Konstruksi kurva pola dilakukan sebagai berikut:

Pertama, titik-titik yang termasuk dalam kurva ditentukan kemudian dihubungkan dengan suatu pola. Kurva pola meliputi apa yang disebut bagian kerucut parabola, hiperbola, elips yang diperoleh dengan memotong kerucut melingkar dengan bidang, involute, sinusoidal dan lain-lain.

1. Konstruksi elips.

2. Fokus elips

3. Konstruksi parabola

6. Menggambar pola kurva.

Elips adalah bagian berbentuk kerucut yang termasuk dalam kurva pola. Elips, hiperbola, dan parabola diperoleh dengan memotong kerucut melingkar dengan bidang, sinusoidal, involute, dan kurva lainnya.

Gambar 41. Perpotongan kerucut dengan bidang sepanjang elips (a) dan elips (b).

Untuk membuat pola kurva (parabola, elips, hiperbola), ditentukan titik-titik yang termasuk dalam kurva tersebut kemudian semua titik dihubungkan dengan suatu pola. Jika permukaan kerucut lingkaran dipotong dengan bidang miring -P, sehingga bidang miring tersebut memotong semua generatrik kerucut lingkaran, maka terbentuklah elips pada bidang penampang itu sendiri (Lihat Gambar 41, a ).

Elips adalah kurva tertutup datar yang jumlah jarak masing-masing titiknya - M ke dua titik tertentu F1 dan F2 - bernilai konstan. Nilai konstanta ini sama dengan sumbu mayor elips MF1 + MF2 = AB. Sumbu minor elips CD dan sumbu mayor AB saling tegak lurus dan sumbu yang satu membagi sumbu lainnya menjadi dua.

Gambar 42. Konstruksi elips sepanjang sumbu


Jadi, sumbu membagi kurva elips menjadi empat bagian yang sama simetris dan berpasangan. Jika dari ujung sumbu minor CD, seperti dari pusat, kita gambarkan busur lingkaran yang jari-jarinya sama dengan setengah sumbu mayor elips R=OA=OB, maka akan berpotongan di titik F1 dan F2 , yang disebut fokus.

Gambar 42 menunjukkan contoh pembuatan elips sepanjang sumbunya. Pada sumbu AB dan CD yang diberikan, seperti pada diameter, kita membuat dua lingkaran konsentris yang berpusat di titik O. Kita membagi lingkaran besar menjadi beberapa bagian dan menghubungkannya. titik-titik yang dihasilkan dengan garis lurus ke pusat O.

Dari titik potong 1; 2; 3; 4; dengan lingkaran bantu kita menggambar ruas-ruas garis mendatar dan vertikal hingga saling berpotongan di titik E, F, K, M yang termasuk dalam elips. Selanjutnya, dengan menggunakan suatu pola, titik-titik yang dibangun pada kurva halus dihubungkan dan hasilnya adalah elips.

Konstruksi kurva pola, parabola

Gambar 43. Perpotongan kerucut dengan bidang sepanjang parabola. Membangun parabola menggunakan fokus dan direktriks.

Jika kerucut melingkar dipotong sejajar salah satu generatrisnya dengan bidang miring P, maka akan terbentuk parabola pada bidang penampang tersebut (lihat Gambar 43 a). Setiap titik parabola terletak dari garis lurus -MN, dan dari fokus -F pada jarak yang sama.

Garis lurus MN merupakan pemandu dan terletak tegak lurus terhadap sumbu parabola. Di antara pemandu -MN dan fokus -F, titik puncak parabola A terletak tepat di tengah fokus dan pemandu tertentu, melalui titik fokus -F, tarik sumbu parabola -X, tegak lurus pemandu -MN.

Bagilah ruas-EF menjadi dua dan dapatkan titik puncak parabola-A. Dari titik puncak parabola pada jarak sembarang, tarik garis lurus yang tegak lurus sumbu parabola. Dari titik -F yang berjari-jari sama dengan jarak -L, dari garis lurus yang bersesuaian ke pemandu, misalnya CB, kita buat garis lurus ke sana. Dalam hal ini, poin C dan B.

Setelah membuat beberapa pasang titik simetris, kita menggambar kurva mulus melaluinya menggunakan sebuah pola. Gambar (43 c) menunjukkan contoh pembuatan parabola yang bersinggungan dengan dua garis lurus OA dan OB di titik A dan B. Ruas OA dan OB dibagi menjadi beberapa bagian yang sama banyak (misalnya dibagi delapan). Setelah itu, titik pembagian yang dihasilkan diberi nomor dan dihubungkan dengan garis lurus 1-1; 2-2; 3-3 (lihat Gambar 43, c) dan seterusnya. Garis-garis ini bersinggungan dengan kurva parabola. Kurva parabola singgung halus kemudian dimasukkan ke dalam kontur yang dibentuk oleh garis lurus.

Jika kita memotong kerucut lurus dan kerucut terbalik dengan bidang yang sejajar dengan dua generatriknya atau, dalam kasus tertentu, sejajar dengan sumbunya, maka pada bidang penampang tersebut diperoleh hiperbola yang terdiri dari dua cabang simetris (lihat Gambar 45, a) .

Gambar 45. Perpotongan kerucut dengan bidang sepanjang hiperbola (a) dan konstruksi hiperbola (b).

Hiperbola (Gambar 45,b) adalah kurva datar yang selisih jarak dari masing-masing titiknya ke dua titik tertentu F1 dan F2, yang disebut fokus, bernilai konstan dan sama dengan jarak antara titik sudut a dan b, misalnya SF1-SF2=ab. Hiperbola mempunyai dua sumbu simetri yaitu AB nyata dan CD imajiner.

Dua garis lurus KL dan K1 L1 yang melalui pusat O hiperbola dan menyentuh cabang-cabangnya pada jarak tak terhingga disebut asimtot. Hiperbola dapat dibangun dari simpul a dan b tertentu serta fokus F1 dan F2. Kita menentukan titik sudut hiperbola dengan menuliskan persegi panjang dalam lingkaran yang dibangun pada panjang fokus (segmen F1 dan F2), seperti pada diameter.

Pada sumbu nyata AB di sebelah kanan fokus F2 kita tandai 1, 2, 3, 4, ... Dari fokus F1 dan F2 kita menggambar busur lingkaran, mula-mula berjari-jari a-1, kemudian b-1 sampai perpotongan timbal balik pada kedua sisi sumbu real hiperbola. Selanjutnya kita akan melakukan perpotongan pasangan busur berikutnya dengan jari-jari a-2 dan b-2 (titik S) dan seterusnya.

Titik potong busur yang dihasilkan termasuk dalam cabang kanan hiperbola. Titik-titik cabang kiri akan simetris dengan titik-titik yang dibangun relatif terhadap sumbu imajiner CD.

Sinusoida adalah proyeksi lintasan suatu titik yang bergerak sepanjang heliks silinder ke bidang yang sejajar dengan sumbu silinder. Gerak suatu titik terdiri atas gerak rotasi beraturan (mengelilingi sumbu silinder) dan gerak translasi beraturan (sejajar dengan silinder).

Gambar 46. Konstruksi sinusoidal

Gelombang sinus adalah kurva datar yang menunjukkan perubahan fungsi sinus trigonometri tergantung pada perubahan besar sudut. untuk membuat sinusoidal (Gambar 46), melalui pusat O lingkaran berdiameter D, tarik garis lurus OX dan di atasnya buatlah segmen O1 A sama dengan panjang lingkaran π D. Kami membagi segmen dan lingkaran ini menjadi jumlah bagian yang sama. Dari titik-titik yang diperoleh dan diberi nomor kita menggambar garis lurus yang saling tegak lurus. Kami akan menghubungkan titik perpotongan garis-garis ini menggunakan pola kurva halus.

Kurva pola menggambar

Kurva pola dibangun oleh titik-titik. Titik-titik ini dihubungkan dengan menggunakan pola, pertama-tama menggambar kurva dengan tangan. Prinsip menghubungkan titik-titik individual suatu kurva adalah sebagai berikut:

Kami memilih bagian dari busur pola yang paling sesuai dengan jumlah titik terbesar dari kurva yang digariskan. Selanjutnya, kita tidak akan menggambar seluruh busur kurva yang sesuai dengan polanya, tetapi hanya bagian tengahnya saja. Setelah ini, kita akan memilih bagian lain dari pola tersebut, tetapi agar bagian ini menyentuh kira-kira sepertiga dari kurva yang digambar dan setidaknya dua titik berikutnya dari kurva tersebut, dan seterusnya. Hal ini memastikan transisi yang mulus antara masing-masing busur kurva.

KAMI MENYARANKAN Anda untuk memposting ulang artikel di jejaring sosial!

Konstruksi elips

Elips adalah kurva cembung datar tertutup, jumlah jarak setiap titik ke dua titik tertentu, yang disebut fokus, yang terletak pada sumbu utama adalah konstan dan sama dengan panjang sumbu utama. Konstruksi oval sepanjang dua sumbu (Gambar 23) dilakukan sebagai berikut:

• - menggambar garis aksial di mana segmen AB dan CD, sama dengan sumbu mayor dan minor elips, diletakkan secara simetris dari titik potong O;
• - buatlah dua lingkaran dengan jari-jari sama dengan setengah sumbu elips yang berpusat di titik potong sumbu;
• - bagilah lingkaran menjadi dua belas bagian yang sama. Pembagian lingkaran dilakukan seperti yang ditunjukkan pada paragraf 2.3;
• -sinar diameter ditarik melalui titik-titik yang diperoleh;
• - garis lurus ditarik dari titik potong sinar-sinar dengan lingkaran-lingkaran yang bersesuaian sejajar dengan sumbu elips sampai saling berpotongan di titik-titik yang terletak pada elips;
• - titik-titik yang dihasilkan dihubungkan dengan garis lengkung halus menggunakan pola. Saat membuat garis kurva pola, perlu untuk memilih dan memposisikan pola tersebut sehingga setidaknya empat hingga lima titik terhubung.

Ada cara lain untuk membuat elips.

Membangun parabola

Parabola adalah garis lengkung datar yang setiap titiknya berjarak sama dari direktriks DD 1 - garis lurus yang tegak lurus sumbu simetri parabola, dan dari fokus F, suatu titik yang terletak pada sumbu simetri. Jarak KF antara direktriks dan fokus disebut parameter parabola P.

Gambar 24 menunjukkan contoh menggambar parabola sepanjang titik O, sumbu OK dan tali busur CD. Konstruksinya dilakukan sebagai berikut:

• - menggambar garis lurus horizontal di mana titik puncak O ditandai dan sumbu OK diplot;
• - melalui titik K, gambarlah garis tegak lurus yang panjang tali busur parabola diplot secara simetris ke atas dan ke bawah;
• - buatlah persegi panjang ABCD yang salah satu sisinya sama dengan sumbu dan sisi lainnya sama dengan tali busur parabola;
• - sisi BC dibagi menjadi beberapa bagian yang sama, dan ruas KC menjadi beberapa bagian yang sama banyak;
• - dari titik puncak parabola O, sinar ditarik melalui titik 1, 2, dst., dan melalui titik 1 1, 2 1, dst.;
• - menggambar garis lurus sejajar sumbu dan menentukan titik potong sinar dengan garis sejajar yang bersesuaian, misalnya titik potong sinar O1 dengan garis lurus O1 1 yang termasuk parabola;
• - titik-titik yang dihasilkan dihubungkan dengan garis lengkung halus di bawah pola. Cabang kedua parabola dibuat dengan cara yang sama.

Ada cara lain untuk membuat parabola.

Bagaimana cara membuat parabola? Ada beberapa cara untuk membuat grafik fungsi kuadrat. Masing-masing dari mereka memiliki pro dan kontra. Mari kita pertimbangkan dua cara.

Mari kita mulai dengan memplot fungsi kuadrat dari bentuk y=x²+bx+c dan y= -x²+bx+c.

Contoh.

Gambarkan fungsi y=x²+2x-3.

Larutan:

y=x²+2x-3 adalah fungsi kuadrat. Grafiknya berbentuk parabola dengan cabang ke atas. Koordinat titik parabola

Dari titik sudut (-1;-4) kita buat grafik parabola y=x² (dari titik asal koordinat. Alih-alih (0;0) - titik sudut (-1;-4). Dari (-1; -4) kita ke kanan sebanyak 1 satuan dan ke atas sebanyak 1 satuan, lalu ke kiri sebanyak 1 dan ke atas sebanyak 1; lalu: 2 - kanan, 4 - atas, 2 - kiri, 3 - atas; kiri, 9 - atas Jika. 7 poin ini tidak cukup, maka 4 ke kanan, 16 ke atas, dst.).

Grafik fungsi kuadrat y= -x²+bx+c adalah parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke bawah. Untuk membuat grafik, kita mencari koordinat titik dan dari situ kita membuat parabola y= -x².

Contoh.

Gambarkan fungsi y= -x²+2x+8.

Larutan:

y= -x²+2x+8 adalah fungsi kuadrat. Grafiknya berbentuk parabola dengan cabang ke bawah. Koordinat titik parabola

Dari atas kita membuat parabola y= -x² (1 - ke kanan, 1- bawah; 1 - kiri, 1 - bawah; 2 - kanan, 4 - bawah; 2 - kiri, 4 - bawah, dst.):

Cara ini memungkinkan Anda membuat parabola dengan cepat dan tidak menimbulkan kesulitan jika Anda mengetahui cara membuat grafik fungsi y=x² dan y= -x². Kerugian: jika koordinat titik adalah bilangan pecahan, akan sangat tidak mudah untuk membuat grafik. Jika Anda ingin mengetahui nilai pasti titik potong grafik dengan sumbu Ox, Anda juga harus menyelesaikan persamaan x²+bx+c=0 (atau -x²+bx+c=0), meskipun titik-titik tersebut dapat ditentukan langsung dari gambar.

Cara lain untuk membuat parabola adalah dengan titik-titik, yaitu, Anda dapat menemukan beberapa titik pada grafik dan menggambar parabola melalui titik-titik tersebut (dengan mempertimbangkan bahwa garis x=xₒ adalah sumbu simetrinya). Biasanya untuk ini mereka mengambil titik puncak parabola, titik potong grafik dengan sumbu koordinat dan 1-2 titik tambahan.

Gambarlah grafik fungsi y=x²+5x+4.

Larutan:

y=x²+5x+4 adalah fungsi kuadrat. Grafiknya berbentuk parabola dengan cabang ke atas. Koordinat titik parabola

yaitu titik puncak parabola adalah titik (-2.5; -2.25).

Mencari . Di titik potong sumbu Sapi y=0: x²+5x+4=0. Akar persamaan kuadrat x1=-1, x2=-4, yaitu kita mendapat dua titik pada grafik (-1; 0) dan (-4; 0).

Di titik potong grafik dengan sumbu Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Kami mengerti maksudnya (0; 4).

Untuk memperjelas grafik, Anda dapat menemukan poin tambahan. Misalkan x=1, maka y=1²+5∙1+4=10, yaitu titik lain pada grafik tersebut adalah (1; 10). Kami menandai titik-titik ini pada bidang koordinat. Dengan mempertimbangkan simetri parabola terhadap garis yang melalui titik puncaknya, kita menandai dua titik lagi: (-5; 6) dan (-6; 10) dan menggambar parabola melalui titik-titik tersebut:

Gambarkan fungsi y= -x²-3x.

Larutan:

y= -x²-3x adalah fungsi kuadrat. Grafiknya berbentuk parabola dengan cabang ke bawah. Koordinat titik parabola

Titik puncak (-1,5; 2,25) adalah titik pertama parabola.

Di titik potong grafik dengan sumbu x y=0, yaitu kita selesaikan persamaan -x²-3x=0. Akarnya adalah x=0 dan x=-3, yaitu (0;0) dan (-3;0) - dua titik lagi pada grafik. Titik (o; 0) juga merupakan titik potong parabola dengan sumbu ordinatnya.

Pada x=1 y=-1²-3∙1=-4, yaitu (1; -4) merupakan titik tambahan untuk membuat plot.

Membuat parabola dari titik-titik adalah metode yang lebih memakan waktu dibandingkan metode pertama. Jika parabola tidak memotong sumbu Ox, diperlukan lebih banyak titik tambahan.

Sebelum melanjutkan membuat grafik fungsi kuadrat berbentuk y=ax²+bx+c, mari kita perhatikan pembuatan grafik fungsi menggunakan transformasi geometri. Cara paling mudah juga adalah membuat grafik fungsi dalam bentuk y=x²+c menggunakan salah satu transformasi berikut—translasi paralel.

Kategori: |

Membangun parabola adalah salah satu operasi matematika yang terkenal. Seringkali ini digunakan tidak hanya untuk tujuan ilmiah, tetapi juga untuk tujuan praktis semata. Mari cari tahu cara melakukan prosedur ini menggunakan alat aplikasi Excel.

Parabola adalah grafik fungsi kuadrat dengan tipe berikut f(x)=kapak^2+bx+c. Salah satu sifatnya yang luar biasa adalah kenyataan bahwa parabola berbentuk bangun simetris yang terdiri dari sekumpulan titik yang berjarak sama dari direktriks. Secara umum, membuat parabola di Excel tidak jauh berbeda dengan membuat grafik lain dalam program ini.

Membuat tabel

Pertama-tama, sebelum Anda mulai membuat parabola, Anda harus membuat tabel yang menjadi dasar pembuatannya. Sebagai contoh, mari kita ambil konstruksi grafik suatu fungsi f(x)=2x^2+7.

Merencanakan grafik

Seperti disebutkan di atas, sekarang kita harus membuat grafiknya sendiri.

Mengedit bagan

Sekarang Anda dapat sedikit mengedit grafik yang dihasilkan.

Selain itu, Anda dapat melakukan jenis pengeditan lain pada parabola yang dihasilkan, termasuk mengubah namanya dan nama sumbunya. Teknik pengeditan ini tidak melampaui lingkup bekerja di Excel dengan jenis diagram lainnya.

Seperti yang Anda lihat, membuat parabola di Excel pada dasarnya tidak berbeda dengan membuat grafik atau diagram jenis lain dalam program yang sama. Semua tindakan dilakukan berdasarkan tabel yang telah dibuat sebelumnya. Selain itu, Anda perlu memperhitungkan bahwa diagram pencar paling cocok untuk membuat parabola.

Elips. Jika permukaan kerucut berbentuk lingkaran dipotong dengan bidang miring R sehingga memotong semua generatornya, maka akan diperoleh elips pada bidang penampang (Gambar 65).

Gambar 65

Elips(Gambar 66) – kurva tertutup datar yang jumlah jarak dari salah satu titiknya (misalnya, dari suatu titik M ) hingga dua poin tertentu F 1 Dan F 2 – fokus elips – terdapat nilai konstanta yang sama dengan panjang sumbu mayornya AB (Misalnya, F 1 M + F 2 M = AB ).Segmen garis AB disebut sumbu utama elips, dan segmen CD – sumbu minornya. Sumbu elips berpotongan di suatu titik HAI- pusat elips, dan ukurannya menentukan panjang sumbu mayor dan minor. Poin F 1 Dan F 2 terletak pada sumbu mayor AB simetris terhadap titik tersebut HAI dan dikeluarkan dari ujung sumbu minor (titik DENGAN Dan D ) dengan jarak yang sama dengan setengah sumbu utama elips .

Gambar 66

Ada beberapa cara untuk membuat elips. Cara termudah adalah dengan membuat elips sepanjang kedua sumbunya menggunakan lingkaran bantu (Gambar 67). Dalam hal ini, pusat elips ditentukan - titik HAI dan melaluinya ditarik dua garis lurus yang saling tegak lurus (Gambar 67, a). Dari titik TENTANG gambarkan dua lingkaran yang jari-jarinya sama dengan setengah sumbu mayor dan sumbu minor. Sebuah lingkaran besar dibagi menjadi 12 bagian yang sama besar dan titik-titik pembagiannya dihubungkan dengan titik tersebut TENTANG . Garis yang ditarik juga akan membagi lingkaran kecil menjadi 12 bagian yang sama besar. Kemudian, garis horizontal (atau garis lurus yang sejajar sumbu mayor elips) ditarik melalui titik pembagian lingkaran yang lebih kecil, dan garis vertikal (atau garis lurus yang sejajar dengan sumbu minor elips) ditarik melalui titik pembagian. dari lingkaran yang lebih besar. Titik potongnya (misalnya titik M ) milik elips. Dengan menghubungkan titik-titik yang dihasilkan dengan kurva halus, diperoleh elips (Gambar 67, b).

Gambar 67

Parabola. Jika sebuah kerucut berbentuk lingkaran dipotong oleh sebuah bidang R , sejajar dengan salah satu generatriknya, maka akan diperoleh parabola pada bidang penampang (Gambar 68).

Gambar 68

Parabola(Gambar 69) – kurva datar, yang setiap titiknya berjarak sama dari suatu garis lurus tertentu HH 1 , ditelepon kepala sekolah, dan poin F - fokus parabola. Misalnya saja untuk suatu hal M segmen M N (jarak ke kepala sekolah) dan MF. (jarak ke fokus) adalah sama, mis. M N = MF. .

Parabola berbentuk kurva terbuka dengan satu sumbu simetri yang melalui titik fokus parabola – titik F dan letaknya tegak lurus terhadap sutradara HH 1 .Tepat A , terletak di tengah segmen DARI , ditelepon titik puncak parabola. Jarak dari fokus ke direktriks - segmen DARI = 2´OA – dilambangkan dengan huruf R dan menelepon parameter parabola. Semakin besar parameternya R , semakin tajam cabang parabola menjauh dari porosnya. Ruas yang terletak di antara dua titik parabola yang letaknya simetris terhadap sumbu parabola disebut akord(misalnya, akord MK ).

Gambar 69

Membangun parabola dari direktriksnya DD 1 dan fokus F(Gambar 70, a) . Melalui intinya F gambarkan sumbu parabola tegak lurus terhadap direktriks hingga memotong direktriks di titik tersebut TENTANG. Segmen garis DARI = P bagi menjadi dua dan dapatkan satu poin A - bagian atas parabola. Pada sumbu titik parabola A letakkan beberapa bagian yang meningkat secara bertahap. Melalui titik pembagian 1, 2, 3 dia. D. menggambar garis lurus sejajar dengan direktriks. Dengan mengambil fokus parabola sebagai pusatnya, mereka menggambarkan busur dengan radius R 1 =L 1 1 ,radius R2 = L2 sampai memotong garis yang melalui suatu titik 2 , dst. Titik-titik yang dihasilkan adalah milik parabola. Pertama, mereka dihubungkan dengan garis tipis halus dengan tangan, kemudian dijiplak sepanjang polanya.

Konstruksi parabola sepanjang sumbunya, titik sudut A dan titik tengah M(Gambar 70, b).Melalui bagian atas A tariklah garis lurus yang tegak lurus sumbu parabola dan melalui titik tersebut M - garis lurus sejajar sumbu. Kedua garis berpotongan di satu titik B . Segmen AB Dan B.M. dibagi menjadi beberapa bagian yang sama, dan titik pembagian diberi nomor sesuai arah yang ditunjukkan oleh panah. Melalui atas A dan titik 1 , 2 , 3 , 4 menghantarkan sinar, dan dari titik SAYA , II , AKU AKU AKU ,IV – garis lurus sejajar sumbu parabola. Pada perpotongan garis yang bertanda angka yang sama terdapat titik-titik yang termasuk dalam parabola. Kedua cabang parabola itu sama, sehingga cabang lainnya dibuat simetris dengan cabang pertama menggunakan tali busur.

Gambar 70

Konstruksi parabola bersinggungan dengan dua garis lurus OA dan OB di titik A dan B yang diberikan pada keduanya(Gambar 71, b). Segmen O.A. Dan OB dibagi menjadi jumlah bagian yang sama (misalnya menjadi 8 bagian). Titik-titik pembagian yang dihasilkan diberi nomor dan titik-titik dengan nama yang sama dihubungkan oleh garis lurus. 1–1 , 2 –2 , 3 –3 dll. . D . Garis-garis ini bersinggungan dengan kurva parabola. Selanjutnya, kurva singgung halus – parabola – dimasukkan ke dalam kontur yang dibentuk oleh garis lurus. .

Gambar 71

Hiperbola. Jika kita memotong kerucut lurus dan kerucut terbalik dengan bidang yang sejajar dengan dua generatriknya atau, dalam kasus tertentu, sejajar dengan sumbunya, maka pada bidang penampang tersebut kita akan mendapatkan hiperbola yang terdiri dari dua cabang simetris (Gambar 72, a).

Hiperbola(Gambar 72, b) disebut kurva bidang terbuka, yaitu himpunan titik-titik, selisih jarak dari dua titik tertentu bernilai konstan.

Gambar 72

Poin konstan F 1 Dan F 2 disebut Trik , dan jarak antara keduanya adalah Focal length . Segmen garis ( F 1 M Dan F 2 M ), menghubungkan titik mana pun ( M ) kurva dengan fokus disebut vektor radius hiperbola . Perbedaan antara titik dan jarak fokus F 1 Dan F 2 adalah nilai konstan dan sama dengan jarak antar simpul A Dan B hiperbola; misalnya, untuk suatu hal M akan memiliki: F 1 M -F 2 M = ab. Hiperbola terdiri dari dua cabang terbuka dan memiliki dua sumbu yang saling tegak lurus - sah AB Dan imajiner CD. Langsung hal Dan rs, melewati pusat HAI ,disebut asimtot .

Membangun hiperbola menggunakan asimtot ini hal Dan rs, Trik F 1 Dan F 2 ditunjukkan pada Gambar 72, b.

Sumbu nyata AB hiperbola adalah garis bagi sudut yang dibentuk oleh asimtot. Sumbu imajiner CD tegak lurus AB dan melewati titik tersebut TENTANG. Memiliki trik F 1 Dan F2, tentukan simpulnya A Dan B hiperbola, mengapa pada satu segmen F 1 F 2 buatlah setengah lingkaran yang memotong asimtot di titik-titik M Dan P. Dari titik-titik ini garis tegak lurus diturunkan ke sumbu AB dan di persimpangan dengannya kita mendapatkan simpul A Dan B hiperbola.

Untuk membuat cabang kanan hiperbola pada suatu garis AB di sebelah kanan fokus F 1 tandai titik sewenang-wenang 1 , 2 , 3 , ..., 5. Poin V Dan V1 hiperbola didapat jika kita mengambil ruas tersebut a5 melampaui radius dan dari titik F2 menggambar busur lingkaran, yang ditandai dari suatu titik F 1, radius sama dengan b5. Titik-titik hiperbola lainnya dibuat dengan analogi dengan titik-titik yang dijelaskan.

Terkadang Anda harus membuat hiperbola yang asimtotnya OH Dan oh saling tegak lurus (Gambar 73). Dalam hal ini, sumbu nyata dan sumbu imajinernya adalah bis Dengan listrik sudut siku-siku. Untuk membangunnya, salah satu titik hiperbola ditentukan, misalnya titik A.

Gambar 73

Melalui intinya A melaksanakan secara langsung AK Dan SAYA. , sejajar dengan sumbu Oh Dan kamu .Dari titik HAI ulang Dengan konsep tentang Dengan mereka memberinya langsung Dengan garis lurus SAYA. Dan AK di poin 1 , 2 , 3 , 4 Dan 1" , 2" , 3" , 4" . Selanjutnya ditarik segmen vertikal dan horizontal dari titik potong garis tersebut hingga saling berpotongan di titik tersebut I, II, III, IV dll. Titik-titik hiperbola yang dihasilkan dihubungkan menggunakan suatu pola . Poin 1, 2, 3, 4 terletak pada garis vertikal diambil secara sewenang-wenang .

Libatkan sebuah lingkaran atau pengembangan lingkaran. Libatkan sebuah lingkaran disebut kurva datar yang digambarkan oleh setiap titik suatu garis lurus jika garis lurus tersebut digulung tanpa meluncur sepanjang lingkaran diam (lintasan titik-titik lingkaran yang dibentuk oleh penyebaran dan pelurusan) (Gambar 74).

Untuk membuat sebuah involute, cukup dengan menentukan diameter lingkaran D dan posisi awal titik tersebut A (titik SEBUAH 0 ). Melalui intinya SEBUAH 0 gambarlah garis singgung lingkaran dan gambarlah panjang lingkaran tersebut di atasnya D . Segmen dan lingkaran yang dihasilkan dibagi menjadi jumlah bagian yang sama dan garis singgungnya ditarik dalam satu arah melalui titik-titik pemisah lingkaran. Pada setiap garis singgung, diletakkan segmen-segmen yang diambil dari garis horizontal dan sama besarnya 1A 1 = SEBUAH 0 1 , 2A 2 = VA 0 2 , 3A 3 = SEBUAH 0 3 dll.; Titik-titik yang dihasilkan dihubungkan sesuai pola.

Gambar 74

spiral Archimedes- kurva datar yang dibatasi oleh sebuah titik A , berputar secara seragam di sekitar titik tetap – tiang TENTANG dan pada saat yang sama menjauhinya secara merata (Gambar 75). Jarak yang ditempuh suatu titik ketika memutar garis lurus sebesar 360° disebut jarak spiral. Titik-titik milik spiral Archimedes dibangun berdasarkan definisi kurva, menentukan langkah dan arah rotasi.

Konstruksi spiral Archimedes menggunakan nada tertentu (segmen OA) dan arah putaran searah jarum jam(Gambar 75).Melalui suatu titik TENTANG gambarlah garis lurus dan tandai garis spiral di atasnya O.A. dan, dengan menganggapnya sebagai jari-jari, gambarkan sebuah lingkaran. Lingkari dan ruas O.A. dibagi menjadi 12 bagian sama besar. Jari-jari ditarik melalui titik-titik pemisah lingkaran O1 , O2 , O3 dll. dan pada mereka dari intinya TENTANG diletakkan menggunakan busur masing-masing 1/12, 2/12, 3/12, dst., dari jari-jari lingkaran. Titik-titik yang dihasilkan dihubungkan sepanjang pola dengan kurva halus.

Spiral Archimedes adalah kurva terbuka, dan jika perlu, Anda dapat membuat sejumlah putarannya. Untuk membuat putaran kedua, gambarkan sebuah lingkaran dengan jari-jari R = 2 OA dan ulangi semua konstruksi sebelumnya.

Gambar 75

Gelombang sinus.Gelombang sinus disebut proyeksi lintasan suatu titik bergerak Dengan Saya berbentuk silinder Dengan yang heliks, pada bidang yang sejajar dengan sumbu silinder . Gerak suatu titik terdiri atas gerak rotasi beraturan (mengelilingi sumbu silinder) dan gerak translasi beraturan (sejajar sumbu silinder) . Gelombang sinus adalah kurva datar yang menunjukkan perubahan fungsi sinus trigonometri tergantung pada perubahan sudut .

Untuk membangun sinusoidal (Gambar 76) melalui pusat TENTANG diameter lingkaran D melaksanakan secara langsung OH dan sebuah segmen diletakkan di atasnya HAI 1 A , sama dengan keliling D. Segmen dan lingkaran ini dibagi menjadi beberapa bagian yang sama besar. Garis lurus yang saling tegak lurus ditarik dari titik-titik yang diperoleh dan diberi nomor. Titik potong yang dihasilkan dari garis-garis tersebut dihubungkan menggunakan pola kurva yang halus.

Gambar 76

Kardioid. Kardioid(Gambar 77) panggilan Dengan Saya adalah lintasan tertutup suatu titik dalam lingkaran Dengan yang menggelinding tanpa tergelincir sepanjang lingkaran diam yang radiusnya sama .

Gambar 77

Dari pusat TENTANG gambarlah sebuah lingkaran dengan radius tertentu dan ambil sebuah titik sembarang di atasnya M. Serangkaian garis potong ditarik melalui titik ini. Pada setiap garis potong, pada kedua sisi titik potongnya dengan lingkaran, diletakkan ruas-ruas yang sama dengan diameter lingkaran. M1. Ya, garis potong III3MIII 1 memotong lingkaran di suatu titik 3 ;segmen diberhentikan mulai saat ini 3III Dan 3III 1, sama dengan diameter M1. Poin AKU AKU AKU Dan AKU AKU AKU 1 , milik kardioid . Demikian pula, Dengan saat ini IV4MIV 1 ulang Dengan lingkaran itu berada pada suatu titik 4; segmen diletakkan dari titik ini IV4 Dan 4IV 1, sama dengan diameter M1, mendapatkan poin IV Dan IV 1 dll.

Titik-titik yang ditemukan dihubungkan oleh sebuah kurva, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 77.

Kurva sikloidal. Sikloid – garis lengkung bidang yang digambarkan oleh suatu titik yang termasuk dalam lingkaran yang menggelinding tanpa tergelincir sepanjang garis lurus atau lingkaran . Jika lingkaran melingkari suatu garis lurus, maka titik tersebut menggambarkan kurva yang disebut sikloid.

Jika sebuah lingkaran menggelinding sepanjang lingkaran lain, berada di luarnya (sepanjang bagian cembung), maka titik tersebut menggambarkan suatu kurva yang disebut episikloid .

Jika sebuah lingkaran menggelinding sepanjang lingkaran lain, berada di dalamnya (sepanjang bagian cekung), maka titik tersebut menggambarkan suatu kurva yang disebut hiposikloid . Lingkaran tempat suatu titik berada disebut memproduksi . Garis yang dilalui lingkaran itu disebut memandu .

Untuk membuat sikloid(Gambar 78) gambarlah sebuah lingkaran dengan radius tertentu R ; ambil titik awalnya A dan menggambar garis panduan AB, sepanjang lingkaran itu menggelinding .

Gambar 78

Bagilah lingkaran yang diberikan menjadi 12 bagian yang sama (titik 1" , 2" , 3" , ..., 12"). Jika intinya A mengubah Dengan dada Dengan Saya dalam posisi Sebuah 12 , lalu segmennya AA 12 akan sama dengan panjang keliling yang diberikan Dengan kamu, yaitu. Gambarlah garis pusat HAI – HAI 12 memproduksi secara melingkar Dengan kamu, sama , dan membaginya menjadi 12 bagian sama besar. Dapatkan poin HAI 1 ,O2 ,HAI 3 ,..., HAI 12 , yang merupakan pusat lingkaran pembangkit Dengan Anda . Dari titik-titik ini gambarlah sebuah lingkaran Dengan ty (atau berputar-putar Dengan tey) dengan radius tertentu R , yang menyentuh garis AB di poin 1,2, 3, ..., 12. Jika dari setiap titik kontak kita memplot pada lingkaran yang bersesuaian sebuah panjang busur yang sama dengan jumlah perpindahan titik tersebut A , maka kita memperoleh poin milik sikloid tersebut. Misalnya untuk mendapatkan suatu maksud Sebuah 5 cycloids mengikuti dari tengah HAI 5 menggambar lingkaran dari titik kontak 5 letakkan busur di sekeliling keliling A5, sama dengan A5", atau dari titik 5" menggambar garis lurus sejajar AB, ke persimpangan di titik tersebut Sebuah 5 dengan lingkaran yang digambar . Semua titik lain dari sikloid dibangun dengan cara yang sama. .

Epicycloid dibangun sebagai berikut. Gambar 79 menunjukkan radius lingkaran pembangkit Dengan A R dengan pusat HAI 0 , titik pangkal A di atasnya dan busur pemandu di sekelilingnya Dengan kamu radio Dengan A R 1 sepanjang itu menggelinding Dengan Saya adalah sebuah lingkaran. Konstruksi epikloid mirip dengan konstruksi sikloid, yaitu: membagi suatu lingkaran menjadi 12 bagian yang sama besar (titik 1" , 2" , 3" , ...,12"), setiap bagian lingkaran ini diberhentikan dari suatu titik A sepanjang busur AB 12 kali (titik 1 , 2 , 3 , ..., 12) dan dapatkan panjang busurnya AA 12 . Panjang ini dapat ditentukan dengan menggunakan sudut .

Lebih jauh dari pusat TENTANG radius sama dengan OOO 0 , gambarlah garis pusat lingkaran pembangkit dan gambar jari-jarinya 01 , 02 , 03 , ...,012 , terus sampai berpotongan dengan garis pusat, didapat pusat HAI 1, HAI 2, ..., HAI 12 lingkaran pembangkit . Dari pusat-pusat tersebut dengan jari-jari sama dengan R , menggambar lingkaran atau busur lingkaran tempat mereka membangun dan Dengan titik mana dari kurva tersebut; Jadi, untuk memahami maksudnya A 4 detik harus diperiksa Dengan berputar-putar Dengan radius tee O4" sampai memotong lingkaran yang ditarik dari tengah O4. Titik-titik lain dibuat serupa, yang kemudian dihubungkan dengan kurva mulus .

Gambar 79

Informasi terkait.