません。 したがって、3 番目、4 番目以降の方程式全体を解くには、 高い学位多くの場合、他の解決方法に頼らなければなりません。

このような場合、以下に基づいて有理方程式全体を解くアプローチが必要です。 因数分解法。 この場合、次のアルゴリズムが適用されます。

• まず、方程式の右側にゼロがあることを確認し、これを行うために、式を方程式全体の右側から左側に移します。
• 次に、結果として得られる左側の式は、いくつかの要素の積として表され、これにより、いくつかのより単純な方程式のセットに進むことができます。

因数分解を通じて方程式全体を解く所定のアルゴリズムについては、例を使用して詳細に説明する必要があります。

例。

方程式全体を解く (x 2 −1)・(x 2 −10・x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) 。

解決。

まず、いつものように、符号を変更することを忘れずに、方程式の右側から左側に式を移します。次のようになります。 (x 2 −1)・(x 2 −10・x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 。 ここで、結果の方程式の左辺を標準形式の多項式に変換することはお勧めできないことは明らかです。これにより、次の形式の 4 次の代数方程式が得られるからです。 × 4 −12 × 3 +32 × 2 −16 ×−13=0、解決は困難です。

一方、結果として得られる方程式の左側では、 x 2 −10 x+13 を計算することができ、それによって積として表すことができることは明らかです。 我々は持っています (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0。 結果として得られる式は元の式全体と等価であり、さらに 2 つの二次方程式 x 2 -10・x+13=0 および x 2 -2・x-1=0 のセットで置き換えることができます。 既知のルート公式を使用して判別式を使用してルートを見つけることは難しくありません。ルートは等しいためです。 これらは、元の方程式の目的の根です。

答え：

有理方程式全体を解くのにも役立ちます 新しい変数を導入する方法。 場合によっては、元の方程式全体の次数よりも低い次数の方程式に移動できるようになります。

例。

有理方程式の実根を求める (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

解決。

この有理方程式全体を代数方程式に還元することは、控えめに言ってもあまり良いアイデアではありません。この場合、有理根を持たない 4 次方程式を解く必要が生じるからです。 したがって、別の解決策を探す必要があります。

ここでは、新しい変数 y を導入し、式 x 2 +3·x をそれに置き換えることができることが簡単にわかります。 この置換により、方程式全体 (y+1) 2 +10=−2・(y−4) が得られます。これは、式 −2・(y−4) を左側に移動し、その後式を変換した後です。そこで形成される、２次方程式ｙ ２ ＋４・ｙ＋３＝０に帰着される。 この方程式 y=−1 および y=−3 の根は見つけるのが簡単で、たとえば、Vieta の定理の逆定理に基づいて選択できます。

次に、新しい変数を導入する方法の 2 番目の部分、つまり逆置換の実行に進みます。 逆置換を実行すると、2 つの方程式 x 2 +3 x=−1 および x 2 +3 x=−3 が得られます。これは、x 2 +3 x+1=0 および x 2 +3 x+3 として書き直すことができます。 =0 。 二次方程式の根の公式を使用して、最初の方程式の根を求めます。 そして、2 番目の二次方程式には、判別式が負であるため、実根がありません (D=3 2 −4・3=9−12=−3 )。

答え：

一般に、高度な方程式全体を扱うときは、それらを解くための非標準的な方法または人為的な技術を常に探す準備ができていなければなりません。

分数有理方程式を解く

まず、 の形式の分数有理方程式を解く方法を理解すると役立ちます。ここで、p(x) と q(x) は整数の有理式です。 そして、他の分数有理方程式の解を指定されたタイプの方程式の解に帰着させる方法を示します。

方程式を解く 1 つのアプローチは、次のステートメントに基づいています。v がゼロ以外の数値である数値分数 u/v (そうでないと、未定義の に遭遇します) は、分子がゼロに等しい場合は、 u=0 の場合に限ります。 このステートメントのおかげで、方程式を解くことは 2 つの条件 p(x)=0 および q(x)≠0 を満たすことになります。

この結論は次のことに対応します 分数有理方程式を解くアルゴリズム。 次の形式の分数有理方程式を解くには、次のものが必要です。

• 有理方程式全体 p(x)=0 を解きます。
• 見つかった各根について条件 q(x)≠0 が満たされるかどうかを確認します。
• true の場合、この根は元の方程式の根です。
• それが満たされない場合、この根は無関係です。つまり、元の方程式の根ではありません。

分数有理方程式を解く際に、発表されたアルゴリズムを使用する例を見てみましょう。

例。

方程式の根を求めます。

解決。

これは分数有理方程式であり、 p(x)=3・x−2、q(x)=5・x 2 −2=0 の形式になります。

このタイプの分数有理方程式を解くアルゴリズムによれば、最初に方程式 3 x−2=0 を解く必要があります。 これ 一次方程式、その根は x=2/3 です。

この根をチェックすること、つまり、条件 5 x 2 −2≠0 を満たすかどうかをチェックすることが残っています。 x の代わりに 2/3 という数値を式 5 x 2 −2 に代入すると、 が得られます。 条件が満たされているため、x=2/3 が元の方程式の根となります。

答え：

2/3 .

分数有理方程式は、少し違った立場から解くことができます。 この方程式は、元の方程式の変数 x の整数方程式 p(x)=0 と等価です。 つまり、これを守ることができます 分数有理方程式を解くアルゴリズム :

• 方程式 p(x)=0 を解きます。
• 変数 x の ODZ を見つけます。
• 許容値の領域に属する根を取得します。これらは、元の分数有理方程式の目的の根です。

たとえば、このアルゴリズムを使用して分数有理方程式を解いてみましょう。

例。

方程式を解きます。

解決。

まず、二次方程式 x 2 −2・x−11=0 を解きます。 その根は、偶数 2 番目の係数の根の式を使用して計算できます。 D 1 =(−1) 2 −1・(−11)=12、 そして 。

次に、元の方程式の変数 x の ODZ を求めます。 これは、x 2 +3·x≠0 であるすべての数値で構成されます。これは、x·(x+3)≠0 と同じであり、x≠0、x≠−3 となります。

最初のステップで見つかったルートが ODZ に含まれているかどうかを確認することが残ります。 明らかにそうです。 したがって、元の分数有理方程式には 2 つの根があります。

答え：

このアプローチは、ODZ が簡単に見つかる場合には最初のアプローチよりも有益であり、方程式 p(x) = 0 の根が無理数である場合 (たとえば、有理数ではあるが分子と分子がかなり大きい場合) に特に有益であることに注意してください。 /または分母、たとえば、127/1101および-31/59。 これは、そのような場合、条件 q(x)≠0 のチェックに多大な計算量が必要となり、ODZ を使用して無関係な根を除外する方が簡単であるという事実によるものです。

他の場合、方程式を解くとき、特に方程式 p(x) = 0 の根が整数の場合、指定されたアルゴリズムの最初のものを使用する方が有益です。 つまり、ODZ を見つけて方程式を解くのではなく、方程式全体 p(x)=0 の根を直ちに見つけて、それらの根について条件 q(x)≠0 が満たされるかどうかを確認することをお勧めします。この ODZ では p(x)=0 です。 これは、そのような場合、DZ を見つけるよりも確認する方が通常は簡単であるという事実によるものです。

指定されたニュアンスを説明するために 2 つの例の解決策を考えてみましょう。

例。

方程式の根を求めます。

解決。

まず、方程式全体の根を見つけてみましょう (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0、分数の分子を使用して構成されます。 この方程式の左辺は積であり、右辺はゼロであるため、因数分解によって方程式を解く方法によれば、この方程式は 4 つの方程式の集合と等価です 2 x−1=0 , x−6= 0 、 x 2 −5 x+ 14=0 、 x+1=0 。 これらの方程式のうち 3 つは一次方程式、もう 1 つは二次方程式なので、解くことができます。 最初の方程式から x=1/2、2 番目の方程式から x=6、3 番目の方程式から x=7、x=−2、4 番目の方程式から x=−1 がわかります。

根が見つかると、元の方程式の左側の分数の分母が消えるかどうかを確認するのは非常に簡単ですが、逆に、ODZ を決定するのはそれほど単純ではありません。 5次の代数方程式。 したがって、ルートを確認することを優先して、ODZ を見つけることを放棄します。 これを行うには、式内の変数 x の代わりにそれらを 1 つずつ置き換えます。 ×5−15×4＋57×3−13×2＋26×＋112、置換後に得られたものをゼロと比較します: (1/2) 5 −15・(1/2) 4 + 57・(1/2) 3 −13・(1/2) 2 +26・(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15・6 4 +57・6 3 −13・6 2 +26・6+112= 448≠0 ;
7 5 −15・7 4 +57・7 3 −13・7 2 +26・7+112=0;
(−2) 5 −15・(−2) 4 +57・(−2) 3 −13・(−2) 2 + 26・(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15・(−1) 4 +57・(−1) 3 −13・(−1) 2 + 26・(−1)+112=0 。

したがって、1/2、6、および -2 は元の分数有理方程式の目的の根であり、7 と -1 は無関係な根です。

答え：

1/2 , 6 , −2 .

例。

分数有理方程式の根を求めます。

解決。

まず、方程式の根を求めましょう (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0。 この方程式は、2 つの方程式のセットと等価です: 平方 5 x 2 −7 x−1=0 と線形 x−2=0。 二次方程式の根の公式を使用すると、2 つの根が見つかり、2 番目の方程式から x=2 が得られます。

見つかった x の値で分母がゼロになるかどうかを確認するのは非常に不快です。 そして、元の方程式の変数 x の許容値の範囲を決定するのは非常に簡単です。 したがって、ODZを通じて行動します。

この場合、元の分数有理方程式の変数 x の ODZ は、条件 x 2 +5・x−14=0 が満たされる数値を除くすべての数値で構成されます。 この二次方程式の根は x=−7 と x=2 であり、そこから ODZ についての結論を導き出します。ODZ は次のようなすべての x で構成されます。

見つかった根と x=2 が許容値の範囲に属しているかどうかを確認する必要があります。 根は属しているため、元の方程式の根であり、x=2 は属していないため、無関係な根です。

答え：

また、次の形式の分数有理方程式の分子に数値がある場合、つまり p(x) が何らかの数値で表される場合について個別に検討することも役立ちます。 その中で

• この数値がゼロ以外の場合、分数は分子がゼロに等しい場合にのみゼロに等しいため、方程式には根がありません。
• この数値がゼロの場合、方程式の根は ODZ からの任意の数値になります。

例。

解決。

方程式の左側の分数の分子にはゼロ以外の数値が含まれるため、どの x についても、この分数の値がゼロになることはありません。 したがって、この方程式には根がありません。

答え：

根がない。

例。

方程式を解きます。

解決。

この分数有理方程式の左側の分数の分子にはゼロが含まれているため、この分数の値は、意味のある x についてはゼロになります。 言い換えれば、この方程式の解は、この変数の ODZ からの x の任意の値です。

この許容値の範囲を決定することはまだ残っています。 これには、x 4 +5 x 3 ≠0 となる x のすべての値が含まれます。 方程式 x 4 +5 x 3 =0 の解は 0 と −5 です。この方程式は方程式 x 3 (x+5)=0 と等価であり、さらに 2 つの方程式 x の組み合わせと等価であるためです。 3 =0 および x +5=0、そこからこれらの根が見えます。 したがって、許容可能な値の望ましい範囲は、x=0 と x=−5 を除く任意の x です。

したがって、分数有理方程式には無限に多くの解があり、それらは 0 とマイナス 5 を除く任意の数になります。

答え：

最後に、任意形式の分数有理方程式の解法について説明します。 これらは r(x)=s(x) と書くことができます。ここで、r(x) と s(x) は有理式であり、そのうちの少なくとも 1 つは分数です。 今後を見据えて、彼らの解決策は、私たちにとってすでに馴染みのある形式の方程式を解くことに帰着するとしましょう。

方程式のある部分から符号が反対の別の部分に項を変換すると等価な方程式が得られることが知られており、したがって方程式 r(x)=s(x) は方程式 r(x) − s(x) と等価になります。 )=0。

また、この式と同様に、任意の が可能であることもわかっています。 したがって、方程式 r(x)−s(x)=0 の左辺の有理式を、 の形式の全く同じ有理分数にいつでも変換できます。

したがって、元の分数有理方程式 r(x)=s(x) からこの方程式に移動すると、上でわかったように、その解は方程式 p(x)=0 を解くことになります。

ただし、ここでは r(x)−s(x)=0 を に置き換え、次に p(x)=0 に置き換えると、変数 x の許容値の範囲が拡大する可能性があるという事実を考慮する必要があります。 。

したがって、元の方程式 r(x)=s(x) と私たちが到達した方程式 p(x)=0 は等しくないことが判明する可能性があり、方程式 p(x)=0 を解くことで根を得ることができます。これは、元の方程式 r(x)=s(x) の無関係な根になります。 チェックを実行するか、元の方程式の ODZ に属しているかどうかを確認することによって、無関係な根を特定し、答えに含めないようにすることができます。

この情報を要約してみましょう 分数有理方程式 r(x)=s(x) を解くアルゴリズム。 分数有理方程式 r(x)=s(x) を解くには、次のものが必要です。

• 式を右側から反対の符号で移動して、右側のゼロを取得します。
• 方程式の左側で分数と多項式を使用して演算を実行し、それを形式の有理分数に変換します。
• 方程式 p(x)=0 を解きます。
• 無関係な根を特定して削除します。これは、元の方程式にそれらを代入するか、元の方程式の ODZ に属していることを確認することによって行われます。

より明確にするために、分数有理方程式を解く一連の全体を示します。
.

与えられた情報ブロックを明確にするために、解決プロセスの詳細な説明とともにいくつかの例の解決策を見てみましょう。

例。

分数有理方程式を解きます。

解決。

先ほど得られた解法アルゴリズムに従って行動していきます。 そして最初に項を方程式の右側から左側に移動し、その結果として方程式に進みます。

2 番目のステップでは、結果の方程式の左側にある分数有理式を分数の形式に変換する必要があります。 これを行うには、有理分数を公分母に換算し、結果の式を簡略化します。 そこで方程式にたどり着きます。

次のステップでは、方程式 −2・x−1=0 を解く必要があります。 x=−1/2 がわかります。

見つかった数 −1/2 が元の方程式の無関係な根ではないかどうかを確認する必要があります。 これを行うには、元の方程式の変数 x の VA を確認または見つけます。 両方のアプローチを示してみましょう。

まずは確認から始めましょう。 変数 x の代わりに数値 −1/2 を元の方程式に代入すると、同じ結果、−1=−1 が得られます。 代入により正確な数値的等価性が得られるため、x=−1/2 が元の方程式の根となります。

次に、アルゴリズムの最後のポイントが ODZ を通じてどのように実行されるかを示します。 元の方程式の許容値の範囲は、-1 と 0 を除くすべての数値のセットです (x=-1 と x=0 では、分数の分母は消えます)。 前のステップで見つかった根 x=−1/2 は ODZ に属しているため、x=−1/2 が元の方程式の根です。

答え：

−1/2 .

別の例を見てみましょう。

例。

方程式の根を求めます。

解決。

分数有理方程式を解く必要があります。アルゴリズムのすべてのステップを見てみましょう。

まず、項を右側から左側に移動すると、 が得られます。

次に、左側で形成された式を変換します。 その結果、方程式 x=0 に到達します。

その根は明らかです - それはゼロです。

4 番目のステップでは、見つかった根が元の分数有理方程式に無関係であるかどうかを確認することが残ります。 これを元の式に代入すると、次の式が得られます。 ゼロ除算が含まれているため、明らかに意味がありません。 したがって、0 は無関係なルートであると結論付けられます。 したがって、元の方程式には根がありません。

これは式 7 につながります。 このことから、左辺の分母の式は右辺の式と等しくなければならない、つまり と結論付けることができます。 次に、トリプルの両側から減算します。 どこから、そしてさらに先へ、類推して。

このチェックにより、見つかった両方の根が元の分数有理方程式の根であることがわかります。

答え：

参考文献。

• 代数：教科書 8年生用。 一般教育 機関/[ゆ。 N.マカリチェフ、N.G.ミンデュク、K.I.ネシュコフ、S.B.スヴォロワ]。 によって編集 S.A.テリャコフスキー。 - 第 16 版 - M.: 教育、2008. - 271 p. ： 病気。 - ISBN 978-5-09-019243-9。
• モルドコビッチ A.G.代数。 8年生。 2 時間で終わります パート 1. 一般教育機関の学生向けの教科書 / A. G. モルドコビッチ。 - 第 11 版、削除されました。 - M.: Mnemosyne、2009. - 215 p.: 病気。 ISBN 978-5-346-01155-2。
• 代数： 9年生：教育。 一般教育用 機関/[ゆ。 N.マカリチェフ、N.G.ミンデュク、K.I.ネシュコフ、S.B.スヴォロワ]。 によって編集 S.A.テリャコフスキー。 - 第 16 版 - M.: 教育、2009. - 271 p. ： 病気。 - ISBN 978-5-09-021134-5。