代数分数の値と呼ばれるもの。 基本概念

生徒が高校に進学すると、数学は代数と幾何学の 2 つの教科に分けられます。 ますます多くの概念があり、タスクはより困難になっています。 分数を理解するのが難しい人もいます。 このトピックに関する最初のレッスンを見逃しました。 分数？ 学校生活を通して苦しむ質問。

代数分数の概念

定義から始めましょう。 下 代数分数 P/Q 式が理解されます。ここで、P は分子、Q は分母です。 数字、数値式、数字とアルファベットの式は、アルファベットのエントリの下に隠すことができます。

代数分数の解き方を考える前に、まずそのような式が全体の一部であることを理解する必要があります。

原則として、全体は 1 です。分母の数字は、単位をいくつに分割したかを示します。 取り込まれた要素の数を調べるには、分子が必要です。 分数バーは除算記号に対応します。 分数式を算術演算「除算」として記録することができます。 この場合、分子は被除数、分母は除数です。

公分数の基本ルール

生徒が学校でこのトピックに取り組むとき、強化するための例が与えられます。 それらを正しく解決し、困難な状況から抜け出すさまざまな方法を見つけるには、分数の基本的な性質を適用する必要があります。

次のように聞こえます: 分子と分母の両方に同じ数または式 (ゼロ以外) を掛けると、通常の分数の値は変わりません。 この規則の特殊なケースは、式の両方の部分を同じ数または多項式に分割することです。 このような変換は、同一等式と呼ばれます。

以下では、代数分数の足し算と引き算を解き、分数の掛け算、割り算、簡約を実行する方法を検討します。

分数を使った算術演算

代数分数の主な性質を解決する方法、実際に適用する方法を検討してください。 2 つの分数の掛け算、足し算、割り算、引き算が必要な場合は、常に規則に従わなければなりません。

したがって、足し算と引き算の演算では、式を共通の分母にするために、追加の要素を見つける必要があります。 最初に分数が同じ式 Q で与えられた場合、この項目を省略する必要があります。 共通の分母が見つかった場合、代数分数をどのように解決しますか? 分子を加算または減算します。 しかし！ 分数の前に「-」記号がある場合、分子のすべての記号が逆になることに注意してください。 場合によっては、置換や数学演算を実行してはならないことがあります。 分数の前の符号を変更するだけで十分です。

この用語はしばしば次のように使用されます。 分数削減. これは、次のことを意味します。分子と分母が 1 以外の式で除算される場合 (両方の部分で同じ)、新しい分数が取得されます。 被除数と除数は以前よりも小さくなっていますが、分数の基本的な規則により、元の例と同じままです。

この操作の目的は、新しい既約表現を取得することです。 この問題は、分子と分母を最大公約数で減らすことで解決できます。 演算アルゴリズムは次の 2 点で構成されます。

1. 分数の両方の部分の GCD を見つけます。
2. 見つかった式で分子と分母を割り、前のものと等しい既約分数を取得します。

次の表に計算式を示します。 便利なように、印刷してノートに入れて持ち運ぶことができます。 ただし、将来、テストや試験を解くときに、代数分数の解き方の問題に問題がないように、これらの式は暗記する必要があります。

解決策のある例

理論的な観点から、代数分数をどのように解くかという問題が考慮されます。 記事に示されている例は、資料をよりよく理解するのに役立ちます。

1. 分数を変換して共通分母にします。

2. 分数を変換して共通分母にします。

理論的な部分を学び、実際の問題を検討した後は、それ以上疑問が生じることはありません。

このレッスンでは、代数分数の概念について説明します。 人は、最も単純な生活状況で分数に遭遇します。たとえば、10 人分のケーキを均等に切るなど、オブジェクトをいくつかの部分に分割する必要がある場合です。 明らかに、誰もがケーキを手に入れるでしょう。 この場合、数値分数の概念に直面しますが、オブジェクトが x などの未知の数の部分に分割される状況が発生する可能性があります。 この場合、分数式の概念が生じます。 整数式 (変数を使用した式への除算を含まない) とそのプロパティについては、7 年生で既に説明しました。 次に、変数の許容値と同様に、有理数の概念を検討します。

トピック：代数分数。 代数分数の算術演算

レッスン：基本概念

1. 代数分数の定義と例

有理式は次のように分けられます。 整数式と分数式.

意味。 有理分数は の形式の分数式で、 は多項式です。 - 分子分母。

例 有理式:- 分数式; 整数式です。 たとえば、最初の式では、分子は 、分母は です。

意味 代数分数、どのように 代数式、それに含まれる変数の数値に依存します。 特に、最初の例では、分数の値は変数 と の値に依存し、2 番目の例では変数 の値のみに依存します。

2. 代数分数の値の計算と分数に関する 2 つの基本問題

最初の典型的なタスクを考えてみましょう: 値の計算 有理分数で 異なる値それに含まれる変数。

例 1. a)、b)、c) の分数の値を計算する

解決。 変数の値を指定された分数に代入します: a)、b)、c) - 存在しません (ゼロで割ることができないため)。

答え: 3; 1; 存在しません。

ご覧のとおり、2つあります 典型的なタスク任意の分数の場合: 1) 分数の計算、2) 発見 有効な値と無効な値リテラル変数。

意味。 有効な変数値式が意味を持つ変数の値です。 変数のすべての許容値のセットが呼び出されます ODZまた ドメイン.

3. 1 つの変数を持つ分数の変数の許容値 (ODZ) と無効な値

これらの値の分数の分母がゼロの場合、リテラル変数の値は無効になる可能性があります。 それ以外の場合はすべて、分数を計算できるため、変数の値は有効です。

例 2. 分数が意味をなさない変数の値を決定します。

解決。 この式が意味をなすためには、分数の分母がゼロに等しくないことが必要かつ十分です。 したがって、分母がゼロに等しくなる変数の値のみが無効になります。 分数の分母なので、線形方程式を解きます。

したがって、変数の値については、分数は意味がありません。

例の解から、変数の無効な値を見つけるためのルールが続きます - 分数の分母はゼロに等しく、対応する方程式の根が見つかります。

同様の例をいくつか見てみましょう。

例 3. 分数が意味をなさない変数の値を特定します。

解決。 .

答え。 .

例 4. 分数が意味をなさない変数の値を特定します。

解決..

この問題の他の定式化があります-見つけるために ドメインまた 有効な表現値の範囲（ODZ）. これは、変数のすべての有効な値を見つけることを意味します。 この例では、これらは を除くすべての値です。 定義域は、便宜的に数値軸上に表示されます。

これを行うには、図に示すように、その上のポイントを切り取ります。

この上、 分数ドメイン 3を除くすべての数字になります。

答え..

例 5. 分数が意味をなさない変数の値を特定します。

解決..

結果として得られる解を数値軸で示してみましょう。

答え..

4. 分数での変数の許容範囲 (ODZ) および無効値のグラフ表示

例 6. 分数が意味をなさない変数の値を決定します。

解決策.. 2 つの変数の等値が得られました。数値例を示します: or など.

この解をデカルト座標系のグラフにプロットしてみましょう。

米。 3. 関数のグラフ。

このグラフ上にある点の座標は、分数の許容値の領域には含まれません。

答え。 .

5.「ゼロ除算」のようなケース

検討した例では、ゼロによる除算が発生する状況に直面しました。 より多くの場合を考えてみましょう 興味深い状況分割式で。

例 7. 分数が意味をなさない変数の値を決定します。

解決..

の場合、分数は意味をなさないことがわかります。 しかし、次の理由から、これは当てはまらないと主張することができます。 .

最終式が の 8 に等しい場合、元の式も計算できるように思われるかもしれません。 しかし、それを元の表現に置き換えると、意味がありません。

答え..

この例をより詳細に理解するために、次の問題を解決します。示されている分数がゼロに等しいのはどの値ですか?

(分子がゼロの場合、分数はゼロです) . しかし、元の方程式を分数で解く必要があり、この変数の値では分母がゼロであるため、 には意味がありません。 したがって、この方程式には根が 1 つしかありません。

6. ODZ を見つけるためのルール

したがって、分数の許容値の範囲を見つけるための正確な規則を定式化できます。 ODZ分数その分母をゼロに等しくし、結果の方程式の根を見つけることが必要かつ十分です。

2 つの主なタスクを検討しました。 分数の値を計算する変数の指定された値と 分数の許容値の領域を見つける.

分数を扱うときに発生する可能性のある問題をさらにいくつか考えてみましょう。

7. その他のタスクと結論

例 8. 変数の任意の値について、分数であることを証明します。

証拠。 分子は正の数です。 . その結果、分子と分母の両方が正の数になるため、分数も正の数になります。

実証済み。

例 9. 、 を見つけることが知られています。

解決。 分数項を項ごとに割りましょう。 この分数の変数の無効な値を考慮して、減らす権利があります。

答え..

このレッスンでは、分数に関連する基本的な概念を見てきました。 次のレッスンでは、 分数の基本的な性質.

参考文献

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1. 教育思想の祭典。

2. オールドスクール。

3. インターネット ポータル lib2.podelise。 ル。

宿題

1. No. 4、7、9、12、13、14. Dorofeev G. V.、Suvorova S. B.、Bunimovich E. A. et al. Algebra 8. - 第 5 版。 - M.: 教育、2010 年。

2. 有理分数を書き留めます。そのドメインは、a) 集合、b) 集合、c) 数値軸全体です。

3.変数のすべての許容値について、分数の値が負でないことを証明します。

4. 式の範囲を見つけます。 ヒント: 下の分数の分母がゼロに等しい場合と、元の分数の分母がゼロに等しい場合の 2 つのケースを別々に考えてください。

§ 42 では、多項式の除算が完全に実行できない場合、商は、被除数が分子で除数が分母である分数式として記述されると述べられていました。

分数式の例:

分数式の分子と分母自体を分数式にすることができます。次に例を示します。

分数代数式のうち、分子と分母が多項式 (特に単項式) である式を扱わなければならないことがよくあります。 このような各式は、代数分数と呼ばれます。

意味。 分子と分母が多項式である分数である代数式は、代数分数と呼ばれます。

算術と同様に、代数分数の分子と分母は分数の項と呼ばれます。

将来、代数的分数に対する作用を研究したので、同一の変換を使用して任意の分数式を代数的分数に変換できます。

代数分数の例:

式全体、つまり多項式は分数として書くことができることに注意してください.これは、分子にこの式を書き、分母に 1 を書くだけで十分です.例えば:

2. 有効な文字値。

分子にのみ含まれる文字は、任意の値を取ることができます (問題の条件によって追加の制限が導入されない場合)。

分母に含まれる文字については、分母がゼロにならない値のみが有効です。 したがって、以下では、代数分数の分母はゼロに等しくないと常に仮定します。