Merumuskan definisi kerucut terpotong dari unsur-unsurnya. frustrasi

Permukaan berbentuk kerucut adalah permukaan yang dibentuk oleh semua garis lurus yang melalui setiap titik pada suatu kurva tertentu dan suatu titik di luar kurva (Gbr. 32).

Kurva ini disebut memandu , lurus - membentuk , dot - atas permukaan kerucut.

Permukaan kerucut melingkar lurus adalah permukaan yang dibentuk oleh semua garis lurus yang melalui setiap titik pada lingkaran tertentu dan suatu titik pada garis lurus yang tegak lurus bidang lingkaran dan melalui pusatnya. Berikut ini kita akan secara singkat menyebut permukaan ini permukaan kerucut (Gbr. 33).

Kerucut (kerucut melingkar lurus ) adalah benda geometris yang dibatasi oleh permukaan kerucut dan bidang yang sejajar dengan bidang lingkaran pemandu (Gbr. 34).

Beras. 32 Gambar. 33 Gambar. 34

Kerucut dapat dianggap sebagai benda yang diperoleh dengan memutar segitiga siku-siku mengelilingi sumbu yang memuat salah satu kaki segitiga.

Lingkaran yang mengelilingi kerucut disebut dasar . Titik puncak permukaan kerucut disebut atas kerucut Ruas yang menghubungkan titik sudut kerucut dengan pusat alasnya disebut tinggi kerucut Ruas-ruas yang membentuk permukaan kerucut disebut membentuk kerucut Sumbu kerucut adalah garis lurus yang melalui titik puncak kerucut dan titik pusat alasnya. Bagian aksial disebut bagian yang melalui sumbu kerucut. Perkembangan permukaan samping Kerucut disebut sektor yang jari-jarinya sama dengan panjang generatrix kerucut, dan panjang busur sektor tersebut sama dengan keliling alas kerucut.

Rumus kerucut yang benar adalah:

Di mana R– radius alas;

H- tinggi;

aku– panjang generatrix;

basis S– daerah pangkalan;

sisi S

S penuh

V– volume kerucut.

Kerucut terpotong disebut bagian kerucut yang terletak di antara alas dan bidang potong yang sejajar dengan alas kerucut (Gbr. 35).

Kerucut terpotong dapat dianggap sebagai benda yang diperoleh dengan memutar trapesium persegi panjang di sekitar sumbu yang memuat sisi trapesium tegak lurus alasnya.

Dua lingkaran yang melingkari kerucut disebut lingkarannya alasan . Tinggi kerucut terpotong adalah jarak antara alasnya. Ruas-ruas yang membentuk permukaan kerucut pada kerucut yang terpotong disebut membentuk . Garis lurus yang melalui pusat-pusat alas disebut sumbu kerucut terpotong. Bagian aksial disebut bagian yang melalui sumbu kerucut terpotong.

Untuk kerucut terpotong rumus yang benar adalah:

(8)

Di mana R– radius alas bawah;

R– radius alas atas;

H– tinggi, l – panjang generatrix;

sisi S– luas permukaan lateral;

S penuh– total luas permukaan;

V– volume kerucut yang terpotong.

Contoh 1. Penampang kerucut yang sejajar alas membagi tinggi dengan perbandingan 1:3, dihitung dari atas. Hitunglah luas permukaan lateral kerucut yang terpotong jika jari-jari alas dan tinggi kerucut adalah 9 cm dan 12 cm.

Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 36).

Untuk menghitung luas permukaan lateral kerucut yang terpotong, kita menggunakan rumus (8). Mari kita cari jari-jari basanya Sekitar 1A Dan Sekitar abad ke-1 dan membentuk AB.

Perhatikan segitiga sebangun SO2B Dan JADI 1 A, koefisien kesamaan, lalu

Dari sini

Dari dulu

Luas permukaan lateral kerucut yang terpotong sama dengan:

Menjawab: .

Contoh 2. Jari-jari seperempat lingkaran dilipat menjadi permukaan kerucut. Temukan jari-jari alas dan tinggi kerucut.

Larutan. Kuadran lingkaran merupakan perkembangan permukaan lateral kerucut. Mari kita tunjukkan R– radius alasnya, H - tinggi. Mari kita hitung luas permukaan lateral menggunakan rumus: . Luasnya sama dengan seperempat lingkaran: . Kami mendapatkan persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui R Dan aku(membentuk kerucut). Dalam hal ini, generatrixnya sama dengan jari-jari seperempat lingkaran R, yang berarti kita mendapatkan persamaan berikut: , dari mana Mengetahui jari-jari alas dan generator, kita mencari tinggi kerucut:

Menjawab: 2 cm, .

Contoh 3. Sebuah trapesium berbentuk persegi panjang dengan sudut lancip 45 O, alasnya lebih kecil 3 cm dan sisi miringnya sama dengan , berputar pada sisi yang tegak lurus alasnya. Temukan volume benda rotasi yang dihasilkan.

Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 37).

Sebagai hasil rotasi, kita memperoleh kerucut yang terpotong; untuk mencari volumenya, kita menghitung jari-jari alas dan tinggi yang lebih besar. Di trapeze HAI 1 HAI 2 AB kami akan melakukan AC^O 1B. B kita punya: artinya segitiga ini sama kaki AC=SM=3 cm.

Menjawab:

Contoh 4. Sebuah segitiga dengan panjang sisi 13 cm, 37 cm, dan 40 cm berputar mengelilingi sumbu luar yang sejajar dengan sisi yang lebih besar dan terletak pada jarak 3 cm darinya (sumbu terletak pada bidang segitiga). Temukan luas permukaan benda revolusi yang dihasilkan.

Larutan . Mari kita membuat gambar (Gbr. 38).

Permukaan benda revolusi yang dihasilkan terdiri dari permukaan lateral dua kerucut terpotong dan permukaan lateral silinder. Untuk menghitung luas tersebut, perlu diketahui jari-jari alas kerucut dan silinder ( MENJADI Dan O.C.), membentuk kerucut ( SM Dan AC) dan tinggi silinder ( AB). Satu-satunya yang tidak diketahui adalah BERSAMA. ini adalah jarak dari sisi segitiga ke sumbu rotasi. Kami akan menemukannya DC. Luas segitiga ABC pada salah satu sisinya sama dengan hasil kali setengah sisi AB dan tinggi yang ditarik ke sana DC, sebaliknya, dengan mengetahui semua sisi segitiga, kita menghitung luasnya menggunakan rumus Heron.

Perkenalan

Beras. 1. Benda kehidupan yang berbentuk ko-nu-sa terpotong

Menurut Anda dari mana datangnya angka-angka baru dalam geometri? Semuanya sangat sederhana: seseorang dalam hidup telah menjadi objek yang serupa dan datang, seolah-olah memanggilnya. Mari kita lihat lemari tempat singa-singa di sirkus duduk, sepotong wortel yang dipanen ketika kita baru saja -sebagian darinya, gunung berapi aktif dan, misalnya, cahaya dari fo-na-ri- ka (lihat Gambar 1).

Kerucut terpotong, elemen-elemennya dan bagian aksial

Beras. 2. Geo-met-ri-che-fi-gu-ry

Kita melihat bahwa semua gambar ini memiliki bentuk yang serupa - baik dari bawah maupun dari atas dibatasi oleh lingkaran, tetapi menyempit ke arah atas ( lihat Gambar 2).

Beras. 3. Dari bagian atas co-nu-sa

Itu terlihat seperti kerucut. Hanya saja tidak cukup. Kita secara mental membayangkan bahwa kita mengambil sebuah kerucut dan melepaskan bagian atasnya dengan satu ayunan pedang tajam (lihat Gambar 3).

Beras. 4. Kerucut terpotong

Ini persis seperti gambar kita; ini disebut kerucut terpotong (lihat Gambar 4).

Beras. 5. Se-che-nie, paralel-os-no-va-niyu ko-nu-sa

Biarkan kerucut diberikan. Mari kita buat sebuah bidang, bidang sejajar dari sumbu co-nu-sa ini dan sebuah kerucut yang memotong (lihat Gambar 5).

Ini akan membagi kerucut menjadi dua benda: salah satunya adalah kerucut yang berukuran lebih kecil, dan yang kedua disebut kerucut terpotong ( lihat Gambar 6).

Beras. 6. Diperoleh benda-benda pada bagian yang sejajar

Jadi, kerucut terpotong adalah bagian kerucut yang dihubungkan antara benda induknya dengan benda induk yang sejajar tetapi datar. Seperti halnya kerucut, kerucut yang terpotong dapat mempunyai lingkaran sebagai alasnya - dalam hal ini disebut lingkaran. Jika kerucut asal lurus, maka kerucut yang terpotong disebut lurus. Seperti dalam kasus ko-nu-sa-mi, kita akan melihat kuncinya, tetapi ko-nu-s terpotong melingkar lurus, jika tidak secara khusus ditunjukkan bahwa kita berbicara tentang co-nu-se terpotong tidak langsung atau pada dasarnya tidak ada lingkaran.

Beras. 7. Rotasi jebakan persegi panjang

Tema global kami adalah rotasi. Kerucut terpotong tidak terkecuali! Mari kita ingat bahwa untuk mendapatkan co-nu-sa, kita smo-mat-ri-va-li sebuah segitiga siku-siku dan memutarnya mengelilingi ka-te-ta? Jika kerucut yang dihasilkan dipotong dengan bidang sejajar sumbu, maka tidak akan ada garis lurus yang tersisa dari segitiga -mo-coal trap. Rotasinya pada sisi yang lebih kecil akan menghasilkan kerucut yang terpotong. Mari kita perhatikan lagi bahwa kita jelas hanya berbicara tentang co-nu-se melingkar langsung (lihat Gambar 7).

Beras. 8. Os-no-va-niya terpotong-no-go ko-nu-sa

Saya akan membuat beberapa persiapan. Dasar setengah-ko-nu-sa dan lingkaran, setengah-cha-yu-shay di bagian datar ko-nu-sa, disebut os-no-va-ni-ya-mi terpotong ko-nu-sa (bawah dan atas) (lihat Gambar 8).

Beras. 9. Ob-ra-zu-yu-schi terpotong ko-nu-sa

Dari potongan ra-zu-yu-shih separuh co-nu-sa, dihubungkan antara os-but-va-ni-mi terpotong-tapi-go ko-nu-sa, mereka menyebutnya tentang-ra- zu-yu-schi-mi terpotong-no-go ko-nu-sa. Karena semua hasil pendidikan adalah sama dan semua hasil pendidikan berasal dari hal yang sama adalah sama, maka co-nu-sa yang terpotong ob-ra-zu-yu adalah sama (jangan bingung antara yang terpotong dan terpotong!). Dari sini mengikuti persamaan tra-pe-tion sumbu bagian (lihat Gambar 9).

Dari sumbu rotasi yang berada di dalam co-nu-sa yang terpotong, disebut sumbu sumbu terpotong ko-nu-sa. Pemotongan ulang ini, ra-zu-me-et-sya, menyatukan pusat-pusat fundamentalnya (lihat Gambar 10).

Beras. 10. Sumbu ko-nu-sa terpotong

You-so-ta terpotong ko-nu-sa adalah per-pen-di-ku-lyar, pro-ve-den dari titik salah satu os-no-va-niya ke pangkalan lain. Paling sering, dalam kualitas Anda, Anda telah memotong porosnya.

Beras. 11. Ose-voe se-che-nie terpotong-no-go-ko-nu-sa

Bagian aksial co-nu-sa terpotong adalah bagian yang melalui porosnya. Bentuknya trapesium, nanti kita akan tunjukkan persamaannya (lihat Gambar 11).

Luas permukaan lateral dan total kerucut terpotong

Beras. 12. Kerucut dengan simbol yang diperkenalkan

Mari kita cari luas bo-co-voy di bagian atas ko-nu-sa yang terpotong. Misalkan alas co-nu-sa yang terpotong memiliki jari-jari dan , dan biarkan ob-ra-zu-yu sama (lihat Gambar 12).

Beras. 13. Penunjukan ob-ra-zu-yu-shchei dari-se-chen-no-th ko-nu-sa

Mari kita cari luas bo-ko-voy di atas co-nu-sa yang terpotong sebagai selisih luas bo-ko-voy di atas-tapi- ste-khod-no-go ko-nu-sa dan dari-se-chen-no-go. Untuk melakukan ini, kami menunjukkannya melalui pembentukan ko-nu-sa (lihat Gambar 13).

Lalu is-ko-may.

Beras. 14. Segitiga sebangun

Yang tersisa hanyalah Anda mencari tahu.

Mari kita perhatikan bahwa dari po-do-biy tri-corn-ni-kov, dari-ke-ya (lihat Gambar 14).

Hal ini dapat diungkapkan dengan membaginya menjadi selisih jari-jari, tetapi kita tidak memerlukannya, karena dalam kasus ini justru gambar-gu-ri-ru-et pro-iz-ve-de- tidak. Menggantinya, kita akhirnya mendapatkan: .

Sekarang tidak sulit untuk mendapatkan bentuk yang luas permukaannya penuh. Untuk melakukan ini, tambahkan dengan tepat luas kedua lingkaran alasnya: .

Tugas

Beras. 15. Ilustrasi for-da-che

Biarkan kerucut yang terpotong diputar dengan perangkap persegi panjang di sekeliling ketinggiannya. Garis tengah trapesium adalah , dan sisi yang lebih besar adalah (lihat Gambar 15). Temukan luas bo-co-voy di atas-no-sti ko-nu-sa yang terpotong.

Larutan

Dari rumusnya kita tahu itu .

Pembentukan ko-nu-sa akan menjadi tra-pe-tion besar seratus ro-on-going, yaitu Ra-di-u-sy ko-well-sa - ini adalah dasar dari tra- pe-tion. Kami tidak dapat menemukannya. Tapi kita tidak membutuhkannya: kita hanya perlu jumlahnya, dan jumlah alas trapesium adalah dua kali lebih besar dari garis tengahnya, yaitu sama dengan . Kemudian .

Persamaan antara kerucut terpotong dan piramida

Perhatikan fakta bahwa ketika kita berbicara tentang co-nu-se, kita membicarakannya antara dia dan pi -ra-mi-doy - rumusnya serupa. Disini sama saja, karena kerucut terpotong sangat mirip dengan pi-ra-mi-du terpotong, jadi rumus luasnya besar dan lengkap top-not-stey terpotong ko-nu-sa dan pi-ra-mi -dy (dan segera akan ada rumus volume) analog-logika- kita.

Tugas

Beras. 1. Ilustrasi untuk za-da-che

Ra-di-u-sy os-no-va-niy use-chen-no-go ko-nu-sa sama dengan dan , dan ob-ra-zu-yu-shchaya sama dengan . Temukan co-nu-sa yang terpotong dan luas sumbunya (lihat Gambar 1).

Yang berasal dari satu titik (puncak kerucut) dan melewati permukaan datar.

Kebetulan kerucut adalah bagian suatu benda yang mempunyai volume terbatas dan diperoleh dengan menggabungkan setiap ruas yang menghubungkan titik sudut dan titik-titik pada suatu permukaan datar. Yang terakhir, dalam hal ini, adalah dasar kerucut, dan kerucut dikatakan bertumpu pada alas ini.

Jika alas kerucut berbentuk poligon, maka kerucut tersebut sudah berbentuk poligon piramida .

Kerucut melingkar- ini adalah benda yang terdiri dari lingkaran (alas kerucut), suatu titik yang tidak terletak pada bidang lingkaran tersebut (puncak kerucut dan semua ruas yang menghubungkan puncak kerucut dengan titik-titik lingkaran tersebut). basis). Ruas-ruas yang menghubungkan titik puncak kerucut dan titik-titik alas lingkaran disebut membentuk kerucut. Permukaan kerucut terdiri dari alas dan permukaan samping.

Luas permukaan lateral sudah benar N-piramida karbon bertuliskan kerucut:

S n =½P n l n,

Di mana hal- keliling alas limas, dan aku n- apotema.

Dengan prinsip yang sama: untuk luas permukaan lateral kerucut terpotong dengan jari-jari alas R 1, R 2 dan membentuk aku kita mendapatkan rumus berikut:

S=(R 1 +R 2)aku.

Kerucut berbentuk lingkaran lurus dan miring yang alas dan tingginya sama. Benda-benda ini mempunyai volume yang sama:

Sifat-sifat kerucut.

• Apabila luas alasnya mempunyai batas, berarti volume kerucut juga mempunyai batas dan sama dengan sepertiga hasil kali tinggi dan luas alas.

Di mana S- daerah dasar, H- tinggi.

Jadi, setiap kerucut yang bertumpu pada alas tersebut dan mempunyai titik sudut yang terletak pada bidang yang sejajar alas mempunyai volume yang sama, karena tingginya sama.

• Pusat gravitasi setiap kerucut yang volumenya berbatas terletak pada seperempat tinggi dari alas.
• Sudut padat pada titik sudut kerucut siku-siku dapat dinyatakan dengan rumus berikut:

Di mana α - sudut bukaan kerucut.

• Luas permukaan lateral kerucut tersebut, rumusnya:

dan luas permukaan total (yaitu, jumlah luas permukaan lateral dan alas), rumusnya:

S=πR(l+R),

Di mana R— radius alas, aku— panjang generatrix.

• Volume kerucut berbentuk lingkaran, rumus:

• Untuk kerucut terpotong (tidak hanya lurus atau lingkaran), volume, rumus:

Di mana S 1 Dan S 2- luas alas atas dan bawah,

H Dan H- jarak dari bidang alas atas dan bawah ke atas.

• Perpotongan bidang dengan kerucut lingkaran siku-siku merupakan salah satu bagian berbentuk kerucut.

Geometri adalah cabang matematika yang mempelajari struktur dalam ruang dan hubungan di antara mereka. Pada gilirannya juga terdiri dari bagian-bagian, dan salah satunya adalah stereometri. Ini melibatkan studi tentang sifat-sifat bangun tiga dimensi yang terletak di ruang angkasa: kubus, piramida, bola, kerucut, silinder, dll.

Kerucut adalah benda dalam ruang Euclidean yang dibatasi oleh permukaan berbentuk kerucut dan bidang tempat ujung generatornya berada. Pembentukannya terjadi selama perputaran segitiga siku-siku di sekitar salah satu kakinya, sehingga termasuk dalam benda revolusi.

Komponen kerucut

Ada beberapa jenis kerucut berikut: miring (atau miring) dan lurus. Miring adalah benda yang sumbunya tidak berpotongan tegak lurus dengan pusat alasnya. Oleh karena itu, tinggi kerucut tersebut tidak bertepatan dengan sumbunya, karena kerucut tersebut merupakan ruas yang diturunkan dari puncak benda ke bidang alasnya dengan sudut 90°.

Kerucut yang sumbunya tegak lurus alasnya disebut lurus. Sumbu dan tinggi benda geometris tersebut bertepatan karena titik puncak di dalamnya terletak di atas pusat diameter alas.

Kerucut terdiri dari elemen-elemen berikut:

1. Lingkaran yang menjadi alasnya.
2. Permukaan samping.
3. Suatu titik yang tidak terletak pada bidang alas disebut titik puncak kerucut.
4. Ruas-ruas yang menghubungkan titik-titik lingkaran alas suatu benda geometri dan titik puncaknya.

Semua segmen ini merupakan generator kerucut. Mereka condong ke alas benda geometris, dan dalam kasus kerucut siku-siku, proyeksinya sama, karena titik sudutnya berjarak sama dari titik-titik lingkaran alasnya. Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa pada kerucut beraturan (lurus) generatornya sama besar, yaitu mempunyai panjang yang sama dan membentuk sudut yang sama dengan sumbu (atau tinggi) dan alasnya.

Karena pada benda rotasi miring (atau miring), titik sudutnya digeser relatif terhadap pusat bidang alas, generator pada benda tersebut memiliki panjang dan proyeksi yang berbeda, karena masing-masing generator berada pada jarak yang berbeda dari dua titik mana pun. lingkaran alasnya. Selain itu, sudut antara keduanya dan tinggi kerucut juga akan berbeda.

Panjang generatrices dalam kerucut lurus

Seperti yang telah ditulis sebelumnya, tinggi suatu benda revolusi tegak lurus terhadap bidang alasnya. Jadi, generatrix, tinggi dan jari-jari alas membuat segitiga siku-siku pada kerucut.

Artinya, dengan mengetahui jari-jari alas dan tinggi, dengan menggunakan rumus teorema Pythagoras, Anda dapat menghitung panjang generatrix, yang akan sama dengan jumlah kuadrat jari-jari alas dan tinggi:

l 2 = r 2 + h 2 atau l = √r 2 + h 2

di mana aku adalah generatornya;

r - radius;

h - tinggi.

Generator dalam kerucut miring

Berdasarkan kenyataan bahwa dalam kerucut miring atau miring generator tidak memiliki panjang yang sama, tidak mungkin menghitungnya tanpa konstruksi dan perhitungan tambahan.

Pertama-tama, Anda perlu mengetahui tinggi, panjang sumbu, dan jari-jari alas.

r 1 = √k 2 - jam 2

dimana r 1 adalah bagian jari-jari antara sumbu dan tinggi;

k - panjang sumbu;

h - tinggi.

Sebagai hasil penjumlahan jari-jari (r) dan bagiannya yang terletak di antara sumbu dan tinggi (r 1), Anda dapat mengetahui generatrix kerucut yang dihasilkan secara lengkap, tinggi dan bagian diameternya:

dimana R adalah kaki segitiga yang dibentuk oleh tinggi, generator dan bagian dari diameter alas;

r - radius alas;

r 1 - bagian jari-jari antara sumbu dan tinggi.

Dengan menggunakan rumus yang sama dari teorema Pythagoras, Anda dapat mencari panjang generatrix kerucut:

aku = √h 2 + R 2

atau, tanpa menghitung R secara terpisah, gabungkan kedua rumus menjadi satu:

aku = √h 2 + (r + r 1) 2.

Terlepas dari apakah kerucut itu lurus atau miring dan apa data masukannya, semua metode untuk mencari panjang generatrix selalu mengarah pada satu hasil - penggunaan teorema Pythagoras.

Bagian kerucut

Aksial adalah bidang yang melintas sepanjang sumbu atau ketinggiannya. Pada kerucut lurus, bagian tersebut adalah segitiga sama kaki, yang tinggi segitiga adalah tinggi badan, sisi-sisinya adalah generator, dan alasnya adalah diameter alasnya. Pada benda geometri sama sisi, penampang aksialnya adalah segitiga sama sisi, karena pada kerucut ini diameter alas dan generatornya sama.

Bidang penampang aksial pada kerucut lurus adalah bidang simetrinya. Alasannya adalah karena puncaknya terletak di atas pusat alasnya, yaitu bidang penampang aksial membagi kerucut menjadi dua bagian yang identik.

Karena tinggi dan sumbu pada benda volumetrik miring tidak berhimpitan, bidang penampang aksial tidak boleh mencakup tingginya. Jika banyak bagian aksial dalam kerucut seperti itu dapat dibuat, karena untuk ini hanya satu syarat yang harus dipenuhi - ia harus melewati sumbu saja, maka bagian aksial dari bidang yang menjadi tempat ketinggian kerucut ini hanya dapat digambar. satu, karena jumlah kondisinya bertambah, dan, seperti diketahui, dua garis lurus (bersama-sama) hanya dapat dimiliki oleh satu bidang.

Luas penampang

Bagian aksial kerucut yang disebutkan sebelumnya adalah segitiga. Berdasarkan hal tersebut, luasnya dapat dihitung dengan menggunakan rumus luas segitiga:

S = 1/2 * d * h atau S = 1/2 * 2r * h

dimana S adalah luas penampang;

d - diameter dasar;

r - radius;

h - tinggi.

Pada kerucut miring atau miring, penampang sepanjang sumbu juga berbentuk segitiga, sehingga luas penampang dihitung dengan cara yang sama.

Volume

Karena kerucut adalah bangun ruang tiga dimensi, maka volumenya dapat dihitung. Volume kerucut adalah bilangan yang mencirikan suatu benda dalam satuan volume, yaitu dalam m3. Perhitungannya tidak tergantung lurus atau miring (oblique), karena rumus kedua jenis benda ini tidak berbeda.

Seperti yang telah dikemukakan sebelumnya, pembentukan kerucut siku-siku terjadi karena adanya perputaran segitiga siku-siku pada salah satu kakinya. Kerucut miring atau miring terbentuk secara berbeda, karena tingginya digeser menjauhi pusat bidang alas benda. Namun demikian, perbedaan struktur tersebut tidak mempengaruhi metode penghitungan volumenya.

Perhitungan volume

Kerucut apa pun terlihat seperti ini:

V = 1/3 * π * h * r 2

dimana V adalah volume kerucut;

h - tinggi;

r - radius;

π adalah konstanta yang sama dengan 3,14.

Untuk menghitung tinggi suatu benda, Anda perlu mengetahui jari-jari alas dan panjang generatrixnya. Karena jari-jari, tinggi, dan generator digabungkan menjadi segitiga siku-siku, maka tingginya dapat dihitung menggunakan rumus teorema Pythagoras (a 2 + b 2 = c 2 atau dalam kasus kita h 2 + r 2 = l 2, di mana l adalah generatornya). Tingginya akan dihitung dengan mengambil akar kuadrat dari selisih antara kuadrat sisi miring dan kaki lainnya:

a = √c 2 - b 2

Artinya, tinggi kerucut akan sama dengan nilai yang diperoleh setelah mengambil akar kuadrat dari selisih antara kuadrat panjang generatrix dan kuadrat jari-jari alasnya:

h = √l 2 - r 2

Dengan menghitung tinggi menggunakan metode ini dan mengetahui jari-jari alasnya, Anda dapat menghitung volume kerucut. Generator memegang peranan penting dalam hal ini, karena berfungsi sebagai elemen pembantu dalam perhitungan.

Demikian pula, jika tinggi suatu benda dan panjang generatrixnya diketahui, jari-jari alasnya dapat diketahui dengan mengambil akar kuadrat dari selisih antara kuadrat generatrix dan kuadrat tingginya:

r = √l 2 - jam 2

Kemudian, dengan menggunakan rumus yang sama seperti di atas, hitung volume kerucut.

Volume kerucut miring

Karena rumus volume kerucut sama untuk semua jenis benda revolusi, maka yang membedakan perhitungannya adalah pencarian ketinggian.

Untuk mengetahui tinggi kerucut miring, data masukan harus mencakup panjang generatrix, jari-jari alas, dan jarak antara pusat alas dan perpotongan tinggi benda dengan bidang. dari basisnya. Mengetahui hal ini, Anda dapat dengan mudah menghitung bagian diameter alas yang akan menjadi alas segitiga siku-siku (dibentuk oleh tinggi, generatrix, dan bidang alas). Kemudian, dengan menggunakan teorema Pythagoras, hitung tinggi kerucut, dan selanjutnya volumenya.

Beras. 1. Benda hidup yang berbentuk kerucut terpotong

Menurut Anda dari mana datangnya bentuk-bentuk baru dalam geometri? Semuanya sangat sederhana: seseorang menemukan benda serupa dalam kehidupan dan memberikan namanya. Mari kita perhatikan sebuah stand tempat singa duduk di sirkus, sepotong wortel yang diperoleh jika kita hanya memotong sebagian saja, gunung berapi aktif dan, misalnya, cahaya dari senter (lihat Gambar 1).

Beras. 2. Bentuk geometris

Kita melihat bahwa semua gambar ini memiliki bentuk yang serupa - baik di bawah maupun di atasnya dibatasi oleh lingkaran, tetapi meruncing ke atas (lihat Gambar 2).

Beras. 3. Memotong bagian atas kerucut

Itu terlihat seperti kerucut. Bagian atasnya hilang begitu saja. Mari kita bayangkan secara mental bahwa kita mengambil sebuah kerucut dan memotong bagian atasnya dengan satu ayunan pedang tajam (lihat Gambar 3).

Beras. 4. Kerucut terpotong

Hasilnya persis seperti gambar kita, disebut kerucut terpotong (lihat Gambar 4).

Beras. 5. Bagian sejajar dengan alas kerucut

Biarkan kerucut diberikan. Mari kita menggambar sebuah bidang yang sejajar dengan bidang alas kerucut ini dan memotong kerucut tersebut (lihat Gambar 5).

Ini akan membagi kerucut menjadi dua benda: salah satunya adalah kerucut yang lebih kecil, dan yang kedua disebut kerucut terpotong (lihat Gambar 6).

Beras. 6. Benda-benda yang dihasilkan dengan bagian paralel

Jadi, kerucut terpotong adalah bagian kerucut yang terletak di antara alasnya dan bidang yang sejajar alasnya. Seperti halnya kerucut, kerucut yang terpotong dapat mempunyai lingkaran pada alasnya, dalam hal ini disebut lingkaran. Jika kerucut asal lurus, maka kerucut yang terpotong disebut lurus. Seperti halnya kerucut, kita hanya akan membahas kerucut terpotong lingkaran lurus, kecuali dinyatakan secara khusus bahwa yang kita bicarakan adalah kerucut terpotong tidak langsung atau alasnya bukan lingkaran.

Beras. 7. Rotasi trapesium persegi panjang

Topik global kami adalah rotasi. Kerucut terpotong tidak terkecuali! Mari kita ingat bahwa untuk mendapatkan kerucut kita menganggap segitiga siku-siku dan memutarnya mengelilingi kaki? Jika kerucut yang dihasilkan dipotong oleh bidang yang sejajar dengan alasnya, maka segitiga tersebut akan tetap berbentuk trapesium persegi panjang. Rotasinya pada sisi yang lebih kecil akan menghasilkan kerucut yang terpotong. Mari kita perhatikan lagi bahwa, tentu saja, kita hanya berbicara tentang kerucut lingkaran lurus (lihat Gambar 7).

Beras. 8. Basis kerucut terpotong

Mari kita beri beberapa komentar. Alas kerucut lengkap dan lingkaran yang dihasilkan dari potongan kerucut oleh bidang disebut alas kerucut terpotong (bawah dan atas) (lihat Gambar 8).

Beras. 9. Generator kerucut terpotong

Segmen generator kerucut lengkap yang terletak di antara alas kerucut terpotong disebut generator kerucut terpotong. Karena semua generator kerucut asli adalah sama dan semua generator kerucut terpotong juga sama, maka generator kerucut terpotong juga sama (jangan bingung antara yang terpotong dan terpotong!). Artinya, bagian aksial trapesium adalah sama kaki (lihat Gambar 9).

Ruas sumbu rotasi yang berada di dalam kerucut terpotong disebut sumbu kerucut terpotong. Segmen ini tentu saja menghubungkan pusat-pusat alasnya (lihat Gambar 10).

Beras. 10. Sumbu kerucut terpotong

Tinggi kerucut yang terpotong adalah garis tegak lurus yang ditarik dari suatu titik pada salah satu alas ke alas yang lain. Paling sering, ketinggian kerucut terpotong dianggap sebagai porosnya.

Beras. 11. Bagian aksial kerucut terpotong

Bagian aksial kerucut terpotong adalah bagian yang melalui sumbunya. Bentuknya trapesium; nanti kita buktikan bahwa itu sama kaki (lihat Gambar 11).

Beras. 12. Kerucut dengan notasi yang diperkenalkan

Mari kita cari luas permukaan lateral kerucut yang terpotong. Misalkan alas kerucut yang terpotong memiliki jari-jari dan , dan matriks generatriknya sama (lihat Gambar 12).

Beras. 13. Penunjukan generatrix kerucut yang terpotong

Mari kita cari luas permukaan lateral kerucut yang terpotong sebagai selisih antara luas permukaan lateral kerucut asli dan kerucut yang terpotong. Untuk melakukan ini, mari kita nyatakan dengan generatrix dari kerucut yang terpotong (lihat Gambar 13).

Lalu apa yang Anda cari.

Beras. 14. Segitiga sebangun

Yang tersisa hanyalah berekspresi.

Perhatikan bahwa dari persamaan segitiga, dari mana (lihat Gambar 14).

Dimungkinkan untuk menyatakan , membaginya dengan selisih jari-jari, tetapi kita tidak memerlukannya, karena hasil kali yang kita cari muncul dalam ekspresi yang kita cari. Mengganti , kita akhirnya memiliki: .

Sekarang mudah untuk mendapatkan rumus luas permukaan total. Untuk melakukannya, cukup tambahkan luas kedua lingkaran alasnya: .

Beras. 15. Ilustrasi soal

Misalkan kerucut terpotong diperoleh dengan memutar trapesium persegi panjang mengelilingi tingginya. Garis tengah trapesium adalah , dan sisi lateralnya yang besar (lihat Gambar 15). Temukan luas permukaan lateral kerucut terpotong yang dihasilkan.

Larutan

Dari rumusnya kita tahu itu .

Generatrix kerucut akan menjadi sisi yang lebih besar dari trapesium aslinya, yaitu jari-jari kerucut adalah alas trapesium. Kami tidak dapat menemukannya. Tapi kita tidak membutuhkannya: kita hanya perlu jumlahnya, dan jumlah alas trapesium adalah dua kali lebih besar dari garis tengahnya, yaitu sama dengan . Kemudian .

Harap dicatat bahwa ketika kita berbicara tentang kerucut, kita menggambar paralel antara kerucut dan piramida - rumusnya serupa. Hal yang sama terjadi di sini, karena kerucut terpotong sangat mirip dengan limas terpotong, sehingga rumus luas permukaan lateral dan total permukaan kerucut dan limas terpotong (dan rumus volume akan segera muncul) juga serupa.

Beras. 1. Ilustrasi soal

Jari-jari alas kerucut terpotong sama dengan dan , dan matriks generatriknya sama dengan . Temukan tinggi kerucut yang terpotong dan luas bagian aksialnya (lihat Gambar 1).